Chủ đề III Tự chọn Toán 8

CHỦ ĐỀ III
  
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH
HÌNH HỌC
I / MỤC TIÊU CHỦ ĐỀ:
 Kiến thức:
- Ôn lại cho HS các công thức diện tích đã học, vận dụng vào tính toán.
 Rèn kỹ năng:
- Có kó năng vận dụng các công thức về diện tích để giải các bài toán chứng
minh hình học. Chứng minh các đẳng thức , bất đẳng thức về quan hệ độ dài ,
Tập dượt cách vẽ các hình phụ để xuất hiện các yếu tố về diện tích.
 Giáo dục: Giáo dục HS ý thức trong việc học lý thiết để vận dụng vào bài tập.
Đồng thời giáo dục tính chính xác, cẩn thận.
II/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- SGK Toán 8
- SGV Toán 8
- Sách bài tập
- Chủ đề tự chọn Toán học lớp 8
- Bài tập nâng cao và một số chủ đề Toán 8.
III / THỜI LƯNG:
TIẾT
1+2
3+4
5+6
7+8

TÊN BÀI
Một số tính chất cơ bản của diện tích
Một số công thức tính diện tích cơ bản
Một số công thức tính diện tích cơ bản (tt)
Một số tính chất suy ra từ diện tích



 

Ngày dạy:
TIẾT:59 + 60

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DIỆN TÍCH
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Mỗi đa giác có một diện tích xác định và luôn luôn dương.
- Hai đa giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau.
- Nếu một đa giác được phân thành một số hữu hạn đa giác
thành phần rời nhau thì diện tích đa giác ban đầu bằng tổng diện
tích các đa giác thành phần.
II / BÀI TẬP MẪU:
µ cắt đường chéo BD tai E và F.
Cho hình bình hành ABCD, phân giác µA và B
Chứng minh rằng hai đa giác ABCFE và ADCFE có diện tích bằng nhau.

Hình bình hành ABCD có:
AE, CF là hai phân giác
AE ∩ BD = { E}
CF ∩ BD =

{ F}

SABCFE = SADCFE

Chứng minh:
SABCFE = ? (= SABE + SBCF)

Ta có : SABCFE = SABE + SBCF

SACDFE = ? (= SCDF + SDAE)

(1)
SACDFE = SCDF + SDAE

ABE ? CDF (bằng nhau)
Hãy chứng minh điều đó ? (HS tự chứng
minh)

Xét ABE và CDF :

Tương tự chứng minh BFC = DEA ?
Kết hợp (1), (2) và (3) suy ra điều gì ?

Chứng minh tương tửù:

AB = DC (caùnh cuỷa hbh)

à =D
ả
B
ABE = CDF
1
1 (so le trong)

1µ 1µ
·
·
EAB
= FCD
(= A = C )
(g.c.g) (2)
2
2
BFC = DEA (g.c.g)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: SABCFE = SADCFE (đpcm)

III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
6

2

Một đám đất có diện tích 2,7.10 m Tính diện tích đó nếu chọn đơn vị đo là:
a/ km

2

b/ hecta.

Giải
Ta có:
1 km = ? m
2

1 km = ? m

2

1 ha

= ?m

 10

= ? (= 1000000)

6

1 km = 1000m
⇒ 1 km2 = 1000000 m2 = 106 m2

2

1 ha

6

= 10000 m
2

2

2

a/ Vaäy: 2,7.10 m = 2,7 km
6

2

2

b/ 2,7.10 m = 2,7. 1000000 m = 270 ha
Bài 2:
Cắt từ một tấm bìa hai tam giác vuông bằng nhau. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo
thành :
a/ Một tam giác cân
b/ Một hìønh chữ nhật.
c/ Một hình bình hành khác với hình chữ nhật.

(3)


Vì sao diện tích của các hình này bằng
nhau ?

Các hình này bằng nhau vì chúng có cùng diện tích
của hai tam giác vuông.

