CHUYÊN ĐỀ TỈ LỆ THỨC LỚP 7 HAY (BDHSG)

MỤC LỤC
Tran
g
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………

2

I/ Lí do chọn đề tài

2

II/ Mục đích nghiên cứu

3

III/ Bản chất cần nghiên cứu

3

IV/ Đối tượng nghiên cứu

3

V/ Phương pháp nghiên cứu

3

VI/ Giới hạn nghiên cứu

4

IV/ Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu

4

PHẦN II: NỘI DUNG………………………………………………

5

A. Nội dung cơ bản của đề tài

5

I/ Mục đích yêu cầu

5

II/ Kết quả nghiên cứu thực tiễn

5

III/ Các giải pháp đã tiến hành để nâng cao hiệu quả của đề tài

5

IV. Vai trò của tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong
giải toán

6

B. Áp dụng vào thực tế giảng dạy

6

I/ Quá trình ứng dụng

6

II/ Áp dụng kiến thức đã học vào thực tế giảng dạy

7

III/ Hiệu quả khi áp dụng

23

IV/ Bài học kinh nghiệm

24

V. Kiến nghị, đề xuất

25

PHẦN III: KẾT LUẬN………………………………………………

26

1

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy phần kiến thức về tỷ
lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số 7. Từ
một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ
thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương
II, khi học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương
tiện rất quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được
định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ
thức. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn
luyện tư duy cho học sinh rất tốt giúp các en có khả năng khai thác bài toán, lập
ra bài toán mới.
Qua thực tế giảng dạy, qua những bài kiểm tra ở những năm học trước tôi
nhận thấy đa số học sinh đều rất ngại khi gặp những bài toán về tỉ lệ thức và tính
chất dãy tỉ số bằng nhau, các em không biết vận dụng kiến thức như thế nào cho
đúng, cũng như trình bày như thế nào cho hợp lí. Tuy đây chỉ là một mảng kiến
thức nhỏ trong chương trình đại số 7 song nó lại bao gồm rất nhiều dạng toán
với những cách suy luận và vận dụng khác nhau, đồng thời nó cũng là một công
cụ hữu ích để giải toán, việc nhận biết và sử dụng nó một cách chính xác đem lại
cho người học một kết quả rất khả quan. Nó còn là một đơn vị kiến thức thường
xuyên được sử dụng ở các phần sau và ở các lớp trên. Đây cũng là một dạng bài
toán cũng thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra học kì và trong các kì
thi học sinh giỏi nên việc giúp học sinh nắm vững các dạng toán và giải thành
thạo chúng là một yêu cầu cấp thiết trong giảng dạy. Vì vậy tôi mạnh dạn thực
hiện đề tài sáng kiến kinh nghiệm “ Rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất tỉ lệ
thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau vào giải toán” với hy vọng giúp các em
phân loại các dạng toán, làm quen với việc biến đổi tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng
nhau để đạt được yêu cầu của bài toán, giúp các em tự tin hơn trong học toán,
phát triển khả năng lập luận, tư duy sáng tạo từ đó đạt kết quả cao trong các kì

thi.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:
- Nhằm trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản về tỷ lệ thức và tính chất
dãy tỷ số bằng nhau từ đó phát triển năng lực tư duy, nâng cao chất lượng môn
toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải
quyết những bài tập có liên quan đến tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau
- Tạo ra được hứng thú học tập cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách
tham khảo…

2


- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp
khi giải toán về tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và
áp dụng thành thạo các phương pháp đó vào giải bài tập.
- Thông qua việc vận dụng tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau giúp
học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về tỷ lệ
thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau. Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng
và hiệu quả giáo dục.
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Các bài toán có vận dụng tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
trong chương trình toán lớp 7.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Đề tài này áp dụng với học sinh lớp 7
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Tham khảo, thu thập tài liệu
- Phân tích, thống kê, tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả chất lượng học sinh
- Đưa ra bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, cùng nhau thực hiện

- Phương pháp điều tra, trắc nghiệm

3


PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Để bồi dưỡng cho học sinh năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, lý
luận dạy học hiện đại khẳng định: Cần phải đưa học sinh vào vị trí chủ thể hoạt
động nhận thức, học trong hoạt động. Học sinh bằng họat động tự lực, tích cực
của mình mà chiếm lĩnh kiến thức . Quá trình này được lặp đi lặp lại nhiều lần
sẽ góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo.
Tăng cường tính tích cực phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá
trình học tập là một yêu cầu rất cần thiết, đòi hỏi người học tích cực, tự lực tham
gia sáng tạo trong quá trình nhận thức. Bộ môn toán học ở phổ thông có mục
đích trang bị cho học sinh một hệ thống kiến thức và kĩ năng cơ bản có trình tự
xuyên suốt trong quá trình học của học sinh.
Môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa
học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với
mỗi cá nhân, rèn luyện cho người học tư duy lôgic sáng tạo khoa học.
Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học
nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết
thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích
cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại
niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác.
Tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau có vai trò quan trọng trong giải
toán. Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tích.
Trong một tỉ lệ thức nếu biết 3 số hạng ta có thể tìm được số hạng thứ tư. Khi
học về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ta sẽ thấy tỉ lệ thức là một phương tiện

quan trọng giúp ta giải toán. Và đặc biệt các bài toán về Tỉ lệ thức và tính chất
dãy tỉ số bằng nhau là một dạng bài tập thường có mặt trong các kỳ thi học sinh
giỏi toán cấp THCS.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Thực tế giảng dạy những năm học trước, qua kiểm tra tôi thấy học sinh còn
gặp nhiều khó khăn khi giải các dạng bài toán về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số
bằng nhau như:
- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng hết
các dữ kiện của bài toán...

