Tính lồi và vấn đề cực trị

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

BÙI NGỌC MƯỜI

TÍNH LỒI VÀ VẤN ĐỀ CỰC TRỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2011


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của khóa luận em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng. Thầy đã giao đề tài và tận tình
hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân dịp này
em xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại
khoa.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Bùi Ngọc Mười

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Khóa luận là công trình nghiên cứu của
riêng tôi. Trong khi nghiên cứu khóa luận này, tôi đã kế thừa thành quả
của các nhà khoa học và của các thầy cô với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Bùi Ngọc Mười

3


4


Mục lục
Chương 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1. Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Phương pháp phạt và các ràng buộc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3. Trên đồ thị và tính nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Sự tồn tại của giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5. Tính liên tục, bao đóng và độ tăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.6. Sự phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7. Bao Moreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.8. Phép cộng trên đồ thị và phép nhân trên đồ thị . . . . . . . .

31

Chương 2. Tính lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.1. Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2. Các tập mức và các phần giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3. Tiêu chuẩn kiểm tra tính lồi bằng đạo hàm . . . . . . . . . . .

44

2.4. Tính lồi trong các phép toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5


2.5. Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.6. Bao đóng và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu theo một nghĩa nào đó luôn là xu hướng tất yếu của tự
nhiên. Việc nghiên cứu các quá trình tối ưu là nhiệm vụ thường trực của

con người nhằm thỏa mãn và nâng cao hiệu quả của hoạt động sống.
Trong toán học, bài toán tối ưu hóa và các vấn đề liên quan đã và đang
thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới.
Giải tích biến phân là môn học tập chung nghiên cứu các vấn đề liên
quan tới "Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" của các hàm, các phiếm
hàm. Chúng ta đã biết, đối với các hàm khả vi theo nghĩa cổ điển, có
một kết quả quan trọng đó là định lý Weirstrass nói rằng: Mọi hàm liên
tục trên một tập compact đều đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
đó. Vấn đề đặt ra là với tập không có tính compact hoặc hàm không nhất
thiết liên tục thì sao ?. Thực tế đã có rất nhiều kết quả sâu sắc về chủ đề
này. Một tính chất rất quan trọng của tập hợp cũng như của hàm số liên
quan đến hầu hết các kết quả của tối ưu đó là " tính lồi". Vì vậy em đã
chọn đề tài " Tính lồi và vấn đề cực trị" nhằm tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
tối ưu cũng như vai trò của tính lồi đối với các bài toán tối ưu.

2. Cấu trúc khóa luận
Nội dung khóa luận bao gồm hai chương:
Chương 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Chương 2: Tính lồi

7


3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn
về bài toán tối ưu và các vấn đề liên quan đến bài toán tối ưu. Các tính
chất có liên quan đến tính lồi và vai trò của tính lồi trong các bài toán tối
ưu. Các điều kiện để kiểm tra tính lồi của một tập hay một hàm số.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp.

8


Chương 1

Giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất
1.1.

Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1.1.1. Tập các giá trị thực mở rộng, kí hiệu R cho bởi công
thức

R := [−∞, +∞]

Định nghĩa 1.1.2 (Cận trên của một tập). A được gọi là cận trên của tập
M nếu ∀x ∈ M : x ≤ A
Định nghĩa 1.1.3 (Cận trên đúng). Ta gọi supM là cận trên đúng của M
nếu nó là cận trên bé nhất trong các cận trên của M.
Định nghĩa 1.1.4 (Cận dưới của một tập). Ta gọi A là cận dưới của tập
M nếu ∀x ∈ M : x ≥ A
9


Định nghĩa 1.1.5 (Cận dưới đúng). Ta kí hiệu infM là cận dưới đúng của
tập M nếu nó là cận dưới lớn nhất trong các cận dưới của M.
Định nghĩa 1.1.6 (Cận trên đúng và cận dưới đúng của một hàm). Cận
trên đúng và cận dưới đúng của một hàm trên C kí hiệu bởi infC f và

supC f cho bởi:
infC f := infx∈C f (x) := inf { f (x) |x ∈ C}
supC f := supx∈C f (x) := sup { f (x) |x ∈ C}
Khi cận trên đúng( cận dưới đúng) của tập M thuộc M thì ta gọi chúng
là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của tập M. Kí hiệu: maxM và minM.
Ta kí hiệu : Tập tất cả các giá trị của x sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất tại đó là argmin f và argmax f .
argminC f :=argminx∈C


