dạy học khái niệm đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm casyopée

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI
TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI
TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích
dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng
dẫn tôi từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình. Mặc dù
thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp
khó khăn. Điều đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này. Không
có gì hơn, tôi kính chúc thầy và gia đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm
vui trong cuộc sống.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PSG. TS Lê Thị Hoài Châu,
PSG. TS. Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư
Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Trần Lương Công Khanh đã tận tình
giảng dạy, truyền đạt cho tôi và các bạn khóa 23 những kiến thức vô cùng
quý báu.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến
Ban Giám hiệu, thầy cô và các em học sinh trường THPT Lý Thái Tổ –
Tp.HCM, THPT Xuyên Mộc – BRVT đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến
hành thành công bài thực nghiệm.
Các bạn cùng khóa học cao học 23 vì những sẻ chia trong học tập.
Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn
thành tốt khóa học.
Xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Trang

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
T
4

4T

Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ..................................................... 1

1.
T
4

T
4

4T

Khung lý thuyết tham chiếu ...................................................................... 2

2.
T

4

T
4

4T

T
4

4T

T
4

4T

T
4

4T

4T

Tiến trình và phương pháp nghiên cứu ..................................................... 4

6.
T
4

T
4

Phạm vi nghiên cứu .................................................................................. 4

5.
T
4

4T

Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu ............................................ 4

4.
T
4

T
4

Mục tiêu nghiên cứu ................................................................................. 3

3.
T
4

T
4

T

4

4T

T
4

7. Cấu trúc của luận văn ................................................................................... 5
T
4

4T

CHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU ...... 7
T
4

T
4

1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009) ................................................ 7
T
4

T
4

1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) ........................................ 9
T
4

T
4

1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)............................................. 9
T
4

T
4

1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) ...................................... 10
T
4

T
4

1.5. Kết luận chương 1 ................................................................................... 11
T
4

4T

CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC
TOÁN THPT ....................................................................................................... 12
T
4

4T

2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11) ..................... 12
T
4

T
4

2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết ................................................... 12
T
4

T
4

2.1.2. Phân tích các tổ chức Toán học ....................................................... 18
T
4

T
4

2.1.3. Kết luận SGK Toán 11 .................................................................... 25
T
4

T
4

2.2. SGK Toán 12 ........................................................................................... 27
T
4

4T

2.2.1. SGK Toán 12 cơ bản ....................................................................... 27
T
4

T
4

2.2.2. SGK Toán 12 nâng cao ................................................................... 32
T
4

T
4

2.2.3. Các tổ chức Toán học ...................................................................... 34
T
4

T
4

2.2.4. Kết luận SGK Toán 12 .................................................................... 36
T
4

T
4

2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................... 37
T
4

4T

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM ......................................................................... 39
T
4

T
4

3.1. Mục tiêu của chương ............................................................................... 39
T
4

4T

3.2. Thực nghiệm ........................................................................................... 39
T
4

4T

3.2.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................... 39

T
4

T
4

3.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .............................................. 39
T
4

T
4

3.2.3. Tình huống 1 ................................................................................... 39
T
4

4T

3.2.3.1. Mục đích tình huống 1 .......................................................... 39
4T

T
4

3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm ........................................... 40
4T

T
4

3.2.3.3. Dàn dựng kịch bản tình huống 1 .......................................... 40
4T

T
4

3.2.3.4. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1 ...................................... 41
4T

T
4

3.2.3.5. Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 1 ............................... 49
4T

