Góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm tòi lời giải trong dạy học toán ở bậc Trung Học Phổ Thông

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU HUY LÂM

GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG
TÌM TÒI LỜI GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN – 2013


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU HUY LÂM

GÓP PHẦN RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ
NĂNG
TÌM TÒI LỜI GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN
Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

CHUYÊN NGÀNH
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
MÃ SỐ: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SỸ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2013


3
QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

Víêt tắt

Viết đầy đủ

DH

Dạy học

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

Nxb

Nhà xất bản

SGK

Sách giáo khoa

TN

Thực nghiệm

tr

Trang

THPT

Trung học phổ thông

MỤC LỤC


4
Trang
MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

7

1.1. Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải

7

Toán của học sinh trung học phổ thông
1.2. Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương

31

pháp giải Toán của học sinh trung học phổ thông
1.3. Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy

35

năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh
1.4. Xu hướng dạy học giải quyết vấn đề đối với việc bồi

47

dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho học
sinh
1.5. Kết luận Chương 1
Chương 2. NHỮNG QUAN ĐIỂM CHỦ ĐẠO TRONG DẠY

49
51

HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN NHẰM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG
NĂNG LỰC PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỦA
HỌC SINH
2.1. Chú ý thích đáng đến kỹ năng đặt câu hỏi và kỹ năng giải

51

thích của giáo viên
2.1.1. Kỹ năng đặt câu hỏi

51

2.1.2. Kỹ năng giải thích

55

2.2. Quan tâm đúng mực đến việc phân loại bài toán
2.2.1. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có

57
57

tính chất thuật toán
2.2.2. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có

61

tính chất tựa thuật toán
2.2.3. Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có

67


5
tính chất phi thuật toán
2.3. Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc truyền thụ nội dung của

72

sách giáo khoa và tri thức phương pháp
2.3.1. Các cấp độ dạy học tri thức phương pháp

73

2.3.2. Một số tiến trình dạy học tri thức phương pháp có

76

tính chất thuật toán một cách tường minh
2.4. Phát triển khả năng dự đoán và suy diễn cho học sinh

80

2.5. Phát triển khả năng liên tưởng và huy động kiến thức cho

91

học sinh
2.6. Dạy học từ những sai lầm của học sinh

100

2.7. Kết luận chương 2

116

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

117

3.1. Mục đích thực nghiệm

117

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm

117

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

123

3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

126

KẾT LUẬN

127

TÀI LIỆU THAM KHẢO

128135


6


7
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) khẳng định: “…Phải đổi mới phương
pháp giáo dục - đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo cho người học …”.
1.2. Trong xu thế tất yếu của việc xây dựng một xã hội học tập, một nền
giáo dục suốt đời mà loài người tiến bộ đang hướng tới, yếu tố quan trọng hàng
đầu để có thể thực hiện một xã hội, một nền giáo dục như thế là người dạy phải
biết “dạy cách học” và người học phải biết “học cách học”. Dạy học không chỉ
giản đơn là cung cấp tri thức mà còn phải hướng dẫn hành động. Đặt người học
vào vị trí trung tâm của hoạt động dạy - học với những phẩm chất và năng lực
riêng của mỗi người - vừa là chủ thể vừa là mục đích của quá trình đó, phấn đấu
tiến tới cá thể hoá quá trình học tập với sự trợ giúp của các phương tiện thiết bị
hiện đại, để cho tiềm năng của mỗi học sinh được phát triển tối ưu, góp phần có
hiệu quả vào việc xây dựng cuộc sống có chất lượng cho cá nhân, gia đình và xã
hội.
1.3. Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A. Stôliar).

Đối với HS, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể
thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ
năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều
kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức
có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng
dạy học Toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức
năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá.
Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có
những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải. Đứng trước những bài toán đó, GV gợi ý và hướng dẫn HS
như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan


8
trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được những gợi ý
hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người GV.
1.4. Bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán có vai trò quan
trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, để từ đó có khả năng thích
ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS cũng thấy được mỗi lời giải
bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của HS mà phương pháp giải
không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý
của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được
phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh...
Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ
trừu tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và
có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán
và tưởng tượng của HS được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo,
có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác
tư duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư

duy sáng tạo, tư duy phê phán của HS cũng được hình thành và phát triển. Bởi
qua các thao tác tư duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được
phương hướng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết
quả đạt được của bản thân cũng như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác.
Một mặt các em cũng phát hiện ra được những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới,
tạo ra kết quả mới.
1.5. Đối với HS trung học phổ thông, kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở
khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa
chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa
vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu
sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương
trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài
toán đặt ra.
Trong học Toán và làm Toán, việc áp dụng phương pháp, công cụ của lĩnh
vực toán này vào một lĩnh vực toán khác đôi lúc tỏ ra rất hiệu quả và đơn giản
hơn, đồng thời quá trình này cũng làm cho người học Toán hiểu rõ được vai trò


9
và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể. Chẳng hạn, trong Hình
học sơ cấp, tính chất của các hình hình học, hình dáng, vị trí cũng như quan hệ
giữa các yếu tố trong mỗi hình được biểu thị bằng các biểu thức đại số, biểu
thức lượng giác, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình. Chính nhờ các
dạng biểu diễn này ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuần túy đại số để xác
lập các tính chất mới giữa các yếu tố hình học, để khẳng định sự tồn tại hay thiết
lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó. Các yếu tố ta thường gặp là cạnh,
góc, đoạn thẳng, chu vi, diện tích… và các quan hệ giữa chúng được cho bằng
các công thức cơ bản. Trên cơ sở các công thức này và các giả thiết được cho
trong mỗi bài toán, ta lập các biểu thức mới và sau đó ta sử dụng chủ yếu các
phép biến đổi và các công cụ mạnh trong đại số và giải tích (chẳng hạn như đạo

hàm) để rút ra các kết luận cần thiết.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:
“Góp phần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm tòi lời giải trong dạy học Toán ở
bậc trung học phổ thông ”.
2. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn về phương pháp giải Toán như
khái niệm, bản chất, các thành phần và đặc trưng, các yếu tố ảnh hưởng đến năng
lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS…, đưa ra một số vấn đề cần rèn
luyện cho HS về các kỹ năng trong việc phát hiện các phương pháp giải Toán ở
bậc THPT, đồng thời nghiên cứu để đề xuất các quan điểm chủ đạo nhằm góp
phần phát triển năng lực này cho HS ở Trường THPT.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CƯU
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến vấn đề phương pháp giải Toán.
3.2. Tìm hiểu một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải

Toán của HS THPT, đề xuất các quan điểm chủ đạo dạy học để rèn luyện
cho HS, góp phần bồi dưỡng năng lực này.


10
3.3. Đề xuất thực hiện các quan điểm chủ đạo sư phạm nhằm góp phần bồi
dưỡng năng lực phát hiện các phương pháp giải Toán cho HS ở trường THPT.
3.4. Thực nghiệm sư phạm để bước đầu đánh giá tính khả thi của các quan điểm
chủ đạo đã đề xuất.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở nội dung và chương trình SGK THPT hiện hành, nếu đề xuất được
một số quan điểm chủ đạo thích hợp nhằm bồi dưỡng năng lực phát hiện phương
pháp giải Toán cho HS ở trường THPT thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả DH
Toán ở bậc học này.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

5.1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề có
liên quan đến đề tài luận văn.
5.2. Điều tra, quan sát: Thực trạng về năng lực phát hiện các phương pháp
giải một số dạng toán của HS ở trường THPT.
5.3. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản
thân trong quá trình DH Toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của những GV am
hiểu vấn đề nghiên cứu của đề tài.
5.4. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính
khả thi và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất.
6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phương pháp giải Toán
6.2. Đề xuất được một số quan điểm chủ đạo bồi dưỡng năng lực phát hiện
các phương pháp giải Toán cho HS THPT trong quá trình DH Toán theo hướng
tích cực hóa hoạt động của HS, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp
dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay.
6.3. Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho GV Toán nhằm
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.


