dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA ĐỊNH THỨC
CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN
CỦA ĐỊNH THỨC
CÁC MA TRẬN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS. TS Đặng Đức Trọng. Thầy
đã dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn em thực hiện luận văn. Có ai
đó đã nói rằng: “ép một người uống nước không bằng làm cho người đó
khát”, chính những lần seminar, những vấn đề và những câu hỏi thầy đặt ra
đã làm em khát thật sự. Điều này tiếp thêm động lực cho em, một học viên
chuyên ngành giải tích, bước đầu tiếp xúc với toán thống kê có thể từng bước
thực hiện và hoàn thành đề tài.
Em xin gửi lời cảm ơn đến TS. Chu Đức Khánh, TS. Đinh Ngọc Thanh,
hai thầy đã tạo điều kiện và góp nhiều ý kiến quý báo trong quá trình em
thực hiện luận văn. Em cũng xin cảm ơn anh Dương Thanh Phong, bạn Cao
Thị Hồng Nhung và các anh chị trong nhóm seminar đã trao đổi với em về đề
tài này.
Em cảm ơn các thầy trong Khoa Toán – tin trường Đại học Sư phạm
TPHCM, đã tận tình giảng dạy chúng em, cùng các thầy cô Phòng Sau đại
học đã tạo điều kiện cho chúng em trong hai năm học Cao học vừa qua.
Con xin gửi những tình cảm thân thương nhất đến ba mẹ. Ba mẹ luôn
quan tâm và dõi theo sự trưởng thành của con. Ba mẹ là bến đổ bình yên nhất
trong những lần con gặp khó khăn. Ba mẹ là điểm tựa vững chắc nhất để con
tiếp tục cố gắng. Con thương ba mẹ nhiều lắm.
Nguyễn Lê Toàn Nhật Linh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
PHẦN MỞ ĐẦU

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ............................................................................... 1
1.1. Thống kê.............................................................................................................. 1
m
1.2. Jacobians của phép biến đổi trong  ............................................................... 4

1.3. Giải tích phức ...................................................................................................... 7
1.4. Quá trình ngẫu nhiên ......................................................................................... 16
Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN LAGUERRE .. 29
2.1. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ...................................................... 29
2.1.1. Ma trận Laguerre ....................................................................................... 29
2.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Laguerre. .......... 30
2.1.3. Phân phối của định thức ma trận Laguerre ............................................... 32
2.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Laguerre ....................................... 33
Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN JACOBI ......... 52
3.1. Phân phối của định thức ma trận Jacobi........................................................... 52
3.1.1. Ma trận Jacobi ............................................................................................ 52
3.1.2. Hàm mật độ đồng thời của các giá trị riêng của ma trận Jacobi ................ 57
3.1.3. Phân phối của định thức ma trận Jacobi .................................................... 58
3.2. Dáng điệu tiệm cận của định thức ma trận Jacobi ............................................ 59
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ma trận ngẫu nhiên xuất hiện đầu tiên trong toán thống kê bởi hai nhà
toán học Hsu và Wishart. Nhiều tính chất của một số ma trận ngẫu nhiên đã
được Wigner nghiên cứu trong những năm 1950 đặt trong mối liên hệ với vật
lý hạt nhân.
Trong thống kê nhiều chiều, các ma trận ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi

là các ma trận đối xứng nảy sinh trong quá trình thao tác trên mẫu ngẫu
nhiên (xây dựng các ước lượng, kiểm định…). Một cách cụ thể, ma trận ngẫu
nhiên Laguerre liên quan đến ma trận hiệp phương sai mẫu, trong khi ma trận
ngẫu nhiên Jacobi phát sinh trong phân tích phương sai nhiều chiều. Định
thức của các ma trận trên đã được Muirhead, Anderson và nhiều nhà toán
học khác sử dụng để xây dựng nhiều kiểm định trong thống kê. Gần đây, sự
phát triển các lý thuyết và ứng dụng của ma trận ngẫu nhiên mở ra yêu cầu
nghiên cứu tiệm cận của định thức các ma trận này.
Được sự hướng dẫn của GS. TS Đặng Đức Trọng và dựa trên bài báo
[13], chúng tôi nghiên cứu, tìm hiểu đề tài:
“DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA TRẬN
NGẪU NHIÊN”
2. Mục đích của đề tài
Đề tài “DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC CÁC MA
TRẬN NGẪU NHIÊN” hướng đến hai mục đích:
Thứ nhất, xác định phân phối của định thức các ma trận ngẫu nhiên
Laguerre và Jacobi bằng cách sử dụng các tính chất của phép biến đổi Mellin
và Jacobians của phép biến đổi trong  m .
Thứ hai, dựa trên các định lý giới hạn của quá trình ngẫu nhiên và một
số ước lượng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của định thức các ma trận
ngẫu nhiên Laguerre và Jacobi.


