TỔNG hợp lý THUYẾT và các DẠNG bài tập TOÁN 9 (ôn THI lên lớp 10)

HOÀNG THÁI VIỆT


TỔNG HỢP LÝ THUYẾT
VÀ CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

(DÙNG CHO HS ÔN THI VÀO LỚP 10)
HOÀNG THÁI VIỆT- ĐHBK- 01695316875
Truy cập face để liên hệ và học tập :
/>Download tại liệu của Hoàng thái việt tại :
/>
Đà nẵng ,Năm 2015


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

tổng hợp kiến thức
và cách giải các dạng bài tập toán 9
Phần I:
Đại số

A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.
A có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
A2 A
a.
b.
AB A. B ( A 0; B 0)
c.

A

B

d.

A2 B A B

e.

A
B

( A 0; B 0)

A B A2 B

( A 0; B 0)

A B A2 B

f.

A 1

B B

( B 0)

AB

( A 0; B 0)
( AB 0; B 0)

i.

A
A B

B
B

k.

C
C ( A mB)

A B2
AB

m.

C
C( A m B )

A B2
A B

( B 0)
( A 0; A B 2 )

( A 0; B 0; A B )

3. Hàm số y = ax + b (a 0)
- Tính chất:
+ Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đ-ờng thẳng đi qua điểm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hàm số y = ax2 (a 0)
- Tính chất:
+ Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.
+ Nếu a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
- Đồ thị:
Đồ thị là một đ-ờng cong Parabol đi qua gốc toạ độ O(0;0).
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía d-ới trục hoành.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

2


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

5. Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng
Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') cắt nhau a a'
(d) // (d') a = a' và b b'
(d) (d') a = a' và b = b'
6. Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng và đ-ờng cong.
Xét đ-ờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)

(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung
7. Ph-ơng trình bậc hai.
Xét ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
2
= b - 4ac
' = b'2 - ac với b = 2b'
Nếu > 0 : Ph-ơng trình có hai
- Nếu ' > 0 : Ph-ơng trình có hai
nghiệm phân biệt:
nghiệm phân biệt:
x1

b
b
; x2
2a
2a

x1

Nếu = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm
kép : x1 x2

b
2a

Nếu < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm

b' '
b' '
; x2
a
a

- Nếu ' = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm
b'
x

x

kép: 1
2
a
- Nếu ' < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm

8. Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x1, x2 là nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:
b

S

x

x

1
2

a

P x .x c
1 2

a

- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải ph-ơng trình:
x2 - Sx + P = 0
(Điều kiện S2 - 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm:
x1 = 1 ; x2 =

c
a

Nếu a - b + c = 0 thì ph-ơng trình có hai nghiệm:
x1 = -1 ; x2 =

c
a

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

3

TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

9. Giải bài toán bằng cách lập ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình
B-ớc 1: Lập ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình
B-ớc 2: Giải ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình
B-ớc 3: Kiểm tra các nghiệm của ph-ơng trình hoặc hệ ph-ơng trình
nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thức A
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các b-ớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
- Đ-a bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia....
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
Bi tp:


1)
2)



2

5 2 8 5

2 5 4
3

1



;
3

3 1 1

3 1

3) 3 5 3 5 ;
4) 14 8 3 24 12 3 ;

x
1
A =

2 2 x

5) Cho biểu thức

x x x x

x 1 x 1

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
6) Cho biểu thức

x
2
1
10 x
B =


: x 2

x 2
x 2
x 4 2 x
a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.

Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút
gọn biểu thức A
Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

4

TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- Rút gọn biểu thức A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.
Bi tp :
Bài 9: Cho biểu thức :
1 a a
1 a a

P =
a .
a
1 a
1 a

a) Tớnh P khi a = 2
b) Tìm a để P< 7 4 3

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số ph-ơng pháp chứng minh:
- Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A=B A-B=0
- Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp.
A = A1 = A2 = ... = B
- Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp so sánh.
A = A1 = A2 = ... = C
A=B
B = B1 = B2 = ... = C

- Ph-ơng pháp 4: Ph-ơng pháp t-ơng đ-ơng.
A = B A' = B' A" = B" ...... (*)
(*) đúng do đó A = B
- Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết.
- Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp quy nạp.
- Ph-ơng pháp 7: Ph-ơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:

a1 a2 a3 ... an n
a1.a2 .a3 ...an (với a1.a2 .a3 ...an 0 )
n
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: a1 a2 a3 ... an

- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với mọi số a1; a2; a3;; an; b1; b2; b3;bn

a1b1 a2b2 a3b3 ... anbn 2 (a12 a22 a32 ... an2 )(b12 b22 b32 ... bn2 )

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

a
a1 a2 a3


... n
b1 b2 b3
bn

Một số ph-ơng pháp chứng minh:
- Ph-ơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A>B A-B>0
- Ph-ơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp
A = A1 = A2 = ... = B + M2 > B nếu M 0
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

5


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- Ph-ơng pháp 3: Ph-ơng pháp t-ơng đ-ơng
A > B A' > B' A" > B" ...... (*)
(*) đúng do đó A > B
- Ph-ơng pháp 4: Ph-ơng pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B A > B
- Ph-ơng pháp 5: Ph-ơng pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi t-ơng
đ-ơng để dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.
- Ph-ơng pháp 6: Ph-ơng pháp sử dụng giả thiết.
- Ph-ơng pháp 7: Ph-ơng pháp quy nạp.
- Ph-ơng pháp 8: Ph-ơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 5: bài toán liên quan tới ph-ơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0)
Các ph-ơng pháp giải:
- Ph-ơng pháp 1: Phân tích đ-a về ph-ơng trình tích.
- Ph-ơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai
x2 = a x = a

- Ph-ơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm
Ta có = b2 - 4ac
+ Nếu > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1

b
b
; x2
2a
2a

+ Nếu = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép
x1 x2

b
2a

+ Nếu < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm
- Ph-ơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn
Ta có ' = b'2 - ac với b = 2b'
+ Nếu ' > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1

b' '
b' '
; x2
a
a

+ Nếu ' = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép

b'
x1 x2
a
+ Nếu ' < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm
- Ph-ơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Nếu x1, x2 là nghiệm của ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) thì:
b

x1 x2 a

x .x c
1 2 a

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì ph-ơng trình luôn có hai
nghiệm phân biệt.
6
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).
Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng
a. Tr-ờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0 m = m0 ta có:
(*) trở thành ph-ơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**)
+ Nếu b 0 với m = m0: (**) có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0: (**) vô định (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c 0 với m = m0: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm

b. Tr-ờng hợp a 0: Tính hoặc '
+ Tính = b2 - 4ac
Nếu > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1

b
b
; x2
2a
2a

Nếu = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép : x1 x2

b
2a

Nếu < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'2 - ac với b = 2b'
Nếu ' > 0 : Ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt:
b' '
b' '
; x2
x1
a
a

b'
Nếu ' = 0 : Ph-ơng trình có nghiệm kép: x1 x2
a
Nếu ' < 0 : Ph-ơng trình vô nghiệm

- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để ph-ơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc
điều kiện 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
a 0
a 0
hoặc '
0
0

Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
a 0
a 0
hoặc
hoặc

b 0
0

a 0

'
0

Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

7


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

a 0

Điều kiện có nghiệm kép:

0

a 0

hoặc

'
0

Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
a 0

Điều kiện vụ nghiệm:

0

a 0

hoặc

'
0

Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
a 0
a 0
hoặc
hoặc
b 0
0

Điều kiện có một nghiệm:

a 0
'
0

Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:
0

hoặc

c
P


0

a

' 0


c
P 0
a


Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm d-ơng.
Điều kiện có hai nghiệm d-ơng:

0

c

P 0 hoặc
a

b

S a 0


' 0

c

P 0
a

b

S a 0

Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:

0

c

P 0 hoặc
a

b

S a 0

' 0

c

P 0
a

b

S a 0

Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.
Bi tp:
1. mx2 2 m 2 x 3 m 2 0 cú 2 nghim cựng du.
2. 3mx2 2 2m 1 x m 0 cú 2 nghim õm.
3. m 1 x2 2 x m 0 cú ớt nht mt nghim khụng õm.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

8


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1.
Cách giải:

- Thay x = x1 vào ph-ơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x1, x2
- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 =

P
x1

Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để ph-ơng trình bậc
hai ax2 + bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn
các điều kiện:
a. x1 x2
b. x12 x22 k
c.

