dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số

: 60 4601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 0
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
CHƯƠNG I ........................................................................................................... 3
KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................................ 3
1.1. Bổ đề 1.1 .................................................................................................... 3
1.2. Không gian mêtric. ..................................................................................... 3
Định nghĩa 1.2 ................................................................................................. 3
Bổ đề 1.3.......................................................................................................... 3
Định nghĩa 1.4 ................................................................................................. 4
Định lý 1.5 ....................................................................................................... 4
1.3 Không gian Banach lồi đều ......................................................................... 6
Định nghĩa 1.6 ................................................................................................. 6
Bổ đề 1.7.......................................................................................................... 6
CHƯƠNG II .......................................................................................................... 7
ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC
ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU.......................................................................... 7
2.1 Các định nghĩa ............................................................................................. 7
Định nghĩa 2.1 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.2 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.3 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.5 ................................................................................................. 8
Định nghĩa 2.6 ................................................................................................. 8
2.2 Định lý 2.7 .................................................................................................. 8
2.3 Định lý 2.8 ................................................................................................ 10
2.4 Định lý 2.9 ................................................................................................ 12
2.5 Hệ quả 2.10 ............................................................................................... 14

2.6 Hệ quả 2.11 ............................................................................................... 14
2.7 Định lý 2.12 .............................................................................................. 15


2.8 Định lý 2.13 .............................................................................................. 16
2.9 Định lý 2.14 .............................................................................................. 17
2.10 Hệ quả 2.15 ............................................................................................. 18
2.11 Định lý 2.16 ............................................................................................ 19
CHƯƠNG III....................................................................................................... 23
LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU ....................... 23
3.1 Các định nghĩa ........................................................................................... 23
Định nghĩa 3.1 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.2 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.3 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.4 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.5 ............................................................................................... 24
Định nghĩa 3.6 ............................................................................................... 24
3.2 Định lý 3.7 ................................................................................................ 24
3.3 Định lý 3.8 ................................................................................................ 24
3.4 Định lý 3.9 ................................................................................................ 25
3.5 Ánh xạ loại (A) ......................................................................................... 25
3.6 Ánh xạ loại (B) ......................................................................................... 26
3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ...... 26
3.8 Bổ đề 3.10 ................................................................................................. 27
3.9 Bổ đề 3.11 ................................................................................................. 29
3.10 Định lý 3.12 ............................................................................................ 36
3.11 Định nghĩa 3.13 ...................................................................................... 38
3.12 Định lý 3.14 ............................................................................................ 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 40

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ
HOÀN HÓA – người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành luận văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học cùng toàn thể quý Thầy
Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã giảng dạy và tạo điều
kiện tốt cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những điều sai
sót, rất được mong sự góp của quý Thầy Cô và Bạn đọc để hoàn thiện đề tài
hơn nữa.


1

LỜI NÓI ĐẦU
Định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên
trên không gian mêtric đã được trình bày bởi nhiều tác giả trên các bài: A.
Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping,
Southwest J. Pure Appl. Math; A. Djoudi and L. Nisse, Gregus type fixed
points for weakly compatiple mappings, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin;
M. Imdad and J. Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E. A.
Property, Acta Math. Sin; …
Cách lập một dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của một họ N các
ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều cũng được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả qua các bài: B. E. Rhoades, Fixed point iteration

for certain nonlinear mapping, J. Math. Anal. Appl; N. Shahzad and A.
Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi
nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and
Applicatoins; H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of
mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; ...
Luận văn này là sự trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về định lý
điểm bất động chung duy nhất của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric và cách lập một dãy lặp hội tụ về điểm bất động chung của
họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.


2

Luận văn sẽ được trình bày trong ba chương:
Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của dãy số thực, không gian
mêtric, không gian Banach lồi đều và sử dụng cho việc chứng minh trong các
chương sau.
Chương II. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
TƯƠNG THÍCH YẾU
Xây dựng điều kiện đủ để các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric có điểm bất động chung duy nhất.
Chương III. LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ
N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN
Cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa
tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.