 {x ∈ C| f (x) = infC f } nếu infC f = ∞
:=

 ∅ nếu infC f = ∞
argmaxC f :=argmaxx∈C f (x)


 {x ∈ C| f (x) = sup f } nếu sup f = −∞
C
C
:=

 ∅ nếu sup f = −∞
C
Định nghĩa 1.1.7 (Miền hữu hiệu của một hàm). Kí hiệu dom f là miền
hữu hiệu của hàm f : Rn → R là tập hợp xác định bởi
dom f := {x ∈ Rn | f (x) < ∞}.
Định nghĩa 1.1.8 (Hàm chính thường). Hàm f được gọi là chính thường
nếu f (x) < ∞ tại ít nhất một điểm và f (x) > −∞, ∀x ∈ Rn . Nói cách
khác là f có dom f là tập không rỗng và trên dom f thì f hữu hạn.

10


1.2.

Phương pháp phạt và các ràng buộc

Trong mục này ta giới thiệu phương pháp đưa bài toán cực tiểu hóa
một hàm f trên một tập C con của Rn về bài toán cực tiểu hóa hàm f trên
toàn Rn . Một trong những cách đơn giản là ta đặt f (x) = ∞ nếu x ∈
/ C.
Ví dụ 1.2.1 (Ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức). Một tập C ⊂ R
bao gồm các vecto x = (x1 , .., xn ) thỏa mãn


 fi (x) ≤ 0 nếu i ∈ I1
x ∈ X và

 fi (x) = 0 nếu i ∈ I1
trong đó X là tập con của Rn và I1 , I2 là các tập chỉ số của các hàm ràng
buộc fi : Rn → R. Các điều kiện fi (x) ≤ 0 được gọi là các ràng buộc bất
đẳng thức, còn các điều kiện fi (x) = 0 được gọi là các ràng buộc đẳng
thức. Điều kiện x ∈ X là một ràng buộc trừu tượng hoặc một ràng buộc
hình học nào đó ( chẳng hạn X có thể là toàn Rn ).

Bài toán cực tiểu hóa hàm f0 : Rn → R đối với tất cả các ràng buộc
đó được đồng nhất với bài toán cực tiểu hóa hàm f : R → R xác định bởi:


 f0 (x) nếu x thỏa mãn mọi ràng buộc

f (x) =

 +∞ nếu trái lại
Chú ý, có thể inf f = +∞ khi C = ∅( tức là các ràng buộc không phù
hợp).
Ràng buộc hình học x ∈ X thường là những ràng buộc có thể dễ hình
dung về mặt hình học nhưng rắc rối trong mô tả bởi các điều kiện.
11


Ví dụ 1.2.2 (Ràng buộc hộp). Một tập X ⊂ Rn được gọi là một hộp nếu
X = X1 × X2 × .. × Xn với Xi ⊂ R là các khoảng đóng với mọi i = 1..n (có
thể không bị chặn). Khi đó ràng buộc hộp x ∈ X thường đưa về các ràng
buộc đối với từng thành phần xi của x. Chẳng hạn, là các điều kiện không
âm
Rn+ := x = (x1 , .., xn )|x j ≥ 0, ∀ j = [0, ∞)n
là một hộp trong Rn .
Ví dụ 1.2.3 (Hàm phạt và hàm chắn). Thay vì đưa ra các ràng buộc trực
tiếp fi (x) ≤ 0 hoặc fi (x) = 0 ta có thể cộng vào hàm xét cực tiểu hóa số
hạng θi ( fi (x)), trong đó θi : R → R xác định bởi


 0 nếu t ≤ 0
θi (t) =

 dương, nếu t = fi (x) vi phạm các ràng buộc
khi đó θi được gọi là một hàm phạt đối với fi , và bài toán cực tiểu hóa
hàm f0 thỏa mãn các ràng buộc f1 (x), .., fm (x) có thể viết thành:
Cực tiểu hóa hàm: f0 (x) + θ1 ( f1 (x)) + .. + θm ( fm (x)) x ∈ X
Một loại hàm θi khác, gọi là hàm chắn xác định bởi:

θi (t) = ∞ với t ≥ 0, và θi (t) → ∞ khi t → 0− .
Khi sử dụng, hàm phạt thay cho một ràng buộc chẳng hạn fi (x) ≤ 0
Một số hàm phạt θi ( fi (x)) thường được sử dụng như:
• Hàm θi (x) = λt+ , trong đó t+ = max {0,t} và λ > 0 được gọi là
phạt tuyến tính.
12


