GIÁO ÁN DẠY HE CHƯƠNG 1 + 2 GIẢI TÍCH 12

GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Líp 12
Cả năm :
Học kỳ I :
Học kỳ II:

37 tuần (123 tiết)
19 tuần (72 tiết)
18 tuần (51 tiết)

1. Phân chia theo năm học, học kỳ và tuần học
Cả năm 123 tiết

Giải Tích 78 tiết

Hình học 45 tiết

Học kỳ I:
19 tuần
72 tiết

48 tiết
10 tuần x 3tiết
9 tuần x 2tiết

24 tiết
14 tuần x 1tiết
5 tuần x 2tiết

Học kỳ II:

18 tuần
51 tiết

30 tiết
12 tuần x 2tiết
6 tuần x 1tiết

21 tiết
15 tuần x 1tiết
3 tuần x 2tiết

2. Phân phối chương trình
I. gi¶I tÝch
Chương
I. Ứng dụng
đạo hàm để
khảo sát và vẽ
đồ thị của hàm
số

Mục
§1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
§2. Cực trị của hàm số
Luyện tập
§3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Luyện tập ( cã thùc hµnh trên m¸y tÝnh bá tói )
§4. Đường tiệm cận
§5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Luyện tập

Ôn tập chương I
Kiểm tra 45’
II. Hàm số luỹ §1. Luỹ thừa
thừa, hàm số §2. Hàm số lũy thừa
mũ và hàm số §3. Lôgarit
lôgarit
Luyện tập
§4. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit
Luyện tập
§5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit.

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

Tiết
1–2
3–4
5
6–7
8
9 – 10
11 – 15
16 – 19
20 – 21
22
23 – 24
25 – 26
27 – 29
30
31 – 33
34

35 – 36
TRANG 1


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Chương

Mục
Luyện tập ( có thực hành trên máy tính bỏ túi )
Kiểm tra 45’

§6. Bất phương trình mũ và lôgarit
Ôn Tập
Kiểm tra học kỳ I
Trả bài kiểm tra cuối học kỳ I
Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp
III. Nguyên §1. Nguyên hàm. Luyện tập
hàm, tích phân §2. Tích phân
và ứng dụng Luyện tập
Kiểm tra 45’
§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học
Ôn tập chương III
IV. Số phức §1. Số phức. Luyện Tập
§2. Cộng, trừ và nhân số phức
Luyện Tập
§3. Phép chia số phức
Luyện Tập
Kiểm tra 45’
§4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Luyện Tập
Ôn tập cuối năm
Kiểm tra cuối năm
Trả bài kiểm tra cuối năm
Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp

Tiết
37 – 38
39
40 – 41
42
43
44
45 – 48
49 – 52
53 – 55
56 – 57
58
59 – 61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71 – 72
73

74
75 - 78

II. h×nh häc
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 2


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Chương

Mục

Tiết

I. Khối đa diện §1. Khái niệm về khối đa diện
§2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều
§3. Khái niệm về thể tích của khối đa diện.
Ôn tập chương I
Kiểm tra 45’
II. Mặt nón, mặt §1. Khái niệm về mặt tròn xoay
trụ, mặt cầu §2. Mặt cầu
Ôn tập chương II
Kiểm tra học kỳ I
Trả bài kiểm tra cuối học kỳ I
Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp
III. Phương
pháp toạ độ

trong không
gian

1–3
4–6
7–9
10 – 11
12
13 – 15
16 – 18
19 – 20
21
22
23 – 24

Ôn tập chương II ( tiếp theo )

25 – 26

§1. Hệ toạ độ trong không gian
§2. Phương trình mặt phẳng
Luyện Tập
Kiểm tra 45’
§3. Phương trình đường thẳng trong không gian
Luyện Tập
Ôn tập chương III
Ôn tập cuối năm
Kiểm tra cuối năm
Trả bài kiểm tra cuối năm
Tổng ôn tập cho thi tốt nghiệp

27 – 29
30 – 32
33
34
35 – 37
38
39
40 – 41
42
43
44 – 45

Tổ trưởng chuyên môn

Hiệu trưởng
( ký tên và đóng dấu)

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 3


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

1.SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I-TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Nhắc lại định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng, hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta
nói : Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x 1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì

f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là :
x1 < x2 => f(x1) < f(x2);
Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì
f(x1) lớn hơn f(x2), tức là :
x1 < x2 => f(x1) > f(x2);
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K
NHẬN XÉT : Từ định nghĩa trên, ta thấy :
a) f(x) đồng biến trên K ⇔

f ( x 2) − f ( x1)
> 0 , ∀ x1 ,x2 ∈ K (x1 ≠ x2)
x 2 − x1

f ( x 2) − f ( x1)
< 0 , ∀ x1 ,x2 ∈ K (x1 ≠ x2)
x 2 − x1

f(x) nghịch biến trên K ⇔

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a)

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (H.3b)
2.Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Ta thừa nhận định lý sau đây :
ĐỊNH LÝ : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
b) Nếu f’(x)< 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
Tóm lại , trên K:
f’(x) > 0 => f(x) đồng biến
f’(x) < 0 => f(x) nghịch biến

