Giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân

Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

A. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng và
trong toán học nói chung, không những như là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của
giải tích mà còn đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, lý thuyết về hàm
số.
Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các khoa học khác
như vật lý thiên văn học, cơ học…nó như là một giải pháp hữu hiệu của các mô hình
toán học cụ thể.
Bài toán tích phân đổi biến dạng 1, từng phần chiếm tần suất cao trong các đề
thi nhưng học sinh lớp12 khi ôn thi Tốt nghiệp phổ thông, thi Đại học – Cao đẳng
thường gặp khó khăn khi giải các bài tập tích phân. Những người mới học chưa có
phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào giải các bài
toán thực tế
Một lý do không kém phần quan trọng là trong chương trình sách giáo khoa
giải tích lớp 12 (chuẩn) hiện hành được trình bày rất ít, hạn hẹp trong 4 tiết lý thuyết
và 3 tiết luyện tập, giới thiệu sơ lược ví dụ và bài tập đưa ra sau bài học rất hạn chế.
Do số tiết phân phối chương trình nên trong quá trình giảng dạy giáo viên không thể
đưa ra được nhiều bài tập cho mỗi dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh.
Nhưng trong thực tế để giải được bài toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững
kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh
nhẹn, thuần thục.
Với tất cả những lí do trên thúc đẩy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm “Giải
pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân”
2. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng.
- Giải pháp giúp học sinh học tốt Tích phân (theo chuẩn Toán 12 cơ bản).
3. Phạm vi của đề tài:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12B2 trường THPT Lộc

Hưng.
4. Phương pháp nghiên cứu:
4.1 Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
- Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích lớp 12, tài liệu chuẩn kiến thức kỹ
năng
4.2 Điều tra:
- Nắm chất lượng học sinh:

-1-


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

Đa số là học sinh yếu, kém; khả năng tư duy không có. Các em thường sợ tích
phân, bỏ qua và không hứng thú. Các em thụ động và không biết bắt đầu bài toán từ
đâu.
Thường xuyên cho các em làm kiểm tra khoảng 5 – 7 phút (xác suất hoặc cả
lớp) vào đầu giờ để kịp thời phát hiện, điều chỉnh những sai sót của các em trong tiếp
thu, trình bày bài giải
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp
với phân môn.
+ Thường xuyên trao đổi với các em để biết được khả năng tiếp thu bài, khả
năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập của các em.
- Thực nghiệm và kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực nghiệm lớp 12B2 của
trường như sau:
Lớp: 12B2 (2010-2011): thực nghiệm
Lớp: 12B2 (2009-2010): đối chứng

4.3 Giả thuyết khoa học:
Trong tiết dạy tích phân giáo viên hướng dẫn, giúp các em nhận dạng, nêu rõ
ràng về phương pháp giải của từng dạng từ đó học sinh sẽ hiểu bài, làm bài tốt; kết
quả kiểm tra một tiết, thi HKII khả quan hơn
B. Nội dung:
1. Cơ sở lí luận:
Định lí: (phương pháp đổi biến số)
Cho hàm số f(x) liên tục trên [ a; b ] . Giả sử hàm số x = ϕ ( t ) có đạo hàm liên
tục trên đoạn [ α ; β ] sao cho ϕ ( α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ ( t ) ≤ b với mọi t ∈ [ α ; β ]
Khi đó

b

β

a

α

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) )ϕ ′ ( t ) dt

Định lí: (phương pháp tích phân từng phần)
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì
b

∫ u( x)v '( x) dx
a

b

b

b

= (u ( x)v( x)) − ∫ u '( x)v( x) dx hay ∫ u dv = uv − ∫ v du
b
a

b
a

a

a

a

Nếu lần đầu tiên tiếp xúc bài toán tích phân mặc dù có nhớ định lí học sinh
không biết bắt đầu từ đâu (do không nhận được dạng; không biết đó là bài tích phân
loại nào, cách giải ra sao)
Với đặc điểm, đặc thù như vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận đúng dạng,
nắm chắc phương pháp giải của từng dạng.

-2-


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

2. Cơ sở thực tiễn:
2.1 Thực trạng sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 12:

- Sách giáo khoa: trình bày lý thuyết, cho ví dụ và bài tập nhưng ví dụ và bài
tập khác dạng
- Sách giáo viên: Có hướng dẫn cụ thể nhưng về chi tiết và thủ thuật thì chưa
cụ thể.
2.2 Thực trạng việc học của học sinh:
Đa số học sinh từ trung bình trở xuống
-

Học sinh thường lúng túng.

