Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.98 MB, 52 trang )
CHƯƠNG 1
1.1.1.
M
sai.
.
X
– sai
.
A, B
“A
A > B”, “A < B”, “A
ng
B
B”,
.
A > B”
A>B
).
trên ¡
1.1.2. Đ
¡
“<”
Q
“a
:
b-a
.K
a
b
a
a = b.
¡ .
“<”
c
A, B (
A < B, A
).
B, A > B, A
B
.
A
,B
- K33D SP
.
1
.
A B
C D
,
C D
A B
.
H
Nếu từ bất đẳng thức A B ta suy ra bất đẳng thức C D thì C D gọi là bất
đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức A B . Kí hiệu là A B
Nếu ta có
A B
C D
C D
A B
A B
tương đương với nhau. Kí hiệu là: A B
C D.
C D được gọi là
C D
1.2.
1.
A, B
A B 0
A B 0
A>B
A
B
2. A < B, C
A
D
A+C
A+C
3. A < B
mA < mB khi m > 0
mA > mB khi m < 0
4. A < B, C
D và A, B, C, D
A.C < B.D
n ¥*
An < Bn
5. A < B; A, B > 0
n
6. A < B và A, B
7. A
B, B
8. A
B
9.
A 1
x y
0
C
A
Ax
A< n B
1 1
A B
A C
B (
Ay ,
- K33D SP
0)
0
x
A 1
y
Ax
Ay
2
CHƯƠNG 2
2.1.
a
a
a ¡
a
a
a
a
a
a
a
0)
b
0)
a b
a
a, b ¡
b
2.2.
- GM)
Cho a1, a2 , ..., an
1.
.
a1 + a2 + ... + an
n
na
1
:
a2 ... an .
a1 a2 = ... = an .
2.
2.3.
- Schawrt)
b1 , b2 , ..., bn
a1, a2 , ..., an
1. ( a 21
:
a 2 2 ... a 2 n )( b21 b2 2 ... b2 n )
a1
b1
2.
( a1b1
a2
b2
... an bn )2.
a2b2
...
an
.(
bn
b1
b2
a j = 0).
bj
2.4.
Chebyshew
a1
(a1
a2
... an )(b1
b2
a2
... bn )
a1
- K33D SP
a2
... an
n(a1b1
... an
a2b2
b1
... bn
... anbn ) .
b2
... bn .
3
Đôi khi
:
a1
C
b1
b2
a2
... an
... bn .
:
(a1
a2
... an )(b1
b2
... bn )
n(a1b1 ... anbn ) .
2.5.
2.5.1.
*
.
)?
a, b .
f ( x)
y=
:
f
Nếu
x1
x2
x1 , x2
f x1
f ( x)
a, b ,
,
0
1
f x2
f ( x) là hàm lồi thì f ( x) là hàm lõm.
Định lí
Giả sử f ( x) có
hai trong khoảng mở a, b . Khi đó, điều kiện cần
và đủ của tính lồi của f ( x) trong khoảng đó là bất đẳng thức: f ( x) .
2.5.2.
Cho
b
f ( x)
x1 , x2 ,...xn
a, b .
n
i
0, i 1, n
i 1
n
i
1
,
: f(
i 1
n
i xi )
n
Khi f ( x)
a, b thì f (
i 1
- K33D SP
( a, b)
i
i 1
f ( xi ) .
n
i xi )
i 1
i
f ( xi ) .
4
CHƯƠNG 3
3.1.
3.1.1.
A
B,
A
B
.
1
Ch
m2 + n2 + p2 + q2 + 1
m(n+ p+ q+ 1) .
Lời giải
:
m2
n2
p2
q 2 1 mn mp mq m
1 2
1 2
1 2
1 2
m mn n 2
m mp p 2
m mq q 2
m m 1
4
4
4
4
2
2
2
2
1
1
1
1
m n
m p
m q
m 1
0
m, n, p, q.
2
2
2
2
.
2
a
b
(a+ b+ c) 2
c
9bc.
