GIÁO ÁN TỰ CHỌN TOÁN 6 ( giáo án buổi 2 toán 6)

Chơng I . Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên
A. Phơng pháp
1. Phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng
Ví dụ 1 . Tìm số bị chia và số chia biết rằng thơng bừng 5 , d bằng 12 và tổng của số bị chia ,
số chia , số d bằng 150.
Giải :
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng
Số chia
Số bị chia
Số d

}

150

Từ sơ đồ ta thấy 6 lần số chia băng 150 12-12 = 126
Số chí bằng : 126 : 6= 21 ,
Số bị chia bằng : 21.5 + 12 = 117
Ví dụ 2 .

2. Phơng pháp lựa chọn
Ví dụ 3 . Tìm số chia và thơng của phép chia , biết số bị chia bằng 71 và số d bằng 11 .
Giải :
Ta có : SBC = SC * T + SD
Hay 71 = SC * T + 11
SC * T = 71 11 = 60 = 60 * 1 = 30 * 2 = 20 * 3 = 15* 4 = 12*5 = 10*6
Vì SC > SD =11 , suy ra : SC = 60 , T =1
..............
Ví dụ 4 . Tìm số có 3 chữ số , biết rằng bình phơng chữ số hàng chục bằng tích của hai chữ số
kia và nếu đổi hai chữ số hàng trăm và hàng đơn cho nhau thì số ấy giảm đi 594 đơn vị .
Giải :

Gọi số phải tìm là abc . Xét phép trừ
abc
Do a > c nên phép trừ ở cột đơn vị có nhớ , vì thế
- cba
10 +c a = 4 , tức là a c = 6
.........
Các số thoả mãn điều kiện này là
594
6b0 ; 7b1 ; 8b2 ; 9b3
Và b2 = a.c và theo thứ tự bằng 0 ;7;16;27 có hai trờng hợp thoả mãn
a) b2 = 0 , số phải tìm là 600
b) b2 = 16 , số phải tìm là 842
3. Phơng pháp giả thiết tạm
Ví dụ 5 .
4. Phơng pháp dùng đơn vị quy ớc
5. Phơng pháp tính ngợc từ cuối
6. Phơng pháp suy luận lôgic
7. Nguyên lí Đirichlê
B . Chuyên đề
1. Điền chữ số
2. Dãy số viết theo quy luật
3. Đếm số
4. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
5. Hệ ghi số với cơ số tuỳ ý
6. Một số vấn đề lịch sử về số nguyên tố
7. Các vến đề nâng cao về tính chia hết , ớc số và bội số
8. Số chính phơng
1

Luyện tập về tính chất chia hết của một tổng
-----o O o-----

A.Tóm tắt kiến thức
1. Tính chất 1 : (SGK)
2. Tính chất 2 : ( SGK)
B. Các dạng bài tập
Dạng 1 . Xét tính chia hết của một tổng
Phơng pháp giải : Sử dụng các tính chất chia hết của một tổng .
Bài 1 . Mỗi số hạng của tổng sau có chia hết cho 7 không ?
Mỗi tổng sau có chia hết cho 7 không ?
a) 21 + 35 + 140
b) 14 + 77 + 49
c) 7 + 77 + 10
d) 63 + 17 + 70
Hớng Dẫn
a) 21:7 ; 35 : 7 và 140 : 7 theo tính chất 1 ( 21 + 35 + 140 ) : 7
b) ....
2


Bài 2 . Mỗi số hạng của tổng sau có chia hết cho 6 không ?
Mỗi tổng sau có chia hết cho 6 không ?
a) 42 + 54
b) 600 14
c) 120 + 48 + 20
d) 60 + 15 + 3
Bài 3 . Cho S = 2+ 4 + x + 16 + 32 ( x N)
Tìm điều kiện của x để :
a) S : 2

b) S : 2
Bài 4 . Khi chia số tự nhiên a cho 24 , ta đợc số d là 10 . Hỏi số a có chia hết cho 2 không ? có chia
hết cho 4 không ?
Hớng dẫn
Ta có a = 24 . q + 10 , vì 24q : 2 và 10 :2 theo tính chất 1 a : 2
Tt
BàI 5 . Khi chia số tự nhiên a cho 36 ,ta đợc số d là 24 . Hỏi số a có chia hết cho 12 không ? có
chia hết cho 18 không?
Bài 6 . Tìm số tự nhiên x có 1 chữ số , biết rằng x + 81 chia hết cho 9 ?
Hớng dẫn
Để x + 81 : 9 , theo tính chất 1 các số hạng của tổng đều : 9 , mà 81 : 9 , nên x : 9 vậy x = 9
Bài 7 . Tìm số tự nhiên x có 2 chữ số , biết rằng x + 186 chia hết cho 93?
Bài 8 . Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số , biết rằng x + 2991 chia hết cho 997 ?
Bài 9 . Tìm số tự nhiên x có 3 chữ số , biết rằng x + 2999 chia hết cho 997 ?
Dạng 2 . Xét tính chia hết của một tích
PPG : áp dụng tính chất : Nếu trong một tích các số tự nhiên có một thừa số chia hết cho 1
số nào đó thì tích cũng chia hết cho số đó
Bài 1. Các tích sau có chia hết cho 7 không ?
a) 4.5.6.7.8
b) 6.7.8.9
c) 14.15.16.17
Bài 2 . Chứng tỏ rằng 333 333 : 7
Hớng dẫn
333 333 = 7. 15 873 : 7
Bài 3 . Chứng tỏ rằng aaa aaa : 7
Bài 4 . chứng tỏ 328 328 : 11
Hớng dẫn
328 328 = 328. 1001 = 328.11.91 :11
Bài 5 . Chứng tỏ abc abc : 11
Dạng 3 . Dạng khác

