đề thi học sinh giỏi toán 6

Phòng giáo dục-đào tạo CHƯ SÊ
TRƯƠNG THCS CHU VĂN AN

đề thi học sinh giỏi năm học 2010-2011
môn toán lớp 6 ( thời gian 120 phút)
Đề bài

Bài 1:(3 điểm)
a) Tính tổng A =

32
32
32
32
+
+
+ ... +
8.11 11.14 14.17
197.200

b) So sánh A và B:
A=

10 10
+
am an

và B =

c) Rút gọn phân số:
D=

11 9
+
am an

1 + 3 + 5 + ... + 19
21 + 23 + 25 + ... + 39

Bài 2:(3 điểm)

3n 5
. Tìm n Z để A có giá trị nguyên.
n+4
x4 4
= với x - y = 5
b) Tìm x, y Z biết:
y 3 3
c)Tìm x, y Z biết: (x + 1).(3y -2) = - 55

a) Cho A =

Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm chữ số tận cùng của các số 2345 ; 5796
b) Cho n N. Chứng minh 5n - 1 M4
Bài 4:(2 điểm)
a) Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ là tia Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao
ã
ã .
cho số đo xOy
= 700 và ãyOz = 300. Xác định số đo của xOz

b) Cho trớc một số điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đờng
thẳng đI qua các cặp điểm. Biết tổng số đờng thẳng vẽ đợc là 36. Tính số
điểm cho trớc.
67

Bài 1:(3 điểm)

75

Đáp án và biểu điểm

2
2
2
a)(1 điểm)Tính tổng A = 3 + 3 + 3 + ... +

8.11 11.14 14.17
1
1
1
1


A = 3. + ... +

ữ
197 200
8 11

32

197.200

(0,5 điểm)


1 1
A = 3.
ữ
8 200

A=

(0,25 điểm)

(0,25 điểm)

9
25

b)(1,5 điểm)So sánh A và B:
10 10
11 9
+ n và B = m + n
m
a
a
a
a
10 9
1

Ta có A = m + n ữ+ n
a a
a
10 9
1
B = m + n ữ+ m
a a
a

A=

(0,5 điểm)

Xét các trờng hợp
Trờng hợp 1:
a = 1 thì am = an do đó A = B
Trờng hợp 2:
a 1 thì xét m và n
- Nếu m = n thì am = an do đó A = B
1
1
> n nên A < B
m
a
a
1
1
- Nếu m > n thì am > an do đó m < n nên A > B
a
a

(0,5 điểm)

- Nếu m < n thì am < an do đó

(0,5 điểm)

c) (0,5 điểm)Rút gọn phân số:
1 + 3 + 5 + ... + 19
21 + 23 + 25 + ... + 39
200
D=
600

D=

D=

Bài 2:(3 điểm)
a) (1,5 điểm)Cho A =
Ta có A = 3 +

17
n+4

Để A có giá trị nguyên khi
Vậy để

(0,5 điểm)

1
3

3n 5
. Tìm n Z để A có giá trị nguyên.
n+4

(0,5 điểm)
17
có giá trị nguyên.
n+4

17
có giá trị nguyên thì n + 4 phảI là ớc của -17
n+4

Ta có Ư(-17) = {-1; 1; -17; 17}
Lập bảng
n +4
-1
1
-17
17
n
-5
-3
-21
13
Vậy với n = -5; n = -3; n = -21; n = 13 thì A có giá trị nguyên.
b) (0,75 điểm)Tìm x, y Z biết:

x4 4
= với x - y = 5
y 3 3

Điều kiện y 3 ta có 3x -12 = 4y - 12 nên 3x = 4y (1)
Từ x - y = 5 ta có x = 5 + y
(2)
Thay (2) vào (1) ta đợc 3y + 15 = 4y. Nên y = 15
x = 5 + 15 = 20

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)


c) (0,75 điểm)Tìm x, y Z biết: (x + 1).(3y -2) = -55
Ta có (x + 1).(3y -2) = (-11).5 = (-5).11
Nếu (x + 1).(3y -2) = (-11).5

(0,25 điểm)

x = 12
x + 1 = 11

Ta có
(loại)

7
3y 2 = 5
y = 3
x +1 = 5
x=4

Hoặc
(chọn)
3 y 2 = 11 y = 3

(0,25 điểm)

Nếu (x + 1).(3y -2) = (-5).11

x = 6
x + 1 = 5


Ta có
13 (loại)
3 y 2 = 11 y =
3

x + 1 = 11
x = 10

Hoặc
(chọn)
3 y 2 = 5
y = 1

Vậy (x = 4; y = -3) hoặc (x = -6; y = -1)
(0,25 điểm)
Bài 3: (2 điểm)
a) (1 điểm) Tìm chữ số tận cùng của các số 2345 ; 5796
Số 234 có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc lẻ nên có chữ số tận cùng là 4.
Vậy số 2345 có chữ số tận cùng là 4.
(0,5 điểm)
Số 579 có chữ số tận cùng là chữ số 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn nên có chữ số tận
cùng là 1. Vậy số 5796 có chữ số tận cùng là 1.
(0,5 điểm)
n
c) (1 điểm)Cho n N. Chứng minh 5 - 1 M4
Với n = 0 thì 5n - 1 = 0 M4
Với n = 1 thì 5n - 1 = 4 M4
(0,5 điểm)
n
n
Với n > 1 thì 5 có tận cùng bằng 25, nên 5 - 1 = 24 M4
Vậy 5n - 1 M4
(0,5 điểm)
67

75

67

75

Bài 4: (2 điểm)

z
y

y

30 o
30 o

z
70 o

70 o
O

hinh A

x

O

hinh B

a) (1 điểm)Trờng hợp1: (hình A)
Khi tia Ox nằm giữa hai tia Ox và Oy ta có:
ã
ã
ã
+ zOy
= xOy
xOz

x


·
·
·
⇒ xOz
= xOy
- zOy
· = 700 - 300
⇒ xOz
·
⇒ xOz
= 400

Trêng hîp2: (h×nh B)
Khi tia Oz kh«ng n»m gi÷a hai tia Ox vµ Oy ta cã:
·
·
·
+ zOy
= xOz
xOy
·
⇒ xOz
= 700 + 300
·
⇒ xOz
= 1000

b) (1 ®iÓm)Gäi sè ®iÓm cho tríc lµ n
Ta cã

n.(n − 1)
= 36
2

n.(n-1) = 72 = 9.8
n=9

(0,5 ®iÓm)

(0,5 ®iÓm)
(0,5 ®iÓm)
(0,5 ®iÓm)