11
7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ
7.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ một số vấn đề lý luận về năng lực phát
hiện phương pháp giải Toán: Năng lực, năng lực phát hiện phương pháp giải Toán.
Nghiên cứu năng lực này trên các phương diện: Khái niệm, bản chất, các thành
phần và đặc trưng, các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán của HS…
7.2. Đề ra được một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng cho học sinh để
phát huy năng lực phát hiện phương pháp giải Toán cho các em.
7.3. Các quan điểm chủ đạo góp phần bồi dưỡng năng lực phát hiện các
phương pháp giải Toán cho HS THPT (đề xuất trong Luận văn) là khả thi và

hiệu quả.
7.4. Trong khi thực hiện các quan điểm chủ đạo, đã quan tâm hợp lý đến
việc tăng cường hoạt động, bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
cho HS.
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có ba
chương:
Chương 1. CƠ SỞ LỸ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của học
sinh trung học phổ thông
1.2. Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải
Toán của học sinh trung học phổ thông
1.3. Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực
phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh
1.4. Xu hướng dạy học giải quyết vấn đề đối với việc bồi dưỡng năng lực
phát hiện phương pháp giải Toán cho học sinh
1.5. Kết luận Chương 1
Chương 2. NHỮNG QUAN ĐIỂM CHỦ ĐẠO TRONG DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP TOÁN NHẰM GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG
LỰC PHÁT HIỆN PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỦA HỌC SINH
2.1. Chú ý thích đáng đến kỹ năng đặt câu hỏi và kỹ năng giải thích của


12
giáo viên
2.2. Quan tâm đúng mực đến việc phân loại bài toán
2.3. Kết hợp nhuần nhuyễn giữa việc truyền thụ nội dung của sách giáo
khoa và tri thức phương pháp
2.4. Phát triển khả năng dự đoán và suy diễn cho học sinh
2.5. Phát triển khả năng liên tưởng và huy động kiến thức cho học sinh

2.6. Dạy học từ những sai lầm của học sinh
2.7. Kết luận chương 2
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề về năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS
THPT
1.1.1. Các chức năng chủ yếu của Bài toán trong dạy học toán
Ở một số nước trên thế giới, trong đó có Việt Nam, cấu trúc truyền thống của
SGK thường có hai phần riêng biệt: Phần lí thuyết và tiếp sau đó là phần bài tập.
Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định lí, công thức…)


13
chủ yếu vẫn được trình bày trước, sau đó là các ví dụ minh họa hay bài tập áp
dụng. Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung tâm.
Cấu trúc này tương thích với mô hình dạy học truyền thống, theo đó GV
thường truyền thụ trực tiếp kiến thức cho HS, cho một vài ví dụ minh họa và yêu
cầu HS làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà GV đã trình bày. Nói cách
khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc.
Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm khuyết
đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp chức năng
của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đã học, rèn luyện kĩ
năng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của HS.
Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đã chỉ rõ rằng hầu

hết các khái niệm và các lí thuyết toán học thường nảy sinh từ nhu cầu giải
quyết các bài toán trong thực tế cuộc sống, trong nội bộ toán học hay trong các
khoa học khác. Nói cách khác, tri thức toán học không phải có sẵn mà được xây
dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán. Như vậy, quan hệ thứ tự giữa kiến
thức lí thuyết và bài toán không còn là: Kiến thức lí thuyết → Bài tập áp dụng
mà chủ yếu là: Bài toán → Kiến thức lí thuyết → Bài tập áp dụng → Bài toán
mới.
Những nghiên cứu tâm lí học (nhất là của J.Piaget) cũng cho thấy: Việc học
tập thực sự chỉ nảy sinh trong sự tác động qua lại của chủ thể (người học) với
môi trường, trong đó người học thấy được và có nhu cầu giải quyết các bài toán.
Từ đó, quan điểm sư phạm hiện đại về dạy học toán đang được áp dụng trên
nhiều nước là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của HS (phù hợp với quan
điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học). Chính HS tự mình xây dựng các kiến
thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán. Nói cách khác, giải các bài
toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học.Chức năng của bài toán
không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Sau đây chúng tôi phân
tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong dạy học toán:


14
1.1.1.1. Chức năng gợi động cơ
Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối
tượng hoạt động [35, tr.81].
a) Gợi động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối tượng mới. Trong trường
hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn đề đặt ra, từ đó
tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối tượng mới.
Ví dụ 1.1. Bài toán sau đây là động cơ cho việc đi vào nghiên cứu phép tính
giới hạn trong chương trình giải tích lớp 11 hiện hành. Trong thần thoại Hy Lạp
thần Achilles (là con của Thetis (nữ thần biển) với vua Hy Lạp Peleus) biểu thị
cho lòng dũng cảm và sự nhanh nhẹn. Nhưng Zenon (thế kỉ III TCN) đã đưa ra

