Khoá luận tốt nghiệp toán học hoàn thiện hệ thống bài tập hình học xạ ảnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Nguyễn Thị An

HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ
ẢNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán học

Người hướng dẫn khoa học: ThS. PHẠM THANH
TÂM

Lời cảm ơn

Hà Nội - 2015

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các
thầv cô giáo trong khoa Toán, các tliầv cô trong tổ hình học đã tận tình giảng dạy, dìu dắt và giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập tại khoa.
Dặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc Iiliất tới thầy giáo

PỈIẠM THANH TÂM, người đã tận tình hướng

dẫn, chỉ bảo và đóng góp những V kiến quý báu giúp tôi thực hiện khoá luận nàv.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cỏ vũ, động
viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hục tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.


Do bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn hạn chế nên klioá luận không tránh
khỏi Iiliững thiếu sót. Tôi rất mong nhận được Iiliững đóng góp, bổ sung quý báu từ các thầy cô và các bạn để

tôi có thể hoàn thành khoá luận này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
H à N ộ i , ng à y 0 5 t há ng 5 n ăm 20 15

Sinh viên

Nguyễn Thị An

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khoá luận này là kết quả của quá trình hục tập và nghiên cứu của bản thân cùng với sự
giúp đỡ của các thầy cỗ, các bạn sinh viên khoa Toán trường DHSP Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình
của thầy

PHẠM THANH TÂM. Trong

quá trình làm klioá luận tôi có tham khảo Iiliững tài liệu có liên quan

đã được liệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khoá luận

"HOÀN THIỆN HỆ THỐNG BÀI TẬP HÌNH

HỌC XẠ ẢNH" không có sự trùng lặp với các khoá luận khác.
H à N ộ i , ng à y 0 5 t há ng 5 n ăm 20 15

Nguvễn Thị An

Sinh viên

Mục lục

Lời mở đầu
1.

Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng đời sống tliực tiễn cũng Iiliư trong nghiên cứu khoa học.
Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác. Trong đó, hình học
là một. bộ phận tương đối khó của toán học.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về hình
học xạ ảnh thông qua các bài tập, tôi đã chọn đề tài "Hoàn thiện hệ thống bài tập hình học
xạ ảnh" làm klioá luận tốt nghiệp.

2.

Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về hình học xạ ảnh trong chương trình đại học, cao đẳng sư phạm. Hoàn thiện hộ
thống lời giải các bài tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình được liọc.

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các bài tập hình học xạ ảnh theo nội dung chương trình hình học xạ ảnh.
Các tài liệu tham khảo liên quan đốn hình hục xạ ảnh.

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại các dạng bài tập theo nội đung và hoàn thiện hệ thống bài tập đó.

5.

Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp nghiên cứu tài liệu.

Phương pháp tổng kốt kinh nghiệm.


Chương 1
Không gian xạ ảnh
Trong chương này chúng t.a cần chú ý tới một số khái niệm cd bản sau:
1.1. Không gian

xạ ảnh
p, một K-không gian vectơ n +1 chiều

Cho một tập hợp

P : [l

/n+1

] —*

P. Khi

đó, bộ ba (P,p,v

n+1

N L

) được gọi

II chiều
trường K, liên kết với

V + ,và một

K-không gian vectơ

VN+L

song ánh

là khônggian xạ

ảnli

trên
bởi

song ánh p.

1.2. m-phẳng

{P , p, v n+1 ). Gọi w là không gian vectơ con m +1 chiều của V +
P ( [ W ] ) được gụi là cái phẳng m chiều (hoặc m-phẳng) của P .

Cho không gian xạ ảnh
(m>0). Khi đó tập hợp

N

N L

N

1.3. Phương trình tổng quát của m-phẳng
Một m-phẳng

A (m

> 1) có thể xem là giao của n-m siêu pliẳng độc lập. Do đó phương

trình của m-phẳng Q có dạng

[ ^rO^O “ 1“ • • • “ 1“
với

U X 0
RN

N

rank (ƯIJ) = n - m.

1.4. Mục tiêu xạ ảnh

Trong p u = (P,
tiêu xạ ảnh nếu

p, V + ) một bộ 11+2
điểm (SI), ...,
mọi n +1 điểm trong bộ đó đều độclập.
N L

E) sẽ được gọi là một mục
Các điểm

S0, . . . , S

N

gọi là

các đỉnh, điểm E gọi là điểm đơn vị.

