Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán

Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận Môđun hữu hạn sinh trên
vành giao hoán cùng với sự cố gắng của bản thân, em đã nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga. Đồng thời, em
cũng nhận được sự giúp đỡ động viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh
viên trong khoa Toán.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều Nga đã
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Hà Nội, ngày…..tháng…..năm…..
Sinh viên

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-1-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên
cứu. Bên cạnh đó, em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều

Nga.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một số tài
liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định đề tài Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán
không có sự trùng lặp với các đề tài của các tác giả khác.
Sinh viên
Lê Thị Thu Hiền

MỤC LỤC
Trang

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-2-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Lời nói đầu......................................................................................... 4
Chương 1. Vành – Môđun .................................................................5
1.1 Vành ........................................................................................... 8
1.2 Môđun ....................................................................................... 10
1.3 Môđun con................................................................................. 14
1.4 Môđun thương............................................................................ 16
1.5 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của môđun .........17
1.6 Đồng cấu môđun .......................................................................19
Chương 2. Môđun tự do...................................................................23
2.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh, tập độc lập và phụ thuộc tuyến tính.

Cơ sở của môđun ............................................................................ 23
2.2 Môđun tự do............................................................................... 24
2.3 Điều kiện tương đương ..............................................................25
2.4 Một số tính chất cơ bản ..............................................................27
2.5 Bài tập ....................................................................................... 30
Chương 3. Môđun hữu hạn sinh .......................................................34
3.1 Định nghĩa môđun hữu hạn sinh ................................................34
3.2 Điều kiện tương đương với môđun hữu hạn sinh .......................34
3.3 Môđun Noether .........................................................................35
3.4 Môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán ...................................39
3.5 Môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương ................................43
3.6 Môđun hữu hạn sinh trên vành chính .............................................

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-3-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

3.7 Bài tập ...........................................................................................
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI NÓI ĐẦU
Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong khoa học Toán học. Nó
góp phần thúc đẩy sự phát triển của Toán học hiện đại. Ngày nay, nhu cầu học
hỏi của sinh viên khoa Toán, các thầy cô giáo dạy Toán và nhiều người khác

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-4-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

quan tâm đến toán học nói chung và môn Đại số nói riêng, ngày càng tăng. Tuy
nhiên, để đi sâu nghiên cứu môn Đại số thì cần có sự hiểu biết một cách sâu sắc
về cấu trúc đại số.
Ngày nay, người ta coi đối tượng chủ yếu của Đại số là các cấu trúc đại số
như: nhóm, vành, trường, môđun… Trong đó, môđun là một trong những khái
niệm quan trọng nhất của Đại số hiện đại.
Chính vì thế, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu Môđun hữu hạn sinh
trên vành giao hoán với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về
bộ môn Đại số và bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.
Nội dung khóa luận gồm:
Chương 1: Vành – Môđun
Chương này em trình bày một số khái niệm: vành, vành giao hoán,
môđun, tính chất của môđun, môđun con, môđun thương, tổng trực tiếp, tích trực
tiếp và hạng tử trực tiếp của môđun.
Chương 2: Môđun tự do
Trình bày một số nội dung: tập sinh, tập độc lập tuyến tính, phụ thuộc
tuyến tính, khái niệm và tính chất của môđun tự do và điều kiện tương đương
của môđun tự do.
Chương 3: Môđun hữu hạn sinh
Trình bày một số nội dung: khái niệm về môđun hữu hạn sinh và điều

kiện tương đương, Môđun Noether và điều kiện tương đương. Môđun hữu hạn
sinh trên vành giao hoán và trên vành địa phương.
Trong quá trình thực hiện đề tài ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn
nhận được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của cô giáo Th.s Nguyễn Thị Kiều
Nga và sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa Toán. Em xin gửi

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-5-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

lời cảm ơn chân thành đến các thầy, các cô. Mặc dù có cố gắng song do điều
kiện thời gian và khả , năng của bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không
thể tránh khỏi thiếu xót. Vì vậy, em kính mong các thầy cô giáo và các bạn sinh
viên đóng góp ý kiến để em hoàn thiện và phát triển khóa luận sau này.

