SKKN: MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIẾP THU TỐT KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH TIẾP THU TỐT
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
(GIẢI TÍCH LỚP 12)

GIÁO VIÊN : NGUYỄN KIM DOANH
----------------------------------1. THỰC TRẠNG :
Qua giảng dạy Toán lớp 12 trong nhiều năm qua. Ở chương ứng dụng của đạo
hàm vào khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, đây là một trong các câu hỏi của đề thi Tốt
nghiệp hằng năm, gắn liền với nó có rất nhiều kiến thức như : tìm diện tích hình phẳng,
giải phương trình bằng đồ thị ... Do đó yêu cầu học sinh phải nắm vững và thành thạo
vấn đề khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, muốn đạt được điều này đòi hỏi giáo viên bộ
môn phải chọn lọc, lựa chọn và sử dụng phương pháp ... thích hợp nhằm học sinh dễ tiếp
thu, khả năng tự kiểm tra đồ thị, kích thích sự tị mò, phát triển tư duy, mở rộng kiến
thức, khả năng lập luận ... phù hợp với đối tượng từ học sinh yếu kém đến cả những học
sinh khá, giỏi
2. LÝ DO :
Qua các tiết dạy, bài thi học kỳ, bài thi Tốt nghiệp khơng loại trừ học sinh trung
bình đến trung bình khá, các em có thể bị lúng túng, khảo sát và vẽ không được, không
đúng đồ thị, không nắm rõ các khái niệm cơ bản, khái niệm bản chất của vấn đề và mở
rộng thêm vấn đề, kiến thức đã học, sự liên quan của các kiến thức ... Xuất phát từ
những thiếu sót, nhược điểm này mà bản thân tôi trong các năm qua đã cải tiến và áp
dụng biện pháp thích hợp nhằm mục đích cuối cùng là nâng lên thêm phần nào chất
lượng học tập của học sinh của mình, sự cải tiến này được thể hiện qua phần trình bày
sau :
3. BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH :
I./ CHUẨN BỊ :
Tài liệu : Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, đề kiểm tra ở
trường, đề thi tốt nghiệp các năm trước ...
Vẽ một số dạng đồ thị (kể cả dạng đồ thị của các hàm số khác có liên
quan để học sinh nhận dạng của bài đồ thị hàm số đang học, để làm đồ dùng dạy học)
a./ VỀ GIÁO VIÊN :

- Chuẩn bị các câu hỏi cho từng phần với các tình huống có thể
xãy ra (nêu tình huống có vấn đề)
- Lựa chọn các thí dụ : tình huống đặc biệt, tổng quát, hướng mở
rộng vấn đề ...
- Hướng dẫn học sinh : nhận dạng, trước mắt phải lưu nhớ kiến
thức (qua đồ dùng dạy học)
b./ VỀ HỌC SINH :
- Nắm các kiến thức cơ bản đã học trước như : tính đơn điệu, cực
trị của hàm số ...
- Các kiến thức liên quan đến hàm số, đến đồ thị ...
II./ TIẾN HÀNH :
A. Đặt vấn đề vẽ đồ thị (kể cả vấn đề khảo sát) đã biết ở các lớp dưới, đã học :
lớp 9, lớp 10, lớp 11


B. Nêu câu hỏi và hướng dẫn học sinh thực hiện các vấn đề có liên quan và sau
đó Giáo viên hướng dẫn học sinh điều chỉnh lại các bước cho thích hợp, theo trình tự logic
+ Lưu nhớ các bước khảo sát - vẽ đồ thị (qua đồ dùng dạy học)
C. Tiến hành vào việc khảo sát - vẽ đồ thị của các hàm số
1. Chọn thí dụ cụ thể
+ Có thể gọi học sinh cho thí dụ ( tạo niềm tin cho các em )
+ Gọi học sinh tiến hành theo các bước
+ Cho học sinh nhận xét
+ Giáo viên điều chỉnh ( sai sót nếu có )
+ Lưu dạng qua thí dụ cụ thể
2. Tổng quát dạng đồ thị của hàm số đã khảo sát - vẽ
( qua đồ dùng dạy học )
3. Chọn các thí dụ khác có liên quan như :
+ Tìm các hệ số của hàm số đã cho
+ Điều kiện để có cực trị ...

