Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

PHẦN1: PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên
cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những quy luật của sự vận động của
vật chất.
Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật các giai đoạn phát triển của
vật lí học được chia làm hai giai đoạn: giai đoạn vật lí cổ điển và giai đoạn vật
lí hiện đại.
Vật lí học cổ điển là một khoa học xây dựng trên việc đúc kết các kết quả
thực nghiệm khi nghiên cứu các hiện tượng vật lí xảy ra đối với các hệ chứa
một số rất lớn các nguyên tử, tức là nghiên cứu tính chất, sự tương tác và dịch
chuyển của các hệ vĩ mô trong không gian. Về cơ bản vật lí học cổ điển hoàn
thành vào đầu thế kỉ XIX, nó bao gồm cơ học Newton, điện động lực học,
nhiệt động lực học…. nội dung chủ yếu của nó là giải thích các tính chất và
các hiện tượng vật lí xảy ra trong thế giới vĩ mô.
Nhờ sự hoàn thiện và ứng dụng các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên
cứu các vấn đề vật lí mà cuối thế kỉ XIX người ta đã khám phá ra các
electron, tia Roentgen và tính phóng xạ. Điều đó mở ra khả năng nghiên cứu
từng nguyên tử và phân tử riêng biệt. Đến lúc đó người ta nhận thấy rằng, vật
lý cổ điển không thể giải thích được tính chất của các nguyên tử và sự tương
tác của chúng với các bức xạ điện từ. Đây chính là tiền đề đầu tiên cho sự
xuất hiện nền vật lí hiện đại, chuyên đi sâu nghiên cứu thế giới vi mô, một
trong những môn khoa học quan trọng của nền vật lí này là môn cơ học lượng
tử: đó là môn khoa học dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên

1

Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

cứu và giải thích các tính chất, hiện tượng xảy ra trong không gian có kích
thước dài cỡ 10-6 cm đến 10-13 cm.
Không gian có kích thước dài như thế gọi là không gian vi mô và đối
tượng chủ yếu của cơ học lượng tử là các nguyên tử, phân tử và các hạt cơ
bản.
Như chúng ta đã biết chuyển động của hạt theo quan điểm của vật lý học
cổ điển được mô tả bằng các đại lượng tọa độ và xung lượng…. Còn theo
quan điểm của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt sẽ được mô tả


bằng hàm sóng     r; t  và hàm sóng này sẽ tìm được bằng cách giải
phương trình Schrodinger i


 H .
t

Nhưng dù xét theo quan điểm nào thì chuyển động của hạt cũng phụ
thuộc rất nhiều vào môi trường hạt chuyển động cũng như các điều kiện ban
đầu. Đối với hạt mang điện là hạt vi mô thì môi trường gây ảnh hưởng rõ rệt
nhất tới chuyển động của hạt đó là trường điện từ.Vậy trong môi trường điện
từ chuyển động của hạt mang điện ra sao, chúng ta cùng nhau đi nghiên cứu
đề tài: “chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường”.
2. Đối tượng nghiên cứu

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường.
3. Nội dung nghiên cứu
- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học cổ điển.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ sở
các định luật Newton.
+ Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường dựa trên cơ học lí
thuyết.

2


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

- Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+ Các đại lượng động học và các toán tử.
+Toán tử Hamilton
+Toán tử Hamilton trong điện từ trường.
+Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm
của cơ học lượng tử.
+Một số bài tập áp dụng lí thuyết lượng tử vào tìm hàm sóng, năng lượng
và tính chất hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lí toán, phương pháp cơ học lượng tử.

3

Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ
trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển.
1.1 Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường trên cơ sở cơ
học Newton.
Khi một hạt mang điện, có điện tích e, chuyển động trong không
gian, ở đó có cả điện trường và từ trường, thì nó chịu tác dụng của cả lực điện

 


( F  eE ) và lực từ ( f  e  v.B ). Theo định luật hai Newton, phương trình
chuyển động của hạt có dạng:


 
dv
m
 eE  e  v.B
dt

(1.1)


Trong đó m là khối lượng của hạt, v là vận tốc của hạt.

Dựa vào phương trình (1.1) để xét chuyển động của những hạt mang
điện trong một số trường hợp đơn giản.
Đầu tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất đó là chuyển động của hạt
mang điện trong từ trường đều.

