VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Dương Nhật Huy

VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG
PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG
TỬ PHI ĐIỀU HÒA

Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011


MỤC LỤC

MỤC LỤC............................................................................................................................. 2
T
2

2T

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... 3
T
2

2T

LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4
T
2

2T

Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG .................................................................. 7
T
2

T
2

1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng: ................................... 7
T
2

T
2

1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: ............................................................................... 9
T
2

T
2

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN

DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU
HÒA BẬC BỐN ............................................................................................................................ 13
T
2

T
2

2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: .......................... 13
T
2

T
2

2.2 Kết quả: ..................................................................................................................... 16
T
2

2T

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA
VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN ................................................ 19
T
2

T
2

3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng: .................................................... 19

T
2

T
2

Vnn2
3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số 2 : ......................................... 22
H nn
T
2

T
2

T
2

T
2

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI .............................................................. 31
T
2

T
2

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 32
T

2

2T

PHỤ LỤC ............................................................................................................................ 33
T
2

T
2


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, tôi đã nhận được sự quan tâm hỗ trợ rất
lớn từ phía các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh.
Xin được được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc
Trầm, người đã không chỉ hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này mà còn truyền đạt cho
tôi nhiều bài học quý báu. Ngoài ra cũng xin được gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hoàng
nói riêng cũng như các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết nói chung đã đóng góp cho tôi
nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình đã luôn ở bên cạnh và động viên tôi trong suốt
những năm học đại học cũng như trong trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn.

Dương Nhật Huy


LỜI MỞ ĐẦU

Nhân loại bước vào thế kỷ XXI với những thành tựu vĩ đại của khoa học công nghệ, trong đó
phải kể đến những bước tiến lớn trong lĩnh vực tiến công vào thế giới vi mô. Trong thời gian gần
đây, hoạt động nghiên cứu và ứng dụng các công nghệ ở cấp độ nguyên tử và hạ nguyên tử ngày
một phát triển mạnh, điều này đòi hỏi phải có một công cụ đủ mạnh để giải quyết các bài toán về
những hệ lượng tử với độ chính xác ngày càng cao. Như chúng ta đã biết, việc giải phương trình
Schrödinger là nhiệm vụ quan trọng của các bài toán về hệ lượng tử. Tuy nhiên trong đa số các
trường hợp, việc tìm nghiệm chính xác là không thể và ta phải tìm nghiệm của phương trình
Schrödinger bằng các phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp gần đúng mạnh và được
biết đến nhiều nhất là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của phương pháp này là
tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần: một thành phần có thể tìm nghiệm chính
xác, thành phần còn lại được gọi là nhiễu loạn. Điều kiện để áp dụng phương pháp này là thành
phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần có thể tìm nghiệm chính xác. Đây cũng chính là một
trong những hạn chế lớn của phương pháp này, vì trong thực tế có nhiều bài toán thành phần được
tách ra lại không đủ “nhỏ” để được xem như là thành phần nhiễu loạn. Do đó, phương pháp này chỉ
áp dụng được cho một số ít các bài toán. Vì vậy, việc tìm ra một phương pháp để giải quyết các bài
toán phi nhiễu loạn là hết sức cần thiết.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method) là một trong
các phương pháp mạnh để giải các bài toán phi nhiễu loạn được nêu ở trên [6],[8]. Phương pháp
toán tử được nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào
những năm 80 [6] và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2]. Qua các bài toán đã được giải
quyết, phương pháp toán tử đã cho thấy những điểm ưu việt và hiệu quả của nó so với phương pháp
nhiễu loạn cũng như các phương pháp tính gần đúng đã biết khác như:
-

Đơn giản hóa việc tính toán do trong suốt quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép tính
thuần đại số. Vì vậy, ta có thể sử dụng các chương trình lập trình tính toán như Matlab,
Mathematica, Fortran,… để tự động hóa quá trình tính toán.

-

Cho phép tính toán trên các cơ hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ.

-

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi
tham số trường ngoài.

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử nằm trong bốn bước sau:


-

Biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử sinh hủy của Dirac H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ;

-

Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa H 0 (aˆ + aˆ , ω ) và không trung hòa
V (aˆ + , aˆ , ω ) ;

-

Chọn tham số ω sao cho thành phần trung hòa là thành phần chính của toán tử Hamilton
và nghiệm riêng của H 0 (aˆ + aˆ , ω ) chính là năng lượng gần đúng bậc không của bài toán;

-

Xem thành phần không trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần “nhiễu loạn” và tính các bổ
chính bậc cao của bài toán bằng các sơ đồ thích hợp.