Lời giải
a
2b c
2
b
a b c
2
2b c
2
, ta
9bc .
2b c
2
9bc
4b 2
- K33D SP
4bc c 2
9bc
5
4b 2
5bc c 2
b 4b c
b
c
b c
4b c
4b 2
bc 4bc c 2
c 4b c
b c 4b c .
0
2b b b c
2b a b c (do b
b a c
2b c
2
9bc
0
2
2b c
a ).
0 nên 4b c
0.
ta suy ra
9bc .
.
Đ
,
c
.
3
rằng
x
sinx
>
x
,
2
x2
.
2
+ x2
Lời giải
sin x
x
y
x
2
2
x2
x2
2
sin x
0 suy ra x
2
sin x
sin y
2
x2
x.
x2
2
y
x2
x
x2
y
y
x2
x2
sin x
2
2
2
2
sin y
y2 2 y
y2 2 y 2
sin y
y3 3 y 2 2 2 y
y2 2 y 2 2
- K33D SP
2
2
2
x
y
y
6
sin y
y
y2
2 y 2
y2
0
2
y
0 (do sin y
y
y
0)
.
b
dàng
.
x, y, z
1.
a. x 2
y2
z2
xy
b. x 2
y2
z2
3 2( x
2. Cho x
y
z
yz
:
zx
y
z)
x2 y
g minh rằng
z
0
3.1.2.
y2 z
x
z2 x
y
x2
y2
z2 .
.
X
,
tương đương với
được chứng minh đúng.
1
0
y
x
y
1 1 1
+ + x+ z
x z
y
z
1 1
+
x z
x+ z
(1)
Lời giải
(1)
x
x z
y
xz
z
y
xz
x z
1
y
1
y
x z
xz
- K33D SP
x z
2
1
xz
0
0
7
x
y2
xz xy
xyz
x
z
x
z
y y
z
y
x
x
y
yz
0
z x
z
y
0
0
xyz
0
0)
x
y
z)
.
2
Cho ab
1
1
+
2
1+ a 1+ b2
1
2
.
1+ ab
Lời giải
Ta có
1
1 a2
1
1 b2
2
1 ab
1
1
2
1 a 1 ab
ab a 2
(1 a 2 )(1 ab)
1
1
0
2
1 b 1 ab
ab b 2
0
(1 b 2 )(1 ab)
a(b a)
(1 a 2 )(1 ab)
b( a b)
(1 b2 )(1 ab)
(b a) a(1 b 2 ) b(1 a 2 )
(1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
(b a) 2 (ab 1)
(1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
vì ab 1
0
0
0
iều phải chứng minh.
3
, b ta luôn
a+ b
1+ a+ b
a+ b
.
1+ a + b
Lời giải
- K33D SP
8
a b
1 a b
:
a
1
a b (1
b
a
a
b
b)
a b
a b a
a b
a
(a
b )(1
a b b
a b)
a
b
a b a
a b b
b
Đây
điều phải
chứng minh.
4
C khô
C
(1+ sin2 A)(1+ sin2 B)(1+ sin2C) > 4
Lời giải
Ta
sinAsinB
sinAsinB – cosAcosB =
cos(A+B) = cosC
ABC
ta có: sinBsinC
cosA, sinAsinC
)
cosB.
(1 sin 2 A)(1 sin 2 B)(1 sin 2 C )
= 1 + sin2A + sin2B + sin2C + sin2A sin2B + sin2B sin2C + sin2C sin2A
+ sin2A sin2B sin2C
1 + sin2A + sin2B + sin2C + cos2A+ cos2B+ cos2C + sin2A sin2B sin2C >4
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
BsinC
cosA
điều phải chứng minh.
- K33D SP
9
1.
.
2.
.
rằng:
1. Cho a, b, c b
a. a2 + b2 + c2 ab bc
ca
b. (ab+bc+ca)2 3abc(a b c)
2. Cho x, y, z
0,1
2( x3
3. Ch
ABC.
rằng:
y3
z 3 ) ( x2 y
y2 z
z 2 x) 3 .
a. sin2A + sin2B + sin2C 2 3 sinA sinB sinC
b. cos A + cos B + cos C > 1
c.
sin A sin B sin C
cos A cos B cos C
2
3.1.3.
