Bước đầu tìm hiểu về đường cong trong E

A – MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học nói chung là một trong những môn học trừu tượng đối với học
sinh, sinh viên, nó có vẻ đẹp rất riêng với bề dày phát triển hàng nghìn năm.
Trước đây, ở chương trình cấp 3 chúng ta đã biết đến nhiều khái niệm hình học
dưới góc nhìn (quan điểm hình học) Ơclit. Những hình ảnh về đường thẳng,
đường cong, mặt phẳng, hình bằng nhau… được tìm hiểu kĩ hơn dưới góc nhìn
của hình học giải tích. Hình học thực sự phát triển rực rỡ lên tới đỉnh cao với một
trong những chuyên ngành của nó là hình học vi phân. Nơi đây là sự hội tụ của
nhiều tinh hoa, thủ thuật, phương pháp tính toán trong hình học. Có rất nhiều kiến
thức được trình bày tỉ mỉ, rõ nét về hình ảnh của một vật thể hình học. Lí thuyết
về đường cong là một trong những phần như vậy. Những kiến thức từ cơ sở đến
nâng cao về đường cong được tổng hợp, phân tích đầy đủ giúp chúng ta có thể
thấy rõ được hình ảnh, tính chất cũng như ý nghĩa hình học của nó...
Thế nhưng những lí thuyết về đường cong trên vẫn còn quá xa lạ, gây nhiều
khó khăn cho các bạn học sinh, sinh viên khi tìm hiểu về nó. Học phần thuộc hình
học cao cấp này vẫn mang quá nhiều sắc thái về chuyên môn và nhiều vấn đề quá
sâu sắc khiến người đọc khó hiểu.
Làm sao để viết được những vấn đề sâu sắc về đường cong dưới những ngôn
từ đơn giản để người đọc có thể hiểu và hình dung được nó? Làm sao cho hình
học phát triển toàn diện ở tất cả mọi khía cạnh vẫn là những dấu hỏi lớn mà nhiều
nhà toán học đang tìm câu trả lời.
Là một sinh viên toán và cũng là những người yêu toán. Với lòng ham muốn
học hỏi và tìm hiểu về vẻ đẹp của các đường cong trong không gian. Cũng để một
phần giúp hình học trở nên gần gũi và dễ hiểu hơn với người đọc chúng tôi quyết
định nghiên cứu đề tài “ Bước đầu tìm hiểu về đường cong trong En ”.
Do khuôn khổ kiến thức cũng như sự hạn chế về tài liệu đề tài trên đây chỉ
hệ thống sơ bộ về lí thuyết đường trong En cùng những vấn đề liên quan. Đi cùng
với nó là sự phân dạng một số bài tập và phương pháp giải của chúng.

1

Trong quá trình thực hiện đề tài, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể
tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô, bạn đọc để đề
tài được hoàn thiện hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lí thuyết, tìm hiểu, phân dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải
cho một số dạng bài toán về đường cong trong En.
3. Đối tượng nghiên cứu
Lí thuyết về đường cong và một số vấn đề liên quan.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu hệ thống đầy đủ lí thuyết về đường cong, (cung) trong En các đặc trưng
của bài toán về cung tham số hóa, cung song chính quy… và phân loại các bài
tập rõ ràng thì sẽ giúp học sinh giải quyết được nhiều bài tập trong phần cung
trong En.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu
6. Cấu trúc đề tài.
Nội dung chính của đề tài gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí thuyết
1.1 Đường tham số
1.2 Đường tham số trong E2
1.3 Định lí cơ bản của lí thuyết đường trong E3.
Chương 2: Một số bài toán về đường cong trong En
2.1 Các bài toán về cung chính quy
2.2 Cung song chính quy
2.3 Cung trong E2
2.4 Định lí cơ bản của lí thuyết đường

2

B – NỘI DUNG
Chương 1 – CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1 Đường tham số
1.1.1 Định nghĩa đường tham số
Định nghĩa 1: Cho ánh xạ r : I → R n
với I ⊂ ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường
r
thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực. . . ). Gọi C = r(I) ⊂ R n , ảnh của
toàn bộ tập I. Khi đó (C, r ) được gọi là một đường tham số (parametrized curve)
với tham số hóa c và tham số t. C được gọi là vết của đường tham số.
Nếu r là hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ . . . thì tương ứng ta nói
C là đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ ....
r
Giả sử r(t) = (x1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) , thì r khả vi lớp Ck, (k = 0, 1, 2,… ) có
nghĩa là các hàm thành phần: x i : I → R . khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2,... ). Nếu r là
ur
khả vi thì vectơ r '(t) = (x '1 (t), x '2 (t),..., x 'n (t)) ∈R n , gọi là vectơ tiếp xúc hay
r
vectơ vận tốc của C tại r(t) (hay của r tại t ).
(*) Khái niệm về đường cong:
Giả sử X là hàm vectơ một biến liên tục từ đoạn hoặc khoảng I ⊆ R vào
R n . Khi ấy tập ảnh: C = {X(t) : t ∈ I} được gọi là đường cong C trong R n .
Phương trình X = X(t), t ∈ I được gọi là phương trình tham số của đường
cong C và t là tham số. Vì những lý do ứng dụng trong Vật lý, Cơ học, ... hai
trường hợp được quan tâm nhiều nhất là n = 2 và n = 3. Người ta nói đường
cong phẳng hoặc đường cong không gian để chỉ các đường cong tương ứng
trong hai trường hợp này.
1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài đường cong (cung).

