CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thành công
I-Các kiến thức cơ bản cần nhớ
A.B = A. B ( A, B 0)
A
=
B

A
( A 0; B > 0)
B

A2 B = A B
A 1
=
B B

A.B

A 0; A = ( A ) 2 ; A A = ( A )3
A

xxác định khi A 0

-Điều kiện phân thức xác định là mẫu khác 0
- Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu
- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
- Quy tắc rút gọn và đổi dấu phân thức,quy tắc dấu ngoặc
- Các phép toán cộng , trừ, nhân, chia phân thức

II-Một số chú ý khi giải toán về biểu thức
1) Tìm ĐKXĐ chú ý : Trong căn 0
2)Rút gọn biểu thức

,Mẫu 0 , biểu thức chia 0

-Đối với các biểu thức chỉ là một căn thức th ờng tìm cách đ a thừa số ra ngoài dấu căn
.Cụ thể là :
+ Số thì phân tích thành tích các số chính ph ơng
+Phần biến thì phân tích thành tích của các luỹ thừa với số mũ chẵn

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

1


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
-Nếu biểu thức chỉ chứa phép cộng và trừ các căn thức ta tìm cách biến đổi về các căn
đồng dạng
- Nếu biểu thức là tổng, hiệu các phân thức mà mẫu chứa căn thì ta nên trục căn thức ở
mẫu trớc,có thể không phải quy đồng mẫu nữa.
-Nếu biểu thức chứa các phân thức ch a rút gọn thì ta nên rút gọn phân thức tr ớc
-Nếu biểu thức có mẫu đối nhau ta nên đổi dấu tr ớc khi
-Ngoài ra cần thực hiện đúng thứ tự các phép tính ,chú ý dùng ngoặc ,dấu - , cách viết
căn
Chú ý : Một số bài toán nh : Chứng minh đẳng thức , chứng minh biểu thức không phụ
thuộc vào biến cũng quy về Rút gọn biểu thức
3) Tính giá trị của biểu thức
-Cần rút gọn biểu thức tr ớc. Nếu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì nên thay giá
trị của biến vào rồi mới rút gọn tiếp

-Nếu giá trị của biến còn phức tạp thì nghĩ đến việc rút gọn tr ớc khi thay vào tính
4) Tìm biến để biểu thức thoả mãn 1 điều kiện nào đó
-Cần rút gọn biểu thức tr ớc
-Sau khi tìm đợc giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ

III-Các dạng bài tập
Dạng 1: Bài tập rút gọn biểu thức chứa căn đơn giản

2)
3)
4)
5)

6)

1492 762
457 2 3842

1)
1

2 +1

+

1
3+ 2

7)
+

1
4+ 3

1
33
1
48 2 75
+5 1
2
3
11
9a 16a + 49a

9 4 5 9 + 80

Với a 0

a
a b
+ ab +
b
b a

2 3 + 48 75 243

8)

3+ 2 2 6 4 2

9) 4 + 8 . 2 + 2 + 2 . 2 2 + 2

10)

8+ 2 2 2+3 2
2

+
3 2
2
1 2

11)

6 11 6 + 11

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

2


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Dạng 2 : Bài tập rút gọn biểu thức hữu tỉ
5
4 3x 2

3
2x 2 + 6x x 2 9
5. E = 3x + 2 6 3x 2
x 2 2x + 1 x 2 1 x 2 + 2x + 1

5
10
15
6. K =

3
2
x + 1 x (x + 1) x + 1

2x
2x
x
+ 2
+
2
x 3x x 4x + 3 x 1
2. B = x + 2 4x
x + 2 x 2 4 x2
1 + x 1 2x x(1 x)
3. C =


3x 3+ x
9 x2

1. A =

4. D =

Dạng 3: Bài tập tổng hợp

Bài 1 Cho biểu thức

x+2
x
1
A =
:
+
+
x x 1 x + x + 1 1 x ữ
ữ



x 1
2

a. Tìm điều kiện xác định.
b. Chứng minh

A =

2
x + x +1

c. Tính giá trị của A tại

x = 8 -

28

d. Tìm max A.
Bài2

Cho biểu thức

P =

n +3
n 1 4 n 4 ( với n 0 ; n

4)

+
4n
n 2
n +2

a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với n = 9
2
= ( a b ) + 4 ab a b b a
a+ b
ab
a. Rút gọn biểu thức M.

Bài3 Cho biểu thức M

b. Tìm a , b để M

Bài 4:

= 2

( a , b > 0)

2006

x
x +1
1
2x

x :

+
Cho biểu thức : M =
x
1 x x x
x 1

a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị của M khi x = 7 + 4 3
c) Tìm x sao cho M =1/2

x 4
3 x +2
:

Bài 5: Cho biểu thức : P =

x
x2 x 2 x

x

x 2

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

3


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

a) Rút gọn P.

8

b) Tính giá trị của P khi x =

3+ 5

2x + 1
1
x2
+
: 1

Bài 6 Cho biểu thức : B =
x x 1 1 x x + x + 1
a) Rút gọn B.
b) Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B. x = 4/5
x+2 x 7
x 1 1
:
+

Bài 7: Cho biểu thức : M =

x

9
3

x

x +3



x 1
1

a) Rút gọn M.
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
x+2 x 2

x 1

+
Bài 8: Cho biểu thức : A = 1 :
x x +1
x x +1



x + 1
1

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
x +1

Bài 9: Cho biểu thức : P =
x 1

x 1 1
x
2
:


+
x + 1 x + 1 1 x x 1

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi x = 7 4 3
2

c) Tìm x sao cho P = 1/2
2x +1

x
1+ x x

.
x

Bài 10: Cho biểu thức : A = 3
ữ

ữ
ữ
1+ x ữ
x 1 x + x +1

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A nếu x =

2 3
2

2 x

Bài 11: Cho biểu thức : A =
x x x + x 1


x
: 1 +

x + 1
x 1
1

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

4


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
1

2
2x x


: 2
Bài 12: Cho biểu thức : B =
x + 1

x + 1 x x + x + x + 1
a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 2 5
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
x +2
5
1


