Bài tập hàm số lượng giác

Ôn tập hàm số lượng giác
VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a. y = 3 + 2sinx

b. y =

2 + 3 cos 2 x
4

c. y = 2 sin 3x + 5

Giải
a. Vì -1 ≤ sinx ≤ 1 nên -2 ≤ 2sinx ≤ 2 do đó 1 ≤ 3 + 2sinx ≤ 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1
⇔ x=

π
+ kπ , k ∈ Z.
2

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1
⇔ x=-

π
+ kπ , k ∈ Z.
2

1 2 + 3 cos 2 x 5
≤ .
b. Vì 0 ≤ cos x ≤ 1 nên 2 ≤ 2 + 3cos x ≤ 5 do đó ≤
2

4
4
5
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = ± 1
4
⇔ x = kπ , k ∈ Z.
1
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cosx = 0
2
π
⇔ x = + kπ , k ∈ Z.
2
c. Vì -1 ≤ sin3x ≤ 1 nên 3 ≤ 2sin3x +5 ≤ 7 do đó 3 ≤ 2sin3x + 5 ≤ 7 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7 , đạt được khi sin3x = 1
π
π
π
⇔ 3x = + kπ , k ∈ Z. ⇔ x = + k , k ∈ Z.
2
6
3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 , đạt được khi sin3x = -1
π
π
π
⇔ 3x = - + kπ , k ∈ Z. ⇔ x = - + k , k ∈ Z.
2
6
3
2

2

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho a 2 + b 2 ta được
a
a +b
2

2

b

sin x +

(vì (
Đặt cos α =

a +b
2

a
a +b
a
2

2

a2 + b2

2

c

cos x =

)2 + (

a + b2
2

b
a +b
2

; sin α =

2

)2 = 1 )
b

a2 + b2

(2)


Pt (2) trở thành:

⇔

cos α .sinx + sin α .cosx =
sin(x + α ) =

c
a2 + b2

c
a2 + b2

(3)

Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý:
• Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔

c
a2 + b2

≤1

⇔ a2 + b2 ≥ c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2 .
• sinx ± cosx = 2 sin(x ±

π
)
4

4. Phương trình asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin2x + bsinx. cosx + ccos2x = d
⇔ a.

1 − cos 2 x
sin 2 x
1 + cos 2 x
+ b.
+ c.
=d
2
2
2

⇔ bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c

Cách 2:
Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của
phương trình cho cos2x ≠ 0 ta được phương trình bậc hai:
a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)
⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0
B. Ví dụ và bài tập
VD1: Giải các phương trình sau:
a. 2sinx – 2 = 0
b. 2tanx – 5 = 0
c. ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0
d. 2sin2x – sin2x = 0

Giải
a. 2sinx – 2 = 0 ⇔ 2sinx = 2
π

 x = 4 + k 2π
⇔
 x = π − π + k 2π

4

⇔ sinx =

π

 x = 4 + k 2π
(k ∈ Z ) ⇔ 
 x = 3π + k 2π

4

π
2 ⇔
sinx = sin
4
2
(k ∈ Z )


π


 x = 4 + k 2π
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = 3π + k 2π

4
5
5
b. 2tanx – 5 = 0 ⇔ 2tanx = 5 ⇔ tanx = ⇔ x = arctan + k π (k∈ Z)
2
2
5
Vậy nghiệm của phương trình là: x = arctan + k π (k∈ Z)
2
 3 cot x − 3 = 0 (1)
c. ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 ⇔ 
2 cos x − 1 = 0 (2)
π
π
(1) ⇔ 3 cotx = 3 ⇔ cotx = 3 ⇔ cotx = cot ⇔ x = + k π (k∈ Z)
6
6
1
π
(2) ⇔ 2cosx =1 ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos
2
3
π

 x = 3 + k 2π

⇔
(k ∈ Z )
 x = − π + k 2π

3
π

 x = 6 + kπ

π
Vậy nghiệm của phương trình là:  x = + k 2π
3

 x = − π + k 2π

3

d. 2sin2x – sin2x = 0
⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0

(k ∈ Z )

