Không gian sobolev các hàm một biến

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ bảo của các
thầy cô trong tổ Giải tích, trong khoa Toán của trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2.
Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong tổ Giải tích, trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Trần Văn Bằng
người trực tiếp hướng dẫn em trong quá trình thu thập tài liệu, nghiên
cứu và hoàn thiện đề tài.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Nhung


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
Trần Văn Bằng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong suốt quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài
liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận tốt nghiệp này là
kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác
giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Nhung


Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Độ đo Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Độ đo Lebesgue trên R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Các tính chất sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.3. Tính chập và sự chính quy hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.4. Dãy chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.5. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM MỘT BIẾN
15
2.1. Động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Không gian Sobolev W1,p (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Không gian W1,p
0 ..........................................

36

2.4. Không gian đối ngẫu của W1,p
0 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1


2.5. Nghiệm yếu của bài toán biên đối với phương trình vi phân
thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2


LỜI MỞ ĐẦU
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển
của toán học được đánh dấu bằng những ứng dụng của nó vào các bài
toán thực tiễn. Thế giới tự nhiên cũng như xã hội luôn biến đổi trong
không gian và theo thời gian. Nói cách khác, những đặc trưng của các đối
tượng khoa học là hàm không gian, thời gian và những yếu tố khác. Do
vậy việc nghiên cứu quá trình động của tự nhiên cũng như xã hội thường
dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình vi phân thường hơn
phương trình đạo hàm riêng một khi các đại lượng nghiên cứu đã được
định lượng hóa bằng các đại lượng toán học.
Vào những năm đầu thập kỉ 30 của thế kỉ XX, viện sĩ Toán học người
Nga Sobolev đã đã giới thiệu một lớp không gian hàm được sử dụng
rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương
trình vi phân thường nói riêng là không gian Sobolev. Từ đó trở đi đã
có nhiều không gian khác nữa phục vụ cho sự phát triển của lý thuyết
phương trình vi tích phân.
Là sinh viên năm cuối bậc đại học, để bước đầu làm quen với nghiên
cứu khoa học và mong muốn hiểu biết thêm về sự phát triển của Toán
học em đã lựa chọn đề tài: “Không gian Sobolev các hàm một biến”
làm khóa luận tốt nghiệp.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp

gồm hai chương:
3


Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Không gian Sobolev các hàm một biến.
Chương này trình bày khái niệm Không gian Sobolev các hàm một
biến, các tính chất cơ bản của các không gian đó và ứng dụng trong việc
nghiên cứu một số bài toán biên đối với phương trình vi phân thường
cấp hai theo phương pháp biến phân.
Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự tận tình giúp
đỡ của các thầy cô trong tổ Giải tích – Khoa Toán của trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là thầy Trần Văn Bằng. Một lần nữa em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô
và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Độ đo Lebesgue
1.1.1. Một số khái niệm
a) Đại số và σ - đại số tập hợp
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Một lớp C các
tập con của X được gọi là một đại số tập hợp nếu nó thỏa mãn các tính
chất sau:
i) X ∈ C,

ii) X ∈ C ⇒ AC ∈ C,
iii) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C.
Nếu hợp hữu hạn trong điều kiện iii) được thay bởi đếm được tùy ý
thì C được gọi là σ - đại số tập hợp. Cho A là một lớp các tập con của
X. Khi đó luôn tồn tại C (A) là đại số (tương ứng σ - đại số) nhỏ nhất
các tập con của X chứa A và gọi là đại số (σ - đại số) sinh bởi A.
Ví dụ: Trong không gian Metric X, gọi T là họ tất cả các tập mở (hay
tôpô) trên X. σ - đại số C (T ) được gọi là σ - đại số Borel các tập con
của X. Mỗi tập thuộc C (T ) được gọi là một tập Borel. Ta thường kí
hiệu C (T ) là B (X).
b) Hàm cộng tính
5