2 được gọi là phạt toàn phương.
• Hàm θi (x) = 21 λt+


 0 khi t ≤ 0
• Hàm phạt θi (t) =

 ∞ khi t > 0

Định nghĩa 1.2.1 (Hàm chỉ số của một tập). Cho tập C ⊂ Rn , hàm chỉ
số δC của tập C có dạng

δC (x) =



 0 nếu x ∈ C

 ∞ nếu x ∈
/C

Với bài toán cực tiểu hóa hàm f có dạng f (x) = f0 (x) nếu x ∈ C nhưng

f (x) = ∞ nếu x ∈
/ C có thể viết lại dưới dạng f = f0 + δC . Một ví dụ khác
là: điều kiện mà x¯ là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán cực tiểu hóa
hàm f có thể biểu diễn dưới dạng x¯ ∈ argmin( f + δV ) với mọi V ⊂ N (x),
¯
trong đó N (x)
¯ là kí hiệu một lân cận của điểm x.
¯

1.3.

Trên đồ thị và tính nửa liên tục

Định nghĩa 1.3.1 (Trên đồ thị của một hàm). Cho hàm f : Rn → R. Trên
đồ thị của f là tập:
epi f := {(x, α) ∈ Rn × R|α ≥ f (x)} .
Như vậy, trên đồ thị bao gồm tất cả các điểm của Rn+1 nằm trong
hoặc trên đồ thị của hàm f .
Ảnh của epi f qua phép chiếu (x, α) → x là dom f . Các điểm mà f (x) = ∞
có tính chất đường thẳng đứng (x.R) := {x}×R không giao với epi f . Các
13


điểm mà f (x) = −∞ có tính chất đường thẳng đứng như trên nằm hoàn
toàn trong epi f . Vì sự tương ứng giữa hàm f và trên đồ thị của nó là
một-một nên mỗi tính chất của hàm f đều có một tính chất tương ứng
của epi f .
Định nghĩa 1.3.2 (Các tập mức). Cho hàm f : Rn → R. Các tập mức của
hàm f là các tập cho bởi:
lev≤α f := {x ∈ Rn | f (x) ≤ α},

lev<α f := {x ∈ Rn | f (x) < α},
lev=α f := {x ∈ Rn | f (x) = α},
lev>α f := {x ∈ Rn | f (x) > α},
lev≥α f := {x ∈ Rn | f (x) ≥ α} .
Tập mức quan trọng nhất trong nghiên cứu tối ưu là tập mức dưới
lev≤α f .
Với α hữu hạn, lev≤α chính là phần thiết diện dưới khi cắt epi f bởi siêu
phẳng α. Chẳng hạn khi α = inf f ta có lev≤α f = lev=α f = argmin f .

Hình 1-4. Trên đồ thị và miền hữu hạn của hàm nhận giá trị thực mở rộng
14


Định nghĩa 1.3.3 (Giới hạn dưới và tính nửa liên tục dưới). Giới hạn
dưới của hàm f : Rn → R tại x¯ là giá trị
lim inf f (x) := lim infx∈B(x,δ
¯ ) f (x)
x→x¯

δ →0+

= supδ >0 infx∈B(x,δ
¯ ) f (x) = supV ∈N(x)
¯ [infx∈V f (x)] .
(1.1)
Hàm f : Rn → R là nửa liên tục dưới (lsc) tại x¯ nếu
lim inf f (x) ≥ f (x)
¯ hoặc tương đương với lim inf f (x) = f (x)
¯ . (1.2)
x→x¯

x→x¯

Hàm f gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi điểm
x¯ ∈ Rn .
Hai điều kiện trong 1.2 là tương đương với nhau vì
inf { f (x) |x ∈ B (x,
¯ δ )} ≤ f (x)
¯ , ∀δ > 0
nên ta luôn có
lim inf f (x) ≤ f (x)
¯ .
x→x¯

(1.3)

Nếu ta sử dụng công thức thứ hai trong định nghĩa limin f tức là thay
vì lấy giới hạn khi δ → 0+ ta lấy sup ở bên trái thì ta đã sử dụng tính chất
infx∈X1 f (x) ≤ infx∈X2 f (x) khi X1 ⊃ X2 .
Định lý 1.1 (Các đặc trưng của tính nửa liên tục dưới). Cho hàm
¯ Các mệnh đề sau tương đương
f : Rn → R.
(a) f là hàm nửa liên tục dưới trên Rn ,
(b) Trên đồ thị của tập epi f là đóng trong Rn × R,
15