+
Bài 13: Cho biểu thức : A =

x +3 x+ x 6 2 x
a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A nếu x =

2
2+ 3

c) Tìm x nguyên để A nguyên
2 x 9

Bài 14: Cho biểu thức : M =
x5 x +6

x +3
x 2

2 x + 1

3 x

a) Rút gọn M.
b) Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
x+ x 4
x 1
: 1
+
Bài 15: Cho biểu thức : A =

x 2 x 3 3 x

x 3

x 2

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 1
2+ x
4x
2 x x3 x
:


Bài 16: Cho biểu thức : P =

3
2 x x 4 2 + x 2x x
a) Rút gọn P.
b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.

x
3 x 1 x + 1 4 x + 1
:

+

Bài 17: Cho biểu thức : M =


1

x
x

1
x
x
+
x



a) Rút gọn M.
b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên

c) Tìm x thoả mãn M < 0
2x + 1
3
x
2 x +5
:


+
Bài 18: Cho biểu thức : P = 3

1 x
x 1 x + x + 1 x 1
a) Rút gọn P.

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

5


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
b) Tính giá trị của P khi x =

8
3 5

c) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
d) Tìm x để P < -1

x

3
3 x 2 x +3
2 x
:


+
+
Bài 19: Cho biểu thức : B =
x 2 2 x x
x

4
x
+
2
2

x



a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B khi x = 9 - 4 5
c) Tìm x sao cho B.( x 1 ) = 3 x
x +1
+
Bài 20: Cho biểu thức : M =
xy

+
1


x +1
1 :

xy + 1
xy 1


xy + x


+ 1

xy 1


xy + x

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi x = 2 - 3 và y =

3 1
1+ 3


2 x +3 y

Bài 21: Cho biểu thức : B =
xy
+
2
x

3
y

6




xy + 2 x + 3 y + 6
6 xy

a) Rút gọn B.
b) Cho B=

y + 10
y 10

( y 10). Chứng minh :

x 9
=
y 10

x+2
x +3

x5 x +6 2 x +


Bi 22 : Cho biu thc : P =

x + 2
:2
x 3

x

x + 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để

1
5

P
2

B i 23 : Cho biểu thức : P =

x2 x
x + x +1

2x + x
x

+

2( x 1)
x 1

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2 x
c) Tìm x để biểu thức Q =
nhận giá trị là số nguyên
P

x 1
Bi 24: Cho biu thc : P =
x +1


x + 1 1
x

2
x 1 2 x


2

a) Rút gọn P
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

6


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
b) Tìm x để

P
x

>2

1
5 x 4 2+ x
:
+

Bi 25: Cho biu thc : P =

x

2
2
x

x
x





x 2
x

a) Rút gọn P
b)*Tìm m để có x thoả mãn : P = mx x 2mx + 1
2

1 x2 1
Bài26: Cho biểu thức A = 1
+
1 x2

1+ x 2
1 x
1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A.
3. Giải phơng trình theo x khi A = - 2.

Phần thứhai

Khát vọng vơn lên phía trớc là mục đích của cuộc sống
A>kiếnthức cần nhớ

- Hàm số bậc nhất : y = ax + b đồng biến khi a > 0 . Khi đó Đths tạo với rrục hoành ox
một góc nhọn .Nghịch biến thì ng ợc lại.
a = a '
-ĐK hai đờng thẳng song song là :
b b '
-ĐK hai đ ờng thẳng cắt nhau là : a
điểm trên trục tung oy.



a.Nếu có thêm b =b thì 2 đt cắt nhau tại một

-ĐK hai đờng thẳng vuông góc là tích a.a = -1

0) đi qua gốc toạ độ
-Đths y=ax+b (a 0,b 0)không đi qua gốc toạ độ.Nó tạo với ox,oy 1 tam
-Đt hs y=ax( a

giác

B> Bài tập
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

7

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành .
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1
g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2 : Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x

(d) . Xác định m để:

a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đ ờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x 3 tại một điểm có hoành độ là 2
g) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4
h) Đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đ ờng thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1
Bài 3 : Cho hàm số y=( 2m-3).x+m-5
a) Vẽ đồ thị với m=6
b) Chứng minh họ đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi
c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với 2 trục toạ độ một tam giác vuông cân
d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 45 o
e) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 135 o

f) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 30 o , 60 o
g) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = 3x-4 tại một điểm trên 0y
h) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đ ờng thẳng y = -x-3 tại một điểm trên 0x
Bài4 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2000,2001) Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x 1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy.
d)Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 5 (Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải D ơng năm 2004)
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

8


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
1)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
a)A(-1 ; 3)
;
b) B( 2 ; -5 2 )
;
c) C(2 ; -1)
2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x - 2 trong góc phần t thứ IV
Bài 6 :Cho (d 1 ) y=4mx- ( m+5)
;
(d 2 ) y=( 3m 2 +1).x + m 2 -4
a) Tìm m để đồ thị (d 1 )đi qua M(2;3)
b) Cmkhi m thay đổi thì (d 1 )luôn đi qua một điểm A cố định, (d 2 ) đi qua B cố định.
c) Tính khoảng cách AB

d)Tìm m để d 1 song song với d 2
e)Tìm m để d 1 cắt d 2 . Tìm giao điểm khi m=2
Bài 7 Cho hàm số y =f(x) =3x 4
a)Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ
b) Tính f(2) ; f(-1/2); f( 7 24 )
c) Các điểm sau có thuộc đths không? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10)
d)Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m 2 -4)
e)Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3
g)Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ.
h)Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7
k) Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4
l) Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau
m) Tìm điểm thuộc đths cách đều hai trục toạ độ