Định nghĩa 1.2. Hàm tập µ xác định trên M, các tập con của X, gọi
là cộng tính nếu nó thỏa mãn:
i) µ (φ) = 0,
ii) A, B ∈ M, A∩B = φ, A∪B ∈ M ⇒ µ (A ∪ B) = µ (A)+µ (B) .
Ngoài ra nếu điều kiện ii) được thay bởi
∞

iii) ∀An ⊂ M,

An ∈ M, An ∩ Am = φ ∀n = m.
n=1

∞

Ta có µ

∞

An
n=1

=

µ (An ) thì µ được gọi là σ - cộng tính.
n=1

Nếu ii) được thay bởi
∞

iv) ∀A ∈ M, An ⊂ M, A ⊂
∞

Ta có µ (A) ≤

An .
n=1

µ (An ) thì µ được gọi là σ - dưới cộng tính.
n=1

1.1.2. Độ đo Lebesgue trên R
Gọi gian ∆ trên đường thẳng R là một tập hợp điểm có một trong
các dạng sau:
(a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) ,
(−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞) .
Gọi C là lớp tất cả các tập hợp con của R có thể biểu diễn thành hợp

của một số hữu hạn các gian rời nhau
n

C=

∆i , ∆i ∩ ∆j = φ (i = j) ,

P :P =
i=1

trong đó ∆i là những gian, n là một số tự nhiên tùy ý. Ta có C là một
đại số.

6


* Với mỗi gian ∆ đặt

|b − a|
|∆| =
 +∞

nếu ∆ là gian với các đầu mút a, b
nếu ∆ là các gian vô hạn.
n

Khi đó ∀P ∈ C ⇒ P =

n

∆i , ∆i ∩∆j = φ (i = j). Đặt m (P ) =
i=1

|∆i |.
i=1

Ta có m là một độ đo trên C.
* Với A ⊂ R. Xác định hàm tập hợp:
∞
∗

µ (A) = inf

∞

Pi ⊃ A, Pi ∈ C

m (Pi ) :
i=1

∗

i=1
∞

∞

|∆i | :

hoặc tương đương µ (A) = inf

i=1

∆i ⊃ A, ∆i là khoảng mở .
i=1

Khi đó µ∗ là một độ đo ngoài trên R, tức là µ∗ là hàm tập không
âm σ - dưới cộng tính trên họ tất cả các tập con của R. Theo Định lý
Caratheodory (xem [4], trang 91) µ∗ cảm sinh một độ đo µ trên một σ
- đại số L. Độ đo đó được gọi là độ đo Lebesgue trên R. Mỗi tập A ∈ L
được gọi là một tập đo được Lebesgue hay đơn giản là L - đo được.
Hơn nữa ta còn có:
+ Mọi tập Borel đều là tập L - đo được.
+ µ là độ đo σ - hữu hạn.
+ µ là độ đo đủ.
+ A là L - đo được khi và chỉ khi A có biểu diễn A = B\N hoặc
A = B ∪ N. Trong đó B là một tập hợp Borel và N là một tập hợp có
độ đo 0.
Định lý 1.1. Một tập hợp N trong R có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi
ε > 0 có thể tìm được một hệ (hữu hạn hay đếm được) khoảng ∆k phủ
∆k ⊃ N,

N và có độ dài tổng cộng nhỏ hơn ε.
k

7

|∆k | < ε.
k

Hệ quả 1.1. Mọi tập hợp hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều
có độ đo 0.

1.2. Tích phân Lebesgue
1.2.1. Định nghĩa
a) Tích phân của hàm đơn giản
Định nghĩa 1.3. Trong một không gian X, với một σ - đại số F và một
độ đo µ trên F, cho một tập hợp A đo được (tức là A ∈ F) và một hàm
n

đơn giản không âm trên tập hợp A : f (x) =
n

Ai đo được, rời nhau và

αi χAi (x) (các tập hợp
i=1

Ai = A). Nếu mỗi Ai là một đoạn ∆i trong
i=1

n

αi |∆i |.

