de thi giai tich ham

www.mathvn.com

´ .NG CHI’ CAO HOC, Kh´
ˆ THI CHU
- `E
D
oa 13
.
´
´ch ha
`m
Chuyˆ
en ng`
anh TOAN, Mˆ
on thi : Gia’i tı
.
-D`ˆ
e sˆ
o´ : 01. Th`
o i gian l`
am b`
ai: 150 ph´
ut
a’n v`
a (Aα )α∈I ⊂ L(X, Y ).
ong gian d¯i.nh chuˆ
Cˆ
au I. Cho X, Y la` hai khˆ
a` ng sup Aα = +∞.
1. Ky
´ hiˆe.u Cn = {x ∈ X| sup Aα x < n}, n ∈ N. Biˆe´t r˘

α∈I

α∈I

◦
Cn

= ∅, v´o.i mo.i n ∈ N.
Ch´
u.ng minh r˘a` ng
˜ y sao cho v´
2. Gia’ su’. An ∈ L(X, Y ) la` mˆo.t da
´ An x → 0, n →
o.i mo.i x ∈ X ta co
.
.
.
´ suy ra d¯u o. c An → 0 khˆ
+∞. T`
ong? Ta.i sao?
u d¯ˆay co
Cˆ
au II. K´
y hiˆe.u X = C[0,1] l`a khˆ
a’n c´
ac h`
am sˆ
o´ liˆen tu.c trˆen
ong gian d¯i.nh chuˆ
.

[0, 1] v´
o i chuˆa’n “max”.
´ c d¯a th´
u.c p(x) xa
´ bˆ
a.c ≤ n.
1. Ky
´ hiˆe.u P la` tˆa.p tˆa´t ca’ ca
´ c d¯i.nh trˆen [0, 1] co
.
u ng minh r˘a` ng P la` mˆo.t tˆa.p d¯´
Ch´
ong trong C[0,1].
ong th´
u.c
ac d¯.inh bo’.i cˆ
2. X´et to´
an tu’. tuyˆe´n t´ınh A : X → X x´
t

x → Ax,

(Ax)(t) =

x(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1], ∀x ∈ C[0,1].
0

a mˆ
o.t ph´ep
` ∀α ∈ (0, 1) th`ı I + αA l`

Ch´
u.ng minh A l`a mˆo.t to´an tu’. compact va
u. X lˆen X (I l`
oi tuyˆe´n t´ınh t`
d¯`ˆ
ong phˆ
a´
anh xa. d¯`ˆ
ong nhˆ
a´t). To´
an tu’. I + A c´o
pha’i l`
a to´an tu’. compact khˆong?
a’n.
ong gian d¯i.nh chuˆ
Cˆ
au III. Cho X l`a mˆo.t khˆ
`an trong cu’a hı`nh cˆ
`au d¯´o ng B (x0 , r) la
`au mo’.
u.ng minh r˘a` ng phˆ
1. Ch´
` hı`nh cˆ
B(x0 , r).
`on ta.i y ∈ N sao cho d(x, N ) =
2. Cho f ∈ X ∗ , N = Ker f va` x ∈ X \ N. Gia’ su’. tˆ
.
`on ta.i x0 ∈ X, x0 = 1 sao cho f = |f (x0 )|.
u ng minh r˘a` ng tˆ
x − y . Ch´

Cˆ
au IV. Cho H l`a khˆong gian Hilbert trˆen tru.`
o.ng K va` A ∈ L(H).
`a ng A la` mˆo.t toa
1. Ch´
u.ng minh r˘
o.i mo.i (xn )n ⊂
´ n tu’. compact khi va` chı’ khi, v´
w
w
H, (yn )n ⊂ H, nˆe´u xn → x va` yn → y thı` Axn , yn → Ax, y khi n → +∞.
2. Gia’ su’. A = A∗ va` λ ∈ K khˆong pha’i la
` mˆ
o.t gia
´ tri. riˆeng cu’a A. Ch´
u.ng minh
r˘
a` ng R(A − λI) tru` mˆa.t kh˘
a´p no.i trong H.
˜ ng gia’ su’. r˘a` ng A = A∗ va` thˆem Am la
o.i m la
3. Cu
` mˆo.t
` mˆ
o.t toa
´ n tu’. compact v´
.
.
.
.