3


ur
r
Định nghĩa 2: Cho đường tham số r : I → R n . Nếu r '(t) ≠ 0 thì t (hay r(t)
ur
) gọi là điểm chính quy còn những điểm mà r '(t) = 0 gọi là điểm kỳ dị. Với mỗi
ur
r
t ∈ I mà r '(t) ≠ 0 , chúng ta gọi đường thẳng đi qua r(t) với vectơ chỉ phương
ur
r '(t) là tiếp tuyến của c tại t.
Đường tham số r : I → R n gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm
ur
đều là điểm chính qui, tức là r '(t) ≠ 0 với mọi t ∈ I .
Định nghĩa 3: Độ dài cung của một đường tham số chính quy r : I → R n
từ điểm t0 đến t, với t0 , t ∈ I, được định nghĩa là số:
s(t) =

t

∫

ur
r '(t) dt

t0

ur
ur
ds
= r '(t) .
Do r '(t) ≠ 0 nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và
dt
Định nghĩa 4: Đường tham số chính qui r : I → R n , (n = 2, 3) với
ur
r '(t) = 1 ∀t gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vectơ
vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên. Tham số độ dài
cung thường được ký hiệu là s.
ur
Nếu ta có r '(t) = 1 ∀t , thì

t

∫ dt = t − t 0

t0

Do đó độ dài cung của c là số đo từ một tham số nào đó. Trong trường hợp
t0 = 0, thì s(t) = t. Điều này giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung.
r
r
Định nghĩa 5: Cho I; r(t) ; J; ρ(s) là hai đường tham số. Ta nói

(

(

) (

)

r
r
I; r(t) và J; ρ(s) là hai đường tham số tương đương nếu tồn tại vi phôi

)

(

)

r r
r r
λ : I → J biến t a s = λ(t) sao cho r = ρ o λ tức là: r = ρ(λ(t)), ∀t ∈ I.
1.1.3 Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong

4


r r
Định nghĩa 6: Cho đường tham số I; r = r(t) .
ur
Ta gọi r '(t) là vectơ tiếp xúc hay vectơ vận tốc của đường cong tại điểm t0.
r
ur
Nếu t0 là điểm chính qui thì đường thẳng qua điểm r(t 0 ) có phương là r '(t 0 )
r

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm r(t 0 ) hay tại điểm t0. Phương
ur
r
ur
trình vectơ của tiếp tuyến tại điểm t0 là: R(τ) = r(t 0 ) + τr '(t 0 ) .
r r
Định nghĩa 7: Cho r = r(t) là đường tham số và t 0 ∈ I .
r
r r
Mặt phẳng pháp tuyến tại điểm r(t 0 ) của đường cong r = r(t) là mặt
r
r
phẳng đi qua điểm r(t 0 ) và vuông góc với tiếp tuyến của đường cong tại r(t 0 ) .
r r
Khi r = r(t) là đường cong phẳng, ta gọi đường thẳng pháp tuyến với
r
r
đường cong tại r(t 0 ) là đường thẳng đi qua r(t 0 ) và vuông góc với tiếp tuyến
r
của đường cong tại r(t 0 ) .

(

)

Chú ý: Đường cong có biểu diễn dạng tham số

r
( I , r (t ))

với

r
r(t) = (x(t); y(t); z(t)) thì:
r
Phương trình tiếp tuyến tại r(t 0 ) là:
X(τ) = x(t 0 ) + τx '(t 0 )
X−x Y−y Z−z

=
=
Y(τ) = z(t 0 ) + τy '(t 0 ) hay
x
'
y
'
z'
 Z(τ) = z(t ) + τz '(t )

0
0
Phương trình mặt phẳng pháp tuyến là:
(X – x)x’ + (Y – y)y’ + (Z – z)z’ = 0
r
Khi đường cong là đường cong phẳng có tham số r(t) = (x(t); y(t)) thì :
r
Phương trình tiếp tuyến tại r(t 0 ) là:
X(τ) = x(t 0 ) + τx '(t 0 )
X−x Y−y
hay

=

Y(
τ
)
=
z(t
)
+
τ
y
'(t
)
x
'
y'
0
0

r
Phương trình pháp tuyến tại r(t 0 ) là:

5


(X – x)x’ + (Y – y)y’ = 0.
1.1.4 Cung song chính quy trong E3 và độ cong, độ xoắn của nó.
r r
I,
r = r(t)

Định nghĩa 8: Trong không gian Euclide E , đường tham số

(

3

)

được gọi là:
ur
ur
- Ssong chính quy tại điểm t0 nếu r '(t 0 ) và r ''(t 0 ) không cùng phương hay
ur
ur
r
r '(t 0 ) × r ''(t 0 ) ≠ 0 .
- sSong chính quy trên I nếu nó song chính quy tại mọi điểm thuộc I.
Ghi chú: Khái niệm song chính quy không phụ thuộc vào tham số tức là
một điểm là song chính quy với một đường cong tham số cho trước thì nó cũng
là song chính quy tại điểm tương ứng qua phép biến đổi tham số.
r r
I,
r = r(t) và t0 ∈ I là điểm song
Định nghĩa 9: Cho đường tham số

(

)

chính quy.

r
r
Mặt phẳng mật tiếp của đường cong r(t) tại t 0 là mặt phẳng đi qua r(t 0 ) với
ur
ur
r
không gian vectơ chỉ phương < r '(t 0 ); r ''(t 0 ) > . Nếu r(t) = (x(t); y(t)) thì
phương trình mặt phẳng mật tiếp tại điểm song chính quy t0 ∈ I của đường cong:
r
ur r
ur
ur
r(t) : (R − r(t 0 ); r '(t); r ''(t)) = 0 hay

X − x(t 0 ) Y − y(t 0 ) Z − z(t 0 )
x ′(t 0 )
y′(t 0 )
z′(t 0 ) = 0 .
x ′′(t 0 )
y′′(t 0 )
z′′(t 0 )

trong đó (X, Y, Z) là tọa độ của điểm thay đổi trong E3.
Định nghĩa 10: Độ cong của Γ tại điểm s trong tham số hóa tự nhiên
s a r(s) của nó là k(s) =