(c) Các tập mức lev≤α f đóng trong Rn .
Để chứng minh định lý trên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1.1 (Tính chất của giới hạn dưới).

lim inf f (x) = min α ∈ R|∃xv → x¯ : f (xv ) → α
x→x¯

( Với dãy hằng xv = x¯ ta sẽ có α = f (x)
¯ )
Chứng minh. Đặt α¯ = lim infx→x¯ f (x) f (x), ta giả sử xv → x¯ với f (xv ) →
¯
α và ta có α ≥ α.
Với δ > 0 bất kì ta luôn có xv nằm trong hình cầu B (x,
¯ δ ) và
f (xv ) ≥ inf { f (x) |x ∈ B (x,
¯ δ )}
lấy giới hạn theo v với δ cố định ta có α ≥ inf { f (x) |x ∈ B (x,
¯ δ )} với
¯
δ > 0 tùy ý, do đó α ≥ α.
Tiếp theo ta cần chứng minh sự tồn tại của xv → x¯ thỏa mãn f (xv ) → α¯
. Đặt α¯ v = inf { f (x) |x ∈ B (x,
¯ δ v )} với một dãy các giá trị δ v → 0+ . Từ
¯ Với mỗi v ta tìm được xv ∈
định nghĩa giới hạn dưới ta có α¯ v → α.
B (x,
¯ δ v ) mà f (x) → α¯ v . Ta có đoạn [α¯ v , α v ] trong đó α v được chọn sao
¯ Rõ ràng, xv → x và f (xv ) cũng hội tụ đến α¯ v
cho α v > α¯ v và α v → α.
¯
cũng chính là α.
Chứng minh Định lý 1.1.

(a) ⇒ (b):

Giả sử (xv , α v ) ∈ epi f và (xv , α v ) → (x,
¯ α) với α cố định. Ta có xv →
x¯ và α v → α với α v ≥ f (xv ) và ta cần chỉ ra rằng α ≥ f (x)
¯ , tương
đương với (x,
¯ α) ∈ epi f . Dãy { f (xv )} có ít nhất một điểm tụ β ∈ R. Ta
có thể giả sử ( có thể thay thế dãy {(xv , α v )}v≤N bởi một dãy con nếu
cần thiết) là f (xv ) → β . Trong trường hợp này α ≥ β nhưng cũng có
16


β ≥ lim infx→x¯ f (x) theo Bổ đề 1.1. Khi đó α ≥ f (x)
¯ do giả thiết tính
nửa liên tục dưới.
(b) ⇒ (c)
Khi epi f là tập đóng, do đó nó cũng là giao của [epi f ] (Rn , α) với α ∈
R . Phần giao trong Rn ×R này tương ứng về mặt hình học của tập lev≤α f
trong Rn , do đó nó là tập đóng. lev≤−∞ f = lev=−∞ f là giao của các tập
đóng trên R cũng là tập đóng. Khi đó lev≤∞ f là toàn bộ không gian Rn .
(c) ⇒ (a)
Với mỗi x¯ và đặt α¯ = lim x→x¯ f (x), để khẳng định hàm f là lsc tại x,
¯ ta
¯
cần chỉ ra rằng f (x)
¯ ≤ α.Với
chiều ngược lại của bất đẳng thức ta có
hoàn toàn tương tự. Trường hợp α¯ = ∞ là tầm thường, vì vậy ta giả sử
α¯ < ∞. Xét một dãy xv → x¯ với f (xv ) → α¯ như đã khẳng định trong Bổ
đề 1.1. Với mọi α > α¯ nó thỏa mãn f (xv ) ≤ α, hoặc nói cách khác x¯

thuộc lev≤α f khi xv → x,
¯ đây là tập mức đóng theo giả thiết phải chứa x.
¯
¯ Rõ ràng ta có f (x)
¯
Do đó ta có f (x)
¯ ≤ α, ∀α ≥ α.
¯ ≤ α.

Chú ý: khi áp dụng Định lý 1.1 với các hàm chỉ số. Nó đưa về trường
hợp mà δC là lsc khi và chỉ khi tập C là đóng. Tính nửa liên tục dưới của
một hàm thông thường f : Rn → R không cần dom f phải đóng mà chỉ
cần dom f bị chặn.