3. Phương pháp nghiên cứu
• Phân tích đề tài để xác định mục tiêu nghiên cứu.
• Thu thập các bài báo khoa hoc, các tài liệu có liên quan đến đề tài.
• Nghiên cứu tài liệu, ghi chép các kiến thức liên quan đến đề tài.
• Tổng hợp kiến thức, chọn nội dung viết báo cáo.
4. Bố cục luận văn
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này cung cấp một số kiến thức về thống kê cơ bản, Jacobians
của phép biến đổi trong  m , giải tích phức và quá trình ngẫu nhiên. Đây là
các kiến thức được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu các kết quả chính
của đề tài.
Chương 2: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN
LAGUERRE
Nội dung chương này gồm hai phần. Phần thứ nhất hướng đến việc xác
định phân phối của định thức ma trận Laguerre. Phần thứ hai của chương này
và là phần quan trọng nhất đó là một số kết quả về dáng điệu tiệm cận của
định thức ma trận Laguerre.
Chương 3: DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA ĐỊNH THỨC MA TRẬN
JACOBI
Về nội dung, chương này được bố cục hoàn toàn tương tự chương 2
chỉ có việc ma trận được nghiên cứu là ma trận Jacobi.


1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Thống kê (xem [2], [11])
1.1.1. Phân phối chuẩn
Cho không gian xác xuất Ω, F , P .
Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn N  µ , σ 2 , σ  0 nếu hàm
mật độ của nó cho bởi

  x  µ 2 
1

 .
f  x 

exp 
2


2
σ
σ 2π


Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N  µ , σ 2  cho
bởi







ϕ X u   Ε eiuX   exp iu µ  u 2σ 2  .
1
2

Véctơ ngẫu nhiên p chiều X   X 1 ,..., X p  gọi là có phân phối chuẩn với
'

trung bình µ và ma trận hiệp phương sai là Σ nếu hàm mật độ đồng thời của X
được cho như sau
1
 p
2

f  x1 ,..., x p   2π 

Σ



1
2

 1

'
exp   x  µ  Σ1  x  µ  ,
 2


với x   x1 ,..., x p  .
'

Định lý 1.1.1.1 ([2]-tr 30) Cho véctơ ngẫu nhiên p chiều X có phân phối
chuẩn N  µ , Σ và ma trận D cấp q  p với rankD  q  p . Khi đó biến ngẫu
nhiên DX sẽ có phân phối chuẩn N  Dµ , DΣD '  .
Định lý 1.1.1.2 ([11]-tr 82) Cho X là ma trận ngẫu nhiên cấp n  m thỏa
các véctơ cột của X là độc lập và có cùng phân phối chuẩn N 0, I n  . Nếu


2

n  m thì P  X  Θ m ,n   1 trong đó Θ m ,n là tập các ma trận cấp n  m có hạng

bằng m.
1.1.2. Phân phối Gamma
Cho không gian xác xuất Ω, F , P .
Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Gamma với cặp tham số α , β  (kí
hiệu X  Gamma α , β  ) nếu hàm mật độ của nó cho bởi

f  x 

1
Γ α  β α

x

α 1



x

β

e 10, .

Định lý 1.1.2.1 Giả sử X  Gamma α , β  . Khi đó ta có
ΕX µ  β µ

Γ α  µ 
.
Γ α 

1.1.3. Phân phối Beta
Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối Beta với cặp tham số α , β  (kí hiệu
X  Beta α , β  ) nếu hàm mật độ của nó cho bởi
f  x 

Γ α  β  α 1
β 1
x 1 x 10,1 .
Γ α  Γ  β 

Định lý 1.1.3.1 Giả sử X  Beta α , β  . Khi đó ta có
ΕX µ 

Γ α  µ  Γ α  β 
.
Γ α  Γ  µ  α  β 

1.1.4. Phân phối của ma trận ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1.4.1 Cho không gian xác xuất Ω, F , P . Một ma trận ngẫu
nhiên X cấp p  q ứng với không gian xác xuất Ω, F , P là một ma trận mà
mỗi thành phần là một biến ngẫu nhiên trên không gian xác xuất này.
Định nghĩa 1.1.4.2 Cho ma trận ngẫu nhiên X   X ij  cấp p  q . Phân phối
của ma trận ngẫu nhiên X là phân phối của véctơ ngẫu nhiên pq chiều sau