3

CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Bổ đề 1.1
∞
∞
∞
Cho các dãy số thực không âm =
, {rn }n 1 thỏa điều kiện:
{α n }n 1 ,=
{β n }n 1 =

β n < ∞ và ∑ n 1 rn < ∞ thì lim α n tồn tại.
1 . Nếu ∑ n 1 =
α n +1 ≤ (1 + β n )α n + rn , ∀n ≥=
n →∞
∞

∞

(Bổ đề được chứng minh bởi: K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed
points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math.
Anal. Appl 178 (1993), pp 301-308).
1.2. Không gian mêtric.
Bên cạnh những kiến thức quan trọng đã được nghiên cứu trong quá trình
học đại học về không gian mêtric, trong phần này sẽ nhắc lại một số định
nghĩa sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn.
Định nghĩa 1.2
Cho hai tập compact A và B trong không gian mêtric X. Độ lệch của A đối
với B là đại lượng được ký hiệu e ( A, B ) và được xác định như sau:
e ( A, B ) = sup d ( x , B ) .

x∈A

( ) ( )

Nhận xét: e A, B ≠ e B, A .
Ví dụ A ⊆ B và A ≠ B . Khi đó ta có e ( A, B ) = 0 còn e ( B, A ) ≠ 0.
Bổ đề 1.3
Độ lệch e ( A, B ) là hữu hạn và tồn tại điểm a ∈ A sao cho e ( A, B ) = d ( a, B )


4

Chứng minh.
Vì A là compact nên giới nội. Do đó với y0 ∈ B tìm được α > 0 để
d ( x , y0 ) < ε , ∀x ∈ A ,

vì thế e ( A, B ) hữu hạn. Theo định nghĩa e ( A, B ) tồn tại

xn ∈ A để e ( A, B ) = lim d ( xn , B ) . Do A là compact nên { xn } có dãy con hội tụ tới
n →∞

a∈ A

(không mất tính tổng quát ta có thể xem dãy con đó chính là dãy { xn } ).

d ( xn , a ) + d ( a, B ) =
d ( a, B ) . Vậy e ( A, B ) = d ( a, B ) .
Khi đó d ( a, B ) ≤ e ( A, B ) ≤ lim
n →∞

Định nghĩa 1.4
Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi là siêu mêtric) giữa A và B là đại
lượng được ký hiệu H ( A, B ) và được xác định như sau:

{

}

H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A ) .

Ký hiệu ℘fb ( X ) là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập compact khác
rỗng trong không gian mêtric X.
Định lý 1.5
Siêu mêtric

H

( 5) H ( A, B ) ≥ 0

có những tính chất sau đây:
, ∀A, B ∈℘fb ( X ).

( 6 ) H ( A, B ) = 0 ⇔ A = B.

( 7=
) H ( A, B )

H ( B, A ) , ∀A, B ∈℘fb ( X ).

( 8) H ( A, C ) ≤ H ( A, B ) + H ( B, C )

Chứng minh.

, ∀A, B, C ∈℘fb ( X ).


5

( 5) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}


= max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) ≥ 0 , ∀A, B ∈℘fb ( X ).
 x∈A

y∈B

( 6 ) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}


= max
=
sup d ( x , B ) ,sup d ( y, A )  0
y∈B
 x∈A


 x ∈ B, ∀x ∈ A
 d ( x , B )= 0, ∀x ∈ A
⇔
⇔
 y ∈ A, ∀y ∈ B


 d ( y, A )= 0, ∀y ∈ A
A ⊂ B
⇔
B
hay A =
B ⊂ A

( 7)

∀A, B ∈℘fb ( X ), ta coù:

{
{

}
}

 H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A )


 H ( B, A ) = max e ( B, A ) , e ( A, B ) .

Suy ra H ( A, B ) = H ( B, A )

(8) Từ bổ đề 1.2 suy ra mọi

x ∈ A , tồn tại c ∈ C để:

d ( x, B ) ≤ d ( x, c ) + d ( c, B ) ≤ d ( x, C ) + d ( c, B ) , với d ( x, C ) = d ( x, c ) . Ta suy ra

e ( A, B ) ≤ e ( A, C ) + e ( C , B ) .