Bài 1 . a) Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp , là số chia hết cho 3
b) Tổng 5 số tự nhiên liên tiếp , là số chia hết cho 5
c) Tổng n số tự nhiên liên tiếp , là số chia hết cho n . Nừu n là số lẻ
Bài 2 . a) Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp , là số không chia hết cho 2
b)Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp , là số không chia hết cho 4
c) Tổng 6 số tự nhiên liên tiếp , là số không chia hết cho 6
d) Tổng n số tự nhiên liên tiếp , là số không chia hết cho n . Nừu n là số chẵn
Bài 3 . Chứng tỏ ( 17n + 2)(17n + 1 ) chia hết cho 3 với n N .
HƯng dẫn
3


17n ; 17n + 1 và 17n +2 là 3 số tự nhiên liên tiếp , nên có 1 số chia hết cho 3 n N
Mà 17n o/ : 3 n N . Do đó ( 17n + 1 và 17n + 2 có 1 số chia hết cho 3
Vậy .....
Bài 4 . Chứng tỏ rằng ( 9m + 1)( 9m + 2 ) (9m + 3 )( 9m +4) chia hết cho 5 với mọi n N .

Dấu hiệu chia hết trong N
----o O o----

A. Tóm tắt lý thuyết
Cho n N
n:2 <=> Chữ số tận cùng là chữ số chẵn
n: 5 <=> Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
n: 3 <=> Tổng các chữ số của n chia hết cho 3
n:9 <=> Tổng các chữ số của n chia hết cho 9
B. Các bài toán
Dạng 1 . Nhận biết
Bài 1 . Trong các số : 213 ; 435 ; 680 ; 156 ; 5319 ; 3240 ; 831
a) Số nào chia hết cho 2

b) Số nào chia hết cho 5
c) Số nào chia hết cho 3
d) Số nào chia hết cho 9
Bài 2 . Tổng ( hiệu ) sau có chia hết cho 2 không ? Có chia hết cho 5 không ?
a) 1.2.3.4.5 + 52
b) 1.2.3.4.5 75
c) 1.2.3.4.5 + 80
d) 1.2.3.4.5 90
Bài 3*. Biết a và b là hai số tự nhiên không chia hết cho 2 . Hỏi tổng a + b có chiahết cho 2
không ?
Giải
Vì a và b đều không chia hết cho 2 nên a : 2 d 1 , b : 2 d 1 nên a + b chia cho 2 d 2 , tức a +
b:2.
Bài 4*** . Tổng sau có chia hết cho 9 không ?
a) 1013 + 8
b) 1013 + 98
c) 101234 + 2
Giải
a) 1013 + 8 = 100...0 + 8 = 100...08 có tổng các chữ số là 9 , là số chia hết cho 9 nên
tổng chia hết cho 9 .
b) Tơng tự
Dạng 2 . Điền số
Bài 1 . Điền chữ số thích hợp vào dấu * để đợc số 35*
a) chia hết cho 2
b) Chia hết cho 5
c) Chia hết cho 3
4


d) Chia hết cho 9

Giải
a) 35* :2 nên * phải là số chẵn . Vậy * thuộc {0;2;4;6;8}
b) 35* : 5 nên * phải là 0 hoặc 5. Vậy * thuộc {0 ; 5 }
c) 35* : 3 nên ( 3 + 5 + * ) : 3 hay ( 8 + * ) :3 . Vậy * thuộc {1 ; 4 ; 7 }
d) 35* : 9 nên ( 3 + 5 + * ) : 9 hay ( 8 + * ) : 9 . Vậy * thuộc {1 }
Bài 2. Điền số vào dấu * để
a) 3*5 chia hết cho 2
b) 3*5 chia hết cho 5
c) 3*5 chia hết cho 3
d) 7*2 chia hết cho 9
e) *63* chia hết cho cả 2,3,5,9.
Bài 3 . Điền chữ số vào dấu * để đợc số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
a) 52*
b) *482
Dạng 3 . Viết số
Bài 1 . dùng cả 3 chữ số 6,0,5 hãy ghép thành số tự nhiên có 3 chữ số sao cho số đó :
a) Số đó chia hết cho 2
b) Số đó chia hết cho 5
Bài 2 . Dùng 3 trong 4 chữ số 7,6,2,0 hãy ghép thành các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho số đó:
a) Số đó chia hết cho 3
b) Số đó chia hết cho 9
Bài 3 . Tìm số tự nhiên có 5 chữ số , các chữ số giống nhau , biết rằng số đó chia hết cho 2 và
chia cho 5 d 1.
Giải :
Gọi số cần tìm là aaaaa ( a $ N , 1<= a<=9 )
Aaaaa : 5 d 1 , nên a thuộc {1; 6}
Aaaaa: 2 do đó a = 6
Số cần tìm là 66666
Bài 4* . Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2 , có bao nhiêu số chia hết cho 5
Giải

Các số chia hết cho 2 là : 2;4;6;8 ... 100
Gồm : (100 2 ) : 2 + 1 = 50 số
Các số chia hết cho 5 là : 5 ; 10 ; 15 ... 100
Gồm : (100 5 ) : 5 + 1 = 20 số
Bài 5*** . Viết các số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 99 ta đợc số T . Số T có chia hết cho 9 không ?
Giải
T = 1011121314....9899
Xét 90 số 10;11;12;13;14;...98;99
Tổng các chữ số hàng đơn vị là : ( 0+1+2+3+...+9). 9 = 45 . 9 = 405
Tổng các chữ số hàng trục là : ( 1+ 2 + 3 + ... + 9 ) .10 = 45 .10 = 450
Tổng các chữ số của số T là : 405 + 450 = 855
855 : 9 . Vậy T : 9