Một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể chọn tham số ω để điều chỉnh
tốc độ hội tụ của bài toán. Trong các công trình trước [6], [8], [9], chúng tôi đã sử dụng điều kiện
()
cực tiểu hóa năng lượng, tức xác định ω thông qua điều kiện ∂En = 0 . Cách chọn này đã cho thấy
∂ω
0

sự hiệu quả trong một số bài toán [6], tuy nhiên vẫn cho thấy sự hạn chế trong một số trường hợp
phức tạp hơn [8]. Do đó, trong luận văn này chúng tôi tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm
được cách chọn ω tốt nhất nhằm tối ưu hóa tốc độ tính toán.
Mục tiêu của luận văn này là:
-

Tìm hiểu về phương pháp nhiễu loạn và phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp
trên thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều hòa;

-

Khảo sát sự hội tụ của bài toán dao động tử phi điều hòa theo tham số ω, từ đó kiểm tra
một phương pháp mới để chọn tham số tự do ω là dựa vào sự thay đổi của biểu thức

Vnn2
H nn2

, tức là dựa vào mối quan hệ giữa V nn và H nn .
R

R

R

R

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng
Giới thiệu các ý tưởng của phương pháp nhiễu loạn dừng thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger. Áp dụng sơ đồ trên để giải bài toán dao động tử phi điều hòa, từ các kết quả thu được
tác giả sẽ phân tích các điểm còn hạn chế của phương pháp trên. Mặc dù còn nhiều hạn chế nhưng
các ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là nền tảng quan trọng để xây dựng nên phương
pháp toán tử được sử dụng trong luận văn này.
Chương 2: Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn.


Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quát về phương pháp toán tử: sự hình thành, các ý
tưởng chính, ưu điểm và nhược điểm. Ngoài ra, tác giả cũng sẽ áp dụng phương pháp toán tử cho
một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn để thấy được những ưu điểm của
phương pháp này so với phương pháp nhiễu loạn đã được nêu ở trên.
Chương 3: Vai trò của tham số ω trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao
động tử phi điều hòa bậc bốn.
Chương này sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình
tính toán dựa trên kết quả một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Ngoài
ra, tác giả cũng sẽ đề xuất và kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số ω là phương pháp dựa
vào tỉ số

Vnn2
. Với các kết quả so sánh, tác giả sẽ phân tích các trường hợp đáp ứng tốt cũng như
H nn2

chưa tốt của phương pháp trên để từ đó đưa ra các kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp sao cho
hiệu quả hơn.
Phần kết luận và hướng phát triển đề tài:

Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số

Vnn2
áp dụng tốt cho các trường hợp ở trạng thái kích
H nn2

thích. Riêng với trạng thái cơ bản, phương pháp trên chỉ đáp ứng tốt khi hệ số phi điều hòa bé. Do
đó, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ hơn trường hợp cơ bản với các hàm sóng bậc cao hơn. Ngoài ra,
để không mất tính tổng quát, cần áp dụng các kết quả có được trong luận văn này để khảo sát các
bài toán khác phức tạp hơn như bài toán exciton, bài toán nguyên tử Hidro.


Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG

Trong chương này, tác giả sẽ giới thiệu về lý thuyết nhiễu loạn thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger, sơ đồ thông dụng nhất được trình bày trong phần lớn các sách giáo khoa về Cơ học
lượng tử. Ngoài ra, tác giả cũng sẽ giới thiệu và phân tích các kết quả cụ thể của phương pháp nhiễu
loạn trên bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 để cho thấy những điểm còn hạn chế của phương
pháp trên.
1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng:
Như chúng ta đã biết, phương trình Schrödinger là phương trình động học của Cơ học lượng
tử và việc giải quyết các bài toán trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình trên. Tuy
nhiên, phương trình Schrödinger lại là một phương trình phức tạp mà ta chỉ có thể tìm được nghiệm
chính xác của nó trong một số ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử Hidro, bài toán dao
động tử điều hòa, chuyển động của hạt vi mô trong hố thế vuông góc,…Do đó, khi xét đến các hệ
lượng tử thực với độ phức tạp cao hơn thì việc tìm nghiệm chính xác là điều không thể và ta phải
dùng đến các phương pháp gần đúng để tìm hàm riêng và trị riêng của nó. Mặc dù vẫn còn nhiều
hạn chế nhưng phương pháp nhiễu loạn là một trong những phương pháp tính gần đúng quan trọng
hiện nay của Cơ học lượng tử. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp nhiễu loạn
dừng dựa trên một trong những sơ đồ được sử dụng thông dụng nhất của phương pháp này là sơ đồ
Rayleigh-Schrödinger.

Xét phương trình Schrödinger:

Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x) .

