Tích phân itô

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN ÁNH TUYẾT

TÍCH PHÂN ITÔ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG

Hà Nội - 2013



LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Trung Dũng. Thầy đã giao đề tài và tận tình
hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này em
xin gửi lời cám ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán đã
giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Đồng thời, em xin cảm ơn anh Phạm Văn Duẩn đã nhiệt tình giúp đỡ em
trong quá trình làm khóa luận và em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35CN
TOÁN nghành cử nhân Toán, khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá
trình học tập tại lớp.
Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Ánh Tuyết

2


LỜI CAM ĐOAN
Tên em là: Nguyễn Ánh Tuyết, sinh viên đại học khóa 2009 – 2013
lớp K35CN Toán Khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin cam đoan đề tài: “Tích phân Itô”, là kết quả nghiên cứu và thu thập
của riêng em. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không
trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận em
xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.
Hà nội, ngày 22 tháng 04 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Ánh Tuyết

3


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1. Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Hội tụ bình phương trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Hội tụ theo xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Hội tụ hầu chắc chắn( Hội tụ với xác suất 1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Luật số lớn và Định lí giới hạn trung tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . .

13
13
14
14
15
15
16

17

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Một số ví dụ về sự hội tụ của dãy quá trình ngẫu nhiên . . . . . . .

17
19

Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1. Tích phân có dạng

t
a

f (s, ω)ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Tích phân của hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Tích phân của hàm bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng ab f (s)dW (s) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô dạng at f (s)dW (s) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Tính chất của tích phân Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
22
24
25

25
25
27
27

28


2.2.5. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3. Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.1. Định nghĩa (Vi phân ngẫu nhiên Itô) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
30
34

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói giải tích toán học là lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân
và tích phân. Từ cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép
tính vi phân và tích phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỷ 20, tích phân
ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng. Ngày nay, giải tích ngẫu nhiên
đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất- thống kê
hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như
công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng
khoán, bảo hiểm, nông nghiệp. Và hiện đang được dạy ở hầu hết các
trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học
không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó. Trong đó tích phân Itô
là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ
khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một lớp các quá trình ngẫu
nhiên Itô, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết và ứng dụng. Để có
thể hiểu rõ hơn về tích phân Itô nên em đã chọn đề tài “Tích phân Itô”
cho khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Khái quát về nội dung và phạm vi nghiên cứu
Tích phân Itô là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích
ngẫu nhiên, nó được xây dựng theo quá trình Wiener và từ đó họ đã
xây dựng nên một lớp các quá trình ngẫu nhiên Itô.
Khóa luận này em trình bày về tích phân Itô.
Khóa luận gồm 2 chương:
• Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
• Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô.
3. Mục đích- Yêu cầu
• Đây là một dịp để có thể tập dượt nghiên cứu (với sự định hướng
của giáo viên hướng dẫn) về một nội dung khoa học
• Nắm bắt được những nội dung cơ bản của lý thuyết (Các khái
niệm, các tính chất, các bài toán đã được đặt ra, một số ứng

dụng, ...)


• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình
4. Đối tượng nghiên cứu
Tích phân ngẫu nhiên Itô và các kiến thức liên quan.
5. Phạm vi
• Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm
• Thời gian thực hiện đề tài
• Nơi hoàn thành khóa luận (những khó khăn và thuận lợi)


Nội dung chính
1. Tên đề tài
Tích phân Itô
2. Kết cấu của nội dung
Gồm 2 chương:
• Chương 1: Cơ sở lý thuyết
- Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên
- Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên
- Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên
• Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên Itô
- Tích phân có dạng at f (s, ω)ds
- Tích phân ngẫu nhiên Itô
- Vi phân ngẫu nhiên và công thức Itô
3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu
• Phương pháp quan sát, đọc sách

8

Chương 1

Cơ sở lý thuyết
1.1.

Không gian Hilbert các biến ngẫu nhiên

1.1.1.

Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản

Định nghĩa 1.1.1. (biến ngẫu nhiên đơn giản)
Cho (Ω, A , P) là không gian xác suất. Cho A ∈ A và IA là hàm chỉ tiêu
của A. Nghĩa là, IA là biến ngẫu nhiên được định nghĩa
IA (ω) =

1
0

nếu ω ∈ Ai
nếu ngược lại.

Ta có E(IA ) = P(A). Khi đó tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm chỉ tiêu
được gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản.
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản thì X có dạng
n

X(ω) = ∑ ci IAi (ω)

n

và

E(X) = ∑ ci P(Ai ).
i=1

i=1

Định nghĩa 1.1.2. Không gian các biến ngẫu nhiên đơn giản
Kí hiệu
SRV = {X : X là biến ngẫu nhiên đơn giản định nghĩa trên không gian
xác suất (Ω, A , P)}.
Ta có tổng của hai biến ngẫu nhiên đơn giản và tích của một số với biến
9


ngẫu nhiên đơn giản cũng là một biến ngẫu nhiên đơn giản.
Cho X,Y ∈ SRV , ta sẽ định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên SRV như sau :
Tích vô hướng
Tích vô hướng (X,Y ) được định nghĩa trên SRV là
với X,Y ∈ SRV .

(X,Y ) = E(X.Y )
Chú ý rằng cho X,Y ∈ SRV thì
n

(X,Y ) = E(X.Y ) = E

n

n

∑ ∑ ci IAi d j IB j

i=1 j=1

n

= ∑ ∑ ci d j P(Ai ∩ B j ).
i=1 j=1

Chuẩn
Chuẩn có dạng
X

1/2
RV = (X, X)

= (E |X|2 )1/2 .

Nói chung, không gian tích vô hướng của các biến ngẫu nhiên đơn giản là
không đầy đủ. Tuy nhiên, nó có thể được bổ sung để tạo thành không gian
Hilbert HRV , trong đó SRV là trù mật trong HRV .
Chú ý 1.1.1.
Trong không gian Hilbert HRV tích vô hướng được định nghĩa là
(X,Y ) = E(XY )
chuẩn trong không gian này là
X

2 1/2
RV = (E |X| )

và tập hợp các hàm đơn giản trong SRV là trù mật trong HRV .

1.1.2.

Ví dụ

Ví dụ 1.1. Không gian Hilbert L2 [0, 1]
Xét không gian xác suất (Ω, A , P) trong đó không gian mẫu là Ω =
{x : 0 ≤ x ≤ 1}. Không gian các biến cố A là σ - đại số của tập các khoảng
có dạng (a, b] ⊂ [0, 1]. Độ đo xác suất P là độ đo Lebesgue trong đó P(A) =
10


b − a nếu A = [a, b] ∈ A . Cho SRV là tập tất cả các hàm đơn giản định nghĩa
trên A . Nếu X ∈ SRV thì biến ngẫu nhiên X có dạng
n

X(x) = ∑ ci IAi (x), trong đó Ai ∈ A với mọi i
i=1

và
IAi (x) =

nếu x ∈ Ai
nếu ngược lại.

1
0

Cho HRV là không gian đủ của SRV . Không gian Hilbert HRV bao gồm, ví dụ
tất cả các biến ngẫu nhiên liên tục trên [0, 1]. Thật vậy, cho f : [0, 1] → R là
một hàm liên tục. Đặt xi = (i − 1)/n với i = 1, 2, . . . , n và định nghĩa
n

fn (x) = ∑ f (xi )In,i (x)
i=1

trong đó
In,i (x) =

1
0

nếu (i − 1)/n ≤ x ≤ i/n
nếu ngược lại.