R thì tích phân của f (x) là số
i=1

Trong trường hợp tổng quát khi mỗi Ai là một tập hợp đo được thì
thay |∆i | bằng µ (Ai ) . Vì vậy tích phân của hàm đơn giản không âm

f (x) trên tập hợp A đối với độ đo µ là số
n

f (x) dµ =

αi µ (Ai ).
i=1

+ Tính chất: Nếu hai hàm đơn giản f, g ≥ 0 và f ≤ g trên tập hợp A
f dµ ≤

thì
A

gdµ.
A

b) Tích phân các hàm đo được bất kỳ
* f (x) ≥ 0 trên tập hợp A. Cho dãy hàm số đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu
tăng và hội tụ tới f. Ta gọi tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với

8


độ đo µ là số (hữu hạn hay vô cực)
f (x) dµ = lim

fn (x) dµ.

n→∞

A

A

* f (x) có dấu bất kỳ trên tập hợp A. Đặt
f = f+ − f−
với f + = max {f, 0}, f − = max {−f, 0}. Nếu hiệu số

f − có

f+ −
A

A

nghĩa thì ta gọi nó là tích phân của f (x) trên tập hợp A đối với độ đo
µ:

A

f − (x) dµ,

f + (x) dµ −

f (x) dµ =
A

A

và nếu tích phân ấy hữu hạn thì ta nói f (x) khả tích. Khi X = R, F = L,
µ là độ đo Lebesgue thì tích phân định nghĩa như trên thường gọi là tích
f (x) dµ (x) hoặc (L) f (x) dx. Từ

phân Lebesgue và được ký hiệu
A

A

đây về sau các tích phân nói đến đều được hiểu là tích phân Lebesgue
nếu không có giải thích gì thêm.
1.2.2. Các tính chất sơ cấp
Nội dung của mục này chủ yếu trích từ tài liệu [4].
+ Cộng tính: Nếu A ∩ B = ∅ thì

f dx =
A∪B

f dx +
A

f dx.
B

+ Bảo toàn thứ tự:
. Nếu f ∼ g thì

f dx =
A

gdx. Nói riêng nếu f = 0 h.k.n trên A thì
A

f dx = 0.
A

. Nếu f ≤ g trên A thì

f dx ≤
A

gdx. Nói riêng nếu f ≥ 0 thì
A

f dx ≥0.
A

+ Tuyến tính:
9


cf dx = c f dx (c là hằng số).

.
A

A

. (f + g) dx =
A

f dx +
A

gdx.
A

+ Khả tích:
f dx ≤

f dx có nghĩa thì

. Nếu

A

A

A

|f |dx.

. f khả tích khi và chỉ khi |f | khả tích.
. Nếu |f | ≤ g h.k.n trên A và g khả tích thì f cũng khả tích.
. Nếu f, g khả tích thì f ± g cũng khả tích. Nếu f khả tích, g giới nội
thì f g cũng khả tích.
1.2.3. Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân
Định lý 1.2. (Hội tụ đơn điệu) Nếu 0 ≤ fn

fn dx → f dx.

f thì
A

A

Bổ đề 1.1. (Bổ đề Fatou) Nếu fn ≥ 0 trên A thì
lim fn dx ≤ lim
n→∞

fn dx.

n→∞

A

A

Định lý 1.3. (Hội tụ chặn) Nếu |fn | ≤ g, g khả tích và fn → f (h.k.n
hay theo độ đo trên A) thì
fn dx →
A

f dx.
A

1.3. Không gian Lp
1.3.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của không gian Lp
Cho Ω ⊂ R là một tập đo được, L1 (Ω) là tập hợp tất cả các hàm đo
được Lebesgue và khả tích trên Ω.

10


Định nghĩa 1.4. Cho p ∈ R với 1 < p < ∞. Ta đặt
Lp (Ω) = f : Ω → R là đo được và |f |p ∈ L1 (Ω)
với f

Lp

= f

p

1
p

p

|f (x)| dµ

=

.

Ω

Định nghĩa 1.5. Ta đặt
L∞ (Ω) = f : Ω → R là đo được và có một hằng số C để |f (x)| ≤ C
h.k.n trên Ω
với f

L∞

= f

∞

= inf C : |f (x)| ≤ C h.k.n trên Ω .

Chú ý: f p , .