CHƯƠNG 1 : VÀNH – MÔĐUN
1.1 Vành.
1.1.1 Định nghĩa:
Một tập hợp R ≠ ∅ được gọi là một vành nếu R cùng với hai phép
toán hai ngôi gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn các điều kiện sau
đây:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-6-

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga

(i)

R l mt nhúm Abel i vi phộp cng.

(ii)

Phộp nhõn cú tớnh cht kt hp.

(iii)

Phộp nhõn phõn phi v hai phớa i vi phộp cng,

tc l: (x + y)z = xz + yz ; z(x + y) = zx + zy; x, y, z R.
Nhúm (R, +) c gi l nhúm cng ca vnh. Phn t trung lp ca
nú c kớ hiu bi 0, phn t i ca x R c kớ hiu (-x).
Kớ hiu x y := x + (-y).
1.1.2 nh ngha.
Vnh R c gi l giao hoỏn nu phộp nhõn ca nú giao hoỏn.
Vnh R c gi l cú n v nu phộp nhõn ca nú cú n v, tc l
cú phn t 1 R sao cho 1x = x1 = x, x R.
Chỳ ý : Phn t n v ca mt vnh nu tn ti thỡ duy nht.
Tht vy : Nu 1 v 1 u l n v ca R, ta cú 1 = 1.1 = 1.
1.1.3 Vớ d.
Vớ d 1 :

Mi tp hp s  , Ô , Ă , Ê u lp thnh mt vnh (giao hoỏn, cú
n v) i vi hai phộp toỏn cng v nhõn cỏc s.
Vớ d 2 :
Mn(R) l tp hp cỏc ma trn vuụng cp n, vi phn t ca ma trn l
cỏc s thc, cựng vi phộp (+) v (.) ma trn l mt vnh.
Vi n 2 vnh ny khụng giao hoỏn, n = 1 vnh ny giao hoỏn.
Vớ d 3 :

Lê Thị Thu Hiền K34B Toán

-7-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

S là tập tùy ý, X – vành.
M(S, X) = {f : S → X / f là ánh xạ} là một vành với phép cộng và
phép nhân xác định như sau :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) , ∀ x ∈ S.
(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀ x ∈ S.
Phần tử không là ánh xạ f : S → X
xa 0
Nếu vành X giao hoán thì M(S, X) là giao hoán.
Vành X có đơn vị thì M(S, X) có đơn vị là g : S → X
x a 1.
1.1.4 Một số tính chất cơ bản.
Giả sử R là một vành.
Tính chất 1: 0.x = x.0 = 0, ∀ x ∈ R.

Tính chất 2: (-x)y = x(-y) = -(xy), ∀ x, y ∈ R.
Tính chất 3: (y – z) = xy – xz,
(x – y)z = xz – yz, ∀ x, y, z ∈ R.
Tính chất 4: (luật phân phối tổng quát)
m

(x1 + x2 + … + xm)(y1 + … + yn) =

n

∑∑ x y
i

i=1 j=1

j

, ∀ xi, yj ∈ R.

Tính chất 5: (nx)y = x(ny) = n(xy) , ∀ x, y ∈ R ; n ∈ Z.
Tính chất 6: Nếu R là vành giao hoán thì
n

(x + y)n =

n!

∑ i!(n-i)!x y
i=0

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

i

n-i

, ∀ x, y ∈ R, n ∈ N.

-8-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

1.2 Môđun.
1.2.1 Định nghĩa:
Cho R là vành có đơn vị 1.
Một môđun trái trên R (hay R – môđun trái) là một nhóm Abel cộng
M cùng với một ánh xạ
R×M→M
(a, x) a ax,
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(M1)

a(x + y) = ax + ay,

(M2)

(a + b)x = ax + bx,

(M3)

(ab)x = a(bx),

(M4)

1x = x,

với ∀ a, b  R; ∀ x, y  M.
Một môđun phải trên R (hay R – môđun phải) là một nhóm Abel cộng
M cùng với ánh xạ
M×R→M
(x, a) a xa
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(M1)