4


- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy
luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải hoặc áp dụng phương
pháp giải một cách thụ động .
- Học sinh chưa mạnh dạn suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán
hay mở rộng lời giải tìm ra nhiều cách giải khác nhau, mặt khác học sinh còn
trông chờ vào giáo viên. Do đó hạn chế trong việc rèn luyện năng lực giải toán.
Cho nên việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải
bài tập là rất cần thiết, để làm được việc đó cần:
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và hiểu được chúng, cách vận dụng
chúng trong giải bài tập.
- Phân dạng, đưa ra các ví dụ điển hình minh họa cho các dạng toán đó.
III. NỘI DUNG KIẾN THỨC:
A/ Kiến thức cơ bản:
1. Tỉ lệ thức.
1.1. Tỉ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỉ số

a c

=
b d

Trong đó:

a, b, c, d là các số hạng.
a, d là ngoại tỉ.
b, c là trung tỉ.
1.2. Tính chất của tỉ lệ thức:
a c
a.d = b.c
=
* Nếu
thì
b d
* Nếu a . d = b . c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có:
a c
a b
d c
=
=
=
;
;
;
b d
c d
b a

d b

=
c a

2. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2.1. Tính chất:
a c a+c a−c
=
* = =
( b ≠ d và b ≠ −d )
b d b+d b−d
a c e
= =
* Từ dãy tỉ số bằng nhau
ta suy ra:
b d f
a c e a+c+e
a−c+e
= = =
=
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
b d f b+d + f b−d + f
(nếu đặt dấu “ – “ trước số hạng trên của tỉ số nào thì cũng đặt dấu “ – “ trước số
hạng dưới của tỉ số đó)
2.2. Chú ý:

5


a b c
= = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số x, y, z;

x y z

Khi có dãy tỉ số

Ta còn viết a : b : c = x : y : z.
3. Một số kiến thức bổ sung:
* Lũy thừa của một thương:
n

x
xn
 y ÷ = yn
 

Víi n ∈ N, x ≠ 0 vµ x, y ∈ Q.

Mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n:
*
*

a a.m
=
b b.m

với m ≠ 0.

a c
a
c
= ⇔

=
b d
b.n d .n
n

Với n ≠ 0.
n

a c
a  c 
*
= ⇒ ÷ = ÷
b d
b d 

Với n ∈ N.

1 1
=
( a ≠ 0; b ≠ 0 )
a b
* a = b ⇒a ± m = b ± m

* a=b⇒

B/ Các dạng bài tập và phương pháp chung:
Dạng 1. Chứng minh tỉ lệ thức.
Trong khi học về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, học sinh thường
gặp khó khăn trong việc chứng minh các tỉ lệ thức, các em không biết nên bắt
đầu từ đâu, vận dụng tính chất như thế nào cho đúng và lúng túng trong trình

bày bài toán. Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức, sau đây là một số
phương pháp thường được sử dụng:
Ví dụ 1. Cho

a c
= ≠ 1 Với a, b, c, d ≠ 0.
b d
Chứng minh rằng:

a−b c−d
=
a
c
Hướng dẫn

Cách 1.

6


Xuất phát từ

a−b c−d
⇒ c(a – b) = a(c – d) ⇒ ac – bc = ac – ad ⇒ ad =
=
a
c

a c
=

chính là tỉ lệ thức đã cho. Theo thứ tự ngược lại ta được chứng
b d
minh bài toán này.
bc ⇒

a c
= ⇒ a.d = b.c ⇒ − a.d = −b.c ⇒ ac − a.d = ac − bc
b d
* Trình bày:
a −b c −d
⇒ a (c − d ) = c ( a − b ) ⇒
=
a
c
Trong cách này ta đã sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của đẳng thức,
a−b c−d
=
để chứng minh
ta chứng minh c(a – b) = a(c – d)
a
c
Cách 2.
Ta đặt

a c
= =k
b d

⇒ a = bk ; c = dk

a − b bk − b b ( k − 1) k − 1
=
=
=
a
bk
bk
k

(1)

c − d dk − d d ( k − 1) k − 1
=
=
=
c
dk
dk
k

(2)

Thế thì

Từ (1) và (2) suy ra:

a−b c−d
=
a
c

a−b c−d
=
ta chứng minh hai
a
c
tỉ số ở hai vế cùng bằng một tỉ số thứ ba. Để làm được điều đó ta đã đặt giá trị
chung của các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ
thức phải chứng minh theo k.
Trong cách giải này, để chứng minh tỉ lệ thức

Cách 3.
a−b c−d
a −b a
=
= . Để có
hoán đổi các trung tỉ ta được
a
c
c−d c
a
a c
a b
thì từ tỉ lệ thức ban đầu = ta cũng hoán vị các trung tỉ để được = sau
c
b d
c d
a b a−b
đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được = =
, từ đây ta hoán

c d c−d
vị các trung tỉ một lần nữa thì được tỉ lệ thức cần chứng minh.
Ta nhận thấy từ

* Trình bày
a c
a b a −b
a a −b
a −b c −d
= ⇒ = =
⇒
=
. Vậy =
b d
c d c−d
c c−d
a
c
7


Cách 4.
Ta nhận thấy từ
a−b c−d
a b c d
b
d
b d
a c
=

⇒ − = − ⇒ 1 − = 1 − ⇒ = ⇒ a.d = b.c ⇒ = .
a
c
a a c c
a
c
a c
b d
* Trình bày
a c
b d
b
d
a b c d
a −b c −d
= ⇒ a.d = b.c ⇒ = ⇒ 1 − = 1 − ⇒ − = − ⇒
=
b d
a c
a
c
a a c c
a
c
Trong cách giải này, từ tỉ lệ thức đã cho ta biến đồi dần thành tỉ lệ thức phải
chứng minh bằng cách dùng các tính chất hoán vị, tính chất của đẳng thức…
Cách 5.
Vì

a c

b d
= ⇒ =
b d
a c

Ta có
Vậy

a−b a b
b
d c−d
= − =1− =1− =
a
a a
a
c
c

a−b c−d
=
a
c

Trong cách giải này, ta đã biến đổi tỉ số ở vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng
minh) thành vế phải.
Ví dụ 2.