Tương tự ta cũng có: e ( B, A ) ≤ e ( B, C ) + e ( C , A) . Theo tính chất ( 3) ta có:
H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}
≤ max {e ( A, C ) + e ( C , B ) , e ( C , A ) + e ( B, C )}
≤ max {H ( A, C ) + H ( C , B ) , H ( C , A ) + H ( B, C )} .

Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát (℘fb ( X ) , H ) như một không gian
mêtric.


6

Ngoài ra trên không gian siêu mêtric ta định nghĩa:
=
δ ( A, B ) sup {d ( a, b ) : a ∈ A, b ∈ B} .

1.3 Không gian Banach lồi đều
Định nghĩa 1.6
Ta nói không gian Banach X là lồi đều nếu ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho:

( x, y ∈ X , x

 x+y

≤ 1, y ≤ 1 vaø x − y > ε ⇒ 
< 1−δ  .
 2


)

Bổ đề 1.7
Cho p > 1 và R > 1 là hai số cố định, E là không gian Banach. E là không
gian Banach lồi đều nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g :[ 0, ∞ ) → [ 0, ∞ ) liên tục, tăng
nghiêm ngặt và lồi sao cho: λ x + (1 − λ ) y p ≤ λ x + (1 − λ ) y − w p (λ ) g ( x − y ) ,
p
p
∀ x, y ∈ BR (0) ={ x ∈ E : x ≤ R} , λ ∈[ 0,1] , w p (λ ) =λ (1 − λ ) + λ (1 − λ ).

(Bổ đề được chứng minh bởi: H. K. Xu, Existence and convergence for fixed
points of mappings of asymptotically nonexpensive type, Nonlinear Anal. 16
(1991), pp 1139-1146).


7

CHƯƠNG II
ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU
Trong phần trình bày tiếp theo ta thường sử dụng các ký hiệu sau: X là
không gian mêtric ( X , d ) ; ℘fb ( X ) là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng
của không gian mêtric ( X , d ) ;

f , g để chỉ các ánh xạ f , g : X → X ; các ký

hiệu F , G để chỉ các ánh xạ đa trị F , G : X →℘fb ( X=
) và fx f=
( x ) , Fx F ( x ) .

2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1
fgx, gfx ) d ( fx, gx ) , ∀x ∈ X .
Hai ánh xạ f , g được gọi là giao hoán nếu d ( =

Định nghĩa 2.2
Hai ánh xạ f , g là giao hoán yếu nếu d ( fgx, gfx ) ≤ d ( gx, fx ) , ∀x ∈ X .
Nhận xét
Nếu hai ánh xạ f , g giao hoán thì giao hoán yếu.
Chứng minh.
fgx, gfx ) d ( fx, gx ) , ∀x ∈ X . Từ đây suy ra
Vì f, g là giao hoán nên d ( =
d ( fgx, gfx ) ≤ d ( gx, fx ) , ∀x ∈ X . Do đó f và g là hai ánh xạ giao hoán yếu.

Định nghĩa 2.3
Hai ánh xạ f , g được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu f , g giao hoán
và tồn tại x ∈ X sao cho fx = gx .
Định nghĩa 2.4


8

Hai ánh xạ f , F được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn tại x ∈ X
sao cho fx ∈ Fx và fFx ⊆ Ffx .
Định nghĩa 2.5
Cho f : X → X là ánh xạ trên X. Phần tử x ∈ X được gọi là điểm bất động
của f nếu fx = x .
Định nghĩa 2.6
F : X → 2 X là ánh xạ đa trị trên X. Phần tử x ∈ X được gọi là điểm bất động

của F nếu x ∈ Fx .
2.2 Định lý 2.7
Cho f , g : X → X là các ánh xạ, F , G : X →℘fb ( X ) là các ánh xạ đa trị sao
cho các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên.

( )

ϕ : +

5

→  hàm thực thỏa những điều kiện sau:

(ϕ ) : ϕ
1

không tăng với các biến t 4 và t 5

(ϕ ) : ϕ ( t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0
2

Nếu với mọi x , y ∈ X sao cho max {d ( fx, gy ) , d ( fx, Fx ) , d ( gy, Gy )} > 0 ,

(

)

ϕ d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx, Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0 (2.8.1) . Khi đó f, g, F

và G có chung duy nhất điểm bất động.

