chuyen de phuong tring luong giac

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

Lời nói đầu
“Chuyên đề lượng giác” là một trong năm chuyên đề
trong: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học” mà tác
giả đã viết. Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáo dục và đào
tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra một
phần nhỏ “chuyên đề lượng giác” theo đúng cấu trúc của bộ.
Các bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy
ở các cuốn sách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các
đề thi tuyển sinh đại học từ các năm đến bây giờ.
Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp
số và hướng dẫn. Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và
phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Lời giải của bài
toán sẽ được tác giả giải trong từng buổi học.
Chuyên đề gồm 13 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc
của bộ giáo dục và đào tạo.
Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy
vừa có thể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà.
Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi
thiếu xót. Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các
em.
Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ:

hoặc
Đà Nẵng, 20/04/2010
Đình Nguyên

1


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

CHUYÊN ĐỀ PT LƯỢNG GIÁC LUYỆN THI ĐẠI HỌC
I. Cơ sở lý thuyết:
ÔN TẬP 1 SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG:
tgx + tgy

a. cos(x + y) = cosx.cosy - sinx.siny

e. tg ( x + y ) = 1 − tgx.tgy

b. cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny

f. tg ( x − y ) = 1 + tgx.tgy

tgx − tgy

c. sin(x – y ) = sinx.cosy - siny.cosx
d. sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI:
a. sin2x = 2sinx.cosx

2tgx

c. tg 2 x = 1 − tg 2 x

b. cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x
3. CÔNG THỨC NHÂN BA:
a. cos3x = 4cos3x - 3cosx
b. sin3x = 3sinx – 4sin3x
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG:
1
2

a. cosx.cosy = [ cos( x + y ) + cos( x − y ) ]
b. sinx.siny =

1
[ cos( x − y) − cos( x + y)]
2

c. sinx.cosy =

1
[ sin( x + y) + sin( x − y)]
2
1
2

d. cosx.siny = [ sin( x + y ) − sin( x − y ) ]

2


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

5. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH:
x+ y
x− y
.cos
2
2
x+ y
x− y
b) cos x − cos y = −2sin
.sin
2
2
x+ y
x− y
c) sin x + sin y = 2sin
.cos
2
2
x+ y
x− y
d ) sin x − sin y = 2 cos
.sin
2

2
a ) cos x + cos y = 2 cos

6. CÔNG THỨC HẠ BẬC:
1 − cos 2 x
2
1 + cos 2 x
b)c os 2 x =
2

3sin x − sin 3x
4
3cos x + cos 3 x
d ) cos3 x =
4

a )sin 2 x =

c) sin 3 x =

7. CÔNG THỨC RÚT GỌN sinx + cosx
π
π
a )sin x + cos x = 2 sin( x + ) = 2 cos( x − )
4
4
π
π
b) sin x − cos x = 2 sin( x − ) = − 2 cos( x + )
4

4

8. CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx theo tg

x
2

x
2

Nếu đặt t = tg , ta được:
2t
1+ t2
1− t2
b) cos x =
1+ t2
2t
c)tgx =
1− t2
a )sin x =

9. CÔNG THỨC VỀ GÓC HƠN KÉM NHAU:( cos đối; sin bù; phụ chéo;
tg, cotg π )
a. Hai góc bù nhau



b. Hai góc phụ nhau:

3

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

+) sin x = sin(π − x)
+) cos x = − cos(π − x)
+)tgx = −tg (π − x)
+) cot gx = − cot g (π − x)

π
+) sin x = cos( − x)
2
π
+) cos x = sin( − x)
2
π
+)tgx = tg ( − x)
2
π
+ cot x = cot( − x)
2

c. Hai góc đối nhau:

d. Hai góc hơn nhau π
= tg(x + π )

+) cosx = cos( - x)

+) tgx

+) sinx = -sin(- x)

+) cotgx = cotg(x + π )

+) tgx= - tg(-x)

+) sinx = - sin(x + π )

+) cotgx = - cotg(-x)

+) cosx = - cos(x + π )

II. Các dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx
♣ Phương pháp:

asinx + bcosx = c (1)

x
2

+ Xét cos = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không.
x
2

+ Đặt t = tan , đưa về phương trình bậc hai theo t.