DT
Dr '
(s) =
(s) . Vậy ta được hàm độ cong (hay

ds
ds

gọi tắt là độ cong) k dọc là k =

DT
.
ds

6


Định nghĩa 11: Cho cung song chính quy định hướng Γ trong E3 có
hướng, có trường mục tiêu trực chuẩn thuận {T, N, B} dọc Γ gọi là trường mục
tiêu Frenet dọc Γ . Hàm số τ dọc Γ để

DB
= − τN được gọi là hàm độ xoắn
ds

của Γ .
- Công thức Frenet
{T, N, B} dọc Γ gọi là trường mục tiêu dọc cung song chính quy định
hướng Γ trong E3 (có hướng). Ta có công thức sau:
 DT
 ds =

 DN
= − kT


ds

 DB
 ds =

kN
+ τB
− τN

Với k, τ theo thứ tự là hàm độ cong, độ xoắn của Γ .
1.2 Đường tham số trong R2.
Định nghĩa 12: Nếu chọn hệ tọa thích hợp thì mọi đường tham số phẳng
đều có thể xem như là đường tham số trong R2. Chính vì thế trong mục này
chúng ta chỉ xét các đường ham số dạng r: I → R 2 . Giả sử r: I → R 2 là đường
tham số chính qui với ham số độ dài cung trong R2 với định hướng chính tắc. Ta
đặt: (s) = r’(s) và chọn N(s ) sao cho {T(s ), N(s )} là một hệ trực chuẩn với định
thức dương. Ta gọi {T, N} là trường mục tiêu Frenet của r. Khi đó ta có:
N(s)=k(s)r’’(s) ∀s ∈ I .
Ta gọi k (s ) là độ cong đại số của r tại s ( hay của C = r(I)) tại r(s )).
Công thức Frenet trong E2:

7


DT
= + kN
ds
DN
= − kT
ds

Định lí 1: Với hàm khả vi k : I → R 2 có đường tham số r: I → R 2 với
tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số. Hai đường tham số như thế
sai khác nhau một phép dời thuận.
Định nghĩa 13: Cho hai đường tham số chính qui α, β : I → R 2 . Ta nói α
là đường túc bế của β và β là đường thân khai của α nếu với mọi t ∈ I, tiếp tuyến
của α tại t là pháp tuyến của β tại t (đường thẳng đi qua β(t) với vectơ chỉ
phương là n).
*) Cho đường tham số r: I → R 2 với tham số độ dài cung. Đường tròn mật
tiếp tại s 0 ∈ I , với k(s 0 ) ≠ 0 , của r là đường tròn tâm r(s 0 ) +

kính

1
N(s 0 ) , bán
k(s0 )

1
. Tâm của tròn mật tiếp tại s0 của r còn gọi là tâm cong hay khúc
k(s0 )

tâm tại s0 của r.
1.3 Định lí cơ bản của lí thuyết đường trong E3.
Định lý 2: Với các hàm khả vi k (s ) > 0 và τ(s), s ∈ I cho trước, tồn tại
một đường tham số song chính qui r : I → R 3 sao cho s là độ dài cung, k là hàm
độ cong và τ là hàm độ xoắn của r. Hơn nữa hai đường tham số song chính qui
như thế sai khác với nhau một phép dời thuận.
Định nghĩa 14: Các phương trình k = k(s), τ = τ(s), trong đó s a k(s) ,
τ a τ(s) là hai hàm số (khả vi lớp Cl, l ≥ 0 ) cho trước trên khoảng J ⊂ R gọi
là phương trình tự hàm của cung song chính quy định hướng trong E3 với độ

8


cong k, độ xoắn τ xác định bởi các hàm số đó trong một tham số hóa tự nhiên
của nó.

9


Chương 2 – MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG CONG TRONG En
2.1 Các bài toán về cung chính quy
2.1.1 Tham số hóa của một cung
Ví dụBài toán 1: Tìm biểu diễn tham số các đường cong sau:
3
2
2
2
2
2
 x = 3a y
 x + y + z = 4a
(a ≠ 0)
(1)
a) 
b) Đường Viviani: 
2
2
2
2
2xz

=
a
(x
−
a)
+
y
=
a


Giải:
a) Bằng cách đặt x = t, ta có biểu diễn tham số của đường cong C1 là:

x = t

t3

y
=
.

3a 2


a2
z
=

2t


2
2
2
2
F(x, y, z) = x + y + z − 4a
b) Đặt 
2
2
2
G(x, y, z) = (x − a) + y − a

 Fx'
Ta có:  '
G
 x
Vì

x
x−a

Fy'
G 'y

Fz'   2x
2y 2z 
÷
=

÷=

2(x
−
a)
2y
0
G 'z ÷

 

 x
2
x − a

y z
(2)
y 0 ÷

y
x
z
y z
= ay,
= z(x − a),
= yz nên các điểm làm
y
x−a 0
y 0

y = 0


(3)
cho ma trận (2) có hạng nhỏ hơn 2 thỏa mãn:  yz = 0
(x − a) = 0

Điểm thỏa mãn (1) và (3) là (2a; 0; 0).
Vậy phương trình (3) xác định cho ta một đường cong chính quy mọi nơi
ngoại trừ điểm (2a; 0; 0). Ta gọi đường xác định bởi hệ (3) là đường Viviani và
(1) là phương trình dạng ẩn của nó.
r
Mặt khác xét đường tham số (I, r(t)) ở đây:

10


r
t
I = (− 2π; 2π; r(t)) = (a(1 + cos t); a sin t; 2a sin ), a > 0
2
ur
t
Ta có: r '(t) = (− a sin t; a cos t; a cos )
2
ur
t
t
r '(t) = a 2 + a 2 cos 2 = a 1 + cos 2 ≠ 0, ∀ t ∈ (− 2π; 2π) .
2
2
Dễ thấy rằng giá của đường tham số trên chính là đường Viviani và điểm
(2a; 0; 0) không phải là điểm kì dị của nó mà chỉ là điểm tự cắt mà thôi.

r r
Ví dụBài toán 2: Cho đường tham số (R; r = r(t)) với
r
r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t ) Tìm đường tham số tương đương với nó.(Tham số hóa tự
nhiên)
Giải:
r
r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t )
ur
Suy ra r '(t) = (e t cos t − e t sin t; e t sin t + e t cos; e t )
ur
⇒ r '(t) = (e t cos t − e t sin t) 2 + (e t sin t + e t cos t) 2 + e 2t
ur
⇒ r '(t) = (e 2t cos 2 t + e 2t sin 2 t) + (e 2t sin 2 t + e 2t cos 2 t) + e 2 t
ur
⇒ r '(t) = 3e t .
t

Suy ra s(t) =

∫
0

ur
r '(t) dt =

t

∫

3e t dt = 3(e t − 1) ⇒ t = ln(

0

s
3

+ 1) .

r
Thay t vào r(t) ta được đường tham số tự nhiên tương đương với đường
r
r
r r
s

p(s)
=
r  ln(
+ 1÷
tham số đã cho là: (J; p = p(t)) với J = (− 3; + ∞) và
3


s
s
s
s
 s


= (
+ 1) cos ln(
+ 1); (
+ 1)sin ln(
+ 1); (
+ 1) ÷.
3
3
3
3
 3

Ví dụBài toán 3: Chứng minh cặp tham số hóa sau là tương đương:

11


r
ρ : [0; + ∞) → R 3
r
t a ρ(t) = (e t sin t; e t cos t; e t )
r
r : [1; + ∞) → R 3
r
s a r(s) = (s sin(ln s); s cos(ln s); s)
Giải:
r
r
ρ và r là hai đường tham số tương đương khi tồn tại ánh xạ λ sao cho:
ρ(t) = (r o λ)(t) = r(λ(t)) = r(s) .

e t sin t = λ(t)sin ln λ(t)
 t
Suy ra e cos t = λ(t) cos ln λ(t)
e t = λ(t)

⇒ λ : [0; + ∞) → [1; + ∞)
t a et
Rõ ràng ánh xạ λ khả vi trên [0; + ∞) và ánh xạ ngược
λ −1 : [1; + ∞) → [0; + ∞)
s a λ −1 (s) = ln(s)
cũng là hàm khả vi trên [1; + ∞) . Nên λ (t) là một vi phôi [0; + ∞) → [1; + ∞)
r
r
nên ρ và r là hai đường tham số tương đương. (dpcm)
Ví dụBài toán 4: Chứng minh hai cung tham số sau không tương đương:
r(s) = (s; 1 − s 2 )
ρ(t) = ( cos t; sin t)

0 ≤ s ≤1
π
0≤t≤
2

Giải:
Giả sử tồn tại λ : J → I
t a λ(t) với ρ = r o λ .
Ta có: ρ(t) = r o λ(t) = r(λ(t)) = (λ(t); 1 − λ 2 (t))

12

λ(t) = cos t
⇒
2
1 − λ (t) = sin t
⇒ 1 − ( cos t ) 2 = 1 − (λ(t)) 2 = sin t
⇔ 1 − cos t = sin t
π

t
=
2 nên không tồn tại λ thỏa mãn ρ = r o λ với
Dấu bằng chỉ xảy ra tại 

t = 0
mọi 0 ≤ t ≤

π
. Vậy hai cung tham số r(t) và ρ(s) không tương đương với nhau.
2

Bài tập tương tự
r r
r
1) Cho đường tham số (R; r = r(t)) với r(t) = (a cos t; a sin t; bt) . Tìm
đường tham số tự nhiên tương đương với đường tham số đã cho.
2) Tìm một đường tham số α(t) mà vết là đường tròn x2 + y2 = 1, sao cho
α(t) chạy quanh đường tròn cùng chiều kim đồng hồ và α(0) = (0; 1) .
3) Cho hai cung tham số sau:
ur

r1 : R → R 3
ur
t a r1 (t) = (t; 0; 0)

ur
r2 : [1; + ∞) → R 3
ur
t a r2 (t) = (t 3 , 0, 0)

Hãy kiểm tra sự tương đương của chúng.
4) Tham số hóa các đường cong sau:
a) x2 = 3y; 2xy = 9z

b) z2 = 2ax; y2 = 16xz

2.1.2 Chứng minh một cung là cung chính quy
Ví dụBài toán 1: Hãy kiểm tra tính chính quy của đường tham số sau:
r
r : [0; 2π] → R 3
r
θ a r(θ) = (cosθ(2cos θ − 1); sin θ(2cos θ − 1); 0)
Giải:
ur
Ta có r '(θ) = (− 4sin θcosθ + sin θ; 2cos 2 θ − 2sin 2 θ − cos θ; 0)
ur
ur
r
r
Suy ra '(θ) = 5 − 4cos θ ≠ 0; ∀ θ ∈ [0; 2π] nên r '(θ) ≠ 0 ∀θ ∈ [0; 2π].
r

Vậy r là đường tham số hóa chính quy.