T
4

3.2.3.6. Phân tích hậu nghiệm tình huống 1 ...................................... 53
4T

T
4

3.2.4. Tình huống 2 ................................................................................... 66
T
4

4T

3.2.4.1. Mục đích tình huống 2 .......................................................... 66
4T

T
4

3.2.4.2. Nội dung tình huống 2 .......................................................... 67
4T

T
4

3.2.4.3. Phân tích tiên nghiệm tình huống 2 ...................................... 67
4T

T
4

3.2.4.4. Phân tích hậu nghiệm tình huống 2 ...................................... 69
4T

T
4

3.2.5. Kết luận thực nghiệm ...................................................................... 70
T
4

T

4

3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................... 72
T
4

4T

KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 74
T
4

4T

TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Chữ viết đầy đủ

BTCB11

Bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản

BTNC11

Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao

HS

Học sinh

GKCB11

Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11

GKNC11

Sách giáo khoa nâng cao 11

GKCB12

Sách giáo khoa Giải tích 12

GKNC12

Sách giáo khoa nâng cao 12

GVCB11

Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11

GVCB12

Sách giáo viên Giải tích 12

GVNC11

Sách giáo viên nâng cao 11

GVNC12

Sách giáo viên nâng cao 12

GTLN

Giá trị lớn nhất

GTNN

Giá trị nhỏ nhất

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SGV

Sách giáo viên

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

THCS

Trung học cơ sở


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 11 cơ bản và nâng cao....................25
Bảng 2.2. Bảng thống kê các ứng dụng của đạo hàm trong GKCB12..........................28
Bảng 2.3. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 12 cơ bản và nâng cao....................36
Bảng 3.1. Bảng thống kê các dạng đồ thị có thể có trong câu 2 pha 1........................41
Bảng 3.2. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 1 pha 1.............53
Bảng 3.3. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 2 pha 1.............54


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Ghi nhận 1
Trong chương trình giải tích 11 và 12 bậc THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng
T
0

T
0

đạo hàm chiếm 26,2% số tiết, trong khi đó các nội dung khác chiếm khoảng từ 8,7%
đến 15,9%. Như vậy, nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo,
chiếm một khối lượng lớn về thời gian học của chương trình. Đồng thời nó cũng có ý
nghĩa quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào đại học, cao
đẳng các khối. Đạo hàm có nhiều ứng dụng không chỉ trong việc dạy học như khảo sát
sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tích phân,… mà còn áp dụng trong việc
nghiên cứu khoa học, công nghệ, thực tế đời sống. Trong việc hướng dẫn thực hiện
nhiệm vụ Giáo dục hiện nay, Bộ Giáo Dục đã đưa ra các nhiệm vụ trọng tâm cần phải
thực hiện và một trong số đó là nhiệm vụ “tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng
kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn” [1, tr.2]. Bởi vậy việc sử dụng
đạo hàm để giải các bài toán gắn liền với thực tế là một nội dung rất cần thiết và bổ ích
đối với HS bậc THPT.
Vấn đề đặt ra là các bài toán có ứng dụng của đạo hàm đặc biệt là các bài toán gắn
liền với thực tế được trình bày như thế nào trong SGK Toán?
Học sinh có nhận ra vai trò của đạo hàm trong các bài toán thực tế hay không? Cần
phải dạy học khái niệm đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế như thế nào?
Trong luận văn “Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường
tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”, tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) đã kiểm
chứng quy tắc hợp đồng “HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị (gắn với một biểu thức
giải tích) đã học” [16, tr.33]. Trong luận văn của mình về ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp
tuyến và đạo hàm một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, tác giả Bùi Thị Thu
Hiền (2007) đã khẳng định giả thuyết sau: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa
tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp
tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” [8, tr.47].
Vậy, HS có thể nhận dạng đồ thị của các hàm số đã học để thiết lập mối quan hệ giữa


2

đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan
hay không?
Ghi nhận 2
Trong những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ thông tin nhằm giúp học sinh
hứng thú hơn trong học tập cũng như tiếp thu tri thức toán học rất phổ biến ở Việt
Nam. Bộ Giáo Dục cũng đã đưa ra yêu cầu đối với việc ứng dụng công nghệ thông tin
trong dạy học Toán hiện nay “Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt
động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh. Đẩy mạnh ứng dụng
công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” [1, tr.2]. Các bài toán liên quan
đến đạo hàm luôn gắn liền với biểu thức giải tích mà đồ thị của nó mang tính trực
quan. Vì vậy, việc dạy học các bài toán thực tế gắn liền với ứng dụng của đạo hàm sẽ
tạo môi trường phản hồi tốt hơn nếu có sử dụng công nghệ thông tin. Một trong những
môi trường tương tác hiệu quả khi dạy học đạo hàm của hàm số là môi trường công
nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée. Vậy, chúng tôi tự hỏi rằng phần mềm
Casyopée có thể làm cầu nối giữa kiến thức đạo hàm trong toán học và ứng dụng cụ
thể của nó trong thực tế hay không?
Từ những ghi nhận như trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI NIỆM
ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE” để
thực hiện nghiên cứu trong luận văn thạc sỹ của mình.
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic toán để nghiên cứu
đề tài này.
Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét các bài toán thực tế có ứng dụng của đạo hàm
cũng như xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tiếp tuyến, với các khái niệm liên
quan được trình bày như thế nào trong SGK, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân
chủng học với việc xác định mối “quan hệ thể chế” của SGK Toán đối với đối tượng
đạo hàm.