-

Kiến thức hệ thống bài tập cơ bản chưa nắm chắc

-

Khả năng tưởng tượng, tư duy logic còn hạn chế.

-

Ý thức học tập của học sinh chưa được tốt

-

Đa số học sinh có tâm lí sợ gặp bài toán tích phân

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2009-2010:
Lớp

TSHS

12B2

42

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

19

45.2

23

54.8

2.3 Sự cần thiết của đề tài:
Tích phân là môn học khó đòi hỏi sự tư duy phân tích của người học và khó
cho giáo viên trong việc truyền thụ kiến thức. Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình
hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc này cần thực hiện ngay từ
đầu và trong từng tiết học bằng biện pháp rèn luyện tích cực: phân dạng và phương

pháp giải cụ thể cho từng dạng
3. Nội dung vấn đề:
3.1 Vấn đề được đặt ra:
Điều quan tâm lớn nhất của người giáo viên làm sao giúp học sinh phát triển
năng lực và trí tuệ, rèn cho học sinh kỹ năng tư duy tích cực, độc lập sáng tạo. Đối với
đối tượng học sinh yếu kém để đạt được điều đó giáo viên cần giúp học sinh nhận
dạng cùng cách giải đối với những bài đơn giản để từ đó hình thành kỹ năng cho các
em; giúp nâng cao chất lượng học tập cũng như chất lượng dạy trong từng tiết học.
3.2 Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
Để hoàn thành đề tài, chúng tôi đã tiến hành các bước sau:
-

Chọn đề tài.

-

Điều tra thực trạng.

-3-


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

-

Nghiên cứu đề tài.

-

Xây dựng đề cương và lập kế hoạch.

-

Tiến hành nghiên cứu.

-

Thống kê so sánh.

-

Viết đề tài.

3.3 Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng học
tốt Tích phân:
Do Tích phân khó đối với học sinh lớp 12 nên giáo viên cần phải nắm vững thủ
thuật giải toán, các cách giải khác nhau của cùng bài toán (nếu có)
Học sinh cần phải:
- Thuộc bảng nguyên hàm, định nghĩa, định lí
- Nắm từng dạng cùng cách giải
- Dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết quả
3.3.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1:
Khi đổi biến điều quan trọng là chọn được biến mới sao cho tích phân theo biến
mới đơn giản hơn so với tích phân ban đầu và gắn liền với việc đổi biến là phải đổi
cận
Trên tinh thần giúp cho học sinh nhận được dạng làm quen dần từ dễ đến khó, tôi
chia thành 4 dạng phổ thông thường gặp sau:
Dạng 1: Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa thì ta đặt t là phần bên
trong dấu ngoặc nào có lũy thừa cao nhất
1

2
3
Ví dụ1: Tính tích phân I = ∫ ( x + 1)( x + 2 x − 1) dx
0

Nhận xét đề bài có chứa hai ngoặc trong đó ngoặc có lũy thừa 3 cao nhất, do đó
ta đặt t = x2 + 2x – 1
1

2
3
Bài giải: Tính I = ∫ ( x + 1)( x + 2 x − 1) dx
0

Đặt t = x2 + 2x – 1
dt = ( 2x + 2)dx = 2( x + 1)dx ⇒ ( x + 1) dx =

dt
2

Đổi cận x = 0 ⇒ t = -1; x = 1 ⇒ t = 2
1

2

dt t 4
I
=
(

x
+
1)(
x
+
2
x
−
1)
dx
t
=
Do đó
= ∫
∫0
2
8
−1
2

3

3

-4-

24 ( −1)
15
= −
=

8
8
8
−1
2

4


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
2

Ví dụ 2: Tính J = ∫ x ( 1 − x ) dx
5

1

Tương tự ví dụ 1, ta thấy ngoặc chứa lũy thừa cao nhất là 5 nên đặt t = 1 – x
Đặt t = 1 – x
dt = - dx ⇒ dx = −dt
Đổi cận x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = -1
Nhưng khi thay vào J còn chứa hai biến x, t (không thỏa). Muốn vậy ta thay x = 1
– t (vì đặt t = 1 – x)
2

−1

0

0

 t6 t7 
(1
−
t
)
t
(
−
dt
)
=
t
−
t
dt
J
=
x
1
−
x
dx
) = =  6 − 7 ÷ = − 13
Lúc đó:
∫−1 (
∫1 ( ) = ∫0
42

 −1

5

5

e

Ví dụ 3: Tính K =

ln x

∫ x ( 2 + ln x )

2

5

6

dx( DHKB − 2010)