Dạng khác
Bài 1 .
a) Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng 5 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5
c) Tổng n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n . Nếu n là số lẻ
d) Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 2
e) Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
5


f) Tổng n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n . Nếu n là số chẵn .
Bài 2 . Chứng tỏ rằng :
a) Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 2
b) Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3
c) Em rút ra nhận xét gì ?
Giải
a) Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là : a ; a+ 1

Nếu a: 2 thì bài toán đã đợ giải
Nếu a:: 2 , thì a= 2k + 1 suy ra a+1 = 2k + 2 : 2

Luyện tập ớc và bội Số nguyên tố . Hợp số
A. Tóm tắt kiến thức
1. Ước và Bội
a) Định nghĩa
b) Cách tìm
2. Số nguyên tố Hợp số
Định nghĩa
B. Các dạng bài tập
Dạng 1 . Tìm ớc và bội của một số

---- o O o ---

Bài 1. Tìm các bội nhỏ hơn 40 của 7 .
HD : B(7) = {0;7;14;21;28;35}
Bài 2. Tìm các ớc của 45 ; 21 ; 31; 18
HD : Ư(45) = {1;3;5;9;15;45}
6


Bài 3 . Tìm các số có hai chữ số là bội của
a) 32
b) 41

c) 39

Bài 4 . Tìm các số có hai chữ số là ớc của :
a) 60

b) 45

c) 80

Bài 5* . Có bao nhiêu bội của 4 từ 12 tới 200 ?
Bài 6** . Một cửa hàng có 6 thùng dầu . Thùng thứ nhất đựng 31 lít ,thùng thứ hai 20 lít , thùng thứ
ba 19 lít , thùng thứ t 18 lít , thùng thứ năm 16 lít , thùng thứ sáu 15 lít . Hai khách hàng đến mua 5
thùng và số dầu ngời thứ hai mua gấp đôi số dầu ngời thứ nhất mua . Hỏi trong kho còn lại thùng
dầu nào ?
HD
Số dầu ngời thứ hai mua gấp đôi số dầu ngời thứ nhất mua , nên số dầu ở 5 thùng hai ngời đã
mua là bội của 3 .
Tổng số dầu trong 6 thùng là : .... = 119 lít
Số này chia cho 3 d 2 . Vậy số dầu trong thùng còn lại phải là số chia cho 3 d 2 . Trong 6 số
thì chỉ có 20 : 3 d 2. Vậy trong kho còn lại thùng chứa 20 lít dầu .
Dạng 2. Tìm x
Bài 1 . Tìm số tự nhiên x sao cho :
a) x B(15) và 40 < x < 70
b) x B(13) và 30 c) x : 12 và 0 < x < = 30
d) x: 17 và 0e) x Ư(30) và x > 12
f) x Ư(35) và x > 15
HD :
a) B(15) = {0 ;15;30;45;60;75....}

vì 40 < x< 70 nên x {45;60}

Bài 2 . Tìm số tự nhiên x sao cho
a) 25 : x

b) 8:x
c) 6:(x-1)
d) 14:(2x+1)
HD
a) Để 25 : x , nghĩa là x Ư(25) . Vậy x {1;5;25}
b) Tt
c) Để 6 : ( x 1 ) nghĩa là x- 1 Ư(6) = {1;2;3;6} , do đó :
- Nếu x 1 = 1 thì x = 2
- Nếu x 1 = 2 thì x = 3
- Nừu x 1 = 3 thì x = 4
- Nêu x 1 = 6 thì x = 7
Vậy x {2;3;4;7}
d) tt ( Lu ý 2x+1 là số lẻ )
Bài 3 ** Tìm số tự nhiên x sao cho :
a) x + 20 là bội của x + 2
b) 4x + 49 là bội của x + 5
HD
a) x + 20 là bội của x + 2 , suy ra ( x+ 20 ) : ( x + 2 )
hay [ (x+2) + 18 ] : (x+2)
7


Do đó 18 : (x+2) , tđ (x +2) Ư(18)
Ư(18) = {1;2;3;6;9;18}
Mà x+ 2 >= 2
Ta có x+ 2 {2;3;6;9;18}
x {0;1;4;7;16}
Dạng 3 . Nhận biết số nguyên tố . Hợp số
Bài 1 . Các số sau là số nguyên tố hay hợp số
1431 ;`

635 ;
119 ;
73

; 1975;

1133 ;`

61616161

Bài 2 . Tổng hiệu sau đây là số nguyên tố hay hợp số ?
a) 4.5.6 + 9.13
b) 7.11.13 5.6.7
c) 17.19.23 + 23.25.27
d) 11.13.17 121
e) 4352 + 24123

Dạng 4 . Tìm số
Bài 1 . Thay dấu * để số :
a) 7* là hợp số
b) 7* là số nguyên tố
c) * . ** = 51
Bài 2 . Tìm số tự nhiên k để
a) 5k là số nguyên tố
b) 17k là số nguyên tố
Bài 3 . Tìm tất cả các số tự nhiên n để :
a) n2 + 12n là số nguyên tố
b) 3n + 6 là số nguyên tố
Bài 4 ** . Gọi a = 2.3.4.5....101. Có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không ?
a+2;a+3;a+4:.....; a+101.