 Giả sử vận tốc ban đầu của hạt là v , đi vào từ trường đều có cảm ứng



từ B . Để đơn giản ta xét trường hợp v vuông góc với cảm ứng từ B . Trước

hết ta nhận thấy rằng lực Lorenxơ luôn luôn vuông góc với v điều đó có

nghĩa là công của lực này luôn bằng không. Vì thế độ lớn của vận tốc v là

không đổi trong quá trình chuyển động. Lực Lorenxơ cũng không đổi và có
giá trị f  e v B .

4


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường


v

Lực này luôn vuông góc với phương chuyển động nên

đóng vai trò của lực hướng tâm. Dưới tác dụng của lực đó
hạt chuyển động theo một đường tròn. Bán kính R của quỹ
2

đạo tròn này được xác định từ điều kiện: e v B 
R

mv
. Do đó
R


B

mv
eB

(1.2)

Bán kính R của quỹ đạo tròn phụ thuộc vào vận tốc v của hạt mang
điện và độ lớn của cảm ứng từ B và tỉ số e/m gọi là điện tích riêng của hạt
mang điện.
Một đặc điểm của chuyển động này là chu kỳ chuyển động của hạt
(thời gian chuyển động một vòng) không phụ thuộc vào vận tốc của hạt. Chu
kỳ chuyển động T có giá trị là T 
có: T 

2R
. Thay giá trị ở các biểu thức trên ta
v

2 m
eB

(1.3)

Tần số góc  của hạt (góc quay được trong 1s) có giá trị:


2 e
 B
T m

(1.4)

và được gọi là tần số xyclotron.
Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc  chỉ phụ thuộc vào điện
tích riêng e / m và cảm ứng từ B.
Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giống nhau có
 
vận tốc v1;v 2 khác nhau. Nếu hai hạt cùng xuất phát từ
một điểm O thì sau khi chyển động một vòng với cùng một
khoảng thời gian, chúng sẽ gặp lại nhau ở O.

5


v2
O


v1


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường


 Trên đây ta giả sử vận tốc v vuông góc với

hợp tổng quát khi vận tốc v hợp với cảm ứng từ


B . Bây giờ ta xét trường

B một góc nào đó khác

/2.





Ta sẽ phân tích v thành hai thành phần v  vuông góc với B và v // song song

với B , ta có: v   vsin ; v //  v cos  . Lực Lorenxơ tác dụng lên hạt có giá

trị: f  e v Bsin  e v  B .


Lực này xác định bởi thành phần v  , khiến cho hạt chuyển động theo

đường tròn nằm trong mặt phẳng vuông góc với B . Lực gây nên bởi thành

phần v // bằng không. Do đó chuyển động của hạt là tổng hợp của hai chuyển

động:

 Chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với B , với vận tốc

dài bằng v  , với bán kính quỹ đạo, chu kỳ, tần số được xác định theo
các biểu thức (1.2); (1.3); (1.4),chỉ cần thay trong đó các giá trị của v
bằng v   vsin  .
 Chuyển động đều theo quán tính với vận tốc v //  vcos  , dọc theo

phương của B .
Vì thế quỹ đạo của hạt là một đường xoắn ốc hình trụ có trục trùng với
 
v v

v //


B


phương của cảm ứng từ B .

Bước của đường xoắn ốc là: h  v // T 

2v cos  1 2 v mcos 
.

e
B
eB
m

6


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

1.2. Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo cơ học lí
thuyết.
1.2.1. Mô tả chuyển động của hạt dựa vào phương trình Lagrange
Trong cơ học Newton chuyển động của một hạt được mô tả bằng
phương trình của định luật II Newton còn trong cơ học lý thuyết thì chuyển
động của hạt được mô tả bằng phương trình Lagrange loại II (hay phương
trình Lagrange trong tọa độ suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qk)
d T T

 Qk
dt q k q k

(1.5)

(k = 1, 2,…,s ) với s là số bậc tự do của hệ, Qk là lực suy rộng và T là động

năng của hệ.
Để tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương
trình Lagrange loại II.
Đại lượng q k 

dq k
gọi là vận tốc suy rộng,
dt

d 2q k
đại lượng 
q k  2 gọi là gia tốc suy rộng
dt

và đại lượng p k 

T
gọi là xung lượng suy rộng.
q k

Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng.
Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực
suy rộng có dạng:


N
  r

U


r
U
Q k   Fi i    i  
 qk
q k
i 1
i 1  ri q k
N

Và phương trình Lagrange loại II lúc đó sẽ có dạng:
d L L

0
d t q k q k

7


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Trong đó L = T - U gọi là hàm Lagrange.
Nếu vị trí của cơ hệ tự do được xác định bởi những tọa độ Đecac xi, yi,
zi ( i = 1, 2,…, N) thì hàm Lagrange có dạng:
L

1 N
m k  x i2  y i2  z i2   U  x1 , y1 ,z i ,..., x N , y N ,z N 


2 k 1

Những phương trình mô tả chuyển động của hạt sẽ là:
d L L

 0,
d t x i x i

d L L

 0,
d t y i yi
d L L

 0,
d t z i z i

Hay viết dưới dạng vectơ:

( i = 1, 2,…,N)

d L L
  0
d t   ri
 ri


 i  1, 2,..., N 

Xét trường hợp hạt chuyển động trong điện từ trường:

Hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác dụng của lực


 
  
điện từ F  eE  e  v.B . Trong đó E, B, v lần lượt là cường độ điện trường,
cảm ứng từ của trường lực mà hạt chuyển động và vận tốc của hạt.
Như đã biết hạt chuyển động trongg điện từ trường có động năng và thế
năng được xác định như sau:
1
Động năng: T  mv 2
2
 
Thế năng: V  e   e v A

 
1
Vì vậy hàm Lagrange của hạt là: L  mv 2  e   e v A
2
Xét trường hợp đơn giản là hạt chuyển động trong điện từ trường đều,
  
có E,B, v lần lượt hướng theo các phương Ox, Oz, Oy.
8


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường




Với các thành phần của B  0,0,B  , có thể chọn A  B y ,0,0 . Thật

vậy:

  






B  rotA   A z 
Ay; Ax 
Az ;
Ay 
Ax 
z
z
x
x
y 
 y

Thành phần Bx  0 , để đơn giản ta đặt A y  A z  0 .
Thành phần thứ hai: By  0 vì A z  0 nên A x  A x  x, y  .
Thành phần thứ ba: Bz  B;A y  0 nên B  

A x
y

và có thể đặt

A x   By như vậy thỏa mãn cả thành phần thứ hai.
 
Ta có e     Fdr  e  E dx  e E x

  1
1
Suy ra L  mv 2  e   e v A  m  x 2  y 2  z 2   eEx  eByx
2
2

Hình chiếu phương trình Lagrange trên các trục tọa độ là:
eB

 y   m x  C
  eBy  eE  0 
 mx
e 2 B2
eE eBC


  eBx  0
 
x 2 x

 my
m
m

m
 mz  0


z  D



 x  x 0  0, y  y0  0, z  z 0  0,
Các điều kiện ban đầu t = 0 thì: 
 x 0  0, y 0  v0 , z 0  0

Phương trình (1.7) có nghiệm là:
x  C1cos

eB
eB
mE C m
t  C 2 sin t  2 
m
m
eB
eB

Thay điều kiện ban đầu vào (1.6) và biểu thức của x ta có:

9

1.6 
1.7 

1.8


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

 C  v0
C  v 0




m E mv 0
m E mv 0
 C1  eB2  eB  0 C1   eB2  eB

mC1
eB
mC 2
eB
sin t 
cos t
eB
m
eB
m
mC2
x 0  0 
 0  C2  0

eB
x  

Vậy

eB
mE v0 m
 m E mv0 
x   2 
 cos t  2 
eB 
m
eB
eB
 eB
 mE v m  
eB 
x   2  0 1  cos t 
e B 
m 
 eB

Thay vào (1.6) ta có:
y  

eB m  E
eB 

  v0 1  cos t   v0
m eB  B

m 


eB
E
E

   v 0  cos t 
m
B
B

E
 mv 0 E m  eB
y
 2  sin t  t  C3
m
B
 eB eB 
E
 mv 0 E m  eB
Từ y 0  0  C3  0  y  
 2  sin t  t
m
B
 eB eB 

