Giải PT và HPT

Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

áp dụng bất đẳng thức để gải phơng trình và
hệ phơng trình
I, Lý do chọn đề tài.

1. Cơ sở lý luận:

Trong quá trình dạy học toán và bồi dỡng HSG toán ở trờng THCS. Các bài toán
phơng trình và bất phơng trình rất đa dạng phong phú. Đó là một kho tàng bí mật mà
ai yêu toán cũng thích tìm tòi và khám phá, nhng những vấn đề khám phá đợc chỉ là
một phần nhỏ tromg kho tàng tri thức. Chúng ta là những ngời yêu toán không thể
không bắt tay tìm hiểu một vấn đề gì đó để góp phần vào sự phong phú của toán học
nói chung và giải phơng trình và hệ phơng trình nói riêng. Trong chơng trình này tôi
muốn trình bày một số hiểu biết của mình về áp dụng bất đẳng thức để gải phơng
trình và hệ phơng trình.

2. Cơ sở thực tiễn:

Qua quá trình dạy toán và bồi dỡng toán ở trờng THCS. Các bài toán về phơng trình
và hệ phơng trình biết đợc bắt đầu từ lớp 7, 8, 9 nhất là sau khi học sinh lớp 8 học
xong hằng đẳng thức thì các bài toán về giải phơng trình và hệ phơng trình cũng đợc
nâng cao vầ phát triển. Vấn đề đặt ra trong quá trình bồi dỡng HSG các lớp 8, 9 thì
việc tìm ra cách giải phơng trình và hệ phơng trình nh thễ nào để học sinh nhanh
chóng tìm ra phơng pháp giải tạo cho HS có hứng thú tìm hiểu về bài toán giải phơng
trình và hệ phơng trình. Chính vì vậy mà mấy năm tìm tòi, nghiên cứu thể nghiệm qua
dạy bồi dỡng tôi dã tìm ra một số phơng pháp cơ bản để giúp HS tìm ra phơng pháp
giải. Trong đó có phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và hệ phơng
trình.

II, Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Mục đích là để nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ giảng dạy môn toán nói
chung và bồi dỡng HSG về lĩnh vực giải phơng trình và hệ phơng trình.
Nhiệm vụ nghiên cứu để tìm ra các tính chất đặc trng của một số phơng trình và
hệ phơng trình để giải nó bằng phơng pháp dùng bất đẳng thức nhằm phát triển t duy
toán học từ cụ thể đến tổng quát và từ tổng quát đến cụ thể.
III, phạm vi nghiên cứu
+ Chơng trình toán ở trờng THCS
+ Đối tợng HS ở khối 8, 9.
IV, phơng pháp nghiên cứu.
+ Điều tra khảo sát thực tế để nắm đợc chất lợng giảng dạy môn toán ở trờng
THCS nhất là trong lĩnh vực giải phơng trình và hệ phơng trình và bồi dỡng HSG.
+ Điều tra sự phát triển t duy toán qua quá trình học toán của một số HS khá
giỏi về môn toán.
+ Đọc và nghiên cứu kĩ SGK và các tài liệu tham khảo về môn toán.
+ Thực hành thể nghiệm qua HS khá giỏi.
V, Điều tra thực tế.
Tình hình các năm qua về việc HS tìm ra cách giải phơng trình và hệ phơng trình:
Năm học

Khối

Số HS khá
giỏi

2003 2004

8
9
8

9
8
9
8
9

30
30
33
33
35
35
38
38

2004 2005
2005 2006
2006 2007

Số HS làm đợc nhanh chóng
dựa vào tính chất đặc trng của
phơng trình và hệ phơng trình
15
20
20
25
22
27
25
30

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

1


Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

VI. nội dung

A, Các kiến thức cơ bản:

1, Cho A là biểu thức chứa ẩn thì:
+ A2 0 với mọi giá trị của biến
+ A 0 với mọi giá trị của biến để A 0
+ A có nghĩa khi chỉ khi A 0
+ A 0 với mọi giía trị của biến.
2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, an > 0 thì
a1 + a2 + a3 + .... + an

n

n

a1.a2 .a3 ...an

Dấu = xảy ra khi chỉ khi a1 = a2 = a3 = an
3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:

Cho hai bộ số bất kì: a1, a2, , an
b1, b2, ., bn
Ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn)2 ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2)
a
a1 a2
=
= ... = n
b1 b2
bn

Dấu = xảy ra khi chỉ khi:

B, áp dụng các biểu thức dơng giải phơng trình và hệ phơng trình:
Bài 1: Giải phơng trình:

3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 2 + 10 x + 9 = 3 4 x 2 x 2 (*)

Giải:
Ta có: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9 9 với mọi x.
5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4 4 với mọi x.
3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 2 + 10 x + 9 4 + 9 = 5 (1)
Mà 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1)
= 5 - 2(x+1)2 5 với mọi x (2)
Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm x = -1
Thử x = -1 là nghiệm của (*)
Bài 2:

Giải phơng trình:
x2 + y 3 + z 5 =

Bài 3:

(

) (

1
( x + y + z 7)
2

) (

2

2

x 2 1 +

y 3 1 +

)

2

z 5 1 = 0

x = 3

y = 4

z = 6


Giải phơng trình:

x y 1 + 2 y x 1 =

y 1
x 1

3 xy
2

ĐK

2 x y 1 + 4 y x 1 = 3 xy
xy 2 x y 1 + 2 xy 4 y x 1 = 0

(
x(

)

(

)

x y 2 y 1 + 2 y x 2 x 1 = 0

)

2

y 1 1 + 2 y

(

)

2

(1)

x 1 1 = 0

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

2


Trờng THCS Lơng Phú

Do

x 1 x

(

Nguyễn Đức Nghị

)

2

y 1 1 0 dấu = xảy ra khi y = 2

y 1 2y

(

)

2

x 1 1 0 dấu = xảy ra khi x = 2

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: x = 2
y=2
Bài 4:
2 x 2 10 x + 13 + 26 x 2 24 x + 8 = 4 x + 1


(x



( x 2)

2

) (

)

4x + 4 + x2 6x + 9 +

Ta có:

2

+ ( x 3) +

( x 2)

2

2

(x

2

) (

)

4 x + 4 + 25 x 2 20 x + 4 = 4 x + 1

+ ( 5x 2) = 4 x + 1
2

( x 2)

2

+ ( x 3) x 3 3 x

( x 2)

2

+ ( 5x 2 ) 5x 2 5x 2

2

2

VT 5 x 2 + 3 x = 4 x + 1

Dấu = xảy ra
Dấu = xảy ra
Dấu = xảy ra

3 x 0

5 x 0 x = 2
x 2 = 0


Vậy S = { 2}

Bài 5:

x + 1 + y + 1 = 4

x + y xy = 3

a, Giải hệ phơng trình:
xy 0
x + 1 0, y + 1 0

ĐK:

mà

x > 0
x + y = xy + 3 > 0
y > 0

2 x + 2 y xy 4 x + 1 4 y + 1 + 16 6 = 0

( x + y 2 xy ) + ( x + 1 4 x + 1 + 4 ) + ( y + 1 4
( x y ) + ( x + 1 2) + ( y + 1 2) = 0
2

2

)

y +1 + 4 = 0

2

x= y

x +1 = 2 x = y = 3

y + 1 = 2

b, Giải hệ phơng trình:

z 2 + 1 = 2 xy
2
x 1 = 2 yz 1 4 xy

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

3


Trờng THCS Lơng Phú
4 xy 1
xy 0

ĐK:

Nguyễn Đức Nghị

xy

1

1
xy
4
2

2 xy 1 = xẩy ra xy =
z 2 + 1 1 = xẩy ra z = 0
x = 1
x = 1


1
1
z = 0 y = hoặc y =
4
4


z = o
z = 0

Bài 6:

1
4

Giải hệ phơng trình:

x 2 xy + y 2 = 3
2

z + yz + 1 = 0
2

y2
y
2
3y2
2
x

=
3

1 ữ

ữ
x xy + y = 3
2
4


4



2
2
2
y
y2

z 2 + xy + y = y 1

z
+
=
1
ữ


4
4
2
4

y2
0
1
y2
4
2

= 1 y = 2
4
y 1 0
4

S = { ( 1; 2; 1) ; ( 1; 2;1) }

Bài 7:

Giải phơng trình:

x + 4 x 2 + 2 x 2 + 8 x 5 = 2 + 3
2

(

)

(

)

2 x2 4 x + 4 + 3 2 x2 8x 8 = 2 + 3
2 ( x 2) 3 2 ( x 2) = 2 + 3
2

2 x2 2 2
(
)


3 2 ( x 2) 2 3


2

"=" x = 2
"=" x = 2

2 ( x 2) + 3 2 ( x 2) = 2 + 3
2

2

x=2
S = { 2}

Bài 8:

Giải phơng trình:

a, x 1 5 x 1 = 3 x 2
x < 5x

x 1 < 5x 1

ĐK : x 1

x 1 < 5x 1
x 1 5x 1 < 0

Mà

3x 2 > 0 pt có S = { }

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

4

Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị
x
3x 2
+
=2
x
3x 2

b, Giải:

S = { 1; 2}

Bài 9:

2
3

x
3x 2
+
2
x
3x 2



Dấu =

DK : x

x
3x 2
x 2 = 3x 2
=
x
3x 2

x = 1
x 2 3x + 2 = 0
x = 2

Giải
x 1 = 2 + x +1

DK : x 1

x +1 > x 1
2 + x +1 > x 1
S = { }

Bài 10:

1 1 1
x + y + z = 2

Giải :
2 1 =4

xy z 2
2

2

Từ (1) 1 + 1 ữ = 2 1 ữ
z
x y
1
1 4
2 + 2 + =0
x
y
z



(1)
1
1
2
1 4
+ 2+
= 4+ 2
2
x
y
xy
z
z

1
1
1 1
+ 2 + 4 2 ữ= 0
2
x
y
y x


1 4
1 4
2 + 4 ữ+ 2 + 4 ữ = 0
x
y
x
y




2

2


1
1

2ữ + 2ữ = 0
x
y

1
1
x= y=
z=
2
2

2, áp dụng BĐT Cô si:

Bài 1:

x2 + x 1 + x2 + x + 1 = x2 x + 2
2

1 7

x + x 1 + x + x +1 = x ữ +
2 4

2

2

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

5

Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

x 2 + x 1 0
2
x + x + 1 0
a +1
Khi đó áp dụng: a
2

Ta có ĐK:

ta có:

" = " khi a = 1

x2 + x 1 x2 + x + 1
x + x 1 + x + x +1
+
2
2
2

2

x2 + x 1 + x2 + x + 1 x + 1

Mặt khác:

x 2 x + 2 = ( x + 1) + x 2 2 x + 1
= ( x + 1) + ( x 1) x + 1
2

Vậy

x2 + x 1 + x2 + x + 1 = x2 x + 2 = x + 1
x2 + x 1 = 1

x 2 + x + 1 = 1

2
=1
( x 1)

x =1

Vậy x=1 là nghiệm
Bài 2:

x2 x
+ + 1 = 2 x3 x 2 + x + 1
2 2
x2 x

+ + 1 = ( x 2 x + 1)(2 x + 1)
2 2

(1)

Ta có x2 - x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK x
áp dụng Côsi cho 2 số x2 x + 1 > 0
2x + 1 > 0

1
2

2
2
Ta có: ( x 2 x + 1)(2 x + 1) x x + 1 + 2 x + 1 = x + x + 1

2

2

Vậy dấu = xảy ra x2 x + 1 = 2x +1
x2 3x = 0 x = 0
hoặc x = 3
Vậy S = { 0;3}
Bài 3: Giải hệ phơng trình:
Với x, y, z > 0
Từ (1) ta có:

2

TM
TM

1 2 3
+ + = 12
x y z
x + 2 y + 3z = 3


(1)

1
2
3
+
+
+ x+ y+ z =6
4x 4 y 4z

Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
(1)
(2)