Chú ý :
Nếu f’(x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên K
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
a) y = 2x4 + 1
b) y = sinx trên khoảng (0; 2 π )
Giải
a) Hàm số đã cho xác định với ∀ x ∈ R
Ta có y’= 8 x3
Bảng biến thiên:
−∞
x
y’
+∞
y

-

0
0

+∞

+

+∞

1
Vậy hàm số y = 2x4 + 1 nghịch biến trên ( − ∞ , 0), đồng biến trên (0, + ∞ )
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 4


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

b)Xét trên khoảng (0; 2 π ), ta có y’(x) = cos x
Bảng biến thiên :
π /2
x
0
y’
+
0
y
1

3 π /2
0

2π
+
0

0
-1
Vậy hàm số y = sinx đồng biến trên các khoảng (0; π /2) và (3 π /2; 2 π ), nghịch biến trên khoàng ( π
/2 ; 3 π /2)
CHÚ Ý : Ta có định lý mở rộng sau:
Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ 2 :Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2 x3 + 6x2 + 6x -7
Giải
Hàm số đã cho xác định với ∀ x ∈ R
Ta có y’=6x2 + 12x + 6 = 6(x+1)2
Do đó , y’ =0 ⇔ x = -1 và y’ > 0 với ∀ x ≠ -ý
Theo định lý mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến
II.QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. QUY TẮC
1. Tìm tập xác định
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x i ( i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số
2. ÁP DỤNG
Ví dụ 3 : Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
y=

1 3 1 2
x - x – 2x + 2
3
2

Giải
 x = −1

Hàm số xác định với mọi x ∈ R . Ta có : y’ = x2 – x – 2 , y’=0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên :
−∞
x

-1
2
y’
+
0
0
+
19
y
6

+∞
+∞

−4
3

−∞

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; -1) và (2; + ∞ ), nghịch biến trên khoảng (-1;2).
Ví dụ 4 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =

x −1
x +1

Giải

Hàm số xác định với ∀ x ≠ -1.
( x + 1) − ( x − 1)
2

Ta có : y’ =
=
; y’ không xác định tại x = -1
( x + 1)2
( x + 1)2
Bảng biến thiên :
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 5


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

−∞

x
y’
y

+∞

-1
+

+

+∞

1

−∞

1
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0 ;

π
) bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số
2

f(x) = x – sinx.
Giải

Xét hàm số f(x) = x – sinx (0 ≤ x <

π
), ta có :
2

f’(x) = 1 – cos x ≥ 0 (f’(x) = 0 chỉ tại x = 0)

 π
÷.
 2

nên theo chú ý trên ta có f(x) đồng biến trên nửa khoảng  0;
Do đó, với 0 < x <

π
 π
ta có f(x) = x – sinx > f(0) = 0 hay x > sinx trên khoảng  0;  .

2
 2

Bài tập đề nghị:
1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số:
1 3
x + 3x 2 − 7 x − 2
3

a) y = 4 + 3x – x2

b) y = 2x3 + 3x2 + 1

e) y = - x3 + x2 – 5

f) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 g) y = - x3 – 3x + 2

k) y = - x4 + 2x2 – 1 l) y = x4 + x2 – 1

c) y =

m) y =

d) y = x3 - 2x2 + x + 1
h) y = x4 – 2x2 + 3

3x + 1
1− x

n) y =

x+2
x−2

2
x 2 − 2x
q) y = x r) y =
x
1− x
2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định.
4
p) y = x +
x

2
3

a) y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – 1

ĐS: − ≤ m ≤ 1

b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1

ĐS: m =

1
2

3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định.
x3

+ (m − 2) x 2 + (m − 8) x + 1
a) y = 3
(m − 1) x 3
+ mx 2 + (3m − 2) x + 3
b) y =
3

ĐS: − 1 ≤ m ≤ 4
ĐS: m ≤

1
2

4. Cho hµm sè y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2. T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn.
5. Cho hµm sè y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2. T×m m ®Ó hµm sè lu«n ®ång biÕn.

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 6


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I- KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI , CỰC TIỂU
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b)(có thể a là − ∞ ; b là + ∞ )
và điểm x0 ∈ (a; b).
a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với ∀ x ∈ (x0 –h ; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số
f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với ∀ x ∈ (x0 –h ; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số
f(x) đạt cực tiểu tại x0.
CHÚ Ý
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại(điểm cực tiểu )
của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là fCĐ , (fCT) , còn
điểm M(x0, f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số .
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b) và đạt
cực đại hoặc cực tiểu tại x thì f’(x0) = 0.
II- ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Ta thừa nhận định lý sau :
Định lí 1 :
Giả sử hàm số y= f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
K \{ x0 } , với h > 0.
a) Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0 – h ; x0 ) và f’(x) < 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm
cực đại của hàm số f(x).
b) Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0 – h ; x0 ) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0 ; x0 + h) thì x0 là một
điểm cực tiểu của hàm số f(x).
x
f’(x)
f(x)

x0 – h

x
f’(x)
f(x)

x0 – h

x0
+

x0 + h
-

fCĐ

x0
-

x0 + h
+

fCT

Ví dụ 1:
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 7


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) = - x2 + 1
Giải
Hàm số xác định với ∀ x ∈ R .
Ta có : f’(x) = -2x ; f’(x) =0 ⇔ x=0
Bảng biến thiên:

−∞
x
0
f’(x)
+
0
f(x)
1

+∞

-

−∞

−∞

Từ bảng biến thiên suy ra x= 0 là điểm cực đại của hàm số và đồ thị của hàm số có một điểm cực đại
(0; 1).
Ví dụ 2 :
Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 – x2 –x + 3
Giải
∈
Hàm số xác định với ∀ x R .
Ta có : y’ = 3x2 – 2x -1 ;
Bảng biến thiên:
x

x = 1

y’ =0 ⇔ 
 x = −1 / 3

−∞
+∞

y’
y

-1/3
+

0

1
-

0

86
27

+
+∞

−∞

2

Từ bảng biến thiên suy ra x = -1/3 là điểm cực đại , x= 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.

Ví dụ 3 : Tìm cực trị của hàm số :
y=

3x + 1
x +1

Hàm số xác định tại ∀ x ≠ -1
2
Ta có y’ =
> 0 , ∀ x ≠ -1
( x + 1)2

Giải

Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số có cực trị tại x 0
thì tại đó y’ = 0 ) .
III- QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
Áp dụng Định lý 1, ta có quy tắc tìm cực trị sau đây :
QUY TẮC 1 :
1.
Tìm tập xác định.
2.
Tính f’(x) . Tìm các điểm tại đó f’(x ) bằng 0 hoặc f’(x) không xác định
3.
Lập bảng biến thiên
4.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 8


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Ta thừa nhận định lý sau :
ĐỊNH LÍ 2 :
Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 – h ; x0 + h), với h > 0. Khi đó :
a)
Nếu f’(x0 ) = 0, f”( x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
b)

Nếu f’(x0 ) = 0, f”( x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại

Áp dụng định lý 2 , ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số
QUY TẮC II
1.
Tìm tập xác định
2.
Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) =0 và ký hiệu xi ( i =1,2,…….) là các nghiệm của nó.
3.
Tính f”(x) và f”(xi)
4.
Dựa vào dấu của f”( xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi
Ví dụ 4 : Tìm cực trị của hàm số
f(x) =

x4
- 2 x2 + 6
4

Giải

Hàm số xác định với ∀ x ∈ R .

f’(x) = x3 - 4x =x(x 2 – 4)
f’(x) = 0 ⇒ x1 = 0 ; x2 = -2 ; x3 =2
f”(x) =3 x 2 – 4
f”( ± 2) = 8 > 0 ⇒ x = -2 và x =2 là hai điểm cực tiểu.
f”(0) = -4 < 0 ⇒ x =0 là điểm cực đại.
Kết luận :
f(x) đạt cực tiểu tại x = -2 và x = 2 , f CT = f( ± 2) =2.
f(x) đạt cực đại tại x =0 và fCĐ = f(0) = 6
Ví dụ 5 : Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = sin 2x
Giải
Hàm số xác định với ∀ x ∈ R .
f’(x) = 2 cos2x.
π
π
π
f’(x )=0 ⇔ 2x =
+ lπ ⇔ x =
+ l (l ∈ Z).
2

4

2

f”(x) = -4 sin 2x.

π
π
π
f”(
+ l ) = -4 sin( + l π ) = - 4 nếu l = 2k
4

2

2

= 4 nếu l = 2k + 1(k ∈ Z).

Kết luận:
π
x = + k π ( k ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.

4
3π
x=
+ k π ( k ∈ Z) là các điểm cực tiểu của hàm số.
4

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 9


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Bài tập đề nghị:
1. Tìm cực trị của các hàm só.
1) y = x2 – 3x – 4 ;
2) y = -x2 + 4x – 3 ;
4) y =

1 3
x − 4x ;
3

5) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 ;

7) y = -x3 -3x + 2 ;
10) y = x4 + 2x2 + 2 ;
14) y =

3) y = 2x3 -3x2 + 1 ;

x 2 − 2x + 2
;
x −1

1 4
x − 4x 2 − 1
2
x−2
11) y =
;
x +1
x2

15) y =
;
x −1

1
4
2x
12) y =
;
x−2
x 2 − 3x
16) y =
;
x +1

4
2
9) y = − x + x ;

8) y =

(

) (

6) y = x3 – 3x2 + 3x + 1 ;

)

2

;
x
x2 + 3
17) y =
;
x −1

13) y = 1 -

2. Định m để y= x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 2 − 1 đạt cực đại tại x=1.
3. Cho hàm số y=

x4
− ax 2 + b . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1.
2

4. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu.
1 3
2
1) y = x + mx + (12 − m) x + 2
3
2) y = x 3 − 2mx 2 + 1
m 3
2
3) y = x − 2 x + (3m + 1) x − 1
3
m 3
2
4) y = x + 3mx − (m − 1) x + 3
3

x 2 − mx + 2
5) y =
x −1
6) y =

x 2 + 2x + m
x+2

mx 2 + x + m
x+m
− x 2 + mx − m 2
8) y =
x−m
7) y =

Đ S: m < -4, m > 3
ĐS: m ≠ 0
ĐS: −

4
< m <1
3

ĐS: m < 0 , m >

1
10

ĐS: m < 3

ĐS: m > 0
ĐS: m < 0, m >

1
2

ĐS: m ≠ 0 .