∞

là một chuẩn.

b) Tính chất
+ Bất đẳng thức Holder: Giả sử rằng f ∈ Lp và g ∈ Lp với 1 ≤ p ≤ ∞
1 1
và p là số mũ liên hợp của p, tức là + = 1 . Khi đó
p p
f.g ∈ L1 và

|f.g|dx ≤ f

+ Lp là một không gian vectơ và

.

p

p

g

p

.

là một chuẩn trên Lp với mỗi p,

1 ≤ p ≤ ∞.
+ Lp là một không gian Banach với mỗi p, 1 ≤ p ≤ ∞.
1.3.2. Không gian đối ngẫu của Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞
Định lý 1.4. (Định lý biểu diễn Riesz) Cho 1 < p < ∞ và φ ∈ (Lp )∗ .
Khi đó tồn tại một hàm duy nhất u ∈ Lp mà
φ, f =
Hơn nữa u

p

= φ

(Lp )

∗

uf dx

.
11

∀f ∈ Lp .


1.3.3. Tính chập và sự chính quy hóa
Kí hiệu:
. Nếu Ω mở thì C k (Ω) (k = 0, 1, 2...) là tập tất cả các hàm có đạo hàm
đến cấp k liên tục trên Ω. Đặc biệt C 0 (Ω) thường viết là C (Ω).
∞
∞

C k (Ω).

C (Ω) =
k=0

0

. Nếu Ω không mở thì C k (Ω) là tập tất cả các hàm thuộc C k Ω

mà

mọi đạo hàm đến cấp k của nó có thể thác triển liên tục trên Ω.
. Với f ∈ C (Ω), giá của f là
suppf = {x ∈ Ω : f (x) = 0}.
. Cho A, B ⊂ R. Tập A gọi là chứa compact trong tập B nếu A¯ là tập
compact và A¯ ⊂ B. Kí hiệu A ⊂⊂ B.
. Cck (Ω) là tất cả các hàm thuộc C k (Ω) có giá chứa compact trong
Ω (k = 1, 2, ..., ∞).
. L1loc (Ω) là tất cả các hàm f đo được trên Ω và f ∈ L1 (K) với mọi tập

K ⊂⊂ Ω.
Định lý 1.5. (Young) Lấy f ∈ L1 (R) và g ∈ Lp (R) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó với mỗi x ∈ R hàm y → f (x − y) g (y) dy là khả tích trên R và
thỏa mãn định nghĩa
(f ∗ g) (x) =

f (x − y)g (y) dy.
R

Hơn nữa f ∗ g ∈ Lp (R) và f ∗ g

p

≤ f

1

g p.

Nhận xét: Với hàm f xác định trên R ta đặt f (x) = f (−x).
12


Mệnh đề 1.1. Cho f ∈ L1 (R), g ∈ Lp (R) và h ∈ Lp (R). Khi đó ta có
(f ∗ g)hdx =

g f ∗ h dx.

R

Mệnh đề 1.2. Cho f ∈ Cck (R) (k > 1) và cho g ∈ L1loc (R). Khi đó
f ∗ g ∈ C k (R) và
Dα (f ∗ g) = (Dα f ) ∗ g

∀α = 1, 2, ..., k.

Đặc biệt, nếu f ∈ Cc∞ (R) và g ∈ L1loc (R) thì f ∗ g ∈ C ∞ (R).
1.3.4. Dãy chỉnh hóa
Định nghĩa 1.6. Một dãy chỉnh hóa (ρn )n≥1 là một dãy hàm khả vi vô
hạn trên R sao cho
1 1
suppρn ⊂ − ,
,
n n

ρn dx = 1, ρn ≥ 0 trên R.
R

Sau đây nói tới (ρn ) thì ta luôn hiểu đó là một dãy chỉnh hóa.
Hệ quả 1.2. Không gian Cc∞ (Ω) là trù mật trong Lp (Ω) với mỗi 1 ≤
p < ∞.
Hệ quả 1.3. Cho Ω ⊂ R là một tập mở và giả sử u ∈ L1loc (Ω) là hàm
uf dx = 0, ∀f ∈ Cc∞ (Ω). Khi đó u = 0 h.k.n trên Ω.

sao cho
Ω

1.3.5. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp
Định lý 1.6. (Ascoli – Arzela) Cho K ⊂ R là một tập compact và H là
một tập con bị chặn của C (K). Giả sử H liên tục đều, đồng bậc, nghĩa

13


là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho
|x1 − x2 | < δ ⇒ |f (x1 ) − f (x2 )| < ε,

∀f ∈ H.

