Hướng dẫn HS vẽ thêm yếu tố đường phụ tam giác đều để giải bài toán

Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

A: đặt vấn đề
I. Lý do và mục đích chọn đề tài :

1/ Lý do chọn đề tài:
Trong công cuộc đổi mới đất nớc, xây dựng Công nghiệp hoá - Hiện đại hoá đất
nớc, đòi hỏi ngành giáo dục nói chung và mỗi thầy, cô giáo nói riêng phải gánh vác một
trọng trách hết sức nặng nề đó là: đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài - tạo nguồn lao
động có ích cho xã hội, có khả năng gánh vác sứ mệnh lịch sử của đất nớc. Muốn ngành
Giáo dục - Đào tạo tồn tại, xứng đáng với vai trò và vị trí của nó trong xã hội thì các nhà
giáo phải luôn tự tìm tòi học hỏi đổi mới phơng pháp dạy học, nâng cao hiệu suất giờ lên
lớp. Có làm đợc nh vậy mới nâng cao đợc chất lợng đào tạo, gây dựng đợc uy tín với học
sinh, củng cố niềm tin đối với phụ huynh và toàn xã hội.
Là một giáo viên đợc phân công giảng dạy môn Toán lớp 7, tôi nhận thấy Hình
học 7 là một bộ môn kế tiếp của Hình học 6, là cơ sở, nền tảng cho các em học hình học
ở các lớp sau. Do đó việc dạy hình học ở lớp 7 có một vị trí đặc biệt quan trọng trong
quá trình dạy học môn Toán ở trờng phổ thông. Trong những năm qua tôi đặt ra cho tôi
những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu, nghiên cứu rút ra phơng pháp giảng dạy
thích hợp. Trong chơng trình Hình học 7, tuy là môn học vẫn còn mới mẻ đối với học
sinh, nhng vẫn có những bài tập khó mà các em còn lúng túng khi tìm hớng giải. Qua
nhiều năm giảng dạy và nhất là trong công tác bồi dỡng học sinh khá, giỏi tôi đã hệ
thống đợc ba loại bài tập khó đối với học sinh nh sau:
1 Loại bài tập có thể nhìn thấy đợc kết quả hoặc hớng chứng minh nhng rất
khó trình bày.
2 - Loại bài tập có đầu bài phức tạp, khó hiểu.
3 - Loại bài tập có đầu bài rất tờng minh, ngắn gọn nhng khó giải vì có quá ít dữ
kiện.
Đối với mỗi loại bài tập nói trên, ngời dạy phải định ra cho học sinh hớng giải
quyết nh thế nào cho phù hợp. ở đây tôi chỉ xin đề cập đến một phần của cách giải
quyết loại bài tập thứ 3: Loại bài tập có đầu bài tờng minh, ngắn gọn nhng khó giải vì

có quá ít dữ kiện. Loại bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết tạo ra các dữ kiện mới
bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ. Nhng thực tế, việc định hớng để xác định xem phải vẽ
thêm yếu tố phụ nh thế nào cho hợp lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và lúng túng
mà đây là một vấn đề mà giáo viên phải hình thành cho học sinh ngay từ lớp 7 để các em
1


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

phát triển đợc t duy hình học của mình, có khả năng tốt để tiếp tục tiếp cận giải quyết
các bài toán hình học ở các lớp trên một cách vững vàng và tự tin.
Vì vậy, trong quá trình nghiên cứu, tìm tòi và bồi dỡng học sinh khá giỏi tôi đã rút
ra đợc một chút ít kinh nghiệm về việc hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm yếu tố
phụ, cụ thể là vẽ thêm tam giác đều để giải một số bài toán về tính độ lớn của góc. Đó
chính là lý do mà tôi chọn đề tài:
"Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo của góc"
2/ Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm:
Tôi nghiên cứu, viết kinh nghiệm này hy vọng giúp các em học sinh lớp 7 (đặc
biệt là HS khá giỏi) có phơng pháp và hớng để giải các bài toán hình học.
Đồng thời qua kinh nghiệm này các em đợc hình thành và củng cố kiến thức, đợc
rèn luyện kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày một bài tập hình học có lô gíc. Giúp các
em mở mang tầm hiểu biết thực tiễn của mình, giúp giáo dục t tởng đạo đức và rèn
phong cách làm việc của ngời lao động mới: có kế hoạch, có định hớng hợp lý trớc khi
làm bất kỳ công việc nào đó.
Kinh nghiệm này, cho các thầy cô đang dạy ở trờng THCS ; cho các em học sinh
lớp 7 (đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi) ; các bậc phụ huynh cũng có thể sử dụng để
làm tài liệu tham khảo, giúp hớng dẫn học sinh vẽ những yếu tố phụ tam giác đều để
giải một số bài toán về tính số đo góc trong hình học 7.
B:

giải quyết vấn đề

I. Cơ sở khoa học:

1) Cơ sở lý thuyết:
Đối với các bài tập về tính số đo góc, trớc tiên ta cần hớng dẫn học sinh chú ý
đến những tam giác chứa góc có số đo xác định nh:
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền...
Sau đó hớng dẫn học sinh nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông qua mối liên
hệ với các góc của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên
đồng thời giáo viên phải hớng cho học sinh suy nghĩ khai thác định hớng hết các phơng
án giải quyết có thể thông qua quá trình phân tích đề bài toán.
2


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

2) Cơ sở thực tiễn:
Hớng dẫn học sinh giải bài tập hình học giữ vai trò quan trọng trong việc thực
hiện mục đích việc dạy học môn Toán ở trờng phổ thông. Củng cố, ôn tập, khắc sâu, hệ
thống hoá kiến thức và mở rộng các kiến thức, rèn kỹ năng vẽ hình, kỹ năng trình bày,
kỹ năng tính toán, vận dụng các kiến thức vào thực tế và các môn học khác, rèn tính tích
cực học tập của học sinh.
Bài toán tính số đo góc là một trong những dạng toán khó, đòi hỏi học sinh phải
có khả năng t duy hình học khá, có kỷ năng tính toán và vận dụng lý thuyết cơ bản. Tuy
nhiên trên thực tế số học sinh có t duy hình học ít, đại đa số chỉ giải đợc những dạng bài
tập đơn giản, các em thờng lúng túng và lo ngại khi gặp các loại bài tập có đề bài tờng

minh, ngắn gọn nhng ít dữ kiện, khi giải phải vẽ thêm các yếu tố phụ (kể cả những học
sinh khá, giỏi).
Trớc khi áp dụng kinh nghiệm vào việc giảng dạy tôi cho học sinh làm bài kiểm
tra khảo sát với nội dung về "Tính số đo góc"
Kết quả kiểm tra: với 20 bài kiểm tra (đối tợng học sinh khá, giỏi) chỉ có 5 em
biết tìm ra hớng giải giải bài toán để tính số đo góc theo yêu cầu, số còn lại không tìm ra
hớng giải quyết bài toán.
Nôi dung khảo sát:
o
ã
ã
Trong cân ABC có BAC
= 1000 . Kẻ tia Bx sao cho BCx
= 300 = 30 , tia phân giác của
ãACB cắt tia Bx ở I.
a) Chứng minh tam giác ACI cân.
b) Tính ãACM
Kết quả cụ thể (số học sinh giải đợc câu b. Tính ãACM
Số học sinh làm bài
khảo sát

Số HS tìm ra hớng giải bài
toán (câu b)

Sô HS không tìm ra đợc hớng giải bài toán (câu b)

20 học sinh

5 học sinh, tỷ lệ 25%

15 học sinh, tỷ lệ 75%

II. Nội dung :

1- Ví dụ 1 :
Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc ở đáy bằng 800.
Trên AB lấy D sao cho AD = BC. Tính số đo góc ACD.
* Giáo viên có thể gợi ý:
Tam giác cân ABC đã cho có góc 800, 800, 200.
Mà 800 200 = 600 là số đo góc của tam giác gì?
(HS: 600 là số đo các góc của tam giác đều)
Từ đó hớng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều
nào đó, xem có nhận thấy điều gì không?
Từ sự gợi ý trên, đa số học sinh đều làm theo hai cách sau:
- Cách 1:

A

D

B

800

C

3


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

HD học sinh tìm tòi lời giải
- Vẽ đều BEC nằm trong tam giác ABC
để tạo ra gì?
- Khi đó ECA và DAC nh thế nào với
nhau?
ã
ECA
= 200 = àA

1ã
ãra điều
- TừãACD
đó suy
= EAC
= gì?
BAC
2
- So sánh ABE và ACE?

Lời giải
Vẽ đều BEC nằm trong tam
ã
giác ABC để tạo ra ECA
= 200 = àA
Khi đó ECA = DAC (c.g.c)
D
vì: EC = DA (= BC)
AC chung
=>

(1)

A

E

Xét ABE và ACE có:
800
8
C
AB = AC (gt)
0
0
EB = BC ( BEC đều)
B
AE chung
ã
- ABE = ACE suy ra EAC
bằng góc ABE = ACE (c.c.c)
ã
ã
nào?
BAE
(2)
= EAC
1
0
ã
ãnhiêu?