13


Ví dụBài toán 2: Tìm cung chính quy trong E3 xác định bởi tham số hóa
ρ : t a ρ(t) . Biết phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm t của nó trong hệ tọa độ
Đề Các vuông góc cho trước Oxyz là:
a1(t)X + b1(t)Y + c1(t)Z + d1(t) = 0
a2(t)X + b2(t)Y + c2(t)Z + d2(t) = 0
Các hàm số ai, bi, ci, di cho trước
Giải:
ur
Ta kí hiệu N(t) = (a i (t); bi (t); ci (t)) i = 1, 2.
uur uuur
r
Theo giả thiết (N1 × N 2 )(t) ≠ 0, ∀t. Tiếp tuyến đi qua hệ
uur r
 N1 (t).ρ(t) = − d1 (t)
(1) đúng với mọi t ∈ J .
 uur r
 N 2 (t).ρ(t) = − d 2 (t)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta có:
uur
uur
 N ' (t).ρ(t) + N (t).ρ '(t) = − d ' (t)
1
1
1
uur

 uur'
 N 2 (t).ρ(t) + N 2 (t).ρ '(t) = − d '2 (t)
ur
ur
ur
ur
Vì N1 (t) . ρ '(t) = N 2 (t) . ρ '(t) = 0 nên bốn phương trình sau cho ta xác
định được ρ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
ur
 N i (t).ρ(t) = − d i (t)
a i x + bi y + ci z = − d i
(2)  uur'
hoặc
 '
'
'
' i = 1; 2.
'
a
x
+
b
y
+
c
z
=
−
d


N
(t).
ρ
(t)
=
−
d
(t)
 i
i
i
i
 i
i
(Ở đây ai, bi, ci, di là các hàm số đối với t). Nếu có cung ρ : t a ρ(t) thỏa
mãn các điều kiện đã cho thì các hàm số t a (x(t); y(t); z(t)) phải thỏa mãn 4
phương trình (2). Ngược lại nếu các hàm số đó thỏa mãn (2) và x’(t), y’(t), z’(t)
không đồng thời triệt tiêu tại t nào thì ρ : t a ρ(t) = (x(t); y(t); z(t)) là cung
chính quy cần tìm.
Ví dụBài toán 3: Tìm điểm kì dị của cung tham số sau:
r
r(t) = (t 3 − t 2 − 5; 3t 2 + 1; 2t 3 − 16)
Giải:

14


ur
r '(t) = (3t 2 − 2t; 6t; 6t 2 )
ur

r '(t) = (3t 2 − 2t) 2 + 36t 2 + 36t 4
ur
r '(t) = 0 ⇔ (3t 2 − 2t) 2 + 36t 2 + 36t 4 = 0
⇔ 45t 4 − 12t 3 + 40t 2 = 0
⇔ t 2 (45t 2 − 12t + 40) = 0
t2 = 0
⇔ 2
⇒t=0
45t
−
12t
+
40
=
0

Vậy điểm kì dị của cung tham số trên là: A( – 5; 1; – 16).
Bài tập tương tự:
1) Kiểm tra tính chính quy của các đường tham số sau:
r
a) r : R → R 3
r
t a r(t) = (1 + t; t 2 + 2; 0)
r
b) r : R → R 3
r
t a r(t) = (x(t); y(t); 0)
,t≤0
0


Với x(t) = t2 và y(t) =  2
1
 t sin( t ), t > 0
2.1.3 Tiếp tuyến, pháp tuyến của đường cong
Phương pháp chung:
- Đưa đường cong về dạng tham số, dạng tường minh hoặc dạng ẩn tùy
r
thuộc vào mỗi bài. Sau đó tính đạo hàm r '(t) tại điểm bài toán yêu cầu.
- Dựa vào các công thức cho ở phần I để viết phương trình tiếp tuyến
Bài toán Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến và mặt phẳng pháp tuyến
của đường cong (C) tại điểm chỉ ra:
r
a) r(t) = (t 3 − t 2 − 5; 3t 2 + 1; 2t 3 − 16) tại điểm t = 2
r
b) r(t) = (t 4 + t 2 + 1; 4t 3 + 5t + 2; t 4 − t 3 ) tại điểm A(3, – 7, 2).

15


r
c) r(t) = (t 2 − 2t + 3; t 3 − 2t 2 + t; 2t 3 − 6t + 2) tại điểm A(2, 0, – 2).
Giải:
r
ur
a) r(t) = (t 3 − t 2 − 5; 3t 2 + 1; 2t 3 − 16) ⇒ r '(t) = (3t 2 − 2t; 6t; 6t 2 ) .
r
ur
r r
r(2) = ( −1; 13; 0) ⇒ r '(2) = (8; 12; 24) = 4u ≠ 0
r

Do đó r (t) chính quy tại t = 2.
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm t = 2 là:
x + 1 y − 13 z
=
=
2
3
6
Phương trình mặt phẳng pháp tuyến của đường cong (C) tại điểm t = 2 là:
2(x + 1) + 3(y – 13) + 6(z – 0) ⇔ 2x + 3y + 6z – 37 = 0.
r
b) r(t) = (t 4 + t 2 + 1; 4t 3 + 5t + 2; t 4 − t 3 )
ur
⇒ r '(t) = (4t 3 + 2t; 12t 2 + 5; 4t 3 − 3t 2 )
 t 04 + t 20 + 1 = 3
r

r(t 0 ) = A(3; − 7; 2) ⇔ 4t 30 + 5t 0 + 2 = − 7 ⇔ t 0 = − 1
4
3
t 0 − t 0 = 2
ur
ur
r
r '(t 0 ) = r '(−1) = (− 6; 17; − 7) ≠ 0
r
Do đó r(t) chính quy tại điểm A(3; − 7; 2) .
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm A(3; − 7; 2) là:
x−3 y+7 z−2
=

