Rèn luyện tư duy thuật toán thông qua dạy học các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4

Lời cảm ơn

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài khoá luận
được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của giảng viên
Phạm Huyền Trang.
Xin trân trọng gửi tới cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè luôn là nguồn cổ vũ động viên để
tôi thêm nghị lực hoàn thành khoá luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên khoá luận này chắc chắn không
tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn!
H Ni, ngy 15 thỏng 04 nm 2013
Sinh viờn

Nguyn Th Lan

3


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận tốt
nghiệp này là thành quả của riêng tôi dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của cô
giáo Phạm Huyền Trang. Nội dung khóa luận không trùng với bất cứ một
công trình nghiên cứu nào, nếu sai tôi xin chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 15tháng 04 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Lan

4

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 8
1.

Lý do chọn đề tài ............................................................................................................. 8

2.

Mục đích nghiên cứu ..................................................................................................... 9

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu...................................................................................................10

4.

Đối tượng và khách thể nghiên cứu .......................................................................10

5.

Giả thuyết khoa học......................................................................................................10

6.

Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................10

7.

Giới hạn đề tài ................................................................................................................12

8.

Đóng góp của đề tài ......................................................................................................12

9.

Cấu trúc luận văn...........................................................................................................12

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................... 13
1.1. Về khái niệm thuật toán ...................................................................... 13
1.2. Quy tắc “tựa” thuật toán ...................................................................... 19
1.3. Tư duy thuật toán ................................................................................ 20
1.3.1 Phân bậc các hoạt động của tư duy thuật toán ..................................... 23
1.3.2 Ý nghĩa và sự cần thiết phải rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán
trong dạy học toán ở Tiểu học ...................................................................... 26
1.4. Tiềm năng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua môn toán ở
trường Tiểu học ............................................................................................ 27
1.5. Kết luận chương 1 ............................................................................... 32
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ
DUY THUẬT TOÁN THÔNG QUA DẠY HỌC CÁC QUY TẮC TOÁN
HỌC CHO HỌC SINH LỚP 4 ..................................................................... 34
2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp sư phạm hình thành và rền luyện tư
duy thuật toán thông qua dạy học các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4. .. 34

5


2.1.1 Việc hình thành và rèn luyện tư duy thuật toán phải hướng tới tổ chức

các hoạt động học tập của học sinh phù hợp vối quá trình kiến tạo các quy tắc
và vận dụng các quy tắc đó. ..................................................................................................34
2.1.2 Các biện pháp sư phạm được đề xuất phải đảm bảo tính mục đích, tính
khả thi và tính hiệu quả ...........................................................................................................35
2.2 Một số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán thông qua dạy
học các quy tắc, công thức toán học cho học sinh lớp 4 ................................ 36
2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức cho học sinh thu thập tư liệu kinh nghiệm bằng
cách quan sát theo dõi giáo viên thao tác hay tự mình trực tiếp thao tác (có
hướng dẫn định hướng của giáo viên) trên một số ví dụ, tình huống cụ thể có
tính đại diện cho lớp các bài tập cùng dạng (loại) .......................................................37
2.2.2 Biện pháp 2: Trong quá trình hình thành, xây dựng các quy tắc toán học,
chủ động làm rõ một số dặc trưng của thuật toán bằng hệ thống câu hỏi thích
hợp.

40

2.2.3 Biện pháp 3: Thường xuyên tổ chức các hoạt động thích hợp để học sinh
tái hiện, ghi nhớ, khắc sâu, vận dụng quy tắc (Có chú ý nhấn mạnh các đặc
trưng của thật toán ứng với quy tắc). ................................................................................53
2.2.4 Biện pháp 4: Khuyến khích học sinh chủ động vận dụng và mở rộng
thuật toán trong những tình huống dạy học cụ thể. .....................................................58
2.3 Kết luận ................................................................................................. 63
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................ 65
3.1 Mục đích thực nghiệm .....................................................................................................65
3.2 Nội dung thực nghiệm .....................................................................................................65
3.3 Tổ chức thực nghiệm........................................................................................................65
3.3.1 Giáo án thực nghiệm.....................................................................................................66
3.3.2 Kết quả kiểm tra trước thực nghiệm ......................................................................72
3.3.3 Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm ..........................................................................73

6


3.3.4 So sánh kết quả trước và sau của lớp đối chứng ...............................................75
3.3.5

So sánh kết quả trước và sau của lớp thực nghiệm ......................................76

3.4 Đánh giá thực nghiệm ......................................................................................................77
KẾT LUẬN.................................................................................................. 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 81
PHỤC LỤC

