Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử

Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường đại học sư phạm hà nội 2

Luận văn tốt nghiệp

Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải
các phương trình vật lí toán

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dịu
Lớp:k31A vật lí
Người hướng dẫn khoa học: T.S Phạm Thị Minh Hạnh

Hà nội 2009

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Mục lục
Mở đầu

1

Chương 1: Phương trình dao động của dây

3

1. Thiết lập phương trình dao động của dây

3

2. Dao động tự do của sợi dây

4

2.1. Phương trình goa động tự do của sợ dây hữu hạn

4

2.2. Một số bài toán hoạ

8

2.3. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

13

2.3.1. Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây

13

3. Một số bài toán hoạ

14

4. Tổng kết chương 1

24

Chương 2: Phương trình dao động của màng

25

1. Thiết lập phương trình dao động của màng

25

2. Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

26

3. Một số bài toán minh hoạ

29

4. Giao động cưỡng bức của màng chữ nhật

32

5. Phương trình Bessel

33

6. Phương trình dao động của màng

36

7. Tổng kết chương 2

38

Chương 3: Phương trình truyền nhiệt

39

1. Thiết lập phương trình

39

2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều

40

trong thanh dài vô hạn
3. Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

43

4. Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn

45

4.1. Khi không có nguồn nhiệt

45

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn - Điều kiện tổng quát

46

5. Bài toán minh hoạ

49

6. Tổng kết chương 3

61

Chương 4: Hàm Bessel (hạng bán nguyên phương trình Bessel
dạng M+

62

1
)
2

Kết luận

68

Tài liệu tham khảo

69

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Lời cảm ơn
Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động
viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa. Đặc biệt em
xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh đã giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý đã tạo
điều kiện cho em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Dịu

K31D – Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô
giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị
Minh Hạnh
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp
tách biến Fourier để giải các phương trình vật lý toán” không có sự trùng
lặp với kết quả của các đề tài khác.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Dịu

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển
và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác.
Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng. Một chuyên ngành vật lý

mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và
toán học. Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí
thuyết nói riêng phát triển.
Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh
viên thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy.
Toán cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức... Câu trả lời dần được
hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý. Bộ môn phương pháp Toán – Lý
là một ví dụ sớm nhất. Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán
học, phương trình toán để giải bài tập Vật lý. Nhưng phương pháp toán học
dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng
rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương
trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân,
phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính. Trong quá trình tìm nghiệm của các
phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương
pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ... Các phương
trình mô tả sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương
trình vi phân đạo hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của
nó và các số biến số độc lập. Từ cơ sở là các phương trình vật lý – toán cơ bản
ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao
động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt. Để tìm nghiệm của các
phương trình này không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải
kết hợp phù hợp và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một
cách linh hoạt. Chính vì lí do đó việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng của

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ” là rất
cần thiết.
Mỗi dạng bài nêu được.
- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng
- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó.
Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý”
nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt
nói riêng. Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử
dụng phương pháp tách biến Fourier. Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý
thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán – lý.
Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý – toán và hệ thống
bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier
3. Giả thiết khoa học
Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến.
Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải
bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập một số phương trình Vật lý – Toán.
- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán.
- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này.
6. Phạm vi nghiên cứu

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu
dụng trong lý thuyết trường lượng tử” nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương
trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt.

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Chương 1
Phương trình dao động của dây
1. Thiết lập phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây rất mảnh, có độ dài  , căng, gắn chặt ở hai nút. Giả sử
sợi dây rất dẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo
đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy. Tại mỗi điểm T = Const.
Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm
dọc theo trục ox. Trong quá trình dao

T2
y

động sợi dây dao động theo phương


T

vuông góc với trục Ox. Vị trí sợi dây

1

Q2


p

tại mọi thời điểm như nhau. Lập
phương trình cho hàm U(x,t)

x1

x2




Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định các lực tác dụng T1 , T2 ( T1 = T2),
ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)
áp dụng phương trình định luật II Newton có
   
T1 + T2 + P = ma

(6)

Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động
- T1sin  (x1) + T2sin  (x2)=

x2

  g( x, t )dx dx

(7)

x1

Coi sợi dây đồng chất thì   const

 2u
 là khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi dây đo (7) =   2 dx
t
x
x2