+ Đồ thị có liên quan đến đồ thị đã vẽ ...
........
4. KẾT QUẢ :
- Đa số học sinh nắm được dạng đồ thị đã khảo sát - vẽ
- Tự kiểm tra được dạng đồ thị trước hoặc sau khi vẽ xong
- Thấy được đặc trưng riêng của từng hàm số và mối liên hệ với các kiến thức
cơ bản khác đã học
5. NGUYÊN NHÂN THÀNH CÔNG :
- Do chọn lựa các thí dụ, bài tập : hợp lý , tăng dần mức độ từ dễ đến khó, mở
rộng vấn đề
- Luôn tiến hành việc so sánh, tổng hợp, tổng qt hóa vấn đề
- Ln tạo tình huống gây tính tị mị, tìm tịi của học sinh
- Thường xun cũng cố dạng đồ thị
6. BÀI HỌC KINH NGHIỆM :
- Cho học sinh yếu, kém
chấp nhận dạng đồ thị qua các thí dụ cụ thể ( sẽ
cũng cố và tổng quát lại dạng )
- Trong việc xét tính tăng giảm, lồi lõm ở bảng biến thiên đã cho học sinh xét
dấu trong bảng chung có đạo hàm y’ và y’’ ( đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng
phương ) để học sinh sẽ vẽ đồ thị chính xác hơn, nếu không học sinh thường xuyên
không xác định hoặc vẽ đồ thị khơng qua điểm uốn (nếu có)
- Phối hợp với các kiến thức cơ bản khác để tránh bài học khơ khan và kích thích
tư duy của các học sinh khá, giỏi ( tránh chán nản )
- Không chỉ lấy các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà phải cần chuẩn
bị các bài tập khác, các đề thi ... nhằm tạo niềm tin cho học sinh trong học tập
- Thường xuyên cũng cố và lưu dạng đồ thị các hàm số đã học
&&&


MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY

KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA
y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠0)
&&&
1. Nêu tình huống a = 0 : cho học sinh suy nghĩ
- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời
+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của hệ số a
2. Xét a 0 :
a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c, d
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót
y

y=x3

1
x‘

x


-1

0 1

-1
y’

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị chỉ có điểm uốn, khơng có cực trị
hay khơng ?
b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y = x ( 3 - x )2
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, d ( Giáo viên giải thích lại
nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )

y
y=x(3-x)2


4
CĐ

2

I
Đ/U
x’

0

1 2 3
CT

4

x

y’
** Đặt vấn đề hàm số có thể chỉ có 1 cực trị hay khơng ?
c. Tổng qt hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 và cấp 2 ...
+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời
- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0
- Khả năng hàm số có bao nhiêu cực trị ?
- Khả năng đồ thị có bao nhiêu điểm uốn ?
- Có phải đồ thị ln ln có điểm uốn hay khơng ?
- Đồ thị có đường tiệm cận hay khơng ? Tại sao ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a và số nghiệm của phương trình y’ = 0
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay không ? Khi nào ( điều kiện ) ? Bao nhiêu
điểm cực trị ?
Đồ thị có điểm uốn hay không ? Bao nhiêu điểm uốn ?
+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số có cực trị
+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị
+ Chứng minh phương trình bậc 3 ln có 1 nghiệm ?


+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hồnh ( hay một đường nào đó )
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :
Dựa vào đồ thị hàm số y = x3 vẽ đồ thị của hàm số y = x3 + 1
.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị khơng có đường tiệm cận
2. Đồ thị :

a. Có 1 điểm uốn , 1 điểm cực đại , 1 điểm cực tiểu
b. Có 1 điểm uốn
&&&

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY
KHẢO SÁT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 )
&&&
1. Nêu tình huống a = 0 : cho học sinh suy nghĩ
- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời


+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của hệ số a
2. Xét a 0 :
a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y = x 4 + x2 – 2
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y

x

-1

0

1

x’

-2
y’
** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải hàm số chỉ có 1 cực trị, đồ thị khơng
có điểm uốn hay khơng ?
b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y = 2x 2 – x4
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c ( Giáo viên giải thích lại nếu
có học sinh nêu sai hoặc không biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )


y

1

x’
-1

0

1

x

y’
** Đặt vấn đề hàm số có thể bao nhiêu cực trị, đồ thị hàm số có thể có bao nhiêu

điểm uốn ?
c. Tổng quát hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 và dấu của đạo hàm cấp
2 ...
+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời
- Số nghiệm của phương trình y ’ = 0
- Hàm số có thể có bao nhiêu cực trị ?
- Đồ thị có thể có bao nhiêu điểm uốn ?
- Có phải hàm số ln ln có cực trị hay khơng ?
- Đồ thị có đường tiệm cận hay khơng ? Tại sao ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a và số nghiệm của phương trình y’ = 0
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay khơng ? Có bao nhiêu điểm cực trị ? Khi
nào ?


