PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH OXY

Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)
1) Cho ∆:

A

Nếu ∆ qua

(d)
LC

M
G

B

C

H

(loại do // AB).
A
(d)

M
(d')

C

B

+

=

( ;

( ;

→ ∆ qua

) à∆ ⊥∆ ó

) à∆ ∥∆ ó

: ( −

)− ( −

: ( −

)+ ( −

) = 0 (∆ ).

) = 0 (∆ ).

2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương
trình) đó là
⊥
, nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phương trình

đường thẳng BC. (
⊥
⇔ ⃗ ⊥ ⃗)
3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1
phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM.
4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác
thì thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm
cho trước thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC. Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua
sẽ nằm trên
BC và ngược lại. Nếu đề cho phương trình AC, phương trình
thì ta suy ra tọa độ điểm C và
viết được phương trình BC nhờ công thức cos( ; ) = cos( ; ).
5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2
phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và
⊥ ( ).
6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường
+
+
= 3.
.
thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình):
+
+
= 3.

˜ MỘT VÀI BÀI TOÁN OXY DỰA VÀO HÌNH VẼ VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC:

đường phân giác ngoài của góc ′ ′ ′.

A

B

* Bài toán: Viết phương trình cạnh AB C
của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 chân
đường vuông góc của 3 đường cao kẻ từ
A, B, C là A’, B’, C’. Giải: Trường
hợp 1:sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp:
HC’AB’;AB’BA’;HC’A’B ta suy ra
C'
được AB là đường phân giác trong của
góc ′ ′ ′. Trường hợp 2: AB là

A'

A'

H G
C'

C

H

B

A

B
A

H

C

M

B'

B'

I

A'

AH=2.IM; IH=3.IG

1) (A 2010 cơ bản). Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng : √3 + = 0, : √3 − = 0 . Gọi ( ) là đường tròn tiếp
xúc với tại A, cắt
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có
diện tích bằng

√

và điểm A có hoành dương. Giải: Cách1: Vì ∆

vuông tại B nên AC là đường kính của (T). Ta có:

= 60 . Mặt khác theo giả thiết tam giác OAC vuông tại A suy ra
= 60 . Gọi

= 120
√
. Áp dụng tính chất của nửa tam giác đều AOB;AOC suy ra
=2 ;
= ;
= √3;
=
→
= →

cos(
(

;

)=

)=

; −√3

4=0→
có

=

∈

; − √3 ∈
⊥

√3. 3 =

√ .√

√

= →

.√

.

√

=

∩

→

ớ

=

= −

√

=

+3

=0

→

√

. Theo giả thiết
= →

; −2 →Tâm

> 0. Ta có

; − √3

: √3 +

.

⊥

−

=±

√

√

;−

(

→

; − √3

: √3 −

=0

: − √3 − 4 = 0 →

√3. Theo giả thiết ta có phương trình:

)=
√

→

→

=

√3 =

√

→

; −1 →

√

=

√

:1

+

đường tròn:

→

√

−

=
√

√

+

: + √3 + 2 = 0 →

√

∩

↔

→

=

√

ℎ

√

; −1 ;

√

. Gọi

− √3( + 1) = 0 ↔ √3 − 3 −
+

= 1. Cách2: Gọi

=

−2 ; −2 √3 →

→

=

=

−

(

√

∩

→

)=

; −2 →

− ;−

F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version

.

=

√

. Ta

đường tròn...


Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
2) (D 2010 cơ bản). Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; −7), trực tâm (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là
(−2; 0). xác định tọa độ đỉnh C, biết C hoành độ dương. Giải: Gọi M là trung điểm BC, A’ là điểm đối xứng với A qua I. Ta có:
BH//CA’; CH//BA’ suy ra BA’CH là hình bình hành suy ra M là trung điểm của BC. Từ đó suy ra
= −2
⃗ = 2 ⃗ → 0 = 2(−2 − ) ↔
→ (−2; −3). Đường thẳng BC đi qua M có ⃗ = (0; 6) làm vectơ chỉ phương
= −3
6 = 2(− )
có phương trình + 3 = 0. Phương trình đường tròn tâm I bán kính =
là:( + 2) +
= 84, Tọa độ của B, C là giao điểm
( + 2) +
= 84
= −2 ± √65
của đường thẳng BC với đường tròn, tọa độ thỏa hệ
↔
. ĐS: (−2 + √65; −3).
+3=0

