TÍCH PHÂN PERRON

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Dương Thị Mộng Thường

TÍCH PHÂN PERRON
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin trân trọng gởi đến TS. Lê Thị Thiên Hương tấm lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc nhất. Cô đã động viên, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình trong quá trình hướng dẫn để
tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Quý thầy - cô trong khoa Toán của trường Đại
học sư phạm TP. HCM đã tận tình giảng dạy để tôi có những kiến thức quý báu làm hành trang
cho quá trình học tập và nghiên cứu sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Quản lý khoa học sau đại học, trường
Đại học sư phạm TP. HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập
tại trường.
Cuối cùng tôi cũng xin gởi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi và lời tri ân đến tất cả bạn bè
tôi - những người đã luôn ở bên tôi, động viên và giúp tôi vượt qua mọi khó khăn trong quá
trình thực hiện luận văn.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................................................... 2
0T

T
0

MỤC LỤC ......................................................................................................................................................... 3
0T

T
0

MỞ ĐẦU........................................................................................................................................................... 4
0T

T
0

CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................................................... 6
0T

T
0

1.1. Khái niệm “hầu khắp nơi” .................................................................................................................. 6
T
0

0T

1. 2. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu .................................................................................................... 6
T
0

0T

1.3. Đạo hàm của tích phân bất định ......................................................................................................... 7
T
0

0T

1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm ................................................................................................................ 7
T
0

0T

1.5. Các tính chất của tích phân ................................................................................................................ 7
T
0

0T

1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó ............................................................................... 9
T
0

T
0

1.7. Tập phạm trù thứ nhất ...................................................................................................................... 16
T
0

0T

CHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN PERRON ........................................ 18
0T

T
0

2.1. Định nghĩa tích phân Perron............................................................................................................. 18
T
0

0T

2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron ....................................................................................... 20
T
0

T
0

CHƯƠNG 3. XÂY DỰNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PERRON ..................................................................... 26
0T

T
0

3.1. Tích phân bất định Perron ................................................................................................................ 26
T
0

0T

3.2. Tích phân hẹp Danjua ...................................................................................................................... 29
T
0

0T

3.3. Định lý G. HACE ............................................................................................................................ 32
T
0

0T

3.4. Định lý P. X. ALECXANDROV – G . LOMAN .............................................................................. 41
T
0

T
0

CHƯƠNG 4. SO SÁNH TÍCH PHÂN PERRON VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE ............................................ 48

0T

T
0

KẾT LUẬN ..................................................................................................................................................... 53
0T

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................................................ 53
0T

0T

PHỤ LỤC ........................................................................................................................................................ 55
0T

T
0


MỞ ĐẦU
Vào cuối thế kỷ XIX, người ta đưa ra ví dụ hàm số

π

2
=

f ( x ) x=
cos 2 , f ( 0 )
x

0

'
có đạo hàm hữu hạn f '( x ) khắp nơi trên đoạn [ 0;1] nhưng hàm số f ( x ) lại không khả tích

theo nghĩa Lebesgue.
Như vậy phép tính tích phân theo định nghĩa của Lebesgue không giải quyết được trọn vẹn
bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số theo đạo hàm của nó.
Vào năm 1912, nhà toán học Pháp A. Danjua đã đưa ra quá trình tích phân hóa tổng quát
hơn Lebesgue và chứng tỏ rằng quá trình này giải quyết được trọn vẹn bài toán nêu trên.
Mặt khác, năm 1914 nhà toán học Đức O. Perron cũng đưa ra một định nghĩa tích phân
khác, dựa trên nguyên tắc khác với định nghĩa của Danjua và cũng giải quyết trọn vẹn bài toán
tìm nguyên hàm của một hàm số từ đạo hàm hữu hạn của nó.
Các công trình tiếp theo của G. Hace (1921), P.S.Alecxandrov (1924) và G. Loman (1925)
đã chứng minh sự đồng nhất của tích phân Danjua và Perron. Như vậy Perron đã đưa ra dạng
mới của định nghĩa tích phân Danjua, do đó ngày nay tích phân này được gọi là tích phân
Danjua - Perron.
Vào năm 1916, A.Danjua và nhà toán học Nga A.I.Khintrin đã đưa ra định nghĩa tích phân
tổng quát hơn, hoàn toàn độc lập với nhau. Định nghĩa này cho phép tìm nguyên hàm không chỉ
từ đạo hàm thông thường mà còn từ đạo hàm xấp xỉ (hay đạo hàm tiệm cận).
Số A được gọi là đạo hàm xấp xỉ của hàm số f ( x ) tại điểm x0 nếu tồn tại tập hợp E nhận
x0 làm điểm trù mật sao cho với

x∈ E và x → x0 ta có
lim

x→ x0

f ( x ) − f ( x0 )
=A
x − x0

Tích phân tổng quát này thường được gọi là tích phân Danjua - Khintrin, hay tích phân
Danjua “ rộng”, để phân biệt tích phân Danjua - Perron được gọi là tích phân Danjua “hẹp”.


Chúng ta sẽ nghiên cứu lý thuyết tích phân Danjua – Perron. Còn tích phân Danjua –
Khintrin ta chỉ đưa ra định nghĩa. Bạn đọc quan tâm có thể xem tài liệu “Lý thuyết tích phân”
của S.Sacs, 1949.
Luận văn được chia thành 4 chương và phụ lục. Nội dung chủ yếu của luận văn tìm hiểu
định nghĩa và các tính chất của tích phân Perron, xây dựng tích phân bất định Perron thông qua
lý thuyết tích phân Danjua, định lý G.Hace, định lý P. X. Alecxandrov- G. Loman và so sánh
tích phân Perron với tích phân Lebesgue.
Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị gồm các khái niệm và các định lý sẽ được sử dụng
ở các chương sau.
Chương 2 nêu định nghĩa và chứng minh các tính chất của tích phân Perron. Đây là một
trong các kết quả quan trọng của luận văn.
Chương 3 xây dựng khái niệm tích phân bất định Perron và chứng minh các tính chất của
nó.
Chương 4 dành cho việc so sánh tích phân Perron với tích phân Lebesgue.
Trong luận văn còn có phần phụ lục trình bày khái niệm tích phân Danjua “rộng”, nhằm
phân biệt với tích phân Danjua “hẹp”.


CHNG 1. CC KIN THC CHUN B
1.1. Khỏi nim hu khp ni

Cho khụng gian o ( X , M , à ) .

a/ Gi s E l tp hp thuc M v P l mt tớnh cht m mi x E hoc tha món hoc
khụng tha món. Ta núi P xy ra hu khp ni trờn E nu tp hp

{x E , x

khoõng thoỷa maừn P} c cha trong tp thuc M, cú o khụng.

