Biểu diễn dao động của đại số su(2)

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật
từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Trong những thập kỷ gần đây khoa
học nói chung và vật lý học nói riêng đã thực hiện được những bước phát
triển ngoạn mục, đánh dấu bởi vô số những phát minh kỳ diệu, từ những lĩnh
vực lý thuyết trừu tượng nhất đến những lĩnh vực ứng dụng rộng rãi nhất
trong thực tế sản xuất và đời sống. Đặc biệt, vật lý các hạt cơ bản đã đạt được
những thành tựu mang tính chất cách mạng, cả về mặt lý thuyết lẫn thực
nghiệm, trong việc nghiên cứu cấu trúc cùng với các cơ chế tương tác giữa
các hạt. Đến nay số hạt cơ bản phát hiện được đã lên tới hàng trăm, tương tác
với nhau theo các quy luật rất phong phú và đa dạng. Tìm hiểu được cấu trúc
của thế giới các hạt vi mô cùng với những quy luật tác động trong đó để tạo ra
thế giới xung quanh ta ra sao là những vấn đề cốt lõi của vật lý học hiện đại.
Sau sự phát triển của mẫu quark và lý thuyết Gauge không abelian của
tương tác mạnh và tương tác yếu, sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành
cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở
thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức,
phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn…. Việc nghiên cứu các
dao động tử mà trong đó các toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo các hệ
thức giao hoán nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang học
lượng tử, các bài toán phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làm
chính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô. Gần đây
việc mở rộng nghiên cứu về biểu diễn dao động đã thu hút được sự quan tâm
của rất nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng

1


dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các

phương trình vi phân phi tuyến.
Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)” cũng nằm trong hướng
nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới quanh
ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô và từ đây “bức tranh” tổng quan về vật lý
học sẽ phần nào được hiện rõ.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hình thức luận của dao động tử điều hòa, đại số SU(2) và
biểu diễn dao động của đại số SU(2).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ
sau:
- Nghiên cứu và viết tổng quan về dao động tử.
- Xây dựng đại số SU(2).
- Biểu diễn dao động của đại số SU(2).
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động tử lượng tử.
- Nghiên cứu đại số SU(2) và biểu diễn dao động của chúng.
5. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng.
-

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.

-

Các phương pháp giải tích.

2

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.1. Dao động điều hòa
Xét chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m
chịu tác dụng của lực đàn hồi F   kx ( k là hệ số đàn hồi ).
Trong Cơ học cổ điển:
Chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương trình định luật II
Newton
F  ma
d 2x
  kx  m 2
dt
  kx  mx ''
k
 x ''  x  0
m
 x ''   2 x  0.

Với  2 

k
k
hay  
.  là tần số góc.
m
m

Hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó

x  A.sin( t   ).
Với A là biên độ dao động.

 là pha ban đầu của dao động.
Ta có:
Động năng T :
1
T  mv 2
2
1
 mx 2
2
1
 mA2 2 cos 2 ( t   ).
2

3


Thế năng V :
V    Fdx
1
 kx 2
2
1
 mA2 2 sin 2 ( t   ).
2

Năng lượng toàn phần E của hạt
E  T V

1
1
 mA2 2 cos 2 ( t   )  mA2 2 sin 2 ( t   )
2
2
1
 m 2 A2 .
2

Vậy ứng với mỗi giá trị của  , năng lượng có thể có những giá trị liên
tục, tỉ lệ thuận với biên độ A .
Ta có vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ
v

dx
 A sin( t   )
dy
x2
 A 1  2
A

Gọi  

2



là chu kì dao động.

 Xác suất mà hạt vĩ mô nằm trong khoảng từ x  x  dx với dx  vdt

bằng:
dwCD ( x ) 

dt





dx
x2
2 A 1  2
A

.