7


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ X (2006) Đảng ta đã xác định “Muốn
tiến hành công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước thắng lợi cần phát triển
mạnh mẽ giáo dục đào tạo phát huy nguồn nhân lực con người”. Đây chính là
yếu tố cơ bản quyết định cho sự phát triển bền vững của đất nước. Để nguồn
nhân lực đáp ứng được xu thế toàn cầu hóa, đáp ứng được sự phát triển của
kinh tế công nghiệp, kinh tế tri thức, nền giáo dục nước ta đã dần đổi mới theo
4 tiêu chí của giáo dục thế kỉ XXI do UNESCO đề xướng là: Học để biết, học
để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình. Chính vì vậy, giáo dục
các cấp nói chung và giáo dục cấp Tiểu học nói riêng có ý nghĩa vô cùng quan
trọng, ảnh hưởng trực tiếp đến sự phát triển nguồn nhân lực đất nước.
Mục tiêu đổi mới nước ta trong giai đoạn hiện nay là phát triển tối ưu
năng lực con người trên cơ sơ khơi dậy, rèn luyện, bồi dưỡng khản năng làm

việc một cách tự giác, năng động sáng tạo ngay trong các hoạt động ở nhà
trường. Vì vậy, trong dạy học không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức mà
còn phải vạch ra cho các em con đường, cách thức để khám phá chiếm lĩnh
kiến thức ấy. Nói cách khác là dạy cho các em cách tư duy, như cố Thủ tướng
Phạm Văn Đồng đã dạy: “Phải giáo dục cho được phương pháp và tác phong
khoa hoc cho học sinh, điều này chủ yếu là giáo dục cho được phương pháo
suy nghĩ, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề” [3]
Việc rèn luyện tư duy cho học sinh là một trong những nhiệm vụ của
dạy học nói chung và dạy học môn toán nói riêng. Nghiên cứu vấn đề rèn
luyện và phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học toán ở Tiểu
học là một yêu cầu cấp thiết, đáp ứng đòi hỏi của thực tiễn giáo dục hiện nay.

8


Thuật toán được hiểu một cách khái quát là một quy tắc mô tả những
chỉ dẫn (bước) rõ ràng và chính xác, cứ thực hiên theo trình tự các chỉ dẫn đó
thì sẽ thu được kêt quả như mong muốn.
Tư duy thuật toán được hiểu là phương thức tư duy thể hiện khả năng
tiến hành các hoạt động xây dựng và thực hiện thuật toán.
Rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho học sinh Tiểu học có
nhiều tác dụng tốt, cụ thể là:
- Tạo điều kiện tốt cho học sinh tiếp thu kiến thức, rèn kĩ năng toán học.
- Thúc đẩy sự phát triển các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so
sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa… cũng như các phẩm chất trí tuệ như tính
linh hoạt, tính độc lập, tính mềm dẻo, tính sáng tạo…
- Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất tốt đẹp của người
lao động trong nền sản xuất tự động hóa như tính: ngăn nắp, kỉ luật, ý thức
suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết vấn đề.
- Giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong

những hoạt động khác nhau của con người. Điều này làm cho học sinh chủ
động chuẩn bị thích nghi với xã hội tự động hóa.
- Khi học sinh tiến hành hoạt động tư duy thuật toán sẽ dẫn tới việc
hình thành tri thức, phương pháp để giải quyết vấn đề, góp phần hình thành
năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong học tập cũng như trong các
hoạt động lao động, sản xuất đời sống.
Vì việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho học sinh Tiểu
học rất cần thiết như vậy nên tôi chọn và nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện tư
duy thuật toán thông qua dạy học các quy tắc toán học cho học sinh lớp
4”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và xây dựng các biện pháp sư phạm phù hợp với thực tiễn nhà
trường Tiểu học nước ta hiện nay góp phần hình thành và phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh, thông qua dạy học các quy tắc cho học sinh lớp 4.
9


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Tìm hiểu về khái niệm thuật toán và tư duy thuật toán, ý nghĩa, tầm
quan trọng và sự cần thiết phải rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh trong
dạy học môn Toán ở Tiểu học.
3.2 Tìm hiểu nội dung sách giáo khoa Toán ở Tiểu học nói chung và
sách giáo khoa Toán 4 nói riêng về quy tắc toán học.
3.4 Đề xuất một số biện pháp góp phần hình thành và phát triển khả năng
tư duy thuật toán thông qua dạy học các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4.
3.5 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để bước đầu minh họa và kiểm
nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp dạy học đã đề xuất.
4.

Đối tượng và khách thể nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu: học sinh lớp 4 tại trường tiểu học trong địa

bàn Thành phố Vĩnh Yên.
4.2 Đối tượng nghiên cứu: các hoạt động thành phần của tư duy thuật
toán; quá trình hình thành và rèn luyện tư duy thuật toán thông qua dạy học
các quy tắc toán học.
5.

