Ôn tập cuối năm Giải tích 12

TỔNG ÔN TẬP

TIẾT : 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97
– 98 – 99 – 100 – 101 – 102 – 103 – 104 – 105 – 106

I : ĐẠO HÀM
1) Cho P(x) =

( )

1
3

1−x

ln9 2
& Q( x ) =
.x Cmr
.
: P’(1) = Q’(1)
4

P' ( x ) = 3
= 3 x −1. ln 3
ln 9
Q' ( x ) =
.2 x
4
x −1 '

⇒ P’(1) = Q’(1)

⇒ P' (1) = 31−1. ln 3 = ln 3
ln 9
⇒ Q' (1) =
= ln 3
2


2) Hàm số P(x) = ax2 + bx + 4 lấy giá trò dương ∀ x . Tìm tất cả
các giá trò nguyên của a và b sao cho P’(1) = 4
P’(x) = 2ax + b ⇒ P’(1) = 2a + b = 4 ⇔ b = 4 − 2a (1)
P(x) = ax2 + bx + 4 > 0 ∀x ⇒ a > 0 & b2 − 16a < 0 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ a2 − 8a + 4 < 0 ⇔ 4 − 2 < a < 4 + 2
Mà a∈ Z ⇒ a = 1,2,3,4,5,6,7 ⇒ b = 2,0,−2,−4,−6,−8,−10 .
3) Cho hàm số y = x.sinx Cmr : x.y’’ − 2 (y’ − sinx) + x.y = 0
y’ = sinx + x.cosx

; y’’ = 2.cosx − x.sinx

⇒ x.y’’ − 2 (y’ − sinx) + x.y
= x.(2.cosx − x.sinx) − 2 (sinx + x.cosx − sinx) + x.(x.sinx)
= 2 x cosx − x2 sinx − 2 x cosx + x2 sinx = 0 ⇒ đpcm .


II : TIẾP TUYẾN
1) Cho hàm số y = x2 .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò biết :
a) Tiếp điểm là (1 ; 1)
b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4 .
c) Tiếp tuyến song song với y = − x + 2
d) Tiếp tuyến vuông góc với 2 y = x + 2

e) Tiếp tuyến đi qua điểm (0 ; −1) .
y = x2 ⇒ y’ = 2x
a) Tại (1 ; 1) . pttt (∆) : y − y1 = y’(x1) .( x − x1)
y’ (1) = 2.1 = 2 ⇒ (∆) : y − 1 = 2 (x − 1) ⇔ y = 2x − 1
b) Tung độ tiếp điểm bằng 4 ⇒ 4 = x2 ⇔ x = ± 2
Tại (−2 ; 4) ⇒ y’(−2) = −4 ⇒ (∆) : y − 4 = − 4 (x + 2) ⇔ y = −4x−4
Tại (2 ; 4) ⇒ y’(2) = 4 ⇒ (∆) : y − 4 = 4 (x − 2) ⇔ y = 4x − 4


c) (∆) // y = − x + 2 ⇒ (∆) : y’(x1) = − 1 ⇔ 2x1 = −1 ⇔ x1 = −1/2
y1 = ¼ ⇒ (∆) : y − ¼ = − (x + ½ ) ⇔ y = − x − ¼
d) (∆) ⊥ y = ½ x + 1 ⇒ y’(x1) = −2 ⇔ 2x1 = −2 ⇔ x1 = −1 ; y1 = 1
⇒ (∆) : y − 1 = − 2 (x + 1) ⇔ y = − 2x − 1
e) (∆) đi qua (0 ; −1)
(∆) đi qua (0 ; −1) có hệ số góc k là (∆) : y + 1 = k (x − 0)
(∆) là tiếp tuyến ⇒ k = y’(x1) trong đó x1 là toạ độ tiếp điểm

x 2 = kx − 1
x1 = −1 ⇒ k = −2 ⇒ ( ∆ ) : y = −2x − 1
2
1
1
⇒ x1 = 1 ⇒ 
⇔ 
k = 2x1
x1 = 1 ⇒ k = 2 ⇒ ( ∆ ) : y = 2x − 1


2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thò y = tại điểm có hoành
π/ 6

độ bằng

∫ cosx.dx

−π / 6

y' =
x0 =

− 2x + 4
2 4x − x
π /6

2

=

2− x
4x − x2
π /6

∫ cos x.dx = sin x −π / 6 = 1

1
⇒ y ' (1) =
3

⇒ y0 =

3

−π / 6

( )

1
1
( x − 1) + 3 =
( x + 2)
Vậy pttt Δ : y =
3
3


III: KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ .
1) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trò của các hàm số .
2
x −1
−
x
+ 2x + 4
a) y = 2
D = R ; y’ =
= 0 ⇔ x = 1± 5
2
2
x +4
( x + 4)