(1.1)

Ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai
thành phần:

ˆ Hˆ + βVˆ ;
H
=
0

(1.2)

trong đó thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác:

Hˆ 0ψ n = ε nψ n ,

(1.3)

trong khi thành phần Vˆ còn lại được gọi là thành phần nhiễu loạn, điều kiện để được xem là nhiễu
loạn ta sẽ xét trong trường hợp cụ thể sau. Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu


loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 , Vˆ = Hˆ 0 . Khi đó, nghiệm của phương
trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem ε n và ψ n là nghiệm
gần đúng bậc zero của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh
hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn

β để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ
tính toán qua số mũ của β .
Giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng ψ n
của Hˆ 0 là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng ε n , với n = 0,1, 2,... . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm
+∞

của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của Hˆ 0 như sau: Ψ ( x) =
∑ Ck ψ k ( x) . Không mất
k =0

tính tổng quát ta có thể giả thuyết hàm sóng cho trạng thái n như sau:
Ψ n ( x )= ψ n ( x ) +

+∞

∑C

k =0
(k ≠n)

k

ψ k ( x) .

(1.4)

Thế vào phương trình (1.1) ta có:
+∞
+∞





( Hˆ 0 + β Vˆ ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  =
En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  . (1.5)
k=
0, k ≠ n
k=
0, k ≠ n





Nhân hai vế của (1.5) với ψ n* ( x) rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta được:
H nn + β Vnn + β

+∞

∑

=
k 0 (k ≠n)

Ck Vnk =
En .

(1.6)

Bây giờ làm tương tự như trên cho ψ j * ( x), j ≠ n ta có:
C j H jj + β V jn + β

+∞

∑

=
k 0 (k ≠n)

Ck V jk =
En C j .

(1.7)

Ta viết (1.6) và (1.7) lại như sau:
En =H nn + β Vnn + β

+∞

∑

=
k 0, k ≠ n

CkVnk ,

(1.8)

+∞

( En − H jj )C j =β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n )

(1.9)

k =0
k ≠n

với ký hiệu các yếu tố ma trận:
+∞
H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ 0 ψ k ( x)dx ,

+∞
V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx .

−∞

−∞

(1.10)

Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) có thể xem tương đương với phương trình Schrödinger
(1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng En và các hệ số C j , nghĩa là tìm được hàm
sóng Ψ n ( x) qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này
bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

En = En

C j =C j

+∞

(0)

+ ∑ β s ∆E ( s ) ,

(1.11)

s =1

+∞

(0)

+ ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n

(1.12)

s =1

Ở đây ta ký hiệu En (0) , C j (0) là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn ∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ 1 là
các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.11) và (1.12) thế vào (1.9), (1.10) sau đó
đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:
(0)
=
En (0) H=
0,
nn , C j

V jn

∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) =

s ≥ 2:

∆En ( s ) =

En (0) − H jj

+∞

∑V
k =0
k ≠n

nk

( j ≠ n) ;

∆Ck ( s −1) ,

 +∞

s −1
1
( s −1)
( s −t )
(t ) 


=
∆C j
∑V jk ∆Ck −∑ ∆En ∆C j  ( j ≠ n) .
En (0) − H jj  k 0=t 1
=

 k ≠n

(s)

Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau.
1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa:

(1.13)


Ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều với toán tử Hamilton có dạng sau:

1 d2 1 2
ˆ
H=
−
+ x + λ x4
2
2 dx
2

(1.14)

với hệ số phi điều hòa λ > 0 . Bài toán này có dạng chuyển động trong hố thế và có các mức năng

lượng gián đoạn.
Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài toán này trong hầu hết các sách giáo khoa về
cơ học lượng tử [1],[5]. Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau:

1 d2 1 2
Hˆ 0 =
−
+ x ,
2 dx 2 2
Vˆ = λ x 4 .

(1.15)

Cách chia này phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn là toán tử Hamilton gần đúng Hˆ 0 có nghiệm
riêng chính xác là các hàm sóng của dao động tử điều hòa:

 x2
ψ n An exp  −
=
 2


 Hn ( x) ,


(1.16)

với H n ( x ) là đa thức Hermit được định nghĩa như sau:

d n − x2

H n ( x ) = (−1) e
e ;
dx n
n

x2

hàm sóng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc zero ε n= n + 1/ 2 .
Các yếu tố ma trận của các toán tử Hˆ 0 và Vˆ ứng với các hàm số (1.16) có thể tính được như
sau:

1
H nn= n + ,
2
Vn ,n+4 =

λ
4

Vn ,n+2 =

(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1) ,

λ
(2n + 3) (n + 2)(n + 1) ,
2


λ
(6n 2 + 6n + 3) .