5. Tìm m để hàm số:
1) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị.
ĐS: m > 0
4
2
2) y = x – (m + 1)x – 1 có 1 cực trị
ĐS : m < - 1
4
2
3) y = mx + (m – 1)x + 1 – 2m có 3 cực trị
ĐS : 0 < m < 1.
6. Tìm m để hàm số:
1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2
ĐS : m = 1
1 3
2
2) y = mx + (m − 2) x + (2 − m) x + 2 đạt cực trị tại x = -1.
ĐS : m = 3
3
3) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1
ĐS : m = 3
3

2
4) y = x + (m + 1)x + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2
ĐS : m = 7/2.
2
x + a (1 − a ) x − a 3 + 1
7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số y =
luôn có cực đại
x+a
và cực tiểu.
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 10


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Bài tập dành cho học sinh:
…………………………………………………………………………..
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:

+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x i (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
DẠNG 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
1
1
a. y = x 3 − x 2 − 2 x + 2
b. y = -x 2 + 3 x + 4
e. y = x ( x − 3), (x > 0)
3
2
x-1
c. y = x 4 − 2 x 2 + 3
d. y =
x +1
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a. y = 3x 2 − 8 x 3
b. y = x 4 + 8 x 2 + 5
c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x

3- 2x
x2 − 2x + 3
e. y =

f. y = 25-x 2
x+7
x +1
DẠNG 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3. Chứng minh hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4.
a. Chứng minh hàm số y = x 2 − 9 đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ).
4
b. Hàm số y = x + nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
x
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
3− x
a. Hàm số y =
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x +1
2 x 2 + 3x
b. Hàm số y =
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x +1
c. Hàm số y = − x + x 2 + 8 nghịch biến trên R.
d. y =

Dạng 3. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước

Phương pháp:
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 11

GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
1 3
2
Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a để hàm số f ( x) = x + ax + 4 x + 3 đồng biến trên R.
3
x2 + 5x + m2 + 6
Ví dụ 7. Tìm m để hàm số f ( x) =
đồng biến trên khoảng (1; +∞)
x+3
m
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: y = x + 2 +
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
x −1
x3
Ví dụ 9. Xác định m để hàm số y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x đồng biến trên khoảng (0; 3)
3
mx + 4
Ví dụ 10. Cho hàm số y =
x+m
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞)
c. Tìm m để hàm số giảm trên (−∞;1)
Ví dụ 11. Cho hàm số y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng (2; +∞)

Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm số y = x 3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) đồng biến trên [2:+∞) .
Dạng 4. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f ( a) ≤ f ( x) ≤ f ()
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f ( a) ≥ f ( x) ≥ f (b)
Ví dụ 13. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
π
1
x2
1
a. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞
2
2
8
2
2
3
x
x
c. cosx > 1 ,x ≠0
d. sinx > x , x>0
2
6
Ví dụ 14. Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
 π
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; ÷ ;
 2

π

b. Chứng minh rằng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) .
2
Ví dụ 15. Cho hàm số f ( x) = t anx - x

 π
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; ÷ ;
 2
3
x
π
b. Chứng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; ) .
3
2
4
π
Ví dụ 16. Cho hàm số f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ]
π
4
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0;
b. Chứng minh rằng tan x ≤

π
];
4

4
π

x, ∀x ∈ [0; ] .
π
4

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 12


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 13


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên tập D ⊂ R.
a. Nếu tồn tại điểm xo ∈ D sao cho f(x) ≤ f(xo) với mọi x ∈ D thì số M = f(xo) được gọi là GTLN của

f ( x)
hàm số f trên D, kí hiệu là M = Mx∈ax
D
b. Nếu tồn tại điểm xo ∈ D sao cho f(x) ≥ f(xo) với mọi x ∈ D thì số m = f(xo) được gọi là GTNN của
f ( x)
hàm số f trên D, kí hiệu là M = Min
x∈D

2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên ( a; b ) :
+ B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
x

-

y'

b

x0

a

+

y

x

b

x0

a
+

y'

GTLN

y

GTNN

Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò xi ∈ [ a; b ] (i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đònh .
B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f (b)
B3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( x n ), f (b) }
GTNN = Min{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f (b) }
1
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + trên khoảng (0; +∞)
x
Hướng dẫn:
x
1
0
Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; +∞)
-

y'

1 x2 −1
y ' = 1 − 2 = 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 .
x
x

y
Dễ thấy x = −1 ∉ (0; +∞)
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số khơng có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2.
x3
Tính GTLN, GTNN của hàm số y = + 2 x 2 + 3x − 4 trên đoạn [-4; 0]
3
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
 x = −1
f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒ 
 x = −3

0

+∞

+

+∞

+∞

2

−16
−16
, f (−3) = −4, f ( −1) =
, f (0) = −4
3

3
VËy Max y = −4 khi x = -3 hc x = 0
f (−4) =

x∈[-4;0]

