một số vấn đề chuyên sâu trong đại số tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUYÊN SÂU TRONG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

Th.S Trang Văn Dễ

Cao Thị Bích Liểu
MSSV: 1090093
Lớp: SP Toán-Tin K35

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập trong trƣờng Đại học vừa qua, em đã đƣợc quý
thầy cô cung cấp, truyền đạt tất cả kiến thức chuyên môn cần thiết và quý giá nhất.
Ngoài ra em còn đƣợc rèn luyện một tinh thần học tập, làm việc độc lập và sáng
tạo. Đây là những điều hết sức cần thiết để có thể thành công khi bắt tay vào nghề
nghiệp trong tƣơng lai.

Luận văn tốt nghiệp là cơ hội để em có thể áp dụng, tổng kết lại những kiến
thức mà mình đã học. Đồng thời, rút ra đƣợc những kinh nghiệm thực tế rất quý giá
trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Sau một thời gian tập trung công sức cho đề
tài và làm việc tích cực, đặc biệt là nhờ sự hƣớng dẫn tận tình của thầy Trang Văn
Dễ đã giúp cho em hoàn thành đề tài một cách thuận lợi và gặt hái đƣợc những kết
quả mong muốn. Bên cạnh những kết quả mà em đạt đƣợc, chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót khi thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. Em rất mong nhận
đƣợc đóng góp của quý thầy cô để nội dung luận văn của em đƣợc hoàn chỉnh hơn.
Là sinh viên ngành Sƣ phạm toán tin, em rất tự hào về khoa mà mình theo
học, tự hào về tất cả các thầy cô của mình. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn
công lao dạy dỗ của quý thầy cô. Kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ, tiếp tục đạt
đƣợc nhiều thắng lợi trong nghiên cứu khoa học và sự nghiệp trồng ngƣời. Trân
trọng kính chào!
Cần thơ, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Cao Thị Bích Liểu

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-i-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ......................................................................................... 1

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ................................................................................. 1
III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ..................................................... 1
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU................................................................................ 1
V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ......................................................................... 1
VI. CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN ............................................... 1
PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. ĐỊNH THỨC ....................................................................................... 3
1.1 Các phƣơng pháp tính định thức .................................................................... 3
1.1.1 Đƣa về dạng tam giác............................................................................. 3
1.1.2 Rút nhân tử tuyến tính ............................................................................ 3
1.1.3 Phƣơng pháp truy hồi ............................................................................. 4
1.1.4 Biểu diễn định thức dƣới dạng tổng (tích) các định thức khác .............. 5
1.1.5 Thay đổi các phần tử của định thức ....................................................... 5
1.1.6 Đƣa về dạng Vander Monde .................................................................. 6
1.2 Các bài toán liên quan đến định thức ............................................................. 6
1.3 Bài tập đề nghị .............................................................................................. 19
CHƢƠNG 2. HẠNG CỦA MA TRẬN ................................................................... 23
2.1 Các phƣơng pháp tính hạng của ma trận ...................................................... 23
2.1.1 Tìm hạng của ma trận bằng phƣơng pháp định thức ........................... 23
2.1.2 Tìm hạng của ma trận bằng phƣơng pháp sử dụng các phép biến đổi sơ
cấp (phƣơng pháp Gauss).............................................................................. 24
2.2 Các bài toán liên quan đến hạng của ma trận ............................................... 25

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- ii -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu

Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

2.3 Bài tập đề nghị .............................................................................................. 34
CHƢƠNG 3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ............................................................... 36
3.1 Các phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo .................................................... 36
3.1.1 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức ......................... 36
3.1.2 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến
đổi sơ cấp ...................................................................................................... 37
3.1.3 Phƣơng pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phƣơng trình 38
3.1.4 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton ....................................................... 39
3.2 Các bài toán liên quan đến ma trận nghịch đảo ............................................ 40
3.3 Bài tập đề nghị .............................................................................................. 45
CHƢƠNG 4. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .............................................. 47
4.1 Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính ....................................... 47
4.1.1 Phƣơng pháp khử Gauss ...................................................................... 47
4.1.2 Hệ Cramer ............................................................................................ 48
4.2 Các bài toán liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính ................................ 49
4.3 Bài tập đề nghị .............................................................................................. 64
CHƢƠNG 5. LŨY THỪA BẬC CAO CỦA MA TRẬN ....................................... 66
5.1 Các phƣơng pháp tính lũy thừa bậc cao của ma trận.................................... 66
5.1.1 Phƣơng pháp quy nạp toán học ............................................................ 66
5.1.2 Phƣơng pháp chéo hóa ma trận ............................................................ 66
5.1.3 Phƣơng pháp tách ma trận.................................................................... 68
5.1.4 Phƣơng pháp lƣợng giác hóa ............................................................... 69
5.1.5 Áp dụng định lý Cayley-Hamilton ....................................................... 70
5.2 Các bài toán liên quan đến lũy thừa bậc cao của ma trận............................ 73
5.3 Bài tập đề nghị .............................................................................................. 89