Ta có dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản { fn }∞
n=1 là dãy Cauchy trong HRV ,
f − fn RV → 0 khi n → ∞. Vì vậy, f là giới hạn của dãy các biến ngẫu
nhiên đơn giản trong không gian HRV và f ∈ HRV . Chú ý rằng nếu X(x) = x
thì X có phân phối đều trên [0,1],nghĩa là X ∼ U[0, 1].
Không gian Hilbert HRV trong ví dụ này là không gian đầy đủ L2 [0, 1],
nghĩa là HRV = L2 [0, 1] = { hàm f đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho
2
1
0 | f (x)| dx < ∞}. Chú ý rằng với X,Y ∈ HRV thì

1

X(x)Y (x)dx và

(X,Y ) =
0

X

2
RV =

1

|X(x)|2 dx.

0

Ví dụ 1.2. Ví dụ về sự hội tụ trong không gian Hilbert HRV = L2 [0, 1]
Giả sử HRV được định nghĩa như trong ví dụ 1.1. Cho Y ∼ U[0, 1] và dãy
các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được định nghĩa là
Xn (x) =

1
2 Y (x)

0

nếu 1/n ≤ Y (x) ≤ 1

nếu ngược lại.

Khi đó Xn − Xm RV → 0 khi m, n → ∞. Vì vậy, {Xn } ⊂ HRV là dãy Cauchy
trong HRV , Xn hội tụ trong HRV tới X = 21 Y khi n → ∞.

11


Ví dụ 1.3. Ví dụ về sự không hội tụ
Giả sử HRV được định nghĩa như trong ví dụ 1.2. Cho Y ∼ U[0, 1] là dãy
các biến ngẫu nhiên có phân phối đều với n = 1, 2, . . . . thì
1

Yn

RV =

1
2

2

x dx
0

1
= √ với mỗi n.
3

Cho X = 1 và dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞

n=1 được định nghĩa là
√
1
nếu 1/ n ≤ Yn (x) ≤ 1
Xn (x) =
1 + nYn (x) nếu ngược lại.
Khi đó
√
1/ n

Xn − X

RV =

1
2

2 2

n x dx
0

√
n
=
3

1
2

→ ∞ khi n → ∞.

Vì vậy, dãy {Xn }∞
n=1 không là dãy Cauchy trong không gian HRV .
Ví dụ 1.4. Không gian Hilbert định chuẩn
Xét Ω = {x : −∞ < x < ∞}. Kí hiệu A là σ - đại số sinh bởi các khoảng
dạng (a, b], A là σ - đại số Borel trên R.
Định nghĩa biến ngẫu nhiên X là X(x) = x. Với A ⊂ A , µ ∈ R và σ > 0 là
hằng số. Định nghĩa
P(A) =

p(s)ds

trong đó

A

Tức là

b

P(a ≤ X ≤ b) =
a

1
−(s − µ)2
p(s) = √
exp
.
2σ 2

2πσ 2

1
−(s − µ)2
√
ds.
exp
2σ 2
2πσ 2

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với trung bình µ và
phương sai σ 2 , kí hiệu là X ∼ N(µ, σ 2 ).
SRV là không gian các hàm đơn giản trên không gian xác suất (Ω, A , P) với
tích vô hướng
∞

( f , g) = E( f g) =
−∞

f (s)g(s)p(s)ds với f , g ∈ SRV

12


HRV là đầy đủ của SRV . Khi đó HRV là không gian các biến ngẫu nhiên định
nghĩa trên R với chuẩn
f

2
RV =

−(s − µ)2
1
| f (s)|2 √
exp
ds với f ∈ HRV .
2σ 2
−∞
2πσ 2
∞

Tập hợp các biến ngẫu nhiên liên tục f sao cho
mật trong HRV .

2
∞
−∞ | f (s)|

p(s)ds < ∞ là trù

1.2.

Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

1.2.1.