= −3
; 1 và trọng tâm (1; 1). ĐS: (3; −2), (3; 4) hoặc
3) Tìm các đỉnh B, C của tam giác ABC biết rằng (−3; 1), trực tâm
4) Tìm các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng trực tâm (3; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là (−1; −1), đường thẳng
BC có phương trình: + + 1 = 0.
5) Cho tam giác ABC có trực tâm (3; 3), (5; 4) là trung điểm của BC, chân đường cao kẻ từ C là (3; 2). Viết phương trình
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
6) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ’(0; 2), ’(1; −4) à ’(2; −3) lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A,B,C lên các đường thẳng BC,AC,và AB. Lập phương trình đường thẳng BC. ĐS:
: + − 2 = 0;
− + − 2 = 0.
7) Cho tam giác cân có cạnh bên và một cạnh đáy có phương trình: AB: + 2 − 1 = 0;
: 3 − + 5 = 0. Lập phương trình
cạnh bên còn lại biết nó đi qua điểm (1; −3). Giải: Phương trình AC: ( − 1) + ( + 3) = 0 ⇔
+
+ 3 − = 0.
| .
| .
. |
. |
( +
≠ 0). ∆
cân tại A nên cos( ; ) = cos( ; ) ↔
=
↔ 5(3 − ) =
+
↔
2

− 15

+ 22

= 0. Nếu

=0→

= 0 (loại). Nếu

≠ 0 thì 2

.

.

− 15

=

+ 22 = 0 ↔

. Trường hợp 1:
=2
=
chọn = 2; = 11 ta được phương trình AC: 2 + 11 + 31 = 0, Trường hợp 2: = 2 chọn = 1; = 2 ta được
phương trình AC: + 2 + 5 = 0 (loại do song song với AB).N có thể giải cách khác. Từ đó có thể làm các bài:
8) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: − 2 + 1 = 0. Ptrình BD: − 7 +
14 = 0, đường thẳng
đi qua (2; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
9) Cho hình vuông ABCD có đỉnh (−4; 5) và một đường chéo có phương trình: 7 − + 8 = 0. Lập phương trình các cạnh và

đường chéo thứ 2 của hình vuông ABCD. ĐS: 4 + 3 + 1 = 0; 3 − 4 + 32 = 0; 3 − 4 + 7 = 0; 4 + 3 − 24 = 0.
10) *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (6; 6) và ngoại tiếp đường tròn tâm K(4; 5), biết (2; 3). Tính tọa độ 3 đỉnh.
11) Cho tam giác ABC có (2; 1) là tâm đường tròn ngoại tiếp. Đường cao AH,
− ; thuộc BC. đường phân giác trong góc
A là : −

+ 1 = 0,

< 0. Tìm 3 đỉnh của tam giác ABC.

êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.

I
R
A

H

B

B

I

H
A

M
A

B

[é“Thần chú”: Để viết đường thẳng ∆ tạo (hoặc cắt hoặc tiếp xúc) với đường tròn một tam giác
thỏa bất cứ điều kiện nào thì chỉ cần biết khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ là xong é[
3) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) và chắn trên đường thẳng (∆) : − 2 + 4 = 0 một
dây cung có độ dài bằng 4. Giải: Kẽ
⊥
→ là trung điểm của AB. →
= 2,
= ( , ∆) =
+
= 3 → ( ): ( − 3) + ( − 1) = 9.
√5 → = √
4) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua gốc O và cắt đường tròn (C):( − 1) + ( + 3) = 25
theo một dây cung có độ dài bằng 8. Giải: (C) có tâm (1; −3) à = 5. Phương trình đường thẳng
(∆) đi qua gốc O : ( − 0) + ( − 0) = 0 ↔
+
=0( +
≠ 0). Kẽ
⊥
→
là trung điểm của AB. →

0↔

=−

= 0: ℎọ
: ℎọ

=1

= 4;

= 4,

= −3

= ( , ∆) = √

−

=3↔

. Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: ∆ :

|

|

=3↔4

+3

= 0; ∆ : 3 − 4 = 0.

=

ê TIẾP TUYẾN: Dạng 1: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước. Ex: Viết phương trình tiếp tuyến
của đường tròn (C) :

+ ( − 1) = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 ( hoặc song song với đường
thẳng 4x+3y=0). Lúc đó (C) có tâm (0; 1), = 5, tiếp tuyến có dạng : 4 + 3 + = 0 (∆). ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) =
| .
|
.
= 22
↔
=5↔
. Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm có phương trình 4 + 3 = 22 hay 4 + 3 – 28 = 0.
= −28

F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version


Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc.
Dạng 2: Tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại điểm ( ; )( hay tiếp tuyến đi qua điểm M mà M thuộc (C)). Lúc đố tiếp tuyến ∆ có
pháp vectơ là ∆⃗ = ⃗, với I là tâm đường tròn.Hoặc sử dụng công thức:
+
+ ( + )+ ( + )+ =

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước. Ex: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn :
+
–4 –2 –4 = 0
tâm I(2 ; 1), bán kính R=3 biết tiếp tuyến qua điểm (− 1 ; 2). Giải: Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( − 1 ; 2) có dạng:
(

+ 1) + ( – 2) = 0 ↔

+

+

= 0 . ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) =

–2

|

↔

|

.

