tinh the tich hinh chop 3 goc

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a
·
·
·
và ASC
=1200 ; BSC
=900 ; ASB
=600 .
Tính thể tích của hình chóp
Giải : Gọi H là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SH ⊥ AC (1)
+ ∆ BSC vuông tại S => BC =a 2
A
·
+ ∆ ASB cân tại S ; ASB
=600 => AB=a
·
+ ∆ ASC cân tại S ; ASC
=1200
AC2 = SA2 +SC2 −2SA.SC.cos1200 =3a2
=> AC= a 3 ; SH =

2
 AC  a
SA 2 − 
÷ =
 2  2

S

H

C
B

Tam giác ABC có AB2 +BC2 =AC2 (=3a2)
AC
=> ∆ ABC vuông tại B => BH =
=;
2
a 2 3a 2 2
Ta có SH2 +BH2 =
+
=a =SB2 => ∆ SHB vuông tại H
4
4
=> SH ⊥ HB (2)
Từ (1) và (2) suy ra : SH ⊥ (ABC)
1
1
a2 2
Và SABC = AB.BC= a.a 2 =
2
2
2
1
1 a a2 2 a3 2
Thể tích của hình chóp : V.SABC = SH.SABC =
=
3
3 2 2
12

·
·
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ASC
=1200 ; BSC
·
=900 ; ASB
=900 . Tính thể tích của hình chóp
Giải : Theo đề bài : SB ⊥ SC ; SB ⊥ SC => SB ⊥ (ABC)
1
1
3 a2 3
SASC = SA.SC.sin1200 = a.a.
=
2
2
2
4
1
1 a2 3 a3 3
Thể tích của hình chóp : V.SABC = SB.SASC = a.
=
3
3
4
12
·
·
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ASC
=900 ; BSC
0 ·

0
=60 ; ASB =60 . Tính thể tích của hình chóp
Giải :C1: + ∆ ASC vuông tại S => AC =a 2
·
+ ∆ ASB cân tại S ; ASB
=600 => AB=a


·
+ ∆ BSC cân tại S ; BSC
=600 => BC=a
Gọi I là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SI ⊥ AC
∆ ABC cân tại B => BI ⊥ AC
A
=> (SBI) ⊥ AC
+ Gọi H là hình chiếu của S lên BI
Ta có SH ⊥ BI
Và
SH ⊥ AC ( vì AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) )
Suy ra SH ⊥ (ABC)

S

I
H

C

B

2

 a 2  a2
a
Tam giác ABI vuông có BI =AB −AI =a − 
= => BI =
÷
÷
2
2
 2 
a2
2
2
2
AC a
2
· = SB + BI − SI =
· =450
a =
Và SI=
=
; cos SBI
=> SBI
2.a.
2
2
2.SB.BI
2
2

SH
a 2
·
Tam giác SHB vuông tại H có sin SBH
=
=> SH=
SB
2
2
1
1 a
a
Và SABC = BI.AC=
.a 2 =
2
2
2
2
1
1 a 2 a2 a3 2
Thể tích của hình chóp : V.SABC = SH.SABC =
=
3
3 2 2
12
C2: + Gọi H là hình chiếu của B lên mp(SAC)
B
+ M,N lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh SA,SC
Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM
SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN

Suy ra ∆ SBM = ∆ SBN
·
·
Vì SB chung ; 1góc vuông; BSM
= BSN
=600
A
=> SM=SN ; HM=HN
H
B
SM
a
M
·
cos BSM
=
=> SM=
N
SB
2
S
·
Theo chứng minh trên => SH là phân giác góc ASC
SM
a
a
2
2
SH=
=

=>
BH
=
=
SB
−
SH
·
2
2
cos MSH
S
M
2

2

2

2

C


1
a2
SA.SC.sin900=
2
2
1

1 a a2 a3 2
Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC =
=
3
3 2 2
12
·
·
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a và ASC
=900 ; BSC
·
=1200 ; ASB
=1200 . Tính thể tích của hình chóp
S
Giải :C1: + ∆ ASC vuông tại S => AC =a 2
0
·
+ ∆ ASB cân tại S ; ASB =120 => AB=a 3
·
+ ∆ BSC cân tại S ; BSC
=1200 => BC=a 3
SSAC =

Gọi I là trung điểm của AC
Vì ∆ SAC cân tại S => SI ⊥ AC
A
∆ ABC cân tại B => BI ⊥ AC
=> (SBI) ⊥ AC
+ Gọi H là hình chiếu của S lên BI
B

Ta có SH ⊥ BI
Và
SH ⊥ AC ( vì AC ⊥ (SBI) , SH ⊂ (SBI) )
Suy ra SH ⊥ (ABC)

H
I

2

C

 a 2  5a 2
Tam giác ABI vuông có BI =AB −AI =3a − 
÷
÷= 2
 2 
3a 2
2
2
2
3
AC a
a 5
SB
+
BI
−
SI
· =

=> BI =
; SI=
=
; cos SBI
=
a 5=
2.a.
2
10
2
2.SB.BI
2
2
1
· = 1 − cos 2 SBI
·
=> sin SBI
=
10
a
SH
·
Tam giác SHB vuông tại H có sin SBH
=
=> SH=
10
SB
1
1 a 5
a2 5

B
Và SABC = BI.AC=
.a 2 =
2
2 2
2
1
1 a a2 5 a3 2
Thể tích của hình chóp : V.SABC = SH.SABC = A
=
3
3 10 2
12
C
C2: + Gọi H là hình chiếu của B lên mp(SAC)
+ M,N lần lượt là hình chiếu của H lên cạnh SA,SC
Ta có : SA ⊥ HM ; SA⊥ BH => SA ⊥ BM
S
M
N
H
2

2

2

2

SC ⊥ HN ; SC⊥ BH => SC ⊥ BN
Suy ra ∆ SBM = ∆ SBN
·
·
Vì SB chung ; 1góc vuông; BSM
= BSN
=600
·
·
( Kề bù với BSC
; ASB
)
=> SM=SN ; HM=HN
B
SM
a
·
cos BSM
=
=> SM=
SB
2
·
Theo chứng minh trên => SH là phân giác góc MSN
SM
a
a
1200
SH=
=

=> BH = SB2 − SH 2 =
·
2
2
cos MSH
S
M
A
2
1
a
SSAC = SA.SC.sin900=
2
2
1
1 a a2 a3 2
Thể tích hình chóp : VSABC = BH.SSAC =
=
3
3 2 2
12


S

S

C

M

A
N

C

M

K

A
K
B

N

B