3

Quan hệ của thể chế I đối với một tri thức O, ký hiệu là R(I, O), được định nghĩa là
tập hợp các tác động qua lại mà I có thể duy trì được với O. Nghĩa là: I nói gì về O? I
mô tả O ra sao? I sử dụng O như thế nào?
Mối “quan hệ thể chế” là cơ sở để chúng tôi giải thích mối “quan hệ cá nhân” của
học sinh đối với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm.
Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua
lại mà X có thể duy trì với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó hay nói
cách khác X nghĩ về O như thế nào? X có biểu tượng gì về O? X thao tác, sử dụng O
ra sao?...
Một đối tượng O được xem như tồn tại đối với X nếu như tồn tại cái R(X,O).
Mặc khác, để xác định mối “quan hệ thể chế” với các bài toán gắn với đối tượng
đạo hàm, chúng tôi vận dụng khái niệm “tổ chức toán học” của lý thuyết nhân chủng
học.
Bên cạnh đó để đạt được mục đích cuối cùng của luận văn, chúng tôi sử dụng các
công cụ khái niệm môi trường của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất làm kim
chỉ nam để xây dựng thực nghiệm sư phạm.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu việc dạy học ứng dụng đạo hàm trong môi trường tích hợp
phần mềm Casyopée.
Để thực hiện được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ sau
đây:
-

Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, vấn đề nhận dạng đồ thị
hàm số và bài toán thực tế.

-

Thiết kế một số tình huống liên quan đến ứng dụng của đạo hàm với phần mềm

Casyopée.


4

4. Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày các câu
hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của
luận văn này.
Q1: Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm, đặc biệt là ứng dụng khái niệm
này trong các bài toán thực tế được hình thành như thế nào ở chương trình Toán THPT
hiện hành? Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng như thế nào đến việc ứng dụng
đạo hàm trong thực tế trong mối quan hệ cá nhân của HS.
Q2: Mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình được thể hiện
ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?
Q3: Thông qua phần mềm Casyopée, cần phải xây dựng các tình huống như thế
nào để dạy học ứng dụng đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế?
5. Phạm vi nghiên cứu
Thể chế dạy học Toán THPT mà chúng tôi đề cập chính là thể chế dạy học Toán

-

mà có sự xuất hiện của khái niệm đạo hàm và các ứng dụng của nó, cụ thể là thể chế
dạy học Toán lớp 11, 12.
Dạy học khái niệm đạo hàm mà chúng tôi đề cập ở đây chính là dạy học ứng

-

dụng của khái niệm đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, nhận dạng đồ thị hàm số và bài
toán thực tế.

Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được hiểu theo hai ý:

-

+ Sử dụng hình dạng đồ thị của các hàm số đã được học để thiết lập các mối quan
hệ.
+ Xác định các hệ số để tìm công thức giải tích cụ thể của hàm số.
-

Bài toán thực tế mà chúng tôi xét đến là các bài toán có mang các yếu tố thực tế.
6. Tiến trình và phương pháp nghiên cứu

-

Trước hết, chúng tôi tổng hợp các công trình đã nghiên cứu trước đây có liên

quan đến khái niệm đạo hàm nhằm trả lời một phần câu hỏi Q1, Q2.


5

-

Dựa vào tổng hợp trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán ở phổ

thông liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm
liên quan thông qua nhận dạng đồ thị hàm số, các ứng dụng của nó trong thực tế.
-

Những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề

ra các giả thuyết nghiên cứu. Từ đó, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm để
kiểm chứng tính đúng đắn của chúng.
Các tiến trình nghiên cứu được chúng tôi tóm lược qua sơ đồ sau:

TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG

NGHIÊN CỨU QUAN HỆ

TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU

THỂ CHẾ
(SGK Toán 11, 12)

THỰC NGHIỆM
(Thực nghiệm A và B)

Để thực hiện các nhiệm vụ trên, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu, tổng
hợp các tài liệu và thực nghiệm.

7. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương.
Phần mở đầu
Phần này gồm có các mục sau:
Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết tham chiếu; Mục tiêu
nghiên cứu; Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu; Tiến trình và phương pháp
nghiên cứu; Cấu trúc của luận văn.
Chương 1. Tổng hợp một số công trình đã nghiên cứu
Chúng tôi sẽ tổng hợp các công trình đã nghiên cứu liên quan đến khái niệm đạo
hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan, các ứng dụng của đạo hàm.

Từ đó, chúng tôi trả lời được một phần câu hỏi Q1, Q2.


