Các bài toán về hình học phẳng tập 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (22.93 MB, 287 trang )

ĐẠI H Ọ C V I N H
THƯ V I Ệ N

516.220 76
PRA(l)/94
DT 002494

v . v . PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VẼ HĨNH HOC PHANG
NHÀ XUẤT BẢN HÁI PHÒNG

TẬP

v.v PRAXOLOV

CÁC BÀI TOÁN
VÈ HÌNH HỌC PHANG
•
(GỒM 2 TẬP)

TẬP ĩ

Người dịch: H O À N G ĐỨC C H Í N H
NGUYỄN ĐẺ
Hiệu đinh:

P.T.S N G U Y Ễ N V I Ệ T H Ả I

Dùng cho học sinh khá và các lóp chuyên, cnợn.
Là tài liệu tham khảo cho các thày giáo và sinh
viên khoa toán bậc Cao đẳng và Oại học.
Có nhiều dê thi chọn lọc quõc gia và quốc tẽ.

NHÀ XUẤT BẢN HẢI PHONG

1994

LỜI
(Trích

NÓI
lời tác

ĐẦU
già)

Tập bài tập này dùng cho học sinh cấp 2 va 3, các giáo viên phổ thông,
cho các giáo viên dạy các lớp chuyên, chọn, cho sinh viên các trường đại học
và cao đáng sư phạm và cho tất cả những ai yêu thích hình học sơ cấp. Trong
tập bài tập này gôm nhiêu bài tập có nội dung và phương pháp giải dễ hiểu,
độc đáo, đôi khi cao hơn mức độ bình thường cùa chương trình hình học phổ
thông, ơ đáy có nhiêu bài toán đã được dùng để thi học sinh giỉi các cấp. à
các mức độ và thời gian khác nhau, nhiêu bài toán trong các tài liệu thi và
bôi dương học sinh giỉi các cấp cùa nhiêu nước trên thế giới.
Tập tài liệu %ôm 2 tập, mồi tập cỉ khoảng 600 Sai tập. Nó không chỉ được
coi là một tập tư liệu bài tập hình học sơ cốp, mà còn là một cuốn cám nang
đê tự bôi dưỡng, nâng cao thêm vê hình học.

Dê giúp bạn đọc sứ dụng một cách dễ dàng, nhanh chóng tìm được các
bài tập ức một đê tài nào đó còn quan tăm, cuốn sách được chia ra làm 29
chương mồi chương gôm từ 5 đến 10 mục nhỉ. Cơ số đề chia ra như vậy lờ
dựa rối nôi dung bài tập và nhất là dựa (lào phương pháp để giòi các bài tập
hỉnh học-. Trong mỗi mục các bài toán đưoc xếp từ đơn giản đến phức tạp.
Mồi c hương được bổi đàu bòng tóm tát một số kiến thức lý thuyết căn nám
vững tít' giai toán l à một số bài toán mó đón • lò các bài toán đơn giản

nhưng

thìtờny

hay được SỪ dụng đê giải

các bài toàn khác phức tạp hơn. Salt mỗi

chứâhi

có một su bài tạp đi' bạn đọc tự giải và lời giai (f'â\ đủ các bài tọp trong

chương.

v.v. Praxolov

3

LỜI

NGƯỜI

DỊCH

Bằng kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của bản thân, chúng tòi cho rằng
cuốn Bài tập hình học phăng cua tác giả V. V. Praxolov là Ì tập tài liệu qui che
các đối tượng đã nêu ờ lời nói đầu, nhất là cho giáo viên và học sinh chuyên
chọn phổ thông. Đây là một tập sách khống chớ là một "kho" tư liệu vê bài
tập hình học phăng nhưng được phàn loại và sáp xếp rất có khoa học và trình
bày trong sáng, rõ ràng nên có thể coi nó là một cuốn sổ tay hình học sơ cấp
để tra cứu, tham khảo đoi với giáo viên, để tự học, tự nâng cao đối với học
sinh vê tất cả các mặt: kiến thức, nội dung, dạng bài và phương pháp giải.
Nó cũng rất căn cho cá các giáo viên phổ thòng dạy lớp thường, các sinh viên
đại học và cao đẳng sư phạm dù ng để học tập, để bói dương năng cao, tự mình
thấy được cái đa dạng, phong phú vê thể loại, cái đẹp qua lời giải các bài toán
hình, giúp mình gân gũi uàyẽu mến hình học hơn.
Cuốn sách này gom 1318 bài toán cùa 29 chương trong đó có một số phần
(một số chương, một số đê mục) còn ít tư liệu và tí được đê cập trong các tài
liệu hiện có cho đối tượng phổ thông ở nước ta, như: vecto, biến hớnh, tọa độ,
các phương pháp qui nạp hình học, nguyên tắc Diricle, phương pháp cực hạn,
chia, cái, phủ, tổ hợp, trò chơi, và càng hiếm hơn vè áp dụng phép chiếu, biến
đổi afin, biến đổi xạ ánh, phép nghịch đảo, điểm bất biến, sử dụng tô màu,
tinh chẵn lẻ để giải bài toán hình. Tập sách này có thể coi là nguồn bổ sung
căn thiết và kịp thời giúp việc dạy và học hình học ỏ phổ thông được tốt hơn.
Phương pháp trình bày, sắp xếp cùa cuốn sách rất khoa học, hoàn chớnh,
dễ sử dụng và tính hiệu quả cao. Người dịch đã hết sức cố gắng thể hiện ý
tưởng đó, nhitng do khả năng có hạn nôn không tránh khói thiếu sót. Rất
mong ý kiến chớ bảo cùa độc giả Thư góp ý xin gửi về phòng PTTH
sà
Giáo dục - Dào tạo Hải Phòng.

