Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình
học không gian tổng hợp
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT
3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm
2015
4. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Huyền
Năm sinh: 1986
Nơi thường trú: Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Trình độ chuyên môn: Cử nhân
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam
Định
Điện thoại: 0944.347780
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường
Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định
Điện thoại: 03503.886.167

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong chương trình hình học lớp 11, 12 bài toán về khoảng cách trong
không gian là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề
thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học và đề thi chọn học sinh giỏi
cấp trường, cấp tỉnh. Các bài toán về khoảng cách khá phong phú và đa dạng,
đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phong
phú và có kĩ năng tính toán tốt. Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình,
trung bình khá thì các bài toán về khoảng cách thường là mảng kiến thức khó
và dễ mất điểm, còn đối với học sinh có lực học khá, giỏi thì các em có thể
làm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phương
pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các
em thường mất khá nhiều thời gian để giải
Với mong muốn giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn,
có phương pháp giải cho từng dạng bài tập về khoảng cách trong không gian
tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải
bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp”. Từ đó giúp học
sinh đỡ e ngại hơn khi gặp các bài toán về khoảng cách trong không gian tổng
hợp.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1.

Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến

Hình học không gian là một mảng khó trong toán học phổ thông và càng
khó hơn khi học sang quan hệ vuông góc. Đối với quan hệ song song trong
không gian, các tính chất và hình vẽ không có nhiều khác biệt đối với hình
học phẳng nên các em dễ nắm bắt các dạng toán và phương pháp giải. Còn

đối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khi
hình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như trong
hình học phẳng. Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấy
rằng học sinh còn những hạn chế sau:
+ Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không gian
không tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc
+ Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập
+ Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập
Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là:
+ Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt là
đối với các bài toán trong quan hệ vuông góc
+ Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh
đối với từng dạng bài tập
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

+ Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng
tổng hợp vấn đề cho học sinh
+ Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc
và tẻ nhạt
Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những
kiến thức đầu tiên. Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ
sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan
đến bài học.

Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra một số phương pháp giải các dạng bài
tập cụ thể hay gặp để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và cụ thể
nhất.
2. Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến
A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Các phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt

phẳng :
Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong
mặt phẳng
Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà
Cách 3. Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với
Cách 4. Chứng minh d là đường thẳng thuộc mặt phẳng trong đó d vuông góc
với giao tuyến a của
2. Các định nghĩa về khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến một đường thẳng là khoảng cách giữa
A với hình chiếu vuông góc H của A trên
Kí hiệu: d(A, ).
Như vậy d(A, ) = AH
b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm A và mặt phẳng , gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên . Khi đó
khoảng cách giữa hai điểm A và H được gọi là khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng
Kí hiệu: d(A,).
Như vậy d(A, ) = AH
c) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Khoảng cách giữa đường thẳng
a và mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Kí hiệu: d(a,).
d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
+ Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b
+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt
tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau a và b
3. Một số công thức cần nhớ
a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có:
b/ Định lí Cosin trong tam giác:
Trong tam giác ABC có
(Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình
phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen
giữa)
c/ Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi
là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường

tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC. Khi đó ta có:
S
* Đối với phương pháp tọa độ trong không gian còn có
4. Công thức khoảng cách trong hình học không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz cho điểm M
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:
B- BÀI TẬP
IKHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta
thực hiện như sau:
Bước 1. Trong mặt phẳng hạ
Bước 2. Tính dựa vào các công thức đã học
Đặc biệt:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

+ Nếu tồn tại đường thẳng đi qua A và song song với thì
+ Nếu đường thẳng đi qua A và cắt tại I thì với mọi điểm B thuộc có:
Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,
SA = a, và . Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB.
a) Chứng minh rằng:

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM. Từ đó suy ra khoảng cách từ
S đến CM
Giải:
a) Trong tam giác SAC có I, O lần lượt là trung điểm của SC, AC nên
IO // SA
Mà nên
b) +/ Tính khoảng cách từ I tới CM
Gọi là trọng tâm
tam giác ABC
Trong tam giác ABC có
Gọi H là hình chiếu của I trên CM ta có:

+/ Tính khoảng cách từ S đến CM
Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và vuông tại C với AB = 2a, . Gọi
M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM.
a) Chứng minh rằng
b) Đặt AM = x với . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x.
Tìm x để khoảng cách từ S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất?
Giải
a) Có
Mà
Vì
b) Vì
Trong tam giác vuông SAH có
Trong tam giác vuông ABC có
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Trong tam giác vuông MBC có:

Thay AH và SA vào (1) ta được:
Từ (1) suy ra:
+/ SH lớn nhất khi và chỉ khi AH lớn nhất,
+/ SH nhỏ nhất khi và chỉ khi AH nhỏ nhất,
Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
đều tâm O cạnh a. Hình chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của
tam giác ABC. Cạnh CC’ hợp với mặt phẳng (ABC) một góc . Gọi I là trung
điểm của AB. Tính các khoảng cách:
a) Từ O đến CC’
b) Từ C đến IC’
c) Từ C đến A’B’
Giải
a) Trong tam giác C’OC kẻ

Vì nên CO là hình
chiếu vuông góc của CC’ trên mặt
phẳng (ABC) suy ra góc tạo bởi CC’
và (ABC) là góc

b)

c) Gọi I’ là trung điểm của A’B’

Trong tam giác CI’I có

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm. Trên đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy S sao cho SA = 4cm. Tính khoảng
cách từ S đến BC
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông đường cao AB = a,
BC = 2a, SA = a và
a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông
b) Tính độ dài AD
c) Gọi M thuộc đoạn thẳng SA sao cho AM = x, . Tính khoảng cách từ D đến
BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất
Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình
thoi tâm O, . Tính
a) Khoảng cách từ O đến SC
b) Khoảng cách từ D đến SB
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng ta
có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. (Tính trực tiếp) Xác định hình chiếu H của A trên
+Bước 1. Chọn trong một đường thẳng d rồi dựng mặt phẳng A qua vuông
góc với d (nên chọn d sao cho dễ dựng)

+Bước 2. Xác định giao tuyến
+Bước 3. Dựng
II-

Chú ý:
+ Trong bước 1 ta nên xem xét xem d và đã có sẵn trên hình vẽ chưa
+ Các trường hơp đặc biệt:
- Trong hình chóp đều thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy
- Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao hạ từ đỉnh
của hình chóp thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó
- Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên đó
- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc tạo bởi các cạnh bên với
đáy bằng nhau) thì chân đường cao thì chân đường cao là tâm đường tròn
ngoại tiếp đáy
Cách 2. (Tính gián tiếp) Đi tìm khoảng cách từ một điểm B khác A nào đó
đến (dễ tìm) rồi từ đó mới tính khoảng cách từ A đến
Ta thường sử dụng các kết quả sau:
+ Nếu có đường thẳng đi qua A và song song với thì
+ Nếu đi qua A và cắt tại I thì với mọi điểm B thuộc ta có

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Lưu ý: Đối với các bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì điểm
B thường xét là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng
đáy.
Cách 3. Sử dụng công thức thể tích
Lưu ý: Đối với phương pháp này ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh của khối chóp
để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn và hay sử dụng với khối chóp có
đáy là tam giác nhiều hơn.
Cách 4. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Khi trong hình có
sẵn hoặc dựng được ba đường thẳng phân biệt đôi một vuông góc)
ĐẶC BIỆT:
Đối với bài toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
và bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về bài
toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, ,
SA = a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)
b) I là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ I đến mp(SBC)
c) G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng
(SBC)
Giải
a) Cách 1. (Tính trực tiếp)