3

 X 1 j , X 2 j ,..., X pj  j1,...,q .
'

Nếu ma trận ngẫu nhiên X   X ij  là đối xứng cấp p  p thì phân phối của

X chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên

p  p  1
chiều sau
2

 X 1 j , X 2 j ..., X jj  j1,..., p .
'

Nếu ma trận ngẫu nhiên X là phản đối xứng cấp p  p thì phân phối của X
chính là phân phối của véctơ ngẫu nhiên



p  p 1
chiều sau
2



'

X 1 j , X 2 j ,..., X  j1 j

j 2,.., p

.

1.1.4.1. Phân phối Wishart
Nếu một ma trận ngẫu nhiên đối xứng W cấp p  p mà có sự phân tích
n

W   X k X k'
k 1

trong đó n  p và X 1 ,..., X n độc lập và có cùng phân phối chuẩn N p 0, Σ
thì ma trận ngẫu nhiên W gọi là có phân phối Wishart bậc tự do n với tham
số Σ .
Kí hiệu: W  W p n, Σ .
Giả sử W  W p n, Σ khi đó hàm mật độ của W cho bởi
n p1/2

 1

exp  tr Σ1W 
 n  n /2
 2

2np /2 Γ p   Σ
 2
W

W  0 .

Định lý 1.1.4.1.1 Cho W1  W p n1 , Σ và W2  W p n2 , Σ khi đó

W1  W2  có phân phối W p n1  n2 , Σ .

4

m
1.2. Jacobians của phép biến đổi trong  (xem [8], [11])

1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa1.2.1.1 Cho phép biến đổi y  y  x   y1  x,..., ym  x là ánh xạ
'

1 − 1 từ S   m vào T ⊂  m . Khi đó Jacobians của phép biến đổi này kí là
J  x  y  được xác định bởi

 x1
x1 


. . .
 y1
ym 
 x 


J  x  y   det  ...
...   det  i  .


 y j 
 x



x
m
 m . . .
 y
ym 
 1

trong đó x  x  y    x1  y ,..., xm  y  là phép biến đổi ngược của phép biến đổi
'

trên.

 x 
Việc tính det  i  khi m lớn là khá khó khăn. Do đó, để xác định
 y j 
J ( x → y ) người ta đưa ra định nghĩa tích ngoài " " cho các đại lượng vi phân.

Định nghĩa 1.2.1.2 Tích ngoài " " là phép tính trên các đại lượng vi phân
thỏa mãn các tính chất:
i) du  dv  dv  du ,
ii) α du  dv  du  α dv  α du  dv ,
iii) du  dv  dw  du  dw  dv  dw.
Từ định nghĩa trên ta thấy " " thỏa du  du  0
1.2.2. Áp dụng định nghĩa tích ngoài để xác định J  x  y  .
Ta có
x  x  y    x1  y ,..., xm  y  .
'

Khi đó

5

dx1 

x1
x
dy1  ...  1 dym ,
y1
ym

...
dxm 

xm
x
dy1  ...  m dym .
y1
ym

Tính dx1  ...  dxm

 x

 x

x
x
dx1  ...  dxm   1 dy1  ...  1 dym   ...   m dy1  ...  m dym .

 y
 y


y m
y m
1
1
Sử dụng định nghĩa tích ngoài ta có:
dx1  ...  dxm  J  x  y  dy1  ...  dym .

Định lý 1.2.2.1 Cho dx và dy là các vectơ vi phân cấp m1 nghĩa là

dx  dx1 ,..., dxm  và dy  dy1 ,..., dym  . Khi đó, nếu dx  Bdy , B là ma trận
'

'

hằng cấp m  m không suy biến thì dx1  ...  dxm  det B  dy1  ...  dym .
1.2.3. Jacobians của một số biến đổi thường gặp.
Trước khi xác định Jacobians của một số biến đổi thường gặp ta có một số
quy ước sau:
Nếu X   xij  là ma trận biến cấp n × m thì ta xem X là vectơ trong  mn

dX là ma trận dxij  cấp n  m .
m

n

dX  kí hiệu cho j1 i1 dxij .