Khi đó bao đóng của H trong C (K) là compact.
Kí hiệu (phép dịch chuyển hàm): (τh f ) (x) = f (x + h) , x ∈ R, h ∈ R.
Định lý sau đây và hệ quả của nó là “Lp – mô hình” của Định lý Ascoli
– Arzela.
Định lý 1.7. (Kolmogorov – M. Riesz – Frechet) Cho Ω ⊂ R là tập
đo được và có độ đo hữu hạn, F là một họ bị chặn trong Lp (R) với
1 ≤ p < ∞. Giả sử
lim τh f − f

|h|→0

p

= 0 đều theo f ∈ F,

tức là ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho τh f − f

p

(1.1)

< ε, ∀f ∈ F, ∀h ∈ R có |h| < δ.

Khi đó bao đóng của F|Ω trong Lp (Ω) là compact (ở đây F|Ω là hạn chế
của F trên Ω).
Hệ quả 1.4. Cho F là một tập bị chặn trong Lp (R) với 1 ≤ p < ∞.
Giả sử có (1.1) và ∀ε > 0, ∃Ω ⊂ R bị chặn, đo được sao cho
f

Lp (R\Ω)

< ε,

∀f ∈ F.

Khi đó F có bao đóng compact trong Lp (R).
Hệ quả 1.5. Cho G là một hàm cố định trong L1 (R) và F = G ∗ B. Ở
đó B là một tập bị chặn trong Lp (R) với 1 ≤ p < ∞. Khi đó F|Ω có bao
đóng compact trong Lp (Ω) với một tập đo được Ω có độ đo hữu hạn.

14


Chương 2
KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC
HÀM MỘT BIẾN
2.1. Động lực
Không gian Sobolev xuất hiện khi nghiên cứu các bài toán biên cho
phương trình vi phân bằng phương pháp biến phân. Để hình dung về
điều này, ta xét bài toán sau:
Cho f ∈ C ([a, b]), tìm u thỏa mãn


−u + u = f trên (a, b)

u (a) = u (b) = 0.

(2.1)

Nghiệm cổ điển (mạnh) của (2.1) là một C 2 – hàm trên [a, b] và thỏa
mãn (2.1) theo nghĩa thông thường, với bài toán này ta có thể tìm được
công thức nghiệm cổ điển. Tuy nhiên ta minh họa phương pháp biến
phân qua bài toán này.
Nhân (2.1) với ϕ ∈ C 1 ([a, b]), lấy tích phân từng phần, ta có:
b

b

u ϕ dx +
a

b

f ϕdx, ∀ϕ ∈ C 1 ([a, b]), ϕ(a) = ϕ(b) = 0. (2.2)

uϕdx =
a

a

Ta thấy (2.2) có nghĩa nếu chỉ cần u ∈ C 1 ([a, b]) (trong khi (2.1) yêu
cầu u ∈ C 2 ); hơn nữa (2.2) có nghĩa với ∀u, u ∈ L1 (a, b) , với u là đạo
15

hàm suy rộng của u (định nghĩa sau). Do vậy ta có thể định nghĩa một
hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp 1 thỏa mãn (2.2) là một nghiệm yếu
của (2.1).
Các bước của phương pháp này như sau:
Bước A: Đưa ra định nghĩa nghiệm yếu. Khái niệm này liên quan tới
không gian Sobolev.
Bước B: Chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu (nhờ
Định lý Lax – Milgram).
Bước C: Nghiên cứu tính chính quy của nghiệm yếu (chứng minh
nghiệm yếu khả vi theo nghĩa thông thường).
Bước D: Ta có nghiệm yếu là nghiệm cổ điển nhờ kết quả: Mọi nghiệm
yếu thuộc C 2 là một nghiệm cổ điển.
Chứng minh của bước D là đơn giản. Thật vậy, giả sử u ∈ C 2 ([a, b]) ,
u (a) = u (b) = 0 và u thỏa mãn (2.2). Lấy tích phân từng phần của
(2.2) ta có
b

(−u + u − f )ϕdx = 0,

∀ϕ ∈ C 1 ([a, b]) , ϕ (a) = ϕ (b) = 0.

a

Suy ra
b

(−u + u − f )ϕdx = 0,

∀ϕ ∈ Cc1 ((a, b)) .

a

Theo Hệ quả 1.3 ta có −u + u = f h.k.n trên (a, b), do đó bằng không
trên [a, b] vì u ∈ C 2 ([a, b]) .