♣ Bài tập:
1) 3sin 3 x − 3 cos9 x = 1 + sin 3 3 x

2) cos 7 x.cos5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x.sin 5 x

3) 2 2(sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2 x
π
π
π
4) 3sin( x − ) + 4sin( x + ) + 5sin(5 x + ) = 0
3

6

6



4


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

5) 4sin 3 x cos3 x + 4cos 3 x sin 3 x + 3 3 cos 4 x = 3
6) 3sin x + cos x = 1

7) sin x + 5cos x = 1
9) (1 + 3)sin x + (1 − 3) cos x = 2

8) sin x + 3 cos x + sin x + 3 cos x = 2
10) sin 3 x + ( 3 − 2) cos3 x = 1

 −π π 
Bài 11: Tìm m để phương trình 2sin x + m cos x = 1 − m có nghiệm x ∈  ; 
 2 2

Dạng 2: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx, cosx
♣ Phương pháp: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x + d = 0
+ Xét cosx = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không
+ Chia hai vế của (1) cho cos2x. Ta được phương trình bậc hai theo tanx.
♣ Bài tập:
Bài 12: Giải phương trình
a. sin 2 x + 2sin x cos x + 3cos 2 x − 3 = 0

b. sin 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0

13. Giải phương trình:
a. 4 3 sin x cos x + 4cos 2 x = 2sin 2 x +
b. 3sin 2 (3π − x) + 2sin(

5
2

5π
π
3π
+ x) cos( + x) − 5sin 2 ( + x) = 0
2

2
2

14. Giải phương trình:
a. 3 sin x + cos x =

1
cos x

b. 4sin x + 6cos x =

1
cos x

15. GPT: 7sin 2 x + 2sin 2 x − 3cos 2 x − 3 3 15 = 0
16. Tìm m để phương trình: m cos 2 x − 4sin x cos x + m − 2 = 0 có nghiệm
 π
x ∈  0; ÷
 4



5


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

2

2
17. Cho phương trình: sin x + (2m − 2)sin x cos x − ( m + 1) cos x = m (1)

a. Giải (1) khi m = - 2
b. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
18. Cho phương trình cos 2 x − sin x cos x − 2sin 2 x − m = 0 (1)
a. Giải phương trình (1) khi m = 1
b. Giải và biện luận theo m.

Dạng 3: Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sinx, cosx
♣ Phương pháp:
1) a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x = 0
2) a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos 3 x + ( m sin x + n cos x) = 0
+ Xét cosx = 0 có phải là nghiệm của (1) hay không?
+ Chia hai vế của (1) cho cos3x. Ta đưa về phương trình bậc 3 theo tanx
♣ Bài tập:
Bài 19: Giải phương trình: 4sin 3 x + 3cos3 x − 3sin x − sin 2 x cos x = 0
20. GPT:

sin x sin 2 x + sin 3 x = 6cos 3 x

21. GPT:

1 + 3sin 2 x = 2 tan x

22. GPT:

23. GPT:

π

8cos3 ( x + ) = cos3 x
3

π
3
24. GPT: sin  x − ÷ = 2 sin x
4


25. GPT:

6sin x − 2cos3 x =

π
2 sin 3 ( x + ) = 2sin x
4

5sin 4 x cos x
2cos 2 x

26. Cho phương trình

( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0
a. Giải (1) khi m = 2.



6

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

 π
b. Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất x ∈ 0; 
 4

Dạng 4: Phương trình đối xứng và nửa đối xứng với sinx,
cosx
♣ Phương pháp:
1) a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
2) a(sinx – cosx) + bsinxcosx +c = 0
Đặt t = sinx + cosx, t ∈  − 2; 2  ( t = sinx – cosx)
biến đổi sinxcosx qua t. Đưa về phương trình bậc hai theo t
Chú ý: Nếu đặt t = sinx + cosx ( t = sinx – cosx) thì t ∈  − 2; 2 
♣ Bài tập:
Bài 27: GPT:
28) cos x +

2 ( sin x + cos x ) − sin x cos x = 1

1
1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x 3

3
2

29)1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2 x

2 3
1 + sin x cos x
3

30.

sin x + cos x =

32.

( 1 + 2 ) ( sin x − cos x ) + 2sin x cos x = 1 +

33.

π

sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1
4


35.

1
 1


2 + ( 2 + sin 2 x ) 
+
+ tan x + cot x ÷ = 0
 sin x cos x


31.

sinx – cosx + 7sin2x = 1

2

34. sin3x – cos3x + 2(sinx + cosx) = 1

36. Tìm m để phương trình: m(sinx + cosx) + sin2x = 0 có nghiệm.
37. Tìm m để phương trình: sin2x + 4(cosx - sinx) = 0 có nghiệm.
38. Tìm m để: sin3x – cos3x = m có 3 nghiệm phân biệt x ∈ [ 0; π ]



7


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

Dạng 5: Phương trình đối xứng với tan, cot
♣ Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình
về dạng đơn giản.

♣ Bài tập:
Bài 39:
41)

3 ( tan x + cot x ) = 4

40.