(x + y)a = xa + ya,

(M2)

x(a + b) = xa + xb,

(M3)

x(ab) = (xa)b,

(M4)

x1 = x,

với ∀ a, b  R; ∀ x, y  M.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-9-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Khi đó vành R gọi là vành cơ sở, các phần tử của R gọi là các vô
hướng, các phần tử của R – môđun gọi là các vectơ, các ánh xạ xạ
R×M→M

M×R→M

và

(a, x) a ax

(x, a) a xa

gọi là phép nhân vô hướng
Nhận xét :
Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm về môđun trái, môđun phải
trên R là trùng nhau.
Sau đây ta xét các R – môđun trái gọi tắt là các R – môđun.
Nếu R là một trường thì một R – môđun gọi là một không gian vectơ

trên R hay R – không gian vectơ.
1.2.2 Ví dụ.
Ví dụ 1 : Các véctơ trong mặt phẳng xuất phát từ gốc O cố định lập thành
một môđun trên trường số thực ¡ .
Thật vậy :
Gọi M = { véctơ trong mặt phẳng xuất phát từ một gốc tọa độ O cố định}
Ta biểu diễn mỗi véctơ như một đoạn thẳng định hướng. Ta định nghĩa
uuur uuur

uuur

tổng của 2 véctơ bằng quy tắc hình bình hành : OA + OB = OC

r

Khi đó (M, +) là một nhóm Abel với phần tử không là véctơ 0 , phần tử
uuur

uuur

uuur

uuur

đối của véctơ OA là véctơ đối xứng của OA qua O, kí hiệu là: −OA , ∀ OA ∈
M.
uuur

uuur

∀ α ∈ R, OA ∈ M, suy ra α OA được xác định như sau:
uuur

• Là véctơ cùng chiều với OA và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ

uuur
OA nếu α > 0.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-10-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga
uuur

• Là véctơ ngược chiều với OA và có độ dài bằng tích của α với độ dài véctơ
uuur
OA nếu α < 0.
r

• Là véctơ 0 nếu α = 0.
Do đó M là một R – môđun.
Nhận xét: Ví dụ này là một trong những ví dụ sinh ra khái niệm không gian
véctơ và từ đó dẫn đến khái niệm môđun. Nó giải thích việc gọi các phần tử của
một môđun là những véctơ.
Ví dụ 2: Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một môđun trên một vành bất kì,
được gọi là môđun 0.

Ví dụ 3: Mỗi không gian vectơ trên trường K là một môđun trên K và ngược lại.
Ví dụ 4: Cho R là một vành có đơn vị.
Đặt Rn = { (a1,..........,an) ai  R, ∀ i = 1,n }.
Trang bị cho Rn hai phép toán cộng và nhân với vô hướng, như sau:
(a1,..............,an) + (b1,...........,bn) = (a1 + b1,..........,an + bn),
α(a1,..............,an) = (αa1,.............., αan),
với mọi α, ai, bi  R, ∀ i = 1,n
Khi đó Rn là một R – môđun.
Đặc biệt: Khi n = 1 thì R là một R – môđun trên chính nó (hay một vành có đơn
vị R là một môđun trên chính nó).
Ví dụ 5: Cho X là nhóm Abel, ¢ là vành số nguyên. ∀ x  X, n  ¢ .

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-11-


Khãa luËn tèt nghiÖp

nx được xác định như sau:

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga
x+x+.....+x
 1 4 2n 43

nx = 
0
(-x) + (-x) +......+ (-x)
1 4 4 4 2 4 4 4 3
n



nÕu n > 0
nÕu n = 0
nÕu n < 0

Khi đó nhóm Abel X là một Z – môđun.
Nhận xét: Ví dụ này chứng tỏ lý thuyết môđun bao gồm cả lý thuyết nhóm
Abel.
1.2.3 Một số tính chất đơn giản của môđun.
Cho M là một R – môđun.
Tính chất 1: 0x = 0, ∀ x  M,
a0 = 0, ∀ a  R.
Tính chất 2: a(-x) = (-a)x = -ax, ∀ a  R, ∀ x  M.
Tính chất 3: (Hệ quả của tính chất 2)
a(x – y) = ax – ay, ∀ a R, ∀ x, y  M,
(a – b)x = ax – bx, ∀ a, b  R, ∀ x  M.
1.3 Môđun con.
1.3.1 Định nghĩa:
Cho M là một R – môđun. Tập con N  M được gọi là một R – môđun con
nếu N là một nhóm con của nhóm cộng M và N đóng kín đối với phép nhân
với vô hướng, tức là rx  N, ∀ r  R, x  N.
Nhận xét: Nếu R là một trường thì mỗi R – môđun con của một R – không
gian vectơ là một R – không gian vectơ con.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-12-

Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

1.3.2 Điều kiện tương đương với định nghĩa môđun con.
Giả sử M là một R – môđun. Nếu N là tập con khác rỗng của M thì các điều
kiện sau là tương đương:
i)

N là R - môđun con trong M.

ii)

∀ α ∈ R, ∀ x, y ∈ N ta có x + y ∈ N, αx ∈ N.

iii)

∀ α, β  R, ∀ x, y  N ta có αx + βy  N.

Chứng minh:
i) ⇒ ii) :
N là R – môđun con của M nên theo định nghĩa ta có:
x + y ∈ N và αx ∈ R, ∀ α ∈ R, ∀ x ∈ N.
ii) ⇒ iii) :
∀ α, β ∈ R; ∀ x, y ∈ N thì αx, βy ∈ N (theo ii))
Do đó αx + βy ∈ N.
iii) ⇒ i) :
Đặt α = 1 ∈ R , β = -1∈ R thì ∀ x, y ∈ N ta có 1x + (-1)y ∈ N (theo iii)) hay x
– y ∈ N.
Do đó N là nhóm con của M.

Mặt khác, (M, +) là nhóm Abel nên (N, +) là nhóm Abel.
Đặt β = 0 ∈ R thì ∀ α ∈ R; ∀x, y ∈ N ta có: αx + 0y ∈ N do đó αx ∈ N.
Do đó các điều kiện trong định nghĩa R – môđun thỏa mãn trong M nên cũng
được thỏa mãn trong N.
Vậy N là một R – môđun.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-13-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

1.3.3 Ví dụ.
Ví dụ 1: Mỗi môđun M đều có các môđun tầm thường là 0 và M.
Ví dụ 2: Giả sử A, B là hai môđun con của một R – môđun M. Khi đó A ∩ B
sẽ là một môđun con của M và A + B là một môđun con của M.
Ví dụ 3: Giả sử M là một R – môđun tùy ý và m  M.
Khi đó tập con Rm = {rm rR} là một môđun con của M, được gọi là môđun
con xiclic sinh bởi phần tử m.
Ví dụ 4: M là nhóm Abel cộng, M xem như một ¢ - môđun thì các môđun con
của M chính là các nhóm của M
Ví dụ 5: Nếu vành R được xem như là R – môđun, N là ideal trái R, khi đó N
là môđun con của R.
1.3.4 Tính chất:
Tính chất 1: Giao của một họ bất kì những môđun con của R – môđun M là
môđun con của M.
Tính chất 2: Cho M là R – môđun. S là tập con của R – môđun M. Giao của

tất cả các môđun con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S, gọi là
môđun con của M sinh bởi tập S, kí hiệu 〈S〉.
1.4 Môđun thương.
1.4.1 Xây dựng môđun thương :
Giả sử M là một R – môđun và N là môđun con của M.
Khi đó M/N = { x = x + N / x ∈ M} là nhóm thương của M trên nhóm
con N.
Trên M/N trang bị phép toán cộng xác định như sau:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-14-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

(x + N) + (y + N) = (x + y) + N, ∀ x, y ∈ M
Trên M/N trang bị phép nhân vô hướng xác định như sau :
α(x + N) = αx + N,

∀x, y ∈ M, ∀ α ∈ R.