16


2.2. Không gian Sobolev W1,p (I)
Giả sử I = (a, b) (có thể không bị chặn), p ∈ R, 1 ≤ p ≤ ∞.
Định nghĩa 2.1. Không gian Sobolev W1,p (I) được định nghĩa bởi
W1,p (I) =

u ∈ Lp (I) : ∃g ∈ Lp (I) thỏa mãn

gϕdx, ∀ϕ ∈ Cc1 (I)

uϕ dx = −
I

I

Khi p = 2 ta đặt W 1,2 (I) = H 1 (I) .
Với u ∈ W1,p (I), ta kí hiệu u = g (đạo hàm suy rộng của u).
Chú ý 1: Trong định nghĩa W1,p (I) ta gọi ϕ là hàm thử. Ta dùng Cc∞ (I)
làm lớp hàm thử vì nếu ϕ ∈ Cc1 (I) thì ρn ∗ ϕ ∈ Cc∞ (I) với n đủ lớn và
ρn ∗ ϕ → ϕ trong C 1 (tất nhiên ϕ = 0 bên ngoài I).
Chú ý 2: Rõ ràng nếu u ∈ C 1 (I)∩Lp (I) và u ∈ Lp (I) (với u là đạo hàm

thường của u) thì u ∈ W1,p (I). Hơn nữa đạo hàm thường trùng với đạo
hàm suy rộng, đặc biệt nếu I bị chặn thì C 1 (I) ⊂ Lp (I) ∀1 ≤ p ≤ ∞.
Ví dụ 2.1. Giả sử I = (−1, 1). Chứng minh rằng
(i) Hàm u (x) = |x| thuộc W1,p (I) với ∀1 ≤ p ≤ ∞ và u = g, trong đó

1
nếu 0 < x < 1
g (x) =
−1 nếu − 1 < x < 0.
Chứng minh: Dễ thấy u bị chặn trên I, nên u ∈ Lp (I). Hơn nữa hàm
g ∈ Lp (I) và với mọi ϕ ∈ Cc∞ (I) ta có:

17


0

1

−xϕ dx +

uϕ dx =

xϕ dx

−1

0
0

tptp

= − x ϕ|0−1 +

1

ϕdx + x ϕ|10 −
−1



0

= −

−ϕdx +

−1

0
1



1

ϕdx

ϕdx = −

gϕdx.
−1

0

Do đó u ∈ W1,p (I) và u = g.
Tổng quát hơn: Mỗi hàm liên tục trên I là C 1 từng khúc trên I đều
thuộc W1,p (I) , ∀1 ≤ p ≤ ∞.
(ii) Hàm g ở trên không thuộc W1,p (I) , ∀1 ≤ p ≤ ∞.
Kí hiệu: Không gian W1,p (I) được trang bị với chuẩn
u

W1,p

= u

Lp

+ u

Lp

hoặc khi 1 < p < ∞ thì đôi khi ta dùng chuẩn ( u

p
Lp

+ u

p p1

Lp ) .

Không

gian H 1 được trang bị với tích vô hướng:
b

(uv + u v ) dx

(u, v)H 1 = (u, v)L2 + (u , v )L2 =
a

và chuẩn cảm sinh u

H1

=

u

2
L2

+ u

2
L2

1
2

.

Mệnh đề 2.1. Không gian W1,p là không gian Banach với 1 ≤ p ≤ ∞.
Nó là phản xạ nếu 1 < p < ∞ và tách được nếu 1 ≤ p < ∞. Không gian
H 1 là không gian Hilbert tách được.