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

42. tan2x + cotx = 8cos2x

3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)

43) tanx = cotx + 2cot32x

44) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x)

45) 6tanx + 5cot3x = tan2x

46) 2(cot2x – cot3x) = tan2x + cot3x

47) 2 tan x + cot x = 3 +

2
sin x

49) 2 tan x + cot 2 x = 2sin 2 x +

48) 3tan 3 x + cot 2 x = 2 tan x +

1
sin 2 x

50) 3tan 6 x −

2
sin 4 x

2
= 2 tan 2 x − cot 4 x
sin 8 x

51) 3tan 2 x − 4 tan 3 x = tan 2 3 x.tan 2 x
52.

tan x + tan 2 x + tan 3 x + cot x + cot 2 x + cot 3 x = 6

53.

tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x = tan 2 x.tan 3 x.tan 5 x

54.

tan 2 2 x.tan 2 3 x.tan 5 x = tan 2 2 x − tan 2 3 x + tan 5 x

55.

1
1
1

tan 2 x.tan 2 x + tan 2 2 x.tan 4 x + tan 2 4 x.tan 8 x = tan 8 x − 2
2
4
4

56.

tan 2 x + 4 tan 2 2 x + 16 tan 2 4 x = 64cot 2 8 x + 41

57.

sin 2 x.cos 2 x sin 2 3 x.cos 6 x sin 2 9 x.cos18 x
+
+
=0
cos 2 3 x
cos 2 9 x
cos 2 27 x

Dạng 6: Phương trình lượng giác đối xứng với sin2nx,
cos2nx
♣ Phương pháp: Sử sụng các công thức sau:
1
2

3
4

3
4

1. sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x



8


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010
3
4

Chuyên đề lượng giác
5
8

3
8

2. sin 6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x
1
1 − cos 4 x ( 1 − cos 4 x )
3. sin x + cos x = 1 − sin 2 x + sin 4 2 x = 1 −
+
8
2
32
8

8

2

2

♣ Bài tập:
Bài 58: GPT: sin 4 x + cos 4 x = cos 2 x
1
4

60) sin 6 x + cos 6 x = sin 2 2 x

59) sin 6 x + cos 6 x =

7
16

61) sin 6 x + cos 6 x = cos 4 x

6
6
62) 16 ( sin x + cos x − 1) + 3sin 6 x = 0

63. Cho phương trình:

sin 6 x + cos6 x
= m tan 2 x (1)
cos 2 x − sin 2 x

a. GPT (1) khi m =

1
4

b. Tìm m để (1) có nghiệm.
64. Cho phương trình: sin 4 x + cos 4 x = m sin 2 x −

1
(1)
2

a. GPT (1) với m = 1
b. Chứng minh rằng: ∀ m ≥ 1 phương trình (1) luôn có nghiệm
4
4
6
6
2
65. Cho phương trình: 4 ( sin x + cos x ) − 4 ( sin x + cos x ) − sin 4 x = m

Tìm m để phương trình có nghiệm
1
4

66. Cho phương trình: sin 4 x + cos 4 x − cos 2 x + sin 2 2 x + m = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm.

Dạng 7: Sử dụng công thức hạ bậc:

9


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
sin 2 x =

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
1
; cos 2 x =
; tan 2 x =
; sin x.cos x = sin 2 x
2
2
1 + cos 2 x
2

sin 3 x =

3sin x − sin 3 x
cos 3 x + 3cos x
; cos3 x =
4
4

♣ Bài tập:
Bài 67:
68.

sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x

a. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x + cos 2 4 x = 2
b. cos 2 x + cos 2 2 x + cos 2 3 x + cos 2 4 x =
4x
3

3
2

69.

a. cos 2 x = cos

b. 1 + 2cos 2

70.

sin 4 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
π

π

tan  − x ÷.tan  + x ÷

4

4


71.

7
π

π

sin 4 x + cos 4 x = cot  x + ÷.cot  − x ÷
8
3

6


72.

π
π
9
sin 4 x + sin 4 ( x + ) + sin 4 ( x − ) =
4
4
8

73.

sin 8 x + cos8 x =

74.

a. cos3 x.cos3 x + sin 3 x.sin 3 x =

3x
4x
= 3cos
5
5

17
cos 2 2 x
16
2
4

b. cos3 x.cos3 x + sin 3 x.sin 3 x = cos3 4 x
1
4

75.

cos3 x.cos3 x − sin 3 x.sin 3 x = cos3 4 x +

76.

4cos3 x.sin 3 x + 4sin 3 x.cos3 x + 3 3 cos 4 x = 3

Dạng 8: Sử dụng công thức góc nhân đôi.