−16
khi x = -4 hc x = -1
3
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
a. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4]
Min y =

x∈[-4;0]

c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3]

b. f(x) = x 3 + 5x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
d. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3]

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TỐN TRƯỜNG THPT NAM DUN HÀ

TRANG 14


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
x
a. f(x) =

trªn nöa kho¶ng (-2; 4]
x+2
c. f(x) = x 1 - x 2

1
trªn kho¶ng (1; +∞)
x- 1
1
π 3π
d. f(x) =
trªn kho¶ng ( ;
)
cosx
2 2

b. f(x) = x +2 +

Bài tập:
Bài 1: Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = x3 + x2 – 5x + 3 trên:
a. Khoảng (– 2; 4)
b. Đoạn [– 3 ; 3].
5
Bài 2: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của hàm số y = x4 – 3x3 + x2 – 2 trên :
2
a. Khoảng (0 ; 6)
b. Đoạn [1; 2].
Bài 3: Tìm GTLN – GTNN (nếu có) của hàm số:
9
a. f(x) = x +
trên khoảng ( 0; 5)

2x

1
+ 3x, với x > 0
x +1
x2 + 5x + 6
d. f ( x) =
với x > 0
x
x2 + 2x + 5
e. f ( x ) =
trên đoạn [1; 4]
x+2
1
1
f. f ( x) = +
trên khoảng (0; 1)
x 1− x
c. f ( x) =

2
4
+
trên khoảng (0; 2).
x 2− x
Bài 4. Tìm GTLN của hàm số: f(x) = 4x3 – 3x4 với – 4 ≤ x ≤ 4.
Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a. f(x) = x − 2 + 4 − x
g. f(x) =

b. f(x) = 3 x − 3 + 4 6 − x

.

Bài 6: Giả sử phương trình: 12 x − 6mx + m − 4 +
2

Tìm GTLN – GTNN của biểu thức

2

12
= 0 có 2 nghiệm là x1; x2.
m2

S = x13 + x23 .

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a. f(x) = 2 x − 1 + 4 − 2 x
b. f(x) = 2 x − 3 + 2 5 − x
c. f(x) = 2 2 − x + x + 3 .
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
 π π
a. f(x) = 5cosx – cos5x trên - ; 
 4 4
4
4
b. f(x) = sin x + cos x – 2sinx.cosx + 1
c. f(x) = cos2x – 2sinx + 4 .

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 15


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
A. Tóm tắt
1. Định nghĩa: M ( x, y )
x → ∞
* OM → ∞ ⇔ 
y → ∞
* đồ thị (C ) : y = f ( x), M ∈ (C ), MH = d ( M .∆)
∆ tiệm cận của (C )
⇔ lim MH = 0
M →∞

2. Các dấu hiệu của tiệm cận
Cho đồ thị (C ) : y = f ( x)
a) Tiệm cận đứng:
lim f ( x) = ±∞ ⇔ ∆ : x = x0 ( x0 ≠ ±∞) là tiệm cận đứng của (C )
x→x

y

0

b) Tiệm cận ngang
lim f ( x) = y0 ⇔ ∆ : y = y0 ( y0 ≠ ±∞) là tiệm cận ngang của (C )

x →±∞
c) Tiệm cận xiên
lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0 ⇔ ∆ : y = ax + b là tiệm cận xiên của (C )
x →∞

y0

O

M
x0

H

x

y
y0

O

M
H
x0

x

B. PHƯƠNG PHÁP TÌM TIỆM CẬN
Để tìm tất cả các tiệm cận của hàm số y = f ( x) ta thực hiện các bước
1. Tìm miền xác định của f ( x )

2. Tìm giới hạn của f ( x) khi x tiến đến các biên của miền xác định
3. Nhận dạng các loại tiệm cận dựa vào dấu hiệu sau:
Dấu hiệu
Kết luận về tiệm cận
lim f ( x) = ∞ Tiệm cận đứng x = x0
x → x0

lim f ( x) = y0
x →∞

lim f ( x) = ∞
x →∞

Tiệm cận ngang y = y0
* Có thể có tiệm cận
f ( x)
_ Tìm a = lim
x →∞
x
[ f ( x) − ax ]
_ Nếu a ≠ 0 và a ≠ ∞ thì ta tìm b = lim
x →∞
_ Nếu b ≠ ∞ thì (C ) có tiệm cận xiên y = ax + b
_ Nếu b = ∞ thì (C ) có phương tiệm cận y = ax

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 16

GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
1. Hàm bậc ba:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0.
3
2
3) Vẽ đồ thị hàm số y = y = x − 3x + 2 .
4) 4)Viết pttt của (C) biết tt song song với đt y = -9x -3.
Bài 2 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số
1) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2) .Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
Bài 3: Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 + 1 có đồ thị (C).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2) Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt x 3 − 3 x 2 + k = 0 .
3
2
3). Vẽ đồ thị hàm số y = y = − x + 3x + 1
Bài 4: Cho hàm số: y = x3 − 3x + 2, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (0;2) .
Bài 5: Cho hàm số: y = −x3 + 3x2 − 4, có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = −9x + 2009
3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: . x3 − 3x2 + m = 0
Bài 6: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 − 2 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = −3

