Giải một số bài tập điện động lực học vĩ mô

Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói chung và
lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng. Nó
giúp ta củng cố, nắm vững và hiếu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học .
Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở Đại học
đó là môn Điện động lực học. Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa dạng tuy
nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì khá phức
tạp. Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi kiến
thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực. Từ những đặc điểm nêu trên
Tôi đã chọn đề tài :”Giải một số bài tập điện động lực học vĩ mô” để làm luận
văn tốt nghiệp của mình .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số dạng bài tập Điện động lực học cơ bản
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của Điện động
lực học
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Bài tập Điện động lực học
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý thuyết và phương pháp toán học

1

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý

Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
GIẢI TÍCH VECTƠ
1.1.Cơ sở lý thuyết
Chúng ta qui ước dùng các kí hiệu u , v là những hàm vô hướng của toạ độ
 
A , B là những hàm vectơ của toạ độ





2
2
2
2
R là bán kính vectơ ( R =x i +y j +z k và R =x +y +z )

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của gradiên
Građiên của một hàm vô hướng là một vectơ:
 u

grad u= i

 u  u
 j k

x
y
z

Tại mỗi điểm của không gian , vectơ grad u thẳng góc với mặt đẳng thế của hàm u,
và hướng theo chiều tăng của u
 R

grad R = i

 R
R
j
k
x
y
z

x

y
R

 z
R

= i  j k

R


R 
grad R=  R 0
R




( R 0 là vectơ đơn vị theo phương của bán kính vectơ R )
1.1.2.Định nghĩa và tính chất của dive
Dive của một hàm vectơ là một vô hướng


div A = Vlim
0

1
V

 A d

a

Trong đó V là một thể tích bất kì ,  là mặt kín bao quanh thể tích V, và chiều


dương của pháp tuyến n hướng từ trong ra ngoài mặt 
Trong hệ toạ độ Đềcác:

 A A A
div A  x  y  z

x
y
z
 x y z
divR     3
x y z

2

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


Định lý Ôstrôgratski – Gauxơ : Nếu các thành phần Ax , Ay , Az của hàm véctơ A và
các đạo hàm của chúng là liên tục trong thể tích V bất kì nào đó , và nếu  là mặt
kín bao quanh thể tích V đó, ta có:
 
A
d


n

 A d



div
 A dV =



V



1.1.3. Định nghĩa và tính chất của rôta
Rôta của một hàm vectơ là một vectơ:

1
rotn A  lim
 0




 Adr
c



Trong đó  là mặt bất kì , C là chu tuyến khép kín bao quanh mặt  và n là pháp
tuyến của mặt  chọn sao cho chiều quay dương trên chu tuyến C là ngược chiều
quay của kim đồng hồ . Trong hệ toạ độ Đềcác:

i
 

rot A 
x
Ax


j

y
Ay


k

z
Az

Hay
   A A
rot A  i  z  y
z
 y

   Ax Az

 j
x
 z


   Ay Ax 



k
y 

 x

   z y    x z    y x 
rot R  i     j     k     0
 z x 
 y z 
 z y 



Định lý Stôcxơ : Nếu các thành phần Ax , Ay , Az của các vectơ A và các đạo hàm
riêng phần của chúng là liên tục trên một mặt  bất kỳ , nếu chu tuyến C là chu
tuyến bao quanh mặt  đó , ta có :




 rot Ad   Adr

c

1.1.4 . Toán tử Hamintơn (toán tử nabla)
 là một vectơ tượng trưng được định nghĩa bằng hệ thức :

    

 i  j k
x
y
z

3

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Bản thân vectơ  không đổi có một giả trị thực nào . Nó có ý nghĩa khi ta nhân nó
với một hàm vô hướng hoặc một hàm vectơ :
u  grad u