10


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

♣ Phương pháp:
Công thức:
sin 2 x = 2sin cos x

2
sin 2 x = ( sin x + cos x ) − 1

2
sin 2 x = 1 − ( sin x − cos x )
2 tan x

 tan 2 x = 1 − tan 2 x

2
cot 2 x = cot x − 1

2cot x

;

;

cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x

2
cos 2 x = 2cos x − 1
cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

x
2t

t = tan 2 ; sinx= 1 + t 2

2
cos 2 x = 1 − t ; tan2x= 2t
1+ t2
1− t2


♣ Bài tập:
77) cos 4 x + sin 6 x = cos 2 x

78) cos 2 x + 5sin x + 2 = 0

79) 2sin 3 x − cos 2 x + cos x = 0

80) cos 4 x − cos 2 x + 2sin 6 x = 0

81) 4cos x − 2cos 2 x − cos 4 x = 1

82) sin 3 x + cos3 x = cos 2 x

83.

x
x
π x
1 + sin sin x − cos sin 2 x = 2cos 2 ( − )
2
2
4 2

84) sin 4 x − cos 4 x = 1 + 4(sin x − cos x)
86.

( 1 − tan x ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + tan x

88) cot x = tan x + 2 tan 2 x

85) 2 + cos x = 2 tan

87)1 + 3tan x = 2sin 2 x

2
2
2
89) ( 1 − tan x ) ( 1 − tan 2 x ) ( 1 − tan 4 x ) = 8

90.

cot x ( 1 − tan 2 x ) ( 1 − tan 2 2 x ) ( 1 − tan 2 4 x ) = 8

91.

( 1 − tan x ) ( 1 − tan
2

2

x
2

2 x ) ( 1 − tan 2 4 x ) = 8cot 8 x

Dạng 9: Sử dụng công thức góc nhân ba
♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x ;

cos3 x = 4cos3 x − 3cos x



11


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

♣ Bài tập:
Bài 92: sin 3 x + sin 2 x = 5sin x

93) sin 3 x + sin 2 x + 2sin x = 0

94) cos3 x + cos 2 x + sin 2 x = 2

95) sin 3 x + sin x − 2cos 2 x = 0

96) cos10 x + 2cos 2 4 x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 3 x
2
98) 2sin 3 x ( 1 − 4sin x ) = 1

97) 32cos 6 x − cos 6 x = 1
99) 2sin 3 x −



101) sin  3 x −

 3π x  1  π 3 x 
− ÷ = sin  + ÷
 10 2  2  10 2 

1
1
= 2cos3 x +
sin x
cos x

100) sin 

π
π

÷ = sin 2 x.sin  x + ÷
4
4





3
102) 8cos  x +

π
÷ = cos3 x
3

 π 
103. Tìm a để: cos 4 x = cos 2 3 x + a sin 2 x có nghiệm x ∈  0; ÷
 12 

104) cos 6 x + cos 4 x + cos 2 x = 3 + 4sin 4 x

105) cos 6 x = 1 + 8sin 4 x + sin 2 2 x

106) sin 3 x − cos 3 x + 2(sin x + cos x) = 1

107) 2cos3 x + sin 2 x + cos x = 0

Dạng 10: Biến đổi tổng, hiệu thành tích
♣ Phương pháp:
Công thức sử dụng:
sin x + sin y = 2sin

x+ y
x− y
cos
;
2
2

cos x + cos y = 2cos

sin x − sin y = 2cos

x+ y
x− y
sin
2
2

x+ y
x− y
x+ y
x− y
cos

sin
; cos x − cos y = −2sin
2
2
2
2

♣ Bài tập:
Bài 108) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 1 + cos x + cos 2 x
109) 1 + cos x + cos 2 x + cos3 x = 0

110) cos10 x − cos8 x − cos 6 x + 1 = 0

111) 9sin x + 6cos x − 3sin 2 x + cos 2 x = 8
112)1 + sin x + cos3x = cos x + sin 2 x + cos 2 x



12


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010
1
π

− 4 x ÷+ sin 3 x + sin x =
2
6


113) sin 

Chuyên đề lượng giác
1
π

− 2 x ÷+ 2cos x = −
2
3


114) cos 

115) 2sin x + cos3 x + sin 2 x = 1 + sin 4 x 116)

1
+ sin x + cos x = 2 + tan x
cos x

Dạng 11: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
♣ Phương pháp:
Từ công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích ta có công thức biến tích thành
tổng, hiệu
♣ Bài tập:

(

)

Bài 117: sin x + 3 cos x sin 3 x = 2

π
 π

+ x ÷sin  − x ÷ = cos 2 x
6
 6


118) 4cos x.sin 

119) 8sin x =

3
1
+
cos x sin x

120) cos3x.tan 5 x = sin 7 x
π
 π

 2π

 4π

+ x ÷sin  − x ÷+ 4 3 cos x.cos 
+ x ÷cos 
+ x ÷= 2
3
 3


 3

 3


121. sin x.sin 

2
122) 2sin 3 x ( 1 − 4sin x ) = 1

123) cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x = cos x.cos 2 x.cos3 x + 2
x
2