Phần thứ ba

Ước mơ chính là bánh lái của con tầu, để ớc mơ thành công bạn cần có nghị lực
A>kiếnthức cần nhớ
1)Các phơng pháp giải HPT
a) Phơng pháp thế : Thờng dùng giải HPT đã có 1 phơng trình 1 ẩn , có hệ số của ẩn bằng 1 và hệ chứa
tham số
b) Phơng pháp cộng : Phải biến đổi tơng đơng HPT về đúng dạng sau đó xét hệ số của cùng 1 ẩn trong 2
phơng trình :- Nếu đối nhau thì cộng. Nếu bằng nhau thì trừ .Nếu khác thì nhân .
Nếu kết quả phức tạp thì đi vòng.
c) Phơng pháp đặt ẩn phụ : Dùng để đa HPT phức tạp về HPT bậc nhất hai ẩn
2)Một số dạng toán quy về giải HPT:
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

9

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

- Viết phơng trình đờng thẳng ( Xác định hàm số bậc nhất)
- Ba điểm thẳng hàng

- Giao điểm của hai đờng thẳng(Toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng là nghiệm của HPT)
- Ba đờng thẳng đồng quy
- Xác định hệ số của đa thức , phơng trình
3)Giải phơng trình bậc nhất 1 ẩn
B> Các dạng bài tập
I-Dạng 1: Giải HPT không chứa tham số ( Chủ yếu là dùng phơng pháp cộng và đặt ẩn phụ ) Bài tập rất nhiều
trong SGK,SBT hoặc có thể tự ra
II-Dạng 2 : Hệ phơng trình chứa tham số
x my = o
1)Cho HPT :
mx 9 y = m 3
a) Giải HPT với m = -2
b) Giải và biện luận HPT theo tham số m
c) Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất (x ; y) thảo mãn 4x 5y = 7
d) Tìm m để HPT có 1 nghiệm âm
e) Tìm m để HPT có 1 nghiệm nguyên
f) Tìm 1 đẳng thức liên hệ giữa x,y độc lập với m
Chú ý : Việc giải và biện luận HPT theo tham số là quan trọng .Nó giúp ta tìm đợc điều kiện của tham số đề
HPt có 1 nghiệm ,VN,VSN .
mx + y

2) Cho hệ phơng trình:

= 3

9x + my = 2m + 3
a. Giải hệ phơng trình với m = 2, m = -1, m =

5

b. Tìm m để hệ ph ơng trình có 1 nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm.
c. Tìm m để 3x + 2y = 9 ,

2x + y > 2

d. Tìm m để hệ ph ơng trình có nghiệm d ơng.
e. Tìm m để hệ ph ơng trình có nghiệm nguyên âm.

( m 1) x + y = m
x + (m 1) y = 2

3)Cho hệ phơng trình

; có nghiệm duy nhất (x ; y)

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m;
b) Tìm giá trị của m thoả mãn 2x 2 - 7y = 1
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức A =

2 x 3y
nhận giá trị nguyên.
x+y

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

10


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
mx y = 1
4)Cho hệ phơng trình
x + my = 2

a.Giải hệ phơng trình theo tham số m.
b.Gọi nghiệm của hệ ph ơng trình là (x,y). Tìm các giá trị của m để
c.Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

x +y = 1

( a + 1) x y = 3
a.x + y = a

5)Cho hệ phơng trình :

a) Giải hệ với a = 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x + y > 0
6)Cho hệ phơng trình

mx y = 2

3x + my = 5
a) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm x = 1, y =

3 1

b) Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
7)Cho hệ phơng trình :

2 x + 3 y = 3 + a

x + 2 y = a

a)Tìm a biết y=1
b)Tìm a để : x 2 +y 2 =17

(m 1) x my = 3m 1
8)Cho hệ phơng trình
2 x y = m + 5
a) Giải hệ phơng trình với m = 2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x 2 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Dạng 3 .Một số bài toán quy về HPT
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A(2;5) và B(-5;7)
2) Cho hàm số y = (3m-1)x + 4n -2
Tìm m,n biết đồ thị hàm số đi qua điểm (5 ;-3) và cắt trục hoành tại 1 điểm có hoàng độ là -2
3)Tìm giao điểm của hai đ ờng thẳng 4x-7y=19 và 6x + 5y = 7
4) Cho 2 đờng thẳng:

d1:

y = mx + n

d2:

(m - 1)x + 2ny = 5

a. Xác định m,n biết d 1 cắt d 2 tại điểm (2;- 4)
b. Xác định phơng trình đờng thẳng d 1 biết d 1 đi qua điểm (-1; 3) và cắt ox
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

11


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

tại một điểm có hoành độ là - 4.
c. Xác định phơng trình đờng thẳng d 2 biết d 2 đi qua điểm 7 trên oy và song
song với đờng thẳng y - 3x = 1
5) Giả sử đờng thẳng (d) có ph ơng trình y = ax+ b.
Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A (1;3) và B (-3; 1)
6) Tìm giá trị của m để các đ ờng thẳng sau cắt nhau tại một điểm:
y = 6 - 4x ; y = 3 x + 5 ; và y = (m 1)x + 2m.
4
7)Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y = 2x + m (*)
a)Tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm
A(-1 ; 3)
;
B( 2 ; -5 2 )
;
C(2 ; -1)
b) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x 2 trong góc phần t thứ IV
(m 3)
2
1. Tìm các giá trị của m và n để đ ờng thẳng (d) :
a) Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

8)Cho hàm số: y = (2m-3)x +n-4 (d)

b) Cắt oytại điểm có tung độ

y = 3 2 1 và cắt ox tại điểm có hoành độ x = 1 + 2
2. Cho n = 0, tìm m để đ ờng thẳng (d ) cắt đ ờng thẳng (d / ) có phơng trình x-y+2 = 0
tại điểm M (x;y) sao cho biểu thức P = y 2 -2x 2 đạt giá trị lớn nhất.
9)Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3
a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến .
b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c)Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x 1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng
quy.
10) Chứng minh 3 điểm A(1 ;3) , B( -2;-3) ,C( 3;7) thẳng hàng
11)Tìm m để ba điểm A(4;5) ,B( 2m ; m 2 ) ,C(-3 ;-2) thẳng hàng.
12)Chứng minh 3 đ ờng thẳng : 3x + 7y = 13 , 2x -5y = -1 và y = 4x- 7 cắt nhau tại 1 điểm.