1.2. Biểu diễn tọa độ của dao động điều hòa
Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa. Thế năng của hạt là:

1
1
V ( x)  kx 2  m 2 x 2 .
2
2
4


Toán tử Hamiltonian có dạng
pˆ 2 1 2

ˆ
ˆ
ˆ
H  T U 
 kx .
2m 2
ћ2 d 2 1 2
ˆ
 H 
 kx .
2m dx 2 2

Trạng thái lượng tử của hạt với năng lượng E được diễn tả bằng hàm
sóng  ( x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động
của hạt vi mô)
Hˆ ( x)  E ( x )
ћ2 d 2 1 2
[ 
 kx  ( x)]  E ( x)
2m dx 2 2

(1.1)

Đặt:
mk 14
m
 ( 2 ) 
;
ћ
ћ



(*)

2E m 2E

.
ћ k ћ

Dùng biến không thứ nguyên:    x
Thay vào phương trình (1.1) ta được:
d 2  2 m2 2
2mE
(1.1)  [ 2  2 x ] ( x )   2  ( x)
dx
ћ
ћ
2
d
2m ћ
 [ 2   4 x 2 ] ( x )   2
 ( x )   2 ( x )
dx
ћ 2
2
d

[
  2 2 + 2 ] ( )  0



d ( )2



[

d2

  2 + ] ( )  0
2
d


d2
 [ 2   2 + ] ( )  0
d

5

(1.2)





Với  ( )   ( ) hữu hạn tại   0 và giới nội khi    .
Dáng điệu của  ( ) ở lân cận  là:

 ( ) exp( 

2
2

)

Nghiệm (1.2) có dạng:

 ( )  v( )exp(

2
2

).

(1.3)

Với v( ) là hàm cần xác định.
Thay (1.3) vào (1.2) ta được
d2
2
2
[ 2   + ] v ( )exp( )  0
d
2
d
2
2
2

2
 [v '( )exp(  )  v ( ) exp( )]  (   )v( )exp( )  0
d
2
2
2
2

2

 [v ''( )  v( )  v ( )  2v '( )   v ( )   v( )]exp(

2
2

)0

 v ''( )  2v '( )  (  1)v( )  0

(1.4)

Trong đó:

v '( ) 

dv( )
;
d

v ''( ) 

d 2v( )
.
d 2

Ta tìm hàm v( ) dưới dạng chuỗi


v ( )   an n

( a0  0).

(1.5)

n0


v '( )   nan
n0


n 1

  ( n  1)an 1 n .

(1.5')

n 0





v ''( )   ( n  1)nan1 n 1   ( n  2)(n  1) an 2 n .
n 0

n 0

6

(1.5'')


Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được:


[(n  1)(n  2)a

n 2

 2nan  (  1) an ] n  0

n0


 [( n  1)(n  2) an 2  (2n    1)an ] n  0

(1.6)

n0

Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán
an  2 

2n  1  
an .
(n  2)(n  1)

(1.7)

Để  ( ) giới nội khi    thì chuỗi v( ) phải bị ngắt ở một bậc n
hữu hạn nào đó  2n  1    0    2n  1 .
Và theo (*) thì năng lượng E của dao động chỉ có thể nhận các giá trị
gián đoạn

1
E  En  (n  )ћ.
2

(n  0,1, 2...)

Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n  0 là:

1
E0  ћ được gọi là năng lượng không.
2
Sự tồn tại của năng lượng thấp nhất E0 chỉ có thể giải thích được trên
cơ sở lý thuyết lượng tử.
Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là

E, p, x . Sự tồn tại năng lượng E0  0 gắn liền với hệ thức bất định giữa
tọa độ và xung lượng của hạt

p.x 

ћ
2

Vì:
E 

p 2 1
k
ћ
 k x 2 
px 
.
2m 2
m
2

7


Quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không E0 .
Khi đó năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội
của năng lượng ћ
E  nћ.

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều

hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng ћ .
Để xác định dạng tường minh của hàm sóng  ( x) ta lưu ý rằng với

  2n  1 phương trình (1.4) trở thành
v ''( )  2 v '( )  2nv( ).
Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình:
H n ''( )  2 H n '( )  2nH n ( )  0

So sánh hai phương trình trên ta có:
v ( )  vn ( )  N n H n ( ).

Với N n là hệ số chuẩn hóa và do đó:

 ( x )   n ( x)  N n H n (  x) exp( 

 2 x2
2

)

Sử dụng điều kiện chuẩn hóa đối với hàm  n ( x) :




2
  n ( x) dx 



Nn



2 



2

H n2 ( )e  d   1



Đa thức Hermite có dạng tường minh
 n  2
H n ( )  (1) e
e
 n
n(n  1)
n( n  1)(n  2)( n  3)
 (2 ) 2 
(2 ) n 2 
(2 )n4  ...
1!
2!
n 2

Đặt:


2

I   H n2 ( )e  d .