18


Chứng minh. (a) Giả sử (un ) ⊂ W1,p là dãy Cauchy, khi đó (un ) và
(u n ) là dãy Cauchy trong Lp .
Do đó un → u trong Lp , u n → g trong Lp . Ta có
un ϕ dx = −
I

∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

un ϕdx
I

Cho n → ∞ ta có
uϕ dx =
I

gϕdx

∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

I

1,p

Vậy u ∈ W , u = g và un − u

W1,p

→ 0.

(b) W1,p – phản xạ khi 1 < p < ∞. Rõ ràng không gian E = Lp (I) ×
Lp (I) là phản xạ. Toán tử T : W1,p → E xác định bởi Tn = [u, u ] là một
đẳng cấu từ W1,p vào E. Mà W1,p là không gian Banach nên T W1,p là
một không gian con đóng của E. Do E – phản xạ nên T W1,p – phản
xạ. Hệ quả là W1,p – phản xạ.
(c) W1,p – tách được với 1 ≤ p < ∞. Rõ ràng không gian E = Lp (I) ×
Lp (I) – tách được. Do đó T W1,p cũng tách được. Do đó W1,p – tách
được.
Chú ý 3: Cần ghi nhớ điều đã sử dụng trong chứng minh của Mệnh đề
2.1 là: “Giả sử {un } ⊂ W1,p sao cho un → u trong Lp và u n → g trong
Lp thì u ∈ W1,p và un − u

W1,p

cần tới un → u trong Lp và u n

→ 0”. Thực tế, khi 1 < p ≤ ∞ ta chỉ
Lp

bị chặn là kết luận được u ∈ W1,p .

Định lý 2.1. Giả sử u ∈ W1,p (I) với 1 ≤ p ≤ ∞ (I có thể không bị
chặn). Khi đó tồn tại một hàm u˜ ∈ C I sao cho u = u˜ h.k.n trên I và
x

u˜ (x) − u˜ (y) =

u (t) dt, ∀x, y ∈ I.
y

19


Chú ý 4: Trước hết chú ý rằng nếu u ∈ W1,p thì với mọi v sao cho v = u
h.k.n trên I đều thuộc W1,p (suy từ định nghĩa của W1,p ). Định lý 2.1
khẳng định rằng duy nhất mỗi hàm u ∈ W1,p có (duy nhất) một đại diện
liên tục trên I tức là tồn tại duy nhất một hàm liên tục trên I thuộc
lớp tương đương của u (v ∼ u nếu v = u h.k.n trên I). Khi đó sẽ rất
hữu ích để ta thay u bởi đại diện liên tục của nó (khi đó u (x) có nghĩa
¯ Để đơn giản kí hiệu ta viết u là đại diện liên tục của nó. Cuối
∀x ∈ I).
cùng cần chú ý rằng tính chất “u có một đại diện liên tục” không đồng
nhất với “u liên tục h.k.n”.
Chú ý 5: Theo Định lý 2.1 nếu u ∈ W1,p và nếu u ∈ C I¯ (tức là u có
một mở rộng liên tục trên I) thì u ∈ C 1 I¯ . Cụ thể hơn, u˜ ∈ C 1 I¯ và
như đã nói trên ta không phân biệt u và u˜.
Để chứng minh Định lý 2.1 ta sẽ sử dụng các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Giả sử f ∈ L1loc (I) sao cho
∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

f ϕ dx = 0

(2.3)

I

Khi đó tồn tại một hằng số C sao cho f = C h.k.n trên I.
Chứng minh. Cố định ψ ∈ Cc (I) sao cho

ψdx = 1. Với bất kì
I

ω ∈ Cc (I) đều tồn tại ϕ ∈

Cc1 (I)

sao cho



ϕ =ω−

ωdx ψ.
I

Thật vậy: Hàm h = ω −

ωdx ψ - liên tục, có giá compact trong I và
I

hdx = 0. Do vậy h có (duy nhất) một “nguyên hàm” với giá compact

I

20


trong I. Từ (2.3) ta có:



 

f ω − 

∀ω ∈ Cc (I) .