=
−6
17
−7
Phương trình mặt phẳng pháp tuyến của đường cong (C) tại điểm A(3, – 7,
2) là: – 6(x – 3) + 17(y + 7) – 7(z – 2) = 0 ⇔ – 6x + 17y – 7z + 151 = 0.
r
c) r(t) = (t 2 − 2t + 3; t 3 − 2t 2 + t; 2t 3 − 6t + 2)
ur
⇒ r '(t) = (2t − 2; 3t 2 − 4t + 1; 6t 2 − 6)
 t 02 − 2t 0 + 3 = 2
r

r(t 0 ) = A(2; 0; − 2) ⇔  t 30 − 2t 02 + t 0 = 0 ⇔ t 0 = 1
 3
2t 0 − 6t 0 + 2 = − 2

16


ur
r
Ta có r '(1) = (0; 0; 0) . Do đó r (t) không chính quy tại điểm A(2; 0; – 2)
nên cũng không tồn tại tiếp tuyến và pháp tuyến với (C) tại điểm A.
r
t 4 t3 t 2
Ví dụ Bài toán 2: Tìm điểm trên đường cong r(t) = ( ; ; ) mà tại đó
4 3 2
tiếp tuyến song song với mặt phẳng ( α ): x + 3y + 2z = 0.
Giải:

r
ur
t 4 t3 t 2
r(t) = ( ; ; ) ⇒ r '(t) = (t 3 ; t 2 ; t).
4 3 2
r
Mặt phẳng ( α ): x + 3y + 2z = 0 có vectơ pháp tuyến là n = (1; 3; 2)
Vì tiếp tuyến song song với mặt phẳng a nên:
t = 0
ur
r
ur r
r '(t) ⊥ n ⇔ r '(t).n = 0 ⇔ t 3 + 3t 2 + 2t = 0 ⇔  t = −1

 t = 2
1 1 1
8
Vậy các điểm cần tìm là: O(0; 0; 0), A( ; − ; ), B(4; − ; 2) .
4 3 2
3
Ví dụ Bài toán 3: Tìm cung chính quy trong E2 mà tiếp tuyến tại mỗi điểm
của nó đi qua một điểm cố định. Cũng hỏi như vậy với pháp tuyến.
Giải:
Ta chọn điểm cố định đó làm gốc của hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc Oxy
uuuuur
ur
uuuuur
trong E2. Oρ(t) cộng tuyến với ρ '(t) nên Oρ(t) có phương không đổi ∀t ∈ J .
Cung chính quy có ảnh là đường thẳng qua O.
uuuuur ur

Trong trường hợp pháp tuyến luôn qua O, tức là Oρ(t) . ρ '(t) = 0 ( ∀t) suy
uuuuur
O
ra ρ(t) = a (const) cung chính quy có ảnh là vòng tròn tâm O.
Bài tập tương tự:
 x 2 = 3y
1) Chứng minh rằng tiếp tuyến với đường cong (C): 
tạo một
2xy = 9z
góc không đổi với một phương cố định. Hãy xác định góc và phương này.

17


2) Cho đường cong (C): y = y(x). Tiếp tuyến và pháp tuyến của (C) tại
điểm M thuộc (C) cắt Ox tương ứng tại T và N. Gọi P là hình chiếu của M lên
trục Ox.
a) Chứng minh rằng:
MT =

y
y
1 + y '2 ; MN = y 1 + y '2 , PT =
, PN = yy '
y'
y'

b) Tìm đường cong lần lượtlựơt có MT = k, MN = l, PT = m, PN = n
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm chỉ ra sau đây:
r

π
a) r(t) = (e t cos t; e t sin t; e t ), t =
4
r
t
π
b) r(t) = (a(t − sin t); a(1 − cos t); 4a sin ), t = (a ≠ 0) Tìm góc tạo bởi
2
2
tiếp tuyến với trục Oz.
r
c) r(t) = (3t – t2; 3t; 3t + t3), biết tiếp tuyến song song với mặt phẳng
(α) : 3x + y + z + 2 = 0.
2.1.4 Tính độ dài cung chính quy
r
*) Tìm độ dài cung giữa hai điểm t1; t2 với r(t) cho trước:
Phương pháp giải:
ur
+) Tính r '(t)
ur
+) Tính r '(t) . Độ dài cung l[t1 ; t 2 ] =

t2

∫

r '(t) dt

t1

Ví dụ Bài toán 1: Tìm độ dài cung sau đây giữa hai điểm t = 0, t = 2.
r

ab
a+b 
a) r(t) =  a cos bt − b cos at; a sin bt + bsin at; 4
cos
t
a+b
2 ÷


r
b) r(t) = (sin 2 t; sin t cos t; ln cos t)
Giải:
a) Ta có:
ur
a+b 

r '(t) =  absin at − absin bt; ab cos bt + ab cos at; 2absin
t ÷. Suy ra
2 


18


ur
a+b
r '(t) = (absin at − absin bt) 2 + (ab cos at + ab cos bt) 2 + 4a 2 b 2 sin 2

t
2
ur
⇒ r '(t) = 2a 2 b 2 + 2a 2 b 2 cos at cos bt − 2a 2 b 2 sin at sin bt + 2a 2 b 2 (1 − cos(a + b)t)
ur
⇒ r '(t) = 4a 2 b 2 + 2a 2 b 2 cos(a + b)t − 2a 2 b 2 cos(a + b)t = 2ab

l[0; 1] =

1

∫

ur
r '(t) dt =

0

1

∫ 2abdt

= 2abt

0

1
= 2ab.
0

b) Ta có
r
r(t) = (sin 2 t; sin t cos t; ln cos t)
ur
− sin t 

2
2
Suy ra r '(t) =  2sin t cos t; cos t − sin t;
÷
cos t 

− sin t 

=  sin 2t; cos2t;
÷
cos t 

Từ đó ta có:
ur
sin 2 t
2
2
r '(t) = sin 2t + cos 2t +
cos 2 t
1
= 1 + tan 2 t =
cos t
t
1

