Đề thi hoc sinh gioi toán 2008-2009

THI HC SINH GII - TON 9
Cõu 1 (2 im):
1. Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
a) x 6 x 5
b) x 5 x 6
+ +
+ +
2. Chng minh giỏ tr ca biu thc:
2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
+ +
= + +
+ + + + + +
(vi x 0) khụng ph thuc vo bin x.
Cõu 2 (2 im): Tớnh giỏ tr ca biu thc
( )
( )
2
2007 2017 31 2008 1 2007 2012 4
M
2008 2009 2010 2011 2012
ì + ì ì +
=
ì ì ì ì
Cõu 3 (3 im): Cho biu thc:
x 1 1 2
P :
x 1
x 1 x x x 1

= +
ữ
ữ
ữ

+


1. Rỳt gn biu thc P
2. Tớnh giỏ tr ca P khi
x 3 2 2= +
3. Tỡm giỏ tr ca x sao cho P < 0.
Cõu 4 (2 im): Cho h phng trỡnh
ax y 1
x y
(
335
2 3
=



=


a laứ tham soỏ; x, y laứ caực bieỏn)
1. Gii h phng trỡnh khi a = 1.
2. Tỡm giỏ tr ca a h phng trỡnh vụ nghim.
Cõu 5 (3 im): Gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh:

Mt ụ tụ i t A n B vi mt vn tc xỏc nh v trong mt thi gian ó nh. Nu vn
tc ụ tụ tng 10km/h thỡ thi gian s gim 30 phỳt. Nu vn tc ụ tụ gim 10km/h thỡ thi
gian tng 45 phỳt. Tớnh vn tc v thi gian d nh i.
Cõu 6 (2 im): Cho tam giỏc ABC vuụng A cú
à
0
B 20=
, phõn giỏc trong BI. V
ã
0
ACH 30=
v phớa trong tam giỏc. Tớnh
ã
CHI
.
Cõu 7 (3 im): Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O), gi D l im chớnh gia ca
cung nh BC. Hai tip tuyn ti B v C vi ng trũn (O) ct nhau ti E. Gi P, Q ln
lt l giao im ca cỏc cp AB v CD; AD v CE.
1. Chng minh BC // DE
2. Chng minh cỏc t giỏc CODE, APQC ni tip c
3. T giỏc BCQP l hỡnh gỡ ?
Cõu 8 (3 im): Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú nh D nm trờn ng trũn ng kớnh
AB. V BN v DM cựng vuụng gúc vi ng chộo AC. Chng minh:
1. T giỏc CBMD ni tip c ng trũn
2. Khi im D di ng trờn ng trũn thỡ
ã
ã
BMD BCD+
khụng i
3.

DB DC DN ACì = ì
.
1
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu 1:
1.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a) x 6 x 5 x x 5 x 5 x x 1 5 x 1 x 1 x 5
b) x 5 x 6 x 2 x 3 x 6 x 2 x 3
(0,50đ)
(0,50đ)
+ + = + + + = + + + = + +
+ + = + + + = + +
2.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2x 5 x 1 x 10
A
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
2x 5 x 1 x 10
x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3
2x x 3 5 x 1 x 2 x 10 x 1
x 1 x 2 x 3
2x x 6x 5x 11 x 2 x 11 x 10
x x x 5x 5 x 6 x 6
2 x x 6x 11 x 6

2
x x 6x 11 x 6
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(không phụ thuộ
+ +
= + +
+ + + + + +
+ +
= + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
=
+ + +
+ + + + + + +
=
+ + + + +
+ + +
= =
+ + +
c vào x). (0,25đ)
Câu 2:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2

3 2 2
2
3 2 2
3 2
x x 10 31 x 1 1 x x 5 4
x 10x 31x 30 x 5x 4
x 2 x 3 x 4 x 5
x 2 x 3 x 5 x 5x 4
x x 31x 30 x 5x 4
x x 3
M
Đặt x = 2007 (0,25đ)
Tử của M là: (0,25đ)
(0,25đ)
Mẫu của M là : x+1 (0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
 
 
+ + + − + +
 
 
= + + + + +
+ + + +
= + + + + +
= + + + + +
+ +
⇒ =
( ) ( )
( ) ( )

2
3 2 2
1x 30 x 5x 4
x x 31x 30 x 5x 4
M 1
(0,25đ)
(0,25đ)
+ + +
+ + + + +
⇒ =
Câu 3:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
a)
x 1 1 2
P :
x 1 x 1
x 1 x 1
x x 1
x 1 x 1
:
x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
x 1
x
x x 1
Điều kiện x > 0 và x 1 (0,25đ)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
≠
 
 
 ÷
 ÷
= − +
 ÷
 ÷
− +
− +
−
 ÷
 
 
− +
=
− − +
− −
= × − =
−
( )
( )
2
b) x 3 2 2 1 2
x 1 2
x 1 3 2 2 1
P

x 1 2
2 1 2
2
1 2
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
= + = +
⇒ = +
− + −
= =
+
+
= =
+
{
{
x 1
c) P 0 0
x
x 1 0
x 0
x 1
x 0
0 x 1
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(thỏa mãn đ/k) (0,25đ)

−
< ⇔ <
− <
⇔
>
<
⇔
>
⇔ < <
2
Câu 5: Gọi vận tốc dự định đi của ơ tơ là x(km/h). (0,25đ)
thời gian dự định đi của ơ tơ là và y(h). (0,25đ)
Đk: x > 10 ; y >
1
2
. (0,25đ)
Qng đường AB là xy. (0,25đ)
Nếu ơ tơ tăng vận tốc 10km/h thì thời gian giảm 30phút =
1
2
giờ, ta có phương trình:
( )
1
x 10 y xy
2
x 2y 10 (1)
(0,25đ)
(0,25đ)
 