Chương I
T A M GIÁC ĐÒNG DẠNG
C Á C K I Ế N T H Ứ C C ơ BÀN
1. Tam giác A B C đ ô n g dạng v ớ i tam giác A i B i C i ( k í h i ệ u A A B C _ AA1B1C1)
k h i va chi khi thỏa mãn m ộ t trong các đ i ề u k i ệ n tương đ ư ơ n g sau :
a) A B

BC : C A = A1B1 : B i d : C1A1.

b) AB : B e = A1B1 : B i C i và
c) A B C = A1B1C1

và

A B C = A1B1C1.

BÁC =

BiAid

2. Nêu các đường thẳng song song cắt ra k h ỏ i góc đ i n h A các tam giác AB1C1
và AB2C2, t h ì c á c tam g i á c đ ó d õ n g dạng và A B i : A B 2 = A C i : AC2 (các đ i ế m
B i và B2 nằm t r ê n một cạnh cùa góc, C i và C2 nằm t r ê n cạnh kia).
3. Đường trung binh của tam giác là đoạn thẳng n ố i trung đ i ể m hai cạnh của
nó. Đoạn thẳng đ ó song song v ớ i cạnh t h ứ ba và bằng nửa đ ộ dài của nó.
Đường trung bình của h ì n h thang là đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh bên
của hình thang. Đoạn thẳng đ ó song song với các đáy và bằng nửa tổng độ dài của chúng.
4. T i sô d i ệ n tích của các tam giác đỏng dạng bằng bịnh p h ư ơ n g t i số đông dạng,
tức là bằng b ì n h phuong t i số đ ộ dài các cạnh t ư ơ n g ứ n g . Đ i ê u đ ó đ ư ợ c ổóiy ra,

chẳng h ạ n , t ừ c ô n g t h ú c
1
SABC =

A B . A C . sinA.
2

5. Da gịắc A i A 2 . . . A n đ ư ợ c g ọ i là đ ồ n g d ạ n g v ớ i đ a g i á c B1B2...B
A 1 A 2 : A 2 A 3 : . . . : A n A i = B1B2: B2B3:...: B n B i và các góc thuộc các đinh A i , . . . , A n
tương ứng bằng các góc thuộc các đ i n h Bi,...,Bn.
T i sỗ các đ ư ờ n g c h é o t ư ơ n g ứng của các đa giác đ ô n g dạng bằng t i sỗ đ ô n g dạng;
dối với các đ a giác đồng dạng ngoại t i ế p t h ì t i sỗ b á n k í n h cùa các đường tròn n ộ i
l i ế p cũng bằng t i số đồng dạng.

7

CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU
1. Chứng minh rằng các đường trùng tuyến của tam giác đông quy tại một điểm
và bị chia bởi điểm đó theo ti số 2 : Ì tính từ đinh.
2. Trên cạnh BC cùa A Aốc lấy điếm A i sáo cho B Ấ i : ẤiC = 2 : 1. Hỏi dường
trung tuyển CCi chia đoạn thắng A A i theo l i số nào ?
3. Trong tam giác nhọn ABC kẻ các đường cao ÁAi và BBi. Chứng minh rằng
AiC : BiC = AC : Be.
4. Đuơng phân giác AD của Á ABC cắt đuờng tròn ngoại tiếp tậi điểm p Chứng
minh rằng A ABP _ A BDP.
5. Trong A ABC nội tiếp mộtiiình vuông sao cho một cạnh của hình vuông nằm
trên cạnh Be, còn hai đinh còn lại của hình vuông nằm trên các cạnh AB và AC.
Tính cạnh của hình vuông, nêu biết độ dài cạnh Be và đường cao hạ xuongflc.
§1. dè

đoạn thẳng nằm giữa các đường thẳng song song

1.1. Các đáy của hình thang bằng a và b.
a) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các dugng chéo trên dường trung bình.
b) Tính độ dài của đoạn thắng định bởi các cạnh bên của hình thang trôn
đường thắng đi qua giao điếm các đường chéo và song song với cádacy.
1.2. Chứng minh rằng các trung điểm của các cạnh của một tứ giác bất kì là các
đinh của một hình binh hành. Đối với các tứ giác nào thì hình bình hành đó là hình
chữ nhật, hình thoi, hình vuông ?
1.3. Các điếm A i và Bi chia các cạnh Be và AC theo các t i sỗ B A I : A i C =
= 1 : p và A B i : BiC = Ì : q. H ỏ i đoạn thắng A A i bị chia bởi đoạn thắng BBi
theo ti sỗ nào ?
'
Ì
1.4. Trên cạnh A D của hình bình hành ABCD lấy điếm p sao cho ÁP = - AD; <
n
Q là giao điếm của các đường thắng AC và BP. Chứng minh rằng AQ = —-— AC.
n + Ì

1.5. Một trong các đường chéo của tứ giác nội tiếp trong đường tròn là đường
kính của đường tròn đó. Chứng minh rằng các hình chiêu của các cạnh đỗi nhau
lên đường chéo kia bằng nhau.
8

1.6. Các đ i ể m A và B dinh trên đuờiỊg tròn tâm o một cung có số do 60°. T r ê n
cung d ó láy một điểm M . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung đ i ề m của các
đoạn thẳng M Ạ và OB vuông góc v ớ i đường thẳng đi qua trụng đ i ể m của các đoạn
thẳng M B vá O A .