; lim y = 0
x → ±∞

BBT :
x −∞
1−
y’
−
0 +
0
y
−(+1) / 8

Lập bảng xét dấu y’
1+
+∞
+ 0
−
(−1)/8
0


π 3π 
2 ) y = cos 3x − 15 cos x + 8 treân ñoaïn 
;


 3

2 

y’ = − 3 sin 3x + 15 sin x = 0 ⇔ 5 sinx = 3 sinx − 4 sin3x
⇔ 2 sinx (1 + 2 sin2 x) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇒ x = π
BBT :
x
−∞
y’
−
y

π/3
+
−∞

π
3π/2
0
−
22
−∞

+∞


 π 3π 
2) y = cos 3x − 15 cos x + 8 treân ñoaïn 
;
2 
 3
y’ = − 3 sin 3x + 15 sin x = 0

⇔ 2 sinx (1 + 2 sin2 x) = 0
BBT :
x
−∞
y’
y

π/3
−

⇔ 5 sinx = 3 sinx − 4 sin3x
⇔ sin x = 0 ⇒ x = π
3π/2

π
+

0

−

22
−∞

−∞

+∞


b) y =

y' =

x +4
2

x

y

y' =

x +4
2

BBT :
x
−∞
y’
−

treân ñoaïn [ − 1 ; 3 ]

−1

−

x
x +4
2

0
0

=0⇔ x=0

+

5

3

+∞

13
2

⇒ min y = 2 khi x = 0 ; max y =

13

khi x = 3


V : KHẢO SÁT HÀM SỐ .
1) Khảo sát hàm số y = x3 − 3x + 4 (1) . Từ điểm M (0 ; 4) kẻ
được bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thò (1) . Viết các pttt đó .
D=R

; y’ = 3x2 − 6x = 0

⇔ x=0;x=2

y’’ = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1 ; qua đó y’’ đổi dấu ⇒ y có điểm uốn (1;2)
lim y = −∞ ; lim y = +∞

x → −∞

x → +∞

BBT
x −∞
y’
y

+

0
0 −
4

−∞

1

2

+∞

− 0 +

2

+∞
0

−1

O

2

x


Từ M (0 ; 4) ∈ (1) kẻ tiếp tuyến .
Đường thẳng qua M có hệ số góc k : (∆) : y = kx + 4
(∆) là tiếp tuyến với (1) tại x0 ⇔ k = y’(x0) = 3x02 − 6x0
thoã : x03 − 3 x02 + 4 = ( 3 x02 − 6x0) .x0 + 4

⇔ 2 x 03 − 3 x 02 = 0

x 0 = 0 ⇒ k = 0 ⇒ ( ∆1 ) : y = 4

⇔ x = 3 ⇒ k = − 9 ⇒ ( ∆ ) : y = − 9 x + 4
2
 0
2
4
4

Vậy qua M kẻ được 2 tiếp tuyến với (1) .

x+1
2 ) Cho hàm số y =
( 1)
x−1
a) Khảo sát (1) .
b) Chứng minh rằng đồ thò (1) có tâm đối xứng .Tìm toạ độ tâm
c) Chứng minh rằng trên đồ thò (1) có vô số cặp điểm mà tại đó
các tiếp tuyến song song với nhau từng đôi một .


a) Khaûo saùt .
D = R \ {1} ; y’ =

−2

( x − 1)

2

<0

⇒ y luoân giaûm treân D.
TCÑ : x = 1 ; TCN : y = 1
BBT : x
y’
y

1

−∞
−
1

−1

+∞
−1

−

−1

+∞
−∞

1

O

1

x


b) Chứng minh : Tâm I (1 ; 1) là tâm đối xứng của (1) .

x = X + 1
x −1

Công thức đổi trục . 
thay vô y =
x +1
y = Y + 1
(
X + 1) + 1
2 Chứng minh Y( X ) hàm lẻ
⇔ Y +1 =
⇔Y =
( X + 1) − 1
X

2
2
=−
= − Y( X )
Xét Y(−X) =
( − X)
X

⇒ I là tâm đối xứng .

c) Chứng minh .
Gọi M(x0 ; y0) ∈ (1) và M1(x1; y1) đối xứng M qua I ⇒ x1 = 2 − x0
−2
Từ f ' ( x ) =
( x − 1) 2
−2
−2
−2

Xét f ' ( x1 ) =
=
=
2
2
2 = f ' ( x0 )
( x1 − 1) ( 2 − x0 − 1)
( x0 − 1)
⇒ chứng tỏ tiếp tuyến tại x0 và x1 có cùng hệ số góc ⇒ song song


3) Khảo sát y = 1 + 2x2 −

4

x
4

( 1)