nghịch lí là Thần Achilles không đuổi kịp con rùa. Nhà triết học cổ Hy Lạp này
đã đưa ra lí luận như sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trí A và con rùa ở vị trí
R. Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc. Khi Achilles chạy đến R thì

trong khoảng thời gian đó con rùa đã chạy đến R1. Khi Achilles chạy đến R1 thì
con rùa đã chạy đến R2 ... Cứ như thế, mãi mãi con rùa luôn ở trước Achilles
một đoạn x > 0, tức là Achilles không đuổi kịp rùa.
Giả sử khoảng cách giữa Achilles và rùa lúc đầu là 100 km và vận tốc của
Achilles và rùa lần lượt là 100 km / h và 1 km / h. Để đi hết 1km thì Achilles mất
1/100 giờ. Trong khoảng thời gian này con rùa đi được 1/100 km. Khoảng cách

bây giờ là 1/100 km. Để đi hết 1/100 km thì Achilles mất 1/10000 giờ. Trong
khoảng thời gian này con rùa đi được 1/10000 km. Khoảng cách bây giờ là
1/10000 km...
1+

Như vậy tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là

1
1
1
 100 
+
+
+ L =
÷
100 10000 1000000
 99 

Đây là tổng vô hạn các số hạng của một cấp số nhân có công bội là 1/100. Bài

toán này sẽ không giải quyết được nếu không có phép tính giới hạn.
b) Gợi động cơ nảy sinh khái niệm mới. Trong toán học, bài toán, ý tưởng và
công cụ hình thành nên ba thành phần chủ yếu của hoạt động toán học. Trong


15
đó, bài toán cần giải quyết là động cơ của nghiên cứu, công cụ là phương tiện
giải quyết vấn đề, còn ý tưởng là yếu tố trung gian nối khớp bài toán và công cụ.
Trong mối quan hệ này bài toán đóng vai trò cơ bản.
Ví dụ 1.2. Dạy học khái niệm Đạo hàm của hàm số
Phương án : Trước hết cho học sinh hoạt động giải bài toán: Một đoàn tàu
chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng đường s (mét) đi được của
đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên hàm số đó
là s = t 2 . Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [ t0 , t ] với
t0 = 3 và t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99

Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng tiến gần tới 3.Sau đó GV
trình bày bài toán sau dẫn đến khái niệm đạo hàm:
Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os .
S'

O

S()

S(t)

S

Quảng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t : s = f ( t ) .

Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại
thời điểm t0 .
Bài giải: Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quảng đường
s − s0 = f ( t ) − f ( t0 ) .
s−s

0
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số t − t =
0

f (t ) − f (t0 )
t − t0

là một hằng số

với mọi t . Đó chính là vận tốc của chất điểm tại mọi thời điểm.
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của
chuyển động trong khoảng thời gian [ t0 , t ] . Nếu t càng gần t0 tức là t − t0 càng
nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn tính chất nhanh chậm
của chuyển động tại thời điểm t0 . Từ nhận xét trên người ta đưa ra định nghĩa sau:


16
Giới hạn (nếu có) của tỉ số

f ( t ) − f ( t0 )
t − t0

khi t → t0 được gọi là vận tốc tức thời của

chuyển động tại thời điểm t0 .
Cách hình thành khái niệm đạo hàm theo quy trình này cho phép làm rõ ý
nghĩa của khái niệm đạo hàm: Sự ra đời của khái niệm này không phải là ngẫu
nhiên mà xuất phát từ nhu cầu giải quyết các vấn đề nảy sinh không chỉ trong
nội bộ toán học mà còn trong các khoa học khác.
1.1.1.2. Chức năng huy động kiến thức cũ
Quá trình hình thành kiến thức mới luôn đòi hỏi vận dụng các kiến thức cũ.
Tuy nhiên không phải lúc nào HS cũng nhớ một cách đầy đủ các kiến thức cũ này
hoặc có nhớ nhưng đôi khi lại không biết vận dụng. Để đảm bảo rằng HS đã sẵn
sàng và dễ dàng huy động các kiến thức cần thiết cho dạy học nội dung mới thì
hoạt động giải các bài toán là một trong các cách thức tốt nhất để HS tìm lại được
các kiến thức và kĩ năng này vì nó cho phép phát huy vai trò chủ động và tích cực
của HS.
1.1.1.3. Là phương tiện đưa vào kiến thức mới
Ở cấp độ thấp hơn, các bài toán cũng có thể được sử dụng như phương tiện
đưa vào kiến thức mới. Kiến thức mới này nảy sinh không phải như là công cụ
mà như là kết quả của hoạt động giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.3. Bài toán sau đây là phương tiện để dạy Định lí hàm số cosin trong
tam giác. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, AC = b, AB = c
a) Hãy tìm công thức biểu thị các cạnh góc vuông b theo hai cạnh a, c và
cos B

b) Hãy xác lập các công thức tương tự cho các cạnh a, c .
Lời giải (mong đợi).