Khi đó M/N cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng là một R – môđun gọi
là môđun thương của R – môđun M theo R – môđun con N của M.
1.4.2 Ví dụ :
Ví dụ 1 : Trường số hữu tỉ ¤ là một ¢ - môđun và ¢ chính là một ¢ môđun con của ¤ . Khi đó, ¢ - môđun thương ¤ / ¢ là một môđun chỉ bao
gồm các phần lẻ của các số hữu tỉ.
Ví dụ 2: Cho M là một R – môđun, M và {0} là 2 môđun con của M. Khi đó

ta có các môđun thương:
M/{0} = {x + {0} / x ∈ M} = {x / x ∈ M} = M
M/M = {x + M / ∀ x ∈ M} = {M}.
Ví dụ 3: Cho R là vành có đơn vị, coi như R – môđun. Các môđun con của R
là các ideal trái của R. Khi đó ta có các môđun thương:
R/I = {x + I / ∀ x ∈ R}
với phép nhân vô hướng được xác định như sau:

α(x + I) = αx + I.

Ví dụ 4: Nếu M là R – không gian véctơ, N là không gian véctơ con của M, suy
ra môđun thương M/N là R – không gian véctơ thương.
1.5 Tổng trực tiếp, tích trực tiếp, hạng tử trực tiếp của các môđun.
1.5.1 Tích trực tiếp.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-15-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho Mi là một R – môđun, ∀ i ∈ I. Kí hiệu

∏M
i∈I

i

= M1 × M2 × .... × ....=

{(xi) / i  I, xi  Mi} là tích Đềcác của họ (Mi)i∈ I. Trên tập tích

∏M
i∈I

i

ta định

nghĩa 2 phép toán cộng và nhân với vô hướng như sau:
(xi)iI + (yi)iI = (xi + yi)iI
a(x i)iI = (axi)iI
∀ (xi)i∈ I, (yi)i∈I 

∏M
i∈I

i

,∀aR

M i cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng là một R – môđun,
Khi đó ∏
i∈I

gọi là tích trực tiếp của họ môđun {Mi}iI.
1.5.2 Tổng trực tiếp.

Cho {Mi / i  I} là một họ những R – môđun. Dãy (xi)i∈ I (xi ∈ Mi) gọi là có
giá hữu hạn nếu xi = 0 hầu hết trừ ra một số hữu hạn chỉ số.
M i là tập hợp gồm các dãy (xi)i∈I có giá hữu hạn.
Gọi ⊕
i∈I
M i cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng là một R –
Khi đó ⊕
i∈I
M i là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}i∈ I.
môđun. Ta gọi ⊕
i∈I

Nhận xét:
- Tổng trực tiếp là môđun con của tích trực tiếp.
Khi I là tập chỉ số hữu hạn tức là I = {1,2,....,n} thì tổng trực tiếp và tích trực
tiếp là trùng nhau.
1.5.3 Hạng tử trực tiếp.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-16-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Giả sử N là một R – môđun con của R – môđun M. Ta nói rằng N là một
hạng tử trực tiếp của M khi và chỉ khi tồn tại một R – môđun con P của M sao
cho M = N ⊕ P. Khi đó ta nói rằng P là môđun con phụ của N trong M.

Môđun M ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và M là những hạng
tử trực tiếp duy nhất trong M.
Nhận xét:
+ Nếu M là một không gian véctơ hữu hạn chiều thì mọi không gian con của M
đều có một không gian con phụ.
+ Nếu ¢ là ¢ - môđun và N = nZ với n ≠ 0. Khi đó với mọi môđun con của ¢ P
= pZ, p ≠ 0 ta có N ∩ P ≠ ∅ vì np ∈ N ∩ P nên ¢ ≠ N + P.
Vậy nZ không có môđun con phụ trong ¢ .
+ Môđun con phụ của môđun con N của R – môđun M (nếu có) là duy nhất, sai
khác nhau một đẳng cấu.
Thật vậy:
Giả sử P, P' là 2 môđun con phụ của N. Khi đó M = N ⊕ P = N ⊕ P'
Khi đó

 M = N+ P = N+ P'

 N∩ P = 0 = N∩ P'