⇔ 2sinx(sinx – cosx) = 0

sin x = 0
⇔
sin x − cos x = 0

 x = kπ
⇔

sin x = cos x

 x = kπ
⇔
sin x = sin( π − x)

2

 x = kπ
⇔
(k ∈ Z )
 x = π − x + k 2π

2

 x = kπ
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + kπ

4


 x = kπ
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là:  π
x = + kπ

4

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sinx – 3 = 0
b. 3cotx + 3 = 0 c. 1 - 3 tan(5x + 200) =0
d. 2cos3x + 1 = 0 e. sin(3x + 1)=

π
2π
π
f. cos(x +
)=
4
5
3

g. (2cosx + 2 )(tan(x +100) - 3 ) = 0
h. sin2x.cos3x.(tan4x +1)= 0
i. 8sinx.cosx.cos2x = 3
j. sin2x +2cox = 0
k. tan(x +1) –
2008=0
l. 3tan2x + 3 tanx = 0
m. 4sin2x – sin22x = 0 n. 3 - 2sin3x = 0
p. cot(x +

π
3
) = 1 q. cos2(x – 300) =
4
4

r. 8cos3x – 1 = 0

Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:
a. tan3x. tanx = 1 b. cot2x. cot(x +

π
sin 2 x
=0
) = -1 c.
4
1 + cos 2 x

VD2: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
b. cot22x – 4cot2x +3 = 0
c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0
d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
Giải
a. 2sin2x – 5sinx – 3 = 0
Đặt t = sinx ( điều kiện -1 ≤ t ≤ 1) thay vào phương trình ta được:
2

2t – 5t -3 = 0
Với t = -

t = 3 (loai )
⇔
t = − 1 (nhân)

2

1
ta được
2

π

x = − + k 2π

1
π
6
(k ∈ Z )
sinx = - ⇔ sinx = sin(- ) ⇔ 
2
6
 x = 7π + k 2π
6

π

 x = − 6 + k 2π
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = 7π + k 2π

6

b. cot22x – 4cot2x -3 = 0

cot 2 x = 1
2 x = arc cot 1 + kπ
⇔
⇔
(k ∈ Z )
cot 2 x = 3
2 x = arc cot 3 + kπ
1
π
arc cot 1 + k
2
2 (k ∈ Z )
1
π
arc cot 3 + k
2
2
1
π

 x = 2 arc cot 1 + k 2
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = 1 arc cot 3 + k π

2
2

x =

⇔
x =


c. 2cos2x +3sinx - 3 = 0
⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0
⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0
sin x = 1
⇔
sin x = 1

2

π
+ k 2π (k ∈ Z )
2
π

x = + k 2π

1
π
6
(k ∈ Z )
Với sinx = ⇔ sinx = sin ⇔ 
2
6
 x = 5π + k 2π
6


π

x
=
+ k 2π

6

5π
Vậy nghiệm của pt là:  x = + k 2π (k ∈ Z )
6

 x = π + k 2π
2


Với sinx = 1 ⇔ x =

d. tan4x + 4tan2x - 5 = 0
 tan 2 x = 1
π
⇔ 2
⇔ tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z )
4
 tan x = −5(loai )
π
Vậy nghiệm của pt là: x = ± + kπ (k ∈ Z )
4

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a. 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b. 4sin2x – 4sinx – 3 = 0
c. cot2x – 4cotx + 3 = 0
d. tan2x + (1 - 3 )tanx - 3 = 0
e. 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f. tan4x – 4tan2x + 3 = 0


g. sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0

h. cos2x + 9cosx + 5 = 0

3
i. sin22x – 2cos2x + = 0
4

j. 4cos42x – 7cos22x + 3 = 0

VD3: Giải các phương trình sau:
a. 3 sinx + cosx = 2
b. cos3x – sin3x = 1
c. 3sin2x + 4cos2x = 5
d. 2 sinx – cosx = 3
Giải
a. 3 sinx + cosx = 2
2
Chia hai vế pt trên cho
3 + 12 = 2 ta được
1
3
sinx + cosx = 1