1

Đặt t = 2 + lnx, dt =

1
dx
x

Đổi cận x = 1 ⇒ t = 2; x = e ⇒ t = 3
3

3

3

t −2
2
1 2 

Khi đó K = ∫ 2 dt = ∫  − 2 ÷dt =  ln t + ÷
t
t t 
t 2

2
2
2
3 1

=  ln 3 + ÷− ( ln 2 + 1) = ln −
3
2 3

Lưu ý đối với bài này học sinh có thể đặt t = lnx, nhưng việc tính tích phân khi
chuyển về biến t phức tạp hơn
π
2

3
2

Ví dụ 4: Tính L = ∫ sin x cos xdx

π
3

Đối với bài này mặc dù mũ 3 cao nhất nhưng ta không đặt t = sinx được (vì
tích phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t)
Gặp tích phân chứa hàm lượng giác đôi khi ta phải dùng các công thức lượng
giác cơ bản, công thức hạ bậc, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
…trước rồi mới đặt
π
2

π
2

π
3

π
3

3
2
Bài giải: L = ∫ sin x cos xdx =

∫ ( 1 − cos x ) cos
2

Đặt t = cosx, dt = -sinxdx ⇒ sin xdx = −dt

-5-

2

x sin xdx


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

Đổi cận: x =

π
1
π
⇒t = ; x = ⇒t =0
3
2
2
0

Do đó L =

∫ ( 1− t ) t
2

1
2

2

1
2

(−dt ) = ∫ ( t − t
2

4

0

)

1

3
5
2
dt =  t − t ÷ = 17
 3 5  0 480

Bài tập tự luyện:
Tính các tích phân sau
3

a.

∫
0

x2

( 1+ x)

ln 3

b. ∫
0

π
12

c. ∫
0

(e

3
2

dx

ex
x

+ 1)

3

HD: đặt t = 1 + x

dx

HD: đặt t = ex + 1

1
dx HD: đặt t = 1 + tan 3x
cos 3 x(1 + tan 3 x)
2

Dạng 2: Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
ex ( 1 + x)
dx
Ví dụ 1: Tính I = ∫
1 + xe x
0
1

Bài giải:
Đặt t = 1 + xex ⇒ dt = (1 + x)ex dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 1 + e
ex ( 1 + x)
dx =
Khi đó: I = ∫
1 + xe x
0
1

e2

Ví dụ 2: Tính J =

1+ e

1

∫ t dt = ln t
1

1+ e
1

= ln(1 + e)

1

∫ x ln xdx
e

Nhận xét: ta có mẫu chứa xlnx nhưng ta không đặt hoàn toàn t = xlnx vì như thế dt
= (lnx + 1)dx không có trong đề bài.
Khi làm bài tập về đổi biến giáo viên nhắc nhở học sinh không đặt t = x và không
tham lam khi đặt; ta đặt biến t và thử nhẩm xem đạo hàm của t có trong đề bài không,
nếu có yên tâm khả năng chuyển hết về biến mới rất cao.
e2

Bài giải: Tính J =

∫
e

Đặt t = lnx; dt =

1
dx =
x ln x

e2

1

1

∫ ln x . xdx
e

1
dx
x
-6-


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = 2
2

1
∫1 t dt = ln t

Khi đó J =

2

= ln 2

1

Bài tập tự luyện:
π
2

1

3

2x
dx
2
1
+
x
−1

sin x
a.∫
dx
1
+
3cos

x
0

b. ∫

c.∫
2

2x +1
dx
x + x−2
2

Dạng 3: Nếu hàm có chứa căn thức, đặt t bằng căn thức (hoặc biểu thức dưới dấu
căn)
ln 6

ex

∫

Ví dụ 1: Tính I =

ex −1

ln 4

dx

Đặt t = e x − 1

Suy ra 2tdt = exdx
Đổi cận: x = ln4 ⇒ t = 3 ; x = ln6 ⇒ t = 5
5

2tdt
=
Khi đó I = ∫
t
3

Ví dụ 2: Tính J =

π
6

∫

5

∫ 2dt = 2t

5
3

= 2( 5 − 3)

3

1 + 6sin x cos xdx

0

Đặt t = 1 + 6sin x ; t2 = 1 + 6sinx
Suy ra 2tdt = 6cosxdx ⇒ cosxdx =
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =

tdt
3

π
⇒ t=2
6
2

2

tdt t 3
7
=
=
Do đó J = ∫ t
3
91 9
1
9

Ví dụ 3: Tính K =

∫x

3

1 − xdx

1

Đặt t = 3 1 − x , t3 = 1 – x ⇒ x = 1 – t3
Suy ra 3t2 dt = - dx hay dx = - 3t2 dt
Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = 9 ⇒ t = -2
−2