˜ ng la
` mˆ
o.t toa
´ n tu’ compact.
u ng minh r˘
a` ng A cu
sˆ
o´ nguyˆen du o ng na`o d¯´o . Ch´
————————————————————————————–
Ghi ch´
u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
ong d¯u.o..c
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
am b`
ai nhu.ng khˆ
.
trao d¯ˆ
o’i, tha’o luˆa.n v´o i nhau.
22


www.mathvn.com

ˆ THI CHU
´.NG CHI’ CAO HOC
- `E
D
.
’ I T´
´

`
Chuyˆ
en ng`
anh TOAN,
ICH HAM
K.14 Mˆ
on thi : GIA
- `ˆ
e sˆ
o´ : 1. Th`
o.i gian l`
D
am b`
ai: 150 ph´
ut
´ c ha
`m liˆen tu.c trˆen d¯oa.n
a’n ca
` khˆ
ong gian d¯.inh chuˆ
Cˆ
au I. Ky
´ hiˆe.u X = C[0,2] la
.
a’n “max”.
o i chuˆ
[0, 2] v´
1

2

-˘
1. D
a.t f : X → R xa
u.ng
´ c d¯.inh bo’.i cˆ
ong th´
u.c f (x) =
x(t)dt −
x(t)dt. Ch´
0
1
`
˜ y tı´nh f .
minh r˘
a ng f ∈ X ∗ va
` ha
´ c d¯i.nh bo’.i X
x → Ax, trong d¯´o (Ax)(t) =
2. Xe
´ t toa
´ n tu’. A ∈ L(X) xa
t
´ n tu’. compact.
` mˆ
o.t toa
u.ng minh A la
o.i mo.i t ∈ [0, 2]. Ch´
x(τ )dτ + tx(1), v´
0

-˘
`
` toa
´ n tu’. d¯`ˆ
o.i I = idX la
a.t v = I − A v´
D
ong nhˆ
a´t. Ch´
u.ng minh r˘
a ng nˆe´u E la
` tˆ
a.p
−1
` tˆ
a.p compact trong X.
compact trong X thı` v (E) ∩ BX (0, 1) la
˜ y (xn )n ⊂ K sao cho
o.i p ≥ 1, k´
Cˆ
au II. V´
y hiˆe.u p l`
a khˆ
ong gian Banach ca
´ c da
∞

n=1

|xn |p < +∞. Ky

´ hiˆe.u ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ) ∈
(i)

p

, i = 1, 2, . . .

`
ong gian p .
1. Kiˆe’m tra r˘
a ng {en | n = 1, 2, . . . } la
` mˆ
o.t co. so’. Schauder cu’a khˆ
˜ y sˆ
´ hiˆe.u Π = {x = (xn )n ∈ p | |xn | ≤
o´ du.o.ng. Ky
` mˆ
o.t da
2. Gia’ su’. (cn )n la
∞

`
` chı’ khi
` tˆ
a.p compact khi va
a ng Π la
cn , n = 1, 2, . . . }. Ch´
u.ng minh r˘

cpn < +∞.

n=1

Cˆ
au III. Ky
´ hiˆe.u H l`
a mˆ
o.t khˆ
ong gian Hilbert.
`eu kiˆe.n
˜ y tho’a d¯iˆ
` mˆ
o.t da
1. Gia’ su’. (An )n ⊂ L(H) la
∀x, y ∈ H :

sup | An x, y | < +∞.
n∈N

Ch´
u.ng minh

sup An < +∞
n∈N

2. Cho a ∈ H, a = 0 va
` d¯˘
a.t A = {a}

⊥.

` ng v´
Ch´
u.ng minh r˘
a
´
o.i mo.i x ∈ H, ta co

d(x, A) := inf { x − u } =
u∈A

| x, a |
.
a

3. Cho A ∈ L(H). Ch´
u.ng minh (ImA)⊥ = KerA∗ .
` toa
´ n tu’. compact. Ch´
u.ng minh
4. Bˆ
ay gi`
o. ta gia’ thiˆe´t A ∈ L(H) sao cho A∗ A la
` ng A cu
˜ ng la
r˘
a
` toa
´ n tu’. compact.
————————————————————————————–
Ghi ch´

u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
ong d¯u.o..c trao
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
am b`
ai nhu.ng khˆ
d¯ˆ
o’i, tha’o luˆ
a.n v´
o.i nhau.
23


www.mathvn.com
ˆ THI CHU
´.NG CHI’ CAO HOC
- `E
D
.
’ I T´
`
´
ICH HAM
on thi : GIA
Ca
´ c chuyˆ
en ng`
anh TOAN, K.15 Mˆ
.
- `ˆ
am b`