Nếu X là ma trận biến đối xứng cấp m  m thì ta xem X là vectơ trong


mm1

.
dxij .
dX  kí hiệu cho i
j

Nếu X là ma trận biến phản đối xứng cấp m  m thì ta xem X là vectơ
trong 

mm1

.


6

dxij .
dX  kí hiệu cho i
j

Tích

phân



f  x  dx1  ...  dxm

hiểu

theo

nghĩa

là

tích

phân

A



f  x  dx1...dxm .

A

Ngoài những quy ước trên ta còn nhận thấy rằng Jacobians được sử dụng vào
công thức đổi biến tích phân hoặc xác định hàm mật độ qua một phép biến đổi
thông qua dấu giá trị tuyệt đối. Do đó, trong quá trình xác định Jacobians ta có
thể bỏ qua dấu của nó.
Định lý 1.2.3.1 Nếu X  BY ở đó X và Y là ma trận biến cấp n  m , B là
ma trận hằng cấp n  n không suy biến thì

dX   det B  dY .

m

Tức là J  X  Y   det B  .
m

Định lý 1.2.3.2 Nếu X  BYC ở đó X và Y là ma trận biến cấp n  m , B
và C lần lượt là ma trận hằng không suy biến cấp n  n và m  m thì

dX   det B det C  dY .
m

n

Tức là J  X  Y   det B  det C  .
m

n

Định lý 1.2.3.3 Nếu X  BYB ' ở đó X và Y là ma trận biến đối xứng cấp
m  m , B là ma trận hằng không suy biến cấp m  m thì
m1

dX   det B dY .
m1

Tức là J  X  Y   det B 

.

Định lý 1.2.3.4 Nếu X  BYB ' ở đó X và Y là ma trận biến phản đối xứng

cấp m  m , B là ma trận hằng không suy biến cấp m  m thì
m1

dX   det B dY .
m1

Tức là J  X  Y   det B 

.


7

Định lý 1.2.3.5 Cho hai ma trận biến X , Y cấp m  m . Nếu X  Y 1 ở đó Y
là ma trận đối xứng cấp m  m thì
m1

dX   det Y 

dY .

Định lý 1.2.3.6 Nếu A là ma trận biến xác định dương cấp m  m và

A  T 'T với T  tij  là ma trận biến tam giác trên thỏa các phần tử trên
đường chéo chính đều dương thì
m

dA  2m  tiim1i dT .
i1

m

Tức là J  A  T   2m  tiim1i
i1

Định lý 1.2.3.7 Cho Z là ma trận biến cấp n  m với n  m, rankZ  m và

Z được viết dưới dạng Z  H1T ( H1 là ma trận biến cấp n  m thỏa
H1' H1  I m , T là ma trận biến tam giác trên cấp m  m với các phần tử trên

đường chéo chính dương). Đặt H 2 n n  m sao cho H   H1 : H 2  là ma
trận biến trực giao. Khi đó
m

dZ    tiini dT    H1' dH1 ,
i1

Trong đó H   h1...hm : hm1...hn  và  H1' dH1     h 'j dhi .
i1 j i 1
m

n

1.3. Giải tích phức (xem [1], [5], [11], [12], [16])
1.3.1. Hàm Gamma ([12]-tr 29)
Hàm Gamma được định nghĩa đầu tiên bởi Euler. Sau đó nhiều nhà toán học
đã phát triển và tìm ra nhiều cách định nghĩa khác nhau cho hàm Gamma.
Định nghĩa 1.3.1.1

n !n Z

, z  0, 1, 2,...
n z  z  1... z  n 

Γ  z   lim
Định nghĩa 1.3.1.2


8

 1
Γ  z   z 1  
 n
n1 
1



z

1



1  z  .
 n 

Định nghĩa 1.3.1.3
 

  nz 

1
z
γz
 ze  1   e  ,
 n  
Γ z
n1 


ở đó γ gọi là hằng số Euler xác định bởi

 1

1
γ  lim 1   ...   log n.
n 

2
n
Ngoài ra hằng số Euler có thể xác định như sau


dt
et dt
γ   1 e   
.
t
t
0
1

1

t

Định nghĩa 1.3.1.4


Γ  z    t z1et dt , Re z  0 .
0

Định lý 1.3.1.1
1. Hàm Gamma giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ các điểm
0, −1, −2,... các điểm này là các cực điểm đơn của hàm Gamma.