Cho

a c

5a + 3b 5a − 3b
=
=
. Chứng minh rằng:
b d
5c + 3d 5c − 3d

Cần quan sát kĩ đầu bài để phát hiện ra cách làm. Ta có thể sử dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau, nhưng phải biến đổi một chút bằng cách để ý đến
tử và mẫu của tỉ lệ thức cần chứng minh, ta nhận thấy a, b cùng ở trên tử còn c,
d ở dưới mẫu, do đó ta cần hoán đổi các trung tỉ của tỉ lệ thức ban đầu để có.
Hướng dẫn
Có:

a c
=
b d

⇔

a b
=
c d

Vậy:

5a + 3b
5c + 3d

=

5a − 3b
5c − 3d

Ví dụ 3.

Cho

⇒

5a 3b 5a + 3b 5a − 3b
=
=
=
5c 3d 5c + 3d 5c − 3d

(Đpcm).

a c
a2 + b2
= . Chứng minh: 2
b d
c + d2

=

ab
.
cd

Bài này có khó hơn một chút. Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện
được a2 và b2. Ta để ý các tích là a.b và c.d để có điều đó trước hết ta cần biến
a b
đổi tỉ lệ thức ban đầu bằng cách hoán vị các trung tỉ ta được = . Ta có
c d

8


ab a b a a b b a 2 b 2
= . = . = . =
=
từ đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
cd c d c c d d c 2 d 2
ta được điều cần chứng minh.
a b ab a 2 b 2 a 2 + b 2
=
=
=
* Chú ý: Cần tránh sai lầm sau trong trình bày = =
c d cd c 2 d 2 c 2 + d 2
Hướng dẫn
a c
=
b d

Ta có:

a2 + b2
c2 + d 2

Vậy:

a b
=
c d

⇔
=

ab
cd

⇒

a 2 b 2 ab a 2 + b 2
=
=
=
c 2 d 2 cd c 2 + d 2

(Đpcm).

Với cách tư duy trên, dễ dàng nghĩ ngay ra con đường đi cho bài tập sau:
a c
= ≠ ± 1 và c ≠ 0. Chứng minh rằng:
Ví dụ 4. Cho
b d
2
3

3
3
( a − b ) = ab
 a +b  a −b
a)
b) 
2
÷ = 3
3
( c − d ) cd
c+d  c −d
Với phương pháp tư duy như ví dụ 3 thì học sinh không mấy khó khăn khi
làm xuất hiện điều phải chứng minh.
Hướng dẫn
a c
a b a −b
⇒
=
= =
a) Có:
b d
c d c−d
2
a − b)
ab
(
a b
a −b a −b
=
.

=
.
Suy ra:
Hay:
2
cd
c d
c−d c−d
(c−d)
b)

a c
=
b d

Có:
3

⇒
3

a b a+b
= =
c d c+d
3

a b  a+b
Suy ra:  ÷ =  ÷ = 
÷
c c c+d 

3

a 3 b3 a 3 − b3  a + b 
=
=
=
÷
c3 d 3 c3 − d 3  c + d 

Do đó:

3

Vậy:

3
3
 a +b  a −b

÷ = 3
3
c+d  c −d

(Đpcm).

Ví dụ 5.
Cho

15 x − 3 y 6 z − 20 x 6 y − 9 z

x y
z
=
=
. Chứng minh rằng = =
4
3
2
3 15 10
9


Mục tiêu ta cần làm là biến đổi dãy tỉ số đã cho để tìm ra một tỉ số chung cụ thể
giữa chúng. Để làm được việc đó ta cần làm triệt tiêu x, y, z bằng cách áp dụng
tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Ở đây ta nhân mỗi tỉ số đã cho với mẫu của chúng
sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Hướng dẫn
15 x − 3 y 6 z − 20 x 6 y − 9 z 60 x − 12 y 18 z − 60 x 12 y − 18 z
=
=
=
=
=
4
3
2
16
9
4
Ta có

60 x − 12 y + 18 z − 60 x + 12 y − 18 z
=
=0
16 + 9 + 4
Suy ra:

15 x − 3 y
x y
= 0 ⇒ 15 x − 3 y = 0 ⇒ =
(1)
4
3 15
6 z − 20 x
x z
= 0 ⇒ 6 z − 20 x = 0 ⇒ =
(2)
3
3 10