124) cos x.cos .cos

3x
x
3x 1
− sin x.sin .sin
=
2
2
2 2

125) sin

5x
x

= 5cos3 x.sin
2
2

126. tan x − 3cot x = 4 sin x + 3 cos x 

Dạng 12: Phương trình dạng phân thức
♣ Phương pháp:
+ Đặt điều kiện cho mẫu số ( có thể giải ra nghiệm cụ thể hoặc giữ nguyên điều
kiện)



13


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

+ Áp dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác thông thường. Suy ra
nghiệm
+ Kiểm tra điều kiện:
- Dùng phương pháp đại số
- Dùng phương pháp đường tròn đơn vị.
♣ Bài tập:
127)

1
1

2
+
=
cos x sin 2 x sin 4 x

128)

cos x − 2sin x cos x
= 3
2cos 2 x + sin x − 1

129)

sin x.cot 5 x
=1
cos9 x

130)

1 − cos 4 x
sin 4 x
=
2sin 2 x 1 + cos 4 x

sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3
131)
cos x + cos 2 x + cos3 x

133)

2sin 2 x + cos 4 x − cos 2 x
=0
132)
( sin x − cos x ) sin 2 x

1 + 2sin 2 x − 3 2 sin x + sin 2 x
=1
2sin x cos x − 1

134) 3cos x + 4sin x +

6
=6
3cos x + 4sin x + 1

135)1 + cot 2 x =

1 − cos 2 x
sin 2 2 x

136) tan 3x.cot x = −1

Dạng 13: Các bài toán tổng hợp:
137.

( 1 − 2sin x ) cos x
( 1 + 2sin x ) ( 1 − sin x )

= 3

3
138. sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 ( cos 4 x + sin x )

139.

3 cos5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0

1
+
140) sin x

 7π

= 4sin 
− x÷
3π 

 4

sin  x −
÷
2 

1

141. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x

14


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

142. 2sin x ( 1 + 2cos x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x
2
2
143. ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x
2

x
x

145.  sin + cos ÷ + 3 cos x = 2
2
2


144. 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
2

146.

2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
2 − 2sin x

x


= 0 147. cot x + sin x 1 + tan x tan ÷ = 4
2


148. cos3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0

149. cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0

150. 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0



4
4
151. cos x + sin x + cos  x −

π 
π 3
÷sin  3 x − ÷− = 0
4 
4 2

2
152. 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x

153) ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x
154. cot x − 1 =

cos 2 x

1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2

155) cot x − tan x + 4sin 2 x =

2
sin 2 x

π 2
2 x
2 x
156. sin  − ÷tan x − cos = 0
2
2 4

157. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) của phương trình:
cos3 x + sin 3 x 

5  sin x +
÷ = cos 2 x + 3
1 + 2sin 2 x 


158. sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
159. Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm đúng phương trình:
cos3 x − 4cos 2 x + 3cos x − 4 = 0

160. tan x = cot x + 4cos 2 2 x

π
π
2


161. sin  2 x − ÷ = sin  x − ÷+
4
4
2








π
π 1


162) 2sin  x + ÷− sin  2 x − ÷ =
3
6 2



15


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

163. 3sin x + cos 2 x + sin 2 x = 4sin x cos 2

x
2

164. 4(sin 4 x + cos 4 x) + cos 4 x + sin 2 x = 0
tan 2 x + tan x
2
π
=
sin(
x
+
)
165.
tan 2 + 1
2
4

166. sin 2 x + sin x −

1
1

−
= 2cot 2 x
2sin x sin 2 x

167. 2cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x)
3x
 5x π 
x π
168. sin  − ÷− cos  − ÷ = 2 cos
2
 2 4
2 4

169.

sin 2 x cos 2 x
+
= tan x − cot x
cos x
sin x

170. 2 2 sin( x −

171. ( 1 − tan x ) ( 1 + sin 2 x ) = 1 + tan x

π
) cos x = 1
12

172. ( 1 + 2sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x

2

173) sin 3 x − 3 cos3 x = 2sin 2 x
7π

174. sin  2 x +
2


5π


÷− 3sin  x −
2




÷ = 1 + 2cos x


175. sin 2 x + cos 2 x − 3sin x − cos x + 1 = 0

176. cos 2 x + 2cos x − 3 = 0

177. cos 4 x − cos 2 x + 2sin 6 x = 0

178. sin 2 x − 3 cos 2 x = 2sin 3 x

179. sin 2 x + cos 2 x + sin x − 2cos 2

x
=0
2

sin 4 x + cos 4 x 1
1
= cot 2 x −
181.
5sin 2 x
2
8sin 2 x

183. Cho phương trình

2

182. tan

2sin x + cos x + 1
=a
sin x − 2cos x + 3

a. Giải phương trình (2) khi a =




180. 2 ( sin x − cos x ) = tan  x −
4

( 2 − sin
x +1 =

2

π
÷
4

2 x ) sin 3 x

cos 4 x

(2)

1
3

b. Tìm a để phương trình (2) có nghiệm.