Hội tụ bình phương trung bình

Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên rất quan trọng trong nghiên cứu
phương trình vi phân ngẫu nhiên. Xét {Xn }∞

n=1 là một dãy các biến ngẫu
nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, A , P).
Định nghĩa 1.2.1.
Dãy biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ bình phương trung bình
đến biến ngẫu nhiên X nếu
lim E(Xn − X)2 = 0.

n→∞

Đặc biệt, với {Xn }∞
n=1 ⊂ HRV thì hội tụ này tương đương với Xn −X
khi n → ∞.

RV → 0

Định nghĩa 1.2.2.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh tới X nếu
lim E(|Xn − X|) = 0.

n→∞

Chú ý 1.2.1.
Hội tụ bình phương trung bình kéo theo hội tụ mạnh. Điều khẳng định
trên được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với X ∈ HRV hoặc từ bất
đẳng thức Lyapunov.
13

Bất đẳng thức Lyapunov:
(E(|X| p ))1/p ≤ (E(|X|r ))1/r

khi 0 < p < r.

Đặc biệt, với p = 1, r = 2 thì bất đẳng thức Lyapunov quy về bất đẳng thức
E(|X|) ≤ (E(|X|2 )1/2 ).

1.2.2.

Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.2.3.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ theo xác suất tới X
nếu với mọi ε > 0 thì
lim P(|Xn − X| > ε) = 0.

n→∞

Chú ý 1.2.2.
Hội tụ bình phương trung bình kéo theo hội tụ theo xác suất. Điều khẳng
định trên được suy ra từ bất đẳng thức Chebyshev - Markov.
Bất đẳng thức Chebyshev - Markov:
1
E(|X| p ) với mọi p, ε > 0.
p
ε
Đặc biệt, với p = 2 bất đẳng thức trên quy về bất đẳng thức
P({ω : |X(ω)| ≥ ε}) ≤

P(|X| ≥ ε) ≤

1.2.3.

1
E(|X|2 ).
2
ε

Hội tụ hầu chắc chắn( Hội tụ với xác suất 1)

Định nghĩa 1.2.4.
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
(w.p.1) tới X nếu
P({ω ∈ Ω : lim |Xn (ω) − X(ω)| = 0}) = 1.
n→∞

Bổ đề về sự hội tụ hầu chắc chắn
∞

Nếu

∑ P(|Xn − X| ≥ ε) < ∞ với mọi ε > 0 thì Xn được gọi là hội tụ hầu

n=1

14

chắc chắn tới X.
Chú ý 1.2.3.
Hội tụ hầu chắc chắn kéo theo hội tụ theo xác suất. Tuy nhiên, hội tụ
bình phương trung bình không kéo theo hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ hầu
chắc chắn không kéo theo hội tụ bình phương trung bình.

1.2.4.

Hội tụ yếu

Định nghĩa 1.2.5. Hội tụ theo phân phối
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ theo phân phối tới
biến ngẫu nhiên X nếu
lim FXn (x) = FX (x),

n→∞

tại tất cả các điểm liên tục của hàm phân phối FX .
Định nghĩa 1.2.6. Hội tụ yếu
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ yếu tới biến ngẫu
nhiên X nếu
+∞

lim

n→∞ −∞

+∞

f (y)dFXn (y) =

−∞

f (y)dFX (y).

với mọi hàm trơn f .
Một dãy hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ theo phân phối.

1.2.5.

Luật số lớn và Định lí giới hạn trung tâm

Hai kết quả quan trọng liên quan đến dãy biến ngẫu nhiên đó là luật số
lớn và định lí giới hạn trung tâm.
Luật số lớn:
Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối. Giả
n

sử µ = E(Xn ) và

σ2

= Var(Xn ). Định nghĩa Sn =

∑ Xi . Khi đó Sn /n → µ

i=1

15


hầu chắc chắn và theo bình phương trung bình. Nghĩa là
lim E

n→∞

Sn
−µ
n

2

Sn
=µ
n→∞ n

= 0 và lim

w.p.1.