1 1
n
x1 x2

d. x12 x22 h

e. x13 x23 t

Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:
b

x1 x2 a S (1)

x .x c P
(2)

1 2 a

a. Tr-ờng hợp: x1 x2
b

x1 x2
Giải hệ
a
x1 x2

x1, x2

Thay x1, x2 vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Tr-ờng hợp: x12 x22 k ( x1 x2 )2 2 x1 x2 k
Thay x1 + x2 = S =

b
c
và x1.x2 = P = vào ta có:
a
a

S2 - 2P = k Tìm đ-ợc giá trị của m thoả mãn (*)
c. Tr-ờng hợp:

1 1
n x1 x2 nx1.x2 b nc
x1 x2

Giải ph-ơng trình - b = nc tìm đ-ợc m thoả mãn (*)
d. Tr-ờng hợp: x12 x22 h S 2 2P h 0
Giải bất ph-ơng trình S2 - 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*)
e. Tr-ờng hợp: x13 x23 t S 3 3PS t
Giải ph-ơng trình S 3 3PS t chọn m thoả mãn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P
của chúng.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

9


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Ta có u và v là nghiệm của ph-ơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (*)
(Điều kiện S2 - 4P 0)
Giải ph-ơng trình (*) ta tìm đ-ợc hai số u và v cần tìm.
Bi toỏn 16. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM
i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l các em phi bit bin i biu thc
nghim ó cho v biu thc cú cha tng nghim x1 x2 v tớch nghim x1 x2 ỏp
dng h thc VI-ẫT ri tớnh giỏ tr ca biu thc
1.Ph-ơng pháp: Bin i biu thc lm xut hin : ( x1 x2 ) v x1 x2
Dạng 1. x12 x22 ( x12 2 x1 x2 x22 ) 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
Dạng 2. x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2
2

Dạng 3. x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 2 x12 x22
2

Dạng 4.

2

1 1 x1 x2

x1 x2
x1 x2

Dạng 5. x1 x2 ? Ta bit x1 x2 x1 x2 4 x1 x2 x1 x2
2

2



Dạng 6. x12 x22 x1 x2 x1 x2 = ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 .( x1 x2 )



x1 x2

2

4 x1 x2

Dạng 7. x13 x23 = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =.
2

Dạng 8. x14 x24 = x12 x22 x12 x22 =

Dạng 9. x16 x26 = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = ..





Dạng 10. x16 x26 ( x12 ) 3 ( x2 2 ) 3 ( x12 x2 2 ) ( x12 ) 2 x12 .x2 2 ( x2 2 ) 2 ...
Dạng 11. x15 x25 = ( x1 x2 )( x1 x2 ) x1 .x2 ( x1 x2 )
Dạng12: (x1 a)( x2 a) = x1x2 a(x1 + x2) + a2 = p aS + a2
3

Dạng13

3

2

2

2

2

x x 2 2a
1
1
S 2a

1

x1 a x2 a ( x1 a)( x2 a) p aS a 2

Bài toán 17 :

. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH

SAO CHO HAI NGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S

lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:

x1 x2

b
c
; x1 .x2
a
a

3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau
ú ng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham
s.Đó chính là h thc liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham số
m.

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

10

TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Vớ d 1: Cho phng trỡnh : m 1 x2 2mx m 4 0 (1) cú 2 nghim x1; x2 . Lp h
thc liờn h gia x1; x2 sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận b-ớc 1)
Giải:
B-ớc2: Theo h th c VI- ẫT ta cú :
2m
2


x1 x2 m 1
x1 x2 2 m 1 (1)


m

4
x .x
x .x 1 3 (2)
1 2 m 1
1 2
m 1

B-ớc2: Rỳt m t (1) ta cú :
2
2
x1 x2 2 m 1

m 1
x1 x2 2

(3)

Rỳt m t (2) ta cú :
3
3
1 x1 x2 m 1
m 1
1 x1 x2

(4)

B-ớc 3: t (3) v (4) ta cú:
2
3

2 1 x1 x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2 x1 x2 8 0
x1 x2 2 1 x1 x2

Vớ d 2: Gi x1; x2 l nghim ca phng trỡnh : m 1 x2 2mx m 4 0 . Chng
minh rng biu thc A 3 x1 x2 2 x1 x2 8 khụng ph thuc giỏ tr ca m.
Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
2m

x1 x2 m 1

x .x m 4
1 2

m 1


ĐK:( m 1 0 m 1 ) ;Thay vo A ta c ú:

A 3 x1 x2 2 x1 x2 8 3.