Vậy số đo gócACD bằng
bao
Từ (1) và (2) suy ra
ACD
= BAC
= 10
2
- Cách 2:
A
HD học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải
E
- Vẽ tam giác đều EAD nằm ngoài tam Vẽ tam giác đều EAD
giác ABC để tạo ra điều gì?
nằm ngoài tam giác ABC
D
0
ã
à
- EAC
nh thế nào với tạo ra
.
EAC
=và80= CBA
B
nhau? Vì sao?
Khi đó, ta có EAC = CBA
ã
- EAC = CBA ta suy ra ECA
bằng (c.g.c) vì: EA = BC (= AD)

?
1
2
ã
à
góc nào? EAC
=B
AC = AB (gt)
800
ãECA = BAC
ã
B
C

(1)
- Em có dự đoán gì về góc ECD và góc Xét CDA và CDE có:
ã
ã
DAC? Hãy c/m ACD
.
DA = DE ( AED đều)
= ECD
CD cạnh chung
CE = CA ( EAC = CBA)
CDA = CDE (c.c.c)
ã
ã
ACD
(2)
= ECD

ã
ã
ã
Mà ECA
nên từ (1) và (2) suy
= ECD
+ DCA
1ã
0
ã
ã
ra ACD = ECD
.
= BAC = 10
2
0
ã
Vậy ACD
= 10
* Tơng tự nh hai cách trên, ta có thể vẽ thêm tam giác đều chứa một trong hai
đoạn thẳng AB = AC hay không? Nếu đợc hãy nêu cách vẽ? (Có thể học sinh không
nhận thấy thì giáo viên gợi ý)
- Cách 3 :
4
1ã
ã
ACD
= BAC
= 10 0
2

Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

HD học sinh tìm tòi lời giải

Lời giải

A

D

E
1
2

?

- Vẽ tam giác đều AEC nằm ngoài ABC,
800
B
C
tạo ra đợc góc nào bằng góc ABC?
- So sánh hai DAE và CBA?
Vẽ tam giác đều EAC nằm ngoài tam giác
0
ã
à
ABC, tạo
DAE

= 80 = B
Xét DAE và CBA có:
AE = BA (= AC)
ã
à
DAE
=B
AD = BC (gt)
DAE = CBA (c.gc)
- DAE = CBA ta suy ra đợc điều gì?
DE = AC (cạnh tơng ứng) và
o
- Tam giácDEC là tam
giác gì? oVì sao?


E1 = A1 = 20

(A

1

= 20

)

Xét DEC có: DE = EC (= AC)
=> DEC cân tại E , có góc ở đỉnh

ã

à 1 = 60 o 20 o = 40 o
E2 = AEC
E
Góc đáy ECD = (1800 400) : 2 = 700
ã
ã
Do đó DCA
= DCE
ãACE = 700 600 = 100
A

- Cách 4 :
HD học sinh tìm tòi lời giải

1
Lời giải

A

D

D

1

2

E

?

1

?
1

0

80
0
B
- Vẽ tam giác đều ABE (E, C nằm cùng
B 80 C
C
B
phía đối với AB) nhằm tạo ra điều gì?
Vẽ tam giác đều ABE (E, C nằm cùng
0
ã và=20DAC?
- Có nhận xét gì về CBE
CBE
= àA Vì phía đối với AB) tạo ra
sao?
Khi đó CBE = DAC (c.c.c) vì:

5
1ã
ã
ACD
= BAC

= 10 0
2

E


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

AD = BC (gt)
BE = AC (= AB)

0
ã CBE==BAC
ã DAC
- CBE
(= 20suy
) ra điều gì?
- AEC là tam giác gì? Vì sao?
=> ACD = BEC
(1)
ã
- Hãy tính CAE ? => góc ở đáy của AEC cân tại A (AE = AC (= AB)),
ã
ã
ã
AEC bằng bao nhiêu?
có CAE
= BAE
- BAC
= 600 - 200 = 400

- Vậy góc ACD = ?
Góc ở đáy ãACE = (1800 400): 2 =
700
BEC = AEC - AEB = 700 - 600 =100 (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACD = 100