( )

( )

b/ Ta núi hai hm s f , g : X R l tng ng (kớ hiu f : g ) nu f x = g x

{

}

hu khp ni, ngha l tp hp x X : f ( x ) g ( x ) cha trong tp cú o khụng.

1. 2. o hm ca mt hm s n iu

(

)

B 1.1. Cho A l mt tp bt k nm trong khong a , b , J l mt lp khong sao cho

=

mi im x A u l mỳt trỏi ca ớt nht mt khong

( x, x + h ) J .
x

Khi y tn ti mt s hu hn khong ri nhau 1 , 2 , ...., s J ph lờn mt tp con A
ca A, vi o ngoi à * ( A ' ) > à * ( A ) , v



l mt s dng tựy ý cho trc.

B 1.2. Gi thit thờm rng vi mi s > 0 nh tựy ý, ti mi im x A u cú ớt
nht mt khong ( x , x + hx ) J vi hx < . Khi y, cho trc mt tp m bt k G A , ta
cú th chn nhng khong 1 , 2 ,...., s trong b 1.1 sao cho chỳng u nm trn trong tp
G.

( )

nh lý 1.3. Mt hm s F x n iu trờn mt on a, b thỡ cú o hm hu khp
ni trờn on y.
nh lý 1.4. Nu f ( x ) l hm tng xỏc nh trờn a, b thỡ o hm f ' ( x ) ca nú l hm
b

o c v

f ' ( x ) dx f ( b ) f ( a ) nờn
a

f ' ( x ) kh tớch.


1.3. Đạo hàm của tích phân bất định

( )

Bổ đề 1.5. Nếu F x không giảm (trên  a, b  ) thì F ' ( x ) khả tích và
b

∫ F ' ( x ) dx ≤ F ( b ) − F ( a ) .
a

( )

Bổ đề 1.6. Nếu g x khả tích và với mọi x trong đoạn  a, b  ta đều có

x

∫ g ( t ) dt =

0 thì

a

g ( x ) = 0 hầu khắp nơi.
x

Định lý 1.7. Đạo hàm F ' ( x ) của tích phân bất định F ( x ) = ∫ f ( t ) dt , của một hàm số khả
a

( )

( )

tích f x , bằng f x hầu khắp nơi.

1.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm

Bổ đề 1.8. Nếu một hàm số F ( x ) liên tục tuyệt đối có đạo hàm F ' ( x ) = 0 hầu khắp nơi thì
F ( x ) phải là một hằng số.

Định lý 1.9. Nếu F ( x ) là một hàm số liên tục tuyệt đối thì đạo hàm F ' ( x ) của nó khả tích
x

và ta có F=
( x ) F ( a ) + ∫ F ' ( t ) dt .
a

1.5. Các tính chất của tích phân

1.5.1. Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt đối của tích phân
Định lý 1.10. Nếu {gn } là một dãy hàm số đo được không âm trên một tập hợp A thì

∫

∞

∞

∑ gn d µ = ∑ ∫ gn d µ .

=
n 1 A
A n 1=

∞

Định lý 1.11. Giả sử A = U An , trong đó các An là những tập hợp đo được đôi một rời
n =1

nhau.
a/ Nếu tồn tại

∫
A

f d µ thì

∞

∫ f dµ = ∑ ∫ f dµ
A

n =1 A
n

(1.1)

b/ Nếu f khả tích trên A thì

∞

∑∫

f dµ < ∞

(1.2)

n =1 A
n

Do đó chuỗi ở vế phải của (1.1) hội tụ tuyệt đối.
Đảo lại nếu có (1.2) thì f khả tích trên A và có (1.1).
Định nghĩa 1.12. Giả sử ( X , M , µ ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm số

σ - cộng tính. Ta nói hàm λ là liên tục tuyệt đối với độ đo µ nếu λ ( A ) = 0 với mỗi tập hợp A
có độ đo µ ( A ) = 0 .
Giả sử f là một hàm số khả tích trên không gian X. Từ định lý 1.8 suy ra rằng hàm
λ : M → R , xác định bởi:

λ ( A) = ∫ f dµ

(1.3)

A

là một hàm σ - cộng tính. Nếu µ ( A ) = 0 thì λ ( A ) = 0 .
Vậy λ là liên tục tuyệt đối đối với độ đo µ .

Dễ dàng chứng minh được rằng tập hợp X0 =
{x ∈ X : f ( x ) ≠ 0} có độ đo σ - hữu hạn, tức là
X0

∞

X n ) < ∞ , n 1, 2,...
U Xn , µ ( =

n =1

Hiển nhiên nếu A∈ M và A ∩ X0 =
∅ thì λ ( A ) = 0 .
Định lý 1.13. (Radon – Nikodym)
Giả sử ( X , M , µ ) là một không gian độ đo và λ : M → R là một hàm σ - cộng tính , liên tục
tuyệt đối đối với độ đo µ và λ ( A ) = 0 với mọi tập hợp A thuộc M nằm ngoài một tập hợp X0
nào đó thuộc M, có độ đo σ - hữu hạn. Khi đó tồn tại một hàm số f đo được trên X sao cho
λ ( A ) = ∫ f d µ , với mỗi A∈ M .
A

Nếu λ ≥ 0 thì f ≥ 0 .
Định lý 1.14. Giả sử f là một hàm số khả tích trên một tập hợp A .Khi đó với mỗi số dương
ε , tồn tại một số dương δ sao cho với mọi tập hợp đo được E ⊂ A nếu µ ( E ) < δ thì

∫ f dµ < ε .
E

1.5.2. Tính bảo toàn thứ tự

Định lý 1.15. Nếu f ≤ g trên A và các tích phân

∫ f dµ , ∫ g dµ
A

tồn tại thì

∫ f dµ ≤ ∫ g dµ .