 A  div A


 A  rot A
 

Về bản chất  là toán tử của một phép đạo hàm nếu nó tuân theo những qui tắc
của các phép tính đạo hàm , và chỉ tác dụng nên những vetơ hoặc vô hướng đứng
sau nó .Như vậy  vừa có tính chất của vectơ , vừa có tính chất của đạo hàm . Sau
đây , trong các phép tính trung gian , chúng ta sẽ qui ước những lượng chịu tác
dụng của  được biểu diễn bằng những chữ in đậm , và trong kết quả cuối cùng

chúng ta chỉ đặt sau  những lượng chịu tác dụng lên nó .
Thí dụ :
  u  v     u  v     u  v   vu  uv

=  grad u + u grad v
  u  v   u  v  grad u + grad v

1.1.5. Toán tử Laplaxơ (laplaxiên)
Tích vô hướng của  với chính nó là một vô hướng gọi là laplaxiên , và ký hiệu là
 hoặc  2 . Toán tử  2 có tính chất của vô hướng và của đạo hàm :
2 

2
2
2


x 2 y 2 z 2

 2u  2u  2u


x 2 y 2 z 2
 


 2 A  i 2 Ax  j 2 Ay  k 2 Az
 2u 

Vì  2 là vô hướng , nên hoán vị được vời vectơ  , và:



 2 div A = div  2 A





 2 rot A  rot  2 A











 2 gradu  grad   2u 

4

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

1.1.6 Gradiên, diva , rôta và laplaxiên trong hệ toạ độ cầu
z

er

e

M



r

e



o
y



x

Vị trí của mỗi điểm M trong toạ độ
cầu được xác định bằng :
- Khoảngcách từ điểm M đến gốc tọa độ 0


- Góc  giữa bán kính vectơ OM và trục cố định 0z
- Góc  giữa mặt phẳng cố định x0z và nửa mặt phẳng giới hạn
bởi trục 0z và chứa điểm M
- Các toạ độ r ,  và  biến thiên trong các giới hạn :
0  r <+ 

0  
0    2

  

Các vectơ er , e , e là những vectơ đơn vị theo chiều tăng của r ,  , 
Trong toạ độ cầu ta có :
 u

Grad u = er

 1 u  1 u
 e
 e
r
r 
sin  

5

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp



Div A 

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

1
r sin 
2

A 

 2

 A sin    r  
sin  r Ar  r
r

 


 2
1
  u  
sin   r 2
 u  2

r sin 
r  r  




rot A =

1
r sin 


A
  A sin   

 

u 
1  2u 

sin





  sin   2 


  1  1 Ar 
 
e



rA


 r

  e +
r  sin   r



Ar  
1 
  rA  
 e
r  r
 

1.1.7 Građiên , dive, rôta và laplaxiên trong toạ độ trụ

z

ez
r
m

er

e

o

y


`

x

Vị trí của điểm M trong toạ độ trụ được xác định bằng :
- Khoảng cách r từ điểm M đến trục cố định 0z.
- Góc  giữa mặt phẳng cố định x0z và nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục 0z và
chứa điểm M
- Khoảng cách z từ điểm M tới mặt phẳng x0y vuông góc với trục 0z.
- Các toạ độ r,  và z biến thiên trong các giới hạn :
0  r  
0    2
  z  

6

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

  

Các vectơ er , e , ez là những vectơ đơn vị theo chiều tăng của r,  và z .
Trong toạ độ trụ , ta có :

 u

Grad u = er


Div A =

 1 u  u
 e
 ez
r
r 
z

A 

1 
  rAz  
  rAr  
r  r
 z


1    u  1  2u
 2u 
 2u    r  

r

r  r  r  r  2

z 2 


Ar  
1  Az A    Ar Ay   1  


 er  
 e    rA  
 ez
r   z 
r 
r  r
 
 z

Rot A  
2.1. Bài tập
Bài 1:

Biểu diễn rot , grad , div, trong hệ tọa độ đề các và chứng minh rằng:
* Rot grad u = 0