Giả thuyết khoa học
Trong điều kiện tôn trọng chương trình, sách giáo khoa và kế hoạch

dạy học hiện hành, nếu đề xuất được các biện pháp dạy học thích hợp thì sẽ
chủ động góp phần hình thành và rèn luyện tư duy thuật toán thông qua dạy
học các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4. Qua đó góp phần thực hiện đổi
mới các phương pháp dạy học, thực hiện tốt một cách toàn diện các mục tiêu
giáo dục toán học ở trường Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu những tài liệu cơ bản về giáo dục học, tâm lý học, triết học,
phương pháp dạy học, các văn kiện của Đảng và nhà nước, các đề tài nghiên
cứu có liên quan đến đề tài làm cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu:
10


- Tìm hiểu về thuật toán và các hoạt động của tư duy thuật toán.
- Tìm hiểu vai trò, ý nghĩa, tầm quan trọng, sự cần thiết phải hình thành
và rèn luyện tư duy thuật toán cho học sinh nói chung, cho môn toán nói riêng.
- Tìm hiểu nội dung, chương trình dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên
môn toán lớp 4, đặc biệt về các quy tắc toán học.
6.2 Phương pháp điều tra, quan sát

* Điều tra
Sử dụng các phiếu điều tra đối với giáo viên để tìm hiểu tình hình dạy
học và các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4.
* Đàm thoại
Trao đổi trực tiếp với giáo viên nhằm tìm hiểu nhận thức của giáo viên
về việc dạy học các quy tắc toán học cho học sinh.
Tìm hiểu những khó khăn, nguyện vọng của người dạy học và người
học
*Quan sát
Tiến hành dự giờ nhằm quan sát hoạt động dạy và hoạt động trong quá
trình dạy học các quy tắc toán học.
Nhóm phương pháp này được sử dụng để tìm hiểu, hình thành và rèn
luyện tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học môn Toán ở Tiểu học
đồng thời phân tích làm rõ nguyên nhân cơ bản của thực trạng đó và làm cơ
sở để đề xuất các biện pháp sư phạm thích hợp.
6.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tiến hành dạy một số bài dạy về quy tấc toán học có sử dụng các biện
pháp hình thành và phát triển khản năng tư duy thuật toán cho học sinh lớp 4
đã đề xuất nhằm minh họa tính khả thi và bước đầu kiểm nghiệm tính hiệu
quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất.

11


7. Giới hạn đề tài
Các quy tắc toán học trong chương trình lớp 4
Tìm hiểu thực trạng dạy học các quy tắc toán học ở lớp 4 ở trường tiểu
học Ngô Quyền tại thành phố Vĩnh Yên
Tổ chức giảng dạy thực nghiệm 4 tiết học có sử dụng các biện pháp sư

phạm đã đề ra
8. Đóng góp của đề tài
Thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu, luận văn có những
đóng góp chủ yếu sau đây:
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của tư duy thuật toán, tìm hiểu tình hình
phát triển tư duy thuật toán cho học sinh tiểu học trong thực tiễn trường Tiểu
học hiện nay
- Đề xuất được 4 biện pháp sư phạm nhằm chủ động hình thành và rè
luyện tư duy thuật toán cho học sinh lớp 4 thông qua việc dạy học các quy tắc
toán trong điều kiện tôn trọng chương trình, sách gióa khoa và kế hoạch dạy
học hiện hành, phù hợp với khẳn năng của giáo viên và học sinh hiện nay.
- Minh họa và kiểm chứng bước đầu tính khả thi và hiệu quả của các
biện pháp sư phạm đã được đề xuất thông qua thực nghiệm sư phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, phục lục và tài liệu tham khảo, nội dung
của luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện tư duy thuật toán thông qua dạy
học các quy tắc toán học cho học sinh lớp 4
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
Phần phục lục bao gồm các phiếu điều tra, phiếu kiểm tra và giáo án
giảng dạy được giới thiệu sau danh mục tài liệu tham khảo.

12


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Hình thành và phát triển tư duy cho một học sinh là mục tiêu quan
trọng của quá trình toán học nói chung và giáo dục toán học ở Tiểu học nói

riêng. Tư duy thuật toán là một trong những loại hình tư duy có ý nghĩa quan
trọng cần được hình thành và rèn luyện thường xuyên, liên tục. trong chương
này, luận văn sẽ trình bày một cách khái quát các vần đề liên quan đến thuật
toán và việc phát triển tư duy thuật toán ở trường Tiểu học. Gồm các vấn đề sau:
- Về khái niệm “thuật toán”, “tư duy thuật toán”, những đặc trưng của
thuật toán và tư duy thuật toán.
- Tầm quan trọng, ý nghĩa và sự cần thiết hình thành và rèn luyện tư
duy thuật toán cho học sinh Tiểu học.
- Tiềm năng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong môn toán ở
trường Tiểu học, trên cơ sở phân tích nội dung môn Toán ở Tiểu học, đặc biệt
là quá trình hình thành xây dựng các quy tắc toán học
- Tìm hiểu và phân tích những yếu tố ảnh hưởng tới khả năng tư duy
thuật toán của học sinh lớp 4.
1.1. Về khái niệm thuật toán
Theo từ điển Tiếng Việt, “thuật toán” được hiểu là : “Tập hợp những
quy tắc được dùng để chỉ dẫn đến một cách cụ thể trình tự theo các bước cần
phải thực hiện khi tiến hành giải quyết một bài toán” [16, Tr. 783]. Thuật toán
còn có những tên gọi khác như thuật giải, giải thuật.
Để đạt được mục đích trong bất kì hành động nào, mỗi cá nhân cần phải
nhận thức được bản chất thuật toán các hoạt động của mình. Tức là khi giải
quyết công việc nào đó ta phải biết: cần phải thực hiện những hoạt động gì?
Mỗi hoạt động bao gồm những thao tác gì? Việc trả lời này chính là tìm ra các
13