Dựa vào đồ thò đó ,biện luận số nghiệm của phương trình theo m :
x4 − 8x2 + 4 − m = 0
D = R ; y’ = −x3 + 4x = 0 ⇔ x = 0 ; x = ± 2
lim y = −∞ ; lim y = −∞
y’’ = −3x2 + 4 = 0 ⇔ x = ± 2 / 3
x → −∞

x → +∞

Xét dấu y’’

x
y’’
Đthò y

− ∞ −2/ 3 2/ 3 + ∞
250

− 0 +

0 −

lồi U lõm U lồi
y(U) = 29 /9

BBT
x

−∞

y’

0

−2
−

0

+

0

5

y

Điểm cắt trục toạ độ : y = 0 ⇒ x = ±
x=0⇒y=1

4 + 20

+∞

0

+

5
1

−∞

−

2

−∞


y1 = 2

m
4

5

2

m
4

y1 = 2

m
4

1


4+

20

-2

y41 += 220

2

m

4

4
m
x
2
4
2
=
2

2) Bieọn luaọn . x 8x + 4 m = 0 + 2x + 1
4
4

1 < 2 m/4 < 5 12 < m < 4
2 m/4 < 1 m > 4
2 m/4 > 5 m < 12
2 m/4 = 5 m = 12
2 m/4 = 1 m = 4

y

ptr coự 4 nghieọm ủụn .
ptr coự 2 nghieọm ủụn .
ptr voõ nghieọm
ptr coự 2 keựp x = 2
ptr coự 1 nghieọm keựp , 1 ủụn

y1

2

x +x+1
4) Cho hàm số y =
( 1)
x+1
a) Khảo sát hàm số (1) .
b) Tìm các điểm trên đồ thò (1) mà toạ độ chúng là số nguyên

a) Khảo sát .
D = R\{−1} ; y’ =

x 2 + 2x

( x + 1)

lim y = ∞ ⇒ TCĐ : x = −1

x → −∞

BBT:

x
y’
y

= 0 ⇔ x = 0 ; x = −2

1
= 0 ⇒ TCX : y = x
x →∞ x + 1

; lim

x → −1

lim y = −∞ ;

2

lim y = +∞

x → +∞

−∞
+∞ +

−2
0
−3

0

−1
−

−
+∞

0

+
+∞


y

b) Tìm toạ độ nguyên .
1
y= x+
x +1

-2

-1

⇔

1

-1
-3

x

∈Z

x+1= ±1

x=0

⇒ y=1

Vậy có 2 điểm phải tìm .
(−2 ; − 3) ; (0 ; 1)


§ 2 : TÍCH PHAÂN
I : NGUYEÂN HAØM .
28)
29)

∫

x − 2 .dx

dx
∫ ( x + 3) 2

3
2
= .( x − 2 ) 2 + C
3

= ∫ ( x + 3) .dx = − ( x + 3) + C
−2

−1

1
1 x2
x2
2
30) ∫ x.e .dx = ∫ e .dx = e + C
2
2
x2

31)

32)

∫ cotg x.dx

cos x
d ( sin x )
=∫
.dx = ∫
sin x
cos x

∫ sin3x.cos5x.dx

=

= ln ( sin x ) + C

1

[ sin 8 x + sin ( − 2 x ) ].dx
∫
2

1  cos 8 x cos 2 x 
= −
+
+C
2
8
2 
33) ∫ tg 2 x.dx = ∫ (1 + tg 2 x − 1).dx =  1 − 1.dx
= tgx − x + C
∫  cos 2 x 


II : TÍCH PHAÂN
u = x

Ñaët 
34) I = x.e 2x .dx
2x
dv
=
e
.dx

0

1

1
1
2
e
1
1
1
I = x.e 2x − ∫ e 2x .dx = − e 2x
2 4
2
20
0
0

→ du = dx

1

∫

35)

I =

e

∫x

3

u = lnx
Ñaët 
3
dv
=
x
.dx


.lnx.dx

1

e

e

1
1
I = x 4 .lnx − ∫ x 3 .dx
4
41
1

4

4 e

e
1 x

=
− .
4 4 4

1

e 2x
→ v=
2
e2 1
= +
4 4
→ du = dx/x
→
=

v = x 4 /4

3 4 1
e +
16
16


36) I =

4

∫

x

2

− x − 6 .dx

0

2

x
− x − 6 vôùi x < −2 V x > 3

x2 − x − 6 = 
2

−2 < x <3
− x − x − 6

(

)

3

4

 x
 x


x
x
157
+ x  +  −
− x  =
I = ∫ − x 2 − x − 6 .dx + ∫ x 2 − x − 6 .dx =  − +
2
2
3
 3
0  3
3
0
3
3

38)

(

)