1.7. Trong hình chữ nhật A B C D đ i ể m M
là (rung điểm của cạnh A D , N là trung điểm của
cạnh BC. T r ê n phần kéo dài cùa đoạn thẳng CD
vè phía D lây m ộ i diêm p. K i hiồu giao điểm của
các đường than? PM và A C là Q. Chứng minh
r ằ n g Q N M = MNP (hình 1).
1.8. Các đường kính A B và CD của t ương
t r ò n s vuông góc với nhau. Dây cung E A cài
đường kính C D tại điểm K, dây cung EC r ắ t
dường k í n h A B t ạ i điểm L . Chứng minh rằng
nếu CK. : K D = 2 : 1 thì A L : L B = 3 : 1.
§ 2 . T ỉ s ố c á c c ạ n h c ù a các tam giác đồng dạng
1.9. B E là đường phân giác của góc B trong
Hình Ì
A A B C (hay đường phân giác ngoài của góc B)
v ớ i E là đ i ể m t r ê n đường thẳng A C . Chứng minh rằng A B : BC = A E : EC.
1.10. Các đường chéo của tứ giác A B C D cắt nhau t ạ i đ i ể m o. Chứng minh rằng
A O B O = C D . D O khi và chi k h i BC I I A D .
1.11. Đ i ể m H là trực t â m của A A B C ; A i , B i , Ci là c h â n của các đường cao
A A i , B B i , C C i . Chứng minh rằng A H A i H --= B H . B i H = C H . C i H .
1.12. Các đ i ể m M và K nằm t r ê n các cạnh A B và BC của Á A B C ; các đoạn thẳng
A K và C M cắt nhau t ạ i đ i ể m p. B i ế t rằng các đoạn thẳng A K và C M bị chia b ớ i
đ i ể m p theo t i số 2:1 tính từ đ i n h . Chứng minh rằng A K và C M là các đường trung
tuyên của tam giác.
1.13. X u ố n g các cạnh BO và C D của h ì n h b ì n h h à n h A B C D (hay xuống c á c
p h ầ n k é o d à i của c h ú n g ) hạ các đ ư ờ n g v u ô n g góc A M và A N . Chứng minh rằng
À M A N _ ầ ABC.
1.14. Qua m ộ t điếm p bất kì t r ê n cạnh A C của A A B C ké các đường thẳng song
song v ớ i các đường trung tuyển A K và C L , cắt các cạnh BC và A B t ạ i các đ i ể m E
và F t ư ơ n g ứng. Chứng minh rằng c á c đ u ờ n g trung tuyên A K v a C L chia đoạn thẳng

E F t h à n h ba phần bằng nhau.
9

1.15. G i ả sử hai cạnh và hai góc của m ộ i tam giác bằng hai cạnh và hai góc của
một (am giác khác. Có thể két luận các tam giác đ ó bằng nhau dược . H a y không ?
1.16. G i ả sử B là trung đ i ể m của đoan thẳng A C . Các đ i ể m D và E nằm ve một
phía so với dường thẳng A C và A D B = E B C , D A B = B C E . Chứng minh rằng
BDE = A D B .
1.17. T r ê n đường phân giác của một góc vuông lẩy diêm p. Qua n ó kẻ một (luông
Ihẳng bát kì định ra trên các cạnh của góc các đoạn thẳng dài a và b. Chứng minh
rằng dại lượng - + -- khôni! phừ thuộc vào đường thẳng đó.
a
b
1.18. G i ả sử ra, I"b, Te là bán kính các dường tròn bàng t i ế p của A A B C , tiếp xúc
với các cạnh Be, CA, A B t ư a n e ứng, r là bán kính đường tròn nội t i ế p , s và p là
diện lích và nửa chu vi của tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a) S = ( p - a ) r .

.

a

1
1
1
1
b) — + — + — =
r
r

r
a

b

c

-.
r

1-19. T r ê n cạnh BC của lam niác đêu A B C n h ư trên đường kính vê phía ngoài
dựng nửa dường tròn, t r ẽ n (ló lay các đ i ể m K và L chia nửa đường tròn ra t h à n h
các cung bằng nhau. Chứng minh rang các đuừng thẳng A K và A L chia đoạn thẳng
BC ra t h à n h các phân bằng nhau.
1.20. Đ i ế m o là tâm (lường tròn n ộ i t i ế p của A A B C . T i ê n các cạnh A C và BC
chọn các đ i ể m M và K tương ứng sao cho B K . A B = B O và A M . A B = A O . Chứng
minh rằng các đ i ể m M , o và K thẳng hàng.
2