(S0,
S ; E) là một mục tiêu khi và chỉ khi có thể tìm được
~E , ~E lần lượt đại diện clio các điểm (So, S \ E sao clio ~E = ~Ề + ...
~Ề . Bộ vect.d {~Ề0, . . . , ~ỀN) là một.cd
sở của v n+1 , ta gọi

Bộ n + 2 điểm
các vectơ ~e\),

+

N

N

N

Ữ

N

cơ sở nàv
là cơ sở đại diệncho mục tiêu (S0, . . . , SN\ E ) .
1.5. Tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng
Trong K - không gian xạ ảnh p n liên kết với VN+Ì cho bốn điểm thẳng liàng A, B,

V —^

c, D trong đó ba điêm A, B, c đôi một không trùng nhau. Ta gọi

^

A , B , C , CL là các vectơ

lần lượt đại diện cho các điểm A, B, c, D thì các veetơ đó thuộc một không


„ ____________^ ^ ,
gian vectơ 2 chiên, trong đó

A và B độc lập

tuyên tính. Ta suy ra các sô Ả, - 1,

I] và

Ả; 2 ,

L2

sao cho:
c = ỈCị ữ l\ b
d = A '2 o ỉ 2 b
Khi đó, nếu tỉ số — : — có nghĩa tức là /2 7^ 0, thì nó được gọi là t.ỉ số kép của 4
điểm thẳng hàng A, B, c, D và ký hiệu là [A, B, c, D].
Nêu

,k '
Ỉ2 = 0 thì phân sô —- không có nghĩa, khi đó ta xcm tỷ sô kép cua 4 đi
2

h

B, c, D là oc.

L2 LỊ

cm A,

1.6. Chùm siêu phang
Trong không gian xạ ảnh p ?l , tập hợp các siêu phẳng cùng đi qua một (n-2)-phẳng được

gọi là chùm sicui phẳng với giá là (n- 2)-phẳng đó.
Clio bốn siêu pliẳng u, V, w, z tliuộc một chùm, trong đó Ư, V, w đôi một phân biệt.
Nếu d là đường thẳng cắt bốn siêu phẳng đó lần lượt tại các điểm A, B, c, D (không cắt giá
của chùm) thì tỉ số kép của bốn điổm đó không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.
Tỉ số kép nói trên được gọi là

TỈ SỐ KÉP CỦA CHÙM BỐN SIÊU PHẲNG,

ký

hiệu
[ U , V, w, z \ .
1.7. Đối ngẫu
Trong p n hai cặp khái niệm sau gọi là đối Iigẫu nguyên tliuỷ;
( m-phẳng ; (n-m-l)-phẵng)
(k-phẳng thuộc vào m-phẳng; (m-k-l)-phẳng chứa (n-m-l)-phẵng)
(Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng; tỷ số kép của bốn siêu phẳng thuộc một chùm).
Giả sử y là một mệnh đề nói về những cái phẳng của p n và quan hộ liên thuộc giữa
chúng. Nếu thay trong

7

mỗi từ m-phẳng bằng từ (n-m-l)-phẳng, từ ’thuộc vào’ bằng từ

’cliứa’, từ ’chứa’ bằng từ ’thuộc vào’, CÒI 1 các từ khác để nguvên till y trở tliànli

T

K

gọi là

mệnh đề đối ngẫu của
Nếu y là định nghĩa của một khái niệm N thì

'Ĩ>

K

là định nghĩa của một khái niệm N*

nào đó. Khái niệm N* được gụi là khái niệm đối ngẫu của N.
Nguyên tắc đối ngẫu: Nếu

7 là một định lý thì Y

K

là một định lý.

BÀI TẬP

1.1Không gian xạ ảnh
Bài tập 1.1.1.
1.

C h ứn g m in h r ằn g t ro ng k hô ng g ia n x ạ ản h

Q ua ha i đ i êm p hâ n b i ệ t c ó mộ t v à c h ỉ m ộ t đ ườ ng t ỉ i ẳn g .

p2.


2.

H a i đư ờn g t h ẳn g p hâ n b i ệ t c ó du y nh ấ t m ộ t đ i ểm c hu nq .
Giải

1.

„

Y — Y Y —^
A , B thì A , B
,
y
độc lập t.\iyên tính. Do đó có duy nliât. một không gian vectơ 2-chiêu < B >
__° 2
chứa A , B . Suy ra có duy nhât một đường thăng của p chứa A, B.

Giả sử A, B là hai điôm phân biệt của p , đại diện bởi hai vectơ

v

2.

Giả sử

A, (3 là hai đường thẳng phân biệt của p 2 .

Nếu tt n

8 = 0, thì

dim

A + dim P = dim(ci + 3) - 1 hay 1 + 1 = 2 - 1, vô lý!

Vậv

A n /3 Ỷ 0 dim tt + dim = dim (tt + Ị3) + dim(a n 8).
P) = 0, tức là A n P tại một điểm.

Suy ra dim(ci n

B à i t ậ p 1. 1. 2.
a.

C hứ ng m i nh rằ ng t r u ng k hô ng g ia n x ạ ản h

p3.

C ố n hữ ng c ặ p đư ờn g t , hẳ ng kh ôn g c ó đ i ể m ch un g ( t a g ọi ch ún g l à c h é o
n ha u) .

b.

M ộ t đ ườ ng t ì i ẳn g v à mộ t m ặ t p ha ng lu ôn c ó đ i ếm c hu ng .
Giải

a)

0

Giả sử tt,

là hai đường thẳng phân

PẦ. Ta có:
t h ì : d i ma +

biệt của

Nếu a n /? =
0
d im / 3 = d im <
+ Ị5 > — 1.
= > đ i ma + d im ị 3 = 2
dim < a + > = 3 .
Khi đó O: và Ị3 không cùng thuộc một mặt phẳng hay là hai đường thẳng chéo nhau.

a

3

Vậy trong p có những cặp thường thẳng không có điểm chung.
b)

Cho đường thẳng a và mặt pliẳng
+ ) Nếu « n

a

A trong p 3 .