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- iii -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

PHẦN KẾT LUẬN ................................................................................................. 93
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 94

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- iv -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đại số tuyến tính là một môn học quan trọng đối với sinh viên sư phạm Toán
cũng như sinh viên các ngành kĩ thuật khác, nó có ứng dụng to lớn vào đời sống xã
hội. Chính vì lẽ đó mà môn Đại số tuyến tính trở thành một môn thi quan trọng
trong các kì thi Olympic Toán hàng năm ở nước ta và một số nước trên thế giới.
Những khó khăn thường gặp ở các đề thi đó là: tính định thức cấp n, giải hệ phương
trình tuyến tính, tính lũy thừa bậc cao của ma trận... Để giải quyết được những vấn
đề này mọi người cần phải chuẩn bị cho mình những kiến thức cần thiết. Chính vì
thế em đã chọn đề tài: “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” làm
đề tài luận văn của mình.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu nhằm thống kê lại một số phương pháp tính định thức, giải hệ
phương trình tuyến tính, tìm hạng của ma trận, tìm ma trận nghịch đảo, tính lũy
thừa bậc cao của ma trận và thao tác tư duy. Từ đó rút ra cách phân tích và phương
pháp giải từng dạng bài tập.
III. ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Em đã chọn đề tài “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” để
nghiên cứu. Trong đó, phạm vi nghiên cứu là các kiến thức có liên quan đến Đại số
tuyến tính.
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu “Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính” và một số bài
tập có liên quan từ sách vở, thư viện, trung tâm học liệu, trên mạng internet, thầy
cô…
V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp chính được sử dụng trong quá trình nghiên cứu là tổng hợp
kiến thức từ các tài liệu khác nhau, phân tích, so sánh, sau đó trình bày theo hệ
thống logic.
VI. CẤU TRÚC VỀ NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN
Luận văn gồm 5 chương:

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-1-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Chương 1. Định thức

Chương 2. Hạng của ma trận
Chương 3. Ma trận nghịch đảo
Chương 4. Hệ phương trình tuyến tính
Chương 5. Lũy thừa bậc cao của ma trận

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-2-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

PHẦN NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. ĐỊNH THỨC
1.1

Các phƣơng pháp tính định thức

1.1.1 Đưa về dạng tam giác
Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột để đưa định thức về dạng có
mọi phần tử nằm ở phía dưới (hoặc trên) đường chéo chính đều bằng không.
1
a1
1 a1  b1
Ví dụ. Tính định thức D  1
a1
1

a2
a2
a2  b2

an
an
an

a2

an  bn

a1

Giải.
Nhân dòng đầu của D cho (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta có:
1 a1
0 b1
D 0 0

a2
0
b2

an
0
0  b1b2 ...bn .

0

0

bn

0

1.1.2 Rút nhân tử tuyến tính
Định thức được coi như là một đa thức của một hay một số chữ số nằm
trong định thức. Vì thế, ta biến đổi định thức này sao cho định thức chia hết cho
một nhân tử tuyến tính nào đó. Khi đó, tích của chúng là nhân tử của định thức.
Bằng cách so sánh các số hạng riêng biệt nào đó của tích những nhân tử tuyến tính
với các số hạng của định thức ta sẽ tính được định thức.
x
a1
Ví dụ. Tính định thức D  a1

a1
x
a2

a2
a2
x

an
an
an .

a1

a2

a3

x

Giải.
Cộng vào cột 1 với các cột còn lại rồi đặt nhân tử chung là x  a1  a2  ...  an , ta
được:

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-3-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

1 a1
1 x
n
D  ( x   ai ) 1 a2

a2
a2
x

1 a2

a3

an
an
n
an  ( x   ai ).P( x)

i 1

i 1

x
n

Ta thấy P  ai   0 , với mọi i  1, 2,.., n . Vì thế D  ( x   ai )( x  a1 )...(x  an ).c.
i 1

n

Mà hệ số x n 1 trong D là 1 nên ta được c  1 . Vậy D  ( x   ai )( x  a1 )...(x  an ).
i 1