A

A

A

1.5.3. Tính tuyến tính
Định lý 1.16. Các đẳng thức sau là đúng nếu các vế phải có nghĩa.
i) ∫ c f dµ
(=

c

A

∫ f dµ (c ∈ R)
A

( ii ) ∫ ( f + g ) d µ = ∫ f d µ
A

+

A

∫ g dµ
A

1.5.4. Tính khả tích
Định lý 1.17. Các khẳng định sau là đúng
(i) Nếu

∫ f dµ

có nghĩa thì

A

∫ f dµ
A

≤

∫f

dµ ,

A

(ii) f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A,
(iii) Nếu f ≤ g h.k.n trên A và g khả tích trên A thì f cũng khả tích trên A,

(iv) Nếu f, g khả tích trên A thì f ± g cũng khả tích trên A. Hơn nữa nếu f khả tích còn g
bị chặn trên A thì f . g khả tích trên A

1.6. Tích phân trừu tượng và sự tổng quát hóa của nó
Trong mục này ta xét một số khái niệm chung sẽ được sử dụng ở các mục sau khi trình bày
lý thuyết tích phân Danjua.
Ta đã biết một loạt tích phân: R (Riemann), L (Lebesgue), P (Perron). Các tích phân này có
một số tính chất chung, ta sẽ đưa những tính chất đó vào một sơ đồ chung.
Giả sử mỗi đoạn thẳng  a, b  , trong đó a ≤ b , sẽ tương ứng với một lớp T ([ a , b ]) không rỗng
gồm các hàm số nào đó xác định trên đoạn  a, b  .
Họ các lớp như vậy được gọi là họ đúng nếu với mỗi

c ∈ [ a, b ]

đều có

T=
([ a, b]) T ([ a, c]) ∩ T ([c, b]) . (Điều kiện này được hiểu như sau:

Hàm số f ( x ) xác định trên [ a, b ] sẽ chứa trong lớp T ([ a, b ]) khi và chỉ khi cả hai hàm số
thu được từ f ( x ) khi xét trên từng đoạn [ a, c ] , [c, b ] , đều chứa trong các lớp T ([ a, c ]) , T ([ c, b ])
tương ứng ).


Giả sử M = {T ( [ a, b ])} là một họ đúng các lớp và trên mỗi lớp T ([ a, b ]) có một phiếm hàm
T ( f ) cho tương ứng mỗi hàm số f ∈ T ([ a, b ]) với một số xác định. Phiếm hàm này sẽ được gọi
b

a

là tích phân nếu với mọi

f ∈ T ([ a, b ]) và mọi

c∈ [ a, b ] đều có

b

c

b

a

a

c

T=
( f ) T ( f )+ T ( f )

(1.4)
Và (với x∈ [ a, b ] )
x

c

x →c a

a

lim T ( f ) = T ( f )

(1.5)

Nói một cách khác, tích phân là một hàm đoạn thẳng cộng tính và liên tục.
Đặc biệt, nếu f ∈ T ([ a, a ]) thì T=
( f ) T ( f ) + T ( f ) nghĩa là T ( f ) = 0 .
a

a

a

a

a

a

a

a

Tất cả các hàm số chứa trong lớp T ([ a, b ]) đều được gọi là hàm T – khả tích trên [ a, b ] . Từ
điều kiện của họ đúng các lớp T ([ a, b ]) suy ra rằng mọi hàm số T – khả tích trên [ a, b ] đều T –
khả tích trên mỗi đoạn [ p, q ] chứa trong  a, b  và đặc biệt, đều T-khả tích tại mỗi điểm c∈ [ a, b ] .
Bây giờ ta xét một số tính chất của tích phân vừa được định nghĩa.
Giả sử hàm số f ( x ) xác định trên  a, b  và c∈ [ a, b ] . Nếu với mọi δ > 0 hàm số f ( x )
không T – khả tích trên đoạn [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ] thì điểm c được gọi là điểm T – bất thường đối

với hàm số f ( x ) . Tập hợp tất cả các điểm T – bất thường của f ( x ) được kí hiệu là ST ( f ; [ a, b ]) ,
hoặc ST ([ a, b ]) , hoặc ST ( f ) , hoặc chỉ đơn giản là ST .
Hiển nhiên là nếu f là T – khả tích trên  a, b  thì ST ([ a, b ]) = 0 .
Bổ đề sau đây chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng.
Bổ đề 1.18. Nếu f ( x ) xác định trên  a, b  và không thuộc T ([ a, b ]) thì
ST ( f ; [ a, b ]) ≠ 0 .

Chứng minh
Đặt d =

a+b
. Khi đó f(x) không T – khả tích trên ít nhất một trong hai đoạn [ a, d ] , [ d , b ]
2

mà ta kí hiệu lại là [ a1 , b1 ] .


Đặt d1 =

a1 + b1
và gọi [ a2 , d 2 ] là một trong hai đoạn [ a1 , d1 ] , [ d1 , b ] sao cho f ( x ) không T –
2

khả tích trên [ a1 , d1 ] . Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy các đoạn thẳng lồng vào nhau:

[ a, b ]

⊃ [ a1 , b1 ] ⊃ [ a2 , b2 ] ⊃ ... sao cho f ( x ) không T – khả tích trên từng đoạn.

Giả sử c là điểm chung của tất cả các đoạn [ an , bn ] . Nếu δ > 0 thì với n đủ lớn ta sẽ có

[ an , bn ] ⊂ [c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b] .
Từ đó suy ra f ∉ T ([ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ]) và điểm c là điểm T – bất thường.
Bổ đề 1.19. Tập hợp ST = ST ( f ; [ a, b ]) là tập đóng.
Chứng minh
Giả sử cn ∈ ST và cn → c .
Lấy δ > 0 . Nếu n đủ lớn thì cn − c <

δ
2

nên

δ
δ

cn − 2 , cn + 2  ∩ [ a , b ] ⊂ [ c − δ , c + δ ] ∩ [ a, b ]

Vì f ( x ) không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế trái của bao hàm trên nên f ( x ) cũng
không T – khả tích trên đoạn thẳng là vế phải.
Do δ tùy ý nên c∈ ST , đây là điều phải chứng minh.
Dưới đây ta xét trường hợp ST không lấp đầy đoạn [ a, b ] . Khi đó phần bù [ a, b ] \ ST sẽ gồm
hữu hạn hoặc đếm được các khoảng không giao nhau đôi một.
Thật vậy, nếu ST = ∅ thì [ a, b ] \ ST = [ a, b ]
Nếu ST ≠ ∅ và [ p, q ] là đoạn nhỏ nhất chứa ST thì

[ a, b] \ ST =∪
[ a, p ] {[ p, q ] \ ST } ∪ [ q, b]
Để ý rằng [ p, q ] \ ST hoặc là tập rỗng, hoặc là hợp của các khoảng không giao nhau đôi một
(khi p = a thì [ a, p ) = ∅ ).

Trong phần bù của ST có thể có những khoảng không phải là khoảng mở, nếu xét một cách
chặt chẽ thì khá phức tạp nên dưới đây ta vẫn kí hiệu các khoảng này là ( an , bn ) , mặc dù trên
thực tế chúng có thể là ( an , bn ] hoặc [ an , bn ) hoặc thậm chí là [ an , bn ] (nếu ST = ∅ ).