= 0 thì

d i r na + d i r r i a = d i m, < a + u > —
Vậy ữ n fl

^

1 2 +

1= 3 - 1 , v ô

lý.

0,
khi đó
d i r na + dừ nu = d i m, <

Nến ft' n

a

=

+ o > +d i m . (a

a +

thì

o

n

u > + d i m (a
d i ma

+

n

d i ma

u ).

=

dim

a) .

=>2 + 1 = 3 + 0, hiôn đííng.

Nến

n

G O : t h ì d i ma + d i ma =
=>2 + 1 = 2+ 1, luôn đúng.

3

d i m . < a + a > + d i m ,( a

Vậy trong p một đường thẳng và mặt pliẳng luôn có điểm cliung.

n

o) .

<

a


Bài tập 1.1.3.

C h ứn g m in h c á c m ện h đề sa u đâ y t r un g k hô ng g i an

pn:

a . G i ao ( t h eo n gh ĩa t Ạ p hợ p) c ủa ha i p ha ng n ếu k hô ng r ỗn g l à p ha ng n ào đố .
b . p -p hẳ ng và ( n- p) - ph ẳn g l uồ n có đ i ê m ch un g.
c . G i ao c ủa mộ t s i ê u p hẳ ng v à mộ t m- p hẳ ng k h ôn g n ằm t r ê n s i ê u p ha ng đó l à m ộ t
( m -1 )- ph ẳn g.
Giải

a.

Giả sử trong P” có m-phẳng a và p-phẳng
Nếu

P (m, p < n).

A n Ỷ 0 thì ;
d i m a + d im p

Suy ra

=

d im < a + ị 3 > + d i m( a

n

P) .

111 + p = n + diĩii(a n ổ)

hay dim (ft' n jỡ) = m + p - n. Vậv o.' n
n

b. Giả sử trong p có p-pliẳng

a

p

là (m + n - p)-phẳng nào đó.

Ị3.

và (n-p)-pliẳng

0, thì
DIM < A + P >= DIM.A + DIM./3 +1 = p + (n-p) +1 = n + 1, vô lý!
+ ) Nếu <« + / ? > = P thì từ O: n /? 7^ 0 t.a có:
d i m a + d im p = d im < a + p > +d i m (a n P )
liav p + (n-p) = n + dim (tt' + P).
Vậv DIM,(A + Ị3) = 0, t.ức là ft' n P là một điểm.
Giả sử trong p n có siêu pliẳng tt và in-pliẳng /3, B không Iiằin trong tt. Suy ra,
o: n d Ỷ 0- Khi đó,
dim (a n ,ớ) = dim a + dim ,ớ - dim <A + Ị3> = (n- 1) + m- n = m- l.
+ ) Nến

a

n=

N

c.

.

Vậy tt' n là ĩiiột (m-l)-pliẳng.

Bài tập 1.1.4.

pn
Si, . . . ,

Tron g

m i nh r ằn g, p hẳ ng < S () ,

S ’ ( ) , S i , .. . , Sk - C hứ ng
S p + 2, . . . , Sỵ > k hô ng c ó

c ho h ệ đ i êm đ ộc l ập
S p > và p hẳ nq < S P + Í ,

đ i ể m ch un g .
Giải
Giả sử So, S 1, . . . , SK đại diện bởi các vectơ A 0, A 1, . . . , U Nếu {SỊ), S 1, . . . ,
SK} độc lập thì {~o\), ~A I,... ,~A } độc lập tuyến tínli nên mọi họ COI 1 của {ốo, S
1, . . . , 5\-} đều độc lập và a =< S(),..., SP > là một p-phẳng còn ,8 =< S +Í, SỊ)+2,. . .,
SỴ > là một (k-p-l)-phẳng.
Vì < ~A ( ) , • • • , ~(ỈP > n < LĨ + ,. . . , ~Ằ > = Ố nên a n /? = 0.
K

P

P Ì

Bài tập 1.1.5.

Tron q

p2

K

ch o bố n đ i ể m A , B , c , D t ron q đ ó k hô nq c ó ba

đ i ể m nà o t hẳ ng h àn g. Tr ê n cá c đ ườ ng t hẳ ng AD , D C , C D , D A l ần l ư ợ t l ấ y c á c
đ i ê m M , N , p, Q s ao c h ơ c hú ng đ ều kh ôn g t r ù ng v ớ i 4 đi ể m đ ã, c h o. Ch ứ ng m in h
r ằn g n ếu b a đư ờn g t hẳ ng M N , A C , PQ đồ ng qu y t h ì ba đ ườ ng t h ẳn g M Q , BD ,
N P cũ nq đ ồn g qu y và n qu ợc l ạ i .


Giải
Xét hai bộ ba điểm (M, A, Q) và (N,
I c, P). Áp dụng định lý Desargues thứ nhất suy ra
MN, AC, PQ đồng quy tại I khi và chỉ khi B, Q, J thẳng hàng với J = QM n PN. Vậy MQ,
BD, NP đồng quy tại J. Bài toán được chứng minh.