* ở ví dụ này, đề bài cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là: AB = AC; AD = BC.
Nh vậy có thể dẫn dắt học sinh tìm ra 4 cách giải: Vẽ tam giác đều có một cạnh là AC;
vẽ tam giác đều có một cạnh là AB; vẽ tam giác đều có một cạnh là BC; rồi AD.
Qua ví dụ bớc đầu các em đã định hình đợc phơng pháp vẽ tam giác đều và các
cách triển khai theo phơng pháp đó.
2) Ví dụ 2 :
Cho ABC vuông, cân tại A, điểm E nằm trong tam giác sao cho
B
ãEAC = ECA
ã
= 150 . Tính ãAEB = ?
* Hớng dẫn :
ã
ã
GV: Em có nhận xét gì về số đo các góc BAE
và EAC
?
0
0
ã
ã
HS: BAE
= 75 , EAC
= 15

ã
ã
Tính BAE - EAC ?
ã
ã
HS: BAE
- EAC
= 750 150 = 600 là số đo góc của tam giác đều
E
?
ã
0 ã
0
(cũng có em nhận xét: BCA = 45 , ECA = 15
15
15
A
C
và 450 + 150 = 600).
GV: Tơng tự nh ví dụ 1, bài toán đã cho mấy cặp đoạn thẳng bằng nhau?
Đối với những học sinh cha phát hiện đợc điều gì ta có thể hớng dẫn học sinh tính số đo
các góc trong hình rồi tìm mối liên hệ giữa chúng và các yếu tố đã cho trong bài. Từ đó
hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ nh sau:
- Cách 1 :
B
HD học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải
0

0

Tơng tự ví dụ 1, ta có thể vẽ thêm tam giác
1 2
đêu nào?
I
- Vẽ tam giác đều AIE nằm trong ABE
E
?
để tạo ra điều gì?
15
15
A
C
- Khi đó BAI và CAE nh thế nào? Vì
sao?
Vẽ tam giác đều AIE nằm trong tam giác
0

0

6
1ã
ã
ACD
= BAC
= 10 0
2


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

- Từ đó suy ABI là tam giác gì?
- Góc ở đáy của ABI bằng bao nhiêu?
- Hãy tính I1 và I2?

$I1 = 180 o 2.15o = 150 o
- Muốn tính AEB ta cần tính góc nào?
o nh thế
o
$I 2 = tính
- Muốn
làm

360oBEI
ta
150
+ 60 nào?
= 150o
- Hãy c/m AIB = EIB.

(

)

$I1 = $I ( = 150 0 )
2
ã
ã
BEI
= BAI

= 150

ã
ã
ABE tạo ra BAI
= EAC
= 150
Khi đó BAI = CAE (c.g.c) vì :
AB = AC (gt)
ã
ã
BAI
= EAC
( = 150 )
AI = AE (AIE đều)
ABI cân tại I (vì CAE cân tại E) và
có góc ở đáy ABI = BAI = 150
(t/c tổng ba
góc trong tam giác)

(vì AIE = 600 )
Xét AIB và EIB có:
AI = EI ( AKE đều)
BI chung
AIB = EIB (c.g.c)

Vậy AEB = IEA + BEI = 600 + 150 = 750

- Cách 2:
HD học sinh tìm tòi lời giải

B

Lời giải

I
?
1

A

150

E2
150

C

- Vẽ đều ICE nằm phía ngoài AEC, Vẽ tam giác đều ICE nằm phía ngoài
ã
ta có điều gì?
AEC, tạo ra ãACI = BAE
= 750 .
- Khi đó ICA và AEB nh thế nào? Vì Khi đó ICA = AEB (c.g.c) vì:
sao?
IC = AE(= EC, AEC cân tại E)
ãACI = BAE
ã
- ICA = AEB suy ra AEB bằng góc
nào?

AC = AB (gt)
- Để tính AEB ta cần tính góc nào?
ãAEB = ãAIC (1)
o
o
o
o
ã bằng
= 60 Có:
- AIC
AEC
= tổng
180 những
2.15góc=nào?
150 ; E
2
- Đã có EIC = 600, vậy ta cần tính góc AIE. ãAEI = 3600 (1500 + 600) = 1500
Muốn tính AIE ta làm nh thế nào?
AEI = AEC (=1500)
- Hãy c/m AEC = AEI?
Xét AEC và AEI có:
EC = EI (CEI đều)
ãAEI = ãAEC (c/m trên)
AE chung
7
1ã
ã
ACD
= BAC
= 10 0

2


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

AEC = AEI (c.g.c)
ã
ã
AIE
= 150
= AIC
AIC = 150 + 600 = 750 (2)
Từ (1), (2) suy ra AEB = 750
(Hoàn toàn tơng tự giáo viên gợi ý để học sinh phát hiện thêm các cách giải khác)
- Cách 3:
B
Vẽ tam giác đều AIB (I, C nằm cùng phía đối với AB)
ã
ã
tạo ra IAE
= EAC
= 150
Khi đó : EAC = EAI (c.g.c) vì :
AC = AI (= AB)
ã
ã
IAE
= EAC
( = 150 )