8

(**)


Tính tích phân




2
n

I   H ( )e

 2



d n  2
d   ( 1)  H n ( ) n e d  .
d

n



d n 1  2
Trong đó I  (1)  H n ( ) n e .
d

n

 d n 1  2 
Đặt u  H n ( ); dv  d  n 1 e  .
 d


du 

Suy ra
v

d
H n ( )d
d

d n 1  2
e
d n1


d
d n1  2
 I  ( 1) 

H n ( ) n 1 e d .
d
d

n

Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta thu được:


 I  ( 1) n (1) n  e 

2



dn
H n ( )d  .
d n

(***)

dn
H n ( )  n( n  1)(n  2).....1.2n  2n.n!
n
d

Áp dụng tích phân Poisson


I2a 

x

2 n  ax

e

dx 



(2n  1) 
2n
2n 1



Thì:

e

 2

d   .



Thay các kết quả vào (***) ta được:
I  2 n.n!.  .
1



1
 m  4
Thay I vào (**) ta có: N n  n

 . n .
2 .n!     
2 .n!
9


Có

 n ( x)  N n H n (  x).e



 2x2
2

1

m 2
 m 

x
1
 m  4

2

.H n 
x .
 . n .e
  
2 .n!
  

Như vậy năng lượng E của dao động tử điều hòa với (n  0,1,2...) bị
lt
lượng tử hóa, năng lượng nhỏ nhất Emin



khác với lý thuyết cổ điển
2

CD
Emin
 0.

Xác suất dwlt n ( x) của hạt có năng lượng En có thể tìm thấy trong
khoảng từ x  x  dx là:
dwlt n ( x)   ( x) 2 dx.

Vậy ta có
dwCD ( x ) 

dt





1
2 A

dx
1

x2
A2

dwlt n ( x )   ( x ) 2 dx.

1.3. Biểu diễn số hạt của dao động điều hòa
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng
phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian ta có:
2 d 2 1 2
Hˆ  
 kx .
2m dx 2 2

(1.8)

Để thuận tiện hơn, thay các toán tử tọa độ x và xung lượng i
bằng các toán tử tọa độ và xung lượng chính tắc mới:

10

d
dx


 qˆ  mx

x
i

d
 d
 pˆ  i
.
dx
m dx

Hệ thức giao hoán của pˆ và qˆ vẫn là [pˆ , qˆ ]  i
Thật vậy, ta có:
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ.
[pˆ , qˆ ]  pq

Cho cả hai vế của biểu thức trên tác động vào hàm  ( x)
i d
i d
mxˆ  mxˆ (
) ] ( x)
m dx

m dx
d
d 

  i xˆ  ixˆ  ( x)
dx
dx 


ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ ) ( x)  [ 
( pq

d
d 

  ixˆ  i  ixˆ  ( x)  i ( x)
dx
dx 

 [pˆ , qˆ ]  i

+ Biểu diễn toán tử Hamiltonian (1.7) cho pˆ , qˆ là:
2 d 2 1 2
ˆ
H 
 kx
2m dx 2 2

Với k  m 2

2 d 2 1
ˆ
H 
 m 2 x 2
2
2m dx
2
1
 ( pˆ 2   2 qˆ 2 ).
2
pˆ 

Đặt


(aˆ  aˆ  )
2

(1.9)
qˆ  i

;


(aˆ  aˆ  )
2

Các toán tử aˆ , aˆ  xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngược lại qua pˆ , qˆ
như sau:

aˆ 

1
( pˆ  i qˆ )
2 

,

11

aˆ  

1
( pˆ  i qˆ )
2 


Ta thấy: [aˆ , aˆ  ]  1
Vì:

(1.10)

ˆ ˆ   aˆ  aˆ.
[aˆ , aˆ  ]=aa

1
1
( pˆ  i qˆ )( pˆ  i qˆ ) 
( pˆ  i qˆ )( pˆ  i qˆ )
2

2
1
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ )]