*Div rot A = 0
Bài giải
Trong tọa độ Đêcác rot , grad , div được biểu diễn như sau

i


x
Mx


rotM =


j

y
My


k

z
Mz

  M z M y    M x M z    M y M x 


i 
+ j 
 + k  x  y 
z 
x 
 z
 y



 M
 M
 M
+ j
+k
x
z
y



Gard M = i

M x M y M z


x
y
z



div M =
Chứng minh

* Rot gard u = 0
Ta có:
grad u =

u 
u 
u 
j +
k
i +
y
z
x

7

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp


i

Rot grad u =
x
u
x




j


y
u
y

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


k

z
u
z


  u 
  + k
y  z 

= i


  u 
  + j
x  y 


  u 
  - k
z  x 

   u 
  u 
    - i
z  y 
y  x 

   u 
j
 
x  z 

   2u

 2u 

   2u

 2u 

   2u

 2u 




= i
 + k 
 + j 


 yz zy 
 xy yx 
 yx xy 

= 0 (đpcm)

* div rot A = 0

Ta có:

i


Rot A =
x
Ax


j

y
Ay


k

z
Az

Suy ra :

  A A   A A
  A A 

rot A = i  z  y  + j  x  z  + k  y  x 
z 
y 
x 
 z
 y
 x

Suy ra :


div rot A =

  Az Ay 
  Ay Ax 
  Ax Az 



+

 +




x  y

z 
z  x
y 
y  z
x 

=

2
2
 2 Az  Ay  2 Ax  2 Az  Ay  2 Ax





xy xz yz yx zx zy

= 0 (đpcm)
Bài 2:
 





Tính div[ I . R ] trong đó I là vectơ không đổi và R là bán kính vectơ
Bài giải
8

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp


Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2







Ta có I = I x .i + I y . j + I z .k




R = x. i + y j + z k

i
 
[ I . R ] = Ix
x


j
Iy
y


k



I z = i  zI y  yI z  + j  xI z  zI x  + k  yI x  xI y 
z

 

Suy ra : div [ I . R ] =




zI y  yI z    xI z  zI x    yI x  xI y 

x
y
z

=0
 

Suy ra : div [ I . R ] = 0 (đpcm)
Bài 3:
  







Tính div[ I [ R . M ]] trong đó I và M là những vectơ không đổi, R là bán
kính vectơ
Bài giải
Ta có :




M = Mx i  M y  j  Mz  k





R =x. i + y. j + z . k

i
 
[R.M ] = x
Mx


j
y
My


k



z =  yM z  zM y  i +  zM x  xM z  j +  xM y  yM x  k
Mz

Suy ra :

i
Ix

  

[ I [ R . M ]] =

 yM

z

 zM y 


j
Iy


k

Iz

 zM x  xM z   xM y  yM x 

i  I y xM y  I y yM x  I z zM x  I z xM z  +

=



j  I z yM z  I z zM y  I x xM y  I x yM x  + k  I x zM x  I x xM z  I y yM z  I y zM y 

Suy ra :
  

div [ I [ R . M ]] = I y M y  I z M z  I z M z  I x M x  I x M x  I y M y
9

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

 

= 2 I . M (đpcm)
Bài 4:


a, Tính rot U ( R ) .R
 





b, Tính rot [ I . R ] trong đó I là vectơ không đổi và R là bán kính vectơ
Bài giải








a, Ta có U ( R ) . R = (x i + y j + z k )






= x U ( R) i + yU ( R) j + zU ( R) k


Suy ra: rot U ( R ) .R


i

=
x
xU
. ( R)


j

y
y.U ( R )


k

z
z.U ( R )

Suy ra:
   ( z.U ( R ) )



rot U ( R ) .R = i 


y



   ( y.U )  ( x.U ) 
 ( y.U ( R )     ( x.U R )  ( z.U R ) 
R
R


+k
 +j


z 
y 
x 
 z
 x

 U ( R ) R U ( R ) R  



i
y
R
z 
 R

=

+

 U ( R ) R U ( R ) R  




 j
z
R
x 
 R

+

  U ( R ) R U ( R ) R 



k

x
R
y 
 R

Mà :
R2 = x2 + y2 + z2
Suy ra :
R y

;

y R

R x
;

x R

R z

z R

Suy ra :
z
Tương tự x.