EA chung
EI = EC (cạnh tơng ứng)
A
Xét ABE và IBE có:
AB = BI ( ABI đều)
AE = EI (= EC)
BE chung
ABE = IBE (c.c.c)
1ã
1
ã
ãABE = IBE
= ABI
= .60 o = 30o
2
2
ã
Nh vậy BEA có ãABE = 300 ; BAE
= 750
ã
BEA
= 1800 - (750 + 300 ) = 750
* Hoặc với cách vẽ nh trên học sinh có thể trình bày nh sau:
Khi đó : EAC = EAI (c.g.c) vì :
AC = AI (= AB)

I

?

E
C

ã
ã
IAE
= EAC
( = 150 )

EA chung
EK = EC (cạnh tơng ứng) (1)
AKC có AI = AC (= AB) => AIC cân tại A.
ã
ã
ã
= IAE
+ EAC
Lại có góc ở đỉnh IAC
= 150 + 150 = 300
ãACI = ãAIC = (1800 300) : 2 = 750

ã
ã
mà ECA
= 150 nên ECI
= 600 (2)

Từ (1) và (2) suy ra IEC đều IC = EC => AE = IC (3)
ABE = CAI (c.g.c) vì :
AB = AC (gt)

AE = IC (theo 3)
ã
BAE
= ãACI (=750)
8


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"
ãAEB = ãAIC = 750

- Cách 4 :
Vẽ tam giác đều ACI ra phía ngoài ABC
ã
ã
tạo ra EAI
= BAE
= 750
Khi đó BAE = IAE (c.g.c) vì :
AB = AI (= AC)
AE chung
ã
ã
(750)
BAE
= IAE

B

?

E
1 2

1 = E
vi AEI = CEI (c.c.c)
Mà E

A

2

C

= 1 ãAEC = 1 .150 o = 75o
E
1
2
2
ã
ã
IAE cân tại I nên BAE cân tại B => BEA
= 750
= BAE
- Cách 5:
B
Vẽ tam giác đều AHC trùm lên EAC,
ã
ã
30
tạo ra HCB

= ECA
= 150
H
ã
Từ H kẻ tia HM sao cho MHC
= 15o
15
thì MHC = EAC (g.c.g) vì:
30
ã
ã
(=150)
HCM
= ECA
M
HC = AC (AHC đều)
E

I

0

0

0

ã
ã
MHC
= EAC

= 15

0

?

150

A
C
HM = AE (1)
ã
Mặt khác ABH cân tại A (có AB = AH = AC), có góc tại đỉnh BAH
= 30o
góc ở đáy bằng 75o.
0
0
0
ã
ã
ã
ã
ã
Do đó HBM
(do HMB
kề bù với HMC
)
= HBA
ãABC = 75 - 45 = 30 = HMB
HMB cân tại H HB = HM => HB = AE (theo 1)

Xét ABE và BAH có:
AB chung
AE = BH (c/mtrên)

ãABH = BAE
ã
= 750

ABE = BAH ãAEB = ãABH = 750 .
* ở ví dụ này, đầu bài cũng cho hai cặp đoạn thẳng bằng nhau là:
AB = AC; EA = EC. Do vậy cũng có thể giải bài toán đó theo các cách: Vẽ tam giác
đều có một cạnh là AE; hoặc EC; hoặc AC hoặc AB.
Nh vậy với sự gợi ý, hớng dẫn của giáo viên, học sinh đã biết phân tích đầu bài,
tìm đợc mối liên hệ giữa các dữ kiện của giả thiết, từ đó định hớng đợc cách giải.
3 - Ví dụ 3:
Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc ở đáy bằng 50 o. Lấy điểm I trong tam giác, sao
ã
ã
cho IBC
= 10o; ICB
= 30o. .
Tính số đo các góc của ABI.
9


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

*Phân tích tìm hớng giải quyết:
ABI có: ãABI = 50o 10o = 40o
ã .

ã
Vậy chỉ còn phải tính hai góc còn lại là: BAI
và BIA
o
o
Theo bài ra, ta thấy ABC có các góc 50 , 50 , 80o
ã
= 10o, ãABC = 50o, mà 50o + 10o = 60o
IBC
chính là số đo góc của tam giác đều.
Từ đó có thể giải bài toán trên theo cách sau:
- Cách 1:
HD học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải

A
?