1.1.3 Phương pháp truy hồi
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên định thức hoặc định lý Laplace để có
thể biểu diễn định thức qua các định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn. Sau đó
tính các định thức cấp thấp hơn để từ đó đón nhận công thức tổng quát và dùng
phương pháp truy hồi để tìm định thức.
1
a1
Ví dụ. Tính định thức Dn  a12

a1n 1

1
a2
a22

1
a3
a32

1
an
an2

a2n 1

a3n 1

ann 1

Giải.
Lấy dòng thứ  n  1 nhân với  an  rồi cộng với dòng n, lấy dòng thứ  n  2
nhân với (an ) rồi cộng với dòng  n  1 ,…, lấy dòng thứ nhất nhân với (an ) rồi
cộng với dòng hai, ta có:
1
a1  an
Dn  a1 (a1  an )

1
a2  an

a2 (a2  an )

1
a3  an
a3 (a3  an )

1
0
0

a1n  2 (a1  an ) a2n  2 (a2  an ) a3n  2 (a3  an )

0

 (1) n 1 (a1  an )...(an 1  an ) Dn 1.

Nhận xét D1  1 , nên từ đây ta suy ra được Dn   (a j  ai ).
j i

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-4-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

1.1.4 Biểu diễn định thức dưới dạng tổng (tích) các định thức khác
Khai triển định thức thành tổng (tích) các định thức cùng cấp, rồi tính các

định thức thành phần. Từ đó suy ra giá trị các định thức cần tìm.

Ví dụ. Tính định thức Dn 

a1  b1
a2  b1

a1  b2
a2  b2

a1  b3
a2  b3

a1  bn
a2  bn

an  b1 an  b2

an  b3

an  bn

Giải.
Ta có:

Dn 

a1
a2  b1

a1
a2  b2

a1
a2  b3

a1
a2  bn

an  b1

an  b2

an  b3

an  bn



b1
a2  b1

b2
a2  b2

b3
a2  b3

bn
a2  bn

an  b1 an  b2

an  b3

an  bn

Rồi tiếp tục khai triển hai định thức trên theo dòng 2, …Cứ thế khai triển cho
đến hàng cuối cùng, ta sẽ được 2n định thức. Trong khai triển trên, các dòng của
định thức thành phần có hai dạng:
(i) Dạng 1: các dòng có dạng ai , ai ,, ai .
(ii) Dạng 2: các dòng có dạng b1 , b2 ,, bn .
Hai dòng thuộc loại đầu thì tỉ lệ nhau, còn hai dòng thuộc loại 2 là bằng nhau,
nên trong mỗi định thức có hai dòng cùng loại nên phải triệt tiêu. Nên ta được
Dn  0 , với mọi n  2. Vì vậy, với n  1 thì D1  a1  b1 , còn với n  2 thì ta được

D2   a1  a2 b2  b1  .

1.1.5 Thay đổi các phần tử của định thức
Phương pháp này dựa vào tính chất: “Cho ma trận A  (aij )  M n ( K ),
n

x  K và gọi A'  ( x  aij ) . Khi đó ta được det A  det A'  x  (1)i  j M ij trong đó
i , j 1

M ij là định thức cấp n  1 nhận được bằng cách xóa đi dòng i, cột j”.

a1
x
Ví dụ. Tính định thức Dn  x

x
a2
x

x
x
a3

x
x
x .

x

x

x

an

Giải.

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-5-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu

Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Thêm  x vào mọi phần tử của Dn , ta được:
a1  x
0
0
0
a2  x
0
D 0
0
a3  x
0

0

0
0
0

 (a1  x)(a2  x)...(an  x).

an  x

0

Khi đó, ta có Dn  D  x (1)i  j M ij . Mà các phần bù đại số  1

i j

M ij không nằm

i, j

trên đường chéo đều bằng không, còn phần bù đại số của các phần tử nằm trên
đường chéo thì bằng tích các phần tử chéo còn lại. Nên ta tính được định thức
Dn  (a1  x)(a2  x)...(an  x)  x[(a 2  x)(a3  x)...(an  x)  ...  (a1  x)(a2  x)...(an 1  x)].

1.1.6

Đưa về dạng Vander Monde

Dùng các phép biến đổi hoặc khai triển Laplace để đưa về dạng định thức
Vander Monde.