2m
m4
6m 2m 8 8(m 1)
0
2.
8

0
m 1
m 1
m 1
m 1

Vy A = 0 vi mi m 1 . Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m
Bi tp ỏp dng:

11. Cho phng trỡnh : x2 m 2 x 2m 1 0 . Hóy lp h thc liờn h gia x1; x2
sao cho x1; x2 c lp i vi m.
( x1 x2 ) 1 2 x1 x2 16 2 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0

Bài toán 18.TèM GI TR THAM S CA PHNG TRèNH THO MN BIU THC
CHA NGHIM CHO

i vi cỏc bi toỏn dng ny các em lm nh sau:
- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2
(thng l a 0 v 0)
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

11


TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là
tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2  6  m  1 x  9  m  3  0
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2  x1.x2

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
m  0
m  0
m  0
m  0







2


2
2
 '  9  m  1  0
m  1
 '  9  m  2m  1  9m  27  0



 '  3  m  21   9(m  3)m  0

6(m  1)

 x1  x2  m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
và từ giả thiết: x1  x2  x1 x2 . Suy ra:
9(
m

3)
x x 
 1 2
m
6(m  1) 9(m  3)

 6(m  1)  9(m  3)  6m  6  9m  27  3m  21  m  7
m
m

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
x1  x2  x1.x2

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2   2m  1 x  m2  2  0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2  5  x1  x2   7  0
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :
 '  (2m  1)2  4(m2  2)  0
 4m2  4m  1  4m2  8  0

 4m  7  0  m 

7
4

 x1  x2  2m  1

Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 

2
 x1 x2  m  2

và từ giả thiết 3x1 x2  5  x1  x2   7  0 .

Suy ra
3(m 2  2)  5(2m  1)  7  0
 3m 2  6  10m  5  7  0
 m  2(TM )
 3m  10m  8  0  
 m  4 ( KTM )
3


2

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :
3x1 x2  5  x1  x2   7  0

Bài tập áp dụng
HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015

12


TỔNG HỢP KIẾN THỨC VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN 9

1. Cho phương trình : mx2  2  m  4 x  m  7  0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  2 x2  0
2. Cho phương trình : x2   m  1 x  5m  6  0
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1  3x2  1
3. Cho phương trình : 3x2   3m  2 x   3m  1  0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1  5x2  6
Hƣớng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví
dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm
x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó
vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa
tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình
bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ: m  0 & m 

16
15

(m  4)

 x1  x2 
m
(1)
-Theo VI-ÉT: 
m

7
x x 
 1 2
m
 x  x  3x2
 2( x1  x2 )2  9 x1 x2 (2)
- Từ x1  2 x2  0 Suy ra:  1 2
2(
x

x
)

3
x
 1 2
1

- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
m2  127m  128  0  m1  1; m2  128

BT2: - ĐKXĐ:   m2  22m  25  0  11  96  m  11  96
 x1  x2  1  m
(1)
 x1 x2  5m  6

- Theo VI-ÉT: 

 x1  1  3( x1  x2 )
 x1 x2  1  3( x1  x2 ). 4( x1  x2 )  1

- Từ : 4 x1  3x2  1 . Suy ra:  x2  4( x1  x2 )  1
(2)
2
 x1 x2  7( x1  x2 )  12( x1  x2 )  1

m  0
(thoả mãn ĐKXĐ)
m  1

- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m  1)  0  

BT3: - Vì   (3m  2)2  4.3(3m  1)  9m2  24m  16  (3m  4)2  0 với mọi số thực m
nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m  2

 x1  x2  3
(1)

- -Theo VI-ÉT: 

(3
m

1)
x x 
 1 2
3

HOÀNG THÁI VIỆT – TRƯỜNG ĐH BK ĐÀ NẴNG 2015

13


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- T gi thit: 3x1 5x2 6 . Suy ra:
8 x1 5( x1 x2 ) 6
64 x1 x2 5( x1 x2 ) 6.3( x1 x2 ) 6

(2)
8 x2 3( x1 x2 ) 6
64 x1 x2 15( x1 x2 ) 2 12( x1 x2 ) 36

m 0
- Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh: m(45m 96) 0
m 32
15

(tho món )