6

Chương 2. Khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học toán THPT
Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích SGK và SGV Toán lớp 11, 12. Sau đó,
chúng tôi phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm và ứng
dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Kết quả nghiên cứu thể chế cho phép
chúng tôi trả lời được câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3. Thực nghiệm
Chúng tôi nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các bài toán thực nghiệm
được thực hiện trên giấy bút và xây dựng một tiểu đồ án thông qua phần mềm
Casyopée. Từ đó, chúng tôi trả lời được câu hỏi Q3.
Thực nghiệm được xây dựng nhằm kiểm tra tính thích đáng của các giả thuyết
nghiên cứu trình bày ở cuối chương 2.
Kết luận. Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, chương 2, chương 3 và
đề cập những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.


7

CHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU
Chúng tôi tổng hợp các nghiên cứu về đối tượng đạo hàm trong bốn luận văn thạc
sỹ của các tác giả sau:
Tác giả Ngô Minh Đức (2013) với đề tài ‘‘Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán
và vật lí ở trường phổ thông’’.
Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) với đề tài ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo
hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm’’.
Tác giả Lê Anh Tuấn (2009) với đề tài ‘‘Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo

hàm ở lớp 11 phổ thông’’.
Tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) với đề tài "Casyopée và việc dạy học khái niệm
hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”.
1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009)
 Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong
một số giáo trình đại học. Sau đó, tác giả phân tích chương trình và SGK Toán hiện
hành nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế của dạy học Việt Nam đối với khái niệm đạo
hàm. Từ đó, tác giả đưa ra hai quy tắc hợp đồng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm
tra tính thích đáng của chúng.
“Qui tắc RE1: Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có.
U

U

Qui tắc RE2: Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, HS không có trách
U

U

nhiệm kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm” [13,
tr.77].
 Các tổ chức Toán học trong SGK Toán ban cơ bản và nâng cao ở lớp 11 và 12 đã
được tác giả phân tích gồm có các kiểu nhiệm vụ sau:
+ Tính đạo hàm bằng định nghĩa.
+ Tính đạo hàm bằng công thức.


8

+ Chứng minh không có đạo hàm tại x 0 .

R

R

+ Tìm vi phân.
+ Tính gần đúng một giá trị.
+ Viết phương trình tiếp tuyến.
+ Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc.
+ Xét tính đơn điệu nhờ bảng biến thiên.
+ Tìm cực đại, cực tiểu.
+ Tìm GTLN, GTNN trên khoảng.
+ Tìm GTLN, GTNN trên đoạn.
+ Tìm nguyên hàm.
+ Tính tích phân.
 Tác giả đưa ra một số kết luận:
Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm đóng vai trò rất mờ nhạt trong việc hình
thành và lĩnh hội khái niệm đạo hàm của HS. Mờ nhạt ở đây có nghĩa là đối với HS
việc tính đạo hàm bằng định nghĩa chẳng qua là việc tính các giới hạn. HS chỉ quan
tâm đến giới hạn của tỉ số số gia mà không hiểu rõ bản chất của giới hạn đó. SGK
cũng chỉ dừng lại ở việc đưa vào ba công thức tính vận tốc, gia tốc và cường độ dòng
điện bằng đạo hàm chứ không chỉ ra cho HS thấy ý nghĩa tổng quát trong các ứng
dụng này.
SGK chỉ xét đến tiếp tuyến của đường cong trong trường hợp đường cong là đồ thị
của một hàm số.
Ứng dụng của đạo hàm liên quan đến các vấn đề khảo sát hàm số: Xét sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn
của đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm và tính tích phân.
Khi học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của một
hàm số có ứng dụng đạo hàm, HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực

9

đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi lập bảng biến thiên). Khi tìm GTLN,
GTNN, SGK11 có đưa kỹ thuật giải sử dụng đồ thị.
1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007)
Tác giả tiến hành nghiên cứu SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau:
+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và
ban Khoa Học Xã Hội.
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và
ban Khoa Học Xã Hội.
Tác giả đưa ra một giả thuyết và tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn
của giả thuyết này: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,
giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không
hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh” [8, tr.47].
1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)
Tác giả nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn
với vật lý.
 Từ phân tích khoa học luận: Tác giả nêu ra ba cách đưa vào khái niệm đạo hàm
trong giảng dạy.
+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời”:
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim∆𝑥→0

∆𝑦
∆𝑥

.

+ Cách 2: Đi từ tính khả vi: Một hàm số nếu có biểu diễn 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓 (𝑥) +

𝐴∆𝑥 + 𝜎(∆𝑥) sẽ được gọi là khả vi và đạo hàm chính là hệ số A trong khai triển

này.