16


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010
184.

Chuyên đề lượng giác

1
= sin x
8cos 2 x

185) 3 − tan x ( tan x + 2sin x ) + 6cos x = 0

2 − 3 ) cos x − 2sin
186. (
2cos x − 1

2

x π
 − ÷
 2 4  =1

187. tan(

3π
sin x
− x) +
=2
2
1 + cos x

cos 2 x ( cos x − 1)
= 2 ( 1 + sin x )
188.
sin x + cos x




x

2
189. tan x + cos x − cos x = sin x 1 + tan x tan ÷
2



190. Xác định m để phương trình:
2 ( sin 4 x + cos 4 x ) + cos 4 x + 2sin 2 x + m = 0
 π
Có ít nhất một nghiệm thuộc 0;  .
 2

♥♥♥.III. Đáp số và hướng dẫn:
π 2 kπ

 x = 18 + 9
1. 
 x = 7π + 2kπ

54
9
9π α kπ

x
=

+ +

24 4 2
4. 
 x = π − α + kπ

36 6 3
x
2

6. x = k 2π ∨ tan = 3
8. x =

 x = kπ
2. 
 x = − π + kπ
3


3. Vô nghiệm

4
5

3
−π kπ
π kπ
+
∨x= +
5. x =

5
24
2
8 2

với sin α = ,cos α =

7. x =

−π
π
+ 2 k π ∨ x = + 2 kπ
6
2

10. x =

π 2 kπ
2π 2kπ
+
∨x=
+
6
3
9
3

π
x
2

+ 2kπ ∨ tan = −
2
2
3

9. x =

π
5π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ
3
6

11. −1 ≤ m ≤ 3



17


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010
12. a. x = kπ ∨ x =
13.a. x =

Chuyên đề lượng giác

π
π
1

+ kπ b. x = + kπ ∨ tan x =
4
4
2

−π
5
π
− 3
+ kπ ∨ tan x =
+ kπ ∨ tan x =
;b. x =
4
3
3
9

14. a. x = kπ ∨ x =

π
−π
+ kπ b. x =
+ kπ ∨ tan x = 5
3
4

15. vô nghiệm

16.1

18) a. x = kπ ∨ cot x = −3
20. tan x = 2 ∨ x = ±

π
+ kπ
3

π
π
+ kπ ∨ x = ± + kπ
4
3

21. x =

−π
3 ± 17
+ kπ ∨ tan x =
4
4

π
+ kπ
4

23. x = kπ ∨ x =

24. x =

−π

+ kπ
4

25. Vô nghiệm

29. x =

b. −2 ≤ m ≤ 1

19. x =

22. x =

π  2− 2

27. cos  x − ÷ =
4
2


π
+ kπ
4

π
π
+ kπ ∨ x = + kπ
6
3

26. a. x =

π
+ kπ
4

3
4

π  2 − 19

28. cos  x − ÷ =
4
3 2


−π
+ 2 k π ∨ x = π + 2 kπ
2

30. x =

π
+ 2kπ
4

31. x = −π + 2kπ ∨ x =

π
π 3 2


+ 2kπ ∨ cos  x + ÷ =
2
4
7


32. x = −π + 2kπ ∨ x =

π
3π
+ 2 kπ ∨ x =
+ 2kπ
2
4

33. x =

π
π
+ kπ ∨ x = + 2 k π ∨ x = π + 2 k π
4
2

35. x =

−π
+ kπ
4

36. ∀m

2
< m <1
2

39. x =

38.

b. m ≥ 1 ∨ m <

34. x =

π
+ 2kπ
4

37. −4 2 − 1 ≤ m ≤ 4 2 + 1
π
π
+ kπ ∨ x = + kπ
6
3



40. x =

π

+ 2kπ
4
18


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

41. x =

π
+ kπ
4

42. x =

π kπ
π kπ
5π kπ
+
∨x=
+
∨x=
+
2 2
24 2
24 2

43. x =

π kπ
+
4 2

44. x =

π kπ
π kπ
+
∨x= +
4 2
8 2

1
3

−1
4

46. vô nghiệm

45. cos 2 x = ∨ cos 2 x =
48. cos 2 x =

−1
4

49. x = ±

51. x = kπ ∨ tan 2 x =
54. x =

kπ
5

π kπ
+
6 2

50. cos 4 x =

π
+ kπ
4

68. a. x =

π
+ kπ
4

65.