Phần thứ t
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

12


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
A.Phân loại và phơng pháp giải
Loại 1 : Phơng trình bậc nhất 1 ẩn và phơng trình đa đợc về dạng ax = c
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng : ax = c
-Nếu a khác 0 thì phơng trình có 1 nghiệm : x = c/a

-Nếu a = 0 thì phơng trình vô nghiệm khi c khác 0 , vô số nghiệm khi c = 0
-Nếu a cha rõ ta phải xét tất cả các trờng hợp (biện luận)
Chú ý : Trong quả trình biến đổi :
- Nếu có ngoặc thờng phá ngoặc .
- Nếu có mẫu thờng quy đồng rồi khử mẫu
- Nếu mẫu quả lớn thì có thể quy đồng tử .
- Chuyển vế hạng tử phải đổi dấu .
- Chỉ đợc cùng nhân , chia 1số khác 0
Loại 2; phơng trình bậc 2:
Phơng pháp giải : Biến đổi tơng đơng Pt về đúng dạng ax2 + bx + c = 0
- Dạng khuyết ax2 + bx = 0 thì đa về dạng phơng trình tích x(ax + b) = 0
- Dạng khuyết ax2 + c = 0 thì đa về dạng x2 = m
- Nếu a+ b + c = 0 thì x = 1 ; x = c/a
- Nếu a b + c = 0 thì x =-1 ; x= -c/a
- Nếu b = 2b mà b đơn giản hơn b thì dùng CTNTG
- Còn lại thì dùng CTN
Loại 3 : phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: PT Chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải : 1)Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối nếu ngoài chứa ẩn
2)Nếu ngoài không chứa ẩn thì đa PT về dạng /f(x)/ = m
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . 2 dạng đặc biệt /f(x)/ = f(x) và /f(x)/ =- f(x)
Dạng 2: PT chứa 2 dấu giá trị tuyệt đối
Phơng pháp giải: 1) Xét dấu của biểu thức trong giá trị tuyệt đối
2) Lập bảng xét dấu rồi xét từng khoảng giá trị của ẩn
Chú ý : -Đối chiếu ĐK . Dạng đặc biệt /f(x)/ = /g(x)/

và f(x;y)/ + /g(x;y)/ =0

Dạng 3: PT chứa 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên : thì lập bảng xét dấu hoặc đa về HPT
Loại 4 : phơng trình chứa ẩn trong dấu căn (PT vô tỉ)

Giải PT vô tỉ trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Dạng 1: = g (x)

(1). Đây là dạng đơn giản nhất của ph ơng trình vô tỉ.
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

13


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Sơ đồ cách giải:


= g (x)

g(x) 0

(2).

f(x) = [g(x)] 2

(3).

Giải phơng trình (3) đối chiếu với điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp suy ra
nghiệm của phơng trình (1).
Dạng 2: Đa về PT chứa dấu // :
-Nếu trong căn viết đợc dứa dạng bình phơng thì đa về phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng3 : Đặt ẩn phụ : -Nếu bên ngoài biến đổi đợc giống trong thì đặt ẩn phụ ( ĐK của ẩn phụ là không âm)
Dạng 4 : Dùng phơng pháp bình phơng 2 vế :
Chú ý : Khi bình phơng 2 vế phải cô lập căn thức và đạt điều kiện 2 vế không âm

-Dạng

A + B + A B = m thờng bình phơng 2vế

Loại 5 : Phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Giải PT chứa ẩn ở mẫu trớc hết phải tìm ĐKXĐ
Phơng pháp giải : 1) Thông thờng - Tìm ĐKXĐ -Quy đồng ,khử mẫu ,giải PT ,đối chiếu ,kết luận
2) Đặt ẩn phụ : -Nếu PT chứa các phân thức giống nhau hoặc nghịch đảo
3) Nhóm hợp lý ( nếu việc QĐ khó khăn và có 4 phân thức trở lên)
Loại 6 : Phơng trình bậc cao -Đa về Pt tích -Đặt ẩn phụ
B.Bài tập
a.

3x+5 = x-1

h.

x 5 3x + 2

=3
4
6
c. (2x - 3) 2 - (x + 2)(4x - 1)

b.

d. x 2 - ( 3 + 1)x

e.

= -

i.
= 0

x2
3
2 x 22
+
= 2
x+2 2x
x 4

g. x +

7x + 2

2

q.

x + 3 x + 1 x 2 4x + 24

=
x2 x+2
x2 4

t.

x 2x 1 = 2

x2 1
5x 2 5


3x + 2
3x + 2

n. x 2 - 3x +

p. x 2 + ( x + 2) 2 = 4
r.

x + 2x 1 +

(x 2 + x + 1) (x 2 + x + 12)

m.

=4

7(x+4)-3(6-x)=0

k.
l.

3

(2x+3) 2 -(4x-7)(x+5)=0

= 12

= 6

x 2 3x + 1

=1

4x 2 1 = 0

4 x 2 4x + 1 = 20085

u) =

Phần thứ năm

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

14


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

Ruộng vờn chăm bón doanh thu lớn .Sách vở dùi mài đỗ đạt cao
A.Các dạng bài tập và ph ơng pháp giải
Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm
Có thể xảy ra 6 trờng hợp
-Muốn chứng minh PTB2 luôn có nghiệm , có 2 nghiệm pb , vô nghiệm ta chứng minh
Luôn không âm , luôn d ơng , luôn âm.
-Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm , vô nghiệm ta giải bất ph ơng trình