1
1
dấu = xảy ra khi x =
+ x 1
4x
2
1

2
1

+ 2y = 2
+ y ữ 2 dấu = xảy ra khi y =
4x
2
4y


Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

6


Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

3
1
1

= 3 z + ữ 3
dấu = xảy ra khi z =
4z
4z
2

1
2
3
Từ (1), (2) và (3) ta có: x + + 2 y + + 3z + 1 + 2 + 3 = 6

4x
4y
4z
1
dấu = xảy ra khi x = y = z =
TM
2
1 1 1
vậy nghiệm của hệ phơng trình là: S = , , ữ
2 2 2

(3)

3z +

Bài 4: Giải phơng trình:

2007 x2008 2008 x2007 + 1 = 0

1 + 2007 x2008 = 2008 x2007

x>0
áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dơng
1; x2008 ; x2008; x2008 ; x2008 ( 2007 số x2008 )
2008
2007
Ta có: x2008 + x2008 + + 1 2008
1.( x 2008 ) 2007 = 2008. x
dấu = xảy ra khi chỉ khi 1 = x2008 x = 1 vì x > 0
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1

Bài 5: Giải phơng trình: x3 x2 8x + 40 = 8 4 4 x + 4
ĐK 4x + 4 0 x -1
Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có:
4 + 4 + 4 + x + 1 4 4 4.4.4.( x + 1) = 8 4 4( x + 1)
4

13 + x 8 4( x + 1) 13 + x x3 3 x2 8x + 40
x3 3 x2 9 x + 27 0 ( x 3 )2( x + 3 ) 0
Do x - 1 x + 3 > 0 ( x 3 )2 0 x = 3 TM

Vậy x = 3 là nghiệm của phơng trình
Bài 6: Giải phơng trình: 7 x + x 5 = x 2 12 x + 38 (1)
ĐK 5 x 7
Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số
7 x +1
2
x 5 +1
x 5 và 1 ta có: x 5
2
7 x +1 x 5 +1
7 x + x5
+
=2
2
2

7 x và 1 ta có:

7 x

dấu = xảy ra khi chỉ khi 7 x = 1
x5=1

x=6

Ta lại có: x2 12x + 38 = ( x 6 )2 + 2 2 dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 6
Vậy S = { 6}
Bài tập tơng tự:
Bài 1: Giải phơng trình:
x 2 + x 1 + x2 + x + 1 = x2 x + 2
Bài 2: Giải phơng trình:
2 x 3 + 5 2 x = 3 x 2 12 x + 14
3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki
Bài 1: Giải phơng trình:

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

7


Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

2 x 3 + 5 2 x = 3x 2 12 x + 14
2x 3 + 5 2x = 3( x 2) + 2
2

2 x 3 0
1,5 x 2,5

5 2 x 0

ĐK:

áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và ( 2 x 3 : 5 2x )

(

2x 3 + 5 2x

) ( 1 + 1 ) (
2

2

2

2x 3 + 5 2x 2

) +(

)

2
5 2 x 2.2 = 4

Do 2 x 3 + 5 2 x > 0

2x 3

2

Dấu = xảy ra 2 x 3 = 5 2 x x = 2
2
3 ( x 2 ) + 2 2 dấu= xẩy ra x = 2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 2: Giải phơng trình
a, A = x 2 + 5 2 x = 6

( 1)

2

ĐK: 2 x

5
2

2
2
2


5
2
5
1
Ta có : A = x 2.1 + x . 2 ữữ x 2 + x ữữ ữ 1 + 22 = . 3
2
2

2
ữ

6
A0 A
2
5
13
( 1) xẩy ra x 2. 2 =
(TMĐK)
x
x=
2
6
13
S =
6
b, 2 x 1 + 3 5 x = 2 13 DK : 1 x 5

(

2

(2

x 1 + 3 5 x

) (2

2

2

+ 32

)

(

)

) ( x 1 + 5 x ) = 13.4

2 x 1 + 3 5 x 2 13

PT xảy ra

c,

3 x 1 = 2 5 x
29
x=
TM
13
29
S =
13
x2 + 4x + 5 = 2 2x + 3

(

)