hoạt động, thao tác đó giải quyết được vấn đề, có thể xem như xây dựng một
thuật toán nào đó mà việc tuân theo một cách “máy móc” sẽ dẫn đến kết quả.
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến
phức tạp. Đối với một số bài toán thì tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô
tả quá trình giải ấy. Quy tắc có tính quy trình được coi là một thuật toán.

Thuật toán là một trong những khái niệm quan trọng của toán học và tin học.
Có nhiều quan niệm về thuật toán được giới thiệu bởi các nhà khoa học uy tín,
chẳng hạn:
- Theo Nguyễn Bá Kim: “thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như
một dãy hữu hạn các chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau một số
hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin đầu vào (INPUT) của
một bài toán thành thông tin đầu ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán
đó” [11, Tr.51].
“Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn vị quy định một số hữu
hạn các thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao
cho sau một số bước hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong
muốn”. [11, Tr.51].
- Theo Trần Ngọc Lan, [14, Tr.48] thuật toán có thể hiểu trên hai bình
diện, nghĩa rộng và nghĩa hẹp, cụ thể
Nghĩa hẹp: “Thuật toán là bàn chỉ dẫn cụ thể trình tực các bước cần
thực hiện để đi đến lời giải cuối cùng của một bài toán”
Nghĩa rộng: “Thuật toán là một bản quy định chính xác mà mọi người
đều hiểu như nhau về việc hoàn thành các thao tác nguyên tố theo một trật tự
xác định nhằm giải quyết một loạt bài toán bất kì thuộc loại hay một kiểu nào
đó”
- Theo bách khoa toàn thư mở Wikipedia: “Thuật toán, còn gọi là giải
thuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định

14


nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho
trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đến kết quả sau
cũng cũng như dự đoán”.
Từ những quan niệm đó có thể thấy rằng, quan niệm về thuật toán của

các nhà khoa học có thể có sự khác nhau về mặt ngôn ngữ biểu đạt, nhưng
bản chất của chúng thống nhất với nhau, đều quan niệm rằng thuật toán là một
quy trình gồm các bước, với việc thể hiện theo các bước đó sẽ đi đến lời giải
của bài toán.
Vì thế, trong luận văn này, tôi quan niệm: thuật toán là một bộ các
quy tắc hay quy trình cụ thể nhằm giải quyết một vấn đề trong một số
bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết quả từ một tập hợp các dữ
liệu đưa vào.
Theo từ điển Tiếng Việt, “quy tắc” theo nghĩa thứ nhất “những điều
quy định mọi người phải tuân theo trong một hoạt động nào đó”. Theo nghĩa
thứ hai thì “quy tắc” là “công thức”, hình thức ngắn gọn nêu lên những điều
cần phải làm theo trong những trường hợp nhất định [16, Tr. 813].
Cần lưu ý rằng khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đên
việc chúng minh thuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước
theo sự hướng dẫn sẽ có kết quả đúng. Chẳng hạn, khi giải bài toán Tìm hai số
khi biết tổng và hiệu hai số đó, học sinh chỉ việc áp dụng theo trình tự quy
trinh 4 bước sẽ đi đến kết quả của bài toán. Nói cách khác, thuật toán có thể
chỉ là áp dụng các quy tắc, quy trình đã được công nhận là đúng hoặc đã được
chứng minh là đúng về mặt toán học.
Có thể có những cách phát biểu khác nhau về thuật toán nhưng nhìn
chung đều phản ánh một số thuộc tính giống nhau, thống nhất với nhau ở
những tính chất cơ bản và quan trọng. Theo Dương Văn Minh [11, Tr. 54, 55]
thì thuật toán gồm có các tính chất: Tính đơn trị, tính đúng đắn, tính dừng,
tính phổ dụng và tính hiệu quả.
15