2

1.21. Đ ộ dài hai cạnh của một tam giác bằng 10 và 15. Chứng minh rằng độ dài
đường p h â n giác của góc giữa chung k h ô n g l á n hơn 12.
1.22. Chứng minh rằng giao đ i ể m của các đường chéo, giao đ i ể m các phân k é o
dài của các cạnh bên và trung đ i ế m các đáy của một hình thang bát kì nằm trên
cùng một đường thẳng.
1.23. Trong một hình thang giao đ i ể m các đường chéo nằm cách đêu các đường
thẳng chứa các cạnh bên. Chứng minh rằng h ì n h thang đó cân.
1.24. Đường thẳng Ì cắt các cạnh A B và A D của hình b ì n h h à n h A R C D t ạ i các
đ i ể m E và F tương ứng. G i ả sử G là giao đ i ể m của đường thẳng Ì v ớ i đường chéo

™ • K
*
AB
A D _ AC
A C . Chứng minh rang — H
= ——.
AE
AF
AG

10

1.25. G i ả sử AC là dường c h é o lởn him của hình bình hành A B C D . T ừ (liếm c
xuống p h â n kéo dài của các cạnh A B và A D hạ các dường vuông góc C E va CF.
C h ứ n g minh rằng A B . A E + A D . A F = A C
2

L.26. Đoạn thẳng B E chia A A B C ra (hành hai tam giác dồng dạng, đòn lí thời l i sô
đồng dạng bằng Vĩ . Tính các góc của A ABC.
* § 3 . T ỉ s ố diện tích của các tam giác đồng dạng
1.27. Qua một điềm nào đ ó nằm trong tam giác kỏ ba dường thẳng soniĩ sontí
với cạnh của nó. Các (luông thẳng này chia tam giác ra thành sáu p h â n . ironn sò ứỏ
có ba lam giác với các diện tích là Si, S 2 , Sĩ. Tính diện tích của lam giác đã cho.
1.28. T r ê n cạnh A C của A A B C lây một đ i ế m E. Qua đ i Ị m E kỏ (luông t hắn a
D E song son^ với cạnh BC và duờne thắm; E F sòm; song với cạnh A B ( D và E lít
các đ i Ị m t r ê n các cạnh). Chứnc m i n h rằng S I J D E F =

2 V S A D E - S[=FC

1.29. Qua một điỊm nằm trong tam giác cho trước kẻ ba (luông thẳng song song với
các cạnh của nó. Các duờne thẳng này chia tam giác ra Ihành sáu phân. trong số đó cố
ba hình bình hành với các diện tích S i ' . Sì, Sỉ'. Tính diện tích của tam giác.
1.30. T r ê n các cạnh của h ì n h vuóntỊ A B C D diện tích s lây các đ i Ị m K, E. M , H
(K n e n A B , V A ' . . . ) sao tho A K = BE = C M = D H = - A B . T í n h d i ệ n tích tứ giác

4
uiới hạn bởi các duủnẹ thằne A E , B M , C H và D K .
§ 4 . Các tùm giác phụ bang nhau
1.31. Cạnh góc vuông Be của tam giác vuông ABC (góc c vuông) bị chia bởi
các d i ố m D và E ra thành ba phần bằng nhau. CTúrniỉ minh rằng nêu BC = 3AC,
thì tổng các góc A E C , A D C và A B C bằng 90°.
1.32. Đ i ế m •' ỉa truno điỊm cạnh A B cùa hình vuông A B C D , còn diêm L chia
dirừng c h é o AC ihco t i sỏ A L : L C = 3:1. Chứng minh rằng góc K.LD vuông.
1.33. Các tam tỊiác vuông cân A B C và CDE vói c á t đinh góc vuông B và D cho
trước trên mặt phẳnỏ có dinh churl!" c (dnng thời các chiêu quay t ừ A B đ ẽ n BC và
từ C D đ e n D E là n h ư nhau). C h ư n g minh pinn vị trí trung đ i Ị m của đoạn thẳng
A E k h ô n g phụ thuộc vào vị trí diêm c.
1.34. a) Trên các cạnh BC và CD của hình vuông A B C D dựng về phía ngoài các
lam giác đêu BCK và D C L . Chứng minh rằng A A K L đêu.
b) T r ê n các t ạ n h BC và CD t ủ a h ì n h bình hành A B C D dựng vệ phía ngoài các
lam giác- (lêu BCK và D C L . Chứng minh rằng A A K L đêu.
li

1.35.

Bên

trong

hình

vuông ; A B C D

P B A = P A B = 1 5 ° . Chứng minh rằng

lẩy

A C P D đêu.

điểm

p

sao

cho

5

1.36. Trên các cạnh góc vuông C A và C B của tam giác vuông cân A B C lẫy các
điểm D và E tương ứng sao cho C D = CÊ. Phần kéo dài của các đường vuông góc
hạ từ các điểm D và c xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyên AB tương ứng tại
các điểm K và L . Chứng minh rằng KL = LB.
1.37. Bôn trong A A B C lẫy điểm p sao cho P A C = P B C . Từ điểm p xuống các
cạnh Be và C A hạ các đường vuông góc PM vá P K tương ứng. G i ả sử D là trung
điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng D K = DM.
§5 Áp dụng các tính chựt của góc nội tiếp đ ể chúng minh các tam giác đồng dạng
1.38. Trên đoạn thẳng A B như trên đường kính dựng một nửa dường tròn.