Ví dụ. Tính định thức Dn 

1
x1  1
x12  x1

1
x2  1
x22  x2

1
x3  1
x32  x3

1

xn  1
xn2  xn .

x1n 1  x1n  2

x2n 1  x2n  2

x3n 1  x3n  2

xnn 1  xnn  2

Giải.
Lấy dòng 2 trừ cho dòng 1, trong định thức mới vừa nhận được ta lấy dòng 3 trừ
cho dòng 2, …, cuối cùng ta nhận được định thức Vander Monde. Vậy định thức
Dn   ( x j  xi ).
j i

1.2 Các bài toán liên quan đến định thức
Bài 1. Tính định thức cấp n (n  2) sau:
1 2 2
2 2 2
D 2 2 3

2
2
2

2 2 2

n

Giải.
Nhân dòng (2) với (-1) rồi cộng vào dòng (3),(4),…,(n). Ta có

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-6-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

1 2 2
2 2 2
D 0 0 1

2
2
0
n2

0 0 0

Sau đó nhân dòng (1) với (-2) rồi cộng vào dòng (2).
1 2 2
0 2 2
D 0 0 1
0

0

2
2
0  (2)(n  2)!
n2

0

Bài 2. Tính định thức cấp n sau:
a b b
b a b
D b b a

b
b
b

b b b

a

Giải.
Đầu tiên cộng các cột (2), (3), …, (n) vào cột (1).
a  (n  1)b b b
a  (n  1)b a b
D  a  (n  1)b b a

b
b

b

a  (n  1)b b b

a

Sau đó nhân dòng (1) với (-1) cộng vào các dòng (2), (3), …, (n). Ta có:
a  (n  1)b
b
b
0
a b
0
D
0
0
a b
0

0

0

b
0
0
a b

 (a  (n  1)b)(a  b) n 1.

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-7-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Bài 3. Cho a, b  , a  b. Tính định thức cấp n (n  3) sau:
a  b ab
0
1
a  b ab
0
1
ab

0
0
0

0
0
0

0
0
0

Dn 
0
0
0

0
0
0

a  b ab
0
1
a  b ab
0
1
ab

0
0
0

Giải.
Khai triển định thức theo dòng đầu, ta được:
1 ab
0
0 a  b ab
0
1
ab

0
0
0

0
0
0

0
0
0

Dn  (a  b) Dn 1  ab
0
0
0

0
0
0

a  b ab
0
1
a  b ab
0
1
ab

0

0
0

Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột (1) ta có công thức:
Dn  (a  b) Dn 1  abDn 2 với n  3

(*)

Do đó:
Dn  aDn 1  b( Dn 1  aDn 2 )

Công thức này đúng với mọi n  3 nên ta có:
Dn  aDn 1  b( Dn 1  aDn  2 )  b 2 ( Dn  2  aDn 3 )  ...  b n  2 ( D2  aD1 )

Tính toán trực tiếp ta có D2  a 2  b 2  ab và D1  a  b do đó D2  aD1  b 2 . Bởi vậy
Dn  aDn 1  b n

(1)

Tiếp tục từ công thức (*) ta lại có Dn  bDn 1  a( Dn 1  bDn 2 ). Do công thức này
đúng với mọi n  3 nên tương tự như trên ta lại có:
Dn  bDn 1  a( Dn 1  bDn  2 )  a 2 ( Dn 3  bDn 4 )
 ...  a n  2 ( D2  bD1 )  a n vì D2  bD1  a 2

Vậy ta có:
Dn  bDn 1  a n

(2)

Khử Dn 1 từ trong (1) và (2) ta sẽ được kết quả: Dn 

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

-8-

a n 1  b n 1
.
a b

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Bài 4. Tính định thức cấp n (n  2) sau:

D

1  x1 y1 1  x1 y2
1  x2 y1 1  x2 y2

1  x1 yn
1  x2 yn

1  xn y1 1  xn y2

1  xn yn

Giải.
Với n  2 ta có:

1  x1 y1 1  x1 y2
1  x y 1  x y
2 1
2 2
A


1  xn y1 1  xn y2
1
1

 1


1

x1
x2
x3

0
0
0

xn

0

0  1
0   y1


0  0


0   0

B

1  x1 yn 
1  x2 yn 


1  xn yn 
1
yn 
0


0 

1
y2
0
0
C

Bởi vậy:
0
,n  2


D  det A  det B.det C  
( x2  x1 )( y2  y1 ) , n  2

Bài 5. Tính định thức cấp n (n  2) sau:

D

sin 21
sin(1   2 )
sin( 2  1 )
sin 2 2

sin(1   n )
sin( 2   n )

sin( n  1 ) sin( n   2 )

sin 2 n

.