I

?
?

B

C

300

100

M
12

A
?

- Từ giả thiết bài toán, ABC có
ABC = ACB = 500 ta có thể vẽ thêm tam
giác đều nh thế nào?
- Vẽ đều BCM trùm lên ABC, ta có
điều gì?
- Với cách vẽ trên ngoài việc tạo ra
ãABM = IBC
ã
= 100 thì còn tạo ra đợc cặp
tam giác nào bằng nhau?
ã
ả 1 = ICB
à1= M
à = 30o M
= 30o
- Có M
2
khi đó ABM và IBC nh thế nào? Hãy
à 1 minh?
à = 30o
M
= M
chứng

2
ã ra điều
ả đó1 suy
- TừM
gì?o
= ICB
= 30

- ABI cân tại B, có góc ở đỉnh ãABI = 400
suy ra các góc còn lại bằng bao nhiêu?

- Cách 2:
HD học sinh tìm tòi lời giải

- Bài toán cho AB = AC, vậy ta có thể vẽ
thêm các tam giác đều chứa một trong hai
cạnh AB hoặc AC hay không?
- Nêu cách vẽ? (HS nêu thêm 2 cách giải)

100

?
?

B

I
300

100

C

Vẽ đều BCM trùm lên ABC, tạo ra
ãABM = IBC
ã
= 100
Dễ thấy MAB = MAC (c.c.c) vì:
MB = MC (BCM đều)
AB = AC (gt)
AM chung

Xét ABM và IBC có:
BM = BC (BCM đều)
ã
ã
(=100)
MBA
= IBC
ABM = IBC (g.c.g)
AB = IB => ABI cân tại B, có góc ở
đỉnh ãABI = 40o
ã
ã
= BIA
= ( 1800 400 ) : 2 = 700
BAI
Vậy các góc của ABI là 40o; 70o; 70o.
A

Lời giải

?

?

B

?

I
300

100

C

E

10


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

- Vẽ đều ABE (E, C nằm cùng phía đối Vẽ đều ABE (E, C nằm cùng phía đối
ã
ã
với AB) để nhằm mục đích gì?
với AB), tạo ra EBC
= IBC

= 100 và tạo ra
AEC cân tại A, có góc ở đỉnh
ã
ã
ã
= BAC
= 80o 60o = 20o
EAC
BAE
Góc ở đáy bằng (180o 20o) : 2 = 80o
ã
- Từ đó, hãy so sánh IBC và EBC?
BCE
= 80o 50o = 30o
Do vậy IBC = EBC (g.c.g) vì:
ã
ã
IBC
= EBC
= 100

BC chung
Vậy số đo các góc của ABI là bao
nhiêu?

ã
ã
ICB
= BCE
= 300

BI = BE BI = BA (BA = AE)
Khi đó ABI cân tại B Các góc là 40o;
70o; 70o.

Tơng tự cách 2, ta có cách giải thứ 3 nh sau:
- Cách 3:
Vẽ đều AEC (E, B nằm cùng phía đối với AC),
ã
ã
tạo ra BCE
= IBC
= 100 và tạo ra
ABE cân tại A có góc ở đỉnh bằng
80o 60o = 20o
góc ở đáy bằng 80o
ã
?
EBC
= 80o 50o = 30o
10
B
Do đó IBC = ECB (g.c.g) vì
E
ã
ã
(=100)
BCE
= IBC
BC chung

ã
ã
(=300)
EBC
= ICB
IB = EC = AB (EC = AC)
ABI cân tại B. Vậy các góc của ABI là: 40o; 70o; 70o.
0

A
?

?

I
300

C

* ở ví dụ này, có hai đoạn thẳng bằng nhau là AB = AC. Do đó khi vẽ thêm tam giác
đều dựa trên lần lợt một trong hai cạnh đó, ta sẽ đợc hai cách: cách 2, cách 3. Ngoài ra
nếu vẽ tam giác đều mà cạnh của nó không bằng đoạn nào khác thì cũng có thể giải
quyết đợc: cách 1, nhng cũng có thể không, vì sẽ không đủ dữ kiện (ví dụ: vẽ tam giác
đều có một cạnh là IC hoặc BI).
Qua ví dụ này, có thể cho học sinh thấy rằng cách 2 và cách 3 là tơng đơng nhau: đều
tạo ra tam giác đều có cạnh bằng một trong hai cạnh bên của tam giác cân đã cho, từ
đó dẫn đến cạnh BI bằng một cạnh nào đó của tam giác đều vừa tạo ra để suy ra tam
ã
giác ABI cân. Còn nếu đi vẽ tam giác đều có một cạnh là IC để tạo ra góc bằng ICB
hoặc vẽ tam giác đều có một cạnh là BI để tạo ra góc bằng ãABC thì sẽ không giải quyết