Trong (SAB) kẻ AH SB,
Có
Hay
Trong tam giác vuông SAB có SA = AB = a

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)

b) Vì nên

c) Gọi

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Ví dụ 2.2 Cho tam giác đều cạnh a, trên đường thẳng Ax (ABC) lấy điểm S
sao cho , K là trung điểm của BC
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
b) M là điểm đối xứng với A qua C và G là trọng tâm tam giác SCM. Tính
khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC)
Giải
a) Cách 1. (Tính trực tiếp)
Gọi K là trung điểm của BC
Mà
Trong mp(SAK) kẻ
Hay d(A,(SBC)) = AH
Trong tam giác đều ABC có AK =
Trong tam giác vuông SAK có:
Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
Gọi K là trung điểm của BC, có

b) Vì M đối xứng với A qua C nên

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a
mặt phẳng (SAC) là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy (ABC), M và N lần lượt là trung điểm của của SA, BC, biết góc
giữa MN và (ABC) bằng . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a
Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Gọi H là trung điểm của AC SH AC
Mà
Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên
HN BC. Lại có BC SH nên suy ra BC (SHN)
Trong mp(SHN) kẻ HJ SN,
Hay
Mànên
Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)
IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và mp(ABC)
là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc (gt)
Trong tam giác vuông ABC có AC =
Trong tam giác INC có:

Trong tam giác vuông MIN có:

Trong tam giác vuông SHN có:

Cách 2. ( Sử dụng công thức thể tích)
Gọi H là trung điểm của AC SH AC
Mà
Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)
IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và mp(ABC)
là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc (gt)
Trong tam giác vuông ABC có AC =
Trong tam giác INC có:

Trong tam giác vuông MIN có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Thể tích khối chóp S.ABC là
Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên
HN BC. Lại có BC SH nên suy ra BC SN
Trong tam giác vuông SHN có

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gọi H là trung điểm của AC SH AC
Mà

Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)
IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và mp(ABC)
là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc (gt)
Trong tam giác vuông ABC có AC =
Trong tam giác INC có:

Trong tam giác vuông MIN có:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm
H, tia Ox trùng với tia HB, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HS.
Khi đó ta có:

Suy ra mặt phẳng (SBC) có một vec tơ pháp tuyến là
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là:

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3a,
chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao
cho AB = 3AH, góc tạo bởi SC và (ABC) bằng . Tính khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (SBC)
Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1 (Tính gián tiếp)

Gọi I là trung điểm của BC
Trong tam giác ABC kẻ HE // AI
Mà
Trong tam giác SHE, kẻ
Vậy d(H,(SBC)) = HF

Trong tam giác đều ABC có:
Vì SH (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc tạo bởi hai đường thẳng
SC và HC bằng góc bằng (gt)
Trong tam giác AHC có
Trong tam giác vuông SHC có

Cách 2. (Dựa vào công thức thể tích)
Vì SH (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc tạo bởi hai đường thẳng
SC và bằng HC góc bằng (gt)
Trong tam giác AHC có
Trong tam giác vuông SHC có
Thể tích khối chóp S.ABC là:
Có

Ví dụ 2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I, cạnh a,
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng
(SAC)
Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Giải
a) Cách 1. (Tính trực tiếp)

Có
Trong
Hay
Trong tam giác vuông SAB có:

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Thể tích khối chóp S.ABC là:

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox
trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS( hình vẽ)
Khi đó ta có

Ta có:

Mặt phẳng (SBC) có vec tơ pháp
tuyến là
Phương trình mặt phẳng (SBC) là
Khoảng cách từ A đến mp(SBC) là

*Tính (Có thể tính theo 3 cách như câu a)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Ví dụ 2.6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo A
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Giải

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Gọi H là trung điểm của AB
Mà
Có
Gọi I là trung điểm của CD HI CD , mà CD SH nên CD (SHI)
Trong tam giác SHI kẻ HJ SI, J SI HJ CD HJ (SCD)
Hay d(H,(SCD)) = HJ d(A,(SCD)) = HJ

Cách 2. (sử dụng công thức thể tích)
Gọi H là trung điểm của AB
Mà

Gọi I là trung điểm của CD HI CD mà CD SH nên CD SI

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)

Gọi H là trung điểm của AB
Mà
Gọi I là trung điểm của CD
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia
Ox trùng với đoạn tia HB, tia Oy trùng với tia HI, tia OZ trùng với tia HS
Khi đó ta có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

mặt phẳng (SCD) có một vec tơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng (SCD) là:
Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD = 2a, SA = a, và SA (ABCD). Gọi M là trung điểm của CD. Tính khoảng
cách từ:
a) A đến mặt phẳng (SBD)
b) A đến mặt phẳng (SBM)
Giải