0

0

3t 4 3t 7
468
−
) =−
Do đó K = ∫ ( 1 − t ) t (−3t )dt = ∫ ( 3t − 3t ) dt = (
4
7 −2
7
0
−2
3

2

3

-7-

6


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
π
2

sin 2 x

∫

Ví dụ 4: Tính H =

cos x + 4sin x
2

0

2

dx (ĐHKA – 2006)

Đặt t = cos 2 x + 4sin 2 x thì dt = 3sin2xdx
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =

π
thì t = 4

2
4

4

1 dt 2
2
=
t =
Ta có: H = ∫
31 t 3 1 3
e3

∫

Ví dụ 5: Tính K =

1

ln 3 x
dx (Dự bị khối D năm 2005)
x ln x + 1

Đặt t = ln x + 1 , t2 = lnx +1 ⇒ lnx = t2 – 1 ⇒ 2tdt =

1
dx
x

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 1; x = e3 thì t = 2

3

2

Khi đó K = 2 ∫ ( t − 1) dt =
2

1

388
35

Bài tự luyện:
Tính các tích phân:
2

x+3

a. ∫

3

1

2 3

b.

∫

5

ln 2

c.

∫
0

x + 6x
2

dx

HD: đặt t =

dx
x x +4
2

e 2 x dx
ex +1

3

x2 + 6x

HD: đặt t =

x2 + 4

HD: đặt t =

ex + 1

e

d.

ln x 3 1 + ln 2 xdx
∫1
x
b

Dạng 4: Tích phân dạng ∫ e

HD: đặt t = 1 + ln 2 x
u( x )

u′ ( x ) dx . Đặt t = u(x)

a

Ví dụ 1: Tính I =

π
4

e tan x
∫0 cos2 xdx

Đặt t = tan x ⇒ dt =

1
dx
cos 2 x

-8-


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

π
⇒ t=1
4

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
1

1

t
t
Khi đó I = ∫ e dt = e 0 = e − 1
0

π
2

sin x

sin 2 xdx
Ví dụ 2: Tính J = ∫ e
2

π
4

Đặt t = sin2x ⇒ dt = sin2xdx
Đổi cận: x =

π
1
π
⇒ t = ;x = ⇒ t =1
4
2
2
π
2

1

sin x
sin 2 xdx = ∫ et dt = et
Khi đó J = ∫ e
2

π
4

1
2

1
1
2

1

= e − e2

Sau đây là các bài tập nâng cao, kết hợp nhiều dạng:
Bài1: Tính: I =

π
2

sin 2 x + sin x (ĐHKA – 2005)
dx
1 + 3cos x
0

∫

Đặt t = 1 + 3cos x , t 2 = 1 + 3cos x ⇒ 2tdt = −3sin xdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x =

I=

π

2

∫

sin x ( 2cos x + 1)
1 + 3cos x

0

ln 3

Bài 2: Tính: I =

∫e

ln 2

π
⇒ t =1
2
2

1

2 2t 2 + 1
2  2t 3
34
dx = − ∫
dt = 
+t÷ =

32 3
9 3
 1 27

e2 x
x

−1 + ex − 2

dx

Đặt t = e x − 2 , t2 = ex - 2 ⇒ 2tdt = e x dx
Đổi cận: x = ln 2 ⇒ t = 0; x = ln 3 ⇒ t = 1
1

 t2

2t + 1 

 1

2
dt
=
2
−
t
+
ln
t

+
t
+
1
I = 2∫  t − 1 + 2
(
)

÷ = 2  − + ln 3 ÷
÷
t + t +1
 2

2
0
0
1

3

Bài 3: Tính I =
Đặt t =

x−3
∫0 3 x + 1 + x + 3dx

x + 1 ⇔ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx

-9-

Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

Đổi cận khi x = 0, t = 1; x = 3, t = 2
3

Khi đó I =

x−3
dx
x +1 + x + 3

∫3
0

2

2

2

2

t2 − 4
2t 3 − 8t
dt
2
tdt
=
dt

=
2
t
−
6
dt
+
6
(
)
2
2
∫1 3t + t + 2 ∫1
∫1 t + 1
3t + t + 2
1

=∫

2
2
3
= ( t 2 − 6t ) + 6ln t + 1 1 = 6ln − 3
1
2
4

Bài 4: Tính I =

∫

0

( 1+

x +1
2x +1

Đặt t = 1 + 1 + 2x ⇒ dt =

)