Bài 5 ** . Tìm 2002 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số ?
Bài 6 ** . Cho P và 8p 1 là số nguyên tố . Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số .

8


Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

----o O o--A. Tóm tắt kiến thức
1. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là gì ?
2. Mọi số ttự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố .
a = p1k1p2k2...pnkn
Trong đó p1; p2...;pnlà các thừa số nguyên tố
k1; k2; ....; kn là các số mũ tự nhiên
Cách 1: ( phân tích theo cột dọc ) Chi n cho một số nguyên tố ( xét từ nhỏ đến lớn ) , Rồi chia thơng tìm đợc cho một số nguyên tố ( cũng xét từ nhỏ đến lớn ) , cứ nh vậy cho đến khi thơng bằng 1
.
Ví dụ : 90 2
45 3
15 3
5 5
1
90 = 2. 32.5
Cách 2 : ( Phân tích theo hàng ngang ) :Viết n dới dạng một tích các thừa số , mỗi thừa số lại viết
thành tích cho đến khi các thừa số đều là số nguyên tố .
Ví dụ : 90 = 9.10 = 32. 2.5
( dù phân tích bằng cách nào ta cũng chỉ có một kết quả ).
3. Số lợng các ớc của số m ( m>1 ) , m= axbycz ( a,b,c là các số nguyên tố ) là (x+1)(y+1)(z+1)
Ví dụ : 6 = 2.3 . Số lợng các ớc của 6 là : (1+1)(1+1)= 4 . cụ thể Ư(6)={1;2;3;6}
Số lợng các ớc của 90 là : ?
4. Số hoàn chỉnh là một số bằng tổng các ớc của nó ( không kể chính nó )

Ví dụ : các ớc của 6 ( không kể chính nó ) là : 1;2;3, ta có : 1+2+3=6, Số 6 là số hoàn chỉnh
B. Các dạng bài tập
Dạng 1 . Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
Bài 1 . Phân tích ra thừa số nguyên tố :
a) 64; 160; 380; 505
b) 600; 1090; 1200; 7560
Đáp số :
a) 64 = 26 ; 160 = 25.5 ; 380 = 22. 5.19 ; 505 = 5. 101
b) 600 = 23. 3.52 ; 1090= 2.5.109 ; 1200 = 24.3.52 ; 7560 = 23. 33 .5.72
Dạng 2 . Tìm tập hợp các ớc của một số bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố
Bài 2. Hãy viết tất cả các ớc của a,b,c biết rằng :
a = 5.11
b= 24
c=32. 7
HD
a) a = 5.11 có các ớc là : 1; 5; 11; 55
Bài 3 . Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ớc của số đó :
25
46
68
74
Dạng 3 . Toán tìm số
Bài 4 . Tìm hai số tự nhiên liên tiếp ,biết tích của chúng bằng 132 .
9


HD
Phân tích 132 ra thừa số nguyên tố 132 = 22.3.11
Ghép các thừa số để đợc hai số tự nhiên liên tiếp :
132 = (22.3).11 =11.12

Vậy hai số cần tìm là : 11 ; 12
Bài 5. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , biết tích của chúng bằng 240
HD tt
Bài 6. Tích của hai số tự nhiên a và b bằng 28 . Tìm a và b ?
HD
a.b = 28 vậy a,b Ư(28)
ta có 28 = 22. 7 , Vậy Ư(28) = {1;2;4;7;14;28}
Vậy
a
1
2
4
7
b
28
14
7
4

14
2

28
1

Bài 7 . Tích của hai số a và b bằng 42 . Tìm a và b , biết a > b ?
Bài 8* . Trong một phép chia , số bị chia bằng 86 , số d bằng 9 . Tìm số chia và thơng ?
HD
Gọi số chia là a , thơng là b ( a,b N , a > 9 )
Theo đầu bài ta có : 86 =a.b + 9

a.b = 77
Phân tích số 77 ra thừa số nguyên tố : 77 = 7 . 11
a> 9 nên a = 77 , b =1
a = 11 , b = 7
Bài 9* . Trong một phép chia , số bị chia bằng 98 , số d bằng 3 . Tìm số chia và thơng ?
Bài 10** . Tìm các số nguyên tố p sao cho:
a) p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố .
b) p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố
HD
a) Nếu p = 2 thì p+2 = 4 , p+4 =6 là hợp số
Nếu p =3 thì p+2 = 5 , p+4 = 7 là số nguyên tố
Nếu p >3 thì p = 3k + 1 hoặc p = 3k+2 ( k N) , Khi đó 1 trong 2 số p + 2 hoặc p + 4 là
hợp số .
Vậy p = 3
b) tt
Bài 11*** . Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 : 7
HD
18n+3:7 => 14n + 4n + 3 : 7 => 4n + 3 : 7 => 4n+3 7 : 7 => 4n- 4 : 7 => 4( n- 1) : 7 =>
vì 4:/ 7 => n- 1 : 7 => n-1 = 7k => n = 7k + 1 ( k N)
Dạng 4 . Bài toán
Bài 12 . Tùng có 48 viên bi ,muốn xếp số bi đó vào các túi sao cho số bi ở các túi đều bằng nhau.
Tùng có thể xếp 48 viên bi đó vào mấy túi ( kể cả trờng hợp xếp vào 1 túi ) .
HD
Số bi đợc xếp đều vào các túi, vậy số túi là gì của tổng số bi ?
Tìm Ư ( 48 )
Vậy số bi có thể xếp vào mấy túi?
10


Bài 13. Lớp 6 B có 36 HS , muốn xếp HS lớp 6B thành từng hàng sao cho số HS mỗi hàng đều

bằng nhau . Số 36 HS có thể xếp thành mấy hàng ?
Bài 14 . Bạn Hà hơn em Mai 10 tuổi . Có mấy năm tuổi Mai là ớc số tuổi của Hà ?
HD
`Gọi tuổi của Mai là n
Thì tuổi của Hà là n + 10
Theo đề bài tuổi của Mai là Ước số của tuổi Hà nên ta suy ra : n+10 : n => 10 : n
Vậy n là ớc của 10
Mà Ư(10) = {1;2;5;10}
Vậy có 4 năm tuổi Mai là ớc số tuổi của Hà .