1

- T1 sin  (x1) + T2sin  (x2)= T[sin  (x2)-sin  (x1)]

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

u
tg
u
x


1  tg2
 2u x
1 2
x

Trong đó

sin  =

Do đó

 2u
T [sin  (x2)-sin  (x1)] = T  2 dx
x t
x2

1

x2

Thay vào (7) có

  U

''
tt

x1

 TUtt''   g( x, t ) dx  0

Vì với x1, x2 bất kì nên  utt''  TU xx''   g( x, t )  0
Utt'' 



T



U xx''   g( x, t )

 Utt,,  a2U xx,,   g( x, t ) (8) là phương trình dao động của sợi dây.
Với a2 

T



a

T



thứ nguyên [a] =

m
là vận tốc truyền sóng.
s

* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây không
có ngoại lực.
* Nếu g  0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây.
2. Dao động tự do của sợi dây
2.1. Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn.
Xét một sợi dây có chiều dài  , khi ở trạng thái cân bằng thì 0  x  
dọc theo trục ox. Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động.
U(x,
t)

Phương trình dao động
Utt''  a2U xx''  0 (9)

Điều kiện ban đầu tại thời điểm t = 0
U/t=0 = f(x) ; U’t/t=0 = F(x)
0  x 
Trong đó hàm U = U(x,t)
K31D – Vật lý

(10)
O

x



Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Điều kiện biến Ux=0 = Ux =  = 0 (11)

t 0

Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài
toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây.
Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier
Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với
một hàm chỉ phụ thuộc t.
U(x,t) = X(x) T(t)

(12)

Utt'' = XT’’; U xx'' = X’’T

Ta có

Thay vào (9) ta có X’’T – a2X’’T = 0



T( ''t ) a2 X'' ( x)

T( t )
X( x)

T( ''t )
X'' ( x)
Do
không phụ thuộc vào x và
không phụ thuộc vào t nên
X( x)
T( t )
''
1 T( t ) X'' ( x)
=
= Const = C
a2 T( t )
X( x)

Đặt

C   ta có
X'' ( x)
= -   X’’(x) +  X(x) = 0
X( x)
''
1 T( t )
= -   T’’(t) +  a2 T(t) = 0
2
a T( t )

* Giải phương trình (13) X’’ +  X = 0
Tuỳ theo dấu của  , xét các trường hợp sau :
+  = -C2 < 0 nghiệm tổng quát của (13) là :
X(x) = C1 ecx + C2 e-cx ; C1, C2 vì hằng số tuỳ ý.
Từ điều kiện biên (11) ta có
C1  C2  0
 cl
 cl
C1e  C2 e  0

K31D – Vật lý

(13)

(14)


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Hệ này có nghiệm là C1 = C2 = 0. Trường hợp này bài toán chỉ có
nghiệm không

 = 0. Nghiệm tổng quát của (13) là

+

X (x) = C1+ C2x

Từ điều kiện biên (11) ta có
C1= 0
C1 + C2  = 0
Hệ này có nghiệm C1= C2= 0 và X(x) = 0
= C2 > 0 nghiệm tổng quát của (13) là

+

X(x) = C1con Cx + C2 sin Cx
Từ điều kiện biên (11) ta có
Ux=0  Xx= 0 = 0  C1 = 0 = X(0)
U x = 0  Xx =  = 0  C2 sin Cl = 0

C2  0  X( x)  0  lo¹i

 SinCl  0
Khi đó

Cl = k   C =

Do đó mà

k2 2
= 2
l

k
l

( k =  l  2..)

Vậy nghiệm của (13) là Xk(x) = C2 sin
hay

Xk(x) = Ak sin

k x
l

k x
l

Các nghiệm này lập thành họ trực giao trong khoảng [0,l] nghĩa là
l

 X ( x) X ( x)dx  0 nếu k  j
k

j

o

* Giải phương trình (14) T’’ + a2  T = 0

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

T’’ + a2 c2 T = 0 Đặt a2c2=  2



Nghiệm tổng quát của phương trình (14) có dạng
Tk(t) = Bkcos

k at
k at
+ Pk sin
l
l

Từ nghiệm của hai phương trình trên ta có nghiệm riêng của 2 phương
trình là :
Uk(x,t) = (ak cos
Với

k at
k at
k x
+ bk sin
) sin
l
l
l

ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk

( k = 1,2,3...)