1.4. Sự tồn tại của giá trị nhỏ nhất
Ta đã biết rằng: Một hàm liên tục trên tập compact thì đạt giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất trên đó. Bây giờ với các tập không có tính compac
ta đi tìm điều kiện để một hàm đạt giá trị nhỏ nhất trên đó.
17


Định nghĩa 1.4.1 (Tính bị chặn mức). Hàm f : Rn → R là bị chặn mức
( dưới) nếu với mọi α ∈ R tập lev≤α f là bị chặn( có thể rỗng).
Định lý 1.2 (Sự tồn tại của giá trị nhỏ nhất). Giả sử f : Rn → R là hàm
nửa liên tục dưới , bị chặn mức và chính thường. Khi đó giá trị inf f là
hữu hạn và tập argmin f không rỗng và compact.
Chứng minh. Đặt α¯ = inf f . Vì f chính thường nên α¯ < ∞. Với α ∈
¯ ∞) tập lev≤α f không rỗng , nó đóng vì f là lsc (xem 1.1) và bị chặn
(α,
¯ ∞) cũng là tập compact và có

vì f là mức bị chặn. Tập lev≤α f với α ∈ (α,
lev≤α f ⊂ lev≤β f khi α < β . Giao của họ các tập mà lev≤α¯ f = argmin f
là không rỗng và compact. Vì f không nhận giá trị −∞ tại mọi điểm nên
ta cũng có α¯ hữu hạn. Trong một số trường hợp, inf f có thể được viết là
min f .
Hệ quả 1.4.1 (Các cận dưới). Nếu f : Rn → R là lsc và chính thường thì
nó bị chặn dưới (hữu hạn) trên mọi tập con bị chặn của Rn và đạt giá trị
nhỏ nhất trên mỗi tập con compact của Rn mà có giao với dom f khác
rỗng.
Giả thiết mang tính quyết định trong định lý trên là f vừa là lsc vừa
bị chặn mức thì nó là inf-compact, có nghĩa là tập lev≤α f với mọi α ∈ R
là tập compact. Tính chất này rất dễ sử dụng để đưa ra một tiêu chuẩn về
sự tồn tại của các nghiệm tối ưu, và nó có thể áp dụng cho nhiều bài toán
có hoặc không có các ràng buộc.
Ví dụ 1.4.1 (Tính bị chặn mức đối với trường hợp có ràng buộc). Xét
bài toán cực tiểu hóa một hàm liên tục f0 : Rn → R trên một tập không
rỗng, đóng C ⊂ Rn . Nếu mọi tập có dạng
18


{x ∈ C| f0 (x) ≤ α} với α ∈ Rn
là bị chặn, thì f0 đạt giá trị nhỏ nhất hữu hạn trên C và trên một tập con
không rỗng, compact con C.
Tiêu chuẩn này được thỏa mãn chẳng hạn khi C bị chặn hoặc f0 là bị
chặn mức. Trường hợp f0 là bị chặn mức bao gồm cả trường hợp tối ưu
không có ràng buộc, trong đó C = Rn .
Thật vậy: Bài toán trên tương ứng với bài toán cực tiểu hóa hàm
f = f0 + δC trên Rn . Ở đây f là chính thường bởi vì C = 0/ . Do f0 liên
tục nên các tập mức {x| f0 (x) ≤ α} đóng, do vậy từ tính đóng của C ta
suy ra C ∩ {x| f0 (x) ≤ α} là đóng. Theo Định lý 1.1, ta có f là lsc vì tập

mức dưới của nó C ∩ {x| f0 (x) ≤ α} là tập đóng. Theo giả thiết thì các
tập đó cũng bị chặn nên theo Định lý 1.2 ta có f đạt giá trị nhỏ nhất trên
C, trên một tập con khác rỗng, compact của C. Do đó f0 cũng vậy.

1.5. Tính liên tục, bao đóng và độ tăng
Định nghĩa 1.5.1 (Giới hạn trên và tính nửa liên tục trên). Giới hạn trên
của hàm f tại x¯ được cho bởi công thức:
lim sup f (x) : = lim supx∈B(x,δ
¯ ) f (x)
x→x¯

δ →0+

= infδ >0 supx∈B(x,δ
¯ [supx∈V f (x)]
¯ ) f (x) = infV ∈N(x)
(1.4)
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (usc) nếu giới hạn này bằng f (x).
¯
Tính nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc Rn tương ứng với tính đóng
19


của dưới đồ thị của f :
hypo f := {(x, α) ∈ Rn × R|α ≤ f (x)}

(1.5)

và tương ứng với tính đóng của các tập mức trên lev≥α f .
Tương tự như với giới hạn dưới ta cũng có công thức với giới hạn trên

lim supx→x¯ f (x) = max α ∈ R|∃xv → x¯ : f (xv ) → α .