kπ
2

74. a. x = ±

π

+ kπ
8

53. x =

kπ
kπ
∨x=
26
28

60. x =

π kπ
+
4 2

61. x =

kπ
2

b. x =

72. cos 2 x =

kπ
3

−π kπ

π kπ
+
∨x= +
24
2
8 2

78. x =

−π
−5π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2 kπ
6
6

kπ
kπ
∨x=
2
9

2 x 1 − 21
=
5
4

−2 + 6
2

75. x =

76. x =

67. x =

1
4

π kπ
π
2π
+
∨ x = ± + kπ ∨ x = ±
+ kπ
8 4
5
5

b. x = 5kπ ∨ cos

π kπ
+
12 2

b. m >

63. a. vô nghiệm

−9

≤ m ≤ 1 66. −2 ≤ m ≤ 0
16

b. x =

kπ
3

57. x =

π 3kπ
+
4
2

71. x = ±

−1
4

π kπ
+
4 2

π kπ
π kπ
+
∨x= +
4 2
10 5

69. a. x = 3kπ ∨ x = ±

π
+ kπ
3

56. x =

kπ
π
5π
∨ x = + kπ ∨ x =
+ kπ
2
12
12

64. a. x =

70. x =

52. x =

π
+ kπ
4

59. x = ±

58. x = kπ
62. x =

55. x =

3
5

π
+ kπ
3

47. x =

73. x =

π kπ
+
8 4

π kπ
+
24 12

77. x = kπ
79. x = 2kπ ∨ x =



−π

+ 2kπ
4
19


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

80. x = kπ

81. x =

π
3π
+ kπ ∨ x = 2kπ 82. x = 2kπ ∨ x =
+ 2kπ
2
2

83. x = kπ

84. x =

π
+ kπ
4

85. x =

π
+ 2kπ
2

86. x = kπ ∨ x =

87. x =

−π
+ kπ
4

88. tan x = −1 ± 2 ∨ tan x = 1 ± 2

90. x =

π kπ
+
32 8

91. x =

95. x =

π
π
5π
+ kπ ∨ x = + 2 k π ∨ x =
+ 2kπ
2

6
6

97. x =

π
−1
+ kπ ∨ cos 2 x =
2
4

99. x =

π kπ
−π
π
+
∨x=
+ kπ ∨ x = + kπ
4 2
12
12

π
+ kπ
4

92. x = kπ

98. x =

93. x = kπ

101. x =

−π
π
+ kπ ∨ x = + kπ
4
4

102. x =

π
−2π
+ kπ ∨ x =
+ kπ ∨ x = kπ
6
3

105. x = kπ 106. x = 2kπ ∨ x =

107. x =

π
−π
−5π
3
+ kπ ∨ x =
+ 2kπ ∨ x =

+ 2kπ ∨ sin x =
2
6
6
4

108. x =

π
2π
π
5π
+ kπ ∨ x = ±
+ 2 kπ ∨ x = + 2 kπ ∨ x =
+ 2kπ
2
3
6
6

109. x =

π
π 2 kπ
+ kπ ∨ x = +
2
3
3

111. x =

π
+ 2kπ
2

113. x =

π 2 kπ
π
+
∨ x = + 2kπ
18
3
6

110. x =

112. x = kπ ∨ x = ±

94. x = 2kπ

π 2 kπ
π 2kπ
+
∨x= +
14
7
10
5

3π
14π
4π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ
5
5
5

104. x = kπ

kπ
7

96. x = 2kπ

100. x =

103. 0 < a < 1

89. x =

−π
+ kπ
4

π
+ 2k π
2

kπ
kπ
∨x=
3
4

π
−π
7π
+ 2 kπ ∨ x =
+ 2 kπ ∨ x =
+ 2kπ
3
6
6

114. x =



−2π
π
+ 2kπ ∨ x = + kπ
3
2

20

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

115. x =

π
5π
2 kπ
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ ∨ x =
6
6
3

117. x =

π
+ kπ
6

118. x =

120. x =

π kπ
+
20 10

121. x =

123. x = kπ

124. x =

2 kπ
5

116. x = 2kπ

119. x =

π 2 kπ
+
18
3

−π kπ
π
+
∨ x = + kπ
12
2
6

122. x =

π 2 kπ
π kπ
+

∨x= +
14
7
10 5

−π
−π
−1
+ kπ ∨ x =
+ kπ ∨ sin x =
4
2
2

−1 ± 21
10

126. x =

−π
4π 2kπ
+ kπ ∨ x =
+
3
9
3

127. x =

π

5π
+ kπ ∨ x =
+ 2kπ
6
6

128. x =

−π 2kπ
+
18
3

129. x =