1.2Các mô hình của không gian xạ ảnh

a)

B à i t ậ p 1. 2. 1. Gọ i s n là s i ê u c ầu t ỉ i ự c t ro ng kh ôn g g ia n E u c l i d e E n + 1 ,
{ í » ' 1 } l à t ậ p hợ p c á c đ i ểm , xuyên t âm c ủa s n .
C h ứn g t ỏ r ằn g , { < s , n } có t h ể x e m l à m ộ t m ô h ì nh củ a k hô ng g i an xạ ản h n c h i ề u
liên

_- >

kết với En+Ì.
b ) Tron g mô h ì nh t r ê n , cá c m - ph ẳn q củ a

a) Gọi

{5"1}
Giải

---->

En+1

l à n hữ ng t ập h ợp nà o?

là không gian vectơ liên kết của E ?l +1 ,

{5’”'} là tập hợp các điểm xuvôn tâm của

S

N

S

N

là siêu

chiều

——>• ----------------------->•
kết với EN+Ỉ bởi ánli xạ f : [E n+1 ] —> {5" 1 } clio bởi với mỗi <
một. chiều . Gọi
>) =

{A,A'} là

cầu thực tâm I,

làm thành không gian xạ

Ũ

{A,A'}. Khi dó f là một song ánh từ [E

1

Ũ với S . Dặt

trong E

N

/(<

LÌ

1 1

'^ ] đến {ố ' }.

111+1

chiều

Gọ i s n ~ l là s i ê u c ầu t h ự c t ro ng kh ôn g g ia n E u c l i d e n ch i ề u

En,

b) m-phẳng trong {«S 1 ”} là tập hợp các cặp điểm xuyên tâm thuộc một pliẳng
,i+1

n

liên
- >•
í+1
>c E ' không gian con

giao của đường thẳng qua tâm I có phương
1

thì

ảnh

.

B à i t ậ p 1. 2. 2.

Ị S n ~ l J l à t ậ p hự p t ấ t c ả nh ữn g đ i ê m nằ m t ro ng v à t r ê n s n ~ l .
a ) H ã y l à m ch o
ỊS n ~ l J t r ở t hà nh k hô ng g i an xạ ả n ỉ i n c h i ề u .
b ) Tron g kh ôn g
g ia n x ụ ản h đ ó, cá c m -p hẳ n y l à n hữ ng t ập nà o?
Giải
a) Xét ánh xạ:
p :

[Ẽ?] —>

[Sn~1]


sao cho mỗi không gian vectơ con một cliiều của E tliànli đường kính là giao của đường
thẳng qua tâm với

S~.
N

L

Khi đó ta có bộ ba (E n , p, [b) Trong không gian xạ ảnh này m-phẳng là tập hợp các đường kính của 5 "

l_1

thuộc vào

phẳng m +1 chiều trong E .

?ỉ

Bài tập 1.2.3.
h ì nh c ủa k hô ng g ia n
h ợp [ A n +

a ) T ộ, p
b ) T ập

A

7l +1

t ro ng k hô ng g ia n af i n

A'

í+1

An+1.

A , l + 1 ).

( tậ p cá c p hư ơn g m ộ t ch i ề u c ủa

đ i qu a m ộ t đ i ể m 0

A 71+1

ì i ự p H cá c s i ê u p ha ng a ỷ í n củ a

đ i q ua mộ t đ i ể m

€

0

.
Giải
là một ánh xạ đồng nhất, ta có p là song ánh nên có mô

P : [^L ] —> P
hình ([j4 ], p, A + ) của P'\
71+1
Có song ánh Q : [A
—> B cho ứng mỗi phần t.ử <~Ử > G[Ấ n+1 ] vớiđường
thẳng
(1) E B mà (1) đi qua o và có phương V. Suy ra B là mô hình của
pn.
7l+1
Trong A
lấy ĩiiột mục tiên afin (0, e 1 , . . . , e ,l +1 ) thì mỗi siêu pliẳng đi qua 0 có phương
trình dạng UỊXỊ + .. . + U X = 0, trong đó (« 1, . . . , U ) 7^ ( 0 , . . 0 ) . Dặt ~Ẳ = (UI,.
. . ,U ) thì có song ánli Q : [y4 n+1 ] —> H theo quv tắc <Ũ> clio tương ứng với siêu
phẳng ft' có phương trình U\X\ + ... + U X = 0. Vậv H là một mô hình của p n '.
n+1

c)

pn

.

a) Dặt p = [v4
b)

x ạ ản h

h ợp D cá c đ ườ ng t hẳ ng c ủa
n+ 1

c ) T ập

A

7

C h ứn q m in h r ằn q cá c t ậ p h ợp sa u đâ y lậ p t hà nh nh ữn g m ô

Ti+1

Ti+1

],

N L

N

N

N

N

N

B à i t ậ p 1 . 2 . 4 . Tron g A n c h ứn g
m ộ t mô h ì nh c ủa p ? ỉ . P ỉ i ầ n t ử c ủ a

N

m i nh r ằn g t , ập h ợp Q = A n

u

[ A n \ l ập t h àn h

n

A gọ i l à đ i ể m ( xạ ản ỉ i ) t h ôn g t h i t ờn g. P hầ n

t ử c ủa [ A ] gọ i l à đ i ểm ( x ạ ả nh ) v ô t ận . Tậ p c á c đ i ểm v ồ tậ n l à m ộ t s i ê u p ha ng

pn-1,

gụ i l à s i ê u p hẳ ng vô t ậ n) .
Giải

Giả sử A n là không gian afin n-ehiều trên trường K. Có thổ lập ánh xạ

Q : [A' n+1 ] —Y Q

như sau:

ẼF ) nào đó của A .
Nốu V =(v 0 ,.. ., V )E K +1,
o Ỷ 0 thì đặt q<?7> là điểm M( — , . . . , — ) e A .