ý nghĩa của nghiệm riêng
* U (x,t) là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng). Mỗi điểm x
của sợi dây thực hiện các dao động điều hoà với tần số  k =
độ

k a
và với biên
l

ak2  bk2 sin  k . x

bk
k ax  ak
k at
k at  2 2
cos
 2 2 sin
U(x,t) = sin

 ak  bk
l  ak2  bk2
l
l 
ak bk

Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của
mình về phía này hay phía khác.
sin

k x
k 1
.l
= 0 x =
l
k

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng

sin

k a
k x
 1 tần số  k =
. k = l là tần số âm cơ bản k  1 ứng với
l
l

các hoạ âm.
* Nghiệm tổng quát của phương trình


U(x,t) =

U ( x, t )   sin
k 1

K31D – Vật lý



k

k 1

k x 
k at
k at 
a
cos

b
sin
k
k
l 
l
l 


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Utt'' , U xx'' và hàm U(x,t) thoả mãn
điều kiện biên như mỗi một Ux với các giá trị bất kì của ak và bk .
áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số


Ut=0 = 0   ak sin
k 1

k x
 f ( x)
l

 ak là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,l]

ak =
Và


2l
k
f ( )sin  d

l c
l

’

U t=0 = F(x) 
F(x) = sin

tương tự có bk =





k 1

 ak k
l

sin

k x
 F( x)
l

k x  ak k a k at k abk
k at 
sin

cos

l  l
l
l
l 

2 l
k
F( )sin ( )d( )

k a 0
l

2.2. Một số bài toán minh hoạ

2.2.1. Bài toán 1
Xác định dao động của một dây có chiều dài L thoả mãn phương trình:

Utt''  a 2Utt''  0 (a = const)
Thoả mãn điều kiện ban đầu
U t 0  x; U t',t 0  L

và điều kiện biên U x0  0 ;U x1  0
Cách giải
Giả sử nghiệm riêng của phương trình có dạng U( x,t )  X ( x )T (t )


XT’’ – a2 X’’T = 0 

1 T '' X ''

= C = const
a2 T
X

Vì hai vế là hàm của 2 biến số khác nhau nên chúng chỉ bằng nhau khi
cùng bằng 1 hằng số
K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

T '' a 2CT  0


 X '' C X  0



(15)
(16)

Trường hợp 1: C =  2  0
Phương trình (16)  X’’ -  2 X = 0

(17)

Nghiệm của phương trình (17) có dạng X = A1 e x  A2e x
Từ điều kiện biên có

 A1  A2  0
 l
 l
 A1e  A2e  0

 A1 = A2 = 0  X = U = 0

Trường hợp 2: C = 0
Phương trình (16)  X’’ = 0  X’ = A1  X = A1x + A2
Từ điều kiện biên suy ra

 A2  0
 A1 = A2 = 0  X = U = 0


A
L

A

0
 1
2
Trường hợp 3: C = -  2 < 0
Phương trình (16)  X’’ +  2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1 cos  x + A2 sin  x

 A1  0  X (0)
Từ điều kiện biên 
 A1 cos  L  A2 sin  L  0  X ( L )


A2 sin  L = 0  sin  L = 0   L = k 



=



Xk = Ak sin

k
(k  1, 2 ,…)
L

k
x
L

Phương trình (15)  T’’ +  2 a2T = 0 có nghiệm dạng
T = C cos  at + Dsin  at  Tk = Ck sos

K31D – Vật lý

k at
k at
 Dk sin
L
L


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Nghiệm tổng quát của phương trình là Uk = Xk. Tk
Uk = (ak cos

k at
k at
k x
 bk sin
)sin
L
L

L

Trong đó ak = CkAk; bk = Dk Ak


Nghiệm của phương trình U  U k
k 1


k at
k at  k x

 U t 0    ak cos
 bk sin
 sin
L
L 
L
k 1 


Từ điều kiện ban đầu có U t 0   ak sin
k 1



U 't 0   bk cos
k 1

k a

k x
sin
 F ( x)  L
L
L

2
k x
2
k x
ak   f ( x)sin
dx   x sin
dx
L0
L
L0
L
L



k x
 f ( x)  x
L

L

k x
2
k x

bk 
F
(
x
)sin
dx

L
sin
dx
k a 0
L
k a 0
L
2

L

L

L
2 L
k x 2 
k x
xd
(cos
)

x
cos

ta có akL 

L k 0
L
kL 
L





Vậy U  
k 1

2
L
k x
( L(1) k 
sin
kL
k
L

L
0

  cos
0

k x 

dx 
L


2
)