π kπ
+
20 10

130. vô nghiệm

132. x =

−π
+ kπ
4

133. x =

134. x =

π
4
3
+ α + 2kπ ∨ x = α + k 2π với sin α = ,cos α =
2
5
5

135. x =

−π
+ kπ
4

138. x =

−π
π k 2π
+ k 2π ∨ x =
+
6
42
7

140. x =

−π
−π
5π

+ kπ ∨ x =
+ kπ ∨ x =
+ kπ
4
8
8

141. x =

π kπ
2π
+
∨x=
+ kπ
4 2
3

143. x =

−π
π
+ kπ ∨ x = + k 2π ∨ x = 2kπ
4
2

144. x =

π kπ
π 2 kπ
5π 2kπ

+
∨x= +
∨x=
+
8 4
18
3
18
3

125. x = 2kπ ∨ cos x =

131. x =

π
−π
+ kπ ∨ x =
+ 2kπ
6
3

3π
+ 2kπ
4

136. x = ±

π
+ kπ
4

137. x =

139. x =

142. x = ±



−π k 2π
+
18
3

π kπ
−π kπ
+
∨x=
+
18 3
6
2

2π
π
+ k 2π ∨ x = + kπ
3
4

21

Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

145. x =

π
−π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2 kπ
2
6

147. x =

π
5π
+ kπ ∨ x =
+ kπ
12
12

149. x =

kπ
2

151. x =

π
+ kπ
4

150. x =

146. x =

148. x = kπ ∨ x = ±

152. x =

π
5π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π
6
6

π
−π
+ k 2π ∨ x =
+ kπ
3
4

155. x = ±

π

+ kπ
3

156. x = π + k 2π ∨ x =

157. x =

π
5π
∨x=
3
3

158. x =

159. x =

π
3π
5π
7π
∨x=
∨x=
∨x=
2
2
2
2

161. x =

π
π
+ kπ ∨ x = ± + k 2π
4
3

163. x =

π
−π
7π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2 kπ ∨ x =
+ 2 kπ
2
6
6

165. x =

−π
π
5π
+ kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x =
+ 2 kπ
4
6
6

166. x =

π kπ
+
4 2

168. x =

π 2 kπ
π
+
∨ x = + kπ ∨ x = −π + 2kπ
3
3
2

171. x = kπ ∨ x =

154. x =

−π
+ kπ
4

170. x =

π
+ kπ
4
−π

+ kπ
4

kπ
kπ
∨x=
9
2

160. x =
162. x =

167. x =

π
+ 2 kπ
3

2π
+ k 2π
3

−π
2π
+ kπ ∨ x = ±
+ k 2π
4
3

153. x = ±

169. x = ±

5π
+ 2kπ
4

π kπ
−π kπ
+
∨x=
+
4 2
8
2

2π
π
+ kπ ∨ x = + k 2π
3
2

164. x =

−π
+ kπ
4

2π
+ kπ

3

π
π
+ kπ ∨ x = + kπ
4
3

172. x =

−π
π
5π
+ k 2π ∨ x = + kπ ∨ x =
+ kπ
2
12
12



22


Đà Nẵng_Tháng 04- 2010

Chuyên đề lượng giác

173. x =

π
4π k 2π
+ k 2π ∨ x =
+
3
15
5

174. x =

175. x =

π
5π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π
6
6

176. x = k 2π

177. x = kπ

178. x =

π
π
+ kπ ∨ x = ± + k 2π
2
3

−π
4π k 2π
+ k 2π ∨ x =
+
3
15
5

179. x =

π
5π
π
+ k 2π ∨ x =
+ k 2π ∨ x = + kπ
6
6
4

180. x =

π
2π
+ kπ ∨ x = ±
+ 2 kπ
4
3

181. x = ±

182. x =

π 2 kπ
5π 2kπ
+
∨x=
+
18
3
18
3

183. a. x =

184. x =

π
3π
5π
7π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ ∨ x =
+ 2 kπ ∨ x =
+ 2 kπ
8
8
8
8

185. x = ±
188. x =

π
+ kπ
3

186. x =

−π
+ 2 k π ∨ x = π + 2 kπ
2

π
+ kπ
6
−π
−1
+ kπ , b.
≤a≤2
4
2

π
+ ( 2k + 1) π
3

189. x = 2kπ

x
2

187. tan = 2 ± 3
190.

−10
≤ m ≤ −2
3

23