ớc chung và ớc chung lớn nhất
---o O o--A. Tóm tắt kiến thức
1. Ước chung
Định nghĩa ( SGK Trang 51)
2. Giao của hai tập hợp
Khái niệm (SGK Trang 52)
3. Ước chung lớn nhất
Định nghĩa ( SGK Trang 54)
4. Cách tìm ƯCLN
Quy tắc ( SGK-Tr55)
5. Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN
11


Ví dụ : ƯC(12,30)={1,2,3,6}
ƯCLN(12,30)=6
Mà Ư(6) = {1,2,3,6}
Vậy Tìm ƯC của các số đã cho, ta có thể tìm các ớc của ƯCLN của các số đó.
Ví dụ: Tìm ƯC( 18;24)
ƯCLN(18,24)=?

Ư(?)=...
Vậy ƯC(18,24)=....
6. Số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ : 8,9 là hai số nguyên tố cùng nhau , Vì ƯCLN(8,9)=1
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm ƯCLN
PP : áp dụng quy tắc tìm ƯCLN
Bài 1. Tìm ƯCLN của :
a) 42; 55 và 91
b) 85; 161 và 333
c) 96; 700 và 528
d) 630; 1155 và 5985
Bài 2. Nếu a:b thì ƯCLN(a,b)=? Ví dụ?
Dạng 2. Tìm ƯC thông qua tìm ƯCLN
PP: TìmƯCLN của các số đó, sau đó tìm các ớc của ƯCLN, đó chính là các ớc
chung cần tìm.
Bài 3. Tìm ƯC của các số sau :
a) 24 và 36
b) 11 và 77
c) 16 và 64
d) 18 và 35
Bài 4. Tìm ƯC của các số sau:
a) 18; 30 và 42
b) 15; 34 và 63
c) 26; 39 và 48
12


d) 42; 55 và 91
Bài 5. Tìm ƯC của 108 và của 180 mà lớn hơn 15 ?

Bài 6. Tìm ƯC của 2n + 1 và 3n + 1 với n N.
HD
Gọi d là ƯC của 2n + 1 và 3n +1
Ta có : 2n + 1:d 3(2n +1):d
3n + 1:d 2(3n+ 1):d
Do đó : [3(2n+1)-2(3n+1)]:d 1:d
Nên d = 1
Vậy 1 là ớc chung của 2n + 1 và 3n + 1
Bài 7. Tìm ƯC của 2n-1 và 9n+4(nN*)

Dạng 3. Tìm các cặp số nguyên tố cùng nhau
PP: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố rồi tìm các cặp số có ƯCLN = 1.
Bài 7. Trong các số sau , hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau:
4; 9; 12 và 26
Bài 8. Chng tỏ rằng 2n + 1 và 2n + 3 (n N) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 9 . Chứng tỏ rằng 14n + 3 và 21n + 4 (nN) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Dạng 4. Giải toán bằng cách tìm ƯC và ƯCLN
PP: Đọc kỹ đề bài , bằng suy luận đa bài toán về thành tìm ƯC và ƯCLN
Bài 10.a) Tìm số tự nhiên a, biết rằng 72:a và 54:a và 7< a< 10
b) Tìm số tự nhiên b lớn nhất, biết rằng 120:b, 300:b..
c) Tìm số tự nhiên c, Biết rằng 120:c, 300:c, 420:c và c>20.
d) Tìm số tự nhiên d lớn nhất thoả mãn 543; 4539; 3567 đều chia cho d d 3.
HD
a) 72:a => a là Ư của 72
54:a => a là Ư của 54
Do đó aƯC(72,54)

13

72=23.32
54=2.33
ƯCLN(720,540)=2.32 = 18
Ta có a Ư(18) = {1;2;3;6;9;18} và 7Do đó a = 9
b,c,d : tt
Bài 11. Lớp 6A có 30 HS , Lớp 6B có 36 HS . Hai lớp cùng xếp thành các hàng dọc
nh nhau mà không lớp nào có ngời lẻ hàng .
Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp đợc?
HD
Số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp đợc là ƯCLN của 30;36
30 = 2.3.5
36 = 22.32
ƯCLN(30,36) = 2.3 = 6
Vậy số hàng dọc nhiều nhất xếp đợc là 6 hàng.
Bài 12. lớp 6A có 40 HS, lớp 6B có 48 HS, lớp 6C có 32 HS. Ba lớp cùng xếp thành
các hàng dọc nh nhau mà không lớp nào có ngời lẻ hàng.
Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp đợc?
Bài 13. Trong một buổi liên hoan, ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo, 36 cái bánh chia đều
ra các đĩa , mỗi đĩa gồm cả kẹo và bánh. Có thể chia đợc nhiều nhất thành bao nhiêu
đĩa, mỗi đĩa có bao nhiêu cái kẹo, bao nhiêu cái bánh.
Bài 14. Lan và Hà mỗi ngời mua một hộp bút chì màu , mỗi hộp có nhiều hơn một bút
chì màu và số bút chì ở mỗi hộp đều bàng nhau. Tính ra Lan có 20 bút chì màu, Hà có
15 bút chì màu . Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiều chiếc?