Từ (1) và (2) suy ra

x y
z
= =
(Đpcm)
3 15 10

Tiểu kết: Với dạng bài tập chứng minh tỉ lệ thức học sinh phải biết sử dụng
linh hoạt kiến thức để tạo ra dãy tỉ số bằng nhau hợp lí, có thể kết hợp với mối
quan hệ khác mà bài cho để đi đến điều phải chứng minh. Lưu ý học sinh khi sử

dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau phải nhớ đặt dấu ngoặc, tránh nhầm dấu.
Có nhiều cách để chứng minh một tỉ lệ thức nhưng cần lựa chọn cách nào phù
hợp với khả năng và mức độ nhận thức của người học sao cho đơn giản mà lại
dễ hiểu, dễ làm, dễ trình bày. Mặt khác, trong quá trình chứng minh phải luôn
hướng về điều phải chứng minh nhằm tránh “lạc đường”, dài dòng không cần
thiết, có khi lại không tới được đích cần đến.
Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
Nhận xét chung:
+) Bài thường cho 2 dữ kiện một là tỉ lệ thức hoặc một dãy tỉ số bằng
nhau và hai là một đẳng thức giữa các số cần tìm. Từ những mối quan hệ đó ta
có thể tìm được đáp án của bài, đôi khi cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử
dụng được.
+) Có hai cách thường dùng để giải loại bài này:
Cách 1: Đặt tỉ lệ thức đã cho bằng k, tính các số theo k
.
Thay các số vào dữ kiện thứ hai (đẳng thức giữa các số cần
tìm) để tính k sau đó tính các số cần tìm.
Cách 2: Biến đổi tỉ lệ thức hoặc dãy tỉ số bằng nhau thành các tỉ số có
hệ số bằng với hệ số tương ứng của mỗi số trong đẳng thức ở dữ kiện thứ hai,
rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm các số.
10


+) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc
tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các
trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.
x y
= . Biết rằng x.y = 90. Tính x và y
2 5

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức

Hướng dẫn
x y
= = k ⇒ x = 2k ; y = 5k . Thay các giá trị này vào xy = 90 ta
2 5
được 10k 2 = 90 ⇔ k 2 = 9 ⇔ k = ±3
Cách 1: Đặt

- Với k = 3, ta có x = 2. 3 = 6;

y = 5. 2 = 10

- Với k = -3, ta có x = 2.(-3) =- 6;
Vậy

y = 5.(-3) = -15

x1 = 6; y1 = 15
x2 = −6; y2 = −15

x y
x 2 xy
=
Cách 2: Hiển nhiên x ≠ 0 . Nhân cả hai vế của = với x, ta có
nên
2 5
2
5
x 2 90

=
= 18 suy ra x 2 = 36 . Do đó x = ±6
2
5
- Nếu x = 6 thì y = 15
- Nếu x = -6 thì y = -15
Vậy ( x1 = 6; y1 = 15 ) ;

(x

2

= −6; y2 = −15 )

Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết:
a)

x y z
= =
và 5x + y – 2z = 28
10 6 21

b) = ;
c)

=

và 2x + 3y – z = 186

2x 3y 4z

=
=
và x + y + z = 49
3
4
5
Hướng dẫn

a)
Cách 1:
x y z
= =
= k ⇒ x = 10k ; y = 6k ; z = 21k , Thay vào 5x + y – 2z = 28 ta
10 6 21
có 5.10k + 6k – 2. 21k = 28 suy ra 14k = 28 => k = 2
Đặt

Do đó: x = 2. 10 = 20; y = 6. 2 = 12;

z = 21. 2 = 42

Vậy x = 20; y = 12; z = 42.

11


Cách 2:
Nhận xét: Quan sát dãy tỉ số bằng nhau và đẳng thức liên hệ giữa các biến ta
thấy hệ số của x, z khác với hệ số của chúng trong dãy tỉ số bằng nhau, nên chưa
thể áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà ta cần biến đổi dãy tỉ số để

chúng có cùng hệ số như trong đẳng thức liên hệ giữa các biến bằng cách nhân tỉ
số đó với hệ số tương ứng.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z 5 x 2 z 5 x + y − 2 z 28
= =
=
=
=
=
=2
10 6 21 50 42 50 + 6 − 42 14
Suy ra: +)

x
= 2 ⇒ x = 20
10

+)

y
= 2 ⇒ y = 12
6

+)

z
= 2 ⇒ z = 42
21

b) Ta nhận thấy đề bài cho hai dãy tỉ số bằng nhau, ta cần biến đổi chúng

thành một dãy tỉ số bằng nhau.
Ta nhận thấy y xuất hiện trong cả hai dãy tỉ số bằng nhau đã cho trong đề bài,
y y
do đó tỉ số của y là tỉ số trung gian, ta để ý hai tỉ số ; , ta có BCNN(4; 5 ) =
4 5
y
20 nên ta có thể biến đổi để đưa chúng về tỉ số
, muốn có điều đó ta nhân hai
20
1
1
vế của dãy tỉ số thứ nhất với , dãy tỉ số thứ hai với
5
4
Ta có:

x y
x
y
= ⇒ =
(1)
3 4 15 20
y z
y
z
= ⇒
=
(2)
5 7
20 28

Từ (1) và (2) ta có:

x
y
z
=
=
15 20 28

Cách 1:
x
y
z
=
=
= k ⇒ x = 15k ; y = 20k ; z = 28k . Thay vào 2x + 3y – z = 186
15 20 28
ta có: 2.15k + 3.20k – 28k = 186 suy ra k = 3
Đặt

Vậy: x = 15. 3 = 45;

y = 20.3 = 60;

z = 28. 3 = 84

Cách 2: .
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
12

= = = = = =
Suy ra: +) = 3
+) = 3
+) = 3

186
=3
62
⇔
x = 3.15 = 45
⇔
y = 3.20 = 60
⇔

z = 3.28 = 84

Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
2x 3y 4z
=
=
và x + y + z = 49 ta thấy cần biến đổi dãy tỉ số bằng
3
4
5
nhau về dạng đơn giản hơn, là tỉ số của x, y, z mà thôi. Ta có BCNN(2;3;4) = 12,
1
nhân mỗi tỉ số đã cho với
ta thu được điều mong muốn.