Ta có M/N = N + P/N ≅ P/N ∩ P ≅ P/0 ≅ P
Tương tự ta có M/N ≅ P' .
Vậy P ≅ P' .
1.6 Đồng cấu môđun. Hạt nhân. Ảnh.
1.6.1 Định nghĩa:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-17-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M, N là các R – môđun. Ánh xạ f : M → N gọi là đồng cấu môđun
khi và chỉ khi ∀ x, y ∈ M; α ∈ R:
f(x + y) = f(x) + f(y) ;
f(αx) = αf(x)
Chú ý :
- Nếu M, N là các R – không gian véctơ thì đồng cấu môđun gọi là ánh xạ
tuyến tính.
- Nếu M ≡ N thì ta gọi f là tự đồng cấu của M.
- Hai R – môđun M và N được gọi là đẳng cấu, và viết là M ≅ N, nếu tồn
tại một R - đẳng cấu môđun từ M đến N.
Định nghĩa:
Giả sử f: M → N là R – đồng cấu. Khi đó:
i)

f được gọi là R – đơn cấu nếu f là đơn ánh.

ii)

f được gọi là R – toàn cấu nếu f là toàn ánh.

iii)

f được gọi là R – đẳng cấu nếu f là R – đơn cấu và R – toàn cấu hay

f là song ánh.
1.6.2 Điều kiện tương đương.
Cho M, N là các R – môđun, ánh xạ f : M → N là R - đồng cấu môđun khi và chỉ

khi f(ax + by) = af(x) + bf(y), ∀ x, y ∈ M, ∀ a, b ∈ R.
Nhận xét :
Nếu f là R – đồng cấu từ môđun M tới môđun N thì trước hết nó là đồng cấu
nhóm cộng Abel M đến nhóm cộng Abel N.
Vì vậy f(0) = 0 ; f(-x) = -f(x) ; f(x – y) = f(x) – f(y), ∀ x, y ∈ M.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-18-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Nếu f là R – đồng cấu từ môđun M tới môđun N thì ∀ n ≥ 1, ∀ x1, x2, …, xn ∈
M, ∀ a1, a2, …, an ∈ R ta có:
n

f (∑ a i x i ) =
i=1

n

∑ a f(x )
i

i

(*)

i=1

Thật vậy: Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp toán học.
Với n = 1 ta có f(a1x1) = a1f(x1) ⇒ (*) đúng với n = 1.
k

Giả sử (*) đúng với n = k ta có f (∑ a i x i ) =
i=1

k

∑ a f(x )
i

i

i=1

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1 tức là chứng minh
k+1

k

i=1

i=1

f (∑ a i x i ) = f[(∑ a i x i ) + a k+1 x k+1 ]
k

= f (∑ a i x i ) + f(ak+1xk+1)
i=1

k

= ∑ a i f(x i ) + ak+1f(xk+1) =
i=1

k+1

∑ a f(x )
i

i

i=1

Vậy (*) đúng với mọi n ≥ 1.
1.6.3 Ví dụ.
Ví dụ 1 :
M là R – môđun thì id : M → M là đẳng cấu môđun.
xa x
Ví dụ 2 :
Cho M, N là R – môđun.
θ: M → N là đồng cấu môđun gọi là đồng cấu không.
xa 0
Ví dụ 3:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-19-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M là R – môđun, N là R – môđun con của M. Tồn tại môđun thương
M/N.
Ánh xạ f: M → M/N là toàn cấu môđun gọi là toàn cấu chính tắc.
x a x+N
1.6.4 Hạt nhân. Ảnh.
Giả sử f: M → N là R – đồng cấu. Khi đó:
Kerf = f-1(0M) = {x ∈ M / f(x) = 0M} là hạt nhân của f.
Imf = {f(x) / x ∈ M} = f(M) là ảnh của f.

CHƯƠNG II: MÔĐUN TƯ DO
2.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh. Tập độc lập tuyến tính, phụ thuộc
tuyến tính. Cơ sơ của môđun.
2.1.1 Môđun sinh bởi một tập, tập sinh.