Bài 3:
Cho hình chữ nhật ABCD, các đường chéo AC, BD cắt nhau ở O. Chứng minh
rằng bốn tam giác : OAB, OBC, OCD, ODA có cùng diện tích .

GT

Hình chữ nhật ABCD có:
AC ∩ BD = { O}

KL

SOAB = SOBC = SOCD = SODA

Trong hình chữ nhật ABCD, các đường
MN, HK gọi là gì ? (trục đối xứng)
Có nhận xét gì về các tam giác NOC,
NDO, HDO, HAO, MAO, MBO,

Chứng minh:

KBO, KCO ?
(bằng nhau)

Theo trường hợp nào ? (c.g.c)

Qua O kẻ các đường vuông góc với
AB,DC, AD, BC lần lượt cắt các cạnh
ấy tại M, N, H, K.
Ta có: MN, HK là hai trục đối xứng
của hình chữ nhật . Nên các tam giác:
NOC = NDO = HDO = HAO
= MAO =
= MBO = KBO = KCO
( c.g.c)
Vaäy: SOAB = SOBC = SOCD =SODA (=

2SNOC)
Bài 4:

a 4
Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là b = 9 và diện
2

tích của nó là 144 cm .

Giải
 Gọi a, b là các kích thước của hình chữ
nhật thì diện tích hình chữ nhật được tính
như thế nào ? (S = a.b)
a
4
Theo đề bài ta có = ? ( )
b
9
4
Suy ra a = ? ( ×b )
9
S = a.b = ? (= 144)
Thay (1) vào (2) để tìm b ?
Hãy tìm a ?

Ta có: Diện tích hình chữ nhật là: S = a.b
Gọi a, b là các kích thước của hình chữ nhật a, b > 0
a 4

4
⇒ a = ×b (1)
Theo đề bài ta có: =
b 9
9
Vàø

S = a.b = 144 (2)

Thay (1) vào (2) ta được:
4
×b ×b = 144
9
4 2
b = 144
9
4
⇒ b2 = 144 :
9
Do đó:

b = 18 (cm)
144
= 8 (cm)
a =
18

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là: 8cm và
18cm.
IV / CỦNG CỐ:

- Nhắc lại các kiến thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác , hình thang, hình bình hành, hình
chữ nhật, hình vuông, hình thoi.
* RÚT KINH NGHIỆM:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


-----------------------------------------------------------------------------------------------Ngày dạy:
TIẾ : 61 + 62
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1 / Diện tích hình thang:
S=

( a + b) h
2

2/ Diện tích hình bình hành:
S = a.h
3/ Diện tích hình chữ nhật:
S = a.b
4/ Diện tích hình vuông:
S=a

2

5/ Diện tích hình tam giác:
1

S = .ah
2
6/ Diện tích hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
S=

1
×d1 d 2
2

7 / Diện tích hình thoi:


S=

1
×d1 d 2
2

II / BÀI TẬP MẪU:
* Bài 1:

Chứng minh rằng trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai
hình có diện tích bằng nhau.

ABC có:

GT

AM: trung tuyến

KL

SABM = SMAC

- GV: Gợi ý HS phân tích sơ đồ chứng

Chứng minh:
Kẻ AH ⊥ BC

minh.

Ta có: SABM =

Hãy vẽ hình và ghi GT – KL ?

1
AH ×BM
2
1
SAMC = AH ×MC
2

SABM = SMAC
⇓
1
SABM = AH ×BM BM = MC SAMC =
2
1
AH ×MC
2

(1)
(2)

Mà: BM = MC (vì AM là trung tuyến)
(3)
Từ (1), (2) vaø (3) suy ra:
SABM = SMAC

(AM : trung tuyến)
* Bài 2:
Cho tam giác ABC (không có góc tù) với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H
HA ' HB ' HC '
+
+
=1
là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AA ' BB ' CC '


ABC có:
GT

KL

H: trực tâm ;
AA’ ⊥ BC ; BB’ ⊥ AC
CC’ ⊥ AB
HA ' HB ' HC '
+

+
=1
AA ' BB ' CC '