Dạng 2 ; Tính giá trị 1 biểu thức của 2 nghiệm
Phơng pháp giải : - Kiểm tra điều kiện có nghiệm .Tính tổng , tích 2 nghiệm theo VIéT
-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng , Tích 2 nghiệm
Chú ý Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình ph ơng rồi suy ra
-Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng ax12 + bx1 + c = 0 ; ax22 + bx2 + c = 0
-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm
Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt
Dạng 3 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số
B ớc 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
B ớc 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ng ợc lại
Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng
cách nh phơng pháp cộng trong giải HPT
Dạng 4 ; Tìm tham số biết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm
B ớc1 : Tìm ĐK có nghiệm . Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét
B ớc 2 : Biến đổi t ơng đơng hệ thức về dạng toàn Tổng , Tích 2 nghiệm . Nếu không đ ợc
thì giải hệ... ( Hệ thức có bậc 1 )
Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm .- Nếu hệ thức chứa Hiệu , căn thì có thể bình ph ơng , chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần
Dạng 5 : Lập ph ơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm
Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn
- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm x1 , x2 ta làm nh sau :
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

15


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Tính x1 + x2 = S , x1.x2 = P

Vậy PTB2 cần lập là : x 2 - Sx+ P =0

Dạng6 :Tìm 2 số biết tổng và tích : Dủng phơng pháp thế đa về PTB2
Dạng7 :Xét dấu các nghiệm của PT
Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0
Có = b 2 4ac

(a 0)

P = x1 x 2 = c
a
S = x1 + x 2 = b
a
Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc hoặc xét dấu các nghiệm của ph ơng trình bậc hai mà không cần giải ph ơng trình đó, ta có
thể ứng dụng định lí Viét .
0
1. Phơng trình có 2 nghiệm d ơng P 0
S 0


2. Phơng trình có 2 nghiệm âm

0

P 0
S 0


3. Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu: P 0
Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để ph ơng trình bậc 2 có ít nhất 1 nghiệm không
âm. Thờng có 2 cách giải:
Cách 1 : Có P 0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm d ơng 1 nghiệm không âm)

Hoặc P = 0 Tr ờng hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0
Hoặc:

P 0

0
S 0


Thì hai nghiệm đều d ơng.

Cách 2:
Trớc hết phải có 0 khi đó phơng trình có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu :
S 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm d ơng)
Hoặc S = 0 ( Trờng hợp này tồn tại nghiệm không âm)
Hoặc S 0, P 0 ( Trờng hợp này có 1 nghiệm không âm 1 nghiệm âm)
Tuỳ theo đầu bài mà chọn cách xét biểu thức P hay S.
Dạng 8: Nghiệm chung của 2 ph ơng trình
Dạng 9:Hai ph ơng trình t ơng đ ơng
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

16


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai ph ơng trình vô nghiệm th ờng vội kết luận
ngay là hai phơng trình đó không t ơng đơng với nhau:
VD3: Tìm m để hai ph ơng trình x 2 mx + 2m -3 = 0 (1); x 2 (m 2 + m - 4)x + 1=
0 (2) tơng đơng.
H ớng dẫn : Hai phơng trình trên tơng đơng trong hai tr ờng hợp

2 < m < 6
m 2 8m + 12 < 0
1 < 0

* Tr ờng hợp 1 : PT(1) và PT(2) vô nghiệm

3 < m < 2
2
2
m + m 4 4 < 0
2 < 0
1 < m < 2

(không xảy ra)
* Tr ờng hợp 2 : PT(1) và PT(2) cùng có nghiệm x 1 ; x 2 thì theo định lý Vi-ét ta có:

(

)

x1 + x 2 = m = m 2 + m + 4
m 2 4 = 0

m = 2.


x
.
x
=

2
m

3
=
1
2
m

4
=
0

1 2
Thử lại với m = 2 thì hai ph ơng trình t ơng đơng vì chỉ có một nghiệm x = 1. Vậy m = 2

Với

loại toán này ta cần l u ý học sinh: Khi cả hai phơng trình vô nghiệm thì hai ph ơng

trình đó cũng là hai ph ơng trình tơng đơng. Cho nên với một số bài toán ta phải xét hai tr ờng
hợp, trờng hợp cả hai ph ơng trình vô nghiệm và tr ờng hợp cả hai ph ơng trình có cùng một tập
hợp nghiệm.
VD4 :

Tìm m, n để ph ơng trình x 2 (m + n)x -3 = 0 (1)
và phơng trình x 2 2x + 3m n 5 = 0 (2) t ơng đơng.

H ớng dẫn :
PT(1) có = ( m + n ) 2 + 12 > 0 m, n nên PT(1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2

Do đó PT(1) và PT(2) t ơng đơng khi hai phơng trình này có cùng tập hợp nghiệm nghĩa là:
x1 + x 2 = m + n = 2
m + n = 2
m = 1
. Vậy m =1 và n =1 là các giá trị cần tìm



3m n = 2
n = 1
x1 .x 2 = 3 = 3m n 5

Với bài toán này ta đã chỉ ra đ ợc một phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, nên để cho
hai phơng trình tơng đơng thì phơng trình còn lại cũng phải có hai nghiệm giống hai nghiệm
của phơng trình trên. áp dụng định lý Vi-ét về tổng tích hai nghiệm ta sẽ tìm đ ợc m, n
B. bài tập
Bài 1 :Cho phơng trình : x 2 (m + 5)x m + 6 = 0, với m là tham số. Tìm m để giữa hai
nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn : 2x 1 + 3x 2 = 13
Bài 2 : Cho phơng trình: x 2 - 2mx + m = 7
a. Giải phơng trình với m = 7, m = - 4, m =

3

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

17


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

b. Cm phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m

c. Viết một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tính x 1 theo x 2 .
d. Tính theo m:

1
1
+ 3 , 3x 12 - 2mx 1 + 2x 22 + m
3
x1
x2

e. Tính m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, 2 nghiệm d ơng.
g. Với điều kiện nào của m thì x1 x 2 = 4
(x 1 + 3x 2 )(x 2 + 3x 1 ) = 8

;

;

2x 1 + x 2 = 0 ;

x 22 - (2m + 1)x 2 - x 1 + m

> 0

h. Tìm giá trị lớn nhất của A = x , 1 (x 2 x 1 ) - x 22 .
Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là số đối của các nghiệm ph ơng trình trên.
Bài 3 : Cho phơng trình: x 2 -(m+1)x + m = 0
a)

giải phơng trình với m = 3

b) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 17
c)

Lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Giải phơng trình trong tr ờng hợp tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Cho phơng trình:

x 2 - 2mx + 2m 1 = 0

a) Giải phơng trình với m= 4
b) Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm bằng 10.
c) lập hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m sao cho :

2(x 1 2 +x 2 2 )- 8x 1 x 2 = 65

Bài 5 : Cho phơng trình : x 2 -(2k+1)x +k 2 +2 = 0
a)

Tìm k để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

b)

Tìm k để phơng trình có x 1 2 +x 2 2 nhỏ nhất .