Chứng minh.
Chứng minh f, g, F và G có điểm bất động chung. Thật vây, vì các cặp

{ f , F} và {g, G}

là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại

u , v ∈ X sao cho fu ∈ Fu , gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .


9

Trước tiên ta chứng minh fu = gv .

(

Töø (2.8.1) vaø (ϕ1 ) ta coù: ϕ d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu )

(

)

= ϕ d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0

)

Đồng thời theo (ϕ1 ) ta cũng có ϕ ( d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ) < 0 . Kết hợp
với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ ( d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ) ≥ 0 với d ( fu, gv ) > 0 .
Do vậy d ( fu, gv ) = 0 . Suy ra fu = gv .
Tiếp theo ta chứng minh f 2u = fu . Từ điều kiện (2.8.1) và (ϕ1 ) ta có:

((

) (

)
ϕ ( d ( f u, fu ) , 0, 0, d ( f

(

)

ϕ d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu )
2

2

)

)

)

u, Gv , d ( fu, Ffu ) < 0.

(

)

Tương tự như trên theo (ϕ1 ) ta có ϕ d ( f 2 u, fu ) ,0,0, d ( f 2 u, fu ) , d ( f 2 u, fu ) < 0.

(

)

Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì ϕ d ( f 2 u, fu ) ,0,0, d ( f 2 u, fu ) , d ( f 2 u, fu ) ≥ 0 với

(

)

(

)

d f 2u , fu > 0 . Do vậy d f 2u , fu = 0 . Suy ra f u = fu hay fu là điểm bất động
2

của f . Tương tự ta có: gv = g 2v hay fu = gv là điểm bất động của

g.

Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do
ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Suy ra fu ∈ Ffu hay fu là điểm

bất động của F. Vì =
fu gfu ∈ Gfu hay fu là điểm bất động của G .
Ta chứng minh điểm bất động chung là duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm
bất động của f , g , F , G . Khi đó theo (2.8.1) và (ϕ1 ) ta có:

(

ϕ d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Ff ω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Ff ω )

(

)

ϕ d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( f ω , Ff ω ) < 0.

)


10

Đồng thời theo (ϕ1 ) ta có: ϕ ( d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ) < 0 , kết hợp
với (ϕ2 ) thì ϕ ( d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ) ≥ 0 với d ( f ω , gω ') > 0
0 ⇒ d (ω , ω ' ) =
0 hay ω =
ω '.
Suy ra d ( f ω , gω ') =

2.3 Định lý 2.8
Cho f , g : X → X là các ánh xạ và F , G : X → ℘fb ( X ) là các ánh xạ đa trị
sao cho các cặp { f , F} và {g, G} là tương thích yếu ngẫu nhiên.

( )

ϕ : +

(ϕ ) : ϕ
1

6

→  là hàm thực thỏa các điều kiện sau:

không tăng với các biến t 5 và t 6

(ϕ ) : ϕ ( t ', t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 . Nếu với mọi
2

{

x,y ∈ X

sao cho

}

max d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) > 0 ,

(

)

ϕ H ( Fx , Gy ) , d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx , Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0

(2.10.1) thì

các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động.
Chứng minh.
Chứng minh tồn tại điểm bất động. Thật vậy, vì các cặp { f , F} và {g, G} là
các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại u, v ∈ X sao cho
fu ∈ Fu , gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .

Trước tiên, ta chứng minh gv = fu . Theo điều kiện (2.10.1) và (ϕ1 ) ta có:

(

ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu )

(

)

ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0 .

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được:

)


11

(

)

(

)

ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) < 0 , kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì
ϕ H ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ≥ 0 khi d ( fu, gv ) > 0 . Do đó ta có
hay fu gv .
được d =
( fu, gv ) 0=

Tiếp theo, ta chứng minh f 2u = fu . Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được:

(

(

) (

)
ϕ ( H ( Ffu, Gv ) , d ( f u, gv ) , 0, 0, d ( f

(

)

ϕ H ( Ffu, Gv ) , d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu )
2

2

)

)

)

u, Gv , d ( gv, Ffu ) < 0.