 Tính đơn trị của thuật toán
Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp (các bước)
phải đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng thuộc một cơ cấu thực hiện cùng một

thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho ra cùng một kết quả. Tính chất
này nói lên tính hình thức của thuật toán, nhờ đó người ta có thể lập trình giao
cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay cho con người.
Ví dụ 1: Ta xét ví dụ tìm x sau
Tìm x biết: 14 + x = 36
Học sinh sẽ lần lượt tiến hành các thao tác sau
Bước 1: Xác định x trong biểu thức phải tìm là gì (tìm số hạng)?
Bước 2: Phát biểu quy tắc tìm x (tìm một số khi biết tổng và số hạng
kia; Muốn tìm số hạng ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết).
Bước 3: Thực hiện phép toán (36 – 14 = 22).
Bước 4: Kiểm tra kết quả và kết luận (thay x tìm được vào phép tính để
kiểm tra: 14 + 22 = 36).
Đây là một thuật toán với quy tắc tìm số hạng khi biết tổng và số hạng
kia. Trong thuật toán trên, mỗi bước học sinh thực hiện theo chỉ dẫn sẽ cho ra
kết quả duy nhất.
Ví dụ 2: Tính diện tích hình bình hành, biết độ dài đáy và chiều cao
của hình bình hành lần lượt là 3dm và 26cm.
Thuật toán tính diện tích hình bình hành gồm các bước:
Bước 1: Đổi các số đo về cùng 1 đơn vị đo: 3dm = 30cm.
Bước 2: Xác định các số đo tương ứng với thành phần công thức và
thay vào công thức: độ dài đáy là 30cm, chiều cao là 26cm. S=a x h=30x26
Bước 3: thực hiện tính toán: 30 x 26 = 780 (cm2).
Mỗi cá nhân học sinh thực hiện theo chỉ dẫn các bước như trên đều thu
được cùng một kết quả

16


 Tính dừng của thuật toán
Tính dừng của thuật toán được hiểu là sau hữu hạn lần lượt thực hiện

các bước theo thứ tự đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như
mong muốn
Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thể mỗi thuật toán phải có
bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán
nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi
Ví dụ: Trong bài toán tìm x (Toán 4, Tr.132)
x

3 11

2 4

Bước 1: Xác định x là biểu thức phải tìm (Tìm số bị trừ chưa biết).
Bước 2: Phát biểu lại quy tắc tìm x tương ứng (muốn tìm số bị trừ ta lấy
hiệu cộng với số trừ).
Bước 3: Tính toán

11 3 17
 
4 2 4

Bước 4: Thử lại và kết luận (thay gái trị của x vào biểu thức, nếu đúng
kết luận, nếu sai, quay lại bước 3).
Trong thuật toán này, nếu học sinh tính toán sai trong bước 3 sẽ được
bước 4 kiểm tra lại và quay lại thuật toán. Bước toán chỉ lặp lại một hoặc hai
lần sẽ thu được kết quả như mong muốn.
 Tính đúng đắn của thuật toán
Mỗi thuật toán để nhất thiết đảm bảo tính đúng đắn, điều đó có nghĩa là
phải giải quyết vấn đề đặt ra, làm không đúng công việc mà ta mong muốn.
Thuật toán không cho phép kết quả sai, không đầy đủ, hoặc bỏ sót trường hợp

 Tính phổ dụng của thuật toán
Thuật toán được xây dựng không chỉ dùng để giải một bài toán mà phải
áp dụng cho một vài bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác
nhau. Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra các thuật toán rồi từ đó xây
17


dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán. Tính phổ dụng của
thuật toán được hiểu là thuật toán áp dụng được cho rất nhiều bài toán cùng loại.
Ví dụ: Để giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó ta
áp dụng quy tắc:
Số lớn = (tổng + hiệu) : 2
Số bé = (tổng – hiệu) : 2
Áp dụng quy tắc này, ta có thể giải lớp bài toán tìm hia số khi biết tổng
và hiệu hai số đó với các dữ kiện khác nhau.
Quy trình các bước tiến hành giải bài toán diễn ra như sau:
Bước 1: Xác định dạng toán
Bước 2: Vẽ sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa các số liệu trên sơ đố
Bước 3: Áp dụng quy tắc tìm số lớn, số bé
Bước 4: Kiểm tra và kết luận
Có thể dùng các bước chung này để giải hàng loạt các bài toán tìm hai
số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
Tính phổ dụng của thuật toán trong ví dụ này là: quy trình các bước giải
của bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu hai số đó được áp dụng cho hàng
loạt các bài toán tìm hia số khi biết tổng và hiệu của chúng với các dữ kiện cụ
thể khác nhau.
Các bước giải của bài toán đôi khi không thể hiện trong bài giải nhưng
nó thể hiện trong quá trình tư duy, suy nghĩ để giải bài toán.
 Tính hiệu quả của thuật toán
Tính hiệu quả của thuật toán được thể hiện là tính tối ưu. Cụ thể là:

- Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian
- Thuật toán dùng ít giấy hoặc các thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian
- Thuật toán đáp ứng yêu cầu của thực tiễn đảm bảo thời gian