Hình 1-7 Dưới đồ thị của một hàm.
Bài tập 1.1 (Tính liên tục của các hàm). Một hàm f : Rn → R là liên tục
khi và chỉ khi nó có đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới. Tức
là:
limx→x¯ f (x) = f (x)
¯ ⇔ lim infx→x¯ f (x) = lim supx→x¯ f (x)
Các giới hạn trên và dưới của f cũng dùng để mô tả bao đóng và phần
trong của epi f . Ta kí hiệu:
clC = bao đóng củaC = x| ∀V ∈ N (x) ,V

C = 0/ ,

intC = phần trong củaC = {x| ∃V ∈ N (x) ,V ⊂ C} ,
bdryC = biên củaC = clC \ intC.
20


Bài tập 1.2 (Bao đóng và phần trong của trên đồ thị). Cho một hàm tùy
ý f : Rn → R và một cặp phần tử x¯ ∈ Rn và α¯ ∈ R . Ta luôn có:

¯ ∈ cl (epi f ) ⇔ α¯ ≥ lim infx→x¯ f (x),
(a) (x,
¯ α)
¯ ∈ int (epi f ) ⇔ α¯ > lim supx→x¯ f (x)
(b) (x,
¯ α)
¯ ∈
¯ ∈ int (hypo f )

(c) (x,
¯ α)
/ cl (epi f ) ⇔ (x,
¯ α)
¯ ∈
¯ ∈ cl (hypo f ).
(d) (x,
¯ α)
/ int (epi f ) ⇔ (x,
¯ α)
Ta thấy rằng, nếu hàm f không nửa liên tục dưới, thì epi của nó không
đóng (xem 1.1), nhưng tập E := cl (epi f ) không chỉ đóng mà nó còn là
epi của một hàm khác. Hàm này là lsc và lớn nhất trong tất cả các hàm
lsc g thỏa mãn g ≤ f . Nó được gọi là chính quy hóa lsc hoặc đơn giản là
bao đóng dưới của hàm f . Kí hiệu là cl f , vậy ta có
epi (cl f ) := cl (epi f )

(1.6)

Các công thức trực tiếp của cl f theo f trong 1.2(a) như sau:
(cl f ) (x) = lim inf f x

(1.7)

x →x

và ta luôn có cl f ≤ f .
Tương tự ta cũng có định nghĩa chính quy hóa usc hay bao đóng trên của
f bằng cách lấy bao đóng của hypo f hoặc bằng cách lấy giới hạn trên của
hàm f tại mọi điểm x. Nếu cl f là kí hiệu của bao đóng dưới,thì −cl(− f )

là kí hiệu của bao đóng trên.
Giới hạn trên và dưới của hàm f tại vô cực được định nghĩa bởi:
lim inf f (x) := lim inf|x|≥r f (x) , lim sup f (x) := lim sup|x|≥r f (x) .
|x|→∞

r→+∞

|x|→∞

r→+∞

(1.8)
21


Bài tập 1.3 (Tính tăng). Cho hàm f : Rn → R và một phần tử p ∈ (0, ∞),
nếu f là lsc và f > −∞ thì ta có
lim inf|x|→∞

f (x)
|x| p

= sup {γ ∈ Rn |∃β ∈ R : f (x) ≥ γ |x| p + β ∀x}.

Nếu f là usc và f < ∞ thì ta có
lim sup|x|→∞

f (x)
|x| p

= in f {γ ∈ Rn |∃β ∈ R : f (x) ≤ γ |x| p + β ∀x} .

Chứng minh. Với phương trình đầu tiên ta kí hiệu "lim inf" bởi γ¯ và tập
¯
ở vế phải bởi Γ. Trước hết chứng minh rằng với mọi γ ∈ Γ ta có γ ≤ γ.
Tiếp theo, với mỗi giá trị hữu hạn γ < γ¯ bất đẳng thức f (x) ≥ γ |x| p đúng
với mọi x bên ngoài một tập bị chặn B . Áp dụng 1.4.1 đối với B, để
chứng minh rằng, bằng cách loại bỏ đi một số đủ lớn từ γ |x| p bất đẳng
thức trên sẽ thỏa mãn trên toàn bộ Rn . Điều này chứng tỏ γ ∈ Γ.

