De thi + DA thi HSG toan 8 vong truong (10 11)

Phòng GD&ĐT Hạ Hoà
Trờng THCS Hạ Hoà

Đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2010-2011
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1(4,0 điểm). Cho A =

n 3 + 2n 2 - 1
n 3 + 2n 2 + 2n + 1

a) Rút gọn A.
b) Chứng minh: Nếu n Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2(4,0 điểm).
x+1 x+2 x+3 x+4
+
=
+
a) Giải PT:
.
58
57
56
55
b) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phơng với mọi
x, y Z.
Câu 3(6,0 điểm).
1 1
4

+
a b a+b
b) Cho hai số dơng a; b có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a
b
Q=
+
1+ 2a 1+ 2b

a) Cho a, b > 0, CMR:

Câu 4(6,0 điểm).
Cho tam giác ABC, trung tuyến AD, trọng tâm G. Một đờng thẳng d qua
G, cắt cạnh AB, AC lần lợt tại M và N.
AB AC
+
= 3.
AM AN
b) Xác định vị trí của đờng thẳng d để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất.

a) Chứng minh

-------- HếT -------Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh:


Hớng dẫn chấm thi môn toán
Lời giải sơ lợc

Câu1

(4đ)

ĐK: x 1
2
a Phân tích tử thức thành (n+1)(n +n-1)
Phân tích mẫu thức thành (n+1)(n2+n+1)
n2 + n - 1
Rút gọn A = 2
n +n+1
b Gọi ớc chung của tử và mẫu là d, suy ra d = 1 hoặc d = 2
Mà n2 + n +1 = n(n+1) + 1 là số nguyên lẻ không chia hết cho 2
Nên phân số trên là tối giản

1
1 2

1
1
1 2
ữ 0
Lập luận chỉ ra +
58 57 56 55

1


a Biến đổi đợc PT: ( x + 59) 58 + 57 56 55 ữ = 0
Câu2
(4đ)

Suy ra nghiệm x = -59

Biến đổi A = (x2 + 5xy +4y2) (x2 + 5xy +6y2)+y4
đặt x2 + 5xy +4y2 = t
b đợc A = t2
Vì x, y Z nên t Z do đó A là số chính phơng
a CM đợc

1 1
4
+
với a,b > 0
a b a+b

2a
2b

1ữ+
1 ữ+ 2
1 + 2a 1 + 2b
1
1
1
1
=
+
+ 2 =
+
ữ+ 2
1 + 2a 1 + 2b

1 + 2a 1 + 2b
1
1
4
4
+

=
=1
áp dụng ta có
1 + 2a 1 + 2b 1 + 2a + 1 + 2b 2 + 2(a + b)
1
1
1
1
+
+
Suy ra
ữ 1
ữ+ 2 1
1
+
2
a
1
+
2
b
1
+

2
a
1
+
2
b




b
1 + 2a = 1 + 2b
1
1
a=b=
Có 2.Q 1 Q
Dấu bằng xảy ra
2
2
a + b = 1
1
1
Vậy Qmax = a = b =
2
2

Có 2.Q =

Câu3
(6đ)

điểm

0,5
1
1
0,5
0,5
0,5
1

1

1
1
2

1

1
1

1


A

Câu4
(6đ)

d

N

G
M
E
D

B

C

F

Kẻ BE, CF // d (E, F thuộc đờng thẳng AD)

AB AC AE + AF
+
=
AM AN
AG
a
Chứng minh đợc AE + AF =3.AG
AB AC
+
=3
Suy ra
AM AN
S ABC

AB AC
=
.
Chứng minh đợc:
S AMN AM AN
Chỉ ra

0,5
1
1
0,5
1

Chứng minh đợc BĐT và áp dụng để có
2

b

S ABC
AB AC 1 AB AC
9
=
.

+
ữ =
S AMN AM AN 4 AM AN
4
Suy ra S AMN

4
S ABC
9

Dấu bằng xảy ra
Kết luận

1

AB
AC
=
d // BC
AM AN

1