+ Cách 3: Đưa cả hai định nghĩa đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với
nhau.
 Khi phân tích thể chế và các tổ chức Toán học (tác giả phân tích SGK Vật lý 10,
11, 12 và SGK Toán 11, 12 ban cơ bản và nâng cao), tác giả quan tâm hai kiểu nhiệm
vụ liên quan đến “đặc trưng tốc độ biến thiên” và “đặc trưng xấp xỉ” của khái niệm
đạo hàm.


10

Công cụ đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong chương trình Vật lí lớp 12 và ở đây
nó mang nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng theo thời
gian. Tuy nhiên, SGK Toán chỉ đưa vào các bài toán Vật lí nhằm dẫn dắt đến nhu cầu
phải tính giới hạn dạng lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )

rồi từ đó đưa ra định nghĩa đạo hàm.

𝑥−𝑥0

Trong lúc đó, SGK Toán lại không quan tâm đến “đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời”
của khái niệm này, vốn là cơ sở cho các ứng dụng đa dạng của đạo hàm trong Vật lí và
các khoa học khác.
Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm chỉ dừng lại ở một vài công thức cụ thể để tính vận tốc,
gia tốc, hay cường độ dòng điện tức thời. Việc không thể chế hóa nghĩa “tốc độ biến

thiên tức thời” có thể ngăn cản việc ứng dụng khái niệm đạo hàm ở nhiều tình huống
của Vật lí cần đến đặc trưng này.
Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là
xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ.
 Tác giả đưa ra giả thuyết: “Đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp
xỉ của đạo hàm không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh trong thể chế
dạy học Toán hiện nay” [3, tr.65]. Tác giả tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính
thích đáng của giả thuyết. Đồng thời tác giả thực hiện một đồ án dạy học nhằm giúp
HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm. Sau khi HS
hiểu được các nghĩa này, tác giả đặt ra các bài toán giúp HS soi sáng lại các ứng dụng
đạo hàm trong Vật lý.
Trong quá trình giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của
đạo hàm, GV hỗ trợ HS đưa ra câu trả lời bằng cách cho các em quan sát đồ thị.
1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010)
Tác giả phân tích quá trình hình thành khái niệm hàm số trong các thể chế dạy
học Toán lớp 7, 9, 10. Tác giả nhận định mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm
hàm số dựa trên các biểu diện hàm số bằng biểu thức giải tích (công thức), bảng giá trị
hoặc dựa vào dạng của đồ thị. Từ đó, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng và tiến hành thực
nghiệm kiểm tra tính thích đáng của nó “R 3 : HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị
R

R

hàm số (gắn với một biểu thức giải tích đã học)’’ [16, tr.33].


11

Tiến hành thực nghiệm bằng công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm
Casyopée, tác giả kết luận rằng: Casyopée có tích hợp hai mô đun đại số và mô đun

hình học trong đó mô đun đại số cùng lúc thể hiện ba cách biểu diễn của hàm số: bảng,
đồ thị và biểu thức giải tích. Nhờ đó, phần mềm cung cấp hình ảnh trực quan giúp HS
khắc sâu kiến thức. Tính năng của Casyopée thích hợp tạo tình huống giúp HS nhận ra
bản chất của các khái niệm hàm số.
1.5. Kết luận chương 1
Trong các luận văn trước đây, khái niệm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được
các tác giả quan tâm đến các vấn đề sau:
-

Những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học, đưa

ra các quy tắc hợp đồng và kiểm chứng tính thích đáng của chúng.
-

Sự nối khớp giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình Toán phổ

thông với việc ứng dụng chúng trong Vật lý. Xây dựng các tình huống giúp HS hình
thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm.
-

Mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối

quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Như vậy, các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế, mối quan hệ
giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong
chương trình thông qua việc nhận dạng đồ thị hàm số chưa được nghiên cứu. Và đây là
các vấn đề mà chúng tôi quan tâm và sẽ tiến hành nghiên cứu trong bài luận văn này.
Đồng thời liên quan đến khái niệm đạo hàm, chúng tôi nhận thấy chưa có luận
văn nào sử dụng phần mềm Casyopée tiến hành nghiên cứu mặc dầu phần mềm này có
nhiều tính năng hữu ích như tác giả Đỗ Thị Thúy Vân đã đề cập. Chính vì vậy, chúng

tôi đặt các vấn đề mà mình cần nghiên cứu trong môi trường công nghệ thông tin tích
hợp phần mềm Casyopée.
Do đó ở chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế, phân
tích các tổ chức Toán học xung quanh khái niệm đạo hàm, các ứng dụng của đạo hàm
trong bài toán thực tế, mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như các phần khác
trong chương trình thông qua nhận dạng đồ thị hàm số.