Lấv một mục tiêu afin (0, ẽ|,. ..,

VỶỔ

'

ỉ;

N

T

N

N

N

Vo v 0

N é u V = ( f ( ) , . . . ,V„) khác 0 ciia K + có V(Ị

K h i đó q là song ánh. Suy ra Q là mô liình của p n .
N L

= 0, thì đặt

q<y>

=

<V> E [A ].
N

B à i t ậ p 1 . 2 . 5 . Trong E 3 cho mặt cầu đơn vị s (tức là mặt
cầu có phương trình theo toạ độ trực chuẩn X2 + ỊJ2 + z2
= 1). Xét bán cầu bắc của s (tức là tập hợp các điểm


xác định bởi X 2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0) và đường xích đạo của s (tức là
đường tròn X2 + ỊJ2 + z2 = 1, z = 0). Gọi G là tập hợp CÁC
điểm thuộc bán cầu bắc nhưng không thuộc đường xích đao
và các cặp điểm đối tâm của đườnq xích đạo. Chứnq minh
rằng G là một m,ô hình của p2 thực. Trong mô hình này,
đường thẳng xạ ảnh là gì?


Giải
3

Gọi B là tập liỢp các đường thẳng của E đi qua 0. Có thể lập ánli xạ
như sau. Cho (1)

6 B nếu 1

Q : B —> G

không nằm trên mặt phẳng Oxy thì 1 cắt bán cầu bắc tại một

điổm duv nhất nào đó. Ta đặt q(l) = M; nốu 1 nằm trong mặt phẳng Oxy thì nó cắt xích
đạo của

S

tại hai điểm Ả/ 1 ,

Do đó G là một mô hình của

M2 đối tâm, t.a đặt q(l) = {Ả/ 1 , A/ 2 }. Khi đó q là song ánh.
P2 thực (vì B là một mô hình của p 2 thực). C H Ư Ơ N G 1 . K H Ô N G G I A N

1.3Mục tiêu xạ ảnh và Toạ độ xạ ảnh
Bài tập 1.3.1.

C h o m ụ c t i ê u xạ ản h { S ị , E } t ro ng kh ôn g g ia n x ạ

ả nh

pn.

T ì m đ i ều
x n ) n ằm , t r ê n m- p hẳ ng t o ạ đ ộ ( S 0, S i, . .

kiện để điẻĩĩi X = (x0 : Xị

.,

S m ).

Giải
Diều kiện để

M 6 (S0 + ... + S ) là:
= A i C l , 0, . . . , 0) + . . . +
ATO(0,...,1,0,...,0).
M

D o đ ó M (x0 xm : 0
0 ).
7 Ỉ
B à i t ậ p 1 . 3 . 2 . Tru ng P v ớ i m ụ c

t i ê u xụ ản h đ ã c họ n, c ho r đ i ê rn

A2,

■.

t o ạ đ ộ c ủa c hú nq l à A i = (a i ( ) : a n

: . . . :

.,

Ar

Aị,

biết

a i n ), i = 1, 2, .. r.

T ì m đ i ều k i ệ n đ ể r đ i ể m , đó đ ộc l ậ p.
Giải
Diều kiện để

A A2,. .., A
U

R

độc lập là các vectd đại diện của chúng độc lập tuyến tính,

điều đó có nghĩa là
«1

«li*

Ỷ0

.

a,.()

ũ

B à i t ậ p 1 . 3 . 3 . Tron g p 2 v ớ i mụ c t i ê u x ạ ả nh đã c h ọn , ch o cá c đ i ể m A =
( c i ị ) : ũ ị : a 2 ), B = (b o : b ị : b 2 ) , c
= ( C() : C'l : c -2) ■ C h ứn g m ìn h
r ằn g A , B , c
t h ẳn g h àn g k h i v à c h ỉ k h i
«1 6i t'l
X
0
Giải


Bài tập 1.3.4.
G ọ i:

không

Tro ng

g ia n x ọ, ản h

p2

c ho mụ c t i ê u {S 0 , S ĩ, s 2 , E } .

E = S()E n 51(s2; E, = SIE n S0S2; E = S E

n 505i;

E'q = EịE2 n S\S 2\

= Eị)E2 n iSoiSi; -

2

Ữ

£/2

2

^ S()S\.

=

T ì m t oạ đ ộ cá c d i ê m

£(),

E ị , E 2 , E [ v E [, E ' 2 .
Giải
2

Trong không gian xạ ảnh p cho mục tiêu

So =

{SỊ), SI, S 2 , E}. Khi đó:

(1:0:0); Si = (0 : 1 : 0);

S = {0 : 0 : 1 ) ;

£=(1:1:1).