Cách 1. (Tính trực tiếp)
a) Trong tam giác ABD kẻ
mà, trong (SAH) kẻ
hay

b) Trong ABM kẻ AK BM, mà BM SA BM (SAK)

Trong SAK kẻ AF SK, BM AF AF (SBM)
Vậy
Trong ABM ta có:

Cách 2 (Sử dụng công thức thể tích)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

a) Thể tích khối chóp S.ABD là:

Ta có
Gọi I là trung điểm của SB

b) Diện tích tam giác ABM là:

Diện tích tam giác SBM là:

Cách 3 (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp S.ABCD sao cho gốc tọa độ trùng với
điểm A, tia Ox trùng với AB, tia Oy trùng với AD, tia Oz trùng với AS (như
hình vẽ)

Khi đó ta có:

a)
b)

Phương trình mp(SBD) là:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Phương trình mp(SBM) là:
Khoảng cách từ A đến (SBM) là:

Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA vuông góc
với đáy, , M là trung điểm của BC, . Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng
(SBC) theo a
Giải

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Vì
Hình thoi ABCD có mà AB = BC
ABC đều. M là trung điểm của BC AM BC mà BC SA
Trong tam giác vuông SAM gọi H là trung điểm của SM, vì nên SAM vuông
cân tại A

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Tam giác SAM có nên là tam giác vuông cân tại A

Có

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 3. ( Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Tam giác ABC có
M là trung điểm của BC nên
Mà SA (ABCD) nên AS, AM, AD đôi một vuông góc
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với A, tia
Ox trùng với tia AM, ta Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS
Tam giác SAM có nên là tam giác vuông cân tại A

Ví dụ 2.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a.
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) theo a
Giải

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Gọi I là giao điểm của AB và CD ta có:

Gọi E là trung điểm của AD
Tứ giác ABCE có: ABCE là hình vuông
CE = AE = a
Có
Trong mặt phẳng (SAC) kẻ AH SC
Khoảng cách từ A đến (SCD) là
Trong tam giác vuông SAC có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Thể tích khối chóp S.ABCD là
Thể tích khối chóp S.ABD là:
Thể tích khối chóp S.BCD là
Gọi E là trung điểm của AD
Tứ giác ABCE có: ABCE là hình vuông
CE = AE = a
Có hay tam giác SCD vuông tại C
Diện tích tam giác SCD là:

Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm
A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS. Khi

đó ta có:
Suy ra
Mặt phẳng (SCD) có một véc tơ pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng (SCD) là
Khoảng cách từ B đến mp(SCD) là:
Ví dụ 2.10 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc
giữa A’C và mặt đáy bằng . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)
theo a
Giải

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Cách 1. (Tính gián tiếp)
Gọi H là trung điểm của BC
Gọi E là trung điểm của AC
Gọi I là trung điểm của EC HI // BE HI EC
Mà EC A’H EC (A’HI)
Trong mặt phẳng (A’HI) kẻ HJ A’I, (J A’I) HJ EC
HJ (A’AC) d(H,(A’AC)) = HJ hay d(H,(ACC’A’)) = HJ

Vì A’H (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) suy ra
góc tạo bởi A’C và (ABC) là góc tạo bởi HC và A’C bằng góc

Trong tam giác vuông A’HI có:
Cách 2. (Sử dụng công thức thể tích)
Gọi H là trung điểm của BC
Vì A’H (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) suy ra
góc tạo bởi A’C và (ABC) là góc tạo bởi HC và A’C bằng góc

Gợi E là trung điểm của BC, I là trung điểm của EC
Mà AC A’H nên
Thể tích khối chóp A’.ABC là:
Cách 3. (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)
Gọi H là trung điểm của BC

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Vì A’H (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C trên (ABC) suy ra
góc tạo bởi A’C và (ABC) là góc tạo bởi HC và A’C bằng góc
Ta có HA’, HC, HA đôi một vuông góc nên gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình
lăng trụ sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia Ox trùng với tia HA, tia Oy
trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HA’
Khi đó ta có