Định lí giới hạn trung tâm:
Cho X1 , X2 , . . . là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối.
n

σ2

Giả sử µ = E(Xn ) và

= Var(Xn ). Định nghĩa Sn = ∑ Xi và đặt Zn =
i=1
√
(Sn − nµ)/(σ n). Khi đó Zn hội tụ theo phân phối tới Z ∼ N[0, 1], nghĩa là
lim FZn (x) = FZ (x),

n→∞

trong đó FZn là hàm phân phối của Zn và FZ là hàm phân phối chuẩn tắc.

1.2.6.

Ví dụ

Ví dụ 1.5. Hội tụ chắc chắn và hội tụ bình phương trung bình
Cho X là một biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0, 1], nghĩa là
X ∼ U[0, 1] và dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }∞
n=1 được định nghĩa là
Xn (ω) =

0
nếu 0 ≤ X(ω) ≤ 1/n2
X(ω) nếu 1/n2 < X(ω) ≤ 1

với n = 1, 2, . . . . thì
∞

∞

1

∑ P(|Xn − X| ≥ ε) ≤ ∑ n2 < ∞

n=1

n=1

với ε > 0. Do đó Xn → X hầu chắc chắn. Chú ý rằng
1/n2

2

E(|Xn − X| ) =

x2 dx =

0

1
→ 0 khi n → ∞.
3n6

Do đó Xn → X theo bình phương trung bình.
Ví dụ 1.6. Hội tụ yếu nhưng không là hội tụ bình phương trung bình

16


Như trong ví dụ 1.1, cho không gian mẫu là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1} với
không gian các biến cố A là σ - đại số Borel sinh bởi các khoảng (a, b]

trong [0, 1]. Giả sử
x

FXn (x) =

pn (s)ds,

0

trong đó
n
n−2

pn (s) =

0

nếu s ∈ [1/n, 1 − 1/n], n ≥ 3
nếu ngược lại.

Đặt

x

FX (x) =

p(s)ds,
0

trong đó

p(s) =

1
0

nếu s ∈ [0, 1]
nếu ngược lại.

Tức là X ∼ U[0, 1] và Xn ∼ U[1/n, 1 − 1/n], trong đó X và Xn là độc lập. Khi
đó với mọi f ∈ C[0, 1],
1−1/n

lim

n→∞ 1/n

1

f (x)pn (x)dx =

f (x)p(x)dx
0

vì vậy Xn hội tụ yếu tới X. Chý ý, Xn và X là độc lập với mỗi n và do đó
1
khi n → ∞.
6
vì vậy Xn không hội tụ theo bình phương trung bình tới X.
E(|X − Xn |2 ) = E(X 2 − 2XXn + Xn2 ) →

1.3.

Không gian Hilbert các quá trình ngẫu nhiên

1.3.1.

Định nghĩa

Xét quá trình ngẫu nhiên liên tục xác định trên [0, T] và không gian xác
suất (Ω, A , P). Cho f (t) = f (t, ω) là quá trình ngẫu nhiên sơ cấp hay hàm
ngẫu nhiên đơn giản định nghĩa trên [0, T ] × Ω, nghĩa là f có dạng
N−1

f (t, ω) =

∑

f (ti , ω)Ii (t),

i=0

17


trong đó 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = T là một phân hoạch trên [0, T] và
Ii (t) là hàm đặc trưng
1 nếu ti ≤ t < ti+1
Ii (t) =
với i = 0, 1, 2, . . . , N − 1.
0 nếu ngược lại

Giả sử rằng f (ti , ·) ∈ HRV với mỗi ti . Đặc biệt, E( f 2 (ti )) < ∞ với mỗi i.
Kí hiệu SSP = { hàm đơn giản f (t, ω) định nghĩa trên [0, T ] × Ω sao cho
T
0

N−1

E( f (t))2 dt

=

∑ E( f 2 (ti ))(ti+1 − ti ) < ∞}.

i=0

Trên SSP thì tích vô hướng (·, ·)SP được định nghĩa như sau
T

( f , g)SP =

E( f (t)g(t))dt,
0

và chuẩn được định nghĩa là
f

SP = ( f ,

1/2
f )SP

T

=

1/2

E | f (t)|2 dt

.