[2i ( pq
2

 [aˆ , aˆ  ] 

 [aˆ , aˆ  ] =

1
[2i (i)]  1.
2

Ta có:
1  

Hˆ  [
(aˆ  aˆ ) 2   2i 2
(aˆ  aˆ  ) 2 ].
2 2
2

Suy ra:
1
ˆ ˆ  ) 
Hˆ  (2aˆ  aˆ  2aa
4

1
ˆ ˆ  ) 
 (aˆ  aˆ  aa
2
1
 [aˆ  aˆ  (1  aˆ  aˆ )]
2
1

   aˆ  aˆ  
2


(1.11)

(1.12)

Để nghiên cứu phổ năng lượng của dao động điều hòa ta quy về bài
toán tìm véctơ riêng của Hˆ . Phương trình (1.12) trong đó aˆ , aˆ  thỏa mãn hệ
thức giao hoán (1.10).
Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới Nˆ  aˆ  aˆ

(1.13)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.10) kết hợp với định nghĩa (1.13) ta có
ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  ( aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ )
[Nˆ , aˆ  ]=Na
 aˆ  [aˆ , aˆ  ]=aˆ  .

ˆ ˆ  aN
ˆ ˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ  (aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  )aˆ
[Nˆ , aˆ ] =Na
 [aˆ , aˆ  ]aˆ =  aˆ.

12


[Nˆ , aˆ  ]=aˆ  hay

Vậy:

Nˆ aˆ  = aˆ  ( Nˆ  1)

[Nˆ , aˆ ]=  aˆ hay Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ  1)

(1.14)
(1.15)

+ Nếu ta kí hiệu n là véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n
Nˆ n  n n .



(1.16)

Từ phương trình (1.16) ta có:

n

Vì

n  Nˆ  n
nn



n  aˆ  aˆ  n
nn

 0.

(1.17)

n  n    n (r ) 2 dr  0.

Và:
n  Nˆ  n  n  aˆ  aˆ  n   aˆ n (r ) 2 dr  0
 n  0.

Vậy ta có các giá trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm.
Xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác động lên n
được aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng công thức
(1.15) ta được:
 Nˆ , aˆ   aˆ  Nˆ aˆ = aˆ ( Nˆ  1)


 Nˆ aˆ n = aˆ ( Nˆ  1) n

 aˆ (n  1) n
 ( n  1)aˆ n .

Hệ thức vừa thu được có nghĩa là aˆ n cũng là một véctơ riêng của
toán tử Nˆ nhưng ứng với trị riêng (n  1) . Tương tự như vậy ta dễ dàng
chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng
với trị riêng (n  2), (n  3) ,….

13


Tiếp theo xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ  tác
động lên n . Đó là véctơ trạng thái aˆ  n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này
toán tử Nˆ và sử dụng công thức (1.14) ta được:
 Nˆ , aˆ    aˆ   Nˆ aˆ  = aˆ  ( Nˆ  1)


ˆ ˆ  n = aˆ  ( Nˆ  1) n  aˆ  (n  1) n  ( n  1) aˆ n .
 Na

Hệ thức trên cũng có nghĩa là aˆ  n cũng là một véctơ riêng của toán
tử Nˆ nhưng ứng với trị riêng (n  1) . Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng
chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử Nˆ
ứng với trị riêng (n  2), (n  3) ,….
Vậy ta có nếu n là một véctơ riêng của toán tử Nˆ nhưng ứng với trị
riêng n thì với p  1,2,3,... ta có aˆ p n cũng là một véctơ riêng của toán tử Nˆ
ứng với trị riêng (n  p) và aˆ  p n cũng là một véctơ riêng của toán tử Nˆ
ứng với trị riêng (n  p) nếu chúng khác 0.
Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử Nˆ
thì chuỗi các số không âm (n  1), (n  2) , … cũng là trị riêng của toán tử Nˆ

.Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin .
Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin . Ta có:

aˆ nmin  0

(1.18)

Thật vậy vì khi đó véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin  1  0 , trái với
giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất . Từ (1.18) ta suy ra:
aˆ  aˆ nmin  Nˆ nmin  0.