2. Γ (1) =
1.
3. Γ ( z + 1) =zΓ ( z ) , Re z > 0.
1
π
đặc biệt Γ   =
π.
sin (π z )
2

4. Γ ( z ) Γ (1 − z ) =
5.
=
Γ ( mz ) ( 2π )

1− m

2

.m

mz −

1
2

1
m −1 


.Γ ( z ) .Γ  z +  ...Γ  z + =
 , m 1, 2,...
m
m 



6. Công thức Binet
∞

1
1
1  e − tz

1 1
dt.
ln Γ ( z ) =  z −  ln z − z + ln 2π + ∫  − + t 

2
2
2 t e −1  t

0


9

7. Công thức Stirling
1
1
ln Γ ( z =
)  z −  ln z − z + ln 2π + O ( z −1 ) , z → ∞.
2
2


ở đó kí hiệu O được hiểu như sau:
=
f ( z ) O ( g ( z ) ) , z → z0 nghĩa là tồn tại số M sao cho f ( z ) ≤ M g ( z ) với z

đủ gần z0 hay z − z0 → 0 .
1.3.2. Hàm Gamma nhiều chiều
Định nghĩa 1.3.2.1

Γ m a   π

mm1/4

m



1



 Γ  a  2  j 1,
j 1

1
trong đó Re a   m 1 .
2

Định lý 1.3.2.1 ([11]-tr 70)

 H1' dH1  



Vm , n

2m π mn /2
.
 1 
Γ m  n
2 

Tích phân bên vế trái là tích phân mặt với  H1' dH1  là dạng vi phân xác định

như trong định lý 1.2.3.7 và Vm ,n  H n  m : H ' H  I m  xem như một mặt
1
mn  m m  1 chiều trong không gian Euclide  mn .
2

Chứng minh
Gọi Z là ma trận ngẫu nhiên cấp n  m với n  m mà các phần tử của Z là
độc lập và có cùng luật phân phối N 0,1 . Khi đó hàm mật độ của Z là
 mn /2

2π 
Suy ra

 1 m n 
exp   zij2 .
 2 j1 i1 


10

 1 m n 2 
mn /2
...
exp
zij  dz11dz21...dznm  2π  .

   2 

j 1 i1
 









Do đó

 1

 tr  Z ' Z dZ   2π mn /2 .
...
exp
   2

 

(1)

Mặt khác ta có thể phân tích Z  H1T ở đó H1  Vm ,n , T là ma trận tam giác
trên mà các phần tử trên đường chéo chính đều dương. Khi đó
trZ ' Z  trT 'T   tij2
i j

m

và dZ    tiini dT    H1' dH1 .
i1

Đẳng thức (1) trở thành

 1
 m ni
mn /2
2
'


...
exp
t

 
 2  ij  tii dT    H1dH1   2π  .
i1
i j
tij , H1 Vm , n
Suy ra

 1
 m ni
mn /2
2
'



...

exp
2
.
t
t
dT
H
dH
π








ij
ii
1
1

   2 i j  i1

tij
H1 Vm , n
Tương đương
m





i j 



m
 1 2 
 1 

exp  tij  dtij   tiini exp  tii2  dtii
 2  i1
 2 
0

  H dH   2π 
'
1

mn /2

1

H1 Vm , n

Ta lại có


1

 1 2 
 tij  dtij  2π 2 ,
exp
  2 



t
0

Do đó

ni
ii

 1 

ni1/2  1
exp  tii2  dtii  2
Γ  n  i  1 .
 2

 2 

.


11

2m π mn /2

  H dH1    1  .
Vm , n
Γ m  n
2 
'
1

1.3.3. Phép biến đổi Mellin (xem [12])
Định nghĩa 1.3.3.1 Cho hàm f  x khả tích địa phương trên 0, . Khi đó
biến đổi Mellin của hàm f được kí hiệu là Μ  f , s  và xác định bởi


Μ  f , s    x s1 f  x dx
0

khi tích phân trên hội tụ.


O  xaε , x  0


Nếu f  x  
trong đó ε  0 , a  b thì khi đó tích phân
bε



O
x
x

,



 

trên hội tụ tuyệt đối, hơn nữa miền a  Re s  b là miền giải tích của Μ  f , s  .
Định lý 1.3.3.1 Cho hàm f  x khả tích địa phương trên 0, . Khi đó ta
có các kết quả sau:
1. Μ  f ax, s   as Μ  f  x, s  , a  0 .
2. Μ  x a f  x, s   Μ  f  x, s  a  .
3. Μ  f  x a , s   a1Μ  f  x, s / a  , a  0 .