Bài6 : Cho phơng trình x 2 +mx+m-1=0

a) Giải phơng trình với m=3
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m
c) Tính tổng và tích giữa các nghiệm của ph ơng trình
Bài 7 : Cho phơng trình: x 2 +( 2m+1 ).x+m 2 +m-2=0
a) Giải phơng trình với m= 4
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

18


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

c) Gọi x 1 ,x 2 là nghiệm của ph ơng trình. Tính theo m: ( x 1 +1) ( x 2 +1)+ 7x 1 x 2 .
Bài 8 : Cho x 2 -4x-( m 2 +2m)=0
a) Giải phơng trình với m=5.
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mọi m.
c) Tính x 2 1 +x 2 2 +8( x 1 x 2 +1) theo m
d) Tìm m để x 2 1 +x 2 2 =5( x 1 +x 2 )
Bài 9 : Cho phơng trình 2x 2 +6x+m=0
a)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phơng trìnhcó 2 nghiệm thoả mãn

x1 x 2
+
5
x 2 x1

Bài 10 : Cho x 2 -2( m-1)x +m-3=0
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm m để x 1 -3x 2 =5
Bài 11 :Cho phơng trình mx 2 +(2m-1)x+(m-2)=0
2. Giải phơng trình với m = 3
3. Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 thoả mãn x 1 2 +x 2 2 =2006
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 12 : Cho phơng trình (m-1)x 2 + 2mx + m 2 = 0.
a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 16, và tìm nghiệm còn lại.
Bài 13 : Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của ph ơng trình x 2 2(m- 1)x 4 =0
( m là tham số )
Tìm m để

x1

+

x2

= 5

Bài 14 : Cho phơng trình:
x 2 3x + 1 = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 . Tính:
a. x 12 + x 22

d. x 15 + x 52

h.

x1 + 1
x +1
+ 2
x2
x1

Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

19


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
e. x1 x 2

b. x 13 + x 32
4

4

i)

g. x 1 x1 + x 2

c. x 1 + x 2

x2

x 1 x 2 + x 2 x1
2

k. x 1 (2x 1 - 3)

+ x2

Bài 15 Cho phơng trình:
x 2 - 2x + m - 3 = 0
* Tìm m để phơng trình :
a. Có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép.
b. Có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn:
b 1 . (x 1 + 3x 2 )( x 2 + 3x 1 ) = 0
b 3 . x 12 + x 22 - x 1 x 2

b 2 . 3x 1 + 5x 2 = 0

= 0

* Biết phơng trình có 1 nghiệm là x 1 = 4. Tìm m và x 2 .
Bài 16 Cho phơng trình x 2 (m+4)x + 3m+3 = 0 ( m là tham số)
a. Xác định m để ph ơng trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b. Xác định m để ph ơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn x 1 3 + x 2 3 0 .
Bài 17 Cho phơng trình bậc 2 đối với x.
(m + 1)x 2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0

(3)

a. Chứng minh rằng phơng trình (3) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
giá trị củ m khác - 1.
b- Tìm giá trị của m để ph ơng trình có hai nghiệm cùng dấu.
c. Tìm giá trị của m để ph ơng trình có hai nghiệm cùng dấu và trong hai
nghiệm đó có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Bài 18 Cho phơng trình : (m 2 + 1)x 2 + 2(m 2 + 1)x m = 0, với m là tham số. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của : A = x 1 2 +x 2 2 với x 1 , x 2 nghiệm của phơng trình
Xét hai phơng trình: x 2 +x+k+1 = 0 (1) và x 2 - (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
a) Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4
b) Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c) Với giá trị nào của k thì hai ph ơng trình trên tơng đơng ?
Bài 19 Xét hai phơng trình: x 2 +x+k+1 = 0 (1) và x 2 - (k+2)x+2k+4 = 0 (2)
a)Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - 4
b)Tìm k để phơng trình (2) có một nghiệm bằng 2 ?
c)Với giá trị nào của k thì hai ph ơng trình trên tơng đơng ?
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

20


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Bài 21 : Cho hai phơng trình :

x 2 (2m + n)x -3m = 0 (1)
x 2 (m + 3n)x - 6 = 0 (2). Tìm m, n để 2pt trên t ơng đơng

Bài 22: Cho hai phơng trình : x 2 +(m + 1)x +1 = 0 (3)
x 2 + x + m+ 1 = 0 (4)
a) Tìm m để phơng trình (3) có tổng bình ph ơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
b) Tìm m hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 23: Tìm m để hai phơng trình : x 2 + 2x - m = 0 (5)
2x 2 + m x + 1 = 0 (6) t ơng đơng
Bài 24 : Cho phơng trình x 2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0
a) Chứng minh rằng ph ơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

c) Chứng minh rằng biểu thức H = x 1 (1 - x 2 ) + x 2 (1 - x 1 ) không phụ thuộc vào m.
d) Tìm giá trị của biểu thức x 1 - x 2 ; x 1 2 - x 2 2 ; x 1 3 - x 2 3 .
Bài 25 :
a) Định m để pt mx 2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = 0 có tổng bình ph ơng các nghiệm là 13.
b) Định m để pt mx 2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 có tổng bình ph ơng các nghiệm là 2005.
Bài 26 : Cho phơng trình x 2 - 2(m + 1)x + m 2 - 4m + 5 = 0.
a) Định m để phơng trình có nghiệm.
b) Định m để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt đều d ơng.]