4

V=
nn

(1.17)

Các yếu tố ma trận khác không khác thu được từ tính đối xứng: Vkm = Vmk .
Kết quả: Trong các bảng sau tác giả sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường hợp trạng thái
cơ bản n = 0 và một trạng thái kích thích n = 4 . Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

µ0 ψ lúc này trở thành:
ψ n Vµ ψ n = ψ n H
n

λ=

2 ( 2n + 1)
6n 2 + 6n + 3

.

(1.18)

- Ứng với trạng thái cơ bản là: λ = 0.67 , ta sẽ xét bốn trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.05 ,

λ = 0.1 và λ = 0.3 .
- Tương tự cho trạng thái kích thích n = 4 điều kiện (1.18) trở thành λ = 0.146 ta sẽ xét bốn
trường hợp λ = 0.01 , λ = 0.03 , λ = 0.06 và λ = 0.1 .

Bảng.1.1: Trạng thái cơ bản n = 0
λ = 0.01

λ = 0.05

λ = 0.1

E0(0)

0.5000000000

0.5000000000

0.5000000000

0.5000000000

E0(1)

0.5075000000

0.5375000000

0.5750000000

0.7250000000

E0(2)

0.5072375000

0.5309375002

0.5487500013

4.8875000929

E0(3)

0.5072583125

0.5335390626

0.5695624993

1.0506874797

E0( 4)

0.5072558996

0.5320310060

0.5454335949

-0.9037538228

E0(5)

0.5072562577

0.5331500624

0.5812433983

7.7980283886

E0( 6)

0.5072561937

0.5321503309

0.5172605857

-38.8454419856

E0(

0.5072562070

0.5331891854

0.6502339597

251.9673269259

E0(8)

0.5072562038

0.5319607395

0.3357518043

-1811.3500941848

E0(9)

0.5072562047

0.5335887505

1.1692934364

14595.2498498883

E0(

0.5072562044

0.5311982288

-1.2786007173

-129950.4520395805

7)

10 )

λ = 0.3


Bảng.1.2: Trạng thái kích thích n = 4 :
λ = 0.01

λ = 0.03

4.5000000000

4.5000000000

4.5000000000

4.5000000000

E4( )

4.8075000000

5.4225000000

6.3450000000

7.5750000000

E4(2)

4.7668874959

5.0569874638

4.8829498552

3.5137495980

E4(3)

4.7775845596

5.3458081837

7.1935156144

14.2108132978

E4( 4)

4.7738544635

5.0436703988

2.3593110572

-23.0901477918

E4(5)

4.7753851516

5.4156275988

14.2619414562

129.9786587800

E4( 6)

4.7746833968

4.9040483689

-18.4791292566

-571.7761147298

E4(

4.7750329077

5.6684285196

79.3615300321

2923.3320274444

E4(8)

4.7748469756

4.4448528730

-232.9328160495

-15669.8670185477

E4(9)

4.7749514618

6.5051300165

820.0470425212

888816.3030916408

E4(

4.7748899061

2.8703274765

E4(

0)

1

7)

10 )

λ = 0.06

λ = 0.1

-2901.9907584706 -526740.6987256789

Với các kết quả thu được, ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, phương pháp nhiễu loạn chỉ cho
kết quả tốt trong trường hợp hệ số phi điều hòa rất bé so với giá trị giới hạn (0.01). Tuy nhiên, với
giá trị vẫn còn khá nhỏ của λ, độ chính xác đã giảm xuống đáng kể (chỉ chính xác đến hàng phần
trăm) và xuất hiện dấu hiệu của sự phân kỳ. Với giá trị λ=0.1, mặc dù vẫn còn nhỏ hơn giá trị giới
hạn, nhưng sự phân kỳ đã xuất hiện rất rõ và chúng ta chỉ có thể sử dụng đến bổ chính bậc 5, các bổ
chính lớn hơn không còn mang ý nghĩa vật lý. Với λ ≥ 0.3 trở đi, phương pháp nhiễu loạn không
còn áp dụng được nữa.
Tương tự với các trạng thái kích thích, phương pháp nhiễu loạn cũng chỉ áp dụng được trong

µ0 ψ
các trường hợp giá trị λ thỏa mãn điều kiện ψ n Vµ ψ n = ψ n H
n

và hầu như chỉ sử dụng

được các bổ chính bậc thấp, các bổ chính bậc cao hầu như không có ý nghĩa.
Từ các kết quả trên, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp nhiễu loạn có độ hội tụ không cao,
chỉ áp dụng được trong những trường hợp λ bé và khi trạng thái kích thích càng cao thì miền áp
dụng lại càng bị thu hẹp lại.