4. Μ  f  xa , s   a1Μ  f  x, s / a  , a  0 .


5. Μ  xα f  x µ , s   µ 1Μ  f  x,  s  α  / µ  , µ  0 .


6. Μ  xα f  xµ , s   µ 1Μ  f  x,  s  α  / µ  , µ  0 .


 n
n
7. Μ ln x f  x, s   Μ  f  x , s   , n  1, 2,...



12

Định nghĩa 1.3.3.2 Một hàm f  x khả tích địa phương trên 0, và có
biến đổi Mellin Μ  f , s  giải tích trên miền a  Re s  b . Khi đó biến đổi Mellin
ngược cho bởi
ci

1
f  x 
xs Μ  f , s  ds, a  c  b .

2π i ci
1.3.4. Khai triển một lớp hàm thành chuỗi vô hạn các phân thức hữu tỉ (xem
[1], [5], [16])
Xét hàm biến phức f  z  . Giả sử f chỉ có các cực điểm đơn mà ta kí hiệu là
a1 , a2 ,... ở đó a1  a2  ... Khi đó ta có thể chọn một dãy các đường tròn Cm

tâm tại O và bán kính Rm sao cho Cm không đi qua bất kì cực điểm nào và
Rm   khi m   .

Ta xét khai triển thành chuỗi vô hạn các phân thức hữu tỉ cho lớp hàm phức
thỏa các điều kiện:
i)

f chỉ có các cực điểm đơn mà ta kí hiệu là a1 , a2 ,... ở đó
a1  a2  ...

ii) f giải tích trên  bỏ đi các cực điểm.
iii) Gọi M 1 , M 2 ,... là dãy các chặn trên của f trên C1 , C2 ,... thì dãy

M i i bị chặn trên.
Gọi b1 , b2 ,... là các thặng dư của f tại các cực điểm tương ứng a1 , a2 ,... Nếu
x không là cực điểm của f thì ta có

f z
br
1
dz
f
x





zx
2π i 
r ar  x
C
m

trong đó m đủ lớn sao cho x thuộc miền trong của Cm .
Mặt khác

(1)


13

f  z

f  z
f z
x
1
1
dz 
dz 
dz



2π i C z  x
2π i C z
2π i C z  z  x 
m
m
m
 f 0  
r

f z
br
x
dz.


ar 2π i C z  z  x 
m

Giả sử x  a ta có

f  z
x
Ma
dz 
.

2π i C z  z  x
Rm  a
m

Do đó cho m   trong đẳng thức (1) ta được



br
b
f  0    f  x    r .
r 1 ar
r 1 ar  x

Vậy khai triển của hàm f cho bởi

1
1 
.
f  x  f 0   br  
 ar x  ar 
r 1

Bổ đề 1.3.4.1 Cho hàm





 1  1  1  1 ; s  0

s
 2 s e 1 s
f s  


1

; s0



12
Khi đó



1
1
ln Γ  x   x   ln x  x  ln 2π   f  s  esx ds .

2
2

0
Ngoài ra ta có thể đánh giá hàm f trong công thức trên như sau:
0  f s 

1
, s  0 .
12


1
và 0   sf  s     1 , s  0 .

2


14

Chứng minh
Với hàm f đã cho, theo công thức Binet thì đẳng thức



1
1
ln Γ  x   x   ln x  x  ln 2π   f  s  esx ds

2
2
0
hiển nhiên đúng.

Ta chỉ cần chứng minh các đánh giá đối với hàm f .
Đặt
g s 

1
1
.

e s 1 s

Khi đó g sẽ thỏa các điều kiện để có thể khai triển thành chuỗi vô hạn các
phân thức hữu tỉ. Ta có các cực điểm của g là đơn, cụ thể là sn  i 2nπ với

0  n  Ζ . Khi đó thặng dư tương ứng với cực điểm sn là 1. Mặt khác

 1
1
1
lim g  s   lim  s
    .
s0
s0 
 e 1 s 
2
Do đó với s  0 ta có thể khai triển g như sau

 1

1
1


g  s      

2 n0  i 2nπ s  i 2nπ 

1  
1
1
   


2 n1  s  i 2nπ s  i 2nπ 

1 
2s
     2
.
2
2
2 n1  s  4n π 
Vậy



1 1
1
2s
  s
   2
; s  0 .