Từ (1.8) và các điều kiện ban đầu ta có D  0  z  0  z  D1  0
Vậy chuyển động của hạt được mô tả bằng các phương trình:


 mE v0 m  
eB 
x   2 
1  cos t 
e B 
m 
 eB


E
 mv0 E m  eB
 2  sin t  t
y  
m
B
 eB eB 

z  0



10


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

1.2.2. Mô tả chuyển động của hạt dựa vào hệ phương trình Hamilton
Ta biết rằng các phương trình chuyển động Lagrange là các phương

trình vi phân hạng hai. Hàm Lagrange là hàm của q k ,q k và t. Giải hệ s phương
trình Lagrange với điều kiện ban đầu q 0k và q 0k ta hoàn toàn xác định
được q k  t  và q k  t  ở thời điểm t bất kì. Trạng thái cơ học của cơ hệ khi đó
được xác định bởi q k và q k (k = 1, 2, 3…s). Việc mô tả trạng thái của cơ hệ
bằng cách cho q k và q k như vậy không phải là cách duy nhất. Trong nhiều
trường hợp, khi nghiên cứu các vấn đề khác của cơ học, ta xác định trạng thái
của cơ hệ bằng s tọa độ suy rộng q1, q2, q3,…, qs và s xung lượng suy rộng pk:
pk 

L T

q k q k

(k = 1, 2, 3,…, s).

(1.9)

Chuyển từ một tập hợp những biến số độc lập q k và q k sang một tập hợp
những biến số khác qk, pk dùng để mô tả trạng thái của cơ hệ cần phải thực
hiện các phép biến đổi sau đây.
Vi phân toàn phần hàm lagrange cho ta:
s
 L
 L
L
dL   
dq k 
dq k  
dt
q k


t
k 1  q k


Lưu ý rằng:

L
L d  L
 pk ,
 
q k
q k dt  q k

(1.10)


  p k


Ta được:
s

dL  p kdpk  pkdq k  
k1
s

L
dt
t

 p kdpk  d  pkq k   q kdpk  
k1

11

L
dt
t


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

s

Hay dH   p k dp k  q k dp k  
k 1

L
dt
t

(1.11)

s

Trong đó H  H  q k ,p k , t    p k q k  L

(1.12)

k 1

Là hàm của qk, pk, t và gọi là hàm Hamilton. Trong biểu thức của hàm
Hamilton H, các vận tốc suy rộng q k được biểu diễn qua qk, pk và t nhờ các hệ
thức (1.5).
Biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton cũng có thể viết dưới
dạng:
s

 H
 H
H
dH   
dp k 
dq k  
dt
q k
k 1  p k
 t

(1.13)

Từ (1.7) và (1.9) dễ dàng ta thấy rằng:
q k 

H
H
, p k  

p k
q k

 k  1,2,3,...,s 

dH H
L


dt
t
t

(1.14)
(1.15)

Các phương trình vi phân hạng nhất (1.15) gọi là các phương trình
Hamilton. Đó là một hệ 2s phương trình chuyển động trong các biến số qk và
pk. Giải hệ 2s phương trình vi phân hạng nhất này, ta tìm được:
q k  q k  t, 1 ,  2 ,  3 ,...,  2s  ,

p k  p k  t, 1 ,  2 ,  3 ,...,  2s  ;  k  1,2,...,s 

Trong đó 1 ,  2 ,  3 ,...,  2s là những tích phân của chuyển động được
xác định từ điều kiện ban đầu qk0 , pk0 (k = 1, 2,…, s).
Như vậy, mô tả những định luật chuyển động của cơ hệ ta có dùng s
phương trình Lagrange loại hai hay 2s phương trình Hamilton. Nếu định luật
chuyển động của cơ hệ được mô tả bằng những phương trình Lagrange thì
trạng thái của hệ được xác định bởi q k và q k . Những biến số q k , q k và t được
12

Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

gọi là những biến số Lagrange. Nếu định luật chuyển động của cơ hệ được mô
tả bằng những phương trình Hamilton thì trạng thái của hệ được xác định bởi
qk và pk. Những biến số qk, pk và t gọi là những biến Hamilton.
Giải hệ 2s phương trình Hamilton dẫn tới cần thiết nghiên cứu dạng của
Hamilton. Người ta đã chứng minh được rằng khi liên kết đặt lên cơ hệ là
dừng thì hàm Hamilton trùng với cơ năng của cơ hệ: H = T + U.
Áp dụng đối với trường hợp hạt mang điện chuyển động trong điện từ


 
trường dưới tác dụng của lực điện từ F  eE  e  v.B .
Ta có hàm Lagrange và xung lượng suy rộng P có dạng
   L
 
1
L  mv 2  e   e v A; P    mv  eA.
2
v

Hàm Hamilton của chất điểm bằng:


L
mv

Hv  L
2
v

2



P  e A
 e 
2m

2

 e

Xét trường hợp đơn giản là hạt chuyển động trong điện từ trường đều,
  
có E,B, v lần lượt hướng theo các phương Ox, Oz, Oy.