12

CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN
THPT
Phân tích chương 2 cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả
thuyết nghiên cứu.
Chúng tôi chủ yếu quan tâm đến hai vấn đề: Ứng dụng của đạo hàm trong các bài
toán thực tế; Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm khác trong chương
trình thông qua vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số. Cụ thể, chúng tôi tiến hành phân tích
SGK Toán 11 ở hai ban cơ bản và nâng cao (GKCB11, GKNC11); SGK Toán 12 ở hai
ban cơ bản và nâng cao (GKCB12, GKNC12) để trả lời các câu hỏi sau:
Trong SGK Toán phổ thông, các bài toán có ứng dụng đạo hàm, đặc biệt là các bài
toán gắn liền với thực tế được trình bày như thế nào?
Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm liên quan được thể hiện ra
sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?
2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11)
2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết
Trước chương ĐẠO HÀM là chương GIỚI HẠN, phần GIỚI HẠN CỦA HÀM
SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC chuẩn bị về mặt kiến thức trước khi đi vào khái niệm
đạo hàm.
‘‘Chương V (13 tiết) ĐẠO HÀM
§1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (2 tiết)

§2. Quy tắc tính đạo hàm (3 tiết)
§3. Đạo hàm của hàm số lượng giác (3 tiết)
§4. Vi phân (1 tiết)
§5. Đạo hàm cấp hai (1 tiết)
Ôn tập chương V (3 tiết)” [4, tr.152].

GKCB11 dành 13 tiết còn GKNC11 dành 16 tiết để giới thiệu lý thuyết đạo
hàm. Điều này cho thấy tầm quan trọng của lý thuyết này.


13

 Bài toán thực tế
Trong phần giới thiệu đầu chương, cả hai bộ sách GKCB11 và GKNC11 đều
giải thích lí do đưa vào phần lý thuyết đạo hàm như sau:
‘‘Trước đây, Đạo hàm và Tích phân được học trọn vẹn trong Giải tích 12. Ngày nay,
phần Lý thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và Giải tích 11 để phục
vụ kịp thời cho việc học các môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học,...
Ở đây, học sinh được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một và từ các bài toán
đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và công thức đạo
hàm cơ bản và quan trọng nhất” [5, tr.145].

“Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để
nghiên cứu các tính chất hàm số và hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số.
Học sinh cần nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; nhớ các công thức, các
quy tắc tính đạo hàm và sử dụng thành thạo chúng” [9, tr.183].

GKCB11 đề cập đến ứng dụng đạo hàm trong các ngành khoa học khác là Vật
lý và Hóa học. Liệu rằng ứng dụng này có bao gồm cả các bài toán thực tế trong Vật
lý, Hóa học và thực tế cuộc sống hay không? Trong khi đó, GKNC11 cho thấy vai trò

công cụ của đạo hàm trong các bài toán liên quan đến hàm số và đưa ra các kỹ năng
cần thiết khi học đạo hàm mà không đề cập gì đến ứng dụng của nó trong thực tế hay
trong các chuyên ngành khoa học khác.
Sau phần giới thiệu, trong bài đầu tiên của chương, GKCB11 và GKNC11 giới
thiệu các bài toán thực tế nhằm dẫn dắt HS đến khái niệm đạo hàm. GKCB11 mở đầu
bằng việc xét một bài toán chuyển động thẳng có phương trình chuyển động 𝑠 = 𝑠(𝑡)
còn GKNC11 mở đầu bằng bài toán chuyển động rơi tự do mà HS đã học ở Vật lí 10

với mục đích: "Rơi tự do là chuyển động (không đều) khá đơn giản ở chỗ: đây là chuyển
động thẳng chỉ theo một hướng từ trên xuống dưới. Hi vọng điều này giúp HS dễ hình dung
và dễ hiểu hơn’’ [10, tr.224].

Chúng tôi trích dẫn bài toán mở đầu trong GKCB11:
‘‘ Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s(mét) đi
được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên hàm


14

số đó là 𝑠 = 𝑡 2 . Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [𝑡; 𝑡0 ] với
𝑡0 = 3 và 𝑡 = 2; 𝑡 = 2,5; 𝑡 = 2,9; 𝑡 = 2,99.

Nêu những kết quả thu được khi t càng gần 𝑡0 = 3” [5, tr.146].