1.6.

Sự phụ thuộc tham số

Các chủ đề về biểu diễn các giá trị thực mở rộng , tính nửa liên tục và
bị chặn mức xuất hiện rất nhiều khi nghiên cứu các bài toán cực tiểu hóa
phụ thuộc tham số. Từ bài toán cực tiểu hóa với n biến có thể được đưa
về xét cực tiểu của một hàm duy nhất trên Rn miễn là giá trị vô hạn được
thừa nhận. Vì vậy một bài toán với n biến mà phụ thuộc vào m tham số
cũng có thể được đưa về cực tiểu của một hàm duy nhất f : Rn ×Rm → R.
Với mỗi vector u = (u1 , .., um ) ta có một bài toán cực tiểu hóa hàm f (x, u)
theo x = (x1 , .., xn ). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử miền biến
thiên của u là toàn bộ Rm , vì nếu u chỉ thuộc một tập con U của Rm thì
ta có thể coi f (x, u) = ∞ với u ∈
/ U.
Định nghĩa 1.6.1 (Bị chặn mức đều). Hàm f : Rn × Rm → R với các
22


giá trị f (x, u) gọi là bị chặn theo x đều địa phương theo u nếu với mỗi

u¯ ∈ Rm và α ∈ R có một lân cận V ⊂ N (u)
¯ và một tập con bị chặn B ⊂ Rn
sao cho {x| f (x, u) ≤ α} ⊂ B với mọi u ∈ V , nói cách khác, tồn tại một
lân cận V ∈ N (u)
¯ sao cho tập {(x, u) |u ∈ V, f (x, u) ≤ α} bị chặn trong
Rn × Rm .
Định lý 1.3 (Cực tiểu hóa phụ thuộc tham số). Xét:
p (u) := infx f (x, u) , P (u) := argminx f (x, u)
trong đó, f : Rn × Rm → R là một hàm chính thường, lsc sao cho f (x, u)
là bị chặn mức theo x đều địa phương theo u.
(a) Hàm p là chính thường và lsc trên Rm ,và với mỗi u ∈ domp tập P (u)
không rỗng và compact, và P (u) = ∅ khi u ∈
/ domp.
(b) Giả sử xv ∈ P (uv ) là dãy có tính chất uv → u¯ ∈ domp và p (uv ) →
p (u)
¯ ( chẳng hạn khi p liên tục tại u¯ đối với một tập U chứa u¯
và uv ) khi đó dãy {xv }v∈N là bị chặn và mọi điểm tụ của nó đều
thuộc P (u).
¯
(c) Giả sử p liên tục tại điểm u¯ đối với một tập U chứa u,
¯ khi đó một
điều kiện đủ của bài toán trên là tồn tại một điểm x¯ ∈ P (u)
¯ sao
cho f (x,
¯ u) liên tục theo u tại u¯ đối với U.
Chứng minh. Với mỗi u ∈ Rm , đặt fu (x) = f (x, u), như một hàm trên
Rn , hoặc fu ≡ ∞ hoặc fu là chính thường, lsc và bị chặn mức để có thể
áp dụng quá trình cực tiểu hóa của hàm fu như trong Định lý 1.2. Trường
hợp đầu tiên tương ứng với p (u) = ∞ không thể đúng với mọi u bởi vì
f = ∞, do đó domp = ∅ và với mỗi u ∈ domp thì giá trị p (u) = inf fu