Với các thành phần của B  0,0,B  , có thể chọn A  B y ,0,0 .
Khi đó hàm Hamilton có thể viết được dưới dạng sau:

 2
2
P  eA
 Px  eBy   Py2  Pz2
H
 e 

 eEx
2m
2m
Py2
Px2
Pz2 eBy
e 2 B2 y 2




Px 
 eEx
2m 2m 2m 2m
2m









Các phương trình Hamilton mô tả chuyển động của hạt là:
x 

H Px eBy
 
Px m

m

13

(1.16)


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

H
P x  
 eE
x

y 

(1.17)

H Py

Py m

(1.18)

H
eBPx e 2 B2
P y  



y
y
m
m
z 

H Pz

Pz m

(1.20)

H
P z  
0
y

(1.21)

 x  x 0  0, y  y0  0, z  z 0  0,
Các điều kiện ban đầu là: 
 x 0  0, y 0  v0 ,z 0  0

Từ (1.20) và (1.21) ta có: z  0  z  0 (tương tự ví dụ trên)
Đạo hàm hai vế (1.19) và thay giá trị y ở (1.18), P x ở (1.17) vào ta có:
e 2 B2
e2 BE

Py  2 Py  

m
m

Nghiệm của phương trình này là: Py  C1cos

eB
eB
mE
t  C2 sin t 
m
m
B

C1
eB
C
eB
E
cos t  2 sin t 
m
m
m
m
B
C E
Em
y 0  v0  1   v0  C1  mv0 
m B
B
E

eB
C
eB
E

 y   v 0   cos t  2 sin t 
B
m
m
m
B

y 

y

(1.19)

m
E  eB
m C2
eB
E
cos t  t  C3
 v0   sin t 
eB 
B
m
eB m
m

B

14


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

y0  0 

C2
 C3  0  C 2  eBC3
eB

Từ (1.14) ta có Px  eEt  C 4
Thay Px , y vào (1.16) ta có:
C4 
E  e B C2
eB
e BC3
  v0   sin
t  cos
t
m 
B
m
m
m
m

x 0  0  C 4  C2  e BC3  C4  0
x 

x

m
E
eB
m C2
eB
C
t
sin
t  2  C5
 v0   cos
eB 
B
m
eB m
m
m

x 0  0  C5 

m
E
 v0  
eB 
B

Chọn C2 = 0 khi đó ta có phương trình chuyển động của hạt là:

 mE v0 m  
eB 
x   2 
1  cos t 
e B 
m 
 eB


E
 mv0 E m  eB
 2  sin t  t;
y  
m
B
 eB eB 

z  0



Chương 2: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ
trường theo quan điểm của cơ học lượng tử.
Đối với các hiện tượng vật lý mà người ta đã biết đến khoảng cuối thế
kỉ XIX trở về trước thì vật học cổ điển cho các kết quả phù hợp với thực
nghiệm và là một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt trẽ trong phạm vi ứng
dụng của nó. Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy có những hiện tượng
không thể giải thích được bằng các lí thuyết cổ điển, thí dụ như: tính bền

vững của nguyên tử, qui luật bức xạ của vật đen,…. Từ đó dẫn tới việc xây
dựng một khái niệm mới về lượng tử, đó là bức đầu của việc hình thành nền
cơ học lượng tử.
15


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của một hạt ta
dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mômen động lượng của
hạt…. Các đại lượng đó gọi là các biến số động lực.Hạt chuyển động theo
một quỹ đạo và ở thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực đều có giá
trị xác định.
Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác. Hạt không được hình dung như
một chất điểm chuyển động theo quỹ đạo mà là một bó sóng định sứ trong
một miền của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời
gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về sác xuất tìm thấy hạt trong một
phần tử thể tích của không gian.
Vì có sự khác biệt nói trên mà trong cơ học lượng tử biến số động lực
không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải
tìm một cách mô tả khác thể hiện được những tính chất đã nêu ở trên của biến
số động lực, thể hiện được những đặc tính của các qui luật lượng tử. Những
nghiên cứu về toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô tả các
biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết
về nội dung cách mô tả như những tiên đề.
2.1. Các đại lượng động lực và các toán tử.
Trong các quá trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên
đề sau:

“ Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng
một toán tử tuyến tính, Hermite F .
Trong phép đo đại lượng F hệ lượng tử   q, t  ở thời điểm t để được
số đo nào đó, hệ lượng tử sẽ chuyển về trạng thái liên kết máy đo – hệ lượng
tử. Trạng thái liên kết này được mô tả bởi hàm riêng  n  q, t  của toán tử F
tương ứng với trị riêng fn.