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN
ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

DAO ĐỘNG TỬ PHI

Chương này sẽ trình bày về các ý tưởng chính của phương pháp toán tử, đồng thời áp dụng
nó để giải lại bài toán dao động tử phi điều hòa đã được nhắc tới ở chương trước. Từ các kết quả thu
được, tác giả sẽ phân tích những ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn.
Mặc dù còn nhiều hạn chế, nhưng chúng ta cũng có thể thấy được rằng phương pháp nhiễu loạn đã
góp phần đưa ra những ý tưởng cơ bản cho phương pháp toán tử.
2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn:

Những ý tưởng về phương pháp toán tử đã xuất hiện vào những năm 1979 [9]. Tuy nhiên,
phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo
sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành công trong một nhóm rộng rãi các bài toán về
vật lý chất rắn, bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường, bài toán nguyên tử, phân tử
trong trường điện từ [3],[4],[7].
Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp toán tử trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử
phi điều hòa một chiều. Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở phần 1.2. Xét
phương trình Schrödinger (1.1) cho dao động tử phi điều hòa với toán tử Hamilton không thứ
nguyên (1.14). Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau:
Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số
động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

aˆ =
aˆ + =

ω

i 

xˆ + pˆ  =

2
ω 

ω


xˆ − pˆ  =

2
ω 

i

ω

1 d 
x+
;

2
ω dx 

ω

1 d 
x−
.


2
ω dx 

(2.1)

Ở đây toán tử aˆ được gọi là “toán tử hủy” và aˆ + được gọi là “toán tử sinh” (xem [1],[5]); ω
là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ nói rõ hơn về tham số
này trong bước ba và phần sau của luận văn.
Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:
 aˆ , aˆ +  = 1 .



(2.2)


Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm
ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này.
Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử.
Thế (2.1) vào (1.14) và sử dụng (2.2), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton
như sau:
1+ ω2
1− ω2
+
ˆ
ˆ
ˆ
H
=
( 2a a + 1) + 4ω

4ω
+

λ
4ω 2

( )

 aˆ 4 + aˆ


+ 4

+ 4 ( aˆ

)

( )

 aˆ 2 + aˆ +


+ 3

2

 + 3λ
 4ω 4

aˆ + 4aˆ + aˆ 3 + 6 ( aˆ

)

(

 2 aˆ + aˆ


+ 2

)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1

+ 6aˆ 2  .




(2.3)

Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (2.3) thành hai thành phần như sau:
- Phần thứ nhất là Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) chỉ chứa các thành phần nˆ = aˆ + aˆ , các thành phần này
được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy
bằng nhau:
2
1+ ω2
3λ

Hˆ 0OM
=
2aˆ + aˆ + 1) + 2  2 ( aˆ + aˆ ) + 2aˆ + aˆ + 1 .
(

4ω
4ω 

(2.4)

- Phần còn lại ta kí hiệu là Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) .
Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử Hamilton thành hai
thành phần: thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng
dưới đây; riêng thành phần Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều
chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω .
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:
0
0
0
Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) .

(2.5)

Ta thấy Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) giao hoán với toán tử nˆ = aˆ + aˆ và nghiệm của nó dễ dàng xây dựng
như sau:

n(ω ) =

( aˆ )
n!

1

+ n

0 ,

(2.6)


Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.24) ta gọi là
vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 được xác định bằng
phương trình:
aˆ(ω ) 0 0;=
0 0 1.
=

(2.7)

Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sóng
biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.20), ta dễ dàng kiểm chứng:

aˆ + aˆ n = n n ;

(2.8)

điều này có nghĩa là trạng thái (2.7) là nghiệm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ , từ đó có thể thấy rằng nó
cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ 0 ( aˆ + aˆ, λ , ω ) . Ta có:
=

En( )
0

1+ ω2
3λ
( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1)
4ω
4ω

(2.9)

là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nói, đây là tham số
được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định ω từ điều kiện:
∂En( )
= 0.
∂ω
0

(2.10)

Tiêu chí để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thảo luận trong một số công
trình (xem [6],[9]) và đã chỉ ra rằng phương trình (2.10) cho ta kết quả tương đối chính xác ở gần
đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau. Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện
Hˆ 0 >> Vˆ . Với bài toán chúng ta đang xét, điều kiện (2.10) dẫn tới phương trình để xác định ω như

sau:
0.
( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) =

(2.11)

Bước bốn: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số:
Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.11)-(1.13) để tính các bổ
chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao và chúng ta có tham số tự do

ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải trực tiếp hệ phương
trình (1.8)-(1.9). Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:


(s)
n

E

(E

(s)
n

n+ s

Ck( s )Vnk ,
∑
k 0, k ≠ n
=

= H nn + Vnn +

− H jj )C

C (j ) 0,
với điều kiện ban đầu là =
0

( s +1)
j

n+s

=
V jn + ∑ Ck( s )V jk ,

( j ≠ n) .