Giả sử ta có hai tích phân T1 và T2 . Nếu mọi hàm số T1 - khả tích đều là hàm T2 - khả tích
và giá trị của hai tích phân đó bằng nhau thì ta nói tích phân T2 tổng quát hơn T1 .
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng: Từ một tích phân T nào đó (mà khi định nghĩa nó ta đã đưa
ra họ đúng M gồm các lớp hàm T – khả tích T ([ a, b ]) ) đều có thể xây dựng được một tích phân
T* khác tổng quát hơn.

Muốn vậy trước hết ta xây dựng họ đúng gồm các lớp hàm khả tích ứng với tích phân mới .
Ta quy ước đưa hàm số f(x) xác định trên [ a, b ] vào lớp T* [ a, b ] khi và chỉ khi ba điều kiện sau
đây được thỏa mãn:
1) Tập hợp ST = ST ( f ;[ a, b ]) không trù mật khắp nơi trên [ a, b ] và hàm số f ( x ) khả tích
theo nghĩa Lebesgue trên tập hợp này.
(Điều kiện này luôn thỏa mãn khi m ST = 0 và càng thỏa mãn khi ST = ∅ ).
2) Nếu {[ an , bn ]} là dãy các khoảng là phần bù của ST thì với mỗi n đều tồn tại giới hạn hữu
β

hạn I n lim T ( f )
=
α

( an < α < β < bn , α → an , β → bn ) .
β

3)
Nếu Wn sup T ( f ) ( an < α < β < bn ) thì
=

α

∑W

n

< +∞

n

(Điều kiện này đảm bảo các số Wn đều hữu hạn).
Ta đi chứng minh họ T* [ a, b ] là họ đúng.
Giả sử f ( x ) ∈ T [ a, b ] . Khi đó ST ( f ; [ a, b ]) = ∅ và mọi hợp ∪ [ an , bn ] đều được đưa về một số
hạng là [ a, b ] . Do đó điều kiện 1) được thỏa mãn.
β

b

α

a

Điều kiện 2) cũng thỏa mãn vì theo(2) ta có lim T ( f ) = T ( f )
nếu a < α < β < b, α → a , β → b .
Cuối cùng điều kiện 3) cũng thỏa mãn đối với f ( x ) vì chỉ có một số hữu hạn W .
Vậy T ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, b ]) và tất cả các lớp T* ([ a, b ]) đều khác rỗng.
Tiếp theo ta giả sử f ( x ) ∈ T* ([ a, b ]) và a < c < b . (Trường hợp c = a và c = b là hiển nhiên vì
nếu f ( x ) xác định tại x0 thì f ( x ) sẽ chứa trong lớp T* ([ x0 , x0 ]) cho dù f ( x ) có T- khả tích tại x0
hay không).

Xét tập hợp ST ( f ; [ a, c ]) . Dễ thấy rằng tập hợp này là tập con của ST ( f ; [ a, b ]) , do đó nó
cũng không trù mật khắp nơi trên [ a, c ] và hàm số f ( x ) khả tích theo nghĩa Lebesgue trên [ a, c ] .
Do đó trên [ a, c ] hàm số f ( x ) thỏa mãn điều kiện 1). Giả sử [ a, c ] \ ST ( f , [ a, c ]) = ∪ ( an , bn ) .
n
Nếu c∈ ST ( f ; [ a, c ]) thì mỗi khoảng ( an , bn ) trên đây sẽ là phần bù của toàn bộ tập hợp
ST ( f ; [ a, b ]) đến [ a, b ] .

Nếu c∉ ST ( f ; [ a, c ]) thì c cũng không thuộc mọi khoảng ( an , bn ) có thể trừ ra một khoảng
có dạng ( an , c  . (Nếu ST ( f ; [ a, c ]) = ∅ thì khoảng ( an , c  chính là [ a, c ] .
0

0

Từ đó suy ra f ( x ) thỏa mãn điều kiện 2), điều kiện 3) trên [ a, c ] .
Vậy f ( x ) ∈ T* ([ a, c ]) .
Chứng minh tương tự ta có f ∈ T* ([ c, b ]) .
Vậy T* ([ a, b ]) ⊂ T* ([ a, c ]) ∩ T* ([ c, b ]) .
Bao hàm ngược lại được chứng minh bằng cách lập luận tương tự.
Vậy họ các lớp T* ([ a, b ]) là đúng.
Bây giờ với mỗi hàm số f ∈ T* ([ a, b ]) ta định nghĩa giá trị của phiếm hàm T * ( f ) bởi công
b

a

b

thức T * =
(f)
a

∑ I + ( L ) ∫ f ( x ) dx
n

n

(1.6)

ST ( f )

Định nghĩa này hoàn toàn xác định vì I n ≤ Wn nên chuỗi

∑I

n

hội tụ tuyệt đối.

n

Để ý rằng với mọi hàm số T – khả tích f ( x ) (trên đây ta đã chỉ ra rằng f ∈ T* ([ a, b ]) ) ta có
b

b

a

a

T * ( f ) = T ( f ) vì trong vế phải của (1.6) thì tích phân Lebesgue bằng 0, còn chuỗi

∑I
n

b

một số hạng T ( f ) .
a
Một trường hợp đơn giản khác là khi chỉ có a và b là điểm T – kì dị trên [ a, b ] thì
b

β

a

α

=
T * ( f ) lim T ( f ) ( a < α < β < b , α → a , β → b ) .
b

Khi đó từ (1.6) suy ra=
T *( f )
a

bn

∑ T ( f ) + ( L ) ∫ f ( x ) dx .
n

an

*

ST ( f )

n

chỉ có


b

Ta chứng minh phiếm hàm T * ( f ) mà ta vừa định nghĩa là tích phân theo định nghĩa được
a

đưa ra ở đầu mục này, nghĩa là nó là cộng tính và liên tục như hàm của đoạn thẳng [ a, b ] .
Giả sử f ∈ T* ([ a, b ]) và a < c < b . Rõ ràng ta có
S=
ST ( f ; [ a, c ]) + ST ( f ; [ c, b ]) ,
T ( f ; [ a, b ])

trong đó các tập hợp ở vế phải hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một điểm chung. Từ đó suy ra

( L=
) ∫ f ( x ) dx ( L ) ∫
ST ([ a , b ] )

ST ([ a , c ] )

f ( x ) dx + ( L )