0

Không gian SSP là không gian metric với metric · SP . Hơn nữa, SSP
không là không gian đủ và không gian này có thể đầy đủ hóa bằng cách
bổ sung các quá trình ngẫu nhiên. Kí hiệu HSP là không gian đủ và không
gian SSP là trù mật trong không gian HSP . Giả sử, quá trình ngẫu nhiên
f (t, ω) thỏa mãn với hằng số dương k1 , k2 sao cho f (0) 2RV ≤ k1 và
f (t2 ) − f (t1 ) 2RV ≤ k2 |t2 − t1 | với mọi t1 ,t2 ∈ [0, T ]. Khi đó f ∈ HSP và
N−1

fN (t, ω) =

∑

f (ti , ω)Ii (t) là dãy Cauchy trong SSP ⊂ HSP hội tụ đến f .

i=0

Thật vậy,

f

2
SP ≤ 2

T

T

E | f (t) − f (0)|2 dt + 2

0

0

E | f (0)|2 dt ≤ k2 T 2 + 2k1 T.

Hơn nữa, theo định lý Fubini
T

T

E | f (t)| dt = E
0

T

| f (t)| dt và
0

0

0

Với f ∈ HSP , áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
|( f , g)SP | ≤ f

18

T

E | f (t)|2 dt = E

SP

g

SP

| f (t)|2 dt.


ta có
T

T

E( f (t)g(t))dt ≤

1/2

T

E | f (t)|2 dt

E |g(t)|2 dt

.

0

0

0

1/2

Vì vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz và định lý Fubini ta có
T

T

| f (t)| dt =

E
0

E | f (t)| dt ≤ T
0

E | f (t) + g(t)|2 dt

1.3.2.

1/2

E | f (t)|2 dt .

0

f +g

Ngoài ra, từ bất đẳng thức tam giác
với f , g ∈ HSP cụ thể là
T
0

T

1/2

T
0

≤

SP ≤

E | f (t)|2 dt

f

1/2

+

SP

+ g

T
0

SP

áp dụng

E |g(t)|2 dt

1/2

.

Một số ví dụ về sự hội tụ của dãy quá trình ngẫu
nhiên

Ví dụ 1.7.
Cho {W (t), 0 ≤ t ≤ T } là quá trình Wiener. Với N ∈ N ta định nghĩa quá
trình ngẫu nhiên fN (t) như sau
N−1

fN (t) =

∑

Ii (t)W (ti ), trong đó h =

i=0

T
và ti = ih với i = 0, 1, . . . , N.
N

Ta thấy fN ∈ HSP với mỗi N. Hơn nữa
fN −W

2
SP

=

∑ (W (t) −W (ti ))Ii (t)

E
0

dt

i=0

N−1

T N−1

=
0

=

2

N−1

T

∑ (t − ti )Ii (t)dt = ∑

i=0

N−1 2
h

∑

i=0

2

i=0

=

ti+1
ti

(t − ti )dt

T2
.
2N

Từ đó ta có fN − W SP → 0 khi N → ∞, dãy các quá trình ngẫu nhiên
{ fN }∞
N=1 hội tụ tới W trong HSP .

19


Ví dụ 1.8.
Cho W ∈ HSP là quá trình Wiener trên [0, T]. Quá trình ngẫu nhiên Xn (t)
được định nghĩa như sau
Xn (t) =

n−1
W (t) với n = 1, 2, . . . .
n

Khi đó
2
SP =

Xn −W

T

T

2

E(Xn (t) −W (t)) dt =

0

0

1
T2
E(W (t)) 2 dt = 2 .
n
2n
2

Từ đó ta thấy Xn hội tụ tới W trong HSP khi n → ∞.
Ví dụ 1.9.
Xét J(e−X ) = 0T exp(−X(t))dt trong đó X là quá trình Poisson với
cường độ λ trên [0, T]. Giả sử X(t) tăng dần theo đơn vị thời gian t1 <
t2 < · · · < tN−1 trên [0, T] và cho t0 = 0 và tN = T thì X(t) được viết dưới
dạng
X(t) = i với ti ≤ t < ti+1 , i = 0, 1, . . . , N − 1.
Khi đó ta dễ dàng thấy rằng