12
c) Quan sát

Từ

2x 3y 4z
x
y
z
=
=
⇒ = =
3
4
5
18 16 15

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x
y
z
x+ y+z
49
= = =
=
=1
18 16 15 18 + 16 + 15 49
Suy ra: +)

x

= 1 ⇒ x = 18
18

+)

y
= 1 ⇒ y = 16
16

+)

z
= 1 ⇒ z = 15
15

Vậy x = 18; y = 16; z = 15.
Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết:

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và 2x + 3y – z = 50
2
3
4

Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 2x, 3y bằng cách
nào đây? Vì x còn vướng x - 1, y vướng y + 2. Để có 2x ta nhân cả tử và mẫu tỉ
số thứ nhất với 2, để có 3y ta nhân cả tử và mẫu tỉ số thứ hai với 3.
Hướng dẫn

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x − 1 y − 2 z − 3 2 ( x − 1) 3 ( y − 2 ) 2 ( x − 1) + 3 ( y − 2 ) − ( z − 3)
=
=
=
=
=
2
3
4
4
9
4+9−4
( 2 x + 3 y − z ) − 5 = 45 = 5
=
9
9
Suy ra: +)

x −1
= 5 ⇒ x = 11
2
13


+)

y−2
= 5 ⇒ y = 17
3

z −3
= 5 ⇒ z = 23
4
Vậy (x = 11; y = 17; z = 23)
+)

Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Ta thấy 2a = 3b = 4c chưa phải là một dãy tỉ số bằng nhau, để có dãy tỉ bằng
1
nhau ta nhân mỗi số với
(trong đó BCNN(2; 3; 4) = 12)
12
Hướng dẫn
Từ 2a = 3b = 4c suy ra : = =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = = = = 7
Suy ra: +) = 7

Vậy:

⇔

a = 7.6 = 42

+) = 7

⇔

b = 7.4 = 28

+) = 7

⇔

c = 7.3 = 21

a = 42 ; b = 28 ; c = 21

Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện
M= a + b = c + d = e + f, biết a, b, c, d, e, f thuộc ¥ * và

a 14 c 11 e 13
= ; = ;
=
b 22 d 13 f 17
Hướng dẫn
Từ

a 14
a
b
=
⇒ =
= x ⇒ a = 14 x; b = 22 x
b 22 14 22
c 11
c d
= ⇒ = = y ⇒ c = 11y; d = 13 y
d 13 11 13
e 13

e
f
= ⇒ =
= z ⇒ e = 13z; f = 17 z
f 17 13 17

Khi đó ta có M = 36x = 24y=30z Suy ra M là bội chung của 36; 24; 30, mà M
nhỏ nhất có 4 chữ số nên M = 1080
Ví dụ 5. Tìm x1, x2, x3, …, x9 biết rằng:
= = =…=

và x1 + x2 + x3 + … + x9 = 90

Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã có
tính chất của dãy tỉ số bằng nhau đây rồi.

14


Hướng dẫn
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
= = =…= =
=

( x1 + x2 + ... + x9 ) − ( 1 + 2 + ... + 9 )
9 + 8 + ... + 1

=

90 − 45

=1
45

Suy ra: +) = 1
⇔ x1 = 9 + 1 = 10
+) = 1
⇔ x2 = 8 + 2 = 10
+) = 1
⇔ x3 = 7 + 3 = 10
………………
+) = 1
⇔ x9 = 1 + 9 = 10
Vậy: x1 = x2 = x3 = … = x9 = 10.
Ví dụ 6: Tìm các số x, y, z biết rằng:

y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác như
những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế
nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không?
Với bài dạng này ta áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để làm xuất hiện
mối quan hệ giữa các số x, y, z.
Hướng dẫn

Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; z ≠ 0; x + y + z ≠ 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
y + z +1 x + z + 2 x + y − 3
1
( y + z + 1) + ( x + z + 2 ) + ( x + z + 2 )
=
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
x+ y+z
=

2( x + y + z )
=2
x+ y+z

( vì x + y + z ≠ 0 )

Do đó: x + y + z = 0,5 , từ đây suy ra x + y = 0,5- z; y + z = 0,5- x; x + z = 0,5- y
Thay vào đề bài ta có:
0,5 − x + 1 0,5 − y + 2 0,5 − z − 3
1,5 − x 2,5 − y −2,5 − z
=
=
= 2 hay
=

=
=2
x
y
z
x
y
z
1,5 − x
1
= 2⇒ x =
Suy ra: +)
x
2
2,5 − y
5
= 2⇒ y =
+)
y
6
−2,5 − z
5
=2⇒ z =−
+)
z
6

15

1
5
−5
Vậy x = ; y = ; z =
2
6
6

2x − 1 3y − 2 2x + 3y − 3
=
=
4
6
5x
Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x -1, 3y – 2 và 2x + 3y – 3.
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 x − 1 3 y − 2 2 x + 3 y − 3 ( 2 x − 1) + ( 3 y − 2 ) − ( 2 x + 3 y − 3)
=
=
=
= 0 (với x ≠ 2 )
4
6
5x
4 + 6 − 5x
Ví dụ 7: Tìm các cặp số (x; y) biết x ≠ 0 và

2x − 1
1

= 0 ⇒ 2x − 1 = 0 ⇒ x =
4
2

Suy ra: +)
+)

3y − 2
2
= 0 ⇒ 3y − 2 = 0 ⇒ y =
6
3

1
2
Vậy x = ; y =
2
3
Ví dụ 8: Tìm x, biết rằng

1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y
=
=
18
24
6x

Nhận xét: (1 + 2y) + (1+ 6y) = 2 + 8y = 2(1+ 4y)
Hướng dẫn
Điều kiện: x ≠ 0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1 + 2 y 1 + 4 y 1 + 6 y ( 1 + 2 y ) + ( 1 + 6 y ) 2( 1 + 4 y ) 1 + 4 y
=
=
=
=
=
18
24
6x
18 + 6 x
2 ( 9 + 3x ) 9 + 3x
Suy ra:

1+ 4y 1+ 4y
=
nên 24 = 9 + 3x => x = 5 (thỏa mãn x ≠ 0 )
24
9 + 3x

Vậy x = 5.
Ví dụ 9: Tìm cặp số (x, y) biết:

1+ 3y 1+ 5y 1+ 7 y
=
=
12
5x
4x

Hướng dẫn
Điều kiện: x ≠ 0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1 + 3 y 1 + 5 y 1 + 7 y (1 + 7 y ) − (1 + 5 y) 2 y (1 + 5 y) − (1 + 3 y)
2y
=
=
=
=
=
=
12
5x
4x
4 x − 5x
−x
5 x − 12
5 x − 12
suy ra:

2y
2y
=
− x 5 x − 12

16


+ Với y = 0, thay vào dãy tỉ số ta được

mãn

1
1
=
(vô lý) => y = 0 không thỏa
5x 4x

+ Với y ≠ 0 , suy ra − x = 5 x − 12 ⇔ x = 2 (thỏa mãn x ≠ 0 ), thay vào dãy
tỉ số bằng nhau ta có




Vậy  x = 2; y = −

1+ 3y 2 y
1
=
⇔ 1 + 3 y = −12 y ⇔ y = −
12
−2
15

1
÷
15 

Tiểu kết: Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn
thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần

đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài
toán về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức.
Ví dụ 1: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện:
a
b
c
b+c a+c a+b
=
=
+
+
. Tính giá trị biểu thức: P =
b+c a+c a+b
a
b
c
Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
a+b+c
=
=
=
(*)
b + c a + c a + b 2( a + b + c)
+) Nếu a + b + c = 0, suy ra a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b, thay vào biểu thức
− a −b −c

+
+
= −1 − 1 − 1 = −3
P ta được P =
a
b
c
a
b
c
a+b+c
1
=
=
=
=
+) Nếu a + b + c ≠ 0 thì từ (*) ta có:
b + c a + c a + b 2( a + b + c) 2
Suy ra: +)

a
1
= ⇒ b + c = 2a
b+c 2

+)

b
1
= ⇒ a + c = 2b

a+c 2

+)

c
⇒ a + b = 2c
a+b

Thay vào biểu thức P ta được: P =

2a 2b 2c
+
+
=2+2+2=6
a
b
c

Vậy: Nếu a + b + c = 0 thì P = -3
17


Nếu a + b + c ≠ 0 thì P = 6
Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c thỏa mãn:

a
b
c
=
=

2009 2010 2011

Tính giá trị của biểu thức M = 4 ( a − b ) ( b − c ) − ( c − a )

2

Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
a −b b −c c −a
=
=
=
=
=
2009 2010 2011
−1
−1
2
c−a
c−a
( c − a)
Suy ra: a − b = −
và b − c = −
từ đó ta có: ( a − b ) ( b − c ) =
2
2
4

Do đó 4 ( a − b ) ( b − c ) = ( c − a )

2

2

Ta có M = 4 ( a − b ) ( b − c ) − ( c − a ) =0
2

Vậy M = 0.
Ví dụ 3: Với các số dương a, b, c thỏa mãn
Chứng minh rằng

( a + b)

2

c2

( c + a)
+

a
b
c
=
=
.
b+c a+c a+b
2

b2

( b + c)
+

2

a2

= 12

Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
a+b+c
1
=
=
=
= ( vì a + b + c ≠ 0 )
b + c a + c a + b 2( a + b + c) 2
2

a
1
b+c
b+c

= ⇒
= 2⇒
Suy ra:
÷ =4
b+c 2
a
 a 
2

b
1
a+c
a+c
= ⇒
=2⇒
÷ =4
a+c 2
b
b


2

c
1
a+b
a+b
= ⇒
=2⇒
÷ =4

a+b 2
c
 c 
Ta có:

( a + b)
c2

2

( c + a)
+
b2

2

( b + c)
+
a2

2

= 4 + 4 + 4 = 12 (Đpcm)

Ví dụ 4: Cho x, y, z là ba số khác 0 thỏa mãn điều kiện

18


y+z−x z+x− y x+ y−z

=
=
x
y
z

x 
y 
z
Hãy tính giá trị của biểu thức B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷
y 
z 
x

Hướng dẫn
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
y + z − x z + x − y x + y − z ( y + z − x) + ( z + x − y) + ( x + y − z )
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
(*)
x+ y+z
=
x+ y+z
+) Nếu x + y + z = 0 suy ra x + y = -z;
y + z = -x;

x + z = -y

x 
y 
z   x + y   z + y  x + z  − z − x − y
= −1
Ta có B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = 

÷
÷= . .
y 
z 
x  y ÷

  z  z  y z x
+) Nếu x + y + z ≠ 0 thì từ (*) ta có:
y + z − x z + x − y x + y − z ( y + z − x) + ( z + x − y) + ( x + y − z )
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
x+ y−z
=
=1
x+ y−z
y+z−x
= 1 ⇒ y + z − x = x ⇒ y + z = 2x

Suy ra: +)
x
z+x− y
=1⇒ z + x − y = y ⇒ z + x = 2y
+)
y
x+ y−z
= 1 ⇒ x + y − z = z ⇒ x + y = 2z
+)
z

x 
y 
z   x + y   z + y  x + z  2 z 2 x 2 y
Ta có B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ = 
÷ z ÷ z ÷ = y . z . x = 8
y
z
x
y