Đồ thị có điểm uốn hay khơng ? Bao nhiêu điểm uốn ? Khi
nào ?
Nếu hàm số có 1 cực trị thì đồ thị có bao nhiêu điểm uốn ? Hay
là nếu đồ thị có 2 điểm uốn thì hàm số có bao nhiêu cực trị ?
+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số chỉ có 1 cực trị hoặc có 3 cực trị
+ Tìm tham số để đồ thị của hàm số khơng có điểm uốn hoặc có 2 điểm uốn
+ Tìm tham số để đồ thị luôn lồi hoặc lõm
+ Chứng minh ( tìm ) trục đối xứng của đồ thị
+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hoành ( hay một đường nào đó )
+ Bài tốn giải phương trình bằng đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :

Dựa vào đồ thị hàm số y = 2x 2 - x4 vẽ đồ thị của hàm số
y=

2x 2 – x4

.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị khơng có đường tiệm cận
2. Đồ thị :
a. Có 3 điểm cực trị , 2 điểm uốn
( 1 CĐ , 2 CT ; hoặc 2 CĐ , 1 CT )
b. Có 1 điểm cực trị
( 1 CĐ ; hoặc 1 CT )
&&&

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY
KHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN


ax + b
y=
cx + d
&&&
1. Nêu tình huống c = 0 hay ad - bc = 0: cho học sinh suy nghĩ
- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời
+ Giáo viên giải thích lại điều kiện của c , ad - bc
2. Xét a 0 và ad – bc
0:
a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
x-1

y = -------------x+1
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c, d
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót

y


3
I
1

y=1

x’
-1 0

1

-2

x
-1
y‘
x= -1

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải đồ thị ln ln có tiệm cận dứng và tiệm
cận ngang ? Đồ thị không điểm uốn ? Hàm số khơng có cực trị phải khơng ?

b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
y = 1 + --x
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, d ( Giáo viên giải thích lại
nếu có học sinh nêu sai hoặc khơng biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )
y

2


I

y=1

1

x’

-1

0 1

x
y’
x=0

** Đặt vấn đề hàm số có thể có cực trị hay khơng ?
c. Tổng qt hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm cấp 1 ...
+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời

- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0
- Hàm số có cực trị hay khơng ?
- Đồ thị có điểm uốn hay khơng ?
- Đồ thị có đường tiệm cận hay không ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào ad - bc
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay khơng ? Tại sao ?
Đồ thị có điểm uốn hay khơng ? Tại sao ?
Đồ thị có đường tiệm cận hay khơng ? Tiệm cận gì ?
+ Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số tăng trên miền xác định của nó, hay tăng trong ( a ; b )
nào đó cho trước
+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :
Dựa vào đồ thị hàm số
1
y = 1 + --x
vẽ đồ thị của hàm số
1
y = 1 + --x
.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
2. Đồ thị : khơng có cực trị , khơng có điểm uốn
&&&

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CỤ THỂ QUA PHẦN DẠY
KHẢO SÁT HÀM SỐ HỮU TỈ
ax2 + bx + c
y=
a’x + b’
1. Nêu tình huống a.a’ = 0 hay tử và mẫu có nghiệm chung : cho học sinh suy nghĩ
- Giáo viên : + Gọi học sinh trả lời
+ Giáo viên giải thích lại điều kiện
2. Xét ( a 0 ) và ( tử và mẫu khơng có nghiệm chung ) :
a. Cho ví dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
x2
y = -------x-1
- Giáo viên hỏi học sinh
+ nêu lại các bước theo trình tự đã biết
+ cho biết các hệ số a, b, c, a’, b’
- Gọi học sinh tiến hành khảo sát-vẽ đồ thị
- Giáo viên cho học sinh nhận xét và điều chỉnh các sai sót


y

y=x+1

4
2

I

1
x’