2 dt = ln  tan  t + π  1 
l[0; 1] = ∫
dt = ∫
 
÷ 
t
0 cos t
0 1 − tan 2
  2 4  0
2
π
  1 π 

= l n  tan  + ÷ − ln  tan  .
4

  2 4 
r
Ví dụ Bài toán 2: Tìm độ dài cung r(t) = (3ch2t; 3sh2t; 6t) với t ∈ [0; π] .
1

11

+ tan 2

Giải:
Ta có: ch2t =

e 2t + e − 2t
e 2t − e − 2t

và sh2t =
2
2

19


e 2t − e − 2t
(ch2t) ' = 2
= 2sh2t
2
e2t + e− 2t
(sh2t) ' = 2
= 2ch2t
2
ur
⇒ r '(t) = (6sh2t; 6ch2t; 6)
ur
⇒ r '(t) = 36sh 2 2t + 36ch 2 2t + 36 .
(e 2t + e − 2t ) 2 − (e 2t − e − 2t ) 2
Mặt khác ta có: ch 2t − sh 2t =
= 1.
4
ur
⇒ r '(t) = 36.2ch 2 2t = 6 2ch2t
2

Vậy l[0; π]

2

π
e 2t − e− 2t π
e2π − e− 2 π
= ∫ 6 2ch2tdt = 3 2sh2t = 3 2
=3 2
.
0
0
2
2
0
π

Ví dụ Bài toán 3: Tính độ dài cung c : a

( cos

3

t, sin 3 t, cos 2t

)

một vòng

khép kín.
Giải:

( cos

c: a

3

)

t, sin 3 t, cos 2t . Dễ thấy tham số đã cho có chu kì 2π . Ta có

c '(t) = ( − 3cos 2 t sin t, 3sin 2 t cos t, − 2sin 2t) .
⇒l=

2π

∫

c '(t) dt =

0

=

2π

∫
0

2π

∫

9cos 4 t sin 2 t + 9sin 4 tcos 4 t + 4sin 2 2tdt

0

5 2π
25cos t sin tdt = ∫ sin 2 2tdt
40
2

2

3π
π

π
2π
2
52
÷
=  ∫ sin 2tdt − ∫ sin 2tdt + ∫ sin 2tdt − ∫ sin 2tdt ÷
20
π
3π
π
÷


2
2

π
π
3π
2π 

5
=
− cos 2t 2 + cos 2t π − cos 2t 2 + cos 2t 3π ÷ = 10.

÷
4
÷
0
π
2
2 


Ví dụ Bài toán 4: Cho cung trong En\ Oz xác định bởi
ta

( r(t); ϕ(t); z(t) )

đối với tọa độ trụ (r; ϕ; z), (r > 0) .

20


a) Viết công thức tính độ dài cung của một cung đoạn con của nó.
b) Cũng câu hỏi đó đối với hệ tọa độ cầu (r; ϕ; θ), (r > 0) .

Giải:
a) t a ρ(t) ∈ E 3 \ Oz (r; ϕ; z) là hệ tọa độ trụ, {U1, U2, U3} và {θ1 , θ2 , θ3 }
là trường mục tiêu và trường đối mục tiêu của tọa độ trụ mà ta đã biết là
θ1 = dr, θ2 = rdϕ, θ3 = dz.
ρ ' = ψ1 (U1 o ρ) + ψ 2 (U 2 o ρ) + ψ 3 (U 3 o ρ) , θi (ρ ') = ψ i .
ρ'

2

= ψ12 + ψ 22 + ψ 32 và:

 ρ  d(r o ρ)
ψ1 = θ1 (ρ ') = ρ * θ1  ÷ =
dt
 ∂t 
d(ϕ o ρ)
∂
ψ 2 = θ2 (ρ ') = ρ * θ2  ÷ = (r o ρ)
dt
 ∂t 
 ∂  d(z o ρ)
ψ 3 = θ3 (ρ ') = ρ * θ3  ÷ =
dt
 ∂t 
l=

t1

∫ [ (r o ρ ')(t)]

2

t0

+ [ (r o ρ)(t).(ϕ o ρ) '(t) ] + [ (z o ρ) '(t) ] dt
2

2

b) Đối với tọa độ cầu (r; ϕ; θ), (r > 0) : tương tự như câu a), ở đây ta có:
ψ1 = (r o ρ)cos(θ.ρ)
ψ1 = (r o ρ)

d(ϕ o ρ)
dt

d(θ o ρ)
d(r o ρ)
; ψ3 =
.
dt
dt

r
**) Tìm độ dài cung r(t) giữa giao với cung và đường tròn (C) cho trước.
Phương pháp giải:
r
+) Ta tìm giao điểm của r(t) và (C). Từ đó ta có t0, t1 ứng với giao của
r
r(t) và (C). Suy ra bài toán đã cho có dạng (*)

+) Giải bài toán theo các bước ở dạng (*)

21


r

a2
a2
t
Ví dụ Bài toán 1: Tìm độ dài cung r(t) =  t + ; t − ; 2a ln ÷.
t
t
a

Giải:

a2
=0
 t −
t
⇒ t =a
Trước hết ta tìm giao điểm giữa cung với trục hoành: 
t
2a ln = 0

a
r

a2

a2
t
Ta có: r(t) =  t + ; t − ; 2a ln ÷.
t
t
a

ur

a2
a2 a 
⇒ r '(t) = 1 − 2 ; 1 + 2 ; 2 ÷.
t
t
t

2
2
ur




a2 
a2 
a2
a2 
a2 
r '(t) = 1 − 2 ÷ + 1 + 2 ÷ + 4 2 = 2 1 + 2 ÷ = 2 1 + 2 ÷.
t 

t 
t
t 
t 





Theo công thức l[t 0 ; t] =

t

∫

t0


a2 
2 1 + 2 ÷dt
t 




a2  a
a2 
2t −
=
−

2
t
−
÷
 0
÷.
t  t0
t0 


r
Ví dụ Bài toán 2: Tìm độ dài cung helix (C): r(t) = (3a cos t; 3a sin t; 4at) .
⇒ l[t 0 ; t] = l[t 0 ;a ] =