2

dx

dx
t 2 − 2t
⇒ dx = ( t − 1) dt và x =
1 + 2x
2

Đổi cận: khi x = 0, t = 2; khi x = 4, t = 4
4

Khiđó:I= ∫
0

(

x +1

1 + 2x +1

)

2

dx

2
4
4
1 ( t − 2t + 2 ) ( t − 1)
1 t 3 − 3t 2 + 4t − 2
= ∫
dt
=
dt
22
t2
2 ∫2
t2
4

4
1 
4 2
1  t2
2
1
= ∫  t − 3 + − 2 ÷dt =  − 3t + 4ln t + ÷ = 2ln 2 −

2 2
t t 
2 2
t 2
4

3.3.2. Tích phân từng phần:
b

b

Công thức: ∫ udv = uv a − ∫ vdu
b

a

a

Nhận dạng: hàm số dưới dấu tích phân thường là tích hai hàm số khác nhau
Ý nghĩa: đưa một tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn. Trong nhiều
trường hợp khi sử dụng tích phân từng phần sẽ giảm bớt hàm số dưới dấu tích
phân và chỉ còn một hàm số dưới dấu tích phân
b

Như vậy để tính ∫ udv ta chuyển về tính
a

b

∫ vdu , điều quan trọng nhất khi tính

a

tích phân từng phần là phải chọn u, v thích hợp đảm bảo hai nguyên tắc cơ bản
sau
-

Chọn u,v sao cho du đơn giản, dv dễ tính

- 10 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

-

b

b

a

a

Tích phân ∫ vdu dễ tính hơn so với ∫ udv
Giáo viên lưu ý khi tính tích phân từng phân không có bước đổi cận

Sau đây là một số dạng (thường được dùng trong tích phân từng phần)
b

k

1. Dạng 1: I = ∫ P( x) ln f ( x ) dx
a

Chọn


f ′( x)
k −1
dx
u = ln k f ( x)  du = k ln f ( x).
f
(
x
)
⇒


dv = P( x)dx v = P ( x)dx
∫

2

Ví dụ 1: Tính I = ∫ 4 x ln xdx (HKII 2008 - 2009)
1

Lời giải:
1

u = ln x
du = dx

⇒
x
Đặt 
dv = 4 xdx v = 2 x 2

2

2

2
2
2
I = ∫ 4 x ln xdx = ( 2 x ln x ) − ∫ 2 xdx = ( 2 x ln x ) − x 1 = 8ln 2 − 3
2

1

1

e2

Ví dụ 2: Tính J =

∫( x
1

2

2

1

1

+ x ) ln xdx

Lời giải:
1

du
=
dx
u = ln x

x
⇒
Đặt 
2
3
2
dv = ( x + x ) dx v = x + x

3 2
e2

J= ∫ ( x 2 + x ) ln xdx
1

- 11 -

2


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
e2

2

e
 x 3 x 2 

 x2 x 
=  + ÷ln x  − ∫  + ÷dx
 3 2 
1 1  3 2
e2

e2

 x 3 x 2 

 x3 x 2 
=  + ÷ln x  −  + ÷
4 1
 3 2 
1  9
5e6 3e 4 13
=
+
+

9
4 36
3

2
Ví dụ 3: Tính K = ∫ ln ( x − x ) dx (ĐHKD – 2004)
2

Lời giải:
2x −1

u = ln ( x 2 − x )
dx
 du = 2
⇒
x −x
Đặt 
dv = dx
v = x
3

3

3
2x −1
1 

dx = x ln( x 2 − x) − ∫  2 +
K = x ln( x − x) 2 − ∫
÷dx = 3ln3 – 2

2
x −1
x −1 
2
2
3

2

2

Ví dụ 4: Tính L =

ln x
dx
3
x
1

∫

Lời giải:
1

du
=
dx
u = ln x



x
Đặt 
dx ⇒ 
dv
=

v = − 1
x3

2x2
2

2

2

2

2

ln x
− ln x
dx − ln x
1
3 − 2ln 2
+∫ 3 =
− 2 =
L = ∫ 3 dx =
2
2

x
2x 1 1 2x
2x 1 4x 1
16
1
Nhận xét: do không có công thức nguyên hàm của lnx nên mục đích đặt là khử lnx,
nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào k
e