Chứng minh:
- GV: Gọi diện tích tam giác ABC

Gọi diện tích của ABC là S.

là S.
Có nhận xét gì về các cạnh của
hai tam giác HBC và ABC ?
(Chung cạnh đáy BC)
Tỉ số hai đường cao như thế nào
với tỉ số hai diện tích ? (bằng nhau)
Vậy ta có được tỉ lệ thức nào ?
 S HBC HA ' 
 S = AA ' ÷



Các tam giác HBC và ABC có chung đáy BC

- GV: Tương tự đới với tỉ số đường
cao và diện tích của hai tam giác

Nên tỉ số hai đường cao bằng tỉ số hai diện tích :
1
HA '×BC
S HBC 2

HA '
=
=
1
S
AA '
AA '×BC
2
HB ' sHAC HC ' S HAB
=
;
=
Tương tự ta có:
BB '
S CC '
S
Do đó:
HA ' HB ' HC ' S HBC + S HAC + S HAB S
+
+
=
= =1
AA ' BB ' CC '
S
S

HAC và HAB.

III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
* Bài 1:

Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài bằng
5,6dm và 6dm. Tính diện tích hình thang.
GT

ABCD là hình thang có:
AC ⊥ BD


AC = 3,6dm ; BD = 6dm
KL

SABCD = ?

Giải:
Xét hình thang ABCD (AB // CD) coù:
AC ⊥ BD ; AC = 3,6dm ; BD = 6dm
Ta coù: SABCD = SABC + SADC
1
1
×AC.BH + ×AC ×DH
2
2
1
1
6 ×3, 6
= ×AC ( BH + DH ) = AC ×BD =
= 10,8 ( dm )
2
2
2

=

Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH.
Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC.
GT

ABC có: µA = 900
AH ⊥ BC

KL

AH.BC = AB.AC.

Chứng minh:
Ta có: SABC =
SABC =
⇒

1
AH ×BC
2

1
AB ×AC
2

1
1
AH ×BC = AB ×AC

2
2

Hay: AH.BC = AB.AC.
Baøi 3:
Cho tam giác ABC, đường phân giác AD.
AB DB
=
Chứng minh rằng:
AC BC

Hai đường chéo của một hình thang vuông góc với nhau và có độ dài bằng 5,6dm và
6dm. Tính diện tích hình thang.


ABC có:

GT

AD: phân giác
AB DB
=
AC BC

KL

Chứng minh:
Kẻ DK ⊥ AB ; DH ⊥ AC
1
Ta có: SABD = DK ×AB

2
1
SADC = DH ×AC
2
Suy ra:
1
DK ×AB
S ABD BD 2
=
=
S ADC DC 1
DH ×AC
2
BD AB
⇒
=
DC AC
Bài 4:
2

Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm . M là điểm nằm
trong hình bình hành.Tính tổng diện tích của tam giác MABvà MCD.
ABCD là hình bình hành
có:

GT

SABCD = 30 cm

2

M nằm trong
KL

SAMB + SDMC = ?

Chứng minh:
Kẻ MH ⊥ AB; MK ⊥ DC
1
Ta có: SAMB = MH ×AB
2
1
SMDC = MK ×DC
2

2

Cho hình bình hành ABCD có diện tích 30 cm . M là điểm nằm trong hình
bình hành.Tính tổng diện tích của tam giác MABvaø MCD.


Mà AB = DC (Vì ABCD là hình bình
hành)
⇒ SAMB + SMDC =

1
MH ×AB +
2

1

MK ×DC
2
1
= AB ( MH + MK )
2
1
= AB ×HK
2
1
= ×30 = 15 ( cm 2 )
2
Bài 5:

Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Điểm M là trung diểm của
1
AC. Chứng minh : SABMD = S .
2

Tứ giác ABCD có:
GT

Diện tích S
AM = MC
1
SABMD = S
2

KL
Chứng minh:

Vì AM = MC ⇒ BM là trung tuyến của
ABC
Nên: SABM =

1
SABC
2

Tương tự DM là trung tuyến của ADC
1
Neân: SADM = SADC
2
1
⇒ SABM + SADM = ( S ABC + S ADC )
2
1
Hay: SABMD = S
2
IV / CUÛNG COÁ:


- Nhắc lại các công thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác.
- Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số công thức khác để tính diện tích về
tam giác” .
* RÚT KINH NGHIỆM:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngày dạy:
TIẾT :

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH CƠ BẢN (TT)
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:

 CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH KHÁC VỀ TAM GIÁC
 Công thức 1:
S = p.r
Trong đó: + r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
 Công thức 2:

+ p là nữa chu vi.
S=

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

Trong đó: a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.


II / BÀI TẬP MẪU:
Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OH ⊥ AB ;
OI ⊥ BC ; OK ⊥ CA.
Chứng minh rằng: Khi O di động trong tam giác thì tổng OH + OI + OK
không đổi.
ABC có :
GT

AB = BC = CA
OH ⊥ AB; OI ⊥ BC

OK ⊥ CA.
Khi O di động trong tam

KL

giác thì tổng OH + OI +
OK không đổi.
Chứng minh:

Gọi độ dài mỗi cạnh của tam giác
là a, chiều cao là h.
Ta có: SOAB + SOBC + SOCA = SABC
1
1
Hay:
OH.a + OI.a +
2
2
1
OK.a = a.h
2
1
a.(OH + OI + OK) =
2

1
2

1
2

a.h
Suy ra: OH + OI + OK = h (không
đổi)
Vậy: Khi O di động trong tam giác
thì tổng OH + OI + OK không đổi.
III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC cân tại A, điểm M thuộc đáy BC. Gọi BD là đường cao của
tam giác ABC. H, K là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Dùng công thức
tính diện tích để chứng minh MH + MK = BD


GT

ABC coù :
AB = BC , M ∈ BC
MH ⊥ AB; MK ⊥ AC
BD ⊥ AC.

KL

MH + MK = BD
Chứng minh:

Đặt AB = AC = a
Ta có: SAMB + SAMC = SABC
1
1
1

Hay:
a.MH + a. MK =
2
2
2
a.BD
Suy ra:

1
1
a.(MH + MK) = a. BD
2
2

⇒ MH + MK = BD

Bài 2:
Cho tam giác ABC = 60cm, chiều cao tương ứng là 40cm. Gọi D, E theo
thứ tự là trung điểm của AB, AC. Tính diện tích tứ giác BDEC.
ABC có :
GT

BC = 60cm; AH = 40cm
AH ⊥ BC; DB = DB
EA = EC

KL

SBDEC = ?
Giải

Vì AD = BD (gt)
⇒ AE là đường
trung bình
AE = EC (gt)

ABC


Nên DE // BC
Do đó:Tứ giác BDEC là hình thang.
1
1
⇒ DE = BC = .60 = 30 (cm)
2
2
Xét ADH có:
AD = BD (gt)
⇒ AI = IH
DI // BC (Vì I ∈ DE )
1
1
⇒ AI = IH = HA = .40 = 20 (cm)
2
2
( DE + BC ) ×AH
Vậy : S BDEC =
2

=

( 30 + 60 ) ×20
2

= 900 ( cm 2 )

Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác AD vẽ DH ⊥ AB. Dặt DH = d,
1 1 1
AB = c, AC = . Chứng minh rằng + =
b c d

ABC có :
GT

KL

BD là tia phân giác
DH ⊥ AB; DH = d
AB = c; AC = b
1 1 1
+ =
b c d

Chứng minh
Vẽ DK ⊥ AC
Ta có tứ giác AHDK là hình vuông


vì có 3 góc vuông và có 1 đường chéo

là phân giác của góc A.
Nên: DH = DK = d
Ta coù: SABD + SADC = SABC
1
1
1
Hay:
dc + db = bc
2
2
2
Suy ra: dc + db = bc
Chia cả 2 vế với bcd ta được:
dc
bd
bc
+
=
bcd bcd bcd
1 1 1
Hay: + = (đpcm)
b c d