18


1.2. Quy tắc “tựa” thuật toán
Đặc trưng của thuật toán là hệ thống các quy định nghiêm ngặt được
đặt ra theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên, trong quá trình thực tiễn dạy học,
ta thương gặp một số các quy tắc không mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng
của thuật toán nhưng nó mang một trong số các đặc tính đó và chúng có nhiều
tác dụng thuật toán trong việc hướng dẫn học sinh giải toán. Những quy tắc
như vậy người ta gọi là “tựa thuật toán”.
Theo từ điển Tiếng Việt Hoàng Phê chủ biên “tựa” có nghĩa là “giống
như cái rất điển hình nào đó (so sánh để nêu bật mức độ của một tính chất)”
[16, Tr. 878].
Trong [10, Tr. 377], Nguyễn Bá Kim quy tắc “tựa thuật toán” được
hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác
định, nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô
tả lời giải cảu lớp bài toán đó.
Ví dụ: Trong quy tắc rút gọn phân số
Rút gọn phân số

18
54

Bước 1: Ta thấy 18 và 54 đều chia hết cho 2 nên

18 18 : 2 9


=
54 54 : 2 27
Bước 2: 9 và 27 đều chia hết cho 9 nên
9
9:9 1


27 27 : 9 3

Bước 3: một và 3 không chia hết cho số nào lớn hơn 1 nên
số tối giản
Vậy

18 1

54 3

19

1
là phân
3


Có học sinh khác thực hiện
Bước 1:

18
18 : 3 6


=
54
54 : 3 18

Bước 2:

6
6:3 2

=
18 18 : 3 6

Bước 3:

2
2:2 1

=
6
6:2 3

Hoặc có thể làm:

18 : 18 1
18

=
54 : 18 3
54

Quy tắc rút gọn phân số không được xem là một thuật toán vì các bước
làm không cho ra kết quả đơn trị. Nó không chỉ ra đích xác trong bước này
phải chia cho số này, bước kia chia cho số kia, mà tùy thuộc vào cách hiểu và
cách vận dụng của mỗi người
 Quy tắc “tựa thuật toán” được phân biệt với “thuật toán” như sau:
 Một chỉ dẫn nào đó trong quy tắc tựa thuật toán có thể chưa mô tả
hành động một cách chính xác
 Kết quả thực hiện ở một bước nào đó thường không đơn trị
 Quy tắc tựa thuật toán không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu
hạn các bước thì đem lại lời giải là kết quả của bài toán
Mặc dù có một số hạn chế nói trên so với thuật toán, nhưng những quy
tắc có tính tựa thuật toán cũng vẫn là những tri thức phương pháp rất quan
trọng không chỉ cho quá trình hoạt động và giải toán mà còn quan trọng với
nhiều hoạt động của con người trong mọi lĩnh vực hoạt động. Vai trò quan
trọng của nó trong quá trình dạy học cũng như trong đời sống thể hiện ở tính
phổ dụng và tính đúng đắn của nó.
1.3. Tư duy thuật toán
Tư duy là quá trình nhận thức bậc cao của con người, phản ánh hiện
thực khách quan vào bộ não của con người dưới dạng khái niệm, phán đoán,
20


suy lí. Tư duy nảy sinh trong quá trình hoạt động xã hội của con người, là sản
phẩm của hoạt động xã hội. Kết quả quá trình tư duy là nhận thức về một đói
tượng nào đó ở mức độ cao hơn, sâu sắc hơn.
Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh bản chất, những mối quan hệ
có tính chất quy hoạch của sự vật, hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết.
 Các thao tác của tư duy
Quá trình tư duy của con người được diễn ra bằng cách chủ thể của tư

duy tiến hành các thao tác tư duy. Các thao tác tư duy cơ bản là:
- Phân tích, tổng hợp
- So sánh, tương tự
- Khái quát hoám đặc biệt hóa
- Trừu tượng hóa
 Một số loại hình tư duy:
Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đôi tượng tư duy. Theo Trần Ngọc
Lan [13, Tr. 43], trong toán học có một số loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng
- Tư duy phê phán, tư duy sáng tạo
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp
- Tư duy thuật toán
- Tư duy hàm
Trong [16, Tr. 101-103], Nguyễn Thành Toàn có bảy loại hình tư duy
sau:
- Tư duy logic
- Tư duy hình tượng
- Tư duy biện chứng
- Tư duy quản lí
- Tư duy kinh tế
21


- Tư duy kĩ thuật
- Tư duy thuật toán
“Trong mục tiêu đào tạo của các nhà trường không thể bỏ qua loại nào
trong bảy loại tư duy nói trên [16, Tr.103]”
Việc phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ manh tính chất tương
đối. mặc dù mỗi loại hình tư duy mang đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng
chúng không hoàn toán độc lập, giữa chúng có sự liên hệ .