Đường thẳng Ì tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại điểm c. Từ các điểm A và B
xuống dường thẳng Ì hạ các đường vuông góc A M và BN. Giả sử D là hình chiếu
của điểm c lên A B . Chứng minh ràng C E T = A M . B N .
1.39. Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A và D. A B và C D là các tiếp
tuyên của đường tròn thứ nhựt và thứ hai (B và c là các điểm trên các đường tròn)j
2

_ .
.
AC _ C D
Chứng minh rang —— =
.
BD
AB
u

k

2

1.40. Cho hình bình hành A B C D với góc ở đinh A nhọn. Trên các tia A B và
C B đặt c á c đ i ể m H và K t ư ơ n g ứng sao cho C H = Be và A K = A B . Chứng
minh rằng:
a) D H = D K .
b) A D K H _

A ABK.

1.41. Trên cung Be của dường tròn ngoại tiếp quanh tam giác đều A B C lẫy một
điểm p bựt kì. Các đoạn thẳng ÁP và B C cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng

Ị

PQ

_

Ị

Ị

PB

PC

1.42. A B là đường kính của đường tròn S i , A là tâm của đường tròn S2. Các
đường tròn này cắt nhau tại các điểm c và D. Qua điểm B kẻ đường thẳng cắt đường
tròn S2 tại diêm M nằm trong đường tròn S i , còn đường tròn Si - tại điểm N. Chóng
minh rằng^MN = CN.ND.
2

12

1.43. a) T ừ đ i ế m c kỏ hai đường thẳm; l i ế p xúc với dường tròn tại các đ i ể m A
và B. Chứng minh rằng (lộ dài đường vuôn? "óc hạ từ mót (liếm p bát kì của (lườm;
tròn xuống đường-ti.ẳnẹ A B , bằng trung hình nhân của các dụ dài các dường vuông
nóc c ù n c hạ từ diêm dỏ cùa đường tròn xuống các dưc/ng thẳm; A C và B e .
b) Từ một đ i ể m o bát ki của dường trùn nội tiếp trong A A B C hạ các đường
V U Ô I I Í ; góc O A ' , O B \ o e xuống các cạnh của A A B C và các đường vuông góc OA",
•OB", o e xuồng các cạnh của tam giác với các đinh tại các tiếp đ i ể m . Chứng minh

rằng OA'.OB'.OC" = OA".OB".OC".
1.44. Cho một cóc dinh o và một đường tròn l i ế p xúc với các cạnh của nó t ạ i
các Jicm A và B. T ừ điểm A ké một tia song soni! vói OB cắt ưườne tròn t ạ i đ i ể m
c . Đoạn thắng o e cắt dường tròn tại điểm E, còn các đuùniở thẳnc AE và OB cắt
nhau tại (liếm K . Chứnii minh rằng O K = K B .
1.45. Qua trunụ đ i ể m c của dây cung A B bát kì của (lườm: tròn kẻ hai dây cung
K L và M N (các đ i ể m K và M nằm cùng một phía so vùi A B ) .
a) Đoạn thẳng K N cắt A B t ạ i diêm Q, đoạn thắng M L cai A B tại diêm p.
Chứng minh rằng PC = QC.
b) Đường thẳng K M cắt dirờna thẳng A B t ạ i diổm R, đường thắng N L - tại
đ i ể m s. Chứng minh rằng RC = s e .
§ 6 . Tam giác tạo bởi t h â n các dinrn" cao
1.46. Giả sử A A i và BBi là các đường cao của A A B C . Chứng
rằng A A i B i C _ A ABC. T i sô đòng dạng bằng bao nhiêu ?

minh

1.47. Tam (Ịiác A B C nhọn và B Á C = (í. T r ê n cạnh BC như trên (lườm; kính
dựnii nứa đưửng tròn cắt các cạnh A B và B e tại các điếm p vá o (ưomg ứng. T í n h
t i sô diện tích của các tam giác ABC vá APQ.
Ì .48. Từ đ i n h c của tam giát nhọn ABC hạ (lươn? cao C H . từ điếm H hạ các d lít mu
'^ôni> gốc H M và H N xuống các cạnh B e và AC tuôn!! ứng. Chưn" minh rằng t á c tam
giác ABC và M N C dòng (lạjig.
1.49. Trong tam eiác nhọn A B C kố các duừnu cao A D , BE va CF. Chứng minh
rằng — = — , trong đ ó p là chu vi của A E D F , p là chu vì của A ABC.
p
R
1.50. a) Chứng minh rằng các dường cao A A i , B B i , CCi của tam giác nhọn A B C
chia đôi các góc cùa tam giác A 1 B 1 C 1 .
lĩ

b) Trôn các cạnh A B , BC, C A của lam giác nhọn A B C lây các đ i ế m C i , A i ,
B i lương ứ n g . C h ứ n g m i n h r ằ n g n ê u B 1 A 1 C = B A ị C i , A 1 B 1 C = A B 1 C 1 v à
A i C i B = A C 1 B 1 ,thì c á c đ i ể m A i , B i . C i là c h á n c á c đ ư ờ n g cao của tam g i á c
ABC.