Từ giao điểm của (C) với mp(Oxy) đến một điểm bất kì.
Giải:
Trước tiên ta tìm giao điểm của (C) với mp(Oxy): 4at = 0 ⇒ t = 0
r
Ta có: r(t) = (3a cos t; 3a sin t; 4at)
ur
⇒ r '(t) = (− 3a sin t; 3a cos t; 4a)
ur
⇒ r '(t) = 9a 2 sin 2 t + 9a 2 cos 2 t + 16a 2 = 5a
l[0; t 0 ] =

t0

∫
0

ur
r '(t) =

t0

∫ 5adt
0

= 5at

t0
0

= 5at 0 .

22


Ví

dụ

Bài

toán

3:

Tìm

độ

dài

cung

(C)

t

c : a  a(t − sin t), a(1 − cos t), 4a cos ÷, giữa hai giao điểm của đường với
2

mặt phẳng y = 0
Giải:
c(t) giao với mặt phẳng y = 0 khi 1 – cost = 0 ⇒ t = k2π, k ∈ Z
Chọn k = 0; 1 ta được t1 = 0; t 2 = 2π .
t

Ta có c '(t) =  a(t − cost), a sin t, − 2a sin ÷
2

⇒ c '(t) = a 2 (1 − cos t) 2 + a 2 sin 2 t + 4a 2 sin 2

t
2

= a 2 − 2cos t + 2(1 − cos t)
= 2a 1 − cos t
⇒l=

2π

∫
0

2π

c '(t) dt = 2a ∫ 1 − cos tdt
0

2π

= 2 2 ∫ sin
0

t
dt = 8 2a
2

***) Tìm độ dài cung (C), giữa hai giao điểm của (C) và d cho trước.
Phương pháp giải:
r r
+) Đưa (C) về cung tham số r = r(t) .
Ta đưa được bài toán về dạng (*)
+) Giải bài toán dạng (**)
Ví dụ Bài toán 1: Tìm độ dài cung (C):

x2
 y =

2a
giữa gốc tọa độ và điểm P0 = (x0; y0; z0).

3
x
z =

6a 2
Giải:

23



x2
 y =
r
 t 2 t3 
2a
Ta có (C) = 
chọn x = t ⇒ r(t) =  t; ; 2 ÷.
3
x
 2a 6a 
z =

6a 2
r
ur
 t2 t3 

 t t2 
Ta có r(t) =  t; ; 2 ÷ ⇒ r '(t) = 1; ; 2 ÷.
 2a 6a 
 a 2a 
2
ur

t2
t4
t2 
t2
r '(t) = 1 + 2 + 2 = 1 + 2 ÷ = 1 + 2
a
4a
2a 
2a


l[0; t 0 ] =

t0

∫
0

ur
r '(t) dt =


t2 

∫ 1 + 2a 2 ÷dt
0


t0


t 30
t3  t0
=  t + 2 ÷ = t 0 + 2 = x 0 + z0 .
6a  0
6a

3
2
 x = 3a y
Ví dụ Bài toán 2: Tính độ dài của phần đường cong 
giữa hai mặt
2
2xz = a

phẳng y =

a
và y = 9a, với a > 0.
3

Giải:

y=

3
2
 x = 3a y

⇒
Ta có 
2
z =
2xz = a


x3
32
. Suy ra đường cong (c) có tham số hóa là:
a2
2x

 t3 a 2 
 t2
a2 
c(t) =  t; 2 ; ÷ ⇒ c '(t) = 1; 2 ; − 2 ÷.
2t 
 3a 2t 
 a
a
t3
a
Khi y = ⇒ 2 = ⇒ t = a .
3
3

3a
t3
Khi y = 9a ⇒ 2 = 9a ⇒ t = 3a .
3a
Vậy độ dài đường cong cần tìm là:

24


l(c) =

3a

∫

c '(t) dt =

3a

2t 4 + a 4
dt =
2a 2 t 2

a

=

3a

∫

0

∫
a

3a
t4
a4
(2t 4 + a 4 ) 2
1 + 4 + 4 dt = ∫
a
4t
4a 4 t 4
a

 t2
a2 
∫  a 2 + 2t 2 ÷dt
0 


3a

 t3
a 2  3a
= 2 −
÷ = 9a.
2t
3a


a
 2 a2
 xz =
64
Ví dụ Bài toán 3: Tính độ dài cung 
, a > 0 giữa giao điểm của
2
zy 2 = a

8
a2
nó với hai mặt phẳng x =
và x = 4a2.
4
Giải:
 2 a2
 xz =
64
Ta có 
, chọn y = t ta có tham số hóa của cung (c) là:
2
a
zy 2 =

4

a2
z
=


 t4
 t3
a2 
a2 
4t 2
c(t) = 
⇒ c(t) =  2 ; t; 2 ÷; c '(t) =  2 ; 1; − 3 ÷.
4
4t 
2t 
t
 4a
a
x =

4a 2
c '(t) =

t6
a4
+1+ 6 =
a4
4t

(2t 6 + a 4 ) 2 (2t 6 + a 4 )
=
4a 2 t 6
2at 3

a2

Giao điểm của cung (c) và mặt phẳng x =
là nghiệm của phương trình:
4
t4
a2
=
⇒ t = a.
4
4a 2
Giao điểm của cung (c) và mặt phẳng x = 4a2 là nghiệm của phương trình:
t4
= 4a 2 ⇒ t = 2a .
2
4a
Độ dài đường cong cần tìm là:
25