Bội chung và Bội chung nhỏ nhất
---o O o--14


A. Tóm tắt kiến thức

1. Định nghĩa
2. Quy tắc tìm BCNN
3. Cách tìm BC qua BCNN
4. Quan hệ giữa ƯCLN và BCNN
Tìm và so sánh 30.45 và ƯCLN(30,45).BCNN(30,45)
=> a.b= BCNN(a,b). ƯCLN(a,b).
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm BCNN
PP giải: * áp dụng quy tắc tìm BCNN
* Trờng hợp riêng:
- các số đôi một là nguyên tố cùng nhau BCNN= tích các số đó
- Số lớn nhất là bội của các số còn lại BCNN = Số lớn nhất đó
Bài 1. Tìm BCNN của các số sau:
a) 40 và 52;
b) 42;70;180
c) 9;10;11
d) 10;14;16
e) 63;126;252
Bài 2. Tìm BCNN(a,b) , biết a:b.cho vd
Tìm BCNN(a,b,c,1) , biết a:b, a:c. cho vd
Dạng 2. Tìm BC thông qua BCNN
PP giải: Để tìm BC của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
Bài 3. Tìm BC thông qua BCNN của các số sau:
a) 9;12
b) 3;4;5
c) 10;20
d) 8;21;25
Bài 4. a)Tìm các BC có 3 chữ số của 50; 125; 250
b)Tìm các BC có 3 chữ số của 63, 35, 105

Dạng 3. Tìm số
Bài 5.a) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 , biết a: 42 và a: 56
15


b) Tìm số tự nhiên b nhỏ nhất khác o , biết a: 126 và a:198
Bài 6. a) Tìm BC của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400.
Tìm Bc của 40 và 52 mà lớn hơn 400 và nhỏ hơn 1000
Bài 7. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3 d 1, chia cho 5 d 3 và chia cho 7 d 5.
HD
Gọi số cần tìm là x ( x N)
Theo đầu baìo ta có : x+2 chia hết cho 3,5 và 7. và x + 2 nhỏ nhất khác 0
Do đó x+2 =BCNN(3,5,7)
BCNN(3,5,7)=3.5.7=105
Do đó x+2 = 105
X = 105 2
X = 103
Số cần tìm là 103
Bài 8. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất chia cho 7 d 4, chia cho 9 d 6.
Bài 9. Tìm dạng chung của các số tự nhiên a chia cho 4 d 3 , chia cho 5 d 4, chia cho 6
d 5, chia hết cho 13.
HD
a+1 chia hết cho 4,5,6
nên a+1:BCNN(4,5,6), tức là a+1:60
Biến đổi : a+1:60 => a+1-300 :60 <=> a -299 :60 (1)
=> a 13.23 : 13 <=> a- 299:13 (2)
Từ 1 và 2 => a 299 : BCNN(60,13) => a-299:780
Dạng chung của a là : a = 780k + 299 ( kBài 10. Tìm a,b HD

Ta có : ƯCLN(a,b).BCNN(a,b) = a.b
Do đó: ƯCLN(a,b) = 2400:120 = 20.
Dặt a = 20.x ; b= 20.y với ƯCLN(a,b) = 1 và x,y Ta có 20.x.20.y = 2400
x.y = 2400:(20.20)
x.y = 6
16


X
y

1
2
6
3
Do đó a = 20.1 =20 ; b = 20.6 = 120
a= 20.2 = 40 ; b = 20.3 = 60
a = 20.3= 60 ; b = 20. 2 = 40
a= 20 .6 = 120; b=20.1 = 20

3
2

6
1

Dạng 4. Giải toán bằng cách tìm BC và BCNN
Bài 11. Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều
vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tìm số sách.

HD
Bài 12. Số HS lớp 6B xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 6 đều vừa đủ hàng. Biết số HS
của lớp lớn hơn 30 và nhỏ hơn 40. Tìm số HS của lớp 6B.
HD
Bài 13. Số HS của một trờng là số có 3 chữ số lớn hơn 900. Mỗi lần xếp hàng 3,
haqngf 4, hàng 5 đều vừa đủ . Hỏi trờng đó có bao nhiêu HS?
HD
Bài 14. Một khối HS khi xếp hàng 2,hàng 3, hàng 4, hàng5 đều thừa 1 ngời, nhng xếp
hàng 7 thì vừa đủ. Biết số HS cha đến 300. Tính số HS .
HD
Bài 15. Một trờng xếp thành 20,25,30 đều d 13 HS nhng xếp hàng 45 còn thừa 28 HS .
Tính Số HS của trờng đó , biết số HS của trờng đó cha đến 1000.
HD
Gọi số HS của trờng đó là a ( aTa có a 13 là BC của 20,25,30 và a chia cho 45 d 28.
20 =
; 25=
; 30 =
;
BCNN(20,25,30) =
Do đó a -13 < {0; 300;600;900;1200...}
A<{13;313;613;913;1213...}
Vì a<1000 và a chia 45 d 28 , số thoả mãn là 613.
Vậy số HS của treờng đó là 613.
17


Ôn tập chơng I.
---o O o---

Các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1. Thực hiện phép tính
Bài 1. Thực hiện phép tính
a) 80 (4.52 3.23)
b) 23.75 + 25.23 + 180
c) 2448:[119 (23 6)]
d) 3.4.17 + 34.2.27 17.10.6
e) 2{3 + 5[68 2(10 + 32)] 3}
f) (225 72)...(225-152)
Bài 2. Thực hiện phép tính rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố
a) 62:4.3 + 2.52
b) 5.42 18:32
Dạng 2. Tìm số
Bài 3. Tìm số tự nhiên x, biết:
a)