(1) k
0
k
L



2



2
k

x

k

at
k

x


k
k
a

 (1) cos

1  () sin
)sin

2 
 k
L
L
L

 L  




 k 



2.2.2. Bài toán 2
Xác định dao động của một sợi dây có chiều dài  thoả mãn phương
trình

K31D – Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Utt''  a2U xx''  0 (a = const)
Điều kiện ban đầu Ut=0 = x;
Điều kiện biên U’x=0 = 0;

U’t=0 = 
Ux=  = 0

Bài giải
Giả sử nghiệm có dạng: U / ( x,t ) = X( x )T(t )


XT’’ – a2 X’’T = 0 

1 T '' X ''
. 
 C  const
a2 T
X

Vì hai vế là hàm của hai biến khác nhau chúng chỉ bằng nhau khi là
hằng số

 X '' CX  0 (18)


2
T '' Ca T  0 (19)

Suy ra
Xét trường hợp sau

Trường hợp 1: C =  2 > 0
Phương trình (18)  X’’ -  2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1 e  x + A2 e  x
Từ điều kiện biên U 'x , x0 = X 'Tx0  0  X 'x0  0

 X ' x0  A1  A2  0  A1  A2  A

X x  Ae
 A2e  A(e  e )  0
1



A = 0 X = U = 0

Trường hợp 2: C = 0 
Phương trình (18)  X’’= 0  X = A1x + A2
Từ điều kiện biên X ' x0  A1  0  A1  A2  0

X x  A1  A2  0  X = U = 0
Trường hợp 3: C =  2 < 0  X’ +  2 X = 0 có nghiệm dạng
X = A1cos  x + A2sin  x

K31D – Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Từ điều kiện biên: U ' x0  X 'Tx0  0  X ' x0  0

X ' x0  A2  0  X  A2 cos  x


X 'x  A1 cos   0  cos   0     k 
2




    2k  1   X k  A1 cos
2

(2k  1) x
2

Phương trình (19)  T ''   2 a 2T  0 có nghiệm dạng


T = B1 cos  at +B2 sin  at



Tk = B1cos

(2k  1) at
(2k  1) at
k
 B1 sin
 
2
2
1

Nghiệm của phương trình có dạng U k  X kTk
Nghiệm tổng quát

(2k  1) x
(2k  1) at
sin(2k  1) at 

U  U k    M k cos
 Nk
 cos
2
2
2

k 0
k 0 






Điều kiện ban đầu có U t 0   M k cos
k 0



U 't 0   M k
k 0

(2k  1) x
 f ( x)  x
2

(2k  1) a
(2k  1) x
cos
 F ( x)  
2
2

2
(2k  1) x
2
(2k  1) x
M k   f ( x)cos
dx   x cos
dx
0

2
0
2




2
2
 (2k  1) x 
x d  sin
=


 (2k  1) 0
2




4
=
(2k  1)
=

K31D – Vật lý

4
(2k  1)


(2k  1) x
 x sin
2




  sin
0


0

(2k  1) x 
dx 
2



2
(2k  1) x
k
(1)  (2k  1) cos
2



0





Khoá luận tốt nghiệp



Bùi Thị Mai Phương

4
(2k  1)


(2) 
k
(1) (2k  1) 



2.2
(2k  1) x
2.2
2
Nk=

cos
dx


.

(2k  1) a 0
2
(2k  1) a (2k  1)


(2k  1) x
sin
2

8 2 (1)k
=
0
a 2 (2k  1)2


Vậy
 
4
U  
k 0  (2k  1)

sin



2
(2k  1) at
8 2 (1) 2
k
(


1)

cos


(2k  1) 
2
4 2 (2k  1) 2


(2k  1) at 
(2k  1) x
 cos
2
2


2.3. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.3.1. Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây
Utt'' - a2 U xx'' = - g(x,t) (2)

Ut’t= 0 = F (x)