1
)
Cho a1 ,a2 , ..., an
dương sao cho
1
1
...
2
1
a1
2
,...,
n
1.
n
2
,
a2
...
n
an
a1 a2 ...an .
1
n
2
Lời giải
1
,
2
,...,
n
1
...
2
n
1
):
1
p1
,
N
- K33D SP
2
p2
,
N
3
p3
N
10
p1 , p2 ,..., pn , N
trong
p1
p1
p2
a1 , p2
...
pn
a2 ,..., pn
N.
an ,
:
a1 ... a1 a2 ... a2 ... an ... an
1 4 2 43 1 4 2 43
1 4 2 43
p1 laà
n
p2 laà
n
p1
p1
a1
N
a
1 1
a2
...
p
p1
N
p2
N
a1 1a2
2 ...a
pn
an
N
n
an
p
a1 1 .a2 2 ...an pn
p2 ... pn
p2
a2 ...
N
2
pn laà
n
a1 . a2 ...an
pn
N
n
n
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
a1 a2 = ... = an .
. Ta
đưa ra
.
2
Cho a1 ,a2 ,...,an là các số dương.
a1 + a2 + ...+ an
1 1
1
+ + ...+
a1 a2
an
n2 .
Lời g
:
a1 + a2 + ... + an
n
1
a1
1
a2
...
n
1
an
na
1
n
- K33D SP
a2 ... an ,
1
.
a1a2 ...an
(1)
(2)
11
(2)
suy ra điều phải chứng minh.
a1
a2
... an
1
a1
1
a2
...
hay a1
1
an
khi và chỉ khi
a2
... an .
.
3
)
Cho a
rằng 1+ a
1. Chứng minh
r
r
> 1+ ra .
Lời giải
Do r
m
n
1, nên r
m
ta
m, n ¥
m n.
1 ra
: n
m n
1,
:
1 ra
1 ra ... 1 ra
1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 43
114 2...43 1
m n soá
â
n soá
m
(Do r
1, a
1 ra
n
0 nên 1 ra 1 . V
m nra
). Nghĩa là
m
n
m
(1 ra) . Từ đó, ta suy ra 1 ra (1 ra)
1
hay 1 a
m
(1 ra) r . Vậy 1 a
r
n
m
1 ra .
.
- K33D SP
12
4
)
Cho a1 ,a2 ,...,an ; b1 , b2 ,...,bn
bi > 0
i = 1,2,...,n .
2
an2
a12 a2 2
+
+ ...+
b1 b2
bn
a1 + a2 + ...+ an
.
b1 + ...+ bn
Lời g
*
1
a
a1 a2
,
,..., n
b1 b2
bn
b1 , b2 ,..., bn
a12
b1
khi
an 2
...
bn
a2 2
b2
a12
b1
a2 2
b2
b1 b2 ... bn
a1 a2 ... an
2
2
an 2
...
bn
a1 1
.
b1 b1
*
:
a1 a2 ... an
.
b1 b2 ... bn
a2 1
.
b2 b2
khi và chỉ
an 1
a
hay 1
.
b1
bn bn
...
a2
b2
...
an
.
bn
2.
f x = x2 , f x
xi
ai
,
bi
ai
i
2 0.
n
, i 1, n , R
n
j 1
f ( x)
ng
i
0 i 1, n
1
bj
f ( 1 x1 ...
( 1 x1 ...
n
n
xn )
xn )2
- K33D SP
1
f ( x1 ) ...
n
i
1 . Theo
f ( xn )
x 2 ... xn xn 2
1 1
13
1
2
n
j 1
a12
b1
bj
an 2
...
bn
x1
x2
1 ta
a1
n
a2
bj
... an
... bn
b1
...
xn hay
hai
a12
b1
b1
1
j 1
a2 2
b2
=”
2
a
... bn n
bn
a
b1 1
b1
an
bn
a1
b1
.
an 2
... bn
bn
2
an
bn
...