Khái niệm tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ, không thể tách rời với
khái niệm thuật toán.
Một trong những điểm cơ bản của giáo dục học: Con người phát triển
trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Cùng mới định hướng đổi
mới phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học, học tập
và hoạt động bằng những hoạt động mang tinh tự giác, tích cực, chủ động,
sáng tạo. Vì vậy dạy học phải hướng tớ việc tổ chức cho học sinh hoạt động
một cách chủ động, tích cực.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học với hoạt động cho thấy:
Mỗi nội dung dạy học đều chưa đựng hoạt động tương thích với nó. Theo
quan điểm nghiên cứu này thì tương thích với khái niệm tư duy thuật toán có
các hoạt động tương thích với nó.
Trong [17, Tr.133], Nguyễn Cảnh Toàn thì các hoạt động đó gồm
- Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định với chỉ dẫn của một
thuật toán cho trước (khả năng được gọi là khả năng thực hiện thuật toán).
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động, chỉ rõ bước này là
nối tiếp bước kia, từ bước đầu tiên đến bước cuối cùng.
- Phân tích mỗi bước thành những thao tác thành phần được thực hiện
theo một trình tự xác định

22


- Khái quát hóa một hoạt động trên một đối tượng riêng lẻ thành một
hoạt động trên một lớp đối tượng
- So sánh nhiều thuật toán khác nhau cùng dẫn tới một kết quả và tìm ra
trong đo thuật toán tối ưu
- Một cách hiểu tương tự về tư duy thuật toán nhưng cụ thể hơn được
Vương Dương Minh nêu trong [15 , Tr. 28] gồm các hoạt động sau:
(T1) Thực hiện các tháo tác theo một trình tự xác định phù hợp với một

thuật toán.
(T2) Phân tích một quá trình thành cách thao tác được thực hiện theo
một trình tự xác định.
(T3) Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tương riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đói tượng.
(T4) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
(T5) Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc.
Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động từ (T1) –
(T5) được gọi là tư duy thuật toán. Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư
duy thuật toán, thành phần (T1) thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Các
thành phần còn lại thể hiện khả năng xây dựng thuật toán. Các hoạt động (T1)
– (T5) được gọi là thành phần hoạt động của tư duy thuật toán .
Như vậy có thể nói rằng: Tư duy thuật toán là phương thức tư duy
thể hiện khả năng tiến hành các hoạt động xây dựng và thực hiện thuật
toán.
1.3.1 Phân bậc các hoạt động của tư duy thuật toán
Phân bậc các hoạt động của tư duy thuật toán là điều vô cùng quan
trọng và cần thiết. Vì khi xác định được mức độ tập luyện các hoạt động tư
duy, thuật toán sát với trình độ học sinh thì sẽ đem lại kết quả cao trong dạy
học. Muốn định được mức độ tập luyện các hoạt động cần phải thực hiện
phân bậc các hoạt động của tư duy thuật toán. Theo [10, Tr. 63] thì phân bậc
các hoạt động của tư duy căn cứ vào các luận điểm sau:
23


a. Bình diện nhận thức
Bình diện bày thể hiện ở việc lấy đối tượng của nhận thức làm căn cứ
để phân bậc các hoạt động tư duy thuật toán
Bậc thấp: Tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán trên các đối tượng
cụ thể

Bậc cao: Tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán trên các đối tượng
trừu tượng hơn
Ví dụ:
Bậc thấp: cho học sinh tính giá trị biểu thức với các số cụ thể
Bậc cao: Học sinh tiến hành tính giá trị biểu thức với biểu thức chứa
chữ dạng tổng quát.
b. Dựa vào nội dung của hoạt độngtư duy thuật toán
Các hoạt động của tư duythuật toán có thể được phân bậc dựa trên nội
dung của hoạt động. Nội dung chủ yếu của hoạt động chủ yếu là những tri
thức liên quan đến hoạt động và những điều kiện khác liên quan đến hoạt động.
Bậc thấp: Mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
Bậc cao: Mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ sơ đồ khối hoặc ngôn ngữ
phỏng trình.
Bậc cao hơn nữa: Mô tả bằng ngôn ngữ lập trình.
c. Dựa vào sự phức hợp của hoạt động tư duy thuật toán
Sự phức hợp của hoạt động cũng là một căn cứ phân bậc các hoạt động
của tư duythuật toán
Bậc thấp: Xây dựng một thuật toán.
Bậc cao : Xây dựng một thuật toán tối ưu.
d. Dựa vào chất lượng của hoạt động tư duy thuật toán
Sự phân bậc của hoạt động tư duythuật toán còn phụ thuộc vào chất
lượng của hoạt động

24


Bậc thấp: Biết cách tiến hành hoạt động tư duy thuật toán.
Bậc cao: Có kĩ năng tiến hành hoạt động tư duy thuật toán.
Bậc cao hơn nữa: Có kĩ xảo tiến hành hoạt động tư duy thuật toán.
 Sự phân bậc các hoạt động tư duy thuật toán giúp giáo viên

