cd : cac bt lien quan toi pt bac hai dl viet

Trường THCS VINT THANH

CHUYÊN ĐỀ :

Các bài toán liên quan tới phương trình
bậc hai và định lý Vi-et.
Bài 1:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0
1.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.
Giải:
1. Ta có : ∆ = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = 5 > 0
suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m
 x1 + x 2 = 2m + 1(1)
2.Theo vi-et ta có: 
2
 x1 .x 2 = m + m − 1(2)
x + x2 − 1
Từ (1) suy ra: m = 1
thay vào (2) ta có:
2
2

2

 x + x 2 − 1   x1 + x 2 − 1 
 x + x 2 − 1   x1 + x 2 − 1 
x1 .x 2 =  1
 +
 − 1 ⇒ x1 .x 2 −  1
 −
 =1.

2
2
2
2

 


 

Ta có đpcm.
Bài 2: Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thức ∆ của phương trình sau là số
chính phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k ≠ 0)
Giải:
Ta có : ∆ = (2k-1)2 - 4.k.(k-2) =4k +1 .
Giả sử 4k + 1 là số cp khi đó nó là số cp lẻ hay: 4k + 1 = (2n + 1)2 n là số tự nhiên.
Hay: k = n2 + n.
Vậy để ∆ là số cp thì k = n2 + n( thử lại thấy đúng).
Bài 3: Tìm k để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt :
(x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)= 0
Giải:
Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x)
Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân biệt
∆ = k 2 − 4.(k 2 − 3) > 0
 2 > k > −2
⇔
khác 2 hay: 
 k ≠ −1
 g ( 2) ≠ 0
Bài 4: Tìm a,b để hai phương trình sau là tương đương:

x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 (1) và x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)
với a và b tìm được hãy giải các phương trình đã cho.
Giải:
-Điều kiện cần:
Nhận thấy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) cũng phải có 2 nghiệm phân
biệt giống với (1).
Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 và g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b.
1

Gv : Đỗ Kim Thạch st


Trường THCS VINT THANH
Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f(x) = g(x) (*) với mọi x (Vì hệ số của
x2 của cả hai pt đều bằng 1).
Thay x = 0 vào (*) ta có b = -2 (3).
Thay x = 1 vào (*) kết hợp với (3) ta được a= -2.
-Điều kiện đủ:
Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau.
Bài 5: Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình :
1
x2 - a.x- .a2 =0; (a ≠ 0)
2
4
4
chứng minh : b + c ≥ 2+ 2 .
Giải:
b + c = a

Theo định lý Viet ta có: 

1
bc = − 2a 2

[

]

2

Ta có: b 4 + c 4 = (b 2 + c 2 ) 2 − 2b 2 c 2 = (b + c) 2 − 2bc − 2b 2 c 2
2

1 
1
3
3

⇒ b 4 + c 4 =  a 2 + 2  + 4 = a 4 + 4 + 2 ≥ 2. a 4 . 4 + 2 = 6 + 2 > 2 + 2 .
a 
2a
2a
2a

Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm :
a(x-b).(x-c) + b.(x-c). (x-a) + c.(x-a).(x-b) = 0
Giải:
Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c). (x-a) + c.(x-a).(x-b) =
= (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc
*Nếu a + b + c ≠ 0.Khi đó:
1

∆ ' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2]. ≥ 0
2
*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:
-Nếu ab + bc + ca ≠ 0 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.
-Nếu ab + bc + ca =0. Khi đó kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh được
a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp này pt đã cho có vô số nghiệm.
Bài 7:CMR:Nếu các hệ số a,b,c của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) đều là các
số lẻ thì phương trình bậc hai trên không thể có nghiệm hữu tỉ.
Giải:
Giả sử phương trình bậc hai trên với các hệ số a,b,c đều là các số lẻ có nghiệm hữu tỉ
m
x0 =
với m,n là các số nguyên (m,n)=1 và n ≠ 0 ;khi đó ta có:
n
2
m
m
a.   + b. + c = 0 hay: am 2 + bmn + cn 2 = 0 (1).Suy ra:
n
n
cn 2 m
c m
mà (m,n)=1 ⇒ ( n, m 2 ) = (m, n 2 ) = 1 nên: 
mà c,a đều là các số lẻ nên
 2
am n
a n
suy ra m,n cũng là các số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n đều là các số lẻ .Do đó:
2

Gv : Đỗ Kim Thạch st


Trường THCS VINT THANH
am 2 + bmn + cn 2 = số lẻ (Mâu thuẫn với (1)).
Vậy điều ta giả sử là sai.Hay nói cách khác, ta có đpcm.

3

Gv : Đỗ Kim Thạch st