đợc bài toán, vì vẫn không đủ dữ kiện. Vì vậy, giáo viên phải lu ý để học sinh thấy đợc
điều này để có cách vẽ cho thích hợp.
11


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

4- Ví dụ 4:
1
Tính số đo Bà của ABC, biết Cà = 750, đờng cao AH = cạnh BC.
2

* Giáo viên hớng dẫn học sinh phân tích tìm hớng vẽ thêm yếu tố phụ:
A
ã
AHC vuông tại H có C = 75 o CAH
= 15o
Mà 75o 15o = 60o là số đo góc của tam giác đều.
Từ đó hớng dẫn HS vẽ thêm tam giác đều. Có các
cách vẽ nh sau:
75
C
B
H
- Cách 1:
A
HD học sinh tìm tòi lời giải
Lời giải
0

- Vẽ đều AEC nằm trong ABC, ta đợc gì? Đồng thời dự đoán dạng của BEC.
- Có ECB = 150, AC = EC, AH =

E
B

1

2

750

K

H

C

1
BC Vẽ tam giác đều AEC nằm trong ABC,
2
ã
ã
tạo ra: ECB
= CAH
= 150

(gt), AH BC (H BC). Trong BEC, Kẻ EK BC (K BC)
hãy nêu cách tạo ra một tam giác bằng tam Khi đó ta có EKC = CHA (cạnh
giác AHC.

huyền - góc nhọn) vì có:
EC = AC (AEC đều)
ãECB = CAH
ã
(=150)
=> KC = AH
1
1
AH = BC KC = BC
mà
nên K là
2
2
trung điểm của cạnh BC, do đó EBC
cân tại E (EK vừa là đờng cao vừa là trung
0
Có ABC = ABE + CBE, EBC = 15 . Vậy ta tuyến)
chỉ còn tính ABE.
0
ã
ã
Quan sát hình vẽ và các yếu tố đã biết có => EBC = ECB = 15
Xét AEB và CEB có:
nhận xét gì về AEB và CEB? Hãy
EC = EA (AEC đều) (1)
chứng minh điều nhận xét đó.
BE cạnh chung (2)
ã
= 180o 2.15o = 150o
BEC

ã
= 360o (60o + 150o) = 150o
BEA
ã
ã
=> BEC
= BEA
(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AEB = CEB
(c.g.c) => ABE = CBE = 150
Vậy ABC = 2. 150 = 300
(Hoặc từ BEC = BEA AB = BC
( ABC cân tại B có góc ở đáy bằng 75o)
ã
ABC
= 180o 2.75o = 30o

12


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

- Cách 2:
HD học sinh tìm tòi lời giải

Lời giải
E

A

K

- Tơng tự nh cách trên, ta có thể vẽ thêm
tam giác đều nào? Nêu cách vẽ.
- Vẽ tam giác đều BEC (E, A cùng phía đối
với BC) để tạo ra điều gì?
o
ãminh
= 15
= CAH
- Kẻ AK EC (K ãACE
EC).
Chứng
AKC = AHC.
- Từ đó suy ra AEC cân.

B

2
1

1

?

750

H

C

Vẽ tam giác đều BEC (E, A nằm cùng phía
đối với BC) tạo ra
Từ A kẻ AK EC thì vuông AKC =
vuông CHA
(cạnh huyền, góc nhọn) vì:
AC chung
ãACK = CAH
ã
= 150

KC = AH, mà AH =
KC =

1
BC
2

1
1
BC = EC
2
2

- Hãy so sánh ABE và ABC?

=> K là trung điểm của EC
=> EAC cân tại A (AK vừa là đờng cao
vừa là đờng trung tuyến)
Xét ABE và ABC có:

BE = BC (BEC đều)
AB chung
AE = AC (AEC cân tại A)

ã
=B
= 1 CBE
B
= 30o
1
2
2

Vậy ABC = 300
ở ví dụ này bài cho không có cặp đoạn thẳng nào bằng nhau thì phải vẽ tam giác
đều sao cho liên hệ đợc các dữ kiện của giả thiết.
Nh vậy qua các ví dụ trên, giáo viên đã hình thành cho học sinh phơng pháp vẽ
thêm tam giác đều từ việc liên hệ các dữ kiện của giả thiết.
Chú ý: Sau khi dạy các ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng
kết dạng bài tập về tính số đo góc giải bằng phơng pháp vẽ tam giác đều, sau đó có thể
chốt lại cho các em là:
+ Khi xét mối liên quan giữa các góc, nếu phát hiện ra góc của tam giác đều nên
nghĩ đến cách vẽ thêm tam giác đều để tạo ra những góc bằng góc đã cho. Hơn nữa việc
13