2

Áp dụng công thức tính toạ độ đường thẳng nối hai điểm phân biệt ta được:

S 0 E = (0 : -1 : 1); s l s 2 = (1:0:0); SịE = (1:0: -1);
S 2 S ữ = (0 :1 :0 ); S 2 E = (-1:1: 0); s ữ s, = (0:0:1).
Theo công thức tính toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng

phân biệt

IT(UỊ) : U Ị

:
ỉí2), v(vị ) : Ư1,Ư2) có toạ độ M (X()

U «2
V V
Í 2

XỊ)
—

EỊ) = SQE

Ta c ó :

2

= (—1 :

: x ) xác định bởi
U U
Q
X =
1%2—
V V
O
2

U
Ị)
V
O

2

X

2

U
I

V
\

SỴS = ( 0 : 1 : 1 ) , EỊ = SỊE n SỊ)S = ( 1 : 0 : 1 ) ,
E = S E n SỊ)SI = ( 1 : 1 : 0 ) .
1 : 0), E E = ( — 1 :
1 : — 1 ) , E E\ =
n

2

2

E[E

: Xi

L

2

2

0

2

Ữ

(1:1:

—1).

E'

Ữ

=

EỊE2

Bài tập 1.3.5.

n

SIS = ( 0 : 0 :
E'2 = E { Ì E Ỉ
2

E'L

— 1),

n

si)sĩ

=

EỊ)E2

n

SỊ)SI

= (!:—!: 0).

Tro ng kh ôn g g ia n x ọ : ả nh

p?l

= (1:1: 0);

x é t mụ c t i ê u x ạ ản h {S ị , E } .

G ọ i E k l à g i ao đ i ể m c ủa đư ờn g t hẳ ng Sk E và s i ê u ph ẳn q đi qu a c á c đỉ nh củ a m ục
t i ê u , t r ừ đ ỉn h

Sk-

H ã y t ì m t u ạ độ c ủ a đ i ế m

Ek.

Giải
Gọi

A

K

là siêu pliẳng đi qua các đỉnh trừ

SK- Diêm M thuộc vào A khi và chỉ khi bộ toạ
SJ, với j 7^ k. Do đó toạ độ
K

độ của M phải tổ hợp tuyến tính của các bộ toạ độ của các điểm
của M có dạng

M (x 0 : • • • : £fr-i : 0 : X + : . . . : X ).
vào SKE khi và chỉ khi bộ toạ độ của Nphải là tổ hợp tuyến tínli
của S và E nên toạ độ của N có dạng
A(o-----i , . . . , o ) + , í ( i , . . . , i ) = ( / ( , . ! . , A
K L

Diem N thuộc
của các bộ toạ độ

K

N


Do đổ

EỊ. CÓ toạ độ dạng
(x„ : . . . : 0 : . . . : £„) = (/I : ... : A : . . .:

Suy ra A = 0, /í

Ỷ 0- Vậy có thể lấy E

K

= (1

0

fi).
1).


Bài tập 1.3.6.

p2

Vi ế t c ôn q t h ứ c đ ổi t oạ đ ộ t ro ng

t ron q c á c t r ư ờn g h ợp

s au đ ây :
a)

{S'o,

Từ mục tiêu

b)

T ừ m ụ c t i ê u {S ị ) , S i,

S [ , S - 2, E } s an g mụ c t i ê u {S 2 , S u, S i, E } .

s

2

,

s 2 ,
: a - 2 )Sĩ, 5 ’ 2 } .

E } s an g m ụ c t i ê u {S ị ) , S i,

E'} biết

t o ạ đ ộ đ i ể m E ’ đố i v ớ i mụ c t i ê u t h ứ n hấ t l à E ’ = (a { ) : ( l ị
c)

T ừ mụ c t i ê u

{^o,

S ] , S 21 E } sa ng m ục t i ê u { E , So ,
Giải

Gọi cơ bở đại diện cho mục tiêu ỊSỊ), SI, S2,
— V — ì —y
mục tiêu { 62, SO, SI, E} là {e(), E\, e' 2 }.

Theo đề bài ta có

K()ẼỊ ( ỈC0 = K =í Ả^0
;2
KỊẼỊ
^ - 2e l

C() =C()()ẽo +Cioẽt +c 2 ()ẽị =
e

i=

e
e

2

Co,iì +
c

=

Ó+

X

c„ií + c 2 iẽị =

02 <) + 12 L + 22e2 =
+ e 2 = ^‘ 3(^0 + 61+ 62)

e

C

E

C

-

Ả, 2

Chọn &() = =

E} là {e 0, ẽ t , e 2 } ,

cơ bở đại diện cho

= Ả ;3

= kỵ = 1, ta có công thức đổi toạ độ là:
Ị' \ x 0

= x\

Ằ X ị = x '-2

\

{ X x 2 = x '0

b)