∫

ST ([ c , b ] )

f ( x ) dx

(1.7)

trong đó cả hai tích phân ở vế phải đều tồn tại và hữu hạn.
Tiếp theo ta giả sử

[ a, b] \ ST ( f , [ a, b]) = ∑ ( an , bn )
n

Đối với điểm c có ba khả năng có thể xảy ra:
• c thuộc cả hai tập hợp ST ([ a, c ]) , ST ([ c, b ])
• c không thuộc cả hai tập hợp đó
• c thuộc một trong hai tập hợp và không thuộc tập còn lại.
Trong cả ba trường hợp cách lập luận đều tương tự, do đó ta chỉ xét trường hợp đầu tiên.
Trong trường hợp đó tập hợp các khoảng ( an , bn ) được chia thành hai tập con rời nhau, mỗi tập
gồm các khoảng nằm bên trái và bên phải điểm c. Khi đó ta có ∑
=
In
[ a , b]

b

c

b

a

a

c

Từ đó kết hợp với (1.7) suy ra T=
T *( f ) + T * ( f )
*( f )

∑I

[a , c]

n

+

∑I

[c , b]

n

(1.8)

(Ở đây ta giả sử a < c < b , còn đối với trường hợp a = c và c = b thì (1.8) là hiển nhiên vì

a

theo cách định nghĩa T *( f ) thì T * ( f ) = 0 ).
c
Vậy phiếm hàm T* là hàm cộng tính của đoạn thẳng.
Bây giờ ta chứng minh rằng với f ∈ T *([ a, b ]) , x∈ [ a, b ] , c ∈ [ a, b ] và x → c thì
x

c

a

a

lim T * ( f ) = T * ( f )

Để xác định ta giả sử x < c . Khi đó ta có thể xem c = b .
Đối với điểm b ta có ba khả năng có thể xảy ra:

(1.9)


• b không thuộc tập hợp ST ( f ; [ a, b ])
• b là điểm cô lập của tập hợp này
• b là điểm giới hạn của tập hợp đó.
Trong hai trường hợp đầu lập luận hầu như hiển nhiên. Thật vậy, nếu b ∉ ST ( f ; [ a, b ]) thì
hàm số f ( x )
b

b

p

p

là T – khả tích trên đoạn thẳng [ p, b ] với p đủ gần b. Đối với p đó ta có

T *( f ) = T ( f )
b

x

p

p

Khi đó T * ( f ) = lim T ( f )

(1.10)

trong đó f < x < b , x → b .
x

x

b

x

p

p

p

p

Vì T ( f ) = T * ( f ) nên thay cho (1.10) ta có thể viết T * ( f ) = lim T * ( f )
b

x

b

x

và để ý rằng T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) = T * ( f ) .
a
a
p
p
Nếu b là điểm cô lập của tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) thì với p đủ gần b, ta có b là điểm T – kì dị
duy nhất của đoạn [ p, b ] . Theo định nghĩa T* ( f ) ta lại có (1.10) và việc chứng minh được tiếp
tục như trường hợp trên.
Cuối cùng ta xét trường hợp b là điểm giới hạn của tập hợp ST ( f ; [ a, b ]) . Trong trường hợp
này b không thể là đầu mút phải của mọi khoảng ( an , bn ) là phần bù của ST ( f ; [ a, b ]) , mà số
lượng các khoảng này là vô hạn. Do đó với ε > 0 ta chọn N sao cho

∑W

n> N

(1.11)
Sự tồn tại N như vậy được suy ra từ điều kiện 3) mà hàm số f ( x ) thỏa mãn.
Ta lại chọn δ > 0 sao cho từ bất đẳng thức b − δ < x < b ta có

( L)

∫

ST ([ x , b ] )

f ( t ) dt < ε

(1.12)

Gọi β là điểm bên phải trong số các điểm b − δ , b1 , b2 , ... , bN và giả sử x > β .
Nếu x ∈ ST ( [ x, b ]) thì theo định nghĩa T* ( f ) ta có

n

<ε


b

∑I

T=
*( f )

x

n∈M

n

+ ( L)

f ( t ) dt

∫

ST ([ x

, b

(1.13)

])

trong đó M là tập hợp các số n sao cho ( an , bn ) ⊂ [ x , b ] . Rõ ràng là với mọi n như vậy sẽ có
n > N nên

∑

n∈M

In ≤

∑W

n∈M

n

< ε

(1.14)

Nếu x ∉ ST ( [ x, b ]) thì tồn tại m sao cho am ≤ x < bm . Rõ ràng khi đó ta có m > N . Do đó thay
cho (10) ta có
b

bm

x

x

T *( f ) = T *( f ) +
bm

∑ I + ( L) ∫

n∈M

n

f ( t ) dt

(1.15)

ST ([ x , b ] )
bm

y

Mà
=
T * ( f ) lim T ( f ) ( x < y < bm , y → bm ) nên T * ( f ) ≤ Wm < ε .
x
x
x
b

x

b

Từ đó và (1.12), (1.14), với x > β , ta có T * ( f ) − T * ( f ) = T * ( f ) < 3ε .
a
a
x
Như vậy trong trường hợp này ta có (1.9), suy ra T* ( f ) là tích phân và là tích phân tổng
quát hơn T ( f ) .

1.7. Tập phạm trù thứ nhất
Định nghĩa 1.20. Giả sử A và B là hai tập hợp điểm trong đó A ⊂ B .
1/ Nếu mọi khoảng chứa ít nhất một điểm của B đều chứa các điểm thuộc B nhưng không
nằm trong bao đóng A của A thì ta nói A không đâu trù mật trong tập hợp B.

2/ Nếu A biểu diễn được thành hợp đếm được của các tập hợp không đâu trù mật trong B
thì ta nói A là tập phạm trù thứ nhất trên tập B.
Định lý 1.21. Mọi tập đóng khác rỗng F không phải là tập phạm trù thứ nhất trên chính nó.
Chứng minh
Giả sử ngược lại, F có thể biểu diễn được ở dạng F = A1 + A2 + A3 + ... , trong đó mỗi tập Ak
không đâu trù mật trên tập F. Khi đó tồn tại điểm x1 ∈ F không là điểm thuộc bao đóng A1 của
A1 . Do đó tồn tại đoạn [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] không chứa bất kỳ điểm nào của A1 , ta có thể coi δ1 < 1 .


Trong khoảng ( x1 − δ1 , x1 + δ1 ) tồn tại điểm x2 ∈ F không chứa trong A2 , tức là lại tồn tại
đoạn

[ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] không chứa bất kỳ điểm nào của

A2 .