2 ta
f x .C
5 (B
n = 3)
a
b
c
+
+
b+ c c+ a a+ b
Cho a, b, c
3
.
2
Lời giải
*
1.
Cauchy
a
b c
1
b
c a
1
2(a b c)
b c
1
c
1
9
2
a b
1
1
c a a b
(b c) (c a) ( a b)
9
1
1
1
b c
c a
a b
9
n = 3.
b c
- K33D SP
c a
a b
a
b
c.
14
*
2.
a
b c
b
,
c a
c
,
a(b c),
a b
a
b
c
b c
c a
a b
a
b
c
b c
c a
a b
ab ac bc ab ca bc
:
(a b c) 2
2
2
2 a b c
2(a 2 b 2
( a b) 2
(1)
3
.
2
2
(2)
6ab 6ac 6bc
c 2 ) 2ab 2ac 2bc 0
(a c) 2 (b c) 2
.
a
*
c ( a b)
a b c
2ab 2ac 2bc
a b c
2ab 2ac 2bc
(2)
b(c a),
b
0
(3)
(1), (2) suy ra điều phải chứng minh.
c.
3.
a
b c
c a
a b
b
c.
a
b
c
b c
c a
a b
a, b ,c >0 nên suy ra
.
số
a
b
c
b c
c a
a b
a
b
c
b c
c a
a b
nghĩa là
a
b
c
b c
a c
b a
(b c c a a b) 3(a b c)
hoặc b c
- K33D SP
3
. D
2
c a
khi và chỉ khi hoặc
a b hay a b c .
15
với n
.
6
a1 ,a2 ,...,an sao cho a1 a2 ...an
Cho n
a1m + a2m + ...+ anm
m
1.
a1m+ 1 + a2m+ 1 ...+ anm+ 1 .
Lời g
0 a1
0 a1m
a2m
a3m
a2
a3
... an
... anm .
(1)
a1 1 a2 1 ... an 1
a1m a1 1
1 m
a
n 1
a1 1
a2m a2 1
... anm
...
... anm a1 1
a1 1
an 1
(3) suy ra a1m a1 1
a2m
... anm
a1m
...
an 1 .
a1 ... an
Th
hay a1m
(2)
(3)
n.
a1 ... an
n n a1a2 ...an
a2m a2 1
... anm a1 1
1
a2m + 1... anm
ra khi và chỉ khi a1
1
a2
n.
0
.
... an .
7
ABC
: a.
b.
- K33D SP
1
+
1
A
B
cos
cos
2
2
+
1
C
cos
2
sinA+ sinB+ sinC
2 3
3 3
.
2
16
Lời giải
f ( x)
a.
1
cos x
2sin 2 x cos 2 x
cos 4 x
f ( x)
1
1
1
A
cos
2
B
cos
2
C
cos
2
“=”
;
A
cos
2
0 x
A
cos 2
f ( x)
B
2
3
1
B
cos
2
;
2
C
2
0;
3
cos 30
3
3
2
.
2
2 3.
.
.
1
cos x
1
f x
C
cos
2
sin x 0 x
sin x
suy ra
cos x
f ( x)
vậy f x
2
ABC
f ( x) sin x (0
b.
0,
x
3
f ( x)
1
0
0;
.
x
) c
f ( x) cos x nên ta suy ra
. Vậy f x
0;
.
:
=”
sin A sin B sin C 3sin
A B C
3
ABC
.
- K33D SP
3sin
3
3 3
2
17
.
trên
.
Các bất đẳng thức cơ bản
khá phổ biến
.
T
.
VẬN DỤNG
1.
n=4)
Cho a, b, c, d > 0
:
a
b
c
d
b c
c d
a d
a b
2. Cho a, b, c
:
a. (1 a3 )(1 b3 )(1 c3 )
b.
c.