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-20-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Định nghĩa: Giả sử M là R – môđun, S ⊂ M. Giao của tất cả các môđun
con của M chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi tập S, kí hiệu là 〈S〉. Ta
nói S là tập sinh của 〈S〉, hay S sinh ra 〈S〉, 〈S〉 chính là môđun con nhỏ nhất của
môđun M chứa S. Nếu 〈S〉 = M thì S là tập sinh của M.
2.1.2 Tập độc lập tuyến tính và tập phụ thuộc tuyến tính.
2.1.2.1 Định nghĩa tổ hợp tuyến tính:
Một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S (với hệ số trong R) là một tổng

∑α x
i∈I

i

i

trong đó αi ∈ R và hầu hết hệ số αi = 0, xi ∈ S, I hữu hạn. Một tổng như

vậy được gọi là một tổng có giá hữu hạn.
Nếu phần tử x ∈ M có thể viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các phần
tử của S: x =

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i

(αi ∈ R, xi ∈ S, I hữu hạn) thì ta nói x biểu thị tuyến tính

qua các phần tử của S.
Nhận xét:
+) x biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S là duy nhất.
+) S là một tập sinh của M khi và chỉ khi mọi phần tử của M đều biểu thị
tuyến tính qua các phần tử của S.
2.1.2.2 Tập sinh cực tiểu:
Tập sinh S của môđun M được gọi là cực tiểu nếu mọi tập con thực sự của nó
đều không phải là một tập sinh của M.
2.1.2.3 Tập độc lập tuyến tính:

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-21-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

Cho M là R – môđun. Một họ X = {xi / i  I} những phần tử của M gọi là độc lập
tuyến tính nếu và chỉ nếu mọi hệ thức tuyến tính

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i

= 0 (J hữu hạn) kéo

theo αi = 0, ∀ i  J.
Nhận xét:
Nếu họ {xi}iI độc lập tuyến tính và nếu tổ hợp tuyến tính

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i

βi x i suy ra
= i∈∑
J⊂I

αi = βi , ∀ i  J. Thật vậy:

∑αx = ∑βx

i∈J ⊂ I

i

i

i∈J ⊂ I

i

⇔

i

∑ (α

i∈J ⊂ I

i

- βi )x i = 0 ⇔ α = β , ∀ i  J
i
i

2.1.2.4 Tập phụ thuộc tuyến tính:
Tập không độc lập tuyến tính gọi là tập phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét: Họ {xi}i∈I phụ thuộc tuyến tính ⇔

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i

= 0 nhưng không phải

mọi αi đều = 0.
2.1.3 Cơ sở của môđun.
Giả sử M là một R – môđun và họ X = {xi}iI là một tập con của M. Ta nói rằng
X là một cơ sở của M nếu X sinh ra M và X độc lập tuyến tính.
Nhận xét:
Nếu X ≠ ∅, là cơ sở của M thì ∀ x ∈ M, x được biểu diễn duy nhất dưới
dạng: x =

∑αx

i∈J ⊂ I

i

i

, xi ∈ X, αi ∈ R, I hữu hạn.

Ngược lại, nếu X ≠ ∅ , X ⊂ M , ∀ x ∈ M được biểu thị duy nhất dưới dạng:
x=

∑ α x , xi ∈ X, αi ∈ R, I hữu hạn thì X là cơ sở của M. Thật vậy:

i∈J ⊂ I

i

i

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-22-


Khãa luËn tèt nghiÖp
X sinh ra M và

∑αx

i∈J ⊂ I

i

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga
i

= 0 kéo theo αi = 0, ∀ i  J ( J hữu hạn).