Ta coi

δ2 <

1
2

và

[ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] ⊂ [ x1 − δ1, x1 + δ1 ] .
Tiếp tục quá trình này ta xây dựng được dãy điểm x1 , x2 , ..., xn ,... chứa trong F và dãy các
đoạn thắt dần [ x1 − δ1 , x1 + δ1 ] ⊃ [ x2 − δ 2 , x2 + δ 2 ] ⊃ ... ⊃ [ xn − δ n , xn + δ n ] ⊃ ... sao cho đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ]
1
n

không chứa bất kỳ điểm nào của An và δ n < .
Giả sử x0 là điểm chung của tất cả các đoạn [ xn − δ n , xn + δ n ] .
Rõ ràng x0 = lim xn nên x0 ∈ F , mà x0 lại không thuộc bất kỳ tập An nào, vô lý, định lý được
chứng minh.
Hệ quả. Nếu tập đóng khác rỗng F là hợp đếm được của các tập đóng F = F1 + F2 + ... thì tồn
tại khoảng ( λ , µ ) chứa các điểm của F và n sao cho ( λ , µ ) ∩ F ⊂ Fn .
Thật vậy, giả sử một trong các tập đó, chẳng hạn Fn , là tập không đâu trù mật trên tập F.
Thế thì trong số các khoảng chứa các điểm của F sẽ tồn tại khoảng ( λ , µ ) sao cho tất cả các
điểm của F chứa trong nó đều thuộc Fn vì Fn là tập đóng nên trùng với bao đóng của nó.


CHƯƠNG 2. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH
PHÂN PERRON
2.1. Định nghĩa tích phân Perron
Định nghĩa 2.1. Giả sử F ( x ) là hàm số hữu hạn xác định trên [ a, b ] và x0 ∈ [ a, b ] . Các số
F ( x ) − F ( x0 )
F ( x ) − F ( x0 )
được gọi lần lượt là đạo hàm dưới và đạo
, D F ( x0 ) lim
=
D F ( x0 ) lim
x→ x0
x→ x0
x − x0
x − x0

hàm trên của hàm số F ( x ) tại x0 .
Dễ thấy các số này (chúng có thể bằng nhau hoặc bằng + ∞ , − ∞ ) là số nhỏ nhất, số lớn
nhất trong số các đạo hàm của F ( x ) tại x0 .

Bổ đề 2.2. Cho hai hàm số hữu hạn u(x) và v(x) cùng xác định trên đoạn [ a, b ] . Nếu với
x0 ∈ [ a, b ] ta có D u ( x0 ) > − ∞ , D v ( x0 ) < + ∞ và R=
( x ) u ( x ) − v ( x ) thì
D R ( x0 ) ≥ D u ( x0 ) − D v ( x0 ) .

(2.1)
Chứng minh

Xét dãy {hk } sao cho hk ≠ 0, hk → 0 và lim

R ( x0 + hk ) − R ( x0 )
=
D R ( x0 )
hk

Nếu cần thì chuyển từ dãy {hk } sang dãy con của nó, ta luôn đạt được các giới hạn xác định
u(x +h )− u(x
hk

)

0
k
0
sau đây λ lim
, µ lim
=

v ( x0 + hk ) − v ( x0 )
hk

Theo (1) ta có λ > − ∞ , µ < + ∞ , do đó hiệu λ − µ có nghĩa. Khi đó D R ( x0 =
) λ − µ . Ta nhận
thấy λ ≥ D u ( x0 ) , µ ≤ D v ( x0 ) .
Hệ quả 2.3. Nếu u1 ( x ) và u2 ( x ) là các hàm hữu hạn và D u1 ( x ) > − ∞, D u2 ( x ) > − ∞ thì
D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x )

Chứng minh
Thật vậy, đặt u2 ( x ) = − v ( x ) và để ý rằng D u2 ( x ) = − D v ( x ) thì theo bổ đề 1, với
D u1 ( x ) > − ∞ , D v ( x ) < + ∞ và R=
( x ) u1 ( x ) − v ( x ) ta có

D R ( x ) ≥ D u1 ( x ) − D v ( x )


Suy ra D u1 ( x ) + u2 ( x )  ≥ D u1 ( x ) + D u2 ( x ) điều phải chứng minh.
Định nghĩa 2.4. Giả sử f ( x ) là hàm số (không bắt buộc phải hữu hạn) xác định trên [ a, b ] .
Hàm số F ( x ) liên tục trên [ a, b ] được gọi là hàm mẹ đối với f ( x ) nếu:
1/ F ( a ) = 0
2/ D F ( x ) > − ∞ với mọi x∈ [ a, b ]
3/ D F ( x ) ≥ f ( x ) với mọi x∈ [ a, b ]
Hàm số F ( x ) liên tục trên [ a, b ] được gọi là hàm con đối với f ( x ) nếu:
1/ F ( a ) = 0
2/ D F ( x ) < + ∞ với mọi x∈ [ a, b ]
3/ D F ( x ) ≤ f ( x ) với mọi x∈ [ a, b ]
Khái niệm hàm mẹ, hàm con là sự tổng quát hóa của khái niệm nguyên hàm. Ta có bổ đề
hiển nhiên sau đây.
Bổ đề 2.5. Nếu hàm hữu hạn f ( x ) là đạo hàm của F ( x ) (trong đó F ( a ) = 0 ) thì F ( x ) vừa
là hàm mẹ, vừa là hàm con đối với f ( x ) .
Bổ đề 2.6. Nếu u(x) là hàm mẹ, v(x) là hàm con đối với cùng một hàm số f ( x ) thì hiệu

R=
( x ) u ( x ) − v ( x ) không giảm.

Chứng minh
Với mọi x∈ [ a, b ] , ta có D R ( x ) ≥ D u ( x ) − D v ( x ) ≥ 0
Áp dụng bổ đề 2.2 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.7. Với các điều kiện của bổ đề 2.6 ta có u ( b ) ≥ v ( b )
Hệ quả 2.8. Với điều kiện của bổ đề 2 số F ( b ) là số nhỏ nhất trong các số u(b), đồng thời
là số lớn nhất trong các số v(b), trong đó u(x) và v(x) là các hàm mẹ và các hàm con bất kì đối
với f(x):
=
F ( b ) min
=
{u ( b )} max {v ( b )}

Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa sau.