Với điều kiện ban đầu Ut= 0 = f(x) ;
Điều kiện biên : Ux = 0 = 0 ; Ux=l = 0

k x
l

Chọn các sóng đứng là Uk = Tk(t) sin
Phương pháp giải
Nghiệm của phương trình là U =



 T (t )sin
k 1

Đặt

k

k x
l

Uk (x,t) = Tk(t) Xk(x)

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình (21) ta có

k2 2a2
 ''
 k x
Tk (t ) sin
  g( x, t )

 T( k ) (t ) 
2
l
l

k 1 



Giả sử với t  thì hàm – g(x,t) phân tích thành

K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương


g(x,t) =


k 1

k

(t )sin

k x
l

nên

k2 2a2
k x

 ''
 k x 
T
(
t
)
   k (t )sin

 T( k ) (t ) 
 sin
k
2
l
l
l
k 1 
k 1




k2 2a2
 ''
Tk (t )   k (t )

 T( k ) (t ) 
l2
k 1 





(22)

Phương trình này lên được vô số nghiệm  điều này là vô lý.

2
k x
 k (t )   g( x, t )sin
dx
0


Tính

Từ điều kiện ban đầu cho hàm U(x,t) có

k x

U

f
(
x
)

T
(0)sin


t

0
k

l
k 1


U '  F ( x)   T' (0)sin k x
k
 t 0
l
k 1

2l
k x

T
(0)

f
(
x
)sin
dx  ak
k


l 0

l

l
 T' (0)  2 F( x)sin k x dx  b
k

 k
l 0
l

(23)

Bây giờ hàm Tk(t) có thể hoàn toàn xác định từ phương trình (22) và
các điều kiện (23)
Thay kết quả vào phương trình U =



 T (t )sin
k 1

k

nghiệm của bài toán.
3. Một số bài toán minh hoạ
3.1. Bài toán 1
Tìm nghiệm của phương trình

 2u  2u


 Mx
t 2 x 2

Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0

K31D – Vật lý

k x
ta sẽ nhận được
l


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương
U(x,0) = 0 ; U’(x,0)= 0

U ( o,t )  0
và các điều kiệnbiên 
U (  ,t )  0
Bài làm
Phương trình đã cho được viết dưới dạng Utt''  U xx''  M x

 Utt''  U xx''  M ( x )

(24)

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U  U ( x,t )  V( x )  S( x,t )

Trong đó V(x) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây
S(x,t) là phương trình của dao động tự do của sợi dây

U tt''  Stt'
 ''
''
''
U xx  Vxx  S xx

Suy ra



Stt''  Stt''  Vxx''  M x

''
(25)
Vxx   M x
  ''
''
 Stt  S xx  0 (26)

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và
điều kiện của (25) như sau

Vx0  0 ; Vx  0 điều kiện biên
Điều kiện ban đầu Vt 0  V( x ) ; Vt 0  0
Từ (25) suy ra

Vxx''   M x  Vx'  



Vx  

M 2
x  C1
2

M 3
x  C1 x  C2
6

+ Xét điều kiện biên, U x0  Vx0  S x0  0


K31D – Vật lý

Vx0  0

 S x 0  0

Vx0  0

Vx  0


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Vx  0
U x  Vx  Sx  0  
 S x   0

 S x 0  0

 S k   0

+ Xét điều kiện ban đầu

Ut 0  Vt 0  St 0  0  Vt 0  St 0  Vt 0  V ( x)

Vt 0  Vx
U 't 0  Vt '0  St'0  0  St'0  0   '

Vt 0  0

Giải phương trình (25)

Vx 

S  Vx
;  t'0

St 0  0

M 3
x  C1 x  C2
6

Vx 0  C2  0

Điều kiện biên

Vx l

M 3 M 2
x  l x
M 3
M 2  Vx 
6
6

l  C1l  0  C1  l
6
6

Giải phương trình (26): Stt''  Sxx''  0 phương trình có nghiệm dạng
S ( x, t )  X ( x)T (t )

X '' T ''
 XT  X T  0 

 C =const
X
T
''

''

 X ''  CX  0

T   CT  0

(27)
(28)

Xét 3 trường hợp sau
 Trường hợp 1:

C =  2 >0  X  U  0

 Trường hợp 2:

C =0  U  X  0

 Trường hợp3:

C   2 <0 Nghiệm dạng

X  A1 cos  x  A2 sin  x

T  B1 cos t  B2 sin t

*) Từ điều kiện biên
X x 0 A1  0

X x   A2 sin   0    k   

K31D – Vật lý

k


(k= 1; 2,...)