 Có thể điều khiển quá trinh dạy học toán một cách chủ động
 Chính xác hóa mục đích, yêu cầu tập luyện các hoạt động tư duy
thuật toán
 Tuần tự nâng cao yêu cầu tập luyện các hoạt động tư duy thuật toán
 Tiến hành dạy học phân hóa trong khi luyện tập hoạt động tư duy
thuật toán
 Có thể thấy rõ các tính chất và thứ tự các hoạt động dạy học nhằm
chủ động luyện tập các hoạt động tư duy thuật toán qua bài tập sau đây như
là một sự minh họa.
Bài toán 1: Cộng 2 phân số sau:

7 8

6 15

Sau khi học xong cộng hai phân số có cùng mẫu số, học sinh biết vận
dụng quy tắc để tính qua các bước

7 8 35 16
 

6 15 30 30

bước 1

51
35  16
=
30
30

bước 2

17
10

bước 3

=

=

Trong tình huống bài toán này, học sinh được luyện tập hoạt động
(T1) thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật toán
Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức sau:

25


5625 - 5000 : (726 : 6 - 113)
Khi gặp bài toán này, học sinh phải phân tích quá trình tính toán của
mình thành các hoạt động. Trình tự các thao tác được tiến hành theo một trật
tự xác định: thực hiện trong ngoặc trước (ngoặc đơn trước, ngoặc kép sau),
ngoài ngoặc sau, nhân chia trước, công trừ sau.
Theo trình tự này, học sinh thực hiện bước làm như sau:
726 : 6 = X1 rồi lấy X1 – 113
5000 : X2= X3
5625 - X3 = kết quả
Tiến hành các thao tác theo trinh tự này nhất định sẽ thu được kết quả

của bài toán. Khi làm dạng toán này, học sinh phải tiến hành phân tích và thực
hiện các thao tác theo trình tự xác định.
1.3.2 Ý nghĩa và sự cần thiết phải rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán
trong dạy học toán ở Tiểu học
Tư duy thuật toán là một phương thức tư duy có tính phổ dụng, được áp
dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực hoạt động của mỗi cá nhân trong đời
sống xã hội hiện đại. Ý nghĩa và tầm quan trọng của tư duy thuật toán trong
dạy học toán được thể hiện ở những khía cạnh sau đây:
- Kỹ năng được hình thành và phát triển trong hoạt động và bằng các
hoạt động. nhiều kĩ năng toán học có thể hình thành và phát triển nhờ các hoạt
động tư duy thuật toán
- Các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng
hóa, cụ thể hóa được phát triển khi tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán.
- Khi học sinh tiến hành các hoạt động tư duy thuật toán từ (T1) – (T5)
thì đồng thời các thao tác tư duy trên được rèn luyện, thúc đẩy. Học sinh đi
phân tích, khái quát hóa bài toán đã cho thành bài toán tổng quát

26


- Các phẩm chất trí tuệ như tính linh hoạt, tính đọc lập cũng được phát
triển trong các hoạt động tư duy thuật toán. Điều này được thể hiện ở hoạt
động (T5) của tư duy thuật toán. Học sinh phải biết lựa chọn và tìm ra thuật
toán tối ưu, chiếm ưu thế và tốn ít thời gian giải bài toán.
- Khản năng tư duy logic và sử dụng ngôn ngữ chính xác cũng được rèn
luyện qua các hoạt dộng của tư duy thuật toán. Học sinh có thể lập luận một
cách logic và phát triển thứ tự thực hiện các bước của thuật toán bằng ngôn
ngữ của mình.
- Rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán góp phần giáo dục những
đức tính tốt đẹp của người lao động mới và giáo dục thế giới quan duy vật

biện chứng.
Như vậy việc rèn luyện phát triển tư duy thuật toán có vị trí quan trọng
trong dạy học toán ở trường Tiểu học
Tiến hành các hoạt động của tư duy thuật toán dẫn đến việc hình thành
cho học sinh những tri thức phương pháp để giải quyết vấn đề, góp phần hình
thành cho học sinh năng lực giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong
cuộc sống của các em. Từ đó dần hình thành ở các em những thói quen cần
thiết thích ứng tốt với những đòi hỏi của các hoạt động trong nhiều lĩnh vực
của đời sống trong xã hội hiện đại.
1.4 Tiềm năng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua môn toán ở
trường Tiểu học
Tư duy thuật toán gắn liền với những thuật toán. Nó được hình thành và
phát triển chủ yếu thông qua dạy học hệ thống các quy tắc, công thức toán
học. Trong quá trình dạy các quy tắc toán học, giáo viên phải cho học sinh
thực hiện những hoạt động như: phát hiện, tái tạo, xây dựng, ghi nhớ…các
quy tắc, công thức. hoạt động này đều gắn với hoạt động của tư duy thuật toán
Tìm hiểu tiềm năng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong môn toán
ở trường Tiểu học chính là tìm hiểu cách sắp xếp, bố trí, độ phức tạp…. của
các quy tắc, công thức trong chương trình toán Tiểu học, hay đi trả lời câu
27