U ( R )
R



U
R
R U R  z. y y.z 

=
 y  ( R) 

 = 0

R  R
R 
y
R
z

R
R x.z z.x
z


=0
z
x
R
R

10

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

y

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

R
r y.x x. y

=0
x 

x
y
R
R

Suy ra :


rot U ( R ) .R = 0
 

b, rot [ I . R ] = ?
Ta có :

i
 
[ I . R ] = Ix
x


j
Iy
y


k




I z   zI y  yI z  i   xI z  zI x  j   yI x  xI y  k
z

Suy ra :

 
  



rot  I R  =   xI y  yI x    xI z  zI x   i +   zI y  yI z    yI x  xI y   j +
z
x

 y
  z

 


xI

zI

zI

yI





z
x
y
z k

y
 x




=  Ix  Ix i   I y  I y  j   Iz  Iz  k






= 2 Ix i  I y j  Iz k 


=2 I (đpcm)
Bài 5:





P  R
P
R là bán kính vectơ
Tính grad
trong
đó
là
vectơ
không
đổi
và
R3

Bài giải
 

Ta có P . R =x. Px  yPy  zPz
R3 = ( x 2  y 2  z 2 )3
Nên:
 

P  R   xPx  yPy  zPz
grad 3 = 
3
R
x  2
2
2 2
x


y

z





    xPx  yPy  zPz
3
 i + y 

  x2  y 2  z 2  2



11



    xPx  yPy  zPz
3
 j + z 

  x2  y 2  z 2  2






k



Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2




= Px  R3   xPx  yPy  zPz   R  2 x  i + Py  R3   xPx  yPy  zPz   R  2 y  j +
3
2

3
2


3
Pz  R3   xPx  yPy  zPz   R  2 z  k
2







P 3 P R R
= 3
R
R5
  
  
PR P 3 PR R
Vậy: grad 3  3 
R
R
R5









Bài 6:


M  R

Tính rot 
3
R





trong đó M là vectơ không đổi và R là bán kính

vectơ
Bài giải




M =a i +b j +c k




R =x i +y j +z k

Ta có:

3

2

2

2

R =( x + y + z )

3
2

Suy ra:
  
i j k


 

[ M R ] = a b c = i (bz-cy)+ j (cx-az)+ k (ay-bx)
x y z


M  R

 =
3
R

Đặt Ax =

bz  cy
( x2 

bz  cy
( x2 

y2 

3
2 2

z )

y2 

3


i +

cz  az
( x2 

z2 )2

y2 

cz  az

; Ay =

( x2 

y2 

3
2 2

z )

3


j +

z2 )2

; Az=

ay  bx
( x2 

y2 

3


k

z2)2

ay  bx
( x2 

y2 

3

z2 )2

Suy ra :


M  R

 = Ax. i + Ay. j + Az. k
R3

Suy ra :
12

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2



 M  R    A A 
  A A 
  A A 
=i
z
 y + j x z + k y x
rot 


3
R
z 
y 
x 
 z
 y
 x

Tính

Ax
=?
z
'


Ax 
bz  y
=
3
z
 ( x2  y 2  z 2 ) 2

b

=

5

( x2  y 2  z )

Tương tự :

Ax

y

Ay
x
Ay
z



( x2  y 2  z 2 ) 2

c

x

3

c

 x2  y 2  z



Az

x



3
2 2



a

x

 y2  z

2

3
2 2

Az

y

3
2 2



Az Ay


y z

 y2  x

2

3
2 2

x

y z
2



2a

=

5

3  x  az  x

3  ay  bx 
5

 x2  y 2  z 2  2



3
2 2





(x  y  z )
2

a

=
Ay Ax


x y

2

5

3

 y2  z2 2

2

3  ay  bx  y

 x

3
2 2

 y2  z2 2

 x2  y 2  z 2  2



2a
2

5

2

3  x  az  x



a

x

x

 x

b

 x2  y 2  z

3  bz  cy 



 y2  z2 2

2

3
1


2
2
2 2
2
2
2 2
b
(
x


y

z
)