1.51. T r o n £ tam giác nhọn A B C kỏ các dường cao A A i , B B i và C C i . Chửng
minh rằng A C Q - A A ] B i .
1.52. Trong tam giác nhọn A B C kè các dưưg nau) A A i , B B i và CC|. Chứng
minh rằne n ế u A 1 B 1 I I A B v à B 1 C 1 1 I BC, thì A 1 C 1 1 1 A C .
§ 7 . Các h ì n h đồng dạng
1.53. Trona tam giác nội t i ẽ p ưưừng tròn bán kinh r. Các liêp tuyên cùa duửnu
tròn đó sonc sontỉ với cúc cạnh của tam giác cai khỏi nó ba lam lỉiác nín'). Giả sử
r i , TI, n là bán kính các (lườm; tròn nội tiếp troniỉ các lam I l i a c đó. Chưn!? minh
rằng r i + TI + Tì = r.
1.54. Cho A A B C . Dắnc hai ưuừni; thẳng X và y sao cho với mọi điềm M trên
cạnh A C tổng đ ộ d à i c á c đ o ạ n t h ẳ n i i M X M v à M Y , M k ỏ từ đ i ề m M s o n " s o n g v ớ i
c á c d u ừ n g t h ẳ n g X và y cho đ e n

k h i cắt các c ạ n h A B

và Be

của

tam

ỊỊỉiác, h u n t ' 1.

1.55. Trong tam giác cân A B C từ trunc diem H của dày BC hạ đưừnu VUÓIIỊI uỏc
H E xuống cạnh bên A C , o là irune điềm của (loạn thẳng H E . Chứng minh i ằ n u
các dường thẳng A O và BE vuôniĩ uóc.
1.56. Chứng minh rằng các hình chiêu của chân dường tao cùa lam giác lên các
cạnh cùng xuất phát l ừ một dinh vái dường cao đó, và len hai dương cao khác, cùm;
nằm trên một đường thắng.
1.57. Trên đ o ạ n thẳng A C lấy một điểm B và trôn các đoạn thẳnu A B , B e , CA
dắng các nửa (liiừnp iròn S i , Si, S3 vè cùng một phía so vói A C . D là điỂm l ấ n S i
có hình chiêu lòn A C trùng với đ i ể m B. T i ế p tuyến chung của S i và S2 (lép xúc với
các nửa đường tròn đ ó l ạ i các đ i ế m F v à E tương ứng. Chứng minh rằng :
a) ĐuxYnị! thang EF son lĩ song với t i ế p luyến của S3 kè qua đ i ể m D:
b) B F D E là hình chữ nhật.
1.58. T ừ một diem M bất kì cùa đuừne tròn ngoại l i ế p quanh hình chữ nhại
A B C D hạ các dưửn li vuông góc M Q và MP xuống hai cạnh đói nhau cùa nó và các
đường vuông nóc M R và M T xuống phân kéo dài của hai cạnh kia. Chứng minh
rằng các đường thẳng PR và Q T vuông góc với nhau. còn giao đ i ế m của chúnc nằm
trôn đường c h é o của hình chữ nhật A B C D .
14

1.59. T á i hai dường tron nằm !U»oài nhau kẻ m ộ t t i ế p tuyến chung ngoài và một
tiếp tuyên chung Ì ròn lí. Xét hai dướn lí thẳng, mỗi đường đi qua các tiếp điểm nằm
trên một dường Iron. Chứng minh rằng giao điểm của các dường tháng đ ó nằm
t r ê n dường thảng nối lâm t ủ a các dường (ròn.
CÁC BÀI TOÁN T Ự G I Ả I
1.60. Dáy của một lam giác cân chiêm - chu vi cùa lam líiác. T ừ một diêm bất
4
kì của đáy kè các

diKMit!

Ihẳntĩ song song với các cạnh bên. H ỏ i chu vi của tam I»iác

l ớ n han chu vi của hình bình hành vừa lạo được bao nhiêu lãn ?
1.61. Các duụni; chéo của một hình tham: vuòniỊ góc với nhau. Chứng minh rằng
tích đ ộ đài t á c đáy của hình Ihanií bằm: tổnu các tích dụ dài các đoạn t h ẳ n ẹ của
m ộ i dường chéo và độ dài các đoạn thẳng cùi! (lươnlĩ chéo kia, nhận được khi chia
các dường c h é o bởi liiao đ i ế m của c h ú n c .
1.62. Các cạnh của hình vuône bằne 1. ọ ja làm của nỏ kở mội dườni! thẳnn. Tính
tổng bình phucmj! khoảng cách tù 4 diêm cite hình vuônu đến dường thẳng đó.
1.63. Có thổ bằng hai nhát cài thẳng di qua hai đinh cùa lam giác chia nó ra
t h à n h bốn phàn sao cho ba phàn là các tam giác tương đương dược hay không ?
1.64. Các diêm A', B' và C" dôi xúm; với tâm (lươn!! tròn ngoại Ì lép qua các cạnh
của A A B C . C h ư n e minh rằnc t á c tam giác A B C và A ' B ' C bằng nhau.
1.65. Trong hình bình hành A B C D các đ i ể m E và F là Iruna diêm của các cạnh
A D và BC; K, L , M , N là các giao (liếm của A F và B D , D F vã A C , CE và BO, A C
vã BE lương ứng. Chứng minh rằng tứ giác K L N M là hình bình h à n h .
1.66. G ó c A của A A B C lem gã|) đôi góc B. ChứniỊ minh rằnc
BC

2

= ( A C + A B ) . AC

1.67. Chứng minh rằng nêu trực tâm chia các đường cao của tam ciác theo cùn lĩ
một t i sô, thi tam giác là đều.
1.68. Bên tronụ A A B C cho d i í m K. mà các dường thẳnc di qua K. và soniỉ son ụ
với các cạnh của A A B C được dinh bởi các cạnh của tam giác các đoạn thẳng c ó
cùng đ ộ dài X. T í n h X, nếu đ ộ đài các cạnh cùa lam giác bằng a, b, c.
1.69. G i ả sụ o là mội điềm bát kì trên đường trung tuyên A A | của

A ABC.