Bài 4:
Cho tam giác ABC và ba điểm A’, B’, C’ lần lược nằm trên ba cạnh BC, CA,
AB sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy (A’, B’, C’ không trùng với các đỉnh của tam
giác.)
Chứng minh rằng:

A ' B B 'C C ' A

×
×
=1
AC B ' A C ' B

GT
KL

ABC coù :
A’ ∈ BC, B’ ∈ AC, C’ ∈ AB
AA’ ∩ BB’ ∩ CC’= { O}
A ' B B 'C C ' A
×
×
=1
A 'C B ' A C ' B

Chứng minh
Kẻ BH ⊥ AA’ ; CK ⊥ AA’
AA’B và AA’C có cùng chiều cao
hạ từ A và có hai đáy tương ứng là BA’ và
AC’
Nên:

S AA ' B A ' B
=
(1)
S AA ' C A ' C

Tương tự: AA’B và AA’C có chung cạnh

AA’ và có chiều cao tương ứng là BH và
CK
Nên

S AA ' B BH
=
(2)
S AA ' C CK

AOB vaø AOC có chung cạnh AO và các
chiều cao tương ứng là BH và CK
Nên:

S AOB BH
=
(3)
S AOC CK

Từ (1) , (2) vaø (3) suy ra:

S AOB A ' B
=
S AOC A ' C

(4)
Chứng minh tương tự ta có:

S BOC B ' C

=
(5)
S BOA B ' A
SCOA C ' A
=
(6)
SCOB C ' B
Nhân từng vế các đẳng thức (4) , (5), (6)
ta được:

S AOB S BOC SCOA A ' B B ' C C ' A
×
×=
=
×
×
=1
S AOC S BOA SCOB A ' C B ' A C ' B
IV / CỦNG CỐ:
- Nhắc lại các công thức cơ bản như phần I
V / HƯỚNG DẪN HS TỰ HỌC Ở NHÀ:
- Xem và làm lại các BT đã giải
- Ôn lại các công thức tính diện tích tam giác.
- Tiết sau tìm hiểu tiếp nội dung “một số tính chất suy ra tư ødiện tích” .
* RÚT KINH NGHIỆM:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Ngày dạy:
TIẾT

MỘT SỐ TÍNH CHẤT SUY RA TỪ DIỆN TÍCH
I / KIẾN THỨC CƠ BẢN:

- Tỉ số diện tích hai tam giác cùng đáybằng tỉ số hai đường cao tương ứng
đáy đó.
- Tỉ số diện tích của hai tam giác có cùng đường cao bằn tỉ số hai đáy tương
ứng hai đường cao ấy.
- SACD = SBCD ⇔ AB // CD.

II / BÀI TẬP MẪU
Dựng hai đường chéo của tứ giác lồi ABCD cắt nhau tại O.
Biết SAOB = SBOC = SCOD = SDOA .
Chứng minh rằng: ABCD là hình bình hành

Tứ giác ABCD có:
AC ∩ BD = { O}

GT

SAOB = SBOC = SCOD = SDOA
KL

ABCD là hình bình hành

Chứng minh:
* Cách 1:
Ta có: SADC = SAOD + SDOC
SBCD = SBOC + SDOC
Maø SAOD = SDOC + SBOC (gt)

Suy ra: SADC = SBCD
Do đó: AB // CD (tính chất 3)

(1)

Tương tự: SABD = SDCB => AO // BC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
ABCD là hình bình hành.
* Cách 2:
Kẻ AH BD
Ta có: SAOD =
SAOB =

1
AH .OD
2

1
AH.OB
2

Mà : SAOD = SAOB (gt)
Suy ra: OB = OD (1)
Tương tự: SBOA = SBOC
Nên: OA = OC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác ABCD là
hình bình hành.

III / BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
Cho hình bình hành ABCD. Trên AB lấy điểm M, Trên AD lấy điểm N.
Gọi O là giao điểm của BN với DM. Biết OC là tia phân giác của góc BOD.
Chứng minh rằng: BN = DM