3(
bz

cy
)(
x

y

z
)
z 

3


2
2
2 2


(
x


y

z
)



3(bz  cy )



3
2 2


 =

Z

5

2

 y2  z2 2

3bxy  3cyz  3a  y 2  z 2 

x

5

2

 y2  z2 2

3a( x 2  y 2  z 2 )
5
2 2

(x  y  z )
2



2

c

3  azx+bzy+cz 2 

x

y z

3
2 2





5
2 2

(x  y  z )
2

2

5

( x2  y 2  z 2 ) 2

2

3(bxy  cxz  ax 2 )

3(bxy  cxz  ax 2 )

( x2  y 2  z 2 ) 2

2



x

5

2

 y2  z2 2

13

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

c 3(azx  bzy  cz 2 )

5
R3
( x2  y 2  z 2 ) 2

 



M  R R =(ax+by+cz)(x i +y j +z k )

=











=  ax 2  byx+czx  i   by 2  axy+cyz  j   cz 2  azx  bxy  k


 M  R  (ai b j ck )
=
rot 
+
3
R
R3

3
(bxy+cxz+ax2+cyz+ayx+byz+azx+bzy+cz2)
5
R


 
 M 3( M  R ) R
= 3 
R
R5

+

Bài 7:


Tính thông lượng của bán kính vectơ R qua một mặt trụ bán kính a và chiều
cao h tính bằng công thức Ostrôgratski-Gaux
Bài giải


Ta có thông lượng của bán kính vecto R là


R
d
S =
N= 

S







z ds1


divR
dv



s2

V



Có R =x i +y j +z k

s1

 Rx Ry Rz
Suy ra div R =
=3


x
y
z

R
0

Suy ra N = 3  dV  3V  3 a  h
2

y

x

s3

V

14

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

CHƢƠNG 2
TĨNH ĐIỆN TRƢỜNG
2.1. Cơ sở lý thuyết
2.1.1 Hệ các phƣơng trình Macxoen tổng quát :
Điện từ rường được đặc trưng bằng bốn vectơ : vectơ cường độ điện trường



E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cường độ từ trường H , vectơ cảm ứng điện

trường B . Bốn vectơ trên không độc lập với nhau. Đối với môi trường đẳng hướng

, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức :


D E



B  H

Trong đó :
 gọi là hằng số điện môi,
 gọi là độ từ thẩm.

Từ những sự kiện thực nghiệm trong điện từ học, ta rút ra được phương
trình Macxoen:


B
rot E  
t

   D
rot H  j 
t

divD  

divB  0

Các phương trình trên đã diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từ trường
: từ trường biến thiên sinh ra điện trường xoáy , và ngược lại diện trường biến
thiên sinh ra từ trường xoáy .
Điện từ trường có năng lượng được phân bố liên tục trong không gian mà
mật độ bằng  

1   
ED  H B
2





năng lượng tuân theo định luật bảo toàn năng

lượng.Với một hệ cô lập chỉ có điện tích và điện từ trường tương tác với nhau , thì
xung lượng của điện tích và điện từ trường là một lượng không đổi.
15

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Trường tĩnh là những trường thoã mãn điều kiện :
- Các đại lượng đặc trưng không biến đổi theo thời gian
- Các điện tích không chuyển động.
Khi áp dụng các phương trình Macxoen cho các trường tĩnh , ta phải cho các
đạo hàm theo thời gian của các đậi lượng đặc trưng cho trường tĩnh bằng 0


và cho j =0 . Đối với trường tĩnh thì từ trường và điện trường là độc lập với
nhau nên có thể khảo sát riêng rẽ.