Mặt khác theo định nghĩa của nmin ta có Nˆ nmin  nmin nmin  0 .So
sánh hai phương trình ta có:

14


Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin  0 . Véctơ trạng thái ứng với
trị riêng của toán tử Nˆ được kí hiệu là 0 . Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều
kiện aˆ 0  0 .
Khi đó:
aˆ  0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n  1 ,
aˆ 2 0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n  2 ,…
aˆ  n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n .

Vì :
1
1



Hˆ   aˆ  aˆ      Nˆ    .
2
2



Nên:

1
0 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E0  
2
1
1 là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng E1  (1  ) , …
2
1
n là véctơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng En  (n  ) .
2
Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián
đoạn với các giá trị cách đều nhau: hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề
nhau luôn luôn bằng cùng một lượng tử năng lượng  . Trạng thái 0 có
năng lượng thấp nhất là E0 . Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0  
có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng
thái 0 . Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1    E0  2 có thể
được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái

1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 …

15

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi 0 là trạng thái
không chứa một lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng
thái chứa hai lượng tử; … ; n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử Nˆ có
giá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số
lượng tử năng lượng. Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ
với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán
tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 và do đó được
đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng.
Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì Nˆ sẽ là toán
tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ  sẽ là toán tử sinh hạt. Khi đó, trạng thái
n với năng lượng En  n sẽ là trạng thái chứa n hạt. Đó là biểu diễn số

hạt của dao động tử điều hòa.
Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa
có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng  . Khái niệm
“hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện. Thực chất, đó là các “giả hạt”, một khái
niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong
Vật lý các môi trường đông đặc.
Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ  n ,  n ,  n trong các hệ thức:
aˆ n   n n  1
aˆ  n   n n  1

(1.19)

n   n aˆ  n 0

Sao cho các véctơ trạng thái là trực giao chuẩn hóa

m  n   mn
+ Tính  n : từ (1.17) và (1.19) và sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa vừa

viết ta có:

16


n  n  aˆ  aˆ  n  (aˆ n )* ( aˆ n )   n n n  1  n  1   n2
  n  n.

+ Tính  n : n  n  aˆ  aˆ  n
Vì:

ˆ ˆ    1  aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ 1
[aˆ  , aˆ ]  aˆ  aˆ  aa

Nên:
ˆ ˆ   1  n  n  aa
ˆ ˆ   n n  1  n
n  n  aa
 ( aˆ  n )* ( aˆ  n )  ( 1)   n* n n  1  n  1  1
  n2  1
  n  n  1.

+ Tính  n xét trạng thái

aˆ  n 0  aˆ  ( n1) aˆ  0  0 aˆ  ( n1) 1   0aˆ  ( n2) aˆ  1
 0 1aˆ  ( n3) aˆ  2   0 1 2 aˆ  ( n4) aˆ  3
 0 1 2 ... n1aˆ  ( nn1) aˆ  n  n! n .
Do đó:1  n  n   n

2

Coi  n là thực   n 

0  aˆ n aˆ  n  0   n 2 n!
1
n!

Như vậy, ta đã thiết lập được các công thức quan trọng sau:
Nˆ n  n n
aˆ 0  0
aˆ n 

n n 1

aˆ  n  n  1 n  1
n 

1 n
aˆ 0 .
n!

17

( n  0)
( n  0)


CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ SU(2)

2.1. Đại số SU(2)
2.1.1. Định nghĩa
Tập hợp tất cả các ma trận 2  2 , Unita, có định thức bằng 1, thỏa mãn
các tính chất của nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2).
Mọi phần tử g của nhóm đối xứng SU(2) đều biểu diễn dưới dạng:
g SU(2):

gg   I

(2.1)

det g  1

(2.2)

2.1.2. Nhóm biến đổi SU(2)
Nhóm đối xứng SU(2) phụ thuộc vào 3 tham số thực.
Nếu a là vô cùng bé thì g  eia Ia  U

(a  1,3)

Các ma trận I a phải thỏa mãn điều kiện:
Ia  Ia 

(2.3)

Sp ( I a )  0.

(2.4)

Sp( I a ) : là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận.

Khi đó gđược gọi là nhóm biến đổi SU(2).
Thật vậy:
 Điều kiện (2.3): I a  I a  có được do xuất phát từ tính chất Unita:

gg   I
Ta có: g  eia I a .