Vậy: Nếu x + y + z = 0 thì B = -1

Nếu x + y + z ≠ 0 thì B = 8
5x2 + 3 y2
x y
Ví dụ 5: Cho = . Tính giá trị của biểu thức B =
10 x 2 − 3 y 2
3 5
Hướng dẫn
x y
x 2 y 2 5 x 2 10 x 2 3 y 2 5 x 2 + 3 y 2 10 x 2 − 3 y 2
=
⇒
=
=
=
=
=
=
Ta có
3 5
9 25 45
90
75
120
15

19


5 x 2 + 3 y 2 10 x 2 − 3 y 2
5 x 2 + 3 y 2 120

=
⇒
=
=8
Suy ra
120
15
10 x 2 − 3 y 2 15
5x2 + 3 y2
=8
Vậy B =
10 x 2 − 3 y 2
Ví dụ 6:

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính M =
c+d d +a a+b b+c
Cho

Hướng dẫn
Điều kiện: a ≠ 0; b ≠ 0;c ≠ 0;d ≠ 0

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d
2a + b + c + d
a + 2b + c + d
a + b + 2c + d
a + b + c + 2d
⇒
−1 =
−1 =
−1 =
−1
a
b
c
d
a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d
⇒
=
=
=
a

b
c
d
a + b = − ( c + d )

b + c = − ( d + a )
a
+
b
+
c
+
d
=
0
⇒
+ Nếu

c + d = − ( a + b )
d + a = − ( b + c )

Ta tính được M = - 4
+ Nếu a + b + c + d ≠ 0 suy ra: a = b = c = d
Ta tính được M = 4
Ví dụ 7: Cho

x
y
z
t

=
=
=
y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z

Chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên: P =

x+ y y + z z +t t + x
+
+
+
z+t t + x x+ y y+ z

Hướng dẫn
Điều kiện: y + z + t ≠ 0; x + z + t ≠ 0; x + y + t ≠ 0; x + y + z ≠ 0

20


Từ

x
y
z
t
=
=
=
y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z

Suy ra:

y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z
=
=
=
x
y
z
t
y+ z+t
x+ z +t
x+ y +t
x+ y+z
+1 =
+1 =
+1 =
+1
x
y
z
t
x+ y+ z +t x+ y+ z +t x+ y + z +t x+ y + z +t
⇒
=
=
=
x
y
z

t
⇒

x + y = −( z + t )

 y + z = −( t + x)
x
+
y
+
z
+
t
=
0
⇒
+ Nếu

z + t = −( x + y)
t + x = − ( y + z )

Ta tính được P = - 4 ∈ ¢
+ Nếu x + y + z + t ≠ 0 , suy ra x = y = z = t
Ta tính được P = 4 ∈ ¢
Dạng 4: Toán có lời văn
Nhận xét chung:
Đây là dạng bài tập khó đối với học sinh, không chỉ học sinh trung bình mà cả
đối với học sinh khá - giỏi, khó ở công đoạn chuyển bài toán lời văn về dạng
biểu thức. Giáo viên cần dẫn dắt các em thật tỉ mỉ từng bước, từ phân tích đầu
bài để tìm ra yếu tố bài cho, yếu tố chưa biết, yếu tố cần tìm và mối quan hệ

giữa chúng, kể cả những mối quan hệ đã biết dưới dạng ẩn(Ví dụ như: quãng
đường = vận tốc x thời gian hoặc tổng các góc trong một tam giác bằng 180 0;
công thức tính diện tích hình chữ nhật, chu vi hình chữ nhật, chu vi tam
giác….), rồi đến cách gọi kí hiệu kèm điều kiện và đơn vị ra sao... Đặc biệt là
khi kết luận cho bài phải chính xác theo yêu cầu.
Loại bài tập này yêu cầu chuyển lời văn thành biểu thức để tính toán, do đó
cần làm cho học sinh nắm được các bước cần tiến hành khi giải:
Bước 1: Đặt kí hiệu cho các đại lượng cần tìm và điều kiện của chúng
Bước 2: Thiết lập dãy tỉ số bằng nhau giữa các đại lượng cần tìm
Thiết lập biểu thức biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng cần tìm.
Bước 3: Giải bài với các dữ kiện lập được ở bước 2
21


Bước 4: Kiểm tra kết quả tìm được với điều kiện của chúng và kết luận bài.
* Lưu ý: Nói x, y, z tỉ lệ với a, b, c. Viết là x: y: z = a: b: c hoặc
Ví dụ 1: Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là:

x y z
= =
a b c

3
và các tử tỉ lệ
196

với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7.
Gợi ý: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 còn các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai
phân số tỉ lệ với:

3
5
và ”.
4
7

Hướng dẫn
Gọi hai phân số tối giản cần tìm là x, y.
Theo bài toán, ta có :

x y
=
3 5 và
4 7

x–y=

3
.
196

3
x y x − y 196 3
= =
=
=
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 5 3 5
1
7

−
4 7 4 7
28
x 3
9
= ⇒x=
Suy ra: +) 3 7
28
4
y 3
15
= ⇒ y=
+) 5 7
49
7
Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là:

9
15
và
.
28
49

Ví dụ 2: Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số
của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
Hướng dẫn
Gọi ba chữ số của số cần tìm là a, b, c (đ/k: a, b, c ∈ N; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c ≤ 9
a + b + c ≠ 0)
a b c

Theo bài ra ta có: = =
1 2 3
Ta có 1 ≤ a+b+c ≤ 27
Vì số cần tìm chia hết cho 18 nên a + b + cM9 (vì 18 = 2.9 mà (2;9)=1)
Do đó a + b + c = 9 hoặc a+ b +c = 18 hoặc a + b + c = 27 (1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

22


a b c a+b+c
a+b+c
= = =
⇒a=
1 2 3
6
6
*
Vì a∈ N nên a + b + c M 6
Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18
Khi đó:
+)
+)
+)

(2).