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

 X k  A2 sin

k x



Nghiệm tổng quát của (2b) dạng Sk \ Xx.Tk




k 1

k 1

S   sK   (ak cos

k t

k t
k t
 bk sin
) sin




+ Từ điều kiện ban đầu


S / t 0   ak sin
k 1



S '/ t 0   bk sin
k 1

k t
 X ( x )  f ( x)


k
k t
sin
 0  F( x )  bk  0



2
k x
2 M
M
k t
V( x ) sin
dx   ( x3   2 x)sin
dx

0

0 6
6



ak 



2  M 3 2
k x
ak 
( x   x )d cos

 k 0 6





M
k x 
k x 2 2
( x3   2 x  cos
/ 0   cos
(ex   ) dx
3k


0



M 
sin k x 1
(x3   2 )d (


3k k 0

k





M 1  3 2
k x


( x   ) sin
2 
3 ( k ) 




6 2 M
3k 2 3

k x

k 
(1) k sin 


0



  sin
0

k x
dx


2
k
 2M  (1)


0
k 3 3




 2 M 3 (1) k
k x
k x 
cos
sin
 S = 

3 3
k

 
k 1 

Vậy U(x,t) = V(x)+ S(x,t


3.2. Bài toán 2
K31D – Vật lý


 2M 3
M 3 M 2
k t

k x 
x 
x  
(1) k cos
sin

3
6
6

 
k 1  ( k )


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia
chuyển động theo quy luật U(l,t) = Asin  t và các điều kiện ban đầu bằng 0.
Bài làm
Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:
- a2 U xx'' = 0 thoả mãn điều kiện biên Ux = 0 = 0; Ux=l = Asin  t
và điều kiện ban đầu Ut=0=0 ; U’t=0 = 0.
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng
U = U(x,t) = V(x,t) + S(x,t)
V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là
phương trình dao động tự do của dây

Utt''  Vtt''  Stt''  Vtt''  Stt''  a2 (Vxx''  Sxx'' )  0

  ''
''
''
 Vxx  Vxx  Sxx
 Vtt''  a2 Vxx''  0 (23)
  ''
2 ''
 Stt  a Sxx  0 (24)
Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S
+ Điều kiện biên

 Vx0  0
Ux=0= Vx=0 + S x=0= 0  
 Sx0  0
U x   Vx   S x   A sin t

 Vxl  Asint
 Vx0  0
 Sx0  0


; 
 Sxl  0
 Vxl  Asint  Sxl  0
+ Điều kiện ban đầu
Ut=0= Vt=0 + St=0= 0  Vt=0= -St=0 = V(x)

 Vt 0  Vx

 St 0   Vx

U’t=0= V’t=0 + S’t=0= 0  V’t=0= -S’t=0 = V’(x)
K31D – Vật lý


Khoá luận tốt nghiệp

Bùi Thị Mai Phương

'
'
 Vt 0  Vx
 St 0   Vx
 V xl  V x
 '

;
 '
 '
'
'
'
 V t 0  V x  St 0   V x
 St 0   V x

Giải phương trình (29) V’’tt – a2 V’’xx = 0
Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: V = X(x). T(t)
Đặt Tt = sin t  V = Xx sin t 

Vtt''  Xk   2 sint
Vxx''  X'' sint

  X x  2 sin  t – a2 X’’ sin  t = 0

2
 X + 2 X=0
a
’’

X = A1cos




x + A2 sin

a

V = ( A1cos

2
vì 2 > 0
a


a

x+A2 sin


a


a

x
x) sin  t

+ Điều kiện biên
Vx = 0 = A1sin  t = 0  A1= 0
Vx=l = A2 sin

A
l
sin  t = Asin  t  A2 =
l
d
sin
a

A sin



x
a
Vx,t =
sin  t
l
sin
a



Giải phương trình (24) S ''tt - a2S ''xx = 0
Với điều kiện ban đầu St=0= -Vxt=0= 0
A sin



x

a cos  .0.  =
S t=0= - V x,t=0 =
l
sin
a
’

K31D – Vật lý

’

 A sin
sin



l
a

a

x