2
2
π
π
⇔ cos .sinx + sin .cosx = 1
6
6
π
⇔ sin(x + ) = 1
6
π π
⇔ x + = + k2 π
6
2
π
⇔ x = + k2 π
3

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x =

π
+ k2 π
3

b. cos3x – sin3x = 1
Chia hai vế pt trên cho 12 + (−1) 2 = 2 ta được
1

cos3x -

1

sin3x =

1

2
2
2
1
π
π
⇔ cos cos3x - sin sin3x =
4
4
2
1
π
⇔ cos(3x + ) =
4
2

π
π
) = cos
4
4
π
= + k 2π
4

π
= − + k 2π
4

⇔ cos(3x +

π

3 x + 4
⇔
3 x + π
4



2π

x = k 3
⇔
(k ∈ Z )
 x = − π + k 2π

6
3
2π

x = k 3
(k ∈ Z )
Vậy ngiệm của phương trình trên là: 
 x = − π + k 2π


6
3

c. 3sin2x + 4cos2x = 5
Chia hai vế pt cho 32 + 4 2 = 5 ta được
3
4
sin2x + cos2x = 1
5
5
4
3
Kí hiệu α là cung mà sin α = , cos α = ta được
5

sin2x cos α + sin α cos2x = 1
⇔ sin(2x + α ) = 1
π
+ k2 π
2
π α
⇔ x =
- + kπ
4
2

5

⇔ 2x + α =

Vậy ngiệm của phương trình trên là: x =

π α
4
- + k π (với sin α = , cos α =
4
2
5

3
)
5

d. 2 sinx – cosx = 3
Ta có 2 2 + (-1)2 = 3 <32 = 9 do đó phương trình trên vô nghiệm.
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:
a. sinx + 3 cosx = 2 b. 2sinx – 5cosx = 5
c. 2cosx – sinx = 2
d. sin5x + cos5x = -1
e. 3sinx – 4cosx = 1
f. 2sin2x + 3 sin2x = 3
g. sin5x + cos5x = 2 cos13x h. sinx = 2 sin3x – cosx
VD4: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1
b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Giải
a. 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không
thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x
ta được:
2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x
⇔
tan2x + 4tanx – 5 = 0
π

x = + kπ

⇔
⇔
(k ∈ Z )
4

 x = arctan(−5) + kπ
π

x = + kπ

(k ∈ Z )
4
Vậy nghiệm của phương trình là: 
 x = arctan(−5) + kπ
 tan x = 1
 tan x = −5


b. 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3
Áp dụng công thức hạ bậc ta được

4.
⇔
⇔

⇔

1 + cos 2 x
sin 2 x
1 − cos 2 x
+ 3.
–
=3
2
2
2

sin2x + cos2x = 1
2 sin(2x +

π
)=1 ⇔
4

π
4

sin(2x + ) = sin

π
4

1
π
4
2
π π

2 x + 4 = 4 + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
2 x + π = 3π + k 2π
4
4


sin(2x + ) =

 x = kπ
⇔
(k ∈ Z )
 x = π + kπ

4
 x = kπ
(k ∈ Z )
Vậy nghiệm của phương trình là:  π
x = + kπ

4

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a. 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2b. 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
c. 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1
d. 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3
e. 4sin2x + 3 3 sin2x – 2cos2x = 4
f. sin3x + 2sin2x. cosx – 3cos3x = 0
g. 3 sinx.cosx – sin2x =

2 −1
i. 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0
2

Bài tập 6: Giải các phương trình sau:
a. cos3x – cos4x + cos5x = 0
c. cos5x.cosx = cos4x
e. 2tanx – 3cotx – 2 = 0
g. 2tanx + 3cotx = 4

b. sin7x – sin3x = cos5x
d. sinx + 2sin3x = - sin5x
f. sin2x – cos2x = cos4x
h. cosx.tan3x = sin5x


i. 2sin2x + (3 + 3 )sinx cosx + ( 3 - 1)cos2x = -1
j. tanx.tan5x = 1