2 s e 1 n1  s  4n 2π 2 

Mặt khác




1

  2n π
n1

2

2

 1
  .
 12


15

Do đó



2
f  s     2
 .

2
2

n1  s  4n π 

Từ khai triển chuỗi này ta có đánh giá
0  f s 

1
, s  0 .
12

Mặt khác

1
1
1
1  s  es
 1
 1, s  0 .
sf  s    1   s
s e 1
2
s e s 1
1
2

Do đó ta có thêm đánh giá 0 < sf ( s ) + < 1 .
Một số kết quả được suy ra từ bổ đề:
Γ'  x

.
Đặt Ψ  x 
Γ  x

Lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức trong bổ đề ta được





1
1
ln x  Ψ  x 
  sf  s  esx ds    sf  s    esx ds .

2x 0
2
0
Khi đó đễ dàng ta có các đánh giá sau

0  x ln x  Ψ  x  1,
0  ln x  Ψ  x 

1
1
.

2 x 12 x 2

Từ trên ta lại có




1
Ψ  x  ln x    sf  s    esx ds.

2
0
Suy ra
q 

q1

Ψ  x  1

q1

q 1! x  1
q



s
0

q



 sf  s   1  esx ds với q  1 .


2 


16

Do đó
q 

q1

Ψ  x  1

q 1! x



q

  s q esx ds  xq1q !.
0

1.4. Quá trình ngẫu nhiên (xem [3], [6], [7], [10], [14], [15])
1.4.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.4.1.1 Cho không gian xác xuất Ω, F , P  , F = Ft t0 là một
lớp các σ - đại số con của F . F gọi là một bộ lọc nếu Fs  Ft , s  t và
Ft   Fs .
st

Định nghĩa 1.4.1.2 Cho không gian xác xuất Ω, F , P  . Lớp các ánh xạ

 X t t0 với X t : Ω   gọi là một quá trình.
Một quá trình có thể kí hiệu theo  X t t0 ; X t , t  0 , hoặc X nếu không có
sự nhầm lẫn.
Định nghĩa 1.4.1.3 Một quá trình X gọi là liên tục nếu với mọi ω  Ω thì
t  X t ω  là liên tục.

Định nghĩa 1.4.1.4 Cho tập D   . Một hàm f : D   gọi là hàm càdlàg
(hàm càg) nếu tại mọi điểm trong D , hàm f liên tục phải và có giới hạn trái tại
điểm đó ( f liên tục trái tại điểm đó).
Định nghĩa 1.4.1.5 Quá trình  X t t0 gọi là quá trình càdlàg (quá trình càg)
nếu với mỗi ω  Ω thì t  X t ω  là một hàm càdlàg (hàm càg).
Định nghĩa 1.4.1.6 Quá trình X gọi là tương thích với bộ lọc F  Ft t0
nếu với mọi t  0 thì X t là Ft - đo được.
Định nghĩa 1.4.1.7 Cho  X t t0 là một quá trình và ánh xạ T : Ω    .
Quá trình bị dừng tại T là quá trình mà ta kí hiệu là X T xác định bởi
X tT  X T t trong đó T  t  inf T , t  .


17

Định nghĩa 1.4.1.8 Cho không gian xác xuất Ω, F , P  và bộ lọc Ft t0 .
Thời điểm dừng là một ánh xạ T : Ω    thỏa T  t   Ft , t  0 .
Khi T là một thời điểm dừng ta kí hiệu FT là tập hợp các tập A  F sao cho
A  T  t   Ft , t  0 .

Định nghĩa 1.4.1.9 Cho C là một lớp các quá trình, ta kí hiệu Cloc là lớp các
quá trình X thỏa: X  Cloc nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy tăng các thời điểm
dừng Tn  thỏa lim Tn   hầu chắc chắn sao cho quá trình X Tn  C . Ta gọi
Cloc là lớp các quá trình bị địa phương hóa.