+ + =

 ÷
 
⇔ − + =
Nếu ơ tơ giảm vận tốc 10km/h thì thời gian tăng 45phút =
3
4
giờ, ta có phương trình:
( )
3
x 10 y xy
4
3x 40y 30 (2)
(0,25đ)
(0,25đ)
 
− + =
 ÷
 
⇔ − =
{
{
{
x 20y 10
3x 40y 30
20x 40y 20
3x 40y 30
x 50
y 3
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (0,25đ)
(0,25đ)

(thỏa mãn điều kiện) (0,25đ)
− + =
− =
− + =
⇔
− =
=
⇔
=
Vậy: Vận tốc dự định đi của ơ tơ là 50km/h.
Thời gian dự định đi của ơ tơ là 3 giờ. (0,25đ)
Câu 7.
3
·
·
·
·
0
0
0
40
HCK BCK 20
30 CH
1 CH 1 BC
2 HK 2 BK
Từ giả thiết HCB (0,25đ)
Dựng phân giác CK của BHC (0,25đ)
1
AHC vuông tại A có ACH nên AH = (0,25đ)
2

AH
(1) (do CK là phân giác
HK
⇒ =
∆ ⇒ = =
∆ =
   
⇒ = =
 ÷  ÷
   
Câu 6.
·
·
·
·
0
)
AB AB AH
AC BC HK
AB
BC
AH
CK // IH HCK 20
HK
của HCB (0,25đ)
Dựng KM BC BMK BAC (0,25đ)
BM BC
hay (2) (0,25đ)
BK 2BK
AI

Do BI là tia phân giác của ABC nên (3) (0,25đ)
IC
AI
Từ (2) và (3) do đó CHI (0
IC
⊥ ⇒ ∆ ∆
⇒ = = =
=
⇒ = ⇒ = =
:
,25đ)
{ { {
y
335
3
x y 1 2x 2y 2 x 2008
(3
3x 2y 2010 3x 2y 2010 y 2007
ax y 1
y ax 1
x y
3
b)
335
y x 1005
2 3
2
y ax 1
3
ax 1 x 1005

2
x-y=1
x
Câu 4: a) Khi a = 1 ta có hệ phương trình (0,25đ)
2
0,25đ)
(0,25đ)



− =


− = − = =
⇔ ⇔ ⇔ ×
− = − = =
− =
= −


 
⇔
 
− =
= −
 


= −


⇔

− = −
( )
( )
y ax 1
3
a x 1004
2
3 3
a 0 a
2 2
* (0,25đ)
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi hệ * vô nghiệm (0,25đ)
(0,25đ)
= −

 
 
⇔

− =
 ÷
 

 

⇔ − = ⇔ =
·
»

( )
·
»
·
·
·
·
( )
·
·
0
0
1
a)
2
1
s CD
2
CDE ED // BC
OCE 90
OCE 180 CODE
Ta có BCD sđBD do DE là tiếp tuyến đường tròn (O) (0,25đ)
CDE đ (0,25đ)
mà BD = CD (gt) BCD (0,25đ)
b) ODE vì DE và CE là tiếp tuyến (0,25đ)
ODE là tứ
=
⇒ =
⇒ = ⇒
= =

⇒ + = ⇒
·
»
·
»
»
»
·
·
·
·
»
( )
·
·
1 1
PCQ
2 2
CD PCQ
APQC
QAC
PCB BAD
giác nội tiếp (0,25đ)
Mặt khác PAQ sđBD ; sđCD (0,25đ)
mà BD (gt) PAQ
là tứ giác nội tiếp (0,25đ)
c) Do ACPQ là tứ giác nội tiếp (0,25đ)
QPC cùng chắn cung CQ
= =
= ⇒ =

⇒
=
⇒
=
»
( )
·
·
·
·
BAD QPC PCB PQ // BC
(0,25đ)
cùng chắn cung BD
Do QAC (0,25đ)
Vậy BCQP là hình thang





= ⇒ = ⇒
Câu 8.
·
·
·
·
·
0
0
0

a) 90
DBC 90
90
Do AB là đường kính đường tròn (O) ADB (0,25đ)
mà ADB (so le trong) DBC (1)(0,25đ)
Mặt khác DMC (gt) (2)(0,25đ)
Từ (1) và (2) Tứ giác CBMD nội tiếp đường tròn đường
⇒ =
= ⇒ =
=
⇒
kính CD(0,25đ)
b) Khi D di động trên đường tròn thì (O) thì CBMD ln là tứ giác nội tiếp (0,25đ)
⇒
·
·
0
BMD BCD 180+ =
(0,25đ)
Vậy khi D di động trên đường tròn thì
·
·
BMD BCD+
ln khơng đổi (0,25đ)
·
( )
·
·
»
( )

·
·
( )
·
·
·
·
·
»
( )
0
c) Do ANB 90 O
BAN
BDN ACD
ACD
DAN DBN
CD
AC DN BD CD
DN
(gt) N (0,25đ)
BDN cùng chắn BN
(3) (0,25đ)
mà BAN so le trong
mặt khác DAC cùng chắn DN (4) (0,25đ)
AC
Từ (3) và (4) ACD BDN (0,25đ
BD
= ⇒ ∈

=


⇒ =

=


= =
⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ × = ×: )
4
E
O
B
Q
P
C
A
D
0,25đ