Định nghĩa 2.9. Hàm số f ( x ) xác định trên [ a, b ] được gọi là khả tích theo nghĩa Perron
(hay khả tích (P)) trên [ a, b ] nếu
1/ f(x) có ít nhất một hàm mẹ u(x) và có ít nhất một hàm con v(x)
2/ infimum của tập hợp {u ( b )} các giá trị tại x = b của tất cả các hàm mẹ trùng với
supremum của tập hợp {v ( b )} các giá trị cũng tại điểm đó của tất cả các hàm con:
inf {u ( b )} = sup {v ( b )}

(2.2)

Nếu f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] thì giá trị chung của đẳng thức (2.2) được gọi là tích phân
Perron của hàm số f ( x ) trên [ a, b ] và được kí hiệu là
b

( P ) ∫ f ( x ) dx
a

Hệ quả 2.8 có thể phát biểu lại thành định lý như sau
Định lý 2.10. Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm hữu hạn f(x) khắp nơi trên [ a, b ] thì f ( x ) khả
b

tích (P) và F ( b ) − F ( a ) =
( P ) ∫ f ( x ) dx
a

(Điều kiện hữu hạn của f ( x ) không thể bỏ qua)
Từ định lý này suy ra sự tồn tại của các hàm số khả tích (P) nhưng không khả tích (L).
Chẳng hạn, hàm số
=
f ( x ) x 2 cos

π
x2

, 0 < x ≤=
1, f ( 0 ) 0 .

Như vậy tích phân Perron đã giải quyết xong bài toán tìm nguyên hàm khi biết đạo hàm
hữu hạn của nó. Tuy nhiên không thể không thấy rằng định nghĩa tích phân của Perron không
đưa ra được quá trình xây dựng tích phân đó như thế nào. Quá trình này được nêu ra trong lý
thuyết tích phân Danjua sẽ được nêu ở mục sau.

2. 2. Các tính chất cơ bản của tích phân Perron

Định lý 2.11. Nếu một hàm số là khả tích (P) thì nó hữu hạn hầu khắp nơi.
Chứng minh


Giả sử u(x), v(x) lần lượt là các hàm mẹ, hàm con của hàm số f ( x ) và f ( x ) là hàm khả
tích (P) trên [ a, b ] . Đặt R=
( x ) u ( x ) − v ( x ) theo bổ đề 1 của §1 khắp nơi trên [ a, b] sẽ có
D R ( x)≥ D u ( x) − D v ( x)

Nếu tại điểm x0 nào đó mà

f ( x0 ) = + ∞ thì

( )

D u x0 = + ∞ , vì

( )

D v x0 < + ∞

nên

( )

D R x0 = + ∞

Nếu tại điểm x0 mà f ( x0 ) = − ∞ thì ta cũng có D R ( x0 ) = + ∞
Do đó tập hợp các điểm mà tại đó f ( x ) bằng ∞ là tập con của tập hợp các điểm mà tại đó

R ' ( x ) = + ∞ . Khi đó định lý được suy ra từ lập luận: đạo hàm của hàm số tăng, liên tục R ( x ) có

thể bằng + ∞ chỉ trên tập hợp có độ đo 0.
Định lý 2.12. Nếu f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] và a < c < b thì f ( x ) khả tích (P) trên mỗi
đoạn [ a, c ] , [ c, b ] và
b

c

b

a

a

c

P ) ∫ f ( x ) dx ( P ) ∫ f ( x ) dx + ( P ) ∫ f ( x ) dx
(=

(2.3)

Chứng minh
Giả sử ε > 0 và u(x), v(x) lần lượt là hàm mẹ, hàm con của f ( x ) sao cho
u (b ) − v (b) < ε .

Hiển nhiên u(x), v(x) cũng là hàm mẹ, hàm con của f ( x ) trên [ a, c ] . Mặt khác ta có hiệu
u ( x ) − v ( x ) tăng trên u ( c ) − v ( c ) < ε .

Vì ε tùy ý nên suy ra tính khả tích (P) của f ( x ) trên [ a, c ]

Ta nhận thấy
c

v ( c ) ≤ ( P ) ∫ f ( x ) dx ≤ u ( c )

(2.4)

a

Trên [ c, b ] các hàm sau đây sẽ lần lượt là hàm mẹ và hàm con của f ( x ) :
u *( x) =
u ( x) − u (c); v *( x) =
v ( x) − v (c)

Vì u * ( b ) − v * ( b ) ≤ u ( b ) − v ( b ) < ε nên hàm số f(x) khả tích (P) trên [ c, b ] và ta có


b

v ( b ) − v ( c ) ≤ ( P ) ∫ f ( x ) dx ≤ u ( b ) − u ( c )

(2.5)

c

Cộng (2.4) và (2.5) theo từng vế, ta được
c

b

a

c

v ( b ) ≤ ( P ) ∫ f ( x ) dx + ( P ) ∫ f ( x ) dx ≤ u ( b )

Từ đó suy ra (2.3).
Đẳng thức (2.3) có nghĩa là tích phân Perron có tính chất cộng tính trên đoạn lấy tích phân.
Định lý 2.13. Nếu a < c < b và f ( x ) khả tích (P) trên mỗi đoạn [ a, c ] , [ c, b ] thì nó khả tích
(P) trên đoạn [ a, b ] .
Chứng minh
Giả sử ε > 0 và u1 ( x ) , v1 ( x ) lần lượt là hàm mẹ, hàm con của f ( x ) trên đoạn [ a, c ] ;
u2 ( x ) , v2 ( x ) lần lượt là hàm mẹ, hàm con của f ( x ) trên đoạn [ c, b ] sao cho
u1 ( c ) − v1 ( c ) < ε , u2 ( b ) − v2 ( b ) < ε .

Xét các hàm số sau đây
u1 ( x ) ,
(a ≤ x ≤ c)
u ( x) = 
u1 ( c ) + u2 ( x ) , ( c ≤ x ≤ b )
v1 ( x ) ,
v ( x) = 
v1 ( c ) + v2 ( x ) ,

(a ≤ x ≤ c)
(c ≤ x ≤ b)

Khi đó ta có D u ( c ) = min {D u1 ( c ) , D u2 ( c )}
Suy ra D u ( c ) > − ∞ và D u ( c ) ≥ f ( c )
Do đó u(x), v(x) lần lượt là hàm mẹ, hàm con cùa f ( x ) trên [ a, b ] . Mặt khác vì

u ( b ) − v ( b ) < 2 ε và ε tùy ý nên định lý được chứng minh.