Giải.
Với n  2 ta có:
sin(1   2 )
 sin 21
sin(   )
sin 2 2
2
1
A



sin( n  1 ) sin( n   2 )

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

sin(1   n ) 
sin( 2   n ) 


sin 2 n 

-9-

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

 sin 1
sin 
2

  sin  3


sin  n

cos1
cos 2

cos 3

0
0
0

cos n

0

0  cos1 cos 2
0   sin 1 sin  2

0  0
0


0   0
0

cos n 
sin  n 
0 


0 

C

B

Bởi vậy:
0
,n  2

D  det A  det B.det C  
2
 sin (1   2 ) , n  2

Bài 6. (Olympic 1993) Cho 2n số nguyên a1 ,, an , b1 , , bn thỏa điều kiện sau

a1b1  a2b2  ...  anbn  0. Tính Dn 

1  a1b1
a1b2
a2b1 1  a2b2
anb1

anb2

a1bn
a2bn

.

1  anbn

Giải.
Lập công thức truy hồi

Dn 

1  a1b1
a1b2
a2b1 1  a2b2
anb1

anb2

a1bn
a2bn

 Dn 1  anbn .

1  anbn

 a1bi 
(vì cột  ...  phụ thuộc tuyến tính vào cột thứ n). Suy ra Dn  1  (a1b1  ...  anbn )  1.
a n bi 

Bài 7. (Olympic 1995) Cho A là ma trận vuông cấp n và số r 

thỏa điều kiện

det( B  rI n )  0 . Chứng minh rằng với mọi a0 , , an  , n  , ta có:
n

n

k 0

k 0

det( ak B k   ak r k I n )  0.

Giải.
Với mọi k  1, , n ta có được B k  rI n  ( B  rI n )(B k 1  rB k  2  ...  r k 1I n ). Ta đặt
M k  B k 1  rB k  2  ...  r k 1I n , suy ra B k  rI n  ( B  rI n ) M k . Do đó ta được:

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 10 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

n

n

a B  a r
k

k

k 0

k

k

k 0

n

n

k 0

k 0

I n   ak ( B k  r k I n)  ( B  rI n ) ak M k  ( B  rI n ) M .
n

n

k 0

k 0

Nên ta suy ra det( ak B k   ak r k I n )  det( B  rI n ).det M  0.
Bài 8. (Olympic 1995) Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho A1  3 A . Tính





det A1995  A .

Giải.
1
 1994
A  997 I

1

3
Từ hệ thức A1  3 A ta thu được A2  I . Suy ra 
3
1
 A2 

3n
n

Do đó A

1995

 1  3997 
 .
 A   997
3 
3

Bài 9. Chứng minh rằng định thức cấp 3 của ma trận gồm các số 1 hoặc -1 đều
không thể lớn hơn 4.
Giải.

a11 a12
Xét D  a21 a22
a31 a32

a13
a23  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  (a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33 )
a33

Ta cần chứng minh: D  4 . Ta dùng phản chứng để chứng minh.
Giả sử D >4
Nếu 1 trong các số a13a22 a31 , a11a23a32 , a12 a21a33 có 1 số bằng 1 thì vế trái  3 và vế phải
 3 . Suy ra vế trái không thể lớn hơn vế phải.

 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33  1

(1)

Nếu 1 trong các số a11a22 a33 , a12 a23a31 , a13a21a32 có 1 số bằng -1 thì vế trái  1 và vế phải
 1 . Suy ra vế trái không thể lớn hơn vế phải.

 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  1

(2)

Từ (1) và (2) thì ta có:

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 11 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

a11a12 a13a21a22 a23a31a32 a33  1

 a11a12 a13a21a22 a23a31a32 a33  1

(vô lí)

 D không thể lớn hơn 4

Vậy D  4.
  
Bài 10. Tính   
  

trong đó  ,  ,  là các nghiệm của phương trình:

x3  px  q  0.