Bài 7 : Cho hàm số: y = x3 + 3x2 , có đồ thị là (C).
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2./ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 + 3x2 − 2 − m = 0.
3/ Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 8: Cho hàm số : y = −x3 + 3x2 − 2 , đồ thị ( C )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2/ Viết phương trình tíếp tuyến ∆ với (C ) tại điểm A( 0 , - 2)
3/ d là đường thẳng qua K( 1,0) có hệ số góc m . Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm
phân biệt .
Bài 9: Cho hàm số y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + 2 (1), với m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
có hoành độ dương.
Bài10 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực (K.A 2010)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1, x2, x3 thỏa
2
2
3
mãn điều kiện : x1 + x 2 + x 2 < 4

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 17


GIO N LP 12 DY Hẩ 2011

2. Hm hu t:

3x 2
, cú th l (C)
x +1

Bi 1 : Cho hm s y =

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2. Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im cú tung bng -2.
3 2x
, cú th (C).
x 1

Bi 2: Cho hm s y =

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d: y = mx + 2 ct th (C)
ca hm s ó cho ti hai im phõn bit.
3. Vit pttt ca ( C) ti giao im ca (C) vi cỏc trc ta .
Bi 3: Cho hm s y =

2 x 1
(C) .
x2

1.Kho sỏt v v th (C) hm s. Tỡm trờn (C) cỏc im cú ta nguyờn.
2.Tỡm phng trỡnh tip tuyn vi (C) ti im M thuc (C) v cú honh xo= 1
2 x 1

3. V th hm s y = x 2
Bi 4: Cho hm s y =

x +1
x 1

( 1) cú th l (C)

1. Kho sỏt hm s (1)
2.Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn cú h s gúc l -2.
Bi 5: Cho hm s y =

2x + 1
cú th (C)
x 1

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C).
2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi th (C) ti im cú tung l 5 .
Câu 6.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

x+2
x 3

2.Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đờng tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
Bi 7: Cho hm s y =

2x + 1
cú th (C)
x1

1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s

2/ Tỡm m (C) ct ng thng (d): y = m(x + 1) + 3 ti 2 im phõn bit A,B nhn
I(-1;3) lm trung im AB.
Bi 8: Cho hm s y =

3(x + 1)
(C ).
2 x

1/ Kho sỏt v v th (C) ca hm s.
2/ Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C ) ti giao im ca (C) v trc tung.
3/ Tỡm tt c cỏc im trờn (C ) cú to nguyờn.
Bi9: Cho hm s y = 2 +

3
x- 1

1/ Kho sỏt v v th (C) ca hm s.
2/ Vit phng trỡnh tip tuyn vi vi th (C) ti giao im ca (C) v trc Ox.
3/ Tỡm m ng thng d : y = x + m ct (C) ti hai im phõn bit .
4/ Tip tuyn ti M ẻ (C ) ct hai tim cn ca ( C) ti A , B .
a/CMR : M l trung im AB b/ Tớnh dt( D IAB ) vi I l giao im hai tiờm cn ca ( C) .
GIO VIấN: BI PH T. T TON TRNG THPT NAM DUYấN H

TRANG 18


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Bài 10: Cho hàm số: y =

2x + 1
có đồ thị là (C).
x+1

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Tìm trên (C) những điểm có tổng kcách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
3/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc
phần tư thứ nhất.
Bài 11: Cho hàm số y =

2x + 1
đ
x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng
3 (O là gốc tọa độ).
Bài 12: Cho hàm số y =

x+2
2x + 3

( 1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hồnh, trục tung lần
lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
3. Hàm trùng phương:
Bài 1: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2

1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x 4 − 2 x 2 + m = 0
4
2
3. Vẽ đồ thị hàm số y = / − x + 2 x /
Bài 2: Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 1 có đồ thị (C)
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2.
Dùng đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
( x 2 − 1) 2 +

m
= 2.
2

Bài 3: Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, có đồ thị là ( C ).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2.
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy.
Bài 4: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số trên.
2.
Từ (C ), tìm m để phương trình - x 4 + 2 x 2 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 5: Cho hàm số y = - x 4 + 2x 2 + 3 (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).

2. Tìm m để Phương trình x 4 - 2 x 2 + m =0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 6: Cho hàm số y =

x4
5
- 3x 2 +
2
2

(1)

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = 1
Bài 7: Cho hàm số y = x 4 + 2(m+1)x 2 + 1 (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 8: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TỐN TRƯỜNG THPT NAM DUN HÀ

TRANG 19


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

2. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
x 4 − 2x 2 − m = 0

(*)

Bài 9: Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thò (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của pt : x4 – 2x2 + 1 - m = 0.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; 1).
Bài 10: Cho hàm số: y = x4 − 2x2
1/ Khảo sát sự biến thiên ,và vẽ đồ thị của hàm số.
2/ Định m để phương trình: / x4 − 2x2/ = m có 6 nghiệm phân biệt
1
2

Bài 11: Cho hàm số: y = x4 − 3x2 +

3
có đồ thị (C).
2

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết PTTT với đồ thị (C) của hàm số tại điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = 2.
3/ Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm : x4 − 6x2 + 1 + m = 0.
Bài 12: Cho hàm số : y = x2(m − x2)
1/ Tìm điều kiện của m để hàm số có ba cực trị.
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4 .
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ x0 = - 1
Bài 13: Cho hàm số : y = (1 − x2)2 − 6 , đồ thị (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m − x4 + 2x2 = 0
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: y = 24x + 10
Bài 14: Cho hàm số: y = x4 − mx2 − (m + 1) có đồ thị (Cm), (m là tham số).
1/ Tìm m biết đồ thị hàm số đi qua diểm M (−1;4)
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −2.