Khoảng cách từ B đến mp (A’AC) bằng khoảng cách từ B đến (ACC’A’) là:
Ví dụ 2.11(Đại học 2009 khối D). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy

ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. M là trung điểm
của A’C’, I là giao điểm của AM với A’C. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (IBC)
Giải
Cách 1. (Tính trực tiếp)
Có
Trong A’AB kẻ AK A’B (K A’B)
AK BC mà
vì I A’C nên I (A’AC)
hay AK (IBC)
Khoảng cách từ A tới (IBC) là AK
Cách 2. (Dựa vào công thức thể tích)
Kẻ IH AC(H AC) IH (ABC)
Trong tam giác A’AC có AA’ AC, IH AC IH // AA’

Có hay tam giác A’BC vuông tại B

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.(ĐH 2014A)

Bài 2.(ĐH 2014B)

Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường
thẳng A’C và mặt đáy bằng . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’)
Bài 3.(CĐ 2014)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
60°
mặt đáy bằng
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính thể tích khối
chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SMN)
Bài 4.(ĐH 2013A)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều
cạnh a, mặt bên SBC vuông góc với đáy, tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Bài 5.(ĐH 2013B)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABCD và d(A,(SCD))
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Phương pháp chung: Để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a và b ta quy về bài toán tìm khoảng cách từ điểm tới đường thẳng hoặc từ
điểm tới mặt phẳng. Cụ thể
Cách 1. (Thường sử dụng khi a và b chéo nhau nhưng vuông góc)
Dựng mặt phẳng chứa đường thẳng b
và vuông góc với a, cắt a tại điểm A.
Từ A kẻ AH b, H b thì d(a, b)= AH
III-

Cách 2.
Dựng mặt phẳng chứa b và song song với a.

Khi đó d(a, b) = d(a, ) = d(A,

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Ví dụ 3.1 (Đại học 2010 khối A – Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau nhưng vuông góc) Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi
M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, H là giao điểm của CN
và DM, SH vuông góc với (ABCD), SH . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng DM và SC
Giải
Ta có
Mà
nên
hay
Có
Vì
nên
Trong tam giác kẻ , ( ) ta có
Hay = HI

Ví dụ 3.2 (Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau nhưng vuông góc)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
AB = AD = 2a, BC = 4a. Góc giữa SA và mặt phẳng đáy bằng . Hai mặt

phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng CD và SB
Giải
Gọi =
Có
AO là hình chiếu vuông góc của SA
trên mp(ABCD)

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

góc tạo bởi SA và mp(ABCD) là góc
tạo bởi hai đường thẳng SA và AO bằng
góc
Gọi E là trung điểm của BC
Ta có:
ADEB là hình vuông
Trong tam giác BCD có:
mà
Có
Trong tam giác kẻ ,
Gọi

suy ra

Ví dụ 3.3 (Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau nhưng không vuông góc)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD), AC = 2a, BD = 4a. Tính khoảng cách từ
AD đến SC
Giải
Có AD // BC, BC (SBC)
AD // (SBC)

Trong tam giác ABC kẻ HI BC, I BC
mà BC SH
Trong tam giác SHI kẻ HJ SI, J SI HJ BC mà BC SI = I
HJ (SBC) d(H, (SBC)) = HJ

Trong tam giác vuông SHI có:

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI

NĂM HỌC 2014 – 2015

Ví dụ 3.4 (Đại học 2011 A)-(Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
nhưng không vuông góc) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng đi qua SM
và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABC) bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN
Giải
Có

Có
góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AB và bằng góc (gt)
Từ giả thiết suy ra N là trung điểm của AC
Gọi là đường thẳng đi qua N và song song với AB
Trong tam giác SAI kẻ AJ SI, (J SI)
mà
Vì
Trong tam giác vuông có SA
Trong tam giác vuông có

Ví dụ 3.5 (Đại học 2008 D) – (Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
nhưng không vuông góc)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ = a, gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM và B’C theo a.
Giải
Gọi E là trung điểm của BB’
ME // B’C
Mà ME (AME), B’C (AME)
B’C // (AME)

Trong tam giác vuông ABM

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền

GV trường THPT Xuân Trường