(1 ab2 )(1 bc2 )(1 ca2 )
3
(1 a)(1 b)(1 c) 1
a
3
1
b3 abc
3
abc
1
b
3
c
3
abc
x1 , x2 ,..., xn
3.
1
1 x1k
2
1
1 x2k
x1k
1
ABC
4.
a. cos A.cos B.cos C
xi
1
1 xnk
...
x2k
c
1
a 3 abc
3
1
1
abc
1 i 1, n và k
¢, k
2
...
1
.
xn
1.
... xnk
1
(n 1)
1
x1
1
x2
:
1
8
- K33D SP
18
b. sin A.sin B.sin C
c.
B
3 3
8
1
1
1
A
sin
2
B
sin
2
C
sin
2
6
5.
1
1
2
n
i
1 , ta luôn có
i 1
2
2
,...,
(n
n
2)
n
.
2n 1
n
...
,
i
3.1.4.
n
no
1.
n
no .
2.
n
k
:
no (thay n = k
).
n
3.
k 1 (thay n = k
).
n
no .
khi n
¥ *.
1
n
1,n ¥
1+
1
1
1
+
+ ...+
2
3
n
2 n+ 1 - 2 .
Lời g
o
n=
: 1 2 2
2
3 2 2 (
n=k
o
1
1
2
1
...
3
- K33D SP
).
:
1
k
2 k 1 2
19
1
2
1
o
1
1
2
1
...
3
1
...
3
1
k 1
1
k 1
2 k
2 2
1
2
1
...
3
1
k
1
1
k 1
(2)
k 1(2 k 1 2) 1
2 k
k 1(2 k
2(k 1) 2 k 1 1 2 k 1 k
(k 1) (k
( k 1
2) 2 k 1 k
2) 2
k
2
1
k 1
1
k 1
2 k 1 2
2 k 1 2
(1)
2 2
(2)
2 2)
2
2 k 1
0
0
(3)
n = k +1.
n 1.
2
Cho
rằng a2n + b2n
c2n
(n
1, n ¥ ) .
Lời g
a2
n = 1, the
o
.
b2
n =1.
a2k
n = k , nghĩa
o
o
a2k
n = k + 1 ta c
:
c2
c2k
2
c 2 .c 2 k
c2k
2
a2k
2
(a 2
b2 k
2
- K33D SP
2
b2 k
2
b 2 )(a 2 k
b2 k )
a 2b 2 k
a 2 k b2
b2 k
c2k .
c2k 2 .
a2k
2
b2 k
2
20
n 1.
n = k + 1. Do
3
rằng
a+ a+ a+ ...+ a <
1 4 4 44 2 4 4 4 43
n daá
u caê
n
1+ 4a+ 1
2
a
0.
Lời giải
a
n=
o
1
4a 1
2
2 a 1
4a 1
4a 1 4a 1 2 4a 1
0 2 2 4a 1
: xn
o
)
a
a
a ...
a .
1 4 4 44 2 4 4 4 43
n = k
n daá
u căn
nghĩa
xk
xk
2
1
1
4a 1
.
2
a
xk
a
1
xk
1
4a 1
2
a
xk nên
2a 1
4a 1
2
2
xk
2
1
4a 2 2 4 a 1
4
1
4a 1
2
xk
1
1
4a 1
2
điều phải chứng minh.
Theo nguyên lý quy
4
¥
, n
x1 ,...,xn , y1 ,..., yn
0; 1
(1- x1 ...xn )m + (1- y1m )...(1- ynm )
xi + yi = 1
i = 1,n
1.
Lời giải
n ¥
- K33D SP
21
n=1
o
(1 x1 )m
(1 y1m )
y1m
(1 y1m ) 1
o Gi
n–1
o
n.