Bài 15: Cho hàm số: y = −x4 + 2mx2 , có đồ thị (Cm), ( m là tham số)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2/ Lập phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A( 2 ;0).
3/ Xác định m để hàm số (Cm) có 3 cực trị.
Bài 16: Cho hàm số y = − x 4 − x 2 + 6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
y=

1
x −1
6

Bài 17: Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2
2
2. Với các giá trị nào của m, phương trình x x − 2 = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Bài 18: Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ hơn 2.

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TỐN TRƯỜNG THPT NAM DUN HÀ

TRANG 20


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

TÀI LIỆU CỦA HỌC SINH:...........................................................................

1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến.
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
1
1
a. y = x 3 − x 2 − 2 x + 2
b. y = -x 2 + 3 x + 4
e. y = x ( x − 3), (x > 0)
3

2
x-1
c. y = x 4 − 2 x 2 + 3
d. y =
x +1
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
a. y = 3x 2 − 8 x 3
b. y = x 4 + 8 x 2 + 5
c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
3- 2x
x2 − 2x + 3
e. y =
f. y = 25-x 2
x+7
x +1
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3. Chứng minh hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4.
a. Chứng minh hàm số y = x 2 − 9 đồng biến trên nửa khoảng [3; + ∞ ).
4
b. Hàm số y = x + nghịch biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
x
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
3− x
d. Hàm số y =
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x +1
2 x 2 + 3x

e. Hàm số y =
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2x +1
f. Hàm số y = − x + x 2 + 8 nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước.
d. y =

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 21


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai.
1 3
2
Ví dụ 6. Tìm giá trị của tham số a để hàm số f ( x) = x + ax + 4 x + 3 đồng biến trên R.
3
2
2
x + 5x + m + 6
Ví dụ 7. Tìm m để hàm số f ( x ) =
đồng biến trên khoảng (1; +∞) .
x+3
m
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: y = x + 2 +
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

x −1
x3
Ví dụ 9. Xác định m để hàm số y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x đồng biến trên khoảng (0; 3).
3
mx + 4
Ví dụ 10. Cho hàm số y =
x+m
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; +∞)
c. Tìm m để hàm số giảm trên (−∞;1) .
Ví dụ 11. Cho hàm số y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m để hàm số:
a. Liên tục trên R
b. Tăng trên khoảng (2; +∞) .
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số y = x 3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) đồng biến trên [2:+∞)
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f ( a) ≤ f ( x) ≤ f ()
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f ( a) ≥ f ( x) ≥ f (b)
Ví dụ 13. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
π
1
x2
1
a. tanx > sinx, 0< x <
b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞
2
2
8

2
2
3
x
x
c. cosx > 1 ,x ≠0
d. sinx > x , x>0
2
6
Ví dụ 14. Cho hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
 π
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; ÷
 2
π
b. Chứng minh rằng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; )
2
Ví dụ 15. Cho hàm số f ( x) = tan x - x
 π
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; ÷
 2
x3
π
b. Chứng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; )
3
2
4
π
Ví dụ 16. Cho hàm số f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ]
π
4

π
4
π
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ] ; b.Chứng minh rằng tan x ≤ x, ∀x ∈ [0; ] .
4
π
4

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 22


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí
f’(x) không xác định.
hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3. Lập bảng biến thiên.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị

( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) <
0 thì hàm số có cực đại tại xi)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 − 36 x − 10
Qui tắc I.
Qui tắc II
TXĐ: R
TXĐ: R
2
y ' = 6 x + 6 x − 36
y ' = 6 x 2 + 6 x − 36
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0

y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0

x = 2
⇔
 x = −3
x

-3

-∞
+

y'

0

+∞

2
-

0

+
+∞

71

y
-∞

x = 2
⇔
 x = −3
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và
ycđ =71

- 54

Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71
x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3

b. y = x 4 − 8 x3 + 432

c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7

d. y = x 4 - 5x 2 + 4

e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5
f. y = - x 3 - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
x+1
x2 + x − 5
(x - 4) 2
a. y = 2
b. y =
c. y = 2
x +8
x +1
x − 2x + 5
2
9
x − 3x + 3
x
d. y = x - 3 +
e. y =
f. y = 2
x-2
x −1
x +4
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
x+1

5 - 3x
a. y = x 4 - x 2
b. y =
c. y =
x2 +1
1 - x2
x
x3
d. y =
e. y =
f. y = x 3 - x
10 - x 2
x2 − 6
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
a. y = x - sin2x + 2
b. y = 3 - 2cosx - cos2x
c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x
e. y = cosx + cos2x
f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ]
2
GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 23