Đây là một bài toán thực tế liên quan đến chuyển động của đoàn tàu.
Hoạt động này được đưa ra nhằm mục đích như sau:
‘‘Qua hoạt động 1, về mặt trực giác học sinh sẽ thấy vận tốc trung bình của đoàn tàu
gần với ‘‘vận tốc” ở chính thời điểm 𝑡0 nếu khoảng thời gian |∆𝑡| càng nhỏ. Điều đó
dẫn đến định nghĩa vận tốc tức thời của một chuyển động tại 𝑡0 là 𝑣 (𝑡0 ) =

lim𝑡→𝑡0

𝑠(𝑡)−𝑠(𝑡0 )
𝑡−𝑡0

’’ [5, tr154 – 155].

Hai bài toán thực tế mà GKCB11 và GKNC11 đưa ra cùng có một đặc trưng là
dạng đồ thị biểu thị chuyển động của vật đã được cho sẵn. HS chỉ cần thế các giá trị
vào công thức và bằng trực giác trả lời các câu hỏi yêu cầu.
Bài toán thực tế mà SGK đưa ra nhằm làm xuất hiện nhu cầu xác định giới hạn
lim𝑥→𝑥0

giới hạn.

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
𝑥−𝑥0

. Từ đó, khái niệm đạo hàm được định nghĩa thông qua việc tính

Nhận xét
U

-

Các bài toán trong thực tế dẫn đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm.

-

Lý thuyết đạo hàm phục vụ cho các chuyên ngành khoa học khác, có khả năng

bao gồm cả việc giải quyết các bài toán thực tế.

 Tiếp tuyến và nhận dạng đồ thị hàm số
• Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được chúng tôi tìm
thấy trong mục ‘‘Quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên
tục của hàm số’’
2
“Chẳng hạn, hàm số 𝑓(𝑥) = �−𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0 liên tục tại

𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0

x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ

thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị “gãy’’ tại điểm O(0;0) (h.62)’’[5,

tr150].
Ví dụ này được GKCB11 đưa ra nhằm khẳng định cho chú ý “Một hàm số liên
tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó’’


15

Khái niệm đồ thị hàm số bị “gãy’’ chưa được định nghĩa nhưng kèm theo lời
khẳng định thì SGK có đưa ra hình ảnh minh họa. Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị
“gãy” tại điểm O(0;0) giúp HS hình dung một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên
tục tại một điểm nhưng lại không có đạo hàm tại đó. Như vậy ở đây, GKCB11 cung
cấp một cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm thông qua việc nhận
xét về hình dạng đồ thị hàm số.
• Mối quan hệ của tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập thông qua mục ý nghĩa
hình học của đạo hàm.

Trước khi giới thiệu về tiếp tuyến, GKCB11 đưa ra hoạt động 3 với mục đích
‘‘Hoạt động 3 tập cho học sinh biết cách vẽ đường thẳng d qua một điểm M với hệ số
góc k cho trước, đồng thời giới thiệu hình ảnh của một tiếp tuyến’’ [4, tr.158].

Hoạt động 3 như sau:
“a) Vẽ đồ thị của hàm số 𝑓(𝑥) =
b) Tính 𝑓 ′ (1).

𝑥2
2

.

1

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm 𝑀(1; 2) và có hệ số góc bằng 𝑓 ′ (1). Nêu nhận xét về

vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho’’ [5, tr150].

GKCB11 đề cập đến việc vẽ đường thẳng với hệ số góc k cho trước mà trong
hình học 10 đã giới thiệu.
GVCB11 hướng dẫn cách vẽ đường thẳng d đi
qua điểm M với hệ số góc k cho trước như sau:
“Lấy hai điểm A, B sao cho MA // Ox và vec tơ
������⃗ cùng hướng với Ox, MB hướng lên trên và tạo
𝑀𝑀
với tia MA một góc 𝛼 có 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑘, MB là đường
thẳng d phải dựng.

Trong hoạt động 3, vì 𝑓(𝑥) =

1

𝑥2
2

nên 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥

1

3

⇒ 𝑓 ′ (1) = 1. Vì 𝑀 �1; 2� nên ta lấy hai điểm A và B như sau: 𝐴(2; 2), 𝐵(2; 2). Khi đó

ta có tam giác MAB vuông tại A (h.21)
𝐴𝐴

Rõ ràng 𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑀𝑀 = 1 ⇒ 𝛼 = 450 ’’ [4, tr.158].