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta có kết quả:

(

(

)

(

) (

))

(

) (

))

ϕ H ( Fu, Gv ) , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu < 0 , kết hợp với điều kiện của

(ϕ2 ) ta cũng có kết quả:

(

(

)

ϕ H ( Fu, Gv ) , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu ≥ 0 với d ( f 2u, fu ) > 0 .

Do vậy mà ta suy ra d ( f 2u, fu ) =
0 ⇒ f 2u =
fu hay fu là điểm bất động của f .
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được g 2v = gv hay

gv

là điểm

bất động của g .
Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do
ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Nên ta có fu ∈ Ffu . Tương tự ta

cũng có: =
fu gfu ∈ Gfu . Theo định nghĩa (2.6) thì fu là điểm bất động của F và
G.
Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm bất
động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau:

(

ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Fω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω )

(

)

ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) < 0

)


12

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được:

(

)

ϕ H ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) < 0 . Kết hợp với điều kiện

(ϕ2 ) thì ϕ ( H ( Fω , Gω ') , d ( f ω , gω ') ,0,0, d ( f ω , gω ') , d ( f ω , gω ') ) ≥ 0 với
d ( f ω , gω ') > 0 . Do vậy d ( f ω , gω ') =
0 ⇒ d (ω , ω ' ) =
0 hay ω =
ω'.

2.4 Định lý 2.9
Cho f , g : X → X là các ánh xạ và F , G : X → ℘fb là các ánh xạ đa trị sao
cho { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên.

( )

ϕ : +

6

(ϕ ) : ϕ
1

→  là hàm thực thỏa các điều kiện sau:

không giảm với biến t1 ,không tăng với các biến t 5 và t 6

(ϕ ) : ϕ ( t, t,0,0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0 . Nếu với mọi
2

{

x , y ∈ X sao

cho

}

max d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) > 0 ,

(

)

ϕ δ ( Fx , Gy ) , d ( fx , gy ) , d ( fx , Fx ) , d ( gy, Gy ) , d ( fx , Gy ) , d ( gy, Fx ) < 0 (2.11.1) thì

các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động.
Chứng minh.
Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên
tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .
Chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Tương tự như các định lý trước,
theo điều kiện (2.11.1) ta được kết quả như sau:

(

ϕ δ ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) , d ( fu, Fu ) , d ( gv, Gv ) , d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu )

(

)

ϕ δ ( Fu, Gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, Gv ) , d ( gv, Fu ) < 0.

)


13

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta cũng có:

(

)

(

)

ϕ δ ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 ) thì

ϕ δ ( fu, gv ) , d ( fu, gv ) ,0,0, d ( fu, fv ) , d ( fu, gv ) ≥ 0 với d ( fu, gv ) > 0 . Từ đó ta suy
hay fu gv .
ra d=
( fu, gv ) 0=

Chứng minh f 2u = fu . Theo điều kiện (2.11.1) ta cũng có:

(

(

) (

)
ϕ (δ ( Ffu, Gv ) , d ( f u, gv ) ,0,0, d ( f

(

)

ϕ δ ( Ffu, Gv ) , d f 2 u, gv , d f 2 u, Ffu , d ( gv, Gv ) , d f 2 u, Gv , d ( gv, Ffu )
2

2

)

)

)

u, Gv , d ( gv, Ffu ) < 0.

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta cũng có:

((

) (

)

(

) (

))

ϕ δ f 2 u, fu , d f 2 u, fu ,0,0, d f 2 u, fu , d f 2 u, fu < 0 . Kết hợp với điều kiện (ϕ2 )

(

)

thì ϕ δ ( f 2 u, gv ) , d ( f 2 u, gv ) ,0,0, d ( f 2 u, fv ) , d ( f 2 u, gv ) ≥ 0 Với d ( f 2u, fu ) > 0 .
Theo đó ta suy ra d ( f 2u, fu ) =⇒
f 2u =
fu hay fu là điểm bất động của f
0

.

v gv
= fu hay fu là điểm bất
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có g 2=

động của

g.

Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g. Ta có:
ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Từ đây ta có: fu ∈ Ffu và
fu gfu ∈ Gfu .
=

Bây giờ chúng ta chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu = ω và
ω ' là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.11.1) ta có kết

quả sau:

(

ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , Fω ) , d ( gω ', Gω ' ) , d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω )

(

)

ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , Gω ' ) , d ( gω ', Fω ) < 0.

)


14

Mặt khác theo điều kiện (ϕ1 ) ta được:

(

)

ϕ δ ( Fω , Gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) ,0,0, d ( f ω , gω ' ) , d ( f ω , gω ' ) < 0 . Kết hợp với điều kiện

(ϕ2 ) thì ϕ (δ ( Fω , Gω ') , d ( f ω , gω ') ,0,0, d ( f ω , gω ') , d ( f ω , gω ') ) ≥ 0 . Với
d ( f ω , gω ') > 0 . Do vậy d ( f ω , gω ') =
0 ⇒ d (ω , ω ' ) =
0 hay ω = ω ' .

2.5 Hệ quả 2.10
Cho f : X → X là ánh xạ, F : X → ℘fb là ánh xạ có ảnh là tập hợp sao cho
cặp { f , F} tương thích yếu ngẫu nhiên. ϕ : (  + ) →  là hàm thực thỏa các
6

điều kiện:

(ϕ ) : ϕ
1

không giảm với biến t 1 và không tăng với các biến t 5 và t 6

(ϕ ) : ϕ ( t, t,0,0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0
2

(ϕ ) : ϕ (δ ( Fx, Fy ) , d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Fy ) , d ( fx, Fy ) , d ( fy, Fx ) ) < 0 , với mọi
3

{

}

x , y ∈ X và max d ( fx , fy ) , d ( fx , Fx ) , d ( fy, Fy ) > 0 . Khi đó f và F có điểm bất

động chung duy nhất.
Chứng minh.
Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f = g và F = G
2.6 Hệ quả 2.11
Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao
cho cặp { f , F} và

{ f , G}

tương thích yếu ngẫu nhiên. ϕ : (  + ) →  là hàm
6

thực thỏa các điều kiện:

(ϕ ) : ϕ
1

không giảm với biến t 1 , không tăng với các biến t 5 và t 6


15

(ϕ ) : ϕ ( t, t, 0, 0, t, t ) ≥ 0 , ∀t > 0
2

(ϕ ) : ϕ (δ ( Fx, Gy ) , d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Gy ) , d ( fx, Gy ) , d ( fy, Fx ) ) < 0 ,
3

với

mọi x, y ∈ X và max {d ( fx, fy ) , d ( fx, Fx ) , d ( fy, Gy )} > 0 . Khi đó f , F và G có
điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh.
Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f = g.
2.7 Định lý 2.12
Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ đa trị sao cho cặp { f , F}
và { f , G} tương thích yếu ngẫu nhiên. ψ :  + →  + là hàm không tăng sao cho,
với mỗi t > 0 , ψ ( t ) < t và thỏa điều kiện:


p

p



δ p ( Fx , Gy ) ≤ ψ  ad p ( fx , gy ) + (1 − a ) d 2 ( gy, Fx ) d 2 ( fx , Gy ) 




( 2.15.1)

với mọi

x , y ∈ X , 0 < a ≤ 1 , p ≥ 1 . Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy

nhất.
Chứng minh.
Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên
tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .
Chứng minh tồn tại điểm bất động. Theo giả thiết của định lý ta có:
p
p
 p

2
2
δ ( Fx , Gy ) ≤ ψ  ad ( fx , gy ) + (1 − a ) d ( gy, Fx ) d ( fx , Gy )  . Theo


p

tính chất của δ

và ψ ta được: d p ( fu, gv ) ≤ δ p ( Fu, Gv ) ≤ ψ ( d p ( fu, gv ) ) . Nếu d ( fu, gv ) > 0 và theo
điều kiện ψ ( t ) < t với t > 0 thì ta có kết quả sau:


16

(

)

d p ( fu , gv ) ≤ δ p ( Fu , Gv ) ≤ ψ d p ( fu , gv ) < d p ( fu , gv ) .