GIO N LP 12 DY Hẩ 2011

Dng 2. Xỏc lp hm s khi bit cc tr

tỡm iu kin sao cho hm s y = f(x) t cc tr ti x = a
B1: Tớnh y = f(x)
B2: Gii phng trỡnh f(a) = 0 tỡm c m
B3: Th li giỏ tr a cú tho món iu kin ó nờu khụng ( vỡ hm s t cc tr ti a thỡ f(a) =
0 khụng k C hay CT)
Vớ d 1. Tỡm m hm s y = x3 3mx2 + ( m - 1)x + 2 t cc tiu ti x = 2
LG :
y ' = 3 x 2 6 mx + m 1 .
Hm s t cc tr ti x = 2 thỡ y(2) = 0 3.(2)2 6 m.2 + m 1 = 0 m = 1
x = 0
2
Vi m = 1 ta c hm s: y = x3 3x2 + 2 cú : y ' = 3 x 6 x y ' = 0
ti x = 2 hm s t giỏ tr
x = 2
cc tiu .
Vy m = 1 l giỏ tr cn tỡm.
Bi 1. Xỏc nh m hm s y = mx 3 + 3 x 2 + 5 x + 2 đạt cực đại tại x = 2
2
3
2
Bi 2. Tỡm m hm s y = x mx + (m ) x + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó hàm số có CĐ hay CT
3
2
x + mx + 1
Bi 3. Tỡm m hm s y =
đạt cực đại tại x = 2
x+m
Bi 4. Tỡm m hm s y = x 3 2 mx 2 + m 2 x 2 đạt cực tiểu tại x = 1
Bi 5. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s: f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c t cc tiu ti im x = 1, f(1) = -3 v
th ct trc tung ti im cú tung bng 2

q
Bi 6. Tỡm cỏc s thc q, p sao cho hm s f ( x ) = xp +
t cc i ti im x = -2 v f(-2) = -2
x +1
q
, x -1
Hng dn: f '( x ) = 1
( x + 1)2
+ Nu q 0 thì f'(x) > 0 với x -1 .Do ú hm s luụn ng bin. Hm s khụng cú cc tr.
x = 1 q
x2 + 2x +1 q
f
'(
x
)
=
=0
+ Nu q > 0 thỡ:
2
( x + 1)
x = 1 + q
Lp bng bin thiờn xem hm t cc ti ti giỏ tr x no.
Dng 3. Tỡm iu kin hm s cú cc tr
Bi toỏn: Tỡm m hm s cú cc tr v cc tr tho món mt tớnh cht no ú.
Phng phỏp
B1: Tỡm m hm s cú cc tr.
B2: Vn dng cỏc kin thc khỏc Chỳ ý:
3
2
Hm s y = ax + bx + cx + d (a 0) cú cc tr khi v ch khi phng trỡnh y = 0 cú hai nghim

phõn bit.
p( x )
Cc tr ca hm phõn thc y =
. Gi s x0 l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x0) cú th c
Q( x )
P( x0 )
P '( x0 )
hoặc y(x 0 ) =
tớnh bng hai cỏch: hoc y( x0 ) =
.
Q( x0 )
Q '( x0 )
Dng 4. Tỡm tham s cỏc cc tr tho món tớnh cht cho trc.
Phng phỏp
+ Tỡm iu kin hm s cú cc tr
+ Vn dng cỏc kin thc v tam thc, h thc Viet tho món tớnh cht.
Vớ d . Xỏc nh m cỏc hm s sau cú cc i v cc tiu
GIO VIấN: BI PH T. T TON TRNG THPT NAM DUYấN H

TRANG 24


GIÁO ÁN LỚP 12 DẠY HÈ 2011

1 3
x 2 + mx − 2 m − 4
x + mx 2 + (m + 6) x − 1
b. y =
3
x+2

Hướng dẫn.
a. TXĐ: R
y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình: x 2 + 2 mx + m + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
m > 3
∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔ 
 m < −2
a. y =

b. TXĐ: ¡ \ { −2}

(2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2 m − 4) x 2 + 4 x + 4m + 4
=
( x + 2)2
( x + 2)2
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác – 2
⇔ x 2 + 4 x + 4m + 4 = 0
∆ ' > 0
4 − 4m − 4 > 0
⇔
⇔
⇔m<0
4 − 8 + 4m + 4 ≠ 0
m ≠ 0
y' =

Bài 1. Tìm m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 có cực đại và cực tiểu.
x 2 − m(m + 1) x + m3 + 1
luôn có cực đại và cực tiểu.
x −m

Bài 3. Cho hàm số y = 2 x 3 + ax 2 − 12 x − 13 . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của
đồ thị cách đều trục tung.
m 3
2
Bài 4. Hàm số y = x − 2(m + 1) x + 4 mx − 1 . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
3
x 2 + mx
Bài 5. Cho hàm y =
. Tìm m để hàm số có cực trị
1− x
x 2 + mx − 2 m − 4
Bài 6. Cho hàm số y =
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
x+2
Bài 2. Tìm m để hàm sô y =

GIÁO VIÊN: BÙI PHÚ TỤ. TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NAM DUYÊN HÀ

TRANG 25