Từ đây ta có nhóm các phương trình của trường tĩnh điện là:

rotE  0

divD  0

(*)
(**)

Vậy trường tĩnh điện là điện trường của các điện tích đứng yên.
Trong môi trường đồng chất, các phương trình (*),(**) của tĩnh điện trường
có thể viết thành

rotE  0

(***)

 
divE 

(****)



2.1.2.Tĩnh điện trƣờng đồng chất-thế vô hƣớng


Từ phương trình rot E =0 , ta thấy rằng tĩnh điện trường là một trường thế.


Dạng tích phân của rot E =0 là:
 
 E d l = 0 (2.1.1.1)

C1

B

Xét hai điểm bất kỳ A, B
trong tĩnh điện trường, và C1 và C 2
là hai đường đi bất kì từ A đến B,
tạo thành một chu trình khép kín C.

C2

(hình vẽ)
Ta có:

 
E
dl=

 Edl +
C

C1



 C2

 
 
 
E dl = Edl -  Edl = 0
C1

A

C2

Hay
16

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

 

 

 Edl =  Edl

(2.1.1.2)

C2

C1

 
Vì E d l là công của điện trường để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị

(e= +1C) trên nguyên tố đường d, nên vế trái và vế phải (2.1.1.2) biểu diễn công
của tĩnh điện trường để di chuyển điện tích e= +1C từ A và B theo các đường
C1 và C 2

Vậy : trong tĩnh điện trường công để di chuyển một điện tích từ điểm này
đến điểm khác không phụ thuộc vào đường đi , chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và
điểm cuối . Đó là tính chất của trường thế
Từ phương trình Macxoen:


rot E = 0
rotgrad  = (   )= () = 0

Và:


E =-grad  (2.1.1.3)

Trong đó  =
 ( r ) là một hàm vô hướng của tọa độ. Hàm  luôn thỏa

Nên đặt :

mãn phương trình:

Rot(-grad  ) = 0


Tức là thỏa mãn phương trình : rot E =0
Hàm  được đinh nghĩa bằng (2.1.1.3) gọi là thế vô hướng của tĩnh điện
trường (thế tĩnh điện hay điện thế).
Vì :
d =





dx 
dy 
dz  grad.dl
x
y
z

Ta luôn luôn có:
B
B
 

E

grad

.

d
.
l

d
=
=
l


 d   ( A)   ( B)
B

A

A

(2.1.1.4)

A



Theo định nghĩa nếu biết  , có thể xác định được trường E một cách đơn giá.


Nhưng ngược lại nếu, nếu biết trường E , ta không xác định được thế  một cách
đơn giá.
17

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Nếu C là một hằng số tùy ý , ta luôn có:
Grad(  +C) = grad 




Như vậy , nếu  xác định trường E thì  +C cũng xác định trường E đó.
Chính vì vậy ta cần định cỡ điện thế  . Sau khi định cỡ , điện thế ở mọi điểm được
xác định một cchs đơn giá.
Để thuân tiện cho các phép toán , tùy từng trường hợp cụ thể , ta có thể qui
ước cho  tại mỗi điểm nào đó một giá trị xác định nào đó. Cách làm đó gọi là
phép định cỡ điện thế. Sau khi đã định cỡ , điện thế tại mỗi điểm được xác định
một cách đơn giá.
Trong vật lý lý thuyết, ta thường cho ở vô cực bằng 0.






Nếu cho  (  )=  (A)-  (  ) =  E d l

(2.1.1.5)

A

Tức là: điện thế tại một điểm bát kì bằng công của điện trường để di chuyển
một điện tích dương bằng đơn vị từ điểm đó đến vô cực (cũng bằng công mà ta
phải cung cấp để di chuyển một điện tích dương bằng đơn vị từ vô cực đến điểm
đó)
2.1.3. Các phƣơng trình vi phân của thế vô hƣớng