B

1. Ta có
a

c

A

b

C


17
b 2 = a 2 − c 2 = a 2 + c 2 − 2c 2 = a 2 + c 2 − 2c.c
= a 2 + c 2 − 2a.c.cos B

2. Lập luận tương tự câu (1) ta có
c 2 = a 2 + b 2 − 2a.b.cos C
a 2 = b 2 + c 2 − 0 = b 2 + c 2 − 2ab cos A

Các kết quả trên có đúng đối với tam giác đều không? Hiển nhiên ta có
a 2 = b 2 + c 2 − 2ab cos A

A

(*)

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B

Vì


1

cos A = cos B = cos C = 
2
a 2 = b2 = c2

⇒ a 2 = b 2 + c 2 − 2.c 2 .

B

C

1
⇒ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos 600
2
⇒ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A

Hệ thức (*) có đúng với tam giác bất kì không? (Kết quả của việc giải quyết
vấn đề này là nội dung của định lí hàm số cosin trong tam giác).
1.1.1.4. Chức năng cũng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành kĩ xảo
toán học.
Sau khi trình bày một định nghĩa, một định lí, một tính chất hay một tri
thức phương pháp chúng ta thường cho các ví dụ minh họa, các bài tập áp dụng.
Đó chính là các bài tập có mục đích củng cố các kiến thức mới vừa được xây
dựng và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức vào việc giải quyết các bài toán.
Một trong những chức năng chủ yếu của phần bài tập trong mỗi bài, mỗi
chương là củng cố các kiến thức, rèn luyện các kĩ năng đã được đưa vào trong
phần lí thuyết hay hình thành kĩ năng mới và kĩ xảo có liên quan.


18
Việc giải các bài tập toán học không chỉ cho phép củng cố các kiến thức và kĩ

năng vừa mới được hình thành mà cả những kiến thức, kĩ năng đã có trước đó.
1.1.1.5. Chức năng phát triển các năng lực và phẩm chất tư duy
Việc giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyện các thao
tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa... và phát
triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê
phán...
Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toán còn là cơ hội hình thành
ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chất đạo đức, thẩm mĩ. Nó
cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS.
Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cách tường
minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau. Các chức năng này không bộc
lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiết với nhau. Khi
nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở thời điểm đang xét
chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năng khác.
1.1.2. Phương pháp giải Toán và năng lực phát hiện phương pháp giải Toán
1.1.2.1. Phương pháp giải Toán
Thuật ngữ Phương pháp (theo tiếng Hy Lạp “Méthodos”) là con đường, cách
thức thực hiện một kiểu nhiệm vụ nào đó, nhằm đạt tới kết quả đạt được mục đích
đặt ra.
Phương pháp giải Toán (hay phương pháp tìm lời giải bài toán) là cách thức
và ứng xử của người làm toán khi đứng trước một bài toán để gây nên những
hoạt động tư duy của bản thân nhằm tìm ra lời giải của bài toán đó.
Những hoạt động tư duy bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, quy
nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt là suy luận có lý.


19
Ví dụ 1.4 ( [78, tr.34]). Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần
lượt là các điểm thuộc các cạnh AD, BB ' sao cho AM = BN . Gọi I , J lần lượt là

các trung điểm của các cạnh AB, C ' D '. Hãy xác định vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng MN và IJ .
Khi HS đứng trước bài này không ít em cảm thấy khó khăn bởi lẽ vị trí tương
đối của hai đường thẳng MN và IJ liệu nó có phụ thuộc vào hai điểm M , N hay
không? Còn khó hơn khi hai điểm này biến thiên chứ không phải chỉ có một, và
đó chính là

A

khó khăn đặc trưng của bài toán. Nếu như một trong
hai điểm này cố định thì bài toán có lẽ cũng dễ.