Bằng cácli đặt cơ sở tương tự câu a) ta có í E'0 = Cooiĩ + Cioẽi + C' 2()ẽị

KỊ)ẼỊ
I e\
e
I
2
e
1
ó

= Co,iì+ Cnẽt
=

++

+ c2iẽị

^ 02^0 + ^ 12^1 + ^ 22^2

=

íCoo = k<)- =^ : 3°()
^ ^Cịị= Ả, ! = KỴŨ-1
=A 7^ 0.kịẽ\
^ C '22
=

= ^'3°2
k 2^2

ữ

ẽl = k;i( ()ẽu + «iẽi + a 2ẽị)

Chọn Ả ;3 = 1, ta có, công thức đổi toạ độ:

í Az = a . 0 x ' ữ \ Aa:! =
A]_X\ A Ỷ 0- [ A. 7;2 =
U2X2
0

Ta có
e[) = C()()ẽị + Cioẽi + c 2()ẽ 2 = /t'o(ẽo + ẽi + ẽị)
^ __
— Y . —^
^ ; —Y
C\ —
C( U e ( )+ c n e[ + C '21
C2
—
-ị
e =
C
2
02^0+ c 12 e 1 +
c 22e 2 =
—^ — Ỳ — Ỳ _______^

ŨQ +
e; +
c 2 = ^3 e 2

Coo
A^eó

K2E\

=


Công thức đổi toạ độ là
Ị' A.T() =
\ ÀXi = xỊ)

X'
+X\
—X'2 A ^ 0.
Ữ

{ Xx2 = x'ữ

Bài tập 1.3.7.

p3

Tro ng

ch o m ,ụ c t i ê u x ạ ả nh {S 0 ,

Sị, s2,

S ỵ , E } c ho cá c

điểm:

C ỉ i ứ nq m i nh rằ ng ,

5' = ( 1 : - 1 : 0 : 0 ) ; S[
S' 2 = (0 : 0 : 1 : -1 ); S!ị
{S ' ị V S[ ,
sr2, S'.ị, E }

m ộ t mụ c

tiêu xạ

= (0 : 1 : 1 :
=

(1 : 0 : 0

1);

:

ả nh . T ì m ma t r ận c hu y ế n t ừ

m ụ c t i ê u th ứ n hấ t su ng mụ c t i ê u t h ứ ha i .

Giải

1
0
0
1

-1
1
0
0

0
1
1
0

0
1
- -3 Ỷ
11

Nên {S',S;,S',S';£} độc lập.

1:1:1),
0 : 1-I-: 4fl
-1),1 —
^(1ct:20~t:- 02ct: 3.
Xét các vect.ơ õ|)(l : — 1 : 0 : ơ), Õ\(0 B = (3
: 3 : 3«ỉ(0

: 3) =: 0.0
Suy ra (S[V S[, S'2, SỊỊ’, E) là một mục tiên.
Gọi (ẽỊ) , , ẽị, ẽl ) là cơ sỏ đại diện cho mục tiêu { » S o , Si, S2, S3;E}. Ta có
Ị í,

= ẽỉ

1 45i

-55
U“ỉ

-ẽt
4ẽf

=
= 2ẽ^

+
4ẽị
—Y
-EÍ

+
4ẽỉ
+ ẽỉ
-2ẳ

i toạ độ là
Ị A.T() =

X'0
Ị \X] = -X'
Ị Ax 2 =
[\X3 =
Ữ

+4*;
AX\ -X'2
4s' +4

+
2X'3
A / 0.

2X'Z

1.4Phương trình phẳng trong không gian xạ ảnh
Bài tập 1.4.1.

Tru ng

p2,

ch ứ ng m i nh rằ ng :


a ) B a đi ể m , t hẳ ng hà ng kh i v à c h ỉ kh i ma t r ậ n gồ m, ba c ộ t t o ạ đ ộ c ủa c hú ng c ố đ ị nh
t h ứ c bằ ng

0.

b ) B a đư ờn g t h ẳn g đ ồn g q uy k h i v à c h ỉ k h i m a t r ận g ồm , b a c ộ t t oạ độ củ a ch ún g
c ó đ ịn h t ì i ứ c b ằn g

0.

c ) N ế u c ho ha i đ i ể m:
A = ( ũ \)

:

: Oi :

a 2 ) và D = ( b 0

b 2 ) t h ì đư ờn g th ẳn g < A , B > c ố to ạ độ ( u ữ

t ron g đ ó:

«
1
6
1

u
0

d) Nếu

CỈIO

0
2
ft
2

:

a„ «
1
«2 = & 6
0 1

Ữ A
UỊ = 2B A
K
Ì
2

ha i đư ờn g t hẳ ng :

|p i

P2

rỏ!