(2.12)

k =0
k ≠n

Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử dụng tham số

nhiễu loạn cho nên đã cho β = 1 . Ngoài ra các giá trị En( s ) , C (js ) tương ứng với các bước lặp khác
nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn được định
nghĩa như (1.10), viết lại như sau:
H kk = k Hˆ 0OM k ,

V jk = j Vˆ k ;

các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số nhờ các hệ thức

(2.2), (2.7). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:

aˆ + n = n + 1 n + 1 ;

aˆ n = n n − 1 .

(2.13)

Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm
của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.10) và tính các
tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số
nhờ các hệ thức (2.2) và (2.7) và cụ thể là sử dụng (2.8) và (2.13).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau (xem phụ lục 3):
H nn
=

1+ ω2
3λ
( 2n + 1) + 4ω 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
4ω

1 − ω 2

λ
Vn,n+2= 
+ 2 ( 2n + 3) 
2ω
 4ω


Vn,n=
+4

λ
4ω 2

( n + 2 )( n + 1) ,

( n + 4 )( n + 3)( n + 2 )( n + 1);

các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng Vnm = Vmn .
2.2 Kết quả:

(2.14)


Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái cơ bản n = 0
λ = 0.01

λ = 0.05

λ = 0.1

λ = 0.3

λ = 1.5

0.5072875

0.53310181

0.56030737

0.64162986

0.89581792

E0( )

0.50725627

0.53265332

0.55920022

0.63833728

0.88647098

E0(2)

0.50725627

0.53265336

0.55920043

0.63833858

0.88647706

E0(3)

0.50725620

0.53264195

0.55914212

0.63797283

0.88477781

E0( 4)

0.50725620

0.53264335

0.55915195

0.63805733

0.88525604

E0(5)

0.50725620

0.53264260

0.55914457

0.63796813

0.88462605

E0(

6)

0.50725620

0.53264283

0.55914751

0.63801524

0.88502178

E0(

7)

0.50725620

0.53264273

0.55914573

0.63797690

0.88463332

E0(8)

0.50725620

0.53264277

0.55914671

0.63800453

0.88496195

E0(9)

0.50725620

0.53264275

0.55914609

0.63798175

0.88464335

E0(

0.50725620

0.53264276

0.55914649

0.63800055

0.88494854

0.50725620

0.53264275

0.55914632

0.63799178

0.88479443

E0(

0)

1

10 )

E0(

T)

Bảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái kích thích n = 4
λ = 0.01

λ = 0.03

λ = 0.06

λ = 0.1

λ = 1.5

E4( 0)

4.77402649

5.20086071

5.69163300

6.20519257

12.28126648

E4(1)

4.77502613

5.20618235

5.70398382

6.22585316

12.39708482

E4(2)

4.77491518

5.20517700

5.70108541

6.22041107

12.35724872

E4(3)

4.77491319

5.20515405

5.70103082

6.22034316

12.35822818

E4(

4.77491314

5.20515230

5.70102178

6.22031937

12.35780347

E4(5)

4.77491312

5.20515109

5.70101460

6.22029984

12.35750145

E4( 6)

4.77491312

5.20515121

5.70101550

6.22030269

12.35756777

E4(

4.77491312

5.20515114

5.70101486

6.22030041

12.35750140

E4( )

4.77491312

5.20515116

5.70101505

6.22030120

12.35753138

E4(9)

4.77491312

5.20515115

5.70101496

6.22030077

12.35751031

E4(10)

4.77491312

5.20515115

5.70101500

6.22030097

12.35752305

E4(

4.77491312

5.20515115

5.70101495

6.22030088

12.35751765

4)

7)

8

T)


Từ các kết quả thu được, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp toán tử có thể tìm ra được
nghiệm với độ chính xác cao, với mọi giá trị bất kỳ của λ, đối với trạng thái cơ bản hay kích thích.
Tuy chỉ giải trên một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 nhưng sơ đồ tính
toán của nó không phụ thuộc và dạng cụ thể của toán tử Hamilton nên có thể áp dụng cho một nhóm
rộng rãi các bài toán.


Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu một trong những khó khăn hiện tại mà
phương pháp toán tử gặp phải là tối ưu tốc độ của phương pháp bằng việc chọn tham số tự do ω
thích hợp. Như chúng ta đã biết, sự hội tụ nhanh hay chậm của một bài toán khi áp dụng phương

pháp toán tử phụ thuộc khá nhiều vào việc chọn tham số tự do ω. Một trong những phương pháp đã
được đề xuất để giải quyết vấn đề này là lý thuyết cực tiểu hóa năng lượng. Tuy nhiên, qua một số
bài toán cụ thể, lý thuyết này vẫn cho thấy những hạn chế nhất định [8]. Nhằm đóng góp cho việc
phát triển phương pháp toán tử, tác giả sẽ đề xuất một phương pháp mới để chọn giá trị của tham số
ω nhằm đạt được tốc độ hội tụ tối ưu cho bài toán, đó là khảo sát giá trị ω dựa vào tỉ số

Vnn2
. Dựa
H nn2

trên kết quả khảo sát cụ thể trên bài toán dao động tử phi điều hòa, chúng ta sẽ phân tích để tìm
được vùng tối ưu mà phương pháp mới đáp ứng tốt, cũng như những trường hợp mà phương pháp
này không cho kết quả thỏa đáng để từ đó đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để hoàn thiện
phương pháp tìm ω trên.
3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng:

Như chúng ta đã biết, tham số tự do ω trong toán tử sinh – hủy Dirac ở công thức (2.1) là một
số thực dương có thể được chọn bất kỳ. Theo như lý thuyết, kết quả cuối cùng cho bởi phương pháp
toán tử sẽ không phụ thuộc vào việc chọn tham số tự do ω. Qua Bảng.3.1, ta cũng có thể thấy là với
các giá trị ω khác nhau, ta đều thu được cùng một kết quả cho từng trường hợp n và λ cụ thể.
Tuy không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng nhưng việc chọn tham số ω lại ảnh hưởng đến
tốc độ hội tụ của bài toán. Nếu chọn được tham số ω thích hợp, bài toán sẽ cho kết quả hội tụ rất
nhanh. Trong trường hợp ngược lại, kết quả sẽ hội tụ chậm. Ta có thể thấy rõ điều này qua
Bảng.3.1: với cùng một trường hợp, khi chọn ω khác nhau thì số vòng lặp (s) để đạt tới kết quả sau
cùng là khác nhau. Và ngoài ra chúng ta cũng có thể nhận thấy rằng có một vùng các giá trị ω mà ở
đó, bài toán hội tụ rất nhanh. Mặc dù một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể tự
động hóa quá trình tính toán và tốc độ của các máy tính hiện tại rất nhanh nhưng trong một số bài
toán, nếu không chọn được tham số tự do thích hợp sẽ làm kết quả hội tụ rất chậm và tốn rất nhiều
thời gian nếu muốn có được kết quả chính xác [8]. Do đó, việc tìm ra phương pháp thích hợp để lựa
chọn tham số tự do là một vấn đề cần được giải quyết.

Bảng.3.1
n=0; λ=0.01

n=0; λ=0.5

ω

s

E

ω

s

E

0.8

51

0.507256204524603

2.5

31

0.696175820765146

1.0

15

0.507256204524603

2.575

23

0.696175820765146

1.10

8

0.507256204524603

2.6

24

0.696175820765146

1.2

15

0.507256204524603

2.8

30

0.696175820765146

1.4

24

0.507256204524603

3.0

35

0.696175820765146

1.6

33

0.507256204524603

3.2

42

0.696175820765146

1.8

43

0.507256204524603

4.0

71

0.696175820765146

n=1; λ=0.01

n=1; λ=0.5

ω

s

E

ω

s

E

1.0

18

1.535648278296803

2.5

31

2.324406352106039

1.1

10

1.535648278296803

2.6

27

2.324406352106039

1.2

14

1.535648278296803

2.65

24

2.324406352106039

1.4

26

1.535648278296803

2.7

25

2.324406352106039

1.6

38

1.535648278296803

2.8

28

2.324406352106039

1.8

52

1.535648278296803

3.0

35

2.324406352106039

2.0

70

1.535648278296803

4.0

85

2.324406352106039

Một trong những phương pháp được nhắc đến nhiều trong việc chọn tham số tự do là phương
pháp cực tiểu năng lượng [6],[9]. Nội dung của phương pháp này là tìm giá trị ω tối ưu thông qua
điều kiện
∂En( )
=0
∂ω
.

0

(3.1)

Tuy nhiên, ở một số công trình đã khảo sát, cách xác định tham số tự do dựa vào biểu thức
(1.1) vẫn chưa thật sự đem lại những kết quả tốt [8]. Nguyên nhân là do biểu thức (1.1) chỉ đúng
trong việc khảo sát tối ưu cho năng lượng ở trạng thái cơ bản, còn đối với trạng thái kích thích, điều
kiện này không cho kết quả tốt nữa. Mặc khác, công thức (3.1) sử dụng năng lượng chính xác bậc
không chứ không phải là năng lượng chính xác nên không đem lại kết quả tốt. Điều kiện chính xác
ở đây phải là
∂En(T )
= 0,
∂ω

với En(T ) là năng lượng chính xác ứng với trạng thái n.