Trong phương trình Macxoen: div E =


2
divgrad  =  



, ta thay E bằng -grad  :


divgrad  = Vì
Ta có:
 2 = -




Đó là phương trình Poatxông của thế vô hướng
Đối với một điểm không chứa điện tích thì phương trình Poatxong trở thành

phương trình Laplaxơ:
 2 =0

18

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Nghiệm của phương trình Poatxong cần thỏa mãn các điều kiện : là một hàm hữu
hạn , liên tục và có tọa độ theo tọa độ hữu hạn để choi các phương trình có ý nghĩa
vật lý.
2.2.Bài tập
Bài 1 :Tính điện thế và điện trường do một bản song song vô tận tích điện đều. Bề
dày của bản bằng 2a, mật độ điện tích trong bản là  = const . Hằng số điện môi
trong bản và ngoài bản đều bằng  .
Bản vô tận chia không gian thành 3 miền(hình vẽ).
Bài giải
Vì điện tích được phân bố đối
xứng với mặt trung bình của bản, nên

+a

3

2

o
-a

điện thế và điện trường cũng đối
xứng với mặt đó. Bản là vô tận nên

z

1

vecto điện trường có phương song
song với trục Oz. Chọn mặt trung
bình là x0y.
Điện thế chỉ phụ thuộc vào tọa độ z
Viết các phương trình Laplaxơ và phương trình Poatxông cho ba miền không gian
Đối với miền 1(z<-a):
21  0 hay

d 21
0
dz 2

(1)

Đối với miền 2 (-ad 22


 2   hay 2  
dz



2

(2)

Đối với miền3 (z>+a)
23  0 hay

d 23
=0
dz2 2

(3)

Nghiệm của ba phương trình đó là:
) 1  A1 z  B1

(1a)
19

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
2  

 2

z  A2 z  B2
2

(2a)

3  A3 z  B3

(3a)

Chúng ta phải xác định 6 hằng số tích phân A1 , B1 , A2 , B2 , A3 , B3 .
Đặt  2  0 khi z = 0 (điều kiện định cỡ). Từ phương trình (2a) ta rút ra :
B2 =0

Do phân bố đối xứng của điện tích , điện trường tại mặt z=0 phải bằng 0.
Do đó:
d 2
dz

z 0

=0

Lấy đạo hàm của phương tình (2a) theo z và cho z=0, ta rút ra :
A2  0

Điều kiện về sự liên tục của thế  :
Khi z=-a thì:

1 (a)  2 (a)

Vì không có điện tích mặt nên E1  E2 , tức là:
d 1
dz

z  a



d 2
dz

z  a

Từ phương trình (1a) và (2a) , ta rút ra :

a

 2
B1 
a
2
A1 

Tương tự như trên , khi z = +a thì 2 (a)  3 (a) và :
d 2
dz

z  a



d3
dz

z  a

Từ các phương trình (2a) và (3a) , ta rút ra:

a


B3   a 2
2
A3  

Đưa giá trị của hằng số tích phân vào (1a), (2a), (3a), ta rút ra:
20

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
1 



az  a 2


2

2  

 2
a
2

(5)

3  



az  a 2

2

(6)



Áp dụng E =- grad  , ở đây là E = 
E1  

(4)

d
, ta tinh ra:
dz


a


E1  


z


E3  a

E2 

 
ak


 
zk

 
E3  ak

E2 



Bài 2:

Dùng định lý O-G để tính điện trường của một dây dẫn mảnh dài vô hạn , tích
điện đều với mật độ dài bằng 
Bài giải
Xét 1 hình trụ bán kính r có trục trùng với dây dẫn
Theo định lý O-G ta có:
 
 D .d s = e

Do đó :
 
 
.d
+
D
s
 D .d s +

S2

S1



 
D .d s = e

S xq



Do dây dài vô hạn nên D có phương vuông góc với dây dẫn nên ta có:
 
 D .d s = 0 ;

S1

 
 D .d s = 0

S2

Suy ra :








 D . d s =  D .d s =  D.ds =e

S xq

S xq

S xq

 D.2  .r.l =  .l

21

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2
 E=

1

.