Phần thứ sáu

Hỏi bạn một câu chỉ dốt trong chốc lát. Không dám hỏi sẽ dốt cả đời
Lo i I: Toán chuyển động
Bài 1: Hai xe ô tô cùng khởi hành một lúc từ Hà Nội vào Thanh Hoá .Xe thứ nhất mỗi giờ đi
nhanh hơn xe thứ hai 10km nên đến Thanh Hoá sớm hơn xe thứ hai 30 phút.Tính vận tốc mỗi
xe,biết quãng đờng Hà Nội Thanh Hoá dài 150 km
Bài 2: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm hơn
xe tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ?
Bài 3: Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ nhất
chạy chậm hơn canô thứ hai 4km/h . Trên đờng đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy tiếp đến B. Tính vận
tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trớc ca nô thứ hai 20 phút.
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng 90km , rồi ngợc dòng 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ
và vận tốc xuôi dòng lớn hơn ngợc dòng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nô đi hết quãng đờng AB.
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

21


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính vận tốc của dòng nớc , biết vận tốc riêng của tàu khi nớc yên lặng là 21km/h.

Bài 6: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngợc chiều nhau. Sau 1giờ 20 phút gặp
nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc là 9km/h và
vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 7:Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trôi theo dòng n ớc từ A về
hớng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trôi đợc 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng
vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nớc bằng 4km/h.
Bài 8: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi đ ợc nửa quãng đờng
xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h trên quãng đ ờng còn lại. Tính
vận tốc dự định.
Bài 9:Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc
45km/h .Sau khi đã đi đợc 3/4 quãng đờng CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đờng còn lại vì vậy
đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đờng CD.
Bài 10: Một ngời đi xe đạp dự định đi hết quãng đờng AB dài 20km trong thời gian đã định. Nhng thực tế , sau
khi đi đợc 1 giờ với vận tốc dự định, ngời đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đờng còn lại. Vì vậy đã đến B
chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đờng.
Bài 11:Một ô tô dự định đi hết quãng đờng AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi đợc 2 giờ , ngời
lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đờng còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính
vận tốc ô tô đi ở đoạn đờng đầu ?
Bài 12: Một ngời dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa quãng
đờng , ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đờng còn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn
đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của ngời đi xe đạp trên đoạn đờng cuối của đoạn AB.
Bài 13: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B trở về A và gặp
xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc
của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trớc ô tô 48 phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đờng.
Bài 14: Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng 20km/h
so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nh ng nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian
đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bi 15 : Mt bố na trụi t do ( vi vn tc bng vn tc ca dũng nc ) v mt ca nụ cựng
di bn A xuụi dũng sụng. Ca nụ xuụi dũng c 144 km thỡ quay tr v bn A ngay, c i
ln v ht 21 gi. Trờn ng ca nụ tr v bn A, khi cũn cỏch bn A 36 km thỡ gp bố na

núi trờn. Tỡm vn tc riờng ca ca nụ v vn tc ca dũng nc.
Bi 16 : Hai ụtụ khi hnh cựng mt lỳc trờn quóng ng t A n B di 120 km. Mi gi
ụtụ th nht chy nhanh hn ụtụ th hai l 10 km nờn n B trc ụtụ th hai l 2/5 gi. Tớnh
vn tc ca mi ụtụ ?
Bi 17 : Mt ca nụ xuụi dũng t bn sụng A n bn sụng B cỏch nhau 24 km ; cựng lỳc ú,
cng t A v B mt bố na trụi vi vn tc dũng nc l 4 km/h. Khi n B ca nụ quay li
ngay v gp bố na ti a im C cỏch A l 8 km. Tớnh vn tc thc ca ca nụ
Loại II: Toán Năng Suất
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

22


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Bài 18: Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhng thực tế , do áp
dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó không những hoàn thành tr ớc thời hạn
40 phút mà còn vợt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.
Bài 19: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trớc khi làm việc xí nghiệp giao thêm
cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù ngời đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự
kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 20: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ phải bơm đ ợc 10
m3 . Sau khi bơm đợc 1/3 thể tích bể chứa , ngời công nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất
lớn hơn 5m3 mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui định bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút . Tính thể tích
bể chứa .
Bài 21: Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi làm đợc 2

giờ , ngời đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng đợc 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy trong thời gian qui
định không những hoàn thành kế hoạch mà còn vợt mức 16 sản phẩm. Tính năng suất làm lúc đầu.

Bài 22: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi đợc nửa số lợng đợc giao ,

ngời đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với nửa số sản phẩm còn lại song
vẫn hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng suất dự kiến .
Bài 23 : Một công nhân đ ợc giao làm một số sản phẩm trong một số thời gian nhất định. Khi
còn làm nốt 30 sản phẩm cuối cùng ng ời đó thấy nếu cứ giữ nguyên năng suất thì sẽ chậm 30
phút. Nếu tăng năng suất thêm 5 sản phẩm một giờ thì sẽ xong sớm hơn so với dự định là 30
phút. Tính năng suất của ng ời thợ lúc đầu.
Bài 23 : Một phân xởng đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩn. Trong 5 ngày đầu do còn phảI
làm việc khác nên mỗi ngày phân x ởng sản xuất ít hơn mức đề ra là 4 sản phẩm. Trong những
ngày còn lại, x ởng sản xuất vợt mức 10 sản phẩm mỗi ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn
1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân x ởng cần sản xuất bao nhiêu sản phảm ?
Loại III: Loại toán làm chung ,làm riêng
Bài 25:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
chảy 15 phút rồi khoá lại, rồi mở tiếp vòi thứ hai chảy 20 phút thì đợc 20% bể. Hỏi nếu để từng vòi chảy một thì
sau bao lâu bể đầy.
Bài 26:Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính xem nếu để từng
vòi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần nhiều hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
Bài 27:Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày xong. Biết rằng nếu làm một mình xong việc thì ngời
thứ nhất làm nhanh hơn ngời thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi ngời làm một mình xong công việc trên.
Bi 28 : hon thnh mt cụng vic, hai t phi lm chung trong 6 gi. Sau 2 gi lm chung
thỡ t hai c iu i lm vic khỏc, t mt ó hon thnh cụng vic cũn li trong 10 gi.
Hi nu mi t lm riờng thỡ sau bao lõu s lm xong cụng vic ú ?
Bài 28
Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc. Họ làm
chung với nhau trong 4 giờ thì ng ời thứ nhất chuyển đi làm việc khác, ng ời thứ hai làm nốt
công việc trong 10 giờ. Hỏi ng ời thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành song công việc.
Bài 30
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