128 3(x + 4) = 23

b)

(6.x 33).53 = 3.54

c)

x+2.x+3.x+...+9.x=459 - 32

d)

[(6.x 72): 2 84 ] .28 = 5628

e)

2448:[119 (x 6)] = 24

f)

70 x , 84 x và x > 8

g)

x 12, x 25, x 30 và 0 < x < 500.
18


Bài 4**. Tìm số nguyên tố p để P + 6 , p + 8 , P + 12 và p + 14 là số nguyên tố.
Bài 5* . Tìm số tự nhiên n , sao cho:
3n n+1
HD 3n = 3(n+1) -3
Bài 6**. Tìm chữ số tận cùng của 31999
HD 1999 = 4. 499 + 3
31999 = 81499.27
81499 có chữ số tận cùng là 1 nên 31999 có chữ số tận cùng là 7.

Dạng 3. Tìm ƯCLN và BCNN
Bài 7. Tìm ƯCLN và BCNN của:
a)12;18;24
b)30;75;105
Dạng 4. Toán thực tế
Bài 8. Một số sách nếu xếp mỗi ngăn 10 quyển, 12, 16 đều vừa đủ. Tính số sách đó
biết rằng tổng số sách vào khoảng 400 đến 500 ? Nhiều nhất cần bao nhiêu ngăn để

xếp hết số sách đó
Bài 9. Số HS khối 6 của một trờng trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp thành hàng
12;15;18đều thừa 5 HS . tính số HS đó.
Bài10. Khối 6 có 147 HS, khối 7 có 189 HS, khối 8 có 168HS . Muốn cho 3 khối lớp
xếp thành hàng dọc nh nhau, Số HS mỗi hàng nhiều nhất là bao nhiêu em, Mỗi khối có
bao nhiêu hàng.
Bài 11. Một mảnh đất HCN có chiều dài 42m, chiều rộng 30m. Ngời ta muốn trồng
trên mảnh đất đó các ô cỏ hình vuông .
Hỏi có thể chia đợc thành bao nhiêu cách? Với cách chia nào cạnh hình vuông là
lớn nhất và bằng bao nhiêu?
Dạng 5. Toán chứng minh
Bài 12. Cho A =2+22+...224 chia hết cho 3; cho 6; cho 7
Bài 13. chứng tỏ rằng M = (2a)(2b)(2c)abc chiahết cho 3;23;29
HD M = 200000a + 20000b + 2000c + abc = 2001.abc =3.23.29.abc
Bài 14. Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A=4+22+23+...+220

19


Chuyên đề

I. Điền chữ số
Thay đấu * và các chữ cái bằng các chữ số thích hợp:
1.
a) *8*3
b) aaa
c)bbb
x
9
xa

x b
---------------70*7*
**a
2**b
2. ab + ba = 77
3. Cho số m = *75
thay dấu * bởi các chữ số nào để :
a) m chia hết cho 2
b) m chia hết cho 5
c) m chia hết cho 3
d) m chia hết cho 9
II..Dãy số viết theo quy luật
Xét các dãy số cộng :
a) dãy số tự nhiên : 0;1;2;3;4;....
b) dãy số chẵn
: 0;2;4;6;......
20

d)ccc
x c
-----3**c


c) dãy số lẻ
: 1;3;5;7;.........
d) dãy số chia cho 3 d 1: 1;4;7;10;.........
Một cách tổng quát, ta có dãy số : a1;a2;a3;......a n .
Cách tìm số các số hạng của dãy cộng:
= ( số lớn nhất số nhỏ nhất):khoảng cách + 1
Ví dụ 1. tìm số các số hạng của các dãy số trên

Cách tìm tổng các số hạng của dãy cộng:
= (số lớn nhất + số nhỏ nhất)*số các số hạng : 2
Ví dụ 2. Tính tổng dãy cộng: a1;a2;a3;a4;....an .
4. Tính tổng các dãy sau một cách hợp lý
a) 11+12+13+....+45
b) 11+13+15+....+91
c) 12+14+16+....+ 2002
d) 132+128+124+....+72+68
5. Để đánh số trang của một cuốn sách dày 156 trang cần bao nhiêu chữ số
6. Để đánh số trang của một cuốn sách dày 2746 trang cần bao nhiêu chữ số.
7.Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn: 2,4,6,8....
a) Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây, Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn
sách.
b) Chữ số thứ 300 của dãy trên là chữ số nào ?
Đ/S : a ) = 373 giấy = 6 phút 13 giây
b)chữ số thứ 300 là chứ số 3 thuộc số 236.
8. Tìm chữ số thứ 100 của các dãy sô sau:
a) 3,8,15,24,35....
b) 3,24,63,120,195....
c) 1,3,6,10,15....
d) 2,5,10,17,26
HD
a) 1.3,2.4,3.5,4.6,5.7,....n(n+2)
b) 1.3; 4.6; 7.9; 10.12; 13.15; .... (3n-2).3n
c) 1.2/2; 2.3/2; 3.4/2; 4.5/2; 5.6/2;..... n(n+1)/2
d) 1+12; 1+22 ; 1+32; .........1+n2

III. Tìm chữ số tận cùng

Tìm một chữ số tận cùng

9. Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
a) 12010
52010
62010
1999
1999
b) 1001
205
3361999
c) 8102
2102
102
102
10. chứng tỏ rằng 8 - 2 chia hết cho 10.
11. Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1 chia hết cho 10
Đ/S : n = 3 hoặc 9