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

vẽ thêm tam giác đều còn tạo đợc các đoạn thẳng bằng nhau, hoặc tạo đợc một đờng có
nhiều tính chất, từ đó dễ dàng phát hiện đợc những yếu tố bằng nhau, liên kết với nhau

để tìm ra lời giải.
+ Nếu vẽ thêm tam giác đều mà cạnh của nó bằng nhau và bằng các đoạn thẳng
khác trong bài thì bao giờ cũng giải quyết đợc bài toán.
+ Qua các ví dụ này, ta cũng cần cho học sinh thấy rằng, có thể có nhiều cách để
tạo ra tam giác đều, nhng nên chọn cách nào dẫn đến chứng minh bài toán đơn giản
hơn.
iii. bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trong hình vuông sao cho
ã
ã
MAB
= MBA
= 150 . Tính số đo các góc của tam giác MDC.
Bài 2:
= 60o ; C
= 45o. Trong ãABC vẽ tia Bx sao cho
Cho tam giác ABC có B
ã
ã
= 15o. Đờng vuông góc với AB tại A cắt Bx ở I. Tính ICB
.
CBx
0
ã
Bài 3: Cho tam giác ABC (AB = AC), BAC
= 40 . Trên nữa mặt phẳng bờ BC
0
ã
không chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho CBx = 10 . Trên tia Bx lấy điểm E sao cho

ã
BE = BA. Tính số đo BEC
?
Iv. thực nghiệm khảo sát

Với các phơng pháp phân tích, hớng dẫn học sinh nêu trên hầu hết học sinh đều
biết định hớng vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán, biết cách chứng minh hình (không
chỉ riêng dạng bài toán tính số đo góc). Đặc biệt sau khi áp dụng kinh nghiệm này để
bồi dỡng học sinh trong đội tuyển toán 7 giải bài toán hình học bằng phơng pháp phân
tích đi lên thì tôi đã thu đợc kết quả nh sau:
Học sinh khá, giỏi khối 7:

Tìm ra hớng và giải hoàn

20 em

chỉnh

Khi cha áp dụng KN
Khi áp dụng KN

Không tìm ra hớng giải

5 em: 25%

15 em: 75%

20 em: 100%

0 em: 0%

C: Kết luận
Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số
đo góc" đã mang lại hiệu quả rất tốt cho bản thân giáo viên và học sinh của mình:
- Đối với giáo viên: Sau khi áp dụng kinh nghiệm, tôi đã mạnh dạn hơn khi đa ra
các dạng bài tập (từ dễ đến khó) để dạy cho mọi đối tợng học sinh nói chung và học sinh
khá giỏi nói riêng, từ đó giúp cho bản thân có tự tin trong giảng dạy, có thêm động lực
thúc đẩy việc tìm tòi học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Đồng thời kinh
14


Kinh nghiệm: "Hớng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ - tam giác đều để tính số đo góc"

nghiệm này có thể sử dụng cho tất cả giáo viên giảng dạy môn toán ở các khối lớp cả về
Đại số và Hình học.
- Đối với học sinh: Các em đã có kĩ năng khá tốt về chuyên đề này. Đặc biệt đã
khắc phục đợc tình trạng các em ái ngại và ''sợ '' các bài toán hình học phải sử dụng
thêm yếu tố phụ. Giờ đây, các em đã rất tự tin - yêu thích và say mê, sáng tạo, chủ động
tìm tòi các phơng pháp giải và đã giải thành thạo các dạng bài toán hình học, biết vận
dụng linh hoạt hơn các phơng pháp giải các bài toán hình.
Với kinh nghiệm và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế, chắc chắn rằng bài
viết còn nhiều thiếu sót. Các phơng pháp giải và hệ thống bài tập minh hoạ tôi trình bày
ở trên chắc rằng cha đầy đủ và thật hay. Bản thân tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chỉnh
lí của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để bài viết đạt hiệu quả tốt hơn. Nhằm
đáp ứng mục tiêu nâng cao chất lợng giáo dục theo phớng cải cách giáo dụ và đổi mới
phơng pháp dạy học ở trờng THCS
Ngày 20 tháng 4 năm 2009

15