2  .r

Điện trường do dây dẫn dài vô hạn gây ra:

1

E = 
2  .R

Bài 3:
Dùng định lý O-G để tính điện trường của quả cầu bán kính r tích điện đều
với mật độ điện tích  = const. Hằng số điện môi trong và ngoài quả cầu đều
bằng 
Bài giải
Áp dụng định lý O-G ta có:


Div D = 


Div E =




Trong tọa độ cầu ta có:
1 

E 
2
sin  .(r .Er )  r. ( E sin  )  r

r .sin  
r
 



Div E =

2

Nhưng do điện tich trong quả cầu phân bố không đều nên ta có E = Er hay E chỉ
phụ thuộc vào r
Suy ra :


Div E =



1 

. (r.E ) 
2
r r




(r.E )  .r 2
r


r2 E =

 Etrong 

 3

.r  E  .r
3
3

 
.r

3

Đối với những điểm bên ngoài quả cầu ta có :
 
 D .d s =e

22

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2


D cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt cầu nên ta có:

 
4
2
3
 D  ds  D  4  r    3   R
D

Suy ra:

 R3

E

3r 2
  R3 
E
r
  3r 3

 R3
  3r 2

Bài 4:
Tính điện dung của một tụ điện hình cầu có bán kính các bản bằng R1 và
R2 .Điện môi giữa 2 bản có hằng số 

Bài giải
Áp dụng định lý O-G ta có :
 
 D .d s = q

Xét với : R1  r  R2
 D.4 r 2  q  E 

q
 .4 r 2

Mà E = -grad 
 

q
4 .r

 C1

Điện thế của những điểm cách tâm 1 khoảng R1 là:
1 

q
 C1
4 .R1

Điện thế của những điểm cách tâm 1 khoảng R2 là:
2 

q
 C1
4 .R2

Hiệu điện thế giữa 2 bản tụ là :

C=

q
4

 1  1
R1 R2

23

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý

Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Bài 5:
Tính điện dung 1 tụ điện hình cầu có bán kính các bản bằng R1 và R2 và
khoảng cách giữa 2 bản chứa hai điện môi khác nhau
Bài giải

e2
e1

Theo định lý O-G ta có:
 
 D .d s = q

Xét cho những điểm có R1
R1

q
D4 .r  q  E 
4 .r 2
2

R2

Ta có :

E =grad    

q
4 r

a

 C1

Điện thế tại r=a ta có :
1' 

q
41 R1

 C1

Hiệu điện thế của khoảng R1  a là:
1 

q  1 1
 

41  R 1 a 

Hiệu điện thế của khoảng a  R2 là :
 2 

q 1 1 
  

4 2  a R2 

Hiệu điện thế giữa 2 bản tụ là :
  1  2 

q
4

 1  1 1  1  1 1 
       
 1  R1 a   2  a R2  

Điện dung của tụ điện là:
C=

q
4

 1  1 1  1  1 1 
 

1  R1 a   2  a R2 

Bài 6:
24

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2

Hai vành tròn mảnh bán kính R, tích điện đều và được sắp đặt như hình vẽ
Bài giải:
Xét tại O1 :
Thế vô hướng O1 được gây ra bởi
hai vành tích điện e1và e2 với khoảng cách
khác nhau.




e1
4



e2
4

11   Edr 
R



 21   Edr 
r

=

e
o2 2



e
dr
R r 2  41 R


dr

r

a

2

r

e2
e2
1


4 r 4 R 2  a 2
1



o1

e1

Do tính chất đồng chất của thế vô hướng nên ta có :
1  11  12 

e1



4 R

e2
4 R 2  a 2

Chọn  =0 suy ra điện thế tại điểm O1 :  0   1    1
1

Mà 1 bằng công dịch chuyển một điện tích dương từ vô cực về O1 nên ta có:
A1
e
e2
 1 
(1)
e 4 R 4 R 2  a 2

Tương tự đối với điểm O2 ta có:
2  12   21 

e1
4 R  a
2

2



e2

4 R

Suy ra :
A2
e1
e

 2
e 4 R 2  a 2 4 R

(2)

Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình:

25

Nguyễn Thuý Hà – K32E Lý