DNG 6 .
đồ thị y ax b(a 0) & y a ' x 2 (a ' 0)
và t-ơng quan giữa chúng
I/.iểm thuc ng ng i qua im.
im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
Gii:
Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.22
a=1
Vớ d 2: Trong mt phng ta cho A(-2;2) v ng thng (d) cú phng trỡnh:
y = -2(x + 1). ng thng (d) cú i qua A khụng?
Gii:
Ta thy -2.(-2 + 1) = 2 nờn im A thuc v o ng thng (d)
II.Cỏch tỡm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x).
Bc 1: Honh giao im l nghim ca phng trỡnh f(x) = g(x) (*)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = f(x) hoc y = g(x) tỡm
tung giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (*) l s giao iểm ca hai ng trờn.
III.Quan h gia hai ng thng.
Xột hai ng thng :
(d1) : y = a1x + b1.
và
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) ct (d2)
a1 a2 .
b) d1) // (d2)

c) d1)

(d2)

d) (d1)

(d2)

a1 a2 = -1

IV.Tỡm iu kin 3 ng thng ng qui.
Bc 1: Gii h phng trỡnh gm hai ng thng khụng cha tham s tỡm (x;y).
Bc 2: Thay (x;y) va tỡm c vo phng trỡnh cũn li tỡm ra tham s .
V.Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = ax2 (a 0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
ax2 = ax + b (#) ax2- ax b = 0
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax2 tỡm
tung giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (#) l s giao im ca (d) v (P).
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ ph-ơng trình (#) ta có: a ' x 2 ax b 0 (a) 2 4a ' .b
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

14


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

a) (d) v (P) ct nhau

phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit 0
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau
phng trỡnh (#) cú nghim kộp 0
c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (#) vụ nghim 0
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x0;y0)
Chỳ ý : song song a2=a1 v b1 khỏc b2
Vuụng gúc a2 = - 1/a1 (tỡm hiu trong sgk)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x0;y0 vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2).
Do th hm s i qua im A(x1;y1) v B(x2;y2) nờn ta cú h phng trỡnh:
Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x0;y0) v tip xỳc vi (P): y = ax2
+) Do ng thng i qua im A(x0;y0) nờn cú phng trỡnh :
y0 = ax0 + b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = ax2 nờn:
Pt: ax2 = ax + b cú nghim kộp
y 0 ax0 b
0

+) Giải hệ

tỡm a,b.

VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x0;y0) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x0;y0
vo phng trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x0;y0 nghim ỳng
vi mi m.

+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x0;y0.
VIII.Tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ A; B
Gọi x1; x2 lần l-ợt là hoành độ của A và B; y1,y2 lần l-ợt là tung độ của A và B

Khi đó khoảng cách AB đ-ợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:
AB AC 2 BC 2 ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2

IX. Mt s ng dng ca th hm s:
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số.

Bài 1. cho parabol (p): y = 2x2.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

15


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

1. tìm giá trị của a,b sao cho đ-ờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm ph-ơng trình đ-ờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đ-ờng thẳng y = 2m +1.
1
2

Bài 2: Cho (P) y x 2 và đ-ờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 3: Cho (P) y x 2 và đ-ờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 4: Cho hàm số (P): y x 2 và hàm số(d): y = x + m
1. Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Xác định ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
3. Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2

Bài56: Cho điểm A(-2;2) và đ-ờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P): y a.x 2 đi qua A
3. Xác định ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 )
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung .
Tìm toạ độ của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?

DNG 7:
giải ph-ơng trình
bằng ph-ơng pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán1: Giải ph-ơng trình trùng ph-ơng ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 (t0) ta có ph-ơng trình at2 + bt + c = 0
Giải ph-ơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
2

at + bt + c = 0
vô nghiệm
2 nghiệm âm
nghiệm kép âm

1 nghiệm d-ơng
2 nghiệm d-ơng

Bảng tóm tắt
ax4 + bx2 + c = 0
vô nghiệm
vô nghiệm
vô nghiệm
2 nghiệm đối nhau
4 nghiệm
2 cặp nghiệm đối nhau

Bài toán 2: Giải ph-ơng trình A( x 2

1
1
) B( x ) C 0
2
x
x

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

16


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9
1
= t x2 - tx + 1 = 0
x

1
1
1
Suy ra t2 = ( x )2 = x 2 2 2 x 2 2 t 2 2
x
x
x

Đặt x

Thay vào ph-ơng trình ta có:
A(t2 - 2) + Bt + C = 0
At2 + Bt + C - 2A = 0
1
= t giải tìm x.
x
1
1
Bài toán 3: Giải ph-ơng trình A( x 2 2 ) B( x ) C 0
x
x
1
Đặt x = t x2 - tx - 1 = 0
x
1
1
1
Suy ra t2 = ( x )2 = x 2 2 2 x 2 2 t 2 2
x
x

x

Giải ph-ơng trình ẩn t sau đó thế vào x

Thay vào ph-ơng trình ta có:
A(t2 + 2) + Bt + C = 0
At2 + Bt + C + 2A = 0
1
= t giải tìm x.
x