-1

0 1

2

x


y’

x=1

** Đặt vấn đề qua ví dụ trên có phải hàm số ln ln có điểm cực trị hay khơng
? Đồ thị ln ln khơng có điểm uốn hay khơng ?
b. Cho thí dụ : khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
1
y = x + 1 - ------x–1
- Giáo viên hỏi học sinh : cho biết các hệ số a, b, c, a’, b’ ( Giáo viên giải thích
lại nếu có học sinh nêu sai hoặc không biết )
- Gọi học sinh tiến hành theo trình tự ( điều chỉnh sai sót )

y

y=x+1


2

I
1
x’

-1 0 1

2

x

y’

** Đặt vấn đề hàm số có thể chỉ có 1 cực trị hay khơng ?
c. Tổng qt hóa dạng đồ thị : qua đạo hàm, dấu đạo hàm cấp 1 ...
+ Nêu câu hỏi có liên quan cho học sinh khá giỏi trả lời
- Số nghiệm của phương trình y ‘ = 0
- Khả năng hàm số có bao nhiêu cực trị ?
- Đồ thị có điểm uốn hay khơng ?
- Có phải đồ thị ln ln có đường tiệm cận hay khơng ? Đường tiện
cận nào ?
........
d. Lưu dạng đồ thị : căn cứ vào a.a’ và số nghiệm của phương trình y’ = 0
+ Nêu câu hỏi : Hàm số có cực trị hay khơng ? Khi nào (điều kiện) ? Bao nhiêu
điểm cực trị ?
Đồ thị có điểm uốn hay khơng ? Bao nhiêu điểm uốn ?
Đồ thị có bao nhiêu đường tiện cận ? Tiệm cận nào
+
Dùng đồ dùng dạy học đã chuẩn bị để củng cố lại lần nữa
e. Dạng bài tập liên quan - cũng cố dạng đồ thị như :
+ Tìm tham số để hàm số có cực trị hay khơng có cực trị

+ Chứng minh ( tìm ) tâm đối xứng của đồ thị
+ Tìm tham số để đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt


+ Định tham số để đồ thị tiếp xúc với trục hồnh ( hay một đường nào đó )
+ Vẽ đồ thị hàm số có liên quan dựa vào hàm số đã vẽ
......
Thí dụ :
Dựa vào đồ thị hàm số
x2
y = -------x–1
vẽ đồ thị của hàm số

x2
y = -------x-1

.........
&& Cũng cố đồ thị hàm số đã học :
1. Đồ thị có tiệm cận dứng và tiệm cận xiên
2. Đồ thị : khơng có điểm uốn
a. Có 2 điểm cực trị
( 1 CĐ , 1 CT )
b. Khơng có cực trị
&&&

ĐỒ DÙNG DẠY HỌC
PHẦN KHẢO SÁT - VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
----- Đặt câu hỏi :
+ Hãy cho biết dạng của hàm số tương ứng với dạng đồ thị đã vẽ
+ Điều kiện để được dạng đồ thị đó ? ( hệ số, số nghiệm của phương trình y’= 0 )

y

y


x’
0

x

y’

y

x’

0

x

y’

y


x’
0

0

x

x

y’

y

y’

y

x’


x’
0

0

x

y’

y’

y

y

x

x’


x’
0

x

x’

y’

0

x

y’


y

y

x’

0

x

y’

y’

x

x’

0


y

y


x’
0

x

x’

0

x

y’

y’

y

y

x’
0

x

x’

0

x


y’

y’

Trên đây là một số kinh nghiệm đã áp dụng trong quá trình tiến hành giảng dạy
ở lớp, ở trường chúng tơi và một phần vì tình hình chất lượng học tập không đều ở các
học sinh, ở các lớp. Mặt khác chủ quan tôi thấy được khi áp dụng học sinh của lớp mình
ít bị, tránh được sai sót và có tiến bộ.
Trong phần trình bày có gì khơng phù hợp mong được các đồng nghiệp góp ý,
phê bình xây dựng thêm để bản thân tôi rút kinh nghiệm nhằm thực hiện ngày càng tốt
hơn nhiệm vụ giảng dạy và thành thật biết ơn