Định nghĩa 1.4.1.10 Cho không gian xác xuất Ω, F , P và bộ lọc Ft  . Một
quá trình X gọi là martingale nếu X là một quá trình càdlàg, tương thích, X t
khả tích và với s  t thì Ε  X t Fs   X s .
Kí hiệu M là tập hợp các martingale.
X là một martingale địa phương nếu X  Mloc .
Định lý 1.4.1.1 ([7]-tr 42) Bất kỳ một martingale địa phương M nào đều
được phân tích duy nhất dưới dạng

M  M0  M c  M d

trong đó

M 0c  M 0d  0 , M c là một martingale địa phương liên tục và M d là

martingale địa phương hoàn toàn không liên tục.
Định nghĩa 1.4.1.11 Ta kí hiệu L là tập hợp các martingale địa phương M
thỏa M 0  0 .
V là tập hợp các quá trình càdlàg A thỏa tính chất tương thích, A0  0 và

với mỗi ω  Ω thì hàm t  At ω  có biến phân hữu hạn trên mỗi đoạn 0,t  .
(ở trên một hàm f có biến phân hữu hạn trên đoạn 0,t  nếu
n

sup  f ti   f ti1    sup này lấy theo các phân hoạch của đoạn 0,t  ).
i1

Một quá trình X gọi là semimartingale nếu có phân tích X  X 0  M  A
trong đó X 0 là giá trị hữu hạn và F0 đo được, M  L và A  V .

18

Mt quỏ trỡnh X gi l semimartingale c bit nu nú l mt
semimartingale v s phõn tớch nh trờn l duy nht.
nh lý 1.4.1.2 ([7]-tr 45) Cho X l mt semimartingale. Khi ú cú duy
nht martingale a phng liờn tc X c vi X 0c 0 sao cho bt k s phõn tớch
X X 0 M A (nh trong nh ngha 4.1.11) ta u cú M c X c .

X c nh trong nh lý gi l phn martingale liờn tc ca X.
1.4.2. o ngu nhiờn (xem [7])
nh ngha 1.4.2.1 Cho hai khụng gian o c A, A v B, B . Phộp
bin i ht nhõn t A, A vo B, B kớ hiu l a, db l mt h

a,. : a A

nhng o dng trờn B, B sao cho .,C l A - o

c vi mi C B.
nh ngha 1.4.2.2 Gi R v R l cỏc - i s Borel trờn v .
Mt o ngu nhiờn trờn l mt h à à ; dt , dx : nhng
o khụng õm trờn , R R tha à ; 0 0 .

trờn ú ta xột hai - i s
nh ngha 1.4.2.3 t

P R vi O v P ln lt l - i s trờn
O O R v P

sinh bi tp tt c cỏc quỏ trỡnh cdlg v tp cỏc quỏ trỡnh cg.
l O o c.
Cho hm W trờn

Gi à l o ngu nhiờn trờn . Khi ú ta cú nh ngha quỏ trỡnh
tớch phõn W à nh sau:



W , s, x à ; dt , dx neỏu W , s, x à ; dt , dx


W * àt 0,t
0,t




treõn mien coứn laùi
nh ngha 1.4.2.4 Mt o ngu nhiờn à trờn gi l o ngu
nhiờn tựy chn ( o ngu nhiờn d bỏo) nu quỏ trỡnh W à l quỏ trỡnh O o
o c).
l O o c ( P
c ( P o c) vi mi hm W trờn


19

Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên     gọi là khả tích nếu biến ngẫu
nhiên 1* m   m .,    E  là khả tích.

 - σ - hữu hạn nếu
Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn µ trên     gọi là P
 đo được sao cho biến ngẫu nhiên V  µ
 là dương và P
tồn tại hàm V trên Ω


là khả tích.
 - σ - hữu hạn µ cho trước sẽ tồn tại một
Một độ đo ngẫu nhiên tùy chọn P

độ đo ngẫu nhiên µ p mà ta gọi là cái bù của µ . µ p được mô tả như là một độ

 - đo
đo ngẫu nhiên dự báo thỏa mãn Ε W  µp   Ε W  µ  với mọi hàm P
.
được không âm trên Ω

1.4.3. Đặc trưng của semimartingale (xem [7])
Đặc trưng của semimartingale được xây dựng gắn liền với lớp các hàm chặt
cụt (truncation function).
Định nghĩa 1.4.3.1 Lớp hàm chặt cụt kí hiệu là Ct là lớp các hàm

h :    bị chặn và h  x  x trong một lân cận nào đó của 0.
Với một semimartingale X và một hàm chặt cụt h cho trước, ta xét quá
trình bước nhảy tương ứng ∆X xác định bởi

∆X s  X s  lim X t .
ts

Ta có ∆X s  h ∆X s   0 nếu ∆X s  b với b  0 nào đó.
Đặt

 
X ht    ∆X s  h ∆X s 

st



 X h  X  X h
Với cách đặt này thì 
X h là một quá trình trong V
semimartingale đặc biệt.
Do đó ta có phân tích duy nhất
X h  X 0  M h  B h

và X h là một