Ta thấy có điều mâu thuẫn vì

d ( fu , gv ) 0=
suy ra fu gv.
vậy mà=

Ta đi chứng minh f 2u = fu. Giả sử d ( f 2u, fu ) > 0 thì

(

( (

)

))

)

(

d p f 2u, fu ≤ δ p ( Ffu , Gv ) ≤ ψ d p f 2u , fu < d p f 2u, fu . Đây cũng là điều mâu

thuẫn nên d ( f 2u, fu ) =⇒
0
f 2u =
fu hay fu là điểm bất động của f
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho ánh xạ

g

.

u gu
= fu hay
ta cũng có g 2=

fu là điểm bất động của g.

Chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có:
ffu =fu =gv =ggv =gfu, fu =f 2u ∈ fFu ⊂ Ffu . Từ đây ta có: fu ∈ Ffu và
=
fu gfu ∈ Gfu hay fu là điểm bất động của F, G.

Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu = ω và ω ' là điểm bất
d (ω , ω ') d ( f ω , gω ') ≤ δ ( Fω , Gω ') .

động khác của f, g, F, G. Khi đó ta có:=

Theo điều kiện (2.15.1) ta có:


p

p



δ p ( Fω , Gω ' ) ≤ ψ  ad p ( f ω , gω ' ) + (1 − a ) d 2 ( gω ', Fω ) d 2 ( f ω , Gω ' )  .




Vì d p (ω , ω ') = d p ( f ω , gω ') ≤ δ p ( Fω , Gω ') ≤ ψ ( d p (ω , ω ') ) < d p (ω , ω ') .
hay ω ω ' .
Từ đây ta cũng có được kết quả d=
(ω , ω ') 0=

2.8 Định lý 2.13
Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao
cho cặp

{ f , F}

và

{ f , G}

tương thích yếu ngẫu nhiên. ψ :  + →  + là hàm

không tăng sao cho, với mỗi t > 0 , ψ ( t ) < t và thỏa điều kiện:


17

δ p ( Fx , Gy ) ≤ ψ

( ad ( fx, gy ) + (1 − a ) max { α d ( fx, Fx ) , β d ( gy, Gy ) ,
p

p

p

p

p

p

p

d 2 ( fx , Fx ) d 2 ( gy, Fx ) , d 2 ( gy, Fx ) d 2 ( fx , Gy ) ,
1
dp ( fx , Fx ) + dp ( gy, Gy )
2

(

)})

với mọi x, y ∈ X , 0 < a ≤ 1 , 0 < α , β ≤ 1, p ≥ 1 . Khi đó f, g, F và G có điểm bất
động chung duy nhất.
Chứng minh.
Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên
tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .
Vì

ψ

luôn có

là hàm là hàm không giảm và theo tính chất của các số thực c, d ta
c+d
≤ max {c, d } . Khi đó với mọi x, y ∈ X ta có:
2

δ p ( Fx, Gy ) ≤ ψ  adp ( fx, gy ) + (1 − a ) max {d p ( fx, Fx ) , dp ( gy, Gy )
p

p

p

p

, d 2 ( fx, Fx ) d 2 ( gy, Fx ) , d 2 ( gy, Fx ) d 2 ( fx, Gy ) }]

Và với hai điểm

u, v

ta cũng có:



p

p



δ p ( Fu , Gv ) ≤ ψ  ad p ( fu, gv ) + (1 − a ) d 2 ( gv, Fu ) d 2 ( fu , Gy )  . Áp dụng định lý 2.7 ta




suy ra điều phải chứng minh.
2.9 Định lý 2.14
Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ đa trị sao cho cặp { f , F} và

{ f , G} tương thích yếu ngẫu nhiên. Từ u , v ∈ X sao cho
fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu, gGv ⊆ Ggv . ψ :  + →  + là hàm không tăng sao cho,

với mỗi t > 0 , ψ ( t ) < t và thỏa điều kiện:

18

p
p


H p ( Fx , Gy ) ≤ ψ  ad p ( fx , gy ) + (1 − a ) d 2 ( gy, Fx ) d 2 ( fx , Gy )  (2.17.1)





với mọi

x , y ∈ X , 0 ≤ a ≤ 1 , p ≥ 1 . Nếu fu = gv là điểm bất động của f và g thì fu là