Định lý 2.14. Nếu f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] và k là hằng số hữu hạn thì hàm số kf ( x )
cũng khả tích (P) trên [ a, b ] và


b

( P ) ∫ k f ( x ) dx
c

b

= k ( P ) ∫ f ( x ) dx

(2.6)

c

Chứng minh
Với k = 0 định lý là hiển nhiên vì hàm số ϕ ( x ) ≡ 0 là đạo hàm hữu hạn của hàm số F ( x ) = c .
b

Theo định lý ở trên suy ra ϕ ( x ) khả tích (P) và ( P ) ∫ 0 dx = 0
c

Giả sử k > 0. Nếu u(x), v(x) lần lượt là hàm mẹ, hàm con cùa f ( x ) thì ku(x), kv(x) sẽ
tương ứng là hàm mẹ, hàm con cùa hàm số k f ( x ) , vì với k > 0 ta có
D  k F ( x )  = k D F ( x ) và D  k F ( x )  = k D F ( x )

Mặt khác, do k u ( b ) − k v ( b ) và u ( b ) − v ( b ) có thể bé tùy ý nên hàm số kf ( x ) sẽ khả tích (P) .
Đẳng thức (2.6) được suy ra từ bất đẳng thức
b

k v ( b ) ≤ ( P ) ∫ k f ( x ) dx ≤ k u ( b ) .
a

Giả sử k < 0. Khi đó các hàm số kv(x), ku(x) sẽ lần lượt là hàm mẹ, hàm con của k f ( x ) .
Việc chứng minh tiếp theo được tiến hành tương tự trường hợp trên.
Định lý 2.15. Giả sử các hàm số f1 ( x ) , f 2 ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] và hàm tổng của chúng
xác

định

trên [ a, b ] .

b

dx
( P ) ∫  f1 ( x ) + f 2 ( x ) =
a

Khi

f1 ( x ) + f 2 ( x )

đó

b

b

a

a

khả

tích

(P)

trên

[ a, b ]

và

( P ) ∫ f1 ( x ) dx + ( P ) ∫ f 2 ( x ) dx
Chứng minh

Giả sử u1 ( x ) , u2 ( x ) lần lượt là hàm mẹ của f1 ( x ) , f 2 ( x ) . Đặt u=
( x ) u1 ( x ) + u2 ( x ) thì u(x) là
hàm mẹ của hàm tổng

f1 ( x ) + f 2 ( x )

(theo hệ quả 2.3 của bổ đề 2.2). Tương tự tổng các hàm con

của f1 ( x ) , f 2 ( x ) sẽ là hàm con của f1 ( x ) + f 2 ( x ) . Phần chứng minh tiếp theo là hiển nhiên.

Định lý 2.16. Nếu hàm số f ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] ; còn g ( x ) là hàm số xác định [ a, b ]
và tương đương với f ( x ) trên [ a, b ] thì g ( x ) cũng khả tích (P) trên [ a, b ] và
b

b

a

a

( P ) ∫ g ( x ) dx = ( P ) ∫ f ( x ) dx

(2.7)


Chứng minh
Gọi E là tập hợp các điểm mà tại đó f ( x ) ≠ g ( x ) .
Ta xét định lý sau: Nếu E là tập bất kỳ có độ đo 0 trên [ a, b ] thì tồn tại hàm số σ ( x ) liên
tục, tăng sao cho tại mọi x∈ E ta có σ ' ( x ) = + ∞ .
Thật vậy, với mỗi số tự nhiên n xét tập hợp Gn mở, bị chặn sao cho
Gn ⊃ E , mGn <

1
2n

Đặt ψ n ( x ) = m {Gn [ a, x ]} . Hàm số ψ n ( x ) tăng, không âm, liên tục và thỏa mãn bất đẳng thức
ψ n ( x)<

+∞
1

.
Do
đó
hàm
số
x
=
σ
ψ n ( x ) cũng không âm, tăng và liên tục.
(
)
∑
2n
n =1

Nếu x0 ∈ E thì với mọi h đủ nhỏ toàn bộ đoạn [ x0 ; x0 + h ] sẽ chứa hoàn toàn trong tập Gn
(với n cố định). Với h như vậy (để đơn giản ta sẽ coi h > 0) ta có
h ) m {Gn [ a , x0 ] + Gn ( x0 , x0 +=
h ]} ψ n ( x0 ) + h ,
ψ n ( x0 +=

Từ đó suy ra
ψ n ( x0 + h ) − ψ n ( x0 )
h

=1

Khi đó với mọi số tự nhiên N và với h đủ nhỏ ta có
σ ( x0 + h ) − σ ( x0 )
h

N

ψ n ( x0 + h ) − ψ n ( x0 )

n =1

h

≥∑

N
=

Do đó σ ' ( x0 ) = + ∞ . Định lý được chứng minh.
Vì độ đo mE = 0 nên theo định lý vừa nêu trên, tồn tại hàm số σ ( x ) tăng, liên tục sao cho
σ ' ( x ) = + ∞ tại mọi x ∈ E .

Ta có thể coi =
σ ( a ) 0,
=
σ ( b ) 1 (vì nếu trái lại thì thay cho σ ( x ) ta sẽ xét hàm số
σ1 ( x ) =

σ ( x) − σ (a)
σ (b ) − σ ( a )

Lấy ε > 0 , xét các hàm mẹ u(x), hàm con v(x) của f ( x ) sao cho
u (b ) − v (b) < ε

Giả sử


u *=
( x ) u ( x ) + ε σ ( x ) , v *=
( x) v ( x) − ε σ ( x) .

Dễ thấy đây là các hàm mẹ, hàm con tương ứng đối với g(x).
Thật vậy, vì σ ( x ) tăng nên D u * ( x ) ≥ D u ( x ) . Do đó D u * ( x ) > − ∞ khắp nơi trên [ a, b ] . Suy
ra với x∉ E thì D u * ( x ) ≥ g ( x )
Mặt khác, với x∈ E thì bất đẳng thức này là hiển nhiên vì với x∈ E thì
D u * ( x ) ≥ D u ( x ) + D σ ( x ) =+ ∞

Vậy u*(x) là hàm mẹ đối với g ( x ) .
Lập luận tương tự ta có v*(x) là hàm con của g ( x ) .
Ta có u * ( b ) − v * ( b ) < 3ε nên g ( x ) khả tích (P).
b

Cuối cùng, từ bất đẳng thức v ( b ) − ε ≤ ( P ) ∫ g ( x ) dx ≤ u ( b ) + ε
a

Suy ra (2.7).
Nhận xét
U

Định lý 2.16 cho phép bỏ điều kiện hàm tổng f1 ( x ) + f 2 ( x ) xác định khắp nơi trên [ a, b ]
trong phát biểu của định lý 2.15.
Thật vậy, vì f1 ( x ) , f 2 ( x ) khả tích (P) trên [ a, b ] nên theo định lý 1 chúng hữu hạn hầu khắp
nơi trên [ a, b ] . Khi đó hàm tổng f1 ( x ) + f 2 ( x ) xác định hầu khắp nơi trên [ a, b ] . Trên tập có độ đo 0
còn lại ta có thể xác định hàm tổng một cách tùy ý.