Giải.
Theo định lí Viet ta có       0
Cộng cột (1), cột (2) vào cột (3) ta có:
           0
              0  0.
           0

Bài 11. Giải phương trình

1
1
1
1

x x 2 x3
2 4 8
 0.
3 9 27
4 16 64

Giải.
Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu, ta sẽ có vế trái là một đa thức bậc 3
của x, kí hiệu là f ( x) . Ta có f (2)  0 vì khi đó định thức ở vế trái có 2 dòng đầu
bằng nhau. Tương tự f (3)  0, f (4)  0. Vì f ( x) là đa thức bậc 3, có 3 nghiệm là
2,3,4 nên phương trình trên có nghiệm là 2,3,4.
Bài 12. Chứng minh:
a2
b2
c2
d2

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

(a  1) 2
(b  1) 2
(c  1) 2
(d  1) 2

(a  2)2
(b  2) 2
(c  2) 2
(d  2) 2

- 12 -

(a  3) 2
(b  3) 2
 0.
(c  3) 2
(d  3) 2

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Giải.
Đầu tiên ta nhân cột (1) với (-1) cộng vào cột (4), nhân cột (2) với (-1) cộng vào cột
(3) ta được:
a2
b2
c2
d2

(a  1)2
(b  1) 2
(c  1) 2
(d  1) 2

(a  2)2
(b  2) 2
(c  2) 2
(d  2) 2

(a  3) 2
a2
(b  3) 2
b2

(c  3) 2
c2
(d  3) 2 d 2

(a  1) 2
(b  1) 2
(c  1) 2
(d  1) 2

2a  3
2b  3
2c  3
2d  3

6a  9
6b  9
 0.
6c  9
6d  9

(định thức bằng 0 vì có hai cột 3 và 4 tỉ lệ với nhau)
Bài 13. Tính định thức sau:
1  a1
a2
a3
a1 1  a2
a3
a2
1  a3
D  a1
a1

a2

...
...
...

an
an
an

.

... 1  an

a3

Giải.

, (n) vào cột (1) ta được:

Cộng các cột (2), (3),
1  a1
a2
a1
1  a2
a2
D  a1
a1

a2

a3
a3
1  a3
a3

...
...
...

an
an
an

... 1  an

1  a1 
1  a1 

 1  a1 

 an
 an
 an

a2
1  a2
a2

a3
a3
1  a3

1  a1 

 an

a2

a3

Sau đó, ta nhân dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng (2), (3),
1  a1   an
0
D
0

a2
1

0

a3
0
1

... an
... 0
... 0  1  a1 

0

0

...

0
1
0
x

1
x
0

1
x
0.

1

x

x

0

- 13 -

an
an
an

... 1  an

, (n).

 an .

1

0
1
Bài 14. Tính định thức : D  1

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

...
...
...

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Giải.
 Với x  0 , ta nhân dòng (1) với (-x) cộng vào dòng (2), (3), …, (n) ta được:
0
1
D 1

1
0
x

1
x
0

1 0 1
1
x 1 x 0
0  1 0 x

1
0
0

1

x

x

0

x

1

0

Sau đó, nhân cột (2), (3), …, (n) với
n 1
1
1
x
1
x 0
D
0
0 x
0

0

0

1

rồi cộng tất cả vào cột (1).
x

1
0
n 1

( x) n 1  (1) n 1 (n  1) x n 2 (n  2).
0
x
x

0

 Dễ thấy khi x  0 , đáp số trên vẫn đúng do tính liên tục của định thức.
Bài 15. Tính định thức sau:

Dn 

5 3 0 0
2 5 3 0
0 2 5 3

0 0
0 0
0 0

0 0 0 0
0 0 0 0

5 3
2 5

Giải.
Khai triển định thức theo dòng đầu ta có:

Dn  5Dn 1  3

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

2 3 0
0 5 3
0 2 5

0 0
0 0
0 0

0 0 0
0 0 0

5 3
2 5

- 14 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

Tiếp tục khai triển định thức theo cột (1) có công thức truy hồi:
Dn  5Dn 1  6 Dn 2

(n  3)

(*)

Từ (*) ta có:
Dn  2 Dn1  3( Dn1  2 Dn2 )

Do công thức đúng với mọi n  3 nên ta có:
Dn  2 Dn 1  3( Dn 1  2 Dn  2 )  32 ( Dn  2  2 Dn 3 ) 

 3n 2 ( D2  2 D1 )

Tính toán trực tiếp ta có D2  19, D1  5 nên D2  2 D1  9. Bởi vậy ta có:
Dn  2 Dn 1  3n

(1)

Mặt khác, cũng từ công thức (*) ta có:
Dn  3Dn 1  2( Dn 1  3Dn 2 )

Tương tự như trên ta có:
Dn  3Dn 1  2( Dn 1  3Dn  2 )  22 ( Dn  2  3Dn 3 ) 

 2n 2 ( D2  3D1 )  2 n

Vậy ta có:

Dn  3Dn 1  2n

(2)

Khử Dn 1 từ trong (1) và (2) ta có:
Dn  3n 1  2n 1.