Suy ra: g   e ia I a .
Xét với a là các vô cùng bé ta khai triển Furiê hàm mũ đến hạng bậc
nhất:

18


g  I  ia I a .
g   I  ia I a  .
 gg   ( I  ia I a )( I  ia I a  )
 I  ia I a  ia I a   a 2 I a I a 
 I  ia ( I a  I a  )  a 2 I a I a  .

Vì a là các vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua số hạng chứa a 2 so với

a :
 gg   I  ia ( I a  I a  ).
Mà gg   I
Từ đó:

I  ia ( I a  I a  )  I
 ia ( I a  I a  )  0
 Ia  Ia.
 Điều kiện: Sp ( I a )  0 được suy ra từ tính chất det g  1 . Ta có:
det g  e Sp ln g  e Sp ln e
e

ia I a

Spln( I ia I a )

 eia SpI a .

Vì:
det g  1  eia SpI a  1
 SpI a  0

 Lựa chọn ma trận I a : Ta có thể chọn I a (a  1,3) là các ma trận vuông
cấp 2 bất kỳ thỏa mãn hai điều kiện:
Ia  Ia 
Sp ( I a )  0.

19


Để đơn giản ta chọn

I a (a  1,3) là các ma trận có dạng

a

2

với

 a (a  1,3) là các ma trận Pauli:
0
1

1
;
0 
 0 i 
2  
;
 i 0
1 0 
3  
.
 0 1 

1  

Các ma trận I a thỏa mãn điều kiện giao hoán:

 I a , Ib   i abc I c

(a, b, c  1.3).

(2.5)

Trong đó  abc : Hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) ( a, b, c  1.3) .
Chứng minh: 3 ma trận I a được chọn như trên thỏa mãn các tính chất
của nhóm biến đổi SU(2).
Với I1 :

1 0
I1  I1c I1*   *
2 1
1 0
 
2 1

1* 

0
1
0 

 I1
Sp I1  0  0  0.
Tương tự với I 2 và I 3 cũng có:
(i )* 
1 0
I 2   I 2 c I 2*  

2  (i )* 0 
1 0  i
 
 I2
0 

2 i
Sp I 2  0  0  0.

20


Và:

1 1*
I3  I3 I  
2 0
c



0 

(1)* 
0
 1

*
3

1 1
 
20
 I3
Sp I 3  1  (1)  0.

Một số ví dụ để chứng minh  I a , I b   i abc I c

(a, b, c  1.3) .

Ta có:

 I a , I b   I a I b  Ib I a .
)  I1 , I 2   I1I 2  I 2 I1
1 0
 
4 1
1 i
 
40
1 1
i 
20
 123  1.

1  0
0 
 i

i 10

0  4  i

0  1  i

 i  4  0

 i  0
0 
 1

1
0 

1
i 

0
 iI 3
 1

)  I1 , I 3   I1I 3  I 3 I1
10
 
41
10
 
41
10
 i 
2 i
 132  1.

1  1
0 
 0

0  1 1

 1 4  0

 1 1  0

0  4   1

1
0 

i
 iI 2
0 

)  I1 , I1    I 2 , I 2  I 3 , I 3   0
 112  113   221   331...  0.

21

0  0
 1
 1

1
0 


Như vậy ta cũng tìm được các hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) như

sau: 123  132   213   321   312   231  1. Các hằng số cấu trúc còn lại
bằng 0.
2.1.3. Đa tuyến SU(2)
Xét r hạt mà hàm trường tương ứng i (i  1, r ) biến đổi như sau dưới
tác dụng của nhóm biến đổi SU(2):

i ( x)  i' ( x)  U i ( x)U 1
 e iaTa  ( x)  .
i

(2.6)

Trong đó Ta là các ma trận r  r thỏa mãn các điều kiện giống như I a
tức là:
Ta  Ta 

Ta ,Tb   i abcTc

(a, b, c  1,3)

SpTa  0.

 abc là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2).
Thì r hạt lập thành một đa tuyến r chiều củaSU(2).
Khi a vô cùng bé, khai triển Furiê và lấy đến số hạng gần đúng bậc
một ta được:
U  eia I a  I  ia I a


U   eia I a  I  ia I a 

e iaTa  I  iaTa

Thế vào biểu thức (2.6) ta được:
U i ( x)U 1  e iaTa  ( x) 

i



 ( I  ia I a )i ( x)( I  ia I a )  [( I  iaTa ) ( x)]i
 i ( x)  iai ( x ) I a   ia I ai ( x)  a 2 I ai ( x) I a   i ( x)  ia [Ta  ( x)]i .

