Ôn thi vào THPT chủ đề: Phương trình bậc hai

Phơng trình bậc hai một ẩn

______________________________________________________________
Phơng trình bậc hai một ẩn
1. Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x 2 2(a 1) + a 2 + a 2 = 0
a. Giải phơng trình khi a=-2.
b. Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c. Với giá trị nào của a thì phơng trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện:
x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1995 - 1996, tỉnh Vĩnh Phúc)
2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 2mx + 2m 1 = 0
(1)
a. Giải phơng trình khi m =2.
b. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c. Cho A = x12 + x22 ( x1 x2 )2 trong đó x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1)
tìm a để A 8.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1996 - 1997, tỉnh Vĩnh Phúc)
3. Cho phơng trình: (m 4) x 2 2mx + m + 2 = 0
a. Giải phơng trình khi m =5.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm duy nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1997 - 1998, tỉnh Vĩnh Phúc)
4. Cho phơng trình: x 2 2(m + 1) x + m 4 = 0
(1)
a. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c. Chứng minh rằng biểu thức M = x1 (1 x2 ) + x2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào m.
(ở đây x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình (1)).
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 10- 07- 1999, tỉnh Vĩnh Phúc)
5. Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x 2 (a 1) x a 2 + a 2 = 0
a. Giải phơng trình với a =-1.

b. Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 đạt giá trị
nhỏ nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 1999-2000, ngày 09- 07- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc)
6. Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x 2 2(m + 1) x + n + 2 = 0
a. Tìm giá trị của m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2.
b. Cho m = 0, tìm các giá trị nguyên của n để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x1; x2 thoả mãn:

x1 x2
+
là một số nguyên.
x2 x1

(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2000-2001, ngày 03- 08- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc)
7. Cho phơng trình: x 2 3x 2 = 0
a. Hãy giải phơng trình.
b. Gọi hai nghiệm phơng trình là x1; x2. Tính x14 + x24
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2001-2002, ngày 22- 07- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc)
8. Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x 2 + 2mx 2m 3 = 0

(1)

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy


Phơng trình bậc hai một ẩn

______________________________________________________________

a. Giải phơng trình (1) với m =-1.
b. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c. Tìm nghiệm của phơng trình (1) khi tổng bình phơng của hai nghiệm đó
nhận giá trị nhỏ nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2002-2003, ngày 02- 08- 2002, tỉnh Vĩnh Phúc)
9. Cho phơng trình bậc hai ẩn x: x 2 + (2m + 1) x + m2 + 3m = 0
a. Giải phơng trình với m = 0.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm.
c. Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 và tổng các bình phơng
các nghiệm lớn nhất.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2003-2004, ngày 15- 07- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc)
10. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 + 4mx + 3m2 + 2m 1 = 0
a. Giải phơng trình với m = 0.
b. Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c. Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình nhận x = 2 là một
nghiệm.
(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2004-2005, ngày 30- 06- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc)
11. Cho phơng trình bậc hai: 2 x 2 5 x + 2 = 0
a. Giải phơng trình (1).
b. Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là

(1)
1
1
và 3 , trong đó a và b là hai
3
a
b

nghiệm của phơng trình (1).

(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 06- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)

12. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số k: x 2 2(k 3) x + k 2 6k = 0
(1)
a. Giải phơng trình (1) với k = 0.
b. Giả sử phơng trình (1) có hai nghiệm là x1 ; x2 . Xác định các giá trị nguyên
2
2
của tham số k sao cho x1 + x2 là bình phơng của một số nguyên.

2

(trích Đề thi tuyển sinh THPT 2005-2006, ngày 07- 07- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc)
13. Xác định giá trị của tham số m để phơng trình: x 2 + m(m + 1) x + 5m + 20 = 0
có một nghiệm bằng -5. Tìm nghiệm kia.
14. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 2(m + 3) x + m2 + 3 = 0
a. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm là x =2.
b. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm
này có thể trái dấu hay không? Vì sao?
c. Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
15. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 2(m 3) x 1 = 0
(1)
a. Xác định m để phơng trình (1) có một nghiệm là 2 .
b. Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
16. Cho phơng trình: x 2 + 3x m = 0
a. Xác định giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm.