(3.2)


Do việc tìm biểu thức chính xác của En(T ) là điều không thể nên ta chỉ có thể tăng độ chính
xác của phương pháp trên bằng cách khảo sát điều kiện (3.1) ở những mức năng lượng có bậc cao
hơn, việc này đòi hỏi nhiều thời gian và phức tạp.
Mặc khác, khi khảo sát bằng phương pháp cực tiểu năng lượng ta chỉ thu được một giá trị ω
tối ưu duy nhất, trong khi đó các giá trị ω tối ưu thường nằm thành một vùng với một cực tiểu.
Trong một số trường hợp, giá trị dự đoán bằng (3.1) nằm trong vùng tối ưu thực nghiệm và ta chỉ
cần khảo sát các giá trị nằm “gần” giá trị thu được từ (3.1) là ta có thể bắt được vùng hội tụ tối ưu
(Hình 3.1). Tuy nhiên, trong các trường hợp khác, khi ω dự đoán bằng (3.1) nằm khá xa vùng tối ưu
thực nghiệm (Hình 3.2) thì ta không có đủ cơ sở để tìm được vùng hội tụ thực nghiệm tối ưu bằng
phương pháp cực tiểu năng lượng. Đây cũng là một nhược điểm nữa của phương pháp này.
Chú thích đồ thị: đường nét đứt là đường các giá trị thực nghiệm, đường liền nét là đồ thị hàm số

β = En(0) (ω )

Hình 3.1:=
β En(0)=
; n 0,=
λ 0.01


Hình 3.2:=
β En(0)=
; n 0,=
λ 0.5

Trong luận văn này, tác giả đề xuất một phương pháp mới để khảo sát giá trị tối ưu của tham
số tự do ω là dùng biểu thức

Vnn2
, tức là dựa vào mối quan hệ giữa V nn và H nn .
H nn2
R

3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số

R

R

R

Vnn2

:
H nn2

Trong phần này, tác giả sẽ khảo sát phương pháp xác định ω từ điều kiện lý thuyết nhiễu
loạn: Vnn = H nn

Vnn2
, cụ thể ở đây ta sẽ khảo sát tỉ số 2 bằng cách vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ
H nn

Vnn2
thị hàm số β = 2 và đường thực nghiệm thu được khi chạy bài toán dao động tử phi điều hòa bậc
H nn
Vnn2
4 bằng lập trình Fortran. Mục đích là kiểm tra xem biểu thức β = 2 có đưa ra được vùng ω tối ưu
H nn

trùng với thực nghiệm hay không, và phương pháp trên đáp ứng tốt trong các trường hợp nào.
Phương pháp này gọi là “đáp ứng tốt” nếu như vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong vùng các giá trị
ω sao cho tỉ số α =

Vnn
“nhỏ” và ngược lại.
H nn

Đối với trường hợp trạng thái cơ bản (n=0), dựa vào các đồ thị (Hình 3.3-3.8), ta có thể kết
luận rằng phương pháp khảo sát bằng đồ thị β =

Vnn2
chỉ tốt trong trường hợp hệ số phi điều hòa λ

H nn2

nhỏ (Hình 3.3, 3.4, 3.5). Trong các trường hợp trên, chỉ với giới hạn α ≤ 0.5 , ta đã “bắt” được vùng


tối ưu thực nghiệm. Còn trong các trường hợp còn lại (Hình 3.6-3.7), phương pháp khảo sát đã nêu
không cho vùng các giá trị ω tối ưu gần với kết quả có được từ thực nghiệm. Vùng các giá trị ω tối
ưu thực nghiệm nằm trong giới hạn 0.75 ≤ α ≤ 1 , như vậy là không thực sự tốt. Ở đây ta có thể hiểu
là khi vùng hội tụ thực nghiệm nằm trong giới hạn α =

Vnn
càng nhỏ thì khảo sát lý thuyết càng
H nn

tốt, vì khi đó vùng các giá trị ω tối ưu khảo sát bằng đồ thị β =

Vnn2
nằm gần với vùng hội tụ thực
H nn2

tế.
Chú thích đồ thị: đường liền nét là đồ thị hàm số β =

Vnn2
H nn2

Hình 3.3:=
n 0,=
λ 0.01

Hình 3.4:=
n 0,=
λ 0.05


Hình 3.5:=
n 0,=
λ 0.1

Hình 3.6:=
n 0,=
λ 0.5


Hình 3.7:=
n 0,=
λ 1.0

Hình 3.8:=
n 0,=
λ 1.5