M

D

I
B
O

Đứng trước tình huống đó, GV hướng dẫn học

N

C

A'

D'

sinh khảo sát các trường hợp sau: Khi điểm M trùng
với điểm A , điểm N trùng với điểm B (hoạt

J
B'

C'

động đặc biệt hóa), khi đó ta có AB ⊥ IJ . Bây giờ ta cho điểm M trùng với điểm
D , điểm N trùng với điểm B ' (hoạt động tương tự hóa), lúc này do tứ giác
IDJB ' là hình thoi nên IJ cắt và vuông góc với B ' D ta lại cho M là trung điểm

của AD , điểm N là trung điểm của BB ' (hoạt động tương tự hóa), khi đó ta gọi
O là trung điểm của DB ' , lúc đó tứ giác OMIN là hình thoi nên MN cắt và

vuông góc với IJ tại trung điểm của đoạn MN (hoạt động phân tích).
Từ đó GV yêu cầu HS phát biểu mệnh đề tổng quát: Nếu M là điểm thuộc
đoạn AD , N là điểm thuộc đoạn BB ' sao cho AM = BN thì MN luôn cắt và
vuông góc với IJ (hoạt động khoái quát hóa). Sau đó GV có thể yêu cầu HS
chứng minh trường hợp tổng quát .
So với định nghĩa phương pháp giải Toán ở trên, chúng ta thấy rằng rất
nhiều tài liệu tham khảo sử dụng không đúng với ý nghĩa của từ phương pháp.
Chẳng hạn, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

ax 2 + bx + c
bằng
dx + e

phương pháp đạo hàm (sách tham khảo cũ sử dụng tính chất của nghiệm kép).

20
Chính xác hơn, chúng ta nên thay thế cụm từ phương pháp đạo hàm bởi công cụ
đạo hàm. Ngoài ra, trong quá trình dạy học, GV và HS còn lẫn lộn giữa phương
pháp với kỹ thuật, quy tắc… Đặc biệt, ngay cả Sách giáo khoa cũng sử dụng
không chính xác cụm từ phương pháp quy nạp toán học.
Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan sát
và so sánh những trường hợp riêng. Nó được dùng trong các khoa học và cả toán
học. Còn quy nạp toán học thì chỉ dùng trong toán học để chứng minh một loại
định lý nào đó gồm 3 bước: Chứng minh mệnh đề P ( n ) đúng với n = 1, giả sử
P ( n ) đúng tới n = k , chứng minh P ( n ) đúng với n = k + 1. Thật không may ở chỗ

hai tên gọi lại liên quan với nhau, vì rằng giữa hai phương pháp này hầu như
không có một mối liên hệ Lôgic nào.
1.1.2.2. Vai trò của phương pháp giải Toán
“Quá trình giải một bài toán là đi tìm kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc
một con đường vượt qua trở ngại; đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà
thoạt nhìn thì dường như không thể đạt được ngay. Giải toán là khả năng riêng
biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thể xem như
một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động con người” [ 58, tr.5] .
Để giải quyết một bài toán cần thực hiện hai bước chủ yếu, đó là tìm ra
phương pháp giải và thực hiện lời giải. Hai bước này có khi tiến hành đồng thời
nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt. Nếu chúng ta đưa một sự so
sánh bước nào quan trọng hơn bước nào thì cũng chỉ đúng trong một chừng mực
nào đó mà thôi.
Trước hết, nếu ta đứng trước một bài toán đã có phương pháp giải thì việc
giải bài toán một cách hoàn chỉnh không phải hoàn toàn đơn giản mà là cả một
quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: nắm vững các kiến thức cơ bản về nội
dung lí thuyết lẫn phương pháp thực hành, luyện tập thành thạo các quy trình và
thao tác có tính chất kĩ thuật. Những điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên

nhẫn và một phương pháp làm việc khoa học của người giải Toán.