=3↔

=

0ℎ
= − 4 /3 . Ta được 2 tiếp tuyến – 2 = 0 và 4 − 3 + 10 = 0.
Dạng 4: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc . Ex: Viết p/trình tiếp tuyến của đường tròn : (C) :
+
+
2 – 4 + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng (D): + 2 + 5 = 0 một góc 45 . Giải: (C) có tâm (−1; 2), = 1.
Gọi vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến ∆:
+

√10√

↔3

−8

trình tiếp tuyến ∆ có dạng: −

−3

+3

= ( ; ), (

=0↔

2 tiếp tuyến trong trường hợp này: ∆

+
,

T

R

∆⃗

:−

+

= − , ℎọ

= 3, ℎọ

R

H

1200

M

M

R

I

H

600

T

T'

I

H

M

T'

=

√

↔ 2| + 2 | =

↔

|(

)(

)

|

.

=1↔

+ 7 ± √10 = 0. Trường hợp 2: tương tự: ∆ có dạng: 3

T
I

. |

= −1, = 3 → ∆⃗ = (−1; 3)
. Trường hợp 1 : ∆⃗ = (−1; 3) phương
= 3, = 1 → ∆⃗ = (−1; 3)

= 0. ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) =
+3

| .

≠ 0). Ta có: cos(∆, ) =

T'

ê GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN: Giả sử tiếp tuyến MT, MT’,
với T, T’ là 2 tiếp điểm, Lúc đó:
1)
= 60 ↔ ∆
là tam giác đều ↔
= 30 ↔
= 2. ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = 2 .
2)
= 90 ↔
′ là hình vuông ↔
= √2 ↔
(
)
thuộc đường tròn
tâm bán kính = √2.

3)
= 120 ↔ ∆
vuông tại T và có
= 60 ↔
=

√

↔

thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính

=
.
=
15) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ ⊥ với nhau ⇔ ( , ∆) =
14) Từ M kẽ 2 tiếp tuyến đến (C) mà 2 tiếp tuyến đó hợp với nhau 1 góc

⇔

16) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ cắt nhau tại M mà ∆

⇔ ( , ∆) =

=

=

+

= 7 + √10
. Có
= 7 − √10
+
= 0, …

.

=

( , ∆) =

( , ∆) =

=

=

=

=

√

√

=

√

.

.

′ là tam giác đều

17) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ tạo với nhau 1 góc 60 ⇔

⇔

√

=

.

=
=

18) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm. Ex: Cho điểm (−3; 1) và đường tròn ( ): +
−2 −6 +6=
0. Gọi , là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng MN. Giải: Cách 1: (C) có tâm
(1; 3), bán kính = 2. Gọi =
∩
. Ta có:
= 2√5 → . =
=
=4→
= → = → ⃗ = 5. ⃗ (do

−3 − 1 = 5( − 1)
H là điểm nằm trong đoạn AI. →
→
1 − 3 = 5( − 3)
Phương trình MN: −4

suy ra (−1; 2), ta có

−

−2

−

=0↔2 +

;

√

. Đường thẳng MN qua H có VTPT là ⃗ = (−4; −2).

− 3 = 0. Cách 2: (C) có tâm (1; 3),

= 2. Gọi V là trung điểm AI,

= 2√5 →
= √5. Vì M, N nhìn AI dưới 1 góc vuông nên M, N nằm trên đường tròn ( ) tâm V bán
kính =
= √5 → ( ): ( + 1) + ( − 2) = 5 ↔

+
+ 2 − 4 = 0 ( ). Do đó MN chính là giao điểm của 2
đường tròn ( ) à ( ) hay MN chính là trục đẳng phương có phương trình:
+
−2 −6 +6 =
+
+2 −4 ↔
2 + − 3 = 0. Cách 3:(công thức tiếp tuyến chẻ đôi) Lưu ý từ cách 1 ta suy ra độ dài MN mà không cần viết ph trình tiếp tuyến

F Số 8 Lê Lợi , 37 Thanh Tịnh Vỹ Dạ, Khu D 7 Xóm Hành P. An Tây, 272 Tăng Bạt Hổ
054.3931305__054.3811471__0935961321

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version