a b c a + b + c 18
= = =
=

=3
1 2 3 1+ 2 + 3
6

a
= 3 → a = 3.1 = 3
1
b
= 3 → b = 3.2 = 6
2
c
= 3 → c = 3.3 = 9
3

Vì số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số hàng đơn vị là chữ số 6
Vậy số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
Ví dụ 3:
µ tỉ lệ với 3 và 15, Cµ = 4 µA . Tính các góc của
Cho tam giác ABC có µA và B
tam giác ABC (Biết tổng số đo các góc của tam giác bằng 1800)
Hướng dẫn
µ , Cµ của tam giác ABC lần lượt là A, B, C theo bài ra ta
Gọi số đo các góc µA , B
có:
µ µ
A B
µ = 4 µA ⇒ C = A (2) và A + B + C = 180
=
(1) C
3 15

4 1
A B C
Từ (1) và (2) ta có: = =
3 15 12
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
A B C A + B + C 180
= = =
=
=6
3 15 12 3 + 15 + 12 30
A
Suy ra: = 6 ⇒ A = 18
3
B
= 6 ⇒ B = 90
15
C
= 6 ⇒ C = 72
12
Vậy các góc của tam giác ABC là : µA = 180 ; µB = 900 ; µC = 720
Ví dụ 4: Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22cm và các
cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; 5
Hướng dẫn
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y, z (x, y, z∈ N * )

23


x y z
= =

và x + y + z = 22
2 4 5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
x y z x + y + z 22
= = =
=
=2
2 4 5 2 + 4 + 5 11
x
Suy ra: +) = 2 ⇒ x = 4
2
y
+) = 2 ⇒ y = 8
4
z
+) = 2 ⇒ z = 10
5
Vậy độ dài các cạnh của tam giác là: 4cm; 8cm; 10cm.
Theo bài ra ta có:

Ví dụ 5: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ. Trị giá mỗi loại tiền
trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ.
Hướng dẫn
Gọi số tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ và 10000đ theo thứ tự là x, y, z (x, y, z
∈ N*)
Theo đề bài ra ta có: 2000x = 5000y = 10000z và x + y + z = 16
x y z
Từ 2000 x = 5000 y = 10000 z ⇒ = =
5 2 1
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z x + y + z 16
= = =
= =2
5 2 1 5 + 2 +1 8
x
Suy ra: +) = 2 ⇒ x = 10
5
y
+) = 2 ⇒ y = 4
2
z
+) = 2 ⇒ z = 2
1
Vậy số tờ giấy bạc loại 2000đ, 5000đ, 10000đ theo thứ tự là 10; 4; 2 tờ
1 1
Ví dụ 6: Gạo được chứa trong ba kho tỉ lệ với 1,3; 2 ;1 . Gạo trong kho thứ
2 2
hai nhiều hơn trong kho thứ nhất là 43,2 tấn. Sau một tháng tiêu thụ ở kho thứ
nhất là 40%, ở kho thứ hai là 30%, kho thứ ba là 25% của số gạo ở trong mỗi
kho. Hỏi trong một tháng đã tiêu thụ hết bao nhiêu gạo?
Hướng dẫn
Gọi số gạo có trong ba kho lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn) (đk: a, b, c >0)
1
1
Đổi 2 = 2,5; 1 = 1,5
2
2
Theo đề bài ra ta có:
24

a
b
c
=
=
và b – a = 43,2
1,3 2,5 1,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
b−a
43,2
=
=
=
=
= 36
1,3 2,5 1,5 2,5 − 1,3 1,2
a
= 36 ⇒ a = 46,8
Suy ra: +)
1,3
b
= 36 ⇒ b = 90
+)
2,5
c
= 36 ⇒ c = 54

+)
1,5
Số gạo lúc đầu có trong kho thứ nhất là 46,8 tấn; kho thứ hai là 90 tấn; kho thứ
ba là 54 tấn.
- Số gạo tiêu thụ hết trong một tháng là:
46,8. 40% + 90. 30% + 54. 25% = 59,22 (tấn)
IV. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY
Trên đây tôi đã giới thiệu một số dạng toán về Tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số
bằng nhau mà tôi đã áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi
ở những năm học trước
- Sau khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy trong các năm học trước đối với
học sinh lớp 7 trường THCS Tiên Lữ tôi nhận thấy học sinh đã nắm chắc các
kiến thức và vận chúng vào giải bài tập một cách thành thạo và các em rất có
hứng thú trong học tập phần này nói riêng và môn học nói chung. Kết quả bài
kiểm tra học kì I khoảng 85% các em đã làm được các bài toán về tỉ lệ thức. Các
em trong đội tuyển học sinh giỏi đã thực hiện được hầu hết các bài tập liên quan
đến tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau mà tôi đưa ra. Đối với học sinh đại
trà, sau khi được hướng dẫn, chữa bài tập có nội dung đơn giản (Bài tập SGK,
SBT) thì hầu hết các em đã:
+ Nắm được các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Biết phân loại và sử dụng các phương pháp phân tích thích hợp.
+ Tự chọn được các cách giải và biết trình bày bài làm.
- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các kết quả áp dụng cho học sinh khá giỏi
thì tỷ lệ rất cao, đồng thời khi áp dụng cho học sinh đại trà thì các em đã vận
dụng tốt các kết quả và biết vận dụng vào trong các bài toán một cách tương đối
có hiệu quả. Song các kết quả thu được chưa phải là mĩ mãn, cần có một thời
gian để học sinh vận dụng kiến thức cơ bản và nhận dạng, phân loại bài toán
một cách thành thạo. Trên cơ sở đó các em sẽ tìm ra một phương pháp giải thích
hợp.
PHẦN III: KẾT LUẬN

25