21
Ví dụ 1.5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(4m − 3) x + 3 + (3m − 4) 1 − x + m − 1 = 0 (1) ( Olimpic 30-4)
Giả sử HS đã biết hướng giải của bài toán này là đưa phương trình ban đầu
về dạng m = f ( x ) . Sau đó tìm miền giá trị của f ( x ) (thường bằng cách sử dụng
công cụ đạo hàm). Khi đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi m
thuộc miền giá trị của f ( x ) .
HS không quá khó khăn để phát hiện phương pháp giải nói trên. Trong thực tế
giảng dạy, chúng tôi thấy hầu như chỉ có những em có học lực khá trở lên mới tìm
ra được kết quả cuối cùng. Đa số các em thường gặp phải một trong các trở ngại
sau:
Sau khi biến đổi (1) về m = f ( x ) =

3 x + 3 + 4 x −1 +1
(4 x + 3 + 3 1 − x + 1)

( 2)

thì các em gặp khó khăn trong việc tìm miền giá trị của f ( x ) mà trước hết là tìm
f ' ( x ) bởi biểu thức của f ( x ) khá phức tạp. Để HS vượt qua chướng ngại này,

GV hãy yêu cầu các em nhận xét và phát hiện về mối liên hệ giữa các biểu thức
có chứa trong f ( x ) :

(

x+3

) +(
2

1− x

)

2

2

2

 x + 3   1− x 
= 4 ⇔ 
÷
÷
÷ + 
÷ =1
 2   2 

2t

α

x
+
3
=

2sin
α
=
2
t = tan
2


1+ t

2
,(*) với 
Do đó, nếu đặt 
2
0 ≤ α ≤ π
 1 − x = 2cos α = 2 1 − t

2

1+ t2
7t 2 − 12t − 9
Khi đó ( 2 ) ⇔ m = g (t ) = 2
.
5t − 16t − 7
Các em sẽ phạm sai lầm nếu kết luận rằng, phương trình (1) có nghiệm khi và
7t 2 − 12t − 9
chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số g (t ) = 2
.
5t − 16t − 7

22
Bởi lẽ các em đã quyên mất việc tìm điều kiện (miền giá trị) của ẩn phụ t. Do
đó dựa vào (*) ta tìm được miền giá trị của t là t ∈ [ 0;1]
Cuối cùng, sử dụng công cụ đạo hàm (hoặc bất đẳng thức), khảo sát hàm số
7t 2 − 12t − 9
g (t ) = 2
, t ∈ [ 0;1]
5t − 16t − 7




tìm được miền giá trị của g ( t ) là  ,  . Điều này cũng có nghĩa m ∈  ,  .
9 7
9 7
7 9

7 9

Bên cạnh đó, có những bài toán mà việc tìm ra phương pháp giải không
khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thế nhưng cái khó chủ yếu lại thuộc về kỹ thuật giải.
Điều này đòi hỏi người làm toán không những sáng tạo trong quá trình tìm
phương pháp giải mà còn phải sáng tạo trong quá trình thực hiện lời giải bài
toán.
Ví dụ 1.6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ( 1;1) , điểm B nằm trên đường
thẳng ∆ : y = 3. Tìm điểm C nằm trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều.
Ta thấy rằng
B ∈ ∆ : y = 3 ⇔ B ( b;3) , b ∈ ¡

C ∈ Ox : y = 0 ⇔ C ( c;0 ) , c ∈ ¡ .

Khi đó ∆ABC đều ⇔ AB = BC = CA ⇔ ( b − 1) + 4 = ( c − 1) + 1 = ( b − c ) + 9 ( 1)
2

2

2

Như vậy, khó khăn cốt lõi của bài toán trên không phải là việc tìm ra hướng
giải đã nêu mà là việc giải hệ phương trình (1).
Dựa vào nhận xét ( b − 1) − ( c − 1) = b − c ta có thể đơn giản hóa hình thức hệ
phương trình trên bằng cách đặt B = b − 1 và C = c − 1. Khi đó ta có hệ phương
trình
 B 2 + 4 = ( B − C ) 2 + 9
 2
2
C + 1 = ( B − C ) + 9

Khai triển và giản ước các hạng tử đồng dạng, ta được


23
2
 2 BC − C − 5 = 0
 2
 B − 2 BC + 8 = 0

( 2)

Theo G.Pôlia khi nói về nghịch lí của người phát minh: “Một kế hoạch phức
tạp hơn có thể có nhiều trển vọng hơn”, “Có thể một lúc trả lời nhiều câu hỏi lại
dễ dàng hơn là chỉ trả lời một câu hỏi duy nhất, chứng minh một định lý tổng quát
hay giải một bài toán tổng quát lại dễ dàng hơn” 57, tr.152  . Do đó, để giải hệ
phương trình (2), GV yêu cầu HS đề xuất bài toán tổng quát và phát hiện phương
pháp giải.
Bài toán tổng quát là: Giải hệ phương trình
 ax 2 + bxy + cy 2 + d = 0
 2
2
 a ' x + b ' xy + c ' y + d ' = 0

Đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc hai đối với x và y. Cũng không quá khó
khăn lắm để dẫn dắt HS phát hiện ra cách giải. Hệ phương trình (2) được giải
 3±4 
 3 ±5 
;3 ÷
, C 
;3 ÷
÷
÷.
3
3





quyết, từ đó tìm ra được B 

Vì vậy, GV cần tránh tình trạng ít ra bài tập đòi hỏi tính toán, cũng như khi
dạy giải bài tập chỉ dừng lại ở phương hướng mà ngại làm các phép tính cụ thể
để đi đến kết quả cuối cùng. Tình trạng này có tác hại không nhỏ đối với HS
trong học tập hiện tại và trong cuộc sống sau này. Khi giải quyết vấn đề, có đi
sâu vào những chi tiết, những tính toán cụ thể mới sáng tỏ nhiều khía cạnh, có
khi giúp ta điều chỉnh cả phương hướng nữa. GV cần thường xuyên khuyến
khích HS tìm tòi các cách tính khác nhau và biết chọn phương án hợp lý nhất.
Từ đó chúng ta có thể thấy rằng việc rèn luyện khả năng thực hiện lời giải bài
toán khi đã có phương pháp giải rất quan trọng. Tuy nhiên, việc tìm ra phương
pháp giải mới là khâu có tính chất quyết định, bởi lẽ: Dù có kỹ thuật cao và rất
thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng khi chưa có
phương pháp giải thì người làm toán không thể có được một lời giải; mặt khác,


24
quá trình thực hiện lời giải bài toán là quá trình lao động mang đậm tính kỹ
thuật, ít có những sáng tạo lớn như quá trình tìm ra phương pháp giải; ngoài ra,
coi trọng khâu rèn luyện phương pháp giải Toán chính là cơ sở quan trọng cho
việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo của HS. “Giải bài tập là một
dạng hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải là một quá trình phát minh”
(J.Pôlia).
Ví dụ 1.7. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Dựng hình vuông MNPQ sao
cho M , N nằm trên đường kính AB và P, Q nằm trên nửa đường tròn nói trên.
Chúng tôi đã ra cho các em lớp 11A1,khoá 50,
Trường THPT Thái Hoà, thị xã Thái Hoà,
Nghệ An bài toán trên, tuy nhiên rất nhiều
em đã lao vào tính toán, cố gắng sử dụng các
kiến thức như định lí Pitago, tam giác
đồng dạng… để biểu thị độ dài cạnh hình vuông thông qua bán kính của nửa
đường tròn nói trên, nhưng điều này khá phức tạp và rối rắm.

Cái mà chúng ta đã biết là nửa đường tròn, cái mà chúng ta chưa biết là một
hình vuông có hai đỉnh nằm trên đường kính và hai đỉnh còn lại nằm trên nửa
đường tròn đó. Rõ ràng, đây không phải là bài toán quá dễ. Nếu bài toán dựng
được thì ta cảm thấy chỉ có một nghiệm hình và hai điểm M , N phải đối xứng
với nhau qua trung điểm O của AB.
Nếu chưa giải được bài toán này, ta yêu cầu HS giải một bài toán cùng loại,
cụ thể ta bớt đi một số điều kiện của bài toán. Chẳng hạn dựng hình vuông có
hai đỉnh nằm trên AB và đối xứng qua trung điểm của đoạn thẳng này. HS dễ
dàng dựng được hình vuông và có vô số cách dựng.


25

P

Q

A

M

O

N

B

Từ việc vẽ một số hình vuông, các em sẽ nhận thấy rằng quỹ tích các đỉnh
còn lại của hình vuông là hai tia gốc O. Từ đó bài toán được giải quyết.
1.1.3. Năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học. Khái niệm này cho
đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, chẳng hạn:
- Theo Nguyễn Huy Tú [90, tr.11]: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực
được nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác
động của giáo dục và đào tạo. Nó cho phép con người giải quyết được những
yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.
Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nói
riêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp. Chính vì lẽ đó
đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục
vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.
“…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt động tâm lý
tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giải quyết được
(ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đó của cuộc
sống” - Nguyễn Huy Tú [90, tr.11].
- X.L.Rubinxtein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lý làm
cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định”.