ai: 150 ph´
ut
o i gian l`
o´ : 1. Th`
e sˆ
D
o.ng K.
Cˆ
au I. Cho (X, · ) la
` mˆ
o.t khˆ
ong gian d¯i.nh chuˆ
a’n trˆen tru.`
` ng X la
˜ y (yn )n ⊂ X
a
` mˆ
o.t khˆ
ong gian Banach khi va
` chı’ khi mo.i da
u.ng minh r˘
1. Ch´
∞
`eu kiˆe.n yn ≤ 2−n thı` chuˆ
thoa’ d¯iˆ
o˜i
yn hˆ
o.i tu..
n=1

a’n kha
` mˆ
o.t chuˆ
´ c trˆen X sao cho
` · 1 la
2. Gia’ su’. (X, · ) la
` khˆ
ong gian Banach va
.
.
˜ ng la
(X, · 1 ) cu
` Banach va
ong tu o ng d¯u.o.ng v´
` 2 chuˆ
a’n · , · 1 khˆ
u.ng
o.i nhau. Ch´
` ng ´anh xa. d¯`ˆ
ong liˆen tu.c.
ong nhˆ
a´t id: (X, · ) → (X, · 1 ) khˆ
minh r˘
a
˜ y trong X.
a’n va
` (xn )n la
ong gian d¯i.nh chuˆ
` mˆ
o.t khˆ

Cˆ
au II. K´
y hiˆe.u X la
` mˆ
o.t da
w
∗
` ng
` (fn )n ⊂ X sao cho fn → f khi n → ∞. Ch´
u.ng minh r˘
a
1. Cho xn → x va
fn (xn ) → f (x) khi n → ∞.
◦

2. Gia’ su’. f (xn ) → 0, (n → ∞) v´
o.i mo.i f ∈ M trong d¯o
` M = ∅. Ch´
u.ng
´ M ⊂ X ∗ va
w
` ng xn → 0.
minh r˘
a
` mˆ
o.t co. so’. Schauder cu’a khˆ
ong gian Banach (X, · ).
Cˆ
au III. Gia’ su’. {en | n ∈ N} la
∞

˜en x =
ηi ei .
V´
o.i mo.i x ∈ X ta co
´ biˆe’u diˆ
n

i=1

` ng
a
ηi ei . Ch´
u.ng minh r˘

-˘
1. D
a.t x 1 = sup
n∈N i=1
o.i chuˆ
a’n
na
`y tu.o.ng d¯u.o.ng v´

·

1

la
` mˆ
o.t chuˆ

a’n trˆen X va
` chuˆ
a’n

· .

2. Ky
´ hiˆe.u Pn : (X, · ) → (X, · ) la
` ´anh xa. xa
´ c d¯i.nh bo’.i Pn x = Pn (

∞

n

ηi ei ) =
i=1

` ng Pn ∈ L(X).
a
u.ng minh r˘
Ch´

ηi ei .
i=1

o.ng K.
Cˆ
au IV. Cho H l`
a khˆ

ong gian Hilbert trˆen tru.`
u.ng
o.i nhau t`
` 3 khˆ
ong gian con d¯o
´ ng trong H va
` chu
´ ng tru..c giao v´
1. Gia’ su’. U, V, W la
.
` ng tˆ
˜ ng la
` mˆ
o.t khˆ
´ ng trong
ong gian con d¯o
d¯ˆ
oi mˆ
o.t. Ch´
u ng minh r˘
a
o’ng U + V + W cu
H.
` ng (ImA∗ )⊥ = KerA.
2. Cho A ∈ L(H). Ch´
u.ng minh r˘
a
a’n va
` A ∈ L(X).
ong gian d¯i.nh chuˆ

Cˆ
au V. Cho X la
` mˆ
o.t khˆ
.
.
.
.
1. Gia’ su’ e1 , e2 la
` 2 vecto riˆeng u
´ ng v´
o i 2 gia
´ tri. riˆeng kha
´ c nhau cu’a A. Ch´
u.ng minh
` d¯ˆ
o.c lˆ
a.p tuyˆe´n tı´nh.
{e1 , e2 } la
.
2. Bˆ
ay gi`
o cho A la
` toa
´ n tu’. compact va
` λ = 0 la
` mˆ
o.t sˆ
o´. Gia’ su’.
inf

{ Ax−λx } =
x∈X, x =1

` ng λ la
` mˆ
o.t gia
´ tri. riˆeng cu’a A.
a
0. Ch´
u.ng minh r˘
————————————————————————————–
ong d¯u.o..c trao d¯ˆ
o’i,
am b`
ai nhu.ng khˆ
ai liˆe.u d¯ˆe’ l`
Ghi ch´
u: Ho.c viˆen d¯u.o..c ph´ep su’. du.ng t`
.
tha’o luˆ
a.n v´
o i nhau.
24