N−1

T

J(e−X ) =

exp(−X(t))dt =
0

∑

i=0

N−1

ti+1

exp(−i)dt =
ti

∑ exp(−i)(ti+1 −ti ).

i=0

Ngoài ra,
T

E(J(e−X )) = E

T ∞

exp(−X(t))dt =
0

0 i=0
T

∞

exp(−i)
= ∑
i!
i=0

∑ exp(−i)(λt)i exp(−λt)i!dt

0

exp(−i)
i!λ
i=0

(λ i) exp(−λt)dt = ∑

λT

∞

=

exp(−i)Bi (λ T )
∑
i!λ
i=0

λT

∞

i

trong đó Bi (λ T ) =

Vì vậy, khi T → ∞ thì Bi (λ T ) → i! và E(

20

(x)i exp(−x)dx

0

xi exp(−x)dx.

0

∞
e
0 exp(−X(t))dt) = λ (e−1) .

Ví dụ 1.10. Xấp xỉ quá trình Wiener
Xét đoạn 0 ≤ t ≤ T và cho ti = ih với i = 0, 1, . . . , N trong đó h = T /N.
Cho W (t) ∼ N(0,t) là quá trình Wiener. Quá trình ngẫu nhiên XN (t) liên tục
trên từng đoạn của phân hoạch của [0, T] được định nghĩa bởi
XN (t) = W (ti )

t − ti
ti+1 − t
+W (ti+1 )
h
h

với ti ≤ t ≤ ti+1 và i = 0, 1, . . . , N − 1. Chú ý rằng XN (ti ) = W (ti ) với i =
0, 1, . . . , N − 1 và XN (t) liên tục trên [0, T]. Hơn nữa
N−1 ti+1
2
ti+1 − t
t − ti
XN −W 2SP = ∑
E W (ti )
+W (ti+1 )
−W (t) dt
h
h
i=0 ti
N−1

=

∑

i=0
N−1

=

∑

ti+1
ti
ti+1

i=0 ti
N−1 2
h

E (W (ti ) −W (t))

t − ti
ti+1 − t
+ (W (ti+1 ) −W (t))
−W (t)
h
h

2

dt

2(t − ti )(ti+1 − t)

dt
h

T2
=
.
= ∑
3N
i=0 3
Vì vậy XN − W 2SP → 0 khi N → ∞, nghĩa là XN → W trong không gian
HSP khi N → ∞.
Với N đủ lớn ta có thể xấp xỉ XN (t) cho W(t).

21


Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên Itô
t
a

2.1.

Tích phân có dạng

f (s, ω)ds

2.1.1.

Tích phân của hàm đơn giản

Cho f là quá trình ngẫu nhiên và f ∈ HSP và thỏa mãn các giả thiết:
• Giả thiết (c1): f (a) ∈ HRV vì vậy
k1 > 0.
• Giả thiết (c2): f (t2 )− f (t1 )
mọi t1 ,t2 ∈ [a, b] và k2 > 0.

f (a)

2 =
RV

2 = E | f (t ) −
2
RV

E | f (a)|2 ≤ k1 với

f (t1 )|2 ≤ k2 |t2 − t1 | với

• Giả thiết (c3): f không dự báo được trên [a,b].
Tính chất 2.1.1. Nếu f ∈ HSP thỏa mãn (c1) và (c2) thì
f (t)

1/2
1/2
+
RV ≤ k2 (b − a)

f (a)

RV

với mọi t ∈ [a, b].