22


Vì a là các vô cùng bé nên ta bỏ qua a 2 so với a .
 ia ( I ai ( x)  i ( x ) I a  )  ia [Ta ( x)]i
 ia ( I ai ( x)  i ( x ) I a )  ia [Ta ( x)]i

Do: I a  I a 
 ia [I a ,i ( x)]  ia [Ta ( x)]i
 [I a ,i ( x)]  [Ta ( x)]i
 [I a ,i ( x)]  (Ta )ij  j ( x)
 [I a ,i  ( x)]    j ( x)(Ta )ij .



Nếu Ta  0  i' ( x)  U i ( x)U 1   e 0 ( x )   i ( x). Biểu diễn chỉ có
i

một hạt. Hạt được gọi là hạt trơ hay hạt vô hướng.


Nếu số chiều của ma trận Ta bằng chỉ số của nhóm ( r  2 ) thì 2 hạt lập

thành một biểu diễn cơ sở của nhóm SU(2).
Ta chọn: Ta 

a
2

 a (a  1,3) là các ma trận Pauli:
0
1

1
;
0 
 0 i 
2  
;
 i 0
1 0 
3  
.
 0 1 

1  

Khi đó:

[I a , i ( x )]  (Ta )ij j ( x)  (

a
2

)ij j ( x)

( j  1,2)

a

( j  1, 2)

[I a , i  ( x )]    j ( x)(Ta )ij    j ( x)(

23

2

)ij .


Hai hạt proton và notron (p, n) lập thành một biểu diễn cơ sở của
SU(2).
Hàm trường của proton là:  1 .
Hàm trường của notron là:  2 .


Nếu số chiều của ma trận Ta bằng số thông số thực của nhóm SU(2)

( r  n 2  1  3 ) thì 3 hạt lập thành một biểu diễn chính quy của nhóm SU(2).
Ta chọn: (Ta )bc  i abc
 i111

T1   i121
 i
 131
 i 211

T2   i 221
 i
 231
 i 311

T3   i 321
 i
 331

 i112  i113   0 0 0 

 i122  i123    0 0  i  ;
 i132  i133   0  i 0 
 i 212  i 213   0 0 i 

 i 222  i 223    0 0 0  ;
 i 232  i 233   i 0 0 
 i 312  i 313   0  i 0 

 i 322  i 323    i 0 0  .
 i 332  i 333   0 0 0 

Khi đó:
[I a , i ( x)]  (Ta )ij j ( x)  ( i aij )j ( x)  i aijj ( x)

( j  1,3)

[I a , i  ( x)]   j ( x )(Ta )ij   j ( x)( i aji ).

( j  1,3)

Ba hạt  - meson (   ,  0 ,   ) lập thành một biểu diễn chính quy của
SU(2).
Hàm trường của   là:   

1
(1  i2 ).
2

Hàm trường của  0 là:  0  3 .
Hàm trường của   là:   

24

1
(1  i2 ) .
2


2.2. Biểu diễn dao động của đại số SU(2)
Giả sử ta có các toán tử boson ai  i  1,2  thoả mãn các hệ thức giao

hoán:
 ai , a j   ij ,
 ai , a j   0

Các dao động tử boson đa mode:
ai a j  ( a j ai )  ij ,
 ai , a j   0

 2.7 

Toán tử số dao động tử mode i biểu diễn theo các toán tử ai , a j qua
công thức:
N i  ai ai

 2.8 

và tuân theo các hệ thức giao hoán sau:

 N i , N j   0
 N i , a j   a j ij ,

(2.9)

 N i , a    a j ij ,
j 

 i, j  1,2,3,...n 
Trạng thái chân không thỏa mãn điều kiện

 2.10 

ai 0  0
với mọi mode i .

Trạng thái có n1 dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2,… được
n

mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N   N i có
i 1

dạng:

25