Chẳng hạn: H =

∫x

3

ln 2 xdx

1

1

du = 2 ln xdx

u = ln x

x
⇒
Đặt 
4
3

dv = x dx v = x

4
2

- 12 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
e

e

x4
1 3
3
2
=
(ln
x
.
)
−
x ln xdx
H = ∫ x ln xdx
4 1 2 ∫1
14 2 43
1
e

2

K

e

Tính K =

∫x

3

ln xdx

1

1

du = dx

u = ln x

x
⇒
Đặt 
3
4
dv = x dx v = x

4

e

e 3
e 4  e4 1  3e 4 1
x4
x
=
−  − ÷=
+
x
ln
xdx
= (ln x. ) − ∫ dx
K= ∫
4
16
16
16
16
4
4


1
1
1
e

3

5e 4 − 1
Do đó H =
32
Đôi khi gặp các bài phải kết hợp phương pháp đổi biến lẫn từng phần
π
2

Chẳng hạn Tính L = sin x ln(1 + cos x) dx
∫
0

Đặt t = 1 + cosx; dt = - sinxdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x =

π
⇒ t =1
2

π
2

2

Do đó L = sin x ln(1 + cos x) dx = ∫ ln tdt = 2ln2 – 1
∫
1

0

1

ln( x + 1)
dx .
( x + 2) 2
0

Bài tập tự luyện: Tính M = ∫

u = ln( x + 1)
1
4

Hướng dẫn đặt dv = dx . Kết quả: − ln 2 + ln
3
3
2

( x + 2)


- 13 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
b

2.

Dạng

Dạng ∫ P( x) cos(ax + b)dx

2:

a

u = P( x)
đặt 
dv = cos(ax + b)dx

hoặc

u = P ( x)
P
(
x
)sin(
ax
+
b
)
dx
đặt

∫a
 dv = sin( ax + b)dx
b

π
4

∫ x cos 2 xdx

Ví dụ1: Tính I =

0

Lời giải:
du = dx
u = x

⇒
Đặt 
1
dv = cos 2 xdx v = sin 2 x
2

π
4

π
4

π
4

π

4
I= x cos 2 xdx =  x.sin 2 x  − 1 sin 2 xdx =  x.sin 2 x + cos 2 x  = π − 1


÷

÷
∫0
2  0 2 ∫0
2
4 0 8 4



Ví dụ 2: Tính J =

π
2

∫ ( 2 x + 1) sin xdx
0

Lời giải:
u = 2 x + 1
du = 2dx
⇒
Đặt 
dv = sin xdx v = − cos x
π
2
0

π

2

J = −
 ( 2 x + 1) cos x  + ∫ 2cos xdx
π
2
0

0

π

= −
 ( 2 x + 1) cos x  + 2s inx 02 = 1 + 2 = 3
Trước khi sử dụng tích phân từng phần, cần biến đổi để đưa về tích phân có dạng trên
Ví dụ 3: Tính K =

π
2

∫ ( 2 x − 1) cos

2

xdx

0

Lời giải:
K=

π
2

∫ ( 2 x − 1) cos
0

=

π
2

2

π
2

 1 + cos 2 x 
xdx = ∫ ( 2 x − 1) 
÷dx
2


0
π
2

1
1
( 2 x − 1) dx + ∫ ( 2 x − 1) cos 2 xdx

∫
20
20
- 14 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
π
2

π

2
Tính L1 = 1 ( 2 x − 1) dx = 1  x 2 − x  2 = π − π
0
2 ∫0
2
8 4

π
2

Tính L2 = 1 ( 2 x − 1) cos 2 xdx
2 ∫0
1

du = dx
u = (2 x − 1)

⇒

2
Đặt 
1
dv = cos 2 xdx v = 2 sin 2 x
π
2

π
2

1
1
1
L2 = ( (2 x − 1)sin 2 x) − ∫ sin 2 xdx = −
4
20
2
0

π2 π 1
− −
Do đó: K =
8 4 2
Ví dụ 4: Tính L =

π
2

π
2

0

0

x

∫ x sin x cos 2 xdx = ∫ 2 ( sin3x − sin x ) dx

Lời giải:
1

x

du
=
dx

u =

2
2
⇒
Đặt 
dv = ( sin 3 x − sin x ) dx v = − 1 cos3 x + cos x


3
π
2

π
2

x  −1
1  1


L =  cos3 x + cos x ÷ − ∫  − cos3x + cos x ÷dx
2 3
0 2 0 3

π

2
= 0 +  1 sin 3 x − 1 sin x ÷ = − 5
2
9
 18
0

π
2

Bài tập tự luyện: Tính M = x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx
∫
0

b

f ( x)
3. Dạng 3: ∫ P( x)e dx Đặt
a

u = P( x)

f ( x)
dv = e dx

- 15 -

KQ:

3π 2
32


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân
1

x
Ví dụ1: Tính I = ∫ (2 x + 1)e dx
0

Lời giải:
u = 2 x + 1 du = 2dx
⇒
Đặt 
x
x

dv = e dx v = e
1

1

1

x
Do đó I = ∫ (2 x + 1)e dx = ( 2 x + 1) e  0 − 2 ∫ e dx = e + 1
x

x

0

0

1

2x
Ví dụ2: Tính J = ∫ ( x − 2)e dx
0

Lời giải:
du = dx
u = x − 2

⇒
Đặt 
1 2x

2x
dv = e dx v = e
2

1

1

1

1
1 2x
5 − 3e 2
2x
− ∫ e dx =
Do đó J = ∫ ( x − 2)e dx = ( x − 2 ) e
2
20
4
0
0
2x

1

Ví dụ 3: Tính K =

3 x
∫ x e dx (Dự bị 1 Khối D 2003)
2

0

du = 2 xdx
u = x 2

⇒
Đặt 
1 x2
x2
dv = xe dx v = e
2

1

1

1

1

1 2 x2
1
1 x2
1
x2
=
Do đó K = ∫ x e dx = x e − ∫ xe dx = e − e
2
2

2
2
0
0
0
0
3 x2

2

−2 x
Bài tậptự luyện: ∫ (3 x − 4).e dx
0

 u = 3x − 4
−7e−4 − 5
⇒ KQ =
HD: Ñaët 
−2 x
4
dv = e dx
b

b

kx
4. Dạng 4: ∫ e cos mxdx hoặc ∫ e sin mxdx
kx

a

a

- 16 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

du = ke kx dx
u = e

⇒

1
dv = cos mxdx v = sin mx
m

kx

Đặt:

du = ke kx dx
u = e kx

⇒
hoặc đặt 
1
dv = sin mxdx v = − cos mx
m


π
2

Ví dụ: Tính K = e 2 x cos3 xdx
∫
0

du = 2e 2 x dx
u = e 2 x

⇒
Đặt 
1
dv = cos 3 xdx v = sin 3 x
3

π
2

π
2

π
2

1 2x
2 2x
K = e 2 x cos3 xdx = e sin 3 x − ∫ e sin 3 xdx
3
30

∫0
0
1 44 2 4 43
L

π
2

Tính L = e 2 x sin 3xdx
∫
0

du = 2e 2 x dx
u = e 2 x

⇒
Đặt 
1
dv = sin 3 xdx v = − cos3 x
3

π
2

π
2

π
2

1 2x
2 2x
L = e 2 x sin 3 xdx = − e cos3 x + ∫ e cos3 xdx
3
30
∫0
0
1 44 2 4 43
K

π

2
1
2
= − e 2 x cos3 x + K
3
3
0

1
2 4
⇒ K = − eπ − − K
3
9 9
π
−3e − 2
⇒K=
13
Nhận xét:

- 17 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

-

du = −3sin 3 xdx
u = cos3 x

⇒
Ta cũng có thể đặt 
, vẫn cho kết quả như vậy
1 2x
2x
dv = e dx v = e
2

b

-

∫e

kx

cos mxdx bao giờ cũng phải dùng tích phân từng phần hai lần, song điều

a

chú ý là trong hai lần dùng phải thống nhất một kiểu đặt, nếu không thì sau hai
lần sử dụng tích phân lại trở về ban đầu
π
2

Bài tập tự luyện: Tính M = e3 x sin 5 xdx
∫
0

3π
du = 3e3 x dx
u = e3 x

2
3
e
+5
⇒
HD: Đặt 
KQ: M =
1
dv = sin 5 xdx v = − cos5 x
34
5


3.4 Kết quả cụ thể:
Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến bộ
qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12B2.

Đối tượng học sinh 12B2 (2009-2010) có trình độ ngang nhau (đối chứng) với
12B2
Ở lớp thử nghiệm, đa số các em nhận biết dạng cùng hướng giải bài toán, khả
năng giải hoàn chỉnh bài toán cao.
Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thử nghiệm và đối chứng đề tài ở lớp,
tôi thu được kết quả sau:
Lớp

TSHS

12B2

42

Lớp

TSHS

12B2

42

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

19

45.2

23

54.5

Đạt yêu cầu

Không đạt yêu cầu

TS

%

TS

%

28

66.7

14

33.3

Ghi chú
Thử nghiệm

Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra. Nhiều em yếu, kém
giải rất tốt toán tích phân. Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho
những năm học sau.