23

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán

Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một
mình thì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết khi làm riêng, tổ I
hoàn thành sớm hơn tổ II là 3 giờ.
Bài31
Hai vòi n ớc cùng chảy vào một bể thì sau 4 4/5 giờ bể đầy . Mỗi giờ l ợng nớc của vòi I
chảy đợc bằng 1 1/2 l ợng nớc chảy đợc của vòi II .Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao
lâu đầy bể ?
Bài32
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong .Nếu ng ời thứ làm 3 giờ và
ngời thứ hai làm 6giờ thì họ làm đ ợc 25% công việc .Hỏi mỗi ng ời làm công việc đó một
mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc
Bài33 Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong12 ngày. Họ
cùng làm với nhau đ ợc 8 ngày thì đội một đ ợc điều động làm việc khác , còn đội 2tiếp tục
làm .Do cải tiến kĩ thuật ,năng suất tăng gấp đôI nên đội 2 đã làm xong phần công việc
còn lại trong 3 ngày r ỡi .Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm
xong công việc nói trên (với năng suất bình th ờng)?
Bài34
Nếu hai vòi n ớc cùng chảy vào bể thì sau 1giờ 20 phút bể đầy . Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 10phút và vòi thứ hai chảy trong 12phút thì đầy 2/15 bể.Hỏi nếu mỗi vòi chảy một
mình thì phảI bao lâu mới đầy bể ?

Loại IV: Loại toán tìm số
Bài 35:Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ
số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số.
Bài 36: Tích của 2 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 55. Tìm 2 số đó .
Bài 37
Cho một số có hai chữ số . Tìm số đó , biết rằng tổnh hai chữ số của nó nhỏ hơn số đo 6 lần ,

nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ đ ợc một số viết theo thứ tự ng ợc lại với số đã cho

Loại V: Loại toán có nội dung hình học
Bài 38:Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m . Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn thuộc đất của vờn
rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2. Tính kích thớc của vờn
Bài 39:Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lợt bằng 30m, 50m ngời ta làm hai đoạn đờng có cùng chiều rộng. Các tim đờng lần lợt là đờng trung bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung
điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đờng đó biết rằng diện tích làm đờng chiếm 0,25 diện tích hình thang.
Bi 40 : Mt khu vn hỡnh ch nht cú chiu di bng 7/4 chiu rng v cú din tớch bng
1792m 2 . Tớnh chu vi ca khu vn y.
Su tầm và biên tập - lê hoàng vân - Tr ờng THCS Cẩm sơn

24


Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán
Bài41
Một tam giác có chiều cao bằng 2/5 cạnh đáy . Nếu chiều cao giảm đI 2dm và cạnh đáy tăng
thêm 3dm thì diện tích của nó giảm đI 14dm . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác .
Bài 42
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250m . Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu
chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi .
Bài 43 Một hình chữ nhật có đ ờng chéo bằng 13m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m, Tính
diện tích hình chữ nhật đó .
Loại VI: Loại toán phần trăm
Bi 44 : Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm. Do ỏp dng k thut mi nờn t I ó
vt mc 18% v t II ó vt mc 21%. Vỡ vy trong thi gian quy nh h ó hon thnh
vt mc 120 sn phm. Hi s sn phm c giao ca mi t theo k hoch ?
Bài 45 Trong tháng 1 ,hai tổ công nhân sản xuất đ ợc 800 chi tiết máy .Sang tháng 2 ,tổ I sản
xuất vợt mức 15% ,tổ II sản xuất đ ợc 120%,do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đ ợc 945 chi
tiết máy .Hỏi rằng trong tháng đầu , mỗi tổ công nhân sản xuất đ ợc bao nhiêu chi tiết máy ?

Các Loại toán khác
Bài 47: Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê
thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 ngời nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu
dãy ghế, biết mỗi dãy có số ngời ngồi nh nhau và không quá 5 ngời.
Bài 48:Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang tăng thêm 4 chữ.
Nhng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn không thay đổi. Tính số chữ , số dòng
trong trang sách lúc đầu.
Bài 49: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lợng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhng thực tế
đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số l ợng xe
mà đội đã điều động chuyên chở.
Bài 50 Một phòng họp có 360 ghế ngồi đ ợc xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng
nhau . Nếu số dãy tăng thêm 1và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400
ghế .Hỏi tronh phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có ba o nhiêu ghế ?
Bài 51 Trong một buổi liên hoan, một lớp mời 23 khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên
phải kê thêm 1 ghế và mỗi ghế phải ngồi thêm một ng ời nữa mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi
dãy ghế đều có số ng ời ngồi nh nhau Hỏi ban đầu lớp có bao nhiêu ghế ?

Phần thứ bảy

ởSuđời
điều
tiếc:Một
hômTHCS
nayCẩm
bỏ sơn
qua ,
tầmcóvàba
biên
tập đáng
- lê hoàng

vân -là
Tr ờng
hai là đời nay chẳng học,ba là thân này lỡ h.

25