U ị : u 2 ),

:QP2) VÀ —(QQ
■
QI
P-2
PO
PO
PL

Q
2
QO

kh
Q2

QO
QĨ

Giải
a) Giả sử ba điểm thẳng liàng
vectơ
„ Ị —^ ^
đại diện lần lượt là A , B , C .
Ta có A, B,

C

: a 2 ),

thẳng hàng khi và chỉ khi {"ế,

b) Gọi X(x 0 , Xi, £ 2) G

«
1
6
1

A(U0 : A 1

B(BỊ) : BỊ : B2), C(CỊ) :

B ,~C} phụ thuộc tuvén tính khi và chỉ khi

AB khi và chỉ khi A, B, X thẳng hàng. Theo ý a) ta có
X 0X \ X2
Cí()
o1
0
a2

bi b
C ..To+(-l)1 + 2. b ị )0()
° ■ Xi ,_1}l+3
I
2
+
2
b
fr() b2

ĩ
2

« « ,.x2 =
0 1 0
6
0

Vậy toạ độ đường thẳng đi qua A và B là
( ĩ i ị )a : U ị : u 2), trong đó:

A
Ị 2
H

A ữ
U1 = 2 „

Cl : C 2) có

A A
U2 = 0B 1H
Ị}



c)

Tương tự ý c) sử dụng kết quả ý b) ta suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập 1.4.2.

C h ứn g m in h đ ị nh l ý P ap pu s t ron g

b i ệ t và k hô ng t hẳ nq h àn g A 0 ,

B0,c0, A u

p2.

C h o ũ đ i ểm , ph ân

B ], C ] t ron g đó A ị ), B 0 ,

c0

t hẳ ng hà ng và

A \ , B \ , C \ t h ẳn g h àn g. Gọ i :
A2

=

BqCĩ

n

B}Cữ\ B2

=

A()Cì

n A\Cq\ C2 =

AữB\

n

A\Bữ.

C h ứn g m in h r ằn g , b a đ ỉ ê m A 2, B 2 v à c 2 th ẳn g ỉ i à ng .
Giải

(Sq, Sị, s 2 , S- ẳ ] E) trong đó s 0 = A 0DqC { ) n AịDiCi, Si G
A 0DqC { ), s2 G AxBịC 1 mà sI không trùng với A 0,B 0,C 0 còn s2 không trùng với
Ax,
Chọn mục tiêu

Diổm E chọn tuỳ ý. Khi đó ta có:

Aị)(a : 1 : 0); Bịị(b : 1 : 0); C ữ (c : 1 : 0);
A 1(a' : 1 : 0); D 1(b' : 1 : 0); C x {c : 1 : 0).
Từ đó ta tính được:

n B x C o = (b ư - c c 1 : ư - c ' :b
- c ) B 2 = ^40CT^ 1 n AiCị) = (cc' —
aa' : c' — a' : c — a) c 2 = A q B i n
A ì D l ) = ( aa ' - bư : a ' - ư :a - b) .
A 2 = Bo Ơ !

Cộng ba dòng toạ độ của Ẩ- 2,

B2 , Ơ 2 lại ta được ( 0 : 0 : 0 ) n ê n
ư - d b-

bư
C C — a a' c ' — a' c — a aa ' - b b ' a ' — b ' a- b
cc

=
Do đó

A2,B2,C2 thẳng hàng.

Bài tập 1.4.3.

Tron g

p2

s 2 ' ,
E } . G ọ i:
n S{ÌS2; E2 = S2E n SữSi.
EịEj n SịSj v ớ i i Ỷ j > nằm t r ê n m ộ t

ch o mụ c t i ê u {S ị ) , S i ,

E 0 = S ữ En S l S 2 ; E ỉ = S i E
C ỉ i ứ n q m in h

rằng,

cá c g i ao đ i ể m

t h ẳn g.
Giải

5o(l:0:0),
K h i đó SQSI C Ó

Ta có

^(O:

1

phương trình

:

0), 52( 0: 0: 1),E(1

:1:

đ ườ ng


X X
1 Ả0

0 1
Ữ

Suy ra

SỊỊSI = ( 0 : 0 : 1 ) .

0 = 0 X2 = 0
0


Tương tự ta có:

5^2 = (1 : 0 :
SoS-2 =
0),
:
- 1: 1),
SỴE = (1 0 (0- 1),
Do ( 0: 1:
đó: 1) ,
:-l),
Do A =
đó: B =
C=

E, = (1 :
0
Eị)E = 1
( — :

E0EX n
SoS,
Eị)E2 n
sữs
2

2

1-1 1

-1 0
1°

1

1: 0)
S2E = ( - 1 : 1

: 1 ) , E 2 = (1 :
1 : 0) .
1 : - 1) , E E2 = ( —
1
=(- 1: 1: 0),
=(-1:0: - 1),
L

=( 0: 1:-

- 1).

0

-1 = 0.
-1

Do đó A, B,
c thẳng
hàng.
Bài
tập
1 . 4 . 4 . Tron g
p3
ch o
p hư ơn g

trình

t ổ ng q uá t củ a
hai

đư ờn g

t h ẳn g d và d’
k hô ng có đ i ểm
3

p

:

úi
°i
n x
ii
-s
n a
ii
úị x
i=

°ị =0
ĩ=

0
i =0
i =0

3
3
3


c hu ng ,

và

có

c ho t oạ đ ộ củ a
đ i ê m M kh ôn g

n ằm t r ê n d v à
d\

Hã y

p hư ơn g
đ ườ ng

viết
trình
th ẳn g

đ i q ua đ i ế m M
c ắ t c ả d và d
Giải
Gụi M(a 0 :
Oi : A2 : a ; ỉ ) và
hai đường thẳng
d và d’ có
phương trình
tổng quát lần
lượt là:

Vậ