16


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Giá trị riêng fn là số đo fn của phép đo đại lượng F”.
Từ tiên đề trên chúng ta thấy rằng cần phải đối ứng đại lượng vật lí F
với toán tử F nào đó.
Việc xây dựng dạng của toán tử phải dựa trên các cơ sở:
 Cơ học lượng tử xây dựng dựa trên cơ sở của cơ học cổ điển, bởi vậy
những đại lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại lượng vật lí
cổ điển trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như hệ cổ điển.
 Các phương trình toán tử chính là các phương trình chuyển động của cơ
học lượng tử. Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được thực tế
kiểm nghiệm.
 Phương trình toán tử: i 


 H  mô tả chuyển động tự do của hạt
t

với năng lượng E là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử
H

2 2
 .
2m

Để thỏa mãn các yêu cầu trên người ta đưa ra các tiên đề sau:
 Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử giống như các hệ thức liên hệ giữa
các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển.
Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm tọa độ q và thời
gian t và nếu L(p,q,t), pk và qk (k≥1) là hàm Lagrange, xung lượng suy rộng
và tọa độ suy rộng thì:
s

Hàm Hamilton H  q k ,p k , t    p k q k  L được chuyển tương ứng thành
k 1

H  i


.
t

Xung lượng được chuyển thành: p k 

17

L


.
 p k  i
q k
q k


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Như vậy, theo quan điển của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt

sẽ được mô tả bằng hàm sóng    r ; t và hàm sóng này tìm được bằng

 

cách giải phương trình Schrodinger i 


 H
t

Với H là toán tử Hamilton. Tùy thuộc vào trường lực hạt chuyển động
trong đó mà toàn tử H có dạng khác nhau.
2.2. Toán tử Hamilton
Dựa vào các tiên đề của cơ học lượng tử, trong cơ học cổ điển có hàm
Hamilton nó trùng với năng lượng của hệ ứng với chuyển động của cơ hệ khi
cơ hệ chịu liên kết dừng. Thì trong cơ học lượng tử tương ứng có toán tử
Hamilton tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ. Tức trị riêng của toán
tử Hamilton chính là năng lượng toàn phần của hệ.

Trong hệ tọa độ đề các, toán tử H của một hạt gồm toán tử động năng
cộng toán tử hàm lực: H  T  U
2

p
2 2
Ở đây toán tử động năng T 

 , còn hàm lực U  U r, t
2m
2m

 

phụ thuộc vào tọa độ, thời gian t.
Trong trường hợp tổng quát, nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ
2 2
 W
thuộc vào vận tốc, gia tốc,... thì : H  
2m

Ở đây W là thành phần mô tả chuyển động của trong trường lực tổng
quát.
Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamilton là :
n

H  
k 1

2 2

  W
2m

18


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Trong đó W là thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương tác của
các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian.
2.2.1. Dạng của toán tử Hamilton và một số toán tử khác trong các hệ tọa
độ.
 Toán tử nabla (  ) :
   
 Trong hệ tọa độ Đề các :   i  j  k .
x
y
z


  e 
e

 Trong hệ tọa độ cầu :
  er
 
 
 r r   r sin   


  e   
 Trong hệ tọa độ trụ :
.
  e

 ez
  
z

 Toán tử Laplaxơ (    2 ) :
 Trong hệ tọa độ đề các :    2 

2
2
2
.


 x 2  y2  z2

 Trong hệ tọa độ cầu :
1   2    
 
1
2
  2
r

 sin    2 2

r r  r  
   r sin   2
2

 Trong hệ tọa độ trụ:
1     1 2
2
.
 

r  
r  r   r  r 2  2  z 2
2

 Toán tử Hamilton.
Ta có H  


2 2
  U r, t
2m

 

 Trong hệ tọa độ đề các :

2   2
2
2 
H




U
r, t


2m  x 2 y 2 z 2 

 

19


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

 Trong hệ tọa độ trụ :

2  1     1  2
2 
H


U
r, t .


r   2

2m  r  r   r  r  2  z 2 

 

 Trong hệ tọa cầu :

2  1   2    
 
1
2 
H
r

sin



U
r, t






2m  r 2  r   r    
   r 2 sin 2   2 

 

2.2.2. Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong điện từ
trường.
Ta xét chuyển động phi tương đối tính của hạt mang điện tích e chuyển
 
động trong điện từ trường E,B tùy ý. Điện từ trường này có thể biểu diễn qua

thế vectơ A và thế vô hướng  của điện từ trường.