Đường tháng BO cắt cạnh A C tại điếm B i . Qua B i kẻ dưừnu thằng song song v á i
15

dày B e và cắt cạnh A B t ạ i đ i ể m C i . Chứng minh rằng các điểm c, o, Gi cùng nằm
t r ê n một đ ư ờ n g thẳng.
1.70. Qua đ i ể m o lẩy t r ê n đường cao BH cùa A ABC kỏ các đường thẳng AO
và CO, c h ú n g cắt các cạnh B e và BA tương ửní> l ạ i các điểm K và M . Chứng minh
rằng K.HB MHB.
1.71. Trong tứ giác A B C D đ i ể m E là trung điểm cạnh A B , F là trung đ i ế m cạnh
C D . C h ư n g m i n h rằng trung đ i ể m của các đoạn thẳng A F , CE, B F và P E là các
đ ỉ n h của một h ì n h b ì n h h à n h .
L Ờ I GIẢI
1.1. G i ả sử A B C D là h ì n h thang, BC = a, A D = b, trong đ ó a < b .
a) G i à sử M và N là trung đ i ế m của các cạnh AB và CD, K và L là các giao
đ i ế m cùa d ư ờ n g t h ẳ n g M N v ớ i các đường c h é o A C và B D t ư ơ n g ứng. K h i đó
1

M K = -- Be = - a và M L = -

2

2

A D = - b. Do đó K L = ML - MK= -

2

2

(b - a).

2

b) Đ ư ờ n g thẳng đi qua d i ê m o là giao đ i ế m của các đường c h é o cắt A B tại
p

o

r> ^
w
~ -r- ,
ÁP
PO
BP
AB-AP
„ _
d i ê m p, C D t ạ i d i ê m Q. Ta có - — = — , - — = — =
. Cộng các
Be
AB
AD
AB
AB
a

đắng

thức

đó

lại

ta

dược

+

Be
PQ = 2 P O

= Ì ,

tức

AD

là PO = ———
a + b

và

=
a + b

i.^Trfong t t f ' J g t r A ^ S & i c a c điểm K,L,M,N là trung đ i ể m của các cạnh A B ,
BC, C D , D ỳ t u ô n g ý u ì ĩ . - B ữ Ì ậ ó K L = M N = - A C và K L I I M N , tức K L M N là
hltah-bijih h à n h , R õ rarfgTCĩJýỉN là hình chữ nhật nếu các đường c h é o A C và B D
vuông góc; là l ỳ n h thoi nếu A C = B D ; và là hình vuông nếu các dường c h é o A C
và B D vừa v u ô n g góc vừa bằng nhau.
1.3. Kí hiệu giao đ i ể m c ủ a c á c đ o ạ n t h ẳ n g A A i và B B i là o.

K ẻ trong

A B i B C đ o ạ n t h ẳ n g A 1 A 2 I I B B i . K h i đ ó B i C : B1A2 = ( l + p ) : Ì, và do
đ ó A O ; . Ộ X I U A B I : B1A2

= -

q

16

BiC

: B1A2

=

: Ì

q

=

.

q

1.4. Cách

thứ nhối

: AAQP

Ọ C = nAQ; AC = A Q +
Cách

ọc =

A C Q B , do đ ó

AQ

ÁP

QC

Be

t ứ c là

(n + l ) A Q .

thứ hai : Chia các

cạnh A D và BC ra làm n p h â n
bằní> nhau và nỗi c h ú n g n h ư
trên h.2. K h i đ ó (lườm: c h é o
A C dược chia làm n + 1 p h â n
mà dỗ d à n g thấy dược có đ ộ dài
bằng nhau.
1.5. A B C D là t ứ giác đã
cho, A C là đường k í n h của
đường tròn ngoại t i ế p quanh
A B C D . H ạ các đường vuông
góc A A i và CCi xuống B D
(h.3). Ta căn phải chứng minh
rằng B A I = D C i . Cũng hạ
đường vuông góc OP l ừ t â m o
cùa

dường

tròn

ngoại

Hình

2

tiếp

xuống B D . R õ ràng p là trung diêm cùa đoạn t h ẳ n g B D . C á c đ ư ờ n g thẳng A A i .
OP, C C i song song, và A O = oe, cho nên A t P = P C ] . B ở i vì p là trung đ i ể m cùa
B D , suy ra B A I = D C i .
L.6. G i ả sứ c, D , E, F là trung đ i ế m các cạnh A O ; O B , B M , M A của t ứ giác
A O B M . Bởi vi A B = M O = R, trong đó R là bắn kíni^sàa^hajaựr*Ei»RfT«ffFffểi,
n h ư ta đã biết qua bài 1.2, C D E F là một h ì n h thoi. I|t> ( f * l l j ư w i ^ l t à t t £ » ^ ! W Ị ô Ị ^
góc v ớ i dườne thằng D F .
^
^
1.7. Kò qua tâm o của hình chữ nhắt A B C D (lircftsfftilNgĐường thảng đó cắt Q N tại diêm K. (h.4). Bởi vì (IuửngU*ổ«n Mu S S r f p o n f
nen