2.2 Môđun tự do.
2.2.1 Định nghĩa:
Cho M là R – môđun. M được gọi là môđun tự do khi và chỉ khi nó có một cơ
sở, hoặc nó là môđun 0.
2.2.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1. Mọi không gian vectơ trên một trường K đều là một K - môđun tự do,
vì nó luôn có cơ sở.
Nếu không gian đó vô hạn chiều thì nó không phải là môđun hữu hạn sinh vì cơ
sở của nó có lực lượng vô hạn.
Ví dụ 2. R – môđun Rn có một cơ sở gồm n – phần tử ei = (0,....,0,1,0,.....0) với

1 ở vị trí thứ i (1≤ i≤ n). Vậy Rn là một R – môđun tự do, và cơ sở vừa nêu được
gọi là cơ sơ tự nhiên hay cơ sở chính tắc của nó.
Ví dụ 3. 0 là R – môđun tự do với cơ sở rỗng.
Ví dụ 4. Cho R là một vành có đơn vị. Khi đó R là R – môđun tự do trên chính
nó, với cơ sở {1}.
Ví dụ 5. Nhóm cộng các số hữu tỉ ¤ không là ¢ - môđun tự do.
Thật vậy:
Hệ {α}, α ≠ 0, α ∈ ¤ là độc lập tuyến tính vì nα = 0, n∈ ¢ ⇔ n = 0.
Hệ {α, β}, α, β ≠ 0; α, β ∈ ¤ là phụ thuộc tuyến tính.Thật vậy:
∀ n, m ∈ ¢ . Xét nα + mβ = 0 (1)
n = 0

 nα = 0

Nếu 
suy ra (1) ⇔ 
(vô lí)
m = 0
m β = 0

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-23-


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Kiều Nga

Nu n = m = 0 suy ra (1) = 0 (vụ lớ)

Nu n 0, m 0 nờn t (1) suy ra =

m
suy ra {, } ph thuc tuyn tớnh.
n

Do ú nu trong Ô cú mt c s thỡ c s l tp hp cú mt phn t. Nhng tp
hp cú mt phn t {} khụng sinh ra Ô .
Suy ra Ô khụng l  - mụun t do.
Vớ d 6. Vnh a thc A[x] trờn vnh giao hoỏn A l mt A mụun t do vi
c s {1, x, x2, x3, .........}.
2.3 Cỏc iu kin tng ng.
2.3.1 Mnh :
Cho M l R mụun. M l mụun t do vi c s U khi v ch khi cỏc
m

phn t x ca M biu din duy nht di dng x =

r a , ai U, ri R.
i i

i=1

2.3.2. Mnh : Cỏc iu kin sau tng ng:
i)

M l R mụun t do,

ii)

M i , Mi R, i I, vi tp ch s I no ú.
M=
iI

Chng minh
Trng hp 1: M = 0. Khi ú c s M l tp v tp I = , nờn i) v ii)
u tha món.
Trng hp 2: M 0.
i) ii). Gi s M l R mụun t do vi c s U = {u i / i I}.
Khi ú xột ỏnh x i : R Rui ,
x a xui
Lê Thị Thu Hiền K34B Toán

-24-


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Th.S NguyÔn ThÞ KiÒu Nga

thì ϕi là toàn ánh, ϕi là R – đồng cấu, ϕi là đơn cấu. Thật vậy :
+) ϕi là R – đồng cấu:
∀ α, β ∈ R; ∀ x, y ∈ M:
ϕi (αx + βy) = (αx + βy)ui = α(xui) + β(yui)

= α ϕi (x) + β ϕi (y)
+) ϕi là toàn ánh:
∀ y ∈Rui ⇒ ∃ x ∈ R: y = xui
Suy ra x là tạo ảnh của y vì ϕi (x) = y.
+) ϕi là đơn cấu:

Ta có: Ker ϕi = {x/ ϕi (x) = xu i = 0}
Do U = {ui/ i ∈ I} là cơ sở của M nên xui = 0 ⇔ x = 0
Suy ra Kerϕi = {0} hay ϕi là đơn cấu.
Vậy ϕi là đẳng cấu.
Ru i .
• Ta chứng minh M = ⊕
i∈I

Vì U = {ui/ i ∈ I} là cơ sở của M nên U là hệ sinh của M
nên ∀ x ∈ M, x =
nên suy ra M =

∑x u
i

i

∑ Ru

.

i∈I

i∈I

i

, xi ∈ R

Ru i

Giả sử với ui ∈ U ta có : a ∈ Ruj ∩ ( ∑
)
i≠ j

Lª ThÞ Thu HiÒn K34B – To¸n

-25-