A
E   grad  
t


B  rot A,

Với điều kiện định cỡ Lorenxơ: div A = 0.
Hàm Lagrange của hạt mang điện trong điện từ trường:
 
1 2
L  m v  e A v  e ,
2
  L

 

Xung lượng suy rộng P    m v  e A  p  e A.
v
 


Như vậy xung lượng của hạt: p  P  e A

(2.1).

Nếu ngoài lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực

U r, t thì biểu thức tổng quát của hàm Hamilton sẽ là:

 


 
1 2
1   2
H  p v  eA v  e  U  m v 
P  eA  e   U
2
2m



20



(2.2)


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Chúng ta sẽ lượng tử hóa hàm Hamilton (2.2) và xung lượng (2.1) theo
tiên đề hai của cơ học lượng tử: “mỗi đại lượng vật lý F trong cơ học lượng
tử được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermite F ”.

P  P  i  
HH

Ở đây: P  e A



2

2
1 
U
P  eA  e 
2m





2

 2.4 

2

  P  eA   P  eA   P  e A 
x

x

y

y

z

 2.3

2

z

Tính riêng từng số hạng
2

P  e A   P  e A P  e A   P
x

x

x

x

2

 Px  2e A x Px  i e 

x

x

x

2

 e A x Px  e Px A x  e2 A x

2

2

A x  e2 A x .
x

Khi tính toán các phép nhân toán tử ta đã tính đến tích
e Px A x   ie 




 A x    ie   A x    i e  A x 
x
x

 x





  ie  A x  e A x Px  
x





Vì ψ tùy ý cho nên: ePx A x   ie  A x  e A x Px 
x



Hoàn toàn tương tự:
2

A x  e2 A x ,
x
2
2
2

 Py  2e A y Py  ie  A y  e 2 A y ,
y
y

y
2
2
2

Pz  e A z  Pz  2eA z Pz  i e  A z  e 2 A z .
z

P  e A 
P  e A 
x



x

2

2

 Px  2e A x Px  ie 



Từ đây ta suy ra:

 P  e A 

2

2
2
2
2
 P  2e A P  ie  divA  e 2 A  P  2e A P e 2 A

21

(2.5 )


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường


Kết quả (2.6) đã tính tới diều kiện định cỡ Lorenxơ div A = 0. Thành

thử dạng của toán tử Hamilton:
H

 2 2 i e  
e2  2
 
A 
A  e  U
2m
m
2m

(2.6)

Thành phần thứ nhất tương ứng với chuyển động tự do của hạt, thành
phần thứ hai và thứ ba tương ứng với chuyển động của hạt trong từ trường,
thành phần thứ tư mô tả chuyển động trong điện trường, còn thành phần cuối

cùng mô tả chuyển động của hạt trong trường lực U r, t nào đó.

 

Để biết được chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường như
thế nào thì ta phải giải phương trình Schrodingder i 


 H.
t

 2 2 ie  
e 2  2
Với H  
 
A 
A  e  U
2m
m
2m

2.3. Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan
điểm của cơ học lượng tử.
Ta xét hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động trong một điện từ

trường tùy ý. Giả thiết bỏ qua spin của hạt điện tích. Toán tử Hamilton có
dạng: H  

 2 2 i  e 
e 2  2
 
A 
A  e  U
2m
m
2m

Như vậy phương trình Schrodinger dừng cho hạt mang điện chuyển


động trong điện từ trường H  r  E  r . Với dạng của toán tử H như trên





và năng lượng E ta có thể biến đổi về dạng:
 2 

2m
2e 
e2  2
E

e



U


A
grad


A 0


2
i
2

(2.7)


Đối với từ trường yếu, ta có thể bỏ qua thành phần tỉ lệ bậc hai với A .

