Hệ phương trình bậc nhất (Phần 2)

HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
---phần 2--Biên soạn: Đặng Thị Phượng
Phạm Thị Thêu

III. ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ĐỂ XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ
TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG
Cách giải:
Cho hai đường thẳng  d1  và  d 2  có phương trình tổng quát là:

 d1  : A1 x  B1 y  C1  0
 d2  : A2 x  B2 y  C2  0
Bước 1: Thiết lập hệ phương trình được tạo bởi  d1  và  d 2  là:
 A1 x  B1 y  C1  0
 A x  B1 y  C1
 1

 A2 x  B2 y  C2  0
 A2 x  B2 y  C2

Bước 2: Biện luận hệ phương trình để xác định vị trí tương đối của  d1  và  d 2 
+ Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d1 / / d2


Dx Dx  
; 
 D D 

+ Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì d1  d 2  M 


+ Nếu hệ vô nghiệm thì d1  d2

Ví dụ: Cho hai đường thẳng  d1  và  d 2  có phương trình:

 d1  : kx  y  k  0
 d2  : (1  k 2 ) x  2ky  (1  k 2 )  0
a) Chứng minh rằng khi k thay đổi thì đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định.
b) Với mỗi giá trị của k hãy xác định giao điểm của  d1  và  d 2 
c) Tìm quỹ tích giao điểm đó khi k thay đổi

Giải:
Gọi M  x; y  là điểm cố định mà đường thẳng d1 luôn đi qua với k
 kx  y  k  0 với k
 x  1
 ( x  1)k  y  0k  
 y0

Vậy với k đường thẳng d1 luôn đi qua một điểm cố định M  1;0 
kx  y  k  0

b) Xét hệ phương trình 

2
2
(1  k ) x  2ky  (1  k )  0

Ta có: D  1  k 2 ; Dx  1  k 2 ; Dy  2k

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!

 1  k 2 2k 
;
2
2 
 1 k 1 k 

Vì D  1  k 2  0k nên  d1  và  d 2  luôn cắt nhau tại M  x; y   M 


1 k 2
2
2 2
x

2

2
 1  k 2   2k  1  k 
1

k
2
2
c)Từ hệ phương trình ta có 
 x  y 


1
2

2 
2 
 1  k   1  k  1  k 2 
 y  2k

1 k 2

Vậy quỹ tích giao điểm của đường thẳng  d1  và  d 2  là đường tròn x2  y 2  1
Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho a2  b2  0 và hai đường thẳng  d1  và  d 2  có phương trình:
(d1 ) : ax  by  a  b và  d2  : bx  ay  a  b

a) Xác định giao điểm của  d1  và  d 2 
b) Tìm quỹ tích tọa độ giao điểm khi d thay đổi.
Bài 2: Cho Cho a2  b2  0 và hai đường thẳng  d1  và  d 2  có phương trình:
(d1 ) : (a-b)x  y  1 và  d2  :  a 2  b2  x  ay  b

a) Xác định giao điểm của  d1  và  d 2 
b) Tìm điều kiện của a và b để giao điểm đó thuộc trục hoành.
V. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
a1 x  b1 y  c1 z  d1
Dạng tổng quát: a2 x  b2 y  c2 z  d 2 trong đó các hệ số cả ba ẩn x, y, z trong mỗi phương trình
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

của hệ không đồng thời bằng 0.
Phƣơng pháp

Nguyên tắc chung: Khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn
ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế
giống như đối với hệ phương trình hai ẩn.
 x  y  z  2 1

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x  2 y  3z  1 2 

2 x  y  3z  1 3

Giải
Từ 1 ta có: z  2  x  y  4
Thay thế z trong  4  vào  2  và  3 ta được:
x  2 y  3 2  x  y   1  2x  y  5
2 x  y  3  2  x  y   1  x  2 y  7

ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


2 x  y  5  6 
Ta thu được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc: 

 x  2 y  7  7 
4 x  2 y  10
Nhân cả 2 vế của  6  với 2 và giữ nguyên  7  ta được: 
x  2 y  7

Trừ vế với vế của 2 phương trình này ta được: 3x  3  x  1
Thay vào  4  và  6  tính được y  3 ; z  2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1;3; 2 
1

x  2 y  2z  2

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2 x  3 y  5 z  2
4 x  7 y  z  4



Giải
Cách 1: Nhân hai vế phương trình thứ nhất với -2 rồi cộng vào phương trình thứ 2 theo từng
vế tương ứng, nhân 2 vế của phương trình thứ nhất với 4, rồi cộng vào phương trình thứ 3
1

x

2
y

2
z


2

theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình ( đã khử x ở 2 pt cuối)  y  z  3
 y  9 z  2



Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ 2 và pt thứ 3 của hệ mới nhận được, ta
1

x  2 y  2z  2

được hệ phương trình dạng tam giác  y  z  3
10 z  5


1
5
7
Ta dễ dàng giải được z   ; y  ; x  
2
2
2
7 5 1
Vậy nghiệm của hệ pt là: ( x; y; z )  ( ; ; ) .
2 2 2

Cách 2: Rút 1 nghiệm từ 1 pt thế vào 2 pt còn lại , ta được 1 hệ pt bậc nhất 2 ẩn và dễ dàng
giải được.
Bài tập tự luyện:
Giải các hệ phương trình sau:
2 x  3 y  5 z  13

1. 4 x  2 y  3z  3
 x  2 y  4 z  1


x  y  z  3

2. 2 x  y  z  2
x  z  3


x  y  z  3

5. 2 y  3z  5
3 z  3

 x  4 y  9 z  110

6. 2 x  3 y  15 z  100
11x  4 y  3z  10


ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!


x  3y  2z  1
3. 4 y  3z  3 / 2
2 z  3

 x  2 y  2 z  1/ 2
4. 2 x  3 y  5 z  2
4 x  7 y  z  4


2 x  y  3z  4
7. 3x  2 y  2 z  3
5 x  4 y  2

 x  y  16
8.  y  z  28
 z  x  22


ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961
hoặc gửi email tớ hòm th : Trân trọng!