Bài 16. Tính định thức cấp n (n  2) sau:

D

cos(1  1 ) cos(1   2 )
cos( 2  1 ) cos( 2   2 )

cos(1   n )
cos( 2   n )

cos( n  1 ) cos( n   2 )

cos( n   n )

Giải.
Để tính định thức này ta dùng phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định
thức. Với n  2 ta có:
 cos(1  1 ) cos(1   2 )
 cos(   ) cos(   )
2
1
2
2

A


cos( n  1 ) cos( n   2 )

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 15 -

cos(1   n ) 
cos( 2   n ) 


cos( n   n ) 

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

 cos1
 cos
2

  cos 3


cos n

sin 1

sin  2
sin  3

0
0
0

sin  n

0

0   cos1 cos 2
0  sin 1 sin  2

0  0
0


0   0
0

cos n 
sin  n 
0 


0 

C

B

Bởi vậy ta có:
0
,n  2

D  det A  det( BC )  det B.det C  
sin( 2  1 ).sin(2  1 ) , n  2

Bài 17. (Olympic 2003) Tính tổng Sn  d 2  d3 

 d n , trong đó d k là các định thức

cấp k , k  2,3, , n có dạng:
0 1
1 0

1 1
x x

1 x
1 x

0 x
x 0

dk 

Giải.
Với x  0 thì d 2  1 và d n  0 (n  3). Suy ra Sn  1.

Xét x  0
Bước 1. Xét định thức cấp n dạng
a x
x a

x
x

x
x

d

.
x
x

x
x

a x
x a

Cộng tất cả các cột của ma trận vào cột đầu, rút thừa số chung a  (n 1) x ra ngoài
định thức. Trong định thức mới, ta nhân dòng đầu với ( x) rồi sau đó cộng vào tất cả
các hàng còn lại, ta được:
d  a  (n 1) x (a  x)n1.

Khi a  0 thì d  (n  1) x( x)n1.
Bước 2. Nhân cột đầu và hàng của dn với x ta được x 2 d n  d . Suy ra

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 16 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

dn 

1
(n  1) x( x) n 1  (1) n 1 ( n  1) x n  2 .
2
x

Do đó
Sn  1  2 x  3x 2 

 (1) n 1 (n  1) x n  2 .

 Trường hợp x  1, thì
Sn  

n(n  1)
.
2

 Trường hợp x  1, thì

(1  x) Sn  1  x  x 2 



 (1) n 1 (n  1) x n 1

(1) 1  ( x) n 1 
1 x

 (1) n 1 (n  1) x n 1.

( x) n 1  1
x n 1
n 1
 (1) (n  1)
.
Do đó Sn 
( x  1) 2
x 1

Bài 18. (Olympic 2004) Cho ma trận thực A  (aij )nn thỏa mãn điều kiện
0 , i  j
aij  
.
1 , i  j

Chứng minh rằng:
a) Nếu n  3, thì tồn tại ma trận A sao cho det A  0.
b) Nếu n  4, ta luôn có det A  0.
Giải.

 0 1 1
a) Ví dụ, với A3   1 0 1  ta có det A3  0.
 1 1 0 

b) Xét ma trận
0
1
B
1

1

1
0
1
1

1
1
0
1

1
1 
1

0

Ta tính được det B  3.
Theo đinh nghĩa của định thức thì

det B 



(1) N ( j1 ,

, j4 )

b1 j1 b2 j2 b3 j3 b4 j4 .

( j1 , , j4 )

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 17 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

det A 

Và



(1) N ( j1 ,

, j4 )

(1)

a1 j1 a2 j2 a3 j3 a4 j4 .

( j1 , , j4 )

Rõ ràng nếu tích b1 j b2 j b3 j b4 j  0 thì tích a1 j a2 j a3 j a4 j  0 và ngược lại. Do
1

2

3

4

1

2

3

4

det B  3 là một số lẻ nên số số hạng khác 0 trong (1) cũng là một số lẻ và vì vậy
det A  0.