(1)

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy


Phơng trình bậc hai một ẩn

______________________________________________________________
b. Xác định giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng -2. Tìm
nghiệm kia.
17. Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình: x 2 (m + 5) x m + 6 = 0
có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn một trong hai điều kiện sau:
a. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b. 2x1+3x2 = 13.
18. Cho phơng trình: x 2 + mx + m + 7 = 0
(1)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2
thoả mãn hệ thức: x12+x22 = 10.
19. Cho phơng trình: x2 + mx+1 = 0; Xác định các giá trị của tham số m để
2

2


phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: x1 ữ + x2 ữ = 47
x2 x1
20. Cho phơng trình: x 2 + mx + 3 = 0

(1)
a. Xác định giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b. Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có một nghiệm bằng 1. Tìm

nghiệm kia.
21. Cho phơng trình: x 2 8 x + m + 5 = 0
(1)
a. Xác định mọi giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân
biệt.
b. Với giá trị nào của m phơng trình (1) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
Tìm các nghiệm đó.
22. Xác định giá trị của m để phơng trình: mx 2 + 2(m 1) x + 2 = 0 chỉ có một
nghiệm. Tìm nghiệm đó.
23. Không tính biệt số , hãy chỉ ra rằng phơng trình:
(m 2 4m + 5) x 2 2(3m + 1) x 1 = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
tham số m.
24. Tìm k để phơng trình: kx 2 (12 5k ) x 4(1 + k ) = 0 có tổng bình phơng các
nghiệm là 13.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu ĐHQG TP. HCM 2003- 2004)
25. Cho phơng trình: x 2 + 2 x m = 0 , với m là tham số thực.
a. Giải phơng trình khi m = 15.
b. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, khi đó hãy tính nghiệm kép này.
(trích ĐTTN THCS tỉnh An Giang 2004- 2005)
26. a. Chứng tỏ rằng phơng trình: x 2 4 x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là x12 và x22.
b. Tìm m để phơng trình: x 2 2mx + 2m 3 = 0 có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó
hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2003- 2004)
27. Cho phơng trình: x 2 5mx 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
a. Chứng minh rằng: x12 - 5mx2 - 4m > 0.
______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy

Phơng trình bậc hai một ẩn

______________________________________________________________
m2
x22 + 5mx1 + 12m
+
b. Xác định giá trị của m để biểu thức: 2
đạt giá
x1 + 5mx2 + 12m
m2

trị nhỏ nhất.

(trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dơng 2003- 2004)

28. Tìm giá trị của m để hai phơng trình:
2
x 2 + x + m 2 = 0 và x + (m 2) x + 8 = 0 có nghiệm chung.
(trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dơng 2003- 2004)
29. Cho phơng trình: (m + 1) x 2 (m 1) x + m + 3 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả
các giá trị của m để phơng trình có nghiệm đều là những số nguyên.
(trích ĐTTS THPT chuyên, tỉnh Thái Bình 2005- 2006)
30. Cho phơng trình: ( x + m 2) x 2 + 2(m + 2) x + 4m 8 = 0
(1)
a. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng và một
nghiệm âm.
(trích ĐTTS THPT năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng 2005- 2006)

31. Cho phơng trình: (m 1) x 2 + 2mx + m 2 = 0
(1)
a. Giải phơng trình (1) khi m = 1.
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
(trích ĐTTS Lớp 10 BCSP Hải Phòng 2003- 2004)
32. Cho phơng trình: 2 x 2 5 x + 1 = 0 . Tính: x1 x2 + x2 x1 (x1; x2 là hai nghiệm
của phơng trình).
(trích ĐTTN THCS TP. Hà Nội 2002- 2003)

______________________________________________________________

Nguyễn Đức Thụy