IV. Số chính phơng

Số chính phơng là số viết đợc dới dạng bình phơng của một số
12. Số nào trong các số sau là số chính phơng
1;4;12;16;25;36;49;54;64;72;81;100;121;122;144;169;196;225;256
13. Vì sao số chính phơng không tận cùng bởi các chữ số 2,3,7,8
14. Tổng hiệu sau có là số chính phơng không?
a) 3.5.7.9.11 + 3
b) 2.3.4.5.6 3
15. Chứng tỏ rằng số A là số chính phơng , biết rằng A = 1 + 3 + 5 + ..+ ( 2n 1) ( nN)
21

V. Toán chia hết- ƯCLN- BCNN

16. Chứng tỏ rằng:
a) Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng 5 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5
c) Tổng n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n . Nếu n là số lẻ
d) Tổng 2 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 2
e) Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
f) Tổng n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n . Nếu n là số chẵn .
g) Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 2
h) Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3
Giải
g)Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là : a ; a+ 1
Nếu a: 2 thì bài toán đã đợ giải
Nếu a:: 2 , thì a= 2k + 1 suy ra a+1 = 2k + 2 : 2
17. lớp 6A có 42 HS, lớp 6B có 48 HS, lớp 6C có 30 HS. Ba lớp cùng xếp thành các

hàng dọc nh nhau mà không lớp nào có ngời lẻ hàng.
Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp đợc?
Bài 18. Cho A =2+22+...224 chia hết cho 3; cho 6; cho 7
Bài 19. chứng tỏ rằng M = (2a)(2b)(2c)abc chiahết cho 3;23;29
HD M = 200000a + 20000b + 2000c + abc = 2001.abc =3.23.29.abc
Bài 20. Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với A=4+22+23+...+220
Bài 21. Một mảnh đất HCN có chiều dài 42m, chiều rộng 30m. Ngời ta muốn trồng
trên mảnh đất đó các ô cỏ hình vuông .
Hỏi có thể chia đợc thành bao nhiêu cách? Với cách chia nào cạnh hình vuông là
lớn nhất và bằng bao nhiêu?
Bài 22. Số HS khối 6 của một trờng trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp thành hàng
12;15;18đều thừa 9 HS . tính số HS đó

22


Cộng hai số nguyên
----o O o---A.tóm tắt kiến thức
1. Tập hợp các số nguyên
2. Số đối
3. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên
4. Cộng hai số nguyên cùng dấu
5. Cộng hai số nguyên khác dấu
B. Các dạng bài tập
Dạng 1.Tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên
1. Tìm giá trị tuyệt đối của các số sau: 3; 13; 0; -5 ; -11; -254
2. Trong các cách viết sau cách nào viết đúng
-5<0
3>-10
-15>-12
I-5I<0
I3I>I-10I
I-15I>I-12I
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
3.Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) !-10!+!5!
b)!-15!-!-12!
c) !35!:!-7!
d)!-8!.!-4!
e) !-4! + !2! + !-19! +!-16!
4. Tính
a) (-11) + (-119)
b) !-445! + 25

c) !30! + (-470)
d) 755 + ( -55)
e) -!-59! + ( - 91)
f) ( -!-85!) + !-73!
5. Tính giá trị biểu thức :
23


a) a + ( -75) biÕt a = -25
b) (-45) + b biÕt b = -15
c) !-150! + c biÕt c = 50
d) 21 + !d! biÕt d = -21
e) (-105) + e biÕt e=5
g) g + ( -85) biÕt g = -15.
5***. Cho x thuéc Z. TÝnh
a) !x!+x nÕu x>=0
b) !x! + x nÕu x<0
D¹ng 3. So s¸nh hai sè nguyªn
6. So s¸nh
a) ! 3+5! Vµ !3! + !5!
b) !-3+(-5)! Vµ !-3! + !-5!
c) !3 + (-5)! Vµ !3! +!-5!
d) !-3 + (-5)! Vµ ! -3! +!5!
Rót ra nhËn xÐt vÒ !a+b! Vµ !a!+!b! víi a,b thuéc Z
7. So s¸nh
a) 115 + (-5) vµ 115
b) ( -95) + 7 vµ (-95)
c) (-45) + (-15) vµ ( -45)
d) (+75) + ( +11) vµ +75
D¹ng 4. T×m sè nguyªn x

8. T×m c¸c sè nguyªn x sao cho
a) -7 < x < 4
b) -2 <= x <= 9
c) -5 < x < 0
d) -10 <= x <= -4
e) x<-5 vµ x < 5
g) x < -5 vµ x > 5
9. T×m x , biÕt
a) !x!=2002
b)!x! = !-5!+!1!
24


c) !x!<3
d)!x! < 4
e)!x!=0
g)!x! = -1
h)!x!=-2001
10. Dự đoán kết quả của x, và kiểm tra xem kết quả có đúng không?
a) x + (-7) = -20
b) -12 + x = 10
c) x + ( -15) = 5
d) 8 + x = -12
11. Tìm các số nguyên x, y sao cho
a) !x-1! + ! y -3!=0
b)!x! +!!x+1!+!y!=0
11. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) sao cho
a) !x!+!y!=0
b)!x!+!y!=1
c)!x!+!y!=2

Dạng 5. Viết dãy số theo quy luật
12. Viết 3 số tiếp theo của dãy số sau;
a) -7;-3;1....
b)12;2;-8......
c) -4;-1;2.....
d) 5;1;-3......
13.

25