Bài 19. (Olympic 2008) Cho a0 , d là các số thực, dãy a0 , a1, , an  lập thành cấp số
cộng công sai d . Tính định thức của ma trận
a1

 a0
a
a0
 1
a
a1
A 2

 an 1 an 2

 an an 1

a2
a1
a0

an 1
an 2
an 3

an 3
an 2

a0
a1

an 
an 1 
an 2 



a1 

a0 

Giải. Ta có

det A  D 

a0
a1
a2

a1
a0
a1

an 1 an 2
an an 1

a2
a1
a0

an 1
an 2
an 3

an
an 1

an 2

an 3
an  2

a0
a1

a1
a0

Cộng cột đầu vào cột cuối ta được:

D  (a0  an )

a0
a1
a2

a1
a0
a1

an 1 an  2
an an 1

a2
a1
a0
an 3

an  2

an 1 1
an 2 1
an 3 1
a0
a1

1
1

Do ak  ank  a0  kd  an  kd  a0  an , k  1, , n  1.
Tiếp tục nhân hàng thứ n  1 với (-1) rồi cộng vào hàng cuối cùng, nhân hàng thứ
n  2 với (-1) rồi cộng vào hàng thứ n  1 , … , nhân hàng 1 với (-1) rồi cộng vào

hàng 2 ta được:

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 18 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

D  (a0  an )

a0
d

d

a1
d
d

a2
d
d

an 1 1
d 0
d 0

d
d

d
d

d
d

d
d

 (1) n (a0  an )

0
0

d
d
d

d
d
d

d
d
d

d
d
d

d
d
d

d
d

d
d

d
d

d
d

d
d

Cộng hàng cuối vào các hàng còn lại, ta được:

D  (1) n (a0  an )

2d
2d
2d

0
2d
2d

0
0
2d

0
0
0

0
0
0

2d
d

2d
d

2d
d

2d
d

0
d

 (1) n (2a0  nd )2n 1 d n .

Bài 20. (Olympic 2009) Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n  2 sao cho với mọi
ma trận vuông cấp n, ta đều có det( A  B)  det A  det B.
Giải.
Chọn ma trận B  A, ta có: 2n det A  det(2 A)  2det A





 2n  2 det A  0  det A  0 do (n  2).

Giả sử A  (aij ) nn , ta chọn ma trận tam giác trên B  (bij )nn

b11  0
b  0 (i  j )
 ij

bij  aij (i  j )
b  1  a (i  1)
ii
 ii

Khi đó ta thu được a11  0. Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử bất kì
aij của A về vị trí góc trái trên cùng và lặp lại phép chứng minh trên ta được aij  0.

Vậy ma trận cần tìm là ma trận O.
1.3 Bài tập đề nghị
Bài 1. (Olympic 1995) Cho hai số thực phân biệt a, b và cho B  (bij ) là ma trận
vuông cấp 6 được xác định như sau:
 x khi i  j

bij  a khi i  j , i  j  2n,
b khi i  j, i  j  2n  1.


GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 19 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu


Một số vấn đề chuyên sâu trong Đại số tuyến tính

6

Giả sử det B    k ( x  a) k . Tính  4 .
k 0

Bài 2. (Olympic 1998) Giả sử A là ma trận gồm n  1 hàng và n  2 cột sau đây:
C00

0
A 0


0


C10
C11
0

C20
C21
C22

Cn0
Cn1
Cn2

0

0

Cnn

Cn01 

Cn11 
Cn21 


n 
Cn 1 

Gọi Dk là định thức của ma trận nhận được từ A bằng cách gạch bỏ cột thứ k,
k  1, 2,..., n  2. Chứng minh rằng Dk  Cnk11.

Bài 3. (Olympic 1998) Gọi M là tập hợp tất cả các ma trận vuông cỡ n  n, (n 

*

),

có các phần tử là 1 hoặc -1. Cho B  M có det(B)  0. Chứng minh rằng tồn tại
A  M sao cho det A  det B . Trong đó A có tổng các phần tử trên cùng một hàng

đều lớn hơn hoặc bằng 0, tổng các phần tử trên cùng một cột đều lớn hơn hoặc bằng
0.
Bài 4. (Olympic 2001) Cho các ma trận vuông thực A, B thỏa mãn điều kiện sau
A2001  0, AB  A  B. Chứng minh rằng det B  0 .

Bài 5. (Olympic 2003) Cho ma trận
1
1
1 
1  x1
 1
1  x1
1
1 

A
 1
1
1  x1
1 


1
1
1  x1 
 1

Trong đó x1 , x2 , x3 , x4 là các nghiệm của đa thức f ( x)  x 4  x  1. Tính det A.
Bài 6. (Olympic 2004) Biết rằng các ma trận vuông A, B đều là nghiệm của đa thức
f ( x)  x 2  x và AB  BA  0. Tính det( A  B).

GVHD: Th.S Trang Văn Dễ

- 20 -

SVTH: Cao Thị Bích Liểu