23


là hữu hạn và tập P (u) = argmin fu là không rỗng và compact. Đặc biệt,
p (u) ≤ α khi và chỉ khi tồn tại điểm x sao cho f (x, u) ≤ α , do đó với
V ⊂ Rm ta có
(lev≤α p) ∩V = [ ảnh của(lev≤α f ) ∩ (Rn ×V ) qua ánh xạ (x, u) → u ]
Ảnh của một tập compact dưới một ánh xạ liên tục là compact. Ta có
(lev≤α p) ∩ V là đóng chỉ khi V thỏa mãn (lev≤α f ) × (Rn ∩V ) là đóng
và bị chặn. Từ giả thiết về tính bị chặn mức đều , với mọi u¯ ∈ Rm đều có
một lân cận V sao cho (lev≤α f ) ∩ (Rn ×V ) là tập đóng. Có thể thay thế
V bởi một lân cận đóng,nhỏ hơn của u¯ nếu cần thiết. Ta thấy (lev≤α f ) ∩
(Rn ×V ) cũng đóng vì f là lsc. Vì vậy, với mỗi u¯ ∈ Rm đều có một lân
cận mà giao của nó với lev≤α p là đóng, do đó chính lev≤α p cũng đóng.
khi đó p là lsc theo Định lý 1.1(c). Điều này chứng tỏ (a) đúng.
Trong (b) ta có với mọi α > p (u)
¯ hay α ≥ p (u)
¯ = f (xv , uv ) . V là lân
cận đóng của u¯ như trong Định nghĩa1.6.1, ta thấy rằng với mọi v đủ lớn
thì cặp (xv , uv ) nằm trong tập compact (lev≤α f ) (Rn V ). Vì thế dãy
{xv }v∈N bị chặn và với mọi điểm tụ x¯ đều có (x,
¯ u)
¯ ∈ lev≤α f , điều này
đúng với mọi α > p (u)
¯ , ta thấy rằng f (x,
¯ u)
¯ ≤ p (u)
¯ điều đó có nghĩa là
x¯ ∈ P (u).
¯

Trong (c) ta có p (u) ≤ f (x,
¯ u) với mọi u và p (u)
¯ = f (x,
¯ u)
¯ . Tính nửa
liên tục trên của hàm f (x,
¯ •) tại u¯ đối với một tập bất kì U chứa u¯ có thể
đồng nhất với tính nửa liên tục trên của p tại u.
¯ Vì ta có p là lsc tại u,
¯ ta
có thể khẳng định trong trường hợp này là p liên tục tại u¯ đối với U.
Một ví dụ về hàm p (u) = infx f (x, u) không thỏa mãn định lý khi tính
lsc không được thỏa mãn là hàm f (x, u) = exu trên R1 × R1 . Trường hợp
24


này ta có p (u) = 0, ∀u = 0 nhưng p (0) = 1. Tập P (u) = argminx f (x, u)
là rỗng với mọi u = 0 nhưng P (0) = (−∞, ∞).
Một ví dụ nữa với hàm f (x, u) = |2xu − 1| ta cũng có p (u) = 0, ∀u = 0 ,
p (0) = 1, P (0) = (−∞, ∞) nhưng P (u) = ∅, ∀u = 0 và P (u) gồm một
điểm duy nhất. Trong trường hợp này ta không thể áp dụng định lý trên
vì f (x, u) không là bị chặn mức theo x với mọi u.
Bài tập 1.4 (Các ràng buộc trong bài toán cực tiểu hóa phụ thuộc tham
số).

Với mỗi u nằm trong tập đóng U ⊂ Rm , đặt p (u) là giá trị tối

ưu và P (u) là tập tất cả các nghiệm tối ưu của bài toán:
Cực tiểu hóa hàm f0 (x, u) trên tất cả các giá trị của x ∈ X thỏa mãn



 ≤ 0 khi i ∈ I1
fi (x, u)

 = 0 khi i ∈ I2
với một tập đóng X ⊂ Rn và các hàm liên tục fi : X × U → R ( với
i ∈ {0} ∪ I1 ∪ I2 ). Giả sử rằng, với mỗi u¯ ∈ U, ε > 0, α ∈ R tập tất cả các
cặp (x, u) ∈ X ×U thỏa mãn |u − u|
¯ ≤ ε và f0 (x, u) ≤ α, và thỏa mãn tất
cả các ràng buộc về chỉ số I1 và I2 , là tập bị chặn trong Rn × Rm .
Khi đó p là lsc trên U và với mỗi u ∈ U thỏa mãn p (u) < ∞, tập P (u)
không rỗng và compact. Nếu chỉ f0 phụ thuộc vào u, và các ràng buộc
được thỏa mãn tại ít nhất một điểm x thì domp = U và p liên tục đối với
U. Trong trường hợp này , nếu xv ∈ P (uv ) với uv → u¯ trong U thì mọi
điểm tụ của dãy {xv }v∈N đều thuộc P (u)
¯
Gợi ý: điều này có được từ Định lý 1.3 với f (x, u) = f0 (x, u) khi
(x, u) ∈ X × U và thỏa mãn mọi ràng buộc , và f (x, u) = ∞ trong các
trường hợp còn lại. Khi đó p (u) được gán giá trị ∞ khi u ∈
/ U.
25