Phương trình mô tả chuyển động trong điện từ trường yếu có dạng:

22


Vũ Thị Hương K31A

 2 

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

2m
2e 
E

e


U


A grad   0


2
i

(2.8)

Sau đây chúng ta hãy thiết lập và giải phương trình Schrodinger cho

chuyển động tự do của hạt trong một từ trường đều B , tức là B là hằng số;
  U  0; spin  0 .

Trong cơ học cổ điển, điện tích e chuyển động tự do có xung lượng là

p xác định nào do khi rơi vào trong từ trường đều sẽ tham gia đồng thời hai
chuyển động; chuyển động tự do theo phương của từ trường và chuyển động
tròn đều trong mặt phẳng vuông góc với phương của từ trường. Trong cơ học

lượng tử ta thu được kết quả tương tự.

Chọn trục Oz trùng với hướng của từ trường B , nghĩa là Bx  B y  0


và Bz  B . Với các thành phần B  0,0,B  , có thể chọn A   By ,0,0 . Thật

vậy:

  






B  rotA   A z 
Ay; Ax 
Az ;
Ay 
Ax 
z
z
x
x
y 
 y

Thành phần Bx  0 , để đơn giản ta đặt A Y  A Z  0 .
Thành phần thứ hai: By  0 vì A z  0 nên A x  A x  x, y  .

Thành phần thứ ba: Bz  B;A y  0 nên B  

A x
và có thể đặt A x   By như
y

vậy thỏa mãn cả thành phần thứ hai.

Thay A  By ,0,0  và   U  0 vào phương trình (2.7) ta thu được phương
trình Schrodinger cho điện tích e chuyển động tự do trong từ trường đều

B  0,0,B 
 2 

2mE
2e B 
e 2 B2 2


y


y 0
2
i  x
2

23

(2.9)

Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

Phương trình (2.9) là phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai,
phương trình này có thể phân li các biến số một cách thích hợp để chuyển về
phương trình vi phân cấp hai thường để giải.
Vế trái của (2.9) có thể viết dưới dạng F , trong đó:
2 m E 2e B  e 2 B2 2
F   2  2 
y
 2 y

i x


Dễ dàng thử lại rằng các toán tử giao hoán với nhau từng đôi. Bởi vậy
các toán tử này chung nhau hàm riêng. Điều đó gợi ý cho việc đặt:
i p x i pz z
x

  x, y, z   e 
e
 y

(2.10)

Thay (2.10) vào (2.9) ta thu được phương trình vi phân cấp hai thường

cho hàm   y 
 2e Bp x
e2 B2 2  2m E p x 2 p z 2  
  y   
y  2 y   2  2  2    y   0
2



 
 


(2.11)

Biến đổi (2.11) ta có:
 2e Bp x
e 2 B2 2  2 m E p x 2 p z 2  
  y   
y

y   2  2  2   y 
2
2



 
 


2m 
p 2  e2 B2 2 e Bp x
p 2 
   y   2 E  z  
y 
y  x    y 
 
2m  2m
m
2 m 
2m 
p 2 1 e 2 B2  2
px
px 2 
   y   2 E  z 
y

2
y


   y 
 
2m 2 m 
eB
e 2 B2  
2
2 m 
p z 2 1 e 2 B2 
p x  

   y   2 E 
 m
y
   y  0
 
2 m 2 m2 
eB  



Nếu đặt:

24

 2.12 


Vũ Thị Hương K31A

Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường

pz 2 
2m 

eB


m

px 

y
e B 
E

(2.13)

Thì phương trình (2.12) sẽ được viết dưới dạng:
    

2m 
1

  m 22       0
2 
 
2


(2.14)

Phương trình này chính là phương trình Schrodinger cho dao động tử
điều hòa. Năng lượng bị lượng tử hóa:
pz 2
1

 n  En 
    n   (n = 1, 2, 3,…)
2m
2


(2.15)

Số hạng cuối cùng của (2.15) không là gì khác mà chính là năng lượng
chuyển động dọc theo trường, còn số hạng đầu của nó:
En 0 

e B 
1
n  
m 
2

(2.16)

Là năng lượng chuyển động trong mặt phẳng vuông góc với phương
của trường, chính năng lượng này bị lượng tử hóa.

 m  2
 m 
 n     A n e 2  H n 





Nghiệm của (2.14) là: 
px

  y  e B



Thành thử nghiệm của (2.9) là:

25