QM
PM

Suy

ra

QK

—— , và bởi vì đường thẳnc KO song song v ớ i B C n ê n

oe

oe
=

, tức là dường

thằng KM s

PM
KIM
M N P = K M O . M ạ i khác, do A M K N cân, n ê n

r

S.ỌỊĨỀ " V Ó T

m ^ Q f f M ;

VỎITC,
KN

Ẹip^iỊó^

Hình 3

Hĩnh 4

1.8. Lấy trên đoạn thẳng C D
m ộ i đ i ể m K sao cho C K : K D =
= 2 : Ì, và trên đoạn thẳng A B lấy
đ i ế m L sao cho A L : L B = 3 : 1.
G i ả sử E là giao đ i ể m của các
đường thẳng A K và Ch. B ở i vì
đường thẳng AK. cắt đường t r ò n

s t ạ i đ ú n g hai đ i ể m , một đ i ể m là
A, nên ta chi càn p h ả i ' chứng
m i n h . King diêm E nằm t r ê n
đuờng t r ò n s.
G i ả sử a là độ dài cạnh của
hình vuông A B C D . Kí h i ệ u h ì n h
chiêu cùa các điếm K, L , E lên
D B là
các dường thẳng
K\

L \ E'; giao đ i ế m của

du0#Sg«t!i|;jyk

A

B

V.I

CD,

các
AE

và B D , S Ể v ầ BD l á o , M, P;
18

Hình 5

/V
/s
/N
M E E ' , y = B C P = P E E ' (h.5). Khi đó \ga

^

a

=

DAM =

KK'
DK'
= —
= —
=
AK'
AK'

DK _ Ì .
_ Lư
'BU _ B L _ Ì
« r\\A
_ '
= —— = - và Igỵ = — - = -—- = — = - . Cho nên D M = - a
Ke

2
L'C
L'C
LA
3
2
t

Suy ra MP = a -

1
1
1
- a - -a = -a.
2
3
6

ME'
le a
3
Bởi vì —— =
= -,
E'P
tgy
2

' nn
và BP

Ì
=-a.

3
nên ta được

ME" = - M P = (),la. Rõ r a n g E ' E = — M E ' = 0,2a. Theo định lí Pilago
5
[ga
. O E = (OM + E ' E ) + M E ' = (0,5a + (),2a) + ( 0 , l a ) = 0,5a , tức là điểm E
nằm trên dirờni! tròn s.
2

2

1.9. Cách

2

2

2

2

thứ nhai : Hạ lừ các đinh A và c các đường vuông góc A K và C L

xuõnt; dưửne thẳng B E . Các tam giác vuông B L C và B K A đ ò n g dạng với nhau, bởi
vì C B L -

A B K . Các tam giác vuông C L E và A K E cũniỉ đồng dạng với nhau, bởi

* vì C E L =

K E A Từ đó ta được —

= —

Be
đích
BEA =
ABE =

thứ

hoi

Ì Sơ' ì Xơ' -

CL

=

— .

EC

: Nêu B E là đuìrng phân giác trong, thì A B E = C B E và
BEC.

Nếu

BE

C B E và B E A = ĐÉC.

là

đường

phán

giác

ngoài,

thì

Trong cả hai trường hợp sin A B E =

= sin C B E và sin B E A = sin B E C . Do đó áp dọng định lí sin cho các tam giác A B E
. „ ,
AE
sin A B E
sinCBE
CE „ .
AB
AE
và C B E , ta duực -"— =
=

= — . Suy ra
=
.
AB
sin B E A
sinBEC
CB
BC
EC
n T

c o : BO, thì A A O D _ A COB. Do đó O A D = O C B ,
lức lá Be I I A D . Còn nêu B C I I A D thì O A D = O C B và O D A = O B C , do đó
* à AOD
A C O B . Suy ra A O . BO = c o . DO.
H O . Nếu A O : DO =

1.11. C ác tam uiác vuôniỊ A A i C và B B i C có góc nhọn chung là góc c, do đó
B|BC =

A [ A C , tức là các tam giác vuông A B i H và B A i H đông dạng với nhau.

Từ đó la dược -5tL
AiH

= ~ ,
B|H

tức là A H . A i H = B H . B i H . Dẳng thức thứ hai

cũnc nhân được bằng cách ttrơne, tự.
19

CP
_
1
— = 2, nên A ACP _ A K M p. Do đó M K = - A C và
PK
PM
2
đường thẳng M K song song với AC, tức K M là dường trung bình của tam giác.
1.12. Bởi vì

ÁP

1.13. N ế u góc A B C tù (tuưng ứng là nhọn), thì góc M A N cũng tù (tương ứng
cung nhọn). Ngoài ra các cạnh của các tam giác dó tương ứng vuông góc v ớ i nhau.
Do đ ó A B C = M A N . Các tam giác vuông A B M và A D N có các góc nhọABn M 4f
và A D N bằng nhau, do đó —
AN
1.14.

Kí

hiệu o

là trọng

= —

AD
tâm

= — , tức là A A B C _ A M A N .
CD
của

A A B C , các lĩiao đ i ể m cùa đường trung
tuyên A K với các đường thẳng FP và FE là
Q và M , các giao đ i ể m của đường trung
tuyển C L với các đường thẳng É P và E F là
R

và

N

mưng

ứng

(h.6).

Rõ

ràng

F M _ FQ _ L O _ Ì , .
. _ Ì _
- — = — - = — = - , tức là F M = - FE.