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được
f (t)

RV ≤

f (t) − f (a)

Chú ý 2.1.1.

22

RV

+

f (a)

RV

.


Giả thiết (c3) rằng f không dự báo được trên [a,b] về bản chất có thể hiểu là
f (t, ω) không phụ thuộc vào thời gian t với t > t. Do đó, E( f (t)(W (t ) −

W (t))) = E( f (t))E(W (t ) −W (t)) = 0 với mọi a ≤ t ≤ t ≤ b.
Ví dụ, f1 (t) = 3cos(W 2 (t)) + 4W (t) − 5t là không dự báo được trong khi
f2 (t) = W ((t +b)/2) là dự báo được với a < t < b. Thật vậy, E( f1 (t)(W (t )−
W (t))) = 0 với t > t trong khi
t −t
(b − t)/2

E( f2 (t)(W (t ) −W (t))) =

nếu t < t ≤ (t + b)/2
nếu(t + b)/2 ≤ t ≤ b.

Trong kết quả của chương trước, tập hợp các hàm đơn giản SSP ⊂ HSP là
trù mật trong HSP .
Cho a = t0 < t1 < · · · < tm−1 < tm = b là một phân hoạch của [a,b], trong
đó
max |ti − ti−1 | −→ 0
1≤i≤m

khi m → ∞ và đặt
1
0

Ii (t) =

nếu ti ≤ t ≤ ti+1
nếu ngược lại

với i = 0, 1, 2, ..., m − 1. Hơn nữa, đặt
m−1

fm (t, ω) =

∑

(m)

fi

(ω)Ii (t),

i=0
(m)

trong đó fi ∈ HRV với mỗi i và m, là một dãy các hàm đơn giản trong SSP
hội tụ tới f . Tức là với ε > 0 cho trước, tồn tại M > 0 sao cho
f − fm

SP < ε

khi m ≥ M.

Định nghĩa 2.1.1. (Tích phân của hàm đơn giản)
m−1

Cho fm (t, ω) =

∑

(m)

fi

(ω)Ii (t) là một hàm đơn giản của SSP . Khi đó

i=0

tích phân

b
a f m (s)ds

được kí hiệu là J( fm ) và được định nghĩa như sau
m−1

b

J( fm ) =

a

fm (s)ds =

∑

i=0

23

(m)

fi

(ti+1 − ti ).


Mệnh đề 2.1.1.
J( fm ) ∈ HRV
Chứng minh. Từ bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có
J( fm )

2
RV

2

b

= E
a

m−1

fm (s)ds ≤

m−1

∑ (ti+1 − ti )E

i=0

b

= (b − a)E
a

∑

(m) 2

fi

(ti+1 − ti )

i=0

| fm (s)|2 ds = (b − a)

fm

2
SP < ∞.

Mệnh đề 2.1.2.
{J( fm )}∞
m=1 là dãy Cauchy trong HRV .
Chứng minh. Xét
2
RV = E

J( fm ) − J( fn )

2

b
a

( fm (t) − fn (t))dt

≤ (b − a)

fm − fn

2
SP → 0.

khi m, n → ∞.
Vế phải có thể nhỏ một cách tùy ý vì { fm }∞
m=1 là dãy Cauchy trong HSP .
Vì vậy, J( fm ) hội tụ trong HRV khi m → ∞, giới hạn thu được kí hiệu là
J( f ).

2.1.2.

Tích phân của hàm bất kì

Định nghĩa 2.1.2.
Cho f ∈ HSP và dãy { fm }∞
m=1 ∈ HSP sao cho f − f m SP → 0 khi m → ∞.
b
Khi đó tích phân a f (s)ds được kí hiệu là J( f ) và được định nghĩa là

b

J( f ) =

f (s)ds = lim
a

m−1

b
m→∞ a

fm (s)ds = lim

∑
m→∞

i=0

24

(m)

fi

(ti+1 − ti ).