: (1 x1 ...xn )m
(1 y1m )...(1 yn m )
(1 x1...xn 1 (1 yn )) m
x1...xn 1 yn ) m
(1 x1...xn 1
(a (1 a) yn )m
(a b ab)m
(1 y1m )...(1 yn 1m )(1 yn m )
(1 (1 x1...xn 1 ) m )(1 ynm )
(1 a m )(1 yn m )
(1 a m )(1 bm )
¥
m
(a b ab)m
am
bm
a = 1 x1 ...xn 1
yn .
0;1
a mbm
m
o
a, b
b
.
m–
o
(a b ab)m 1
a m 1 bm 1
a m 1bm 1
m.
o
(a b ab)m
am
bm
:
a mb m
(a m 1 bm 1 a m 1bm 1 )(a b ab) a m b m
2a m b m
ab m 1 ba m 1
a mb m 1 b m a m 1
a m (bm
bm 1 ) a(bm 1 bm ) bm (a m
a mb m
a mb b m a
a m 1 ) b(a m 1 a m )
(bm 1 bm )(a a m ) (a m 1 a m )(b bm ) 0
a
am 1
a m , b bm 1
bm
m
(1 x1 ...xn )m
(1 y1m )...(1 yn m )
am
bm
a mbm
¥.
(1 am )(1 bm ) = 1
điều phải chứng minh.
Theo nguyên lý
- K33D SP
22
VẬN DỤNG
1 . Cho xi
1, i 1, n .
1
1
1 x1
1 x2
1
1 xn
...
1
n
1
.
x1 x2 ...xn
n
k = 1,n
2.
k
3. Cho n
4. Cho n
h1
.
¥,n
2
2
3
3
2
n k
( 1) k
C
2
11 k
2n
1
23
4
1
23
0.
1
23
...
4
...
3
n 1
5
.
4
n 1
n
n 1.
3.1.5.
đó
Khi c
điều ngược lại
đã biết, hoặc chỉ ra
, ta
.
1
Cho 0 < a, b, c < 1.
a(1- b) >
1
1
; b(1- c) > ;
4
4
c(1- a) >
1
.
4
Lời g
:
a(1 a)b(1 b)c(1 c)
a(1 a)
1
64
a a
2
(1)
1
4
- K33D SP
1
a a2
4
1
4
a
1
2
2
1
4
23
b(1 b)
1
4
;
1
.
4
c(1 c)
Do 0 < a, b, c < 1 nên a(1 a)
0, b(1 b) 0, c(1 c) 0
1
64
a(1 a)b(1 b)c(1 c)
(2)
(
cho là sai.
2
a
a(a2 - 3ab- c2 )
b
b(b2 - 3ab- c2 ) .
Lời g
:
a
a, b, c
a( a 2
b,
3ab c 2 ) b(b2
ba
3ab c 2 ) .
.
a( a 2
,t
3ab c 2 ) b(b2
a(a 2
b3
a3
3ab c 2 )
3ab c 2 ) b(b 2
3a 2 b 3ab2
c 2 ( a b) ( a b) 3
( a b) c 2
( a b) 2
3ab c 2 )
ac 2
b c a
b
a, b, c
0
0
0
(a b)(c a b)(c a b)
a
bc 2
0
0
c a b
ba
0
điều phải chứng minh.
0
khá nhiều khi ch
đó
mi
.
- K33D SP
24
VẬN DỤNG
1. Cho a, b, c, d
0
:
a b
c d , (a b)(c d )
2. Cho x, y, z
0
ab cd và (a b)cd
xyz 1
x
x, y, z
(c d ) ab.
y
1
x
z
1
y
1
z
1.
3.
2
a
2
b
2
b c
; b2
2
2
c
2
c a
; c2
2
2
a
2
a b
.
2
PHƯƠ
3.2.
3.2.1. Phươn
:
1.
A, B
AB
.
2.
,t
3.
.
M
M
M x
.
4.
.
1
Cho 2n
a1 ,a2 ,...,an ; b1 ,b2 ,...,bn .
a12 + b12 + a2 2 + b2 2 + ...+ an 2 + bn 2
.
2
(a1 + a2 + ...+ an ) + (b1 + b2 + ...+ bn )
- K33D SP
2
25