- 18 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

C- KẾT LUẬN:
Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh
12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm các tài
liệu chuyên môn, chọn lọc sắp xếp bài tập cùng dạng từ dễ đến khó; học tập kinh
nghiệm từ đồng nghiệp
1. Bài học kinh nghiệm:
Qua thử nghiệm đã nêu, Tôi thấy giờ dạy tích phân không còn không khí nặng
nề như trước, học sinh đã bước đầu nhận được dạng, biết xuất phát từ đâu, tự giải
được bài toán tích phân. Điều đó cho thấy để giúp được học sinh yếu kém lớp 12 học
tốt toán tích phân giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, giúp các em nhìn nhận dạng cùng
cách giải, đi từ bài toán dễ đến nâng cao dần; để thực hiện được điều đó giáo viên cần
phải tích cực nghiên cứu tài liệu, trao dồi năng lực chuyên môn, lắng nghe ý kiến góp
ý của đồng nghiệp cùng sự phản hồi từ học sinh
Khi nghiên cứu đề tài “Giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân”,
Tôi nhận thấy bản thân tôi đã mở rộng thêm kiến thức, nâng cao sự hiểu biết.
Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh yếu

không nắm được bảng nguyên hàm; kỹ năng tính toán yếu nên nắm phương pháp
nhưng giải chưa đúng hoàn toàn được. Tôi cố gắng tìm ra biện pháp để nâng cao hiệu
quả trong những năm sắp tới.
Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rất mong
quý thầy cô, anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinh nghiệm cho những
năm sau viết tốt hơn; có phương pháp giảng dạy tích phân tốt hơn
2. Hướng phổ biến áp dụng đề tài:
Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12B 2và sẽ được phổ biến trong tổ
chuyên môn khối 12 cơ bản trường THPT Lộc Hưng.
3. Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Hướng dẫn học sinh khối 12 trường THPT Lộc Hưng kỹ năng giải hoàn chỉnh
bài toán tích phân.
Lộc Hưng, ngày 20 tháng 03 năm 2011
Người viết

Nguyễn Thị Phương Toàn
Chức vụ: Giáo viên; Đơn vị trường: THPT Lộc Hưng.

- 19 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

MỤC LỤC

Trang
A- MỞ ĐẦU..............................................................................................01
1- Lý do chọn đề tài................................................................................01
2- Đối tượng nghiên cứu .......................................................................01
3- Phạm vi nghiên cứu ..........................................................................01

4- Phương pháp nghiên cứu ..................................................................01
4.1 Nghiên cứu tài liệu............................................................................01
4.2 Điều tra..............................................................................................01
4.3 Giả thuyết khoa học...........................................................................02
B- NỘI DUNG .........................................................................................02
1- Cơ sở lý luận .....................................................................................02
2- Cơ sở thực tiễn ..................................................................................03
2.1 Thực trạng sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 12........................03
2.2 Thực trạng việc học của học sinh......................................................03
2.3 Sự cần thiết của đề tài........................................................................03
3- Nội dung vấn đề ................................................................................03
3.1- Vấn đề được đặt ra .....................................................................03
3.2- Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm..................03
3.3- Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B 2 trường THPT
Lộc Hưng học tốt Tích phân..............................................................
................................................................................................................
3.3.1 Phương pháp tính đổi biến số dạng 1.......................................
3.3.2 Phương pháp tích phân từng phần............................................
3.4- Kết quả cụ thể ............................................................................18
C- KẾT LUẬN .........................................................................................19
1- Bài học kinh nghiệm .........................................................................19
2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài .........................................................19
3- Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài .....................................................19

- 20 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa giải tích 12 – Trần Văn Hạo chủ biên
2. Sách giáo khoa giải tích 12 – Đoàn Quỳnh chủ biên
3. Sách bài tập giải tích 12 – Vũ Tuấn chủ biên
4. Sách bài tập giải tích 12 – Nguyễn Huy Đoan chủ biên
5. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên – Khu Quốc Anh
6. Các đề thi TNPT, ĐH-CĐ

- 21 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

NHẬN XÉT GÓP Ý
1. Ý kiến phê duyệt đề tài của tổ chuyên môn trường THPT Lộc Hưng.
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
2. Ý kiến phê duyệt đề tài của Hội đồng khoa học trường THPT Lộc Hưng.
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
3. Ý kiến phê duyệt đề tài của Hội đồng khoa học Sở GD – Đ T Tây NInh.
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

- 22 -


Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân

..........................................................................................................................................

- 23 -