ωdx ψ  dx = 0
I

I

Suy ra






f − 
I

∀ω ∈ Cc (I) .

f ψdxωdx = 0
I

Do đó (theo Hệ quả 1.3 - Chương 1) f −

f ψdx

= 0 h.k.n trên I suy

I

ra f = C h.k.n trên I với C =

f ψdx.
I

Bổ đề 2.2. Giả sử g ∈ L1loc (I), y0 ∈ I cố định, đặt
x

g (t)dt,

x ∈ I.

gϕdx

∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

v (x) =

y0

Khi đó v ∈ C (I) và
vϕ dx = −
I

I

Chứng minh. Ta có

vϕ dx =
I



x

g (t) dt ϕ (x)dx


y0

I

y0

=−

y0

dx
a

b

g (t) ϕ (x) dt +
x

x

dx
y0

g (t) ϕ (x) dt.
y0

Theo Định lý Fubini
y0

vϕ dx = −

g (t) dt
a

I

t

=−

b

ϕ (x) dx +
a

g (t) dt
y0

g (t) ϕ (t) dt.
I

21

b

ϕ (x) dx
t


x

Chứng minh. (Định lý 2.1) Cố định y0 ∈ I và đặt u¯ (x) =

u (t) dt.
y0

Theo Bổ đề 2.2 ta có
u¯ϕ dx = −
I

∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

u ϕdx
I

(u − u¯)ϕ dx = 0, ∀ϕ ∈ Cc1 (I). Theo Bổ đề 2.1 ta có u − u¯ = C

Suy ra
I

h.k.n trên I. Khi đó hàm u˜ (x) = u¯ (x) + C có tính chất như mong muốn.
Chú ý 6: Bổ đề 2.2 cho thấy “nguyên hàm” v của một hàm g ∈ Lp là
thuộc W1,p miễn là ta biết v ∈ Lp . Điều này luôn có khi I – bị chặn.
Mệnh đề 2.2. Giả sử u ∈ Lp , 1 < p ≤ ∞. Các khẳng định sau đây là
tương đương:
(i) u ∈ W1,p .
(ii) Có một hằng số C sao cho
uϕ dx ≤ C ϕ

∀ϕ ∈ Cc1 (I) .

Lp (I)

I

Hơn nữa, ta có thể lấy C = u

Lp (I) .

Chứng minh. (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên.

(ii) ⇒ (i): Phiếm hàm tuyến tính
ϕ ∈ Cc1 (I) →

uϕ dx
I

xác định trên một không gian con trù mật của Lp (vì p < ∞) và liên
tục đối với Lp – chuẩn. Do vậy nó được thác triển thành phiếm hàm
22


tuyến tính bị chặn F trên Lp (Định lý Hahn – Banach). Theo Định lý
Riesz (Định lý 1.4) tồn tại g ∈ Lp sao cho
gϕdx

F, ϕ =

∀ϕ ∈ Lp .

I

Nói riêng
uϕ dx =
I

gϕdx

∀ϕ ∈ Cc1 .

I

Suy ra u ∈ W1,p .
Chú ý 7: (Hàm liên tục tuyệt đối và hàm biến phân bị chặn) Khi p = 1
thì (i) ⇒ (ii) vẫn đúng nhưng điều ngược lại thì chưa chắc. Thật vậy,
giả sử I – bị chặn, u ∈ W1,1 (I), u – được gọi là hàm liên tục tuyệt đối.
Hàm này được đặc trưng bởi tính chất

(AC) :







∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mỗi dãy hữu hạn các khoảng

đôi một rời nhau (ak , bk ) ⊂ I thỏa mãn
|bk − ak | < δ, ta có




|u (b ) − u (a )| < ε.
k

k

Đồng thời hàm u thỏa mãn (ii) với p = 1 được gọi là hàm với biến phân
bị chặn. Hàm này có rất nhiều tính chất đặc trưng khác nhau như:

(a) Nó là hiệu của hai hàm không giảm và bị chặn (có thể không liên
tục) trên I.
(b) Nó là hàm u có tính chất

(BC) :





Tồn tại hằng số C sao cho
k−1




|u (ti+1 ) − u (ti )| ≤ C

∀t0 < t1 < ... < tk trên I.

i=1

(c) Là hàm u ∈ L1 (I) mà có đạo hàm số riêng là một độ đo bị chặn.
23