16

Đối với hoạt động này, chúng tôi nghĩ rằng GV cần hỗ trợ và hướng dẫn thì HS
mới vẽ theo cách mà SGV đưa ra bởi lẽ theo chúng tôi có thể một số em sẽ chọn cách
viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước sau đó cho vài điểm và vẽ
đường thẳng. Với cách viết phương trình đường thẳng rồi vẽ đường thẳng sẽ làm mất ý
nghĩa hệ số góc, mà ở đây SGK cần nhấn mạnh đến hệ số góc để giới thiệu về hệ số
góc của tiếp tuyến.
Sau hoạt động 3, GKCB11 giới thiệu về tiếp tuyến của đường cong phẳng và ý
nghĩa hình học của đạo hàm.
“Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường

cong (C). Giả sử (C) là đồ thị của hàm số
𝑦 = 𝑓(𝑥) và 𝑀0 �𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )� ∈ (𝐶). Kí
hiệu 𝑀(𝑥; 𝑓(𝑥)) là điểm di chuyển trên

(C). Đường thẳng M 0 M là một cát tuyến
R

R

của (C) (h.63). Nhận xét rằng khi 𝑥 → 𝑥0

thì 𝑀(𝑥; 𝑓(𝑥)) di chuyển trên (C) tới

điểm 𝑀0 �𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )� và ngược lại. Giả sử

cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0 T thì M 0 T được gọi là tiếp tuyến của (C)
R

R

R

R

R

R

tại M 0 . Điểm M 0 gọi là tiếp điểm’’ [5, tr.150].
R

R

R

R

Khái niệm tiếp tuyến ở đây được đưa vào theo quan điểm giải tích với đặc trưng
“vị trí giới hạn của cát tuyến”. Tiếp tuyến được đưa vào với một nghĩa hoàn toàn mới
so với tiếp tuyến ở THCS. Ở THCS quan niệm tiếp tuyến mà HS biết là có hai đặc
trưng “tiếp xúc” và“có một điểm chung”. Mặc dầu có sự khác nhau giữa hai bậc học
nhưng SGK cũng không đưa ra lí do giải thích sự khác nhau hay tương đồng giữa hai
nghĩa này. Điều này có dẫn đến sự khó hiểu và mơ hồ của HS hay không?
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập trong Định lý 2 và Định
lý 3.
“ĐỊNH LÍ 2
Đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T của (C)
R

tại điểm 𝑀0 �𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )�.
ĐỊNH LÍ 3

R

R

R


17

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm
𝑀0 �𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )� là

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )

trong đó 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 )” [5, tr.151 – 152].

SGV nhận định như sau: ‘‘Muốn nói đến hệ số góc của tiếp tuyến, trước hết phải có

khái niệm tiếp tuyến. Rất khó đưa ra định nghĩa chính xác về tiếp tuyến nên ở đây, ta
chỉ cung cấp cho học sinh khái niệm này bằng cách mô tả trực quan.... Sau đó, ta
chứng minh Định lí 2 để khẳng định rằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số
𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑀0 �𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )� là 𝑓 ′ (𝑥0 )’’ [4, tr.159].

Yêu cầu được đặt ra ở phần này gồm hai vấn đề: Mô tả tiếp tuyến một cách trực
quan và chứng minh Định lí 2. Như vậy, khái niệm tiếp tuyến không được định nghĩa
chính xác mà chỉ được mô tả cho HS thông qua con đường nhận dạng đồ thị trực quan.
Và theo chúng tôi cách mô tả trực quan tốt nhất cung cấp cho HS đó là khi nó được
thực hiện trong môi trường công nghệ thông tin có tích hợp các phần mềm. Mặc khác,
bài toán trong hoạt động 3 đưa ra hệ số góc bằng 1 nên việc suy ra góc 𝛼 HS có khả

năng làm được. Vấn đề đặt ra là nếu hệ số góc được cho không phải là tan của một góc
nguyên thì liệu rằng việc vẽ để HS thấy được hệ số góc của tiếp tuyến có còn trở nên
dễ dàng nữa hay không? Theo chúng tôi, điều này sẽ không dễ dàng chút nào nếu thực
hiện vẽ trên giấy. Tuy nhiên, nếu được vẽ trên phần mềm công nghệ thông tin thì có
khả năng sẽ khả quan hơn rất nhiều. Mức độ tạo ra sự khả quan ít hay nhiều còn tùy
thuộc vào phần mềm được lựa chọn.
GKNC11 giới thiệu khái niệm tiếp tuyến tương tự như GKCB11, tuy nhiên không

có hoạt động mở đầu giúp HS nhìn nhận trực quan về tiếp tuyến.
Nhận xét
U

-

Nhận dạng đồ thị cho phép HS tiếp thu các khái niệm về đạo hàm, tiếp tuyến,
xét sự tồn tại của đạo hàm.

-

Đạo hàm là công cụ cho phép ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến và viết
phương trình tiếp tuyến.

-

Mô tả trực quan cho HS về khái niệm tiếp tuyến cần được thực hiện trên phần
mềm công nghệ thông tin.