I =

2

∫.
0

I=

π/ 4

∫
0

4

(

)

2

3

2

2

x = 2tgt → dx =
dt
2
Ñaët : 
cos t

x : 0 → 2 ⇒ t : 0 → π / 4


dx

4 + x2

2
dt =
2
2
cos t. 4tg t + 4

(

3

)

π/ 4

∫
0

π/ 4

1
1
dt = t
2
2 0

=

π

8


39) I =

0

∫

−1

dx
2

x − 4x + 3

0

0
dx
1
1 
 1
I=∫
= ∫
−
.dx = 1 ln x − 3
( x − 1) ( x − 3) 2 −1 x − 3 x − 1 
−1
2 x −1

40) Cho P(x) = a.sin2x − b.cos2x
Tìm a , b bieát P’(π/2) = −2 vaø

2b

0

−1

∫ a.dx

1 3
= ln
2 2

= 1

a

•P’(x) = 2a.cos2x + 2b.sin2x
⇒ P’(π/2) = 2acosπ + 2b.sinπ = −2
2b

∫ a.dx = 1
a

2b

⇔ ax a = 1

⇔ 2a = −2 ⇒ a = 1

⇔ a ( 2b − a ) = 1 ⇔ b = 1


III : DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
43)

y = x2 − 2x + 4 và y − 4 = x

x2 − 2x + 4 = x + 4 ⇔ x2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 3
3

3

9
 x 3x 
⇒ S = − ∫ x − 3x .dx = − −
 = ( đvdt )
 3
2
2 0
0


(

2

)

3

2

44) y = x ; y = 0 ; y = 4 − x
2

Hình biểu diễn

(
x
4 − x)
S = ∫ x.dx + ∫ ( 4 − x ).dx =
+
2 0
2
0
2
= 2+2 = 4
2

4

2 2

2 4
O

2

2

4

x


b) Tính thể tích vật thể tròn xoay :
47) Tìm thể tích của vật thể tròn xoay , sinh ra bởi hình phẳng :
a) y = 5x − x2 và y = 0
quay quanh trục Ox .
b) y2 = 4x và y = x quay quanh trục Ox hoặc Oy .
a) Tính V ?
5

5x − x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 5

5

2

(

)

3

4

5

5

(

)

2

V = π ∫ 5x − x 2 .dx
0

 25x 5x
x 
625π
= π ∫ 25x 2 − 10x 3 + x 4 .dx = π 

−
+  =
( đvtt )
2
5 0
6
0
 3

b) Tính V ?

4

V = π∫ y − y
2
1

• Quay quanh Ox.
4

2 = x ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔ x = 0 ; x = 4
4

3

 2 x
= π ∫ 4x − x .dx = π ∫ 4x − x .dx = π  2x −
3

0
0

2
2

0

2

(

2

)

4

 32π
 =
( đvtt )
0 3

• Quay quanh Oy . y = y2 / 4 ⇔ y2 − 4y = 0 ⇔ y = 0 ; y = 4
4

V = π ∫ x12 − x 22
0

4

2

 y2 
= π ∫   − y 2 .dy
4
0 

4

4

 2 y4 
 y3 y5 
= π ∫  y − .dy = π  −  = 128π ( đvtt )
16 
 3 80  0
15
0


§ 3 : ĐẠI SỐ TỔ HP
48) Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu :
a) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau .
b) Số có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
c) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
a) Số chẵn có 3 chữ số khác nhau
Số

abc với

b) Số

abc

c được chọïn { 2 , 4} ⇒ có 2 cách
a được chọn {1,2,3,4,5} \ {c} ⇒ có 4 cách
b được chọn {1,2,3,4,5} \{a , c} ⇒ có 3 cách
Vậy các số phải tìm có : 2.4.3 = 24 số
≤ 345 .

2 bc có 4.3 = 12 sốù

Dạng

1bc

có 4.3 = 12 số

3bc ≤ 345 ⇒ b chọn từ : {1,2,4} : 3 cách

; c chọn từ :{1,2,3,4,5} \ {b,3} ; có 3 cách ⇒ có 9 số
Vậy tổng số cách là : 12 + 12 + 9 = 33 số .


c) Số

abc

chẵn ≤ 345

Xét các trường hợp có thể xảy ra :
Dạng

1b2

b được chọn từ : {3 , 4, 5} ⇒ có 3 cách

1b4

b

chọn từ : {2,3,5} ⇒ có 3 cách

2 b4

b

chọn từ : {1,3,5} ⇒ có 3 cách

3b2
3b 4

b

chọn từ : {1,4} ⇒ 2 cách

b chọn từ : {1,2} ⇒ có 2cách

Vậy có : 3 + 3 + 3 + 2 + 2 = 13

số phải tìm .