2

2 x + 3 1 + ( x + 1) = 0

x = 1

2

Bài 3: Giải phơng trình :

x 2 + 10 x = x 2 12 x + 40

DK :2 x 10

x 12 x + 10 = ( x 6 ) + 4 4
2

2

Dấu = xảy ra khi x = 6

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

8

Trờng THCS Lơng Phú

Ta có

(

Nguyễn Đức Nghị

x 2 + 10 x

x 2 + 10 x 4

Dâu

=

S = { 6}

)

(

2

)

( x 2 + 10 x ) 12 + 12 = 16
Do : x 2 + 10 x > 0

xẩy ra

x = 6 (TM)

Bài 4: Giải phơng trình : x 1 + x + 3 = 2( x 3) 2 + 2 x 2
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho x 1 ; x 3 và 1 ; 1 ta có:

(
(

)
x 1 + x 3)

2
x 1 + x 3 ( 12 + 12 ) ( x 1) + ( x 3)



(1)

2

2( x 1) + 2( x 3)

(2)

2

(1) và (2) xảy ra khi chỉ khi:

x 1 = x 3

x 6x + 9 = x 1
x2 7x + 10 = 0
x=2
2

hoặc x = 5

x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn

vậy S = { 5}
Bài 5: Giải phơng trình : x 2 4 2 x 4 1 = x 4 x3
x2

Đ K : x4 2

4

2 x 4 1 = x 3 ( x 1)

4

(x 0)
2 x4 1 = 1 + x4
4
1
2 x4 + x = 2 + x2
x

1
1
Ta có: 2 + x 2 2 dấu = xảy ra x 2 = 2
x
x
x2 (

(

2

4
Mặt khác: 2 x 4 ữ ( 12 + 12 )





(



2 x4 + x

4



4

)

4

4

2 x + x
2

4

(

2 x4 + x2

2 x4 + x2

)

2

x2 = 1

(1)

)

4.2 ( 2 x 4 + x 4 ) = 16

(2)

16 = 2

Dấu = xảy ra khi chỉ khi x = 1
Từ (1) và (2) suy ra phơng trình có nghiệm của nó là 1 TM
Vậy S = { 1}

Bài tập tơng tự:

Bài tập 1: Giải phơng trình:
Bài tập 2:

6x 3
= 3 + 2 x x2
x 1 x

6 x 2 3xy + x = 1 y
Giải hệ phơng trình: 2 2
x + y = 1

C. Tổng kết :
Trên đây là một số suy nghĩ của bản thân về các bài toán giải phơng trình và hệ phơng
trình mà trong quá trình dạy học tôI đã rút ra đợc và mạnh dạn đa ra trao đổi cùng bạn
bề đồng nghiệp, cùng các thầy giáo, cô giáo để đi đến mục đích chung là nâng cao
Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

9


Trờng THCS Lơng Phú

Nguyễn Đức Nghị

chất lợng dạy học. Và bớc đầu đã gặt hái đợc những kết quả đáng trân trọng. Cụ thể là
học sinh tiếp thu và lĩnh hội tri thức một cách linh hoạt, chủ động và sáng tạo hơn .
Các bài toán đa ra làm ví dụ có thể cha lôgic, phù hợp; khai thác cha triệt để,
chắc chắn còn có nhiều lời giải hay và hấp dẫn hơn. Vấn đề tôi tôi biết đợc qua bài
viết này chỉ là những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, chắc
chắn trong quá trình viết không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế.
kính mong đợc quý thầy cô giáo và bạn đọc góp ý sửa chữa để đề tài ngày càng thiết
hực và bổ ích hơn.

D. kiến nghị:
* Đối với giáo viên:
+ Cần có những tài liệ phong phú về bài toán phơng trình và hệ phơng trình.
+ Đợc nghê báo cáo các chuyên đề của bài toán phơng trình và hệ phơng trình.
+ Dạng toán này cần đợc nghiên cứu và mở rộng.
* Đối với học sinh:
+ Cần tham gia đầy đủ các chuyên đề về dạng toán phơng trình và hệ phơng trình.
+ Tổ choc cho HS đăng kí học tự chọn chuyên đề phơng trình và hệ phơng trình.
+ Có các tài liệu liên quan đến bài toán phơng trình và hệ phơng trình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Lơng Phú, tháng 4 năm 2008

Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Nghị

10