Giải ph-ơng trình ẩn t sau đó thế vào x

Bài toán 4: Giải ph-ơng trình bậc cao
Dùng các phép biến đổi đ-a ph-ơng trình bậc cao về dạng:
+ Ph-ơng trình tích
+ Ph-ơng trình bậc hai.
DNG 8:
giải hệ ph-ơng trình

ax by c
a ' x b ' y c '

Bài toán: Giải hệ ph-ơng trình
Các ph-ơng pháp giải:
+ Ph-ơng pháp đồ thị
+ Ph-ơng pháp cộng
+ Ph-ơng pháp thế
+ Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ

DNG: 9
giải ph-ơng trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải ph-ơng trình dạng
Ta có

g ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x) (1)
(2)
(3)

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

17


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải ph-ơng trình dạng f ( x) h( x) g ( x)
Điều kiện có nghĩa của ph-ơng trình
f ( x) 0

h ( x ) 0
g ( x) 0

Với điều kiện trên thoả mãn ta bình ph-ơng hai vế để giải tìm x.
DNG 10:
giải ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán: Giải ph-ơng trình dạng f ( x) g ( x)
Ph-ơng pháp 1:
Ph-ơng pháp 2:
Ph-ơng pháp 3:

g ( x) 0

f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x)
2

2

Xét f(x) 0 f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)
Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x)

dụ: Giải ph-ơng trình: 3x 2 3x 1 3
Ta có thể giải nh- sau: Lập bảng xét vế trái:
1
2
x
3
3

3x 2
3x 2
3x 2
Mt s dng khỏc . Ví

3x 1
Vế trái cộng
lại

3x 2

3x 1

3x 1

3x 1

6x 3

0x 1

6x 3

1
thì ph-ơng trình (1) 6x 3 3 6x 0 x 0 ( thoả mãn)
3
1
2
+ Với x thì ph-ơng trình (1) 0 x 1 3 ph-ơng trình vô nghiệm.
3

3
2
+ Với x
thì ph-ơngtrình (1) 6 x 3 3 6 x 6 x 1 thoả mãn.
3
Bài tập:
Bài 1: x 2 2 x 1 5

Vậy: + Với x

DNG 11
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Ph-ơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]2n , n Z y M
Do đó ymax = M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

18


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

y = m + [h(x)]2k kZ y m
Do đó ymin = m khi h(x) = 0
Ph-ơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Ph-ơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức.

DNG 12:
các bài toán liên quan đến hàm số
* Điểm thuộc đ-ờng - đ-ờng đi qua một điểm

Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một
điểm A(xA;yA). Hỏi (C) có đi qua A không?
Đồ thị (C) đi qua A(xA;yA) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng
ph-ơng trình của (C)
A(C) yA = f(xA)
Dó đó tính f(xA)
Nếu f(xA) = yA thì (C) đi qua A.
Nếu f(xA) yA thì (C) không đi qua A.
* sự t-ơng giao của hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số
y = f(x) và y = g(x)
Hãy khảo sát sự t-ơng giao của hai đồ thị
Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của ph-ơng trình hoành
độ điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
* lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng

Bài toán 1: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) đi qua điểm
A(xA;yA) và có hệ số góc bằng k.
Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) đi qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có ph-ơng trình của (D)
Bài toán 2: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) đi qua điểm
A(xA;yA); B(xB;yB)
Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = ax + b
y A ax A b
y B ax B b

(D) đi qua A và B nên ta có:

Giải hệ ta tìm đ-ợc a và b suy ra ph-ơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) có hệ số góc k và
tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x)
Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = kx + b
Ph-ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

19


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm
đ-ợc b và suy ra ph-ơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập ph-ơng trình của đ-ờng thẳng (D) đi qua điểm
A(xA;yA) k và tiếp xúc với đ-ờng cong (C): y = f(x)
Ph-ơng trình tổng quát của đ-ờng thẳng (D) là : y = kx + b
Ph-ơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
Từ điều kiện này ta tìm đ-ợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) do đó ta có yA = axA + b (***)
Từ (**) và (***) a và b Ph-ơng trình đ-ờng thẳng (D).

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

20


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Phần II:
hình học

A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức l-ợng trong tam giác vuông.
b2 = ab' c2 = ac'

A

h2 = b'c'

b
c
h

ah = bc
B

a2 = b2 + c2

c'

b'
C

H

1
1
1
2 2
2
h
b
c

a

2. Tỉ số l-ợng giác của góc nhọn.
0 < sin < 1 0 < coss < 1
tg

sin
cos

tg.cotg = 1

cos

sin
1
1 tg 2
cos 2
cot g

sin2 + cos2 = 1
1 cot g 2

3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

1
sin 2

B

b = asinB = acosC
a

b = ctgB = ccotgC

c

c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
A

b

C

4. Đ-ờng tròn.
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đ-ợc một và chỉ
một đ-ờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đ-ờng tròn có một tâm đối xứng; có vô
số trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đ-ờng kính và dây.
Trong một đ-ờng tròn
+ Đ-ờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đ-ờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

21


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đ-ờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đ-ờng tròn hay trong hai đ-ờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

- Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn:
Vị trí t-ơng đối

Số điểm chung

Hệ thức liên hệ
giữa d và R

2

d
1

d=R

0

d>R

- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn cắt nhau

- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn tiếp xúc nhau

- Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn không giao
nhau

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

22

TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn:
Vị trí t-ơng đối

Số điểm
chung

Hệ thức liên hệ giữa d
và R

- Hai đ-ờng tròn cắt nhau
2
- Hai đ-ờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài

R - r < OO' < R + r

OO' = R + r
1

+ Tiếp xúc trong

OO' = R - r

- Hai đ-ờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau

OO' > R + r

+ (O) đựng (O')

0

+ (O) và (O') đồng tâm

OO' < R - r
OO' = 0

5. Tiếp tuyến của đ-ờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đ-ờng thẳng và đ-ờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đ-ờng tròn đến đ-ờng thẳng bằng bán kính
+ Đ-ờng thẳng đi qua một điểm của
A

đ-ờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau

O

M

MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB

B

+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

23


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

- Tiếp tuyến chung của hai đ-ờng tròn: là đ-ờng thẳng tiếp xúc với cả
hai đ-ờng tròn đó:
Tiếp tuyến chung ngoài
Tiếp tuyến chung trong
d

d

d'

O
O'

O
O'

d'

6. Góc với đ-ờng tròn
Loại góc

Hình vẽ

Công thức tính số đo

A
B

1. Góc ở tâm

ãAOB sd ằ
AB

O

A
B

O

2. Góc nội tiếp

ãAMB 1 sd ằ
AB
2
M

x

A

3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

B

ã 1 sd ằ
xBA
AB
2

O

B
A

ãAMB 1 ( sd ằ
ằ )
AB sdCD
2

M

4. Góc có đỉnh ở bên trong
đ-ờng tròn

O
C

D

M

D

C

5. Góc có đỉnh ở bên ngoài
đ-ờng tròn

ãAMB 1 ( sd ằ
ằ )
AB sdCD
2

O
A
B

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

24


TNG HP KIN THC V CC DNG BI TP TON 9

Chú ý: Trong một đ-ờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đ-ờng tròn là góc vuông và ng-ợc lại góc vuông
nội tiếp thì chắn nửa đ-ờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một
cung thì bằng nhau.
7. Độ dài đ-ờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đ-ờng tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R :

l

Rn
180

8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n : S
0

9. Các loại đ-ờng tròn
Đ-ờng tròn ngoại tiếp
tam giác

R2n
360

Đ-ờng tròn nội tiếp

tam giác

A



lR
2

Đ-ờng tròn bàng tiếp
tam giác
A

A

B
C

O

O

F

B

E

J

C

B
C

Tâm đ-ờng tròn là giao
của ba đ-ờng trung trực
của tam giác

Tâm đ-ờng tròn là giao của
ba đ-ờng phân giác trong
của tam giác

10. Các loại hình không gian.
a. Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: Sxq = 2rh
- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h

Tâm của đ-ờng tròn bàng
tiếp trong góc A là giao
điểm của hai đ-ờng phân
giác các góc ngoài tại B
hoặc C hoặc là giao điểm
của đ-ờng phân giác góc
A và đ-ờng phân giác
ngoài tại B (hoặc C)

r: bán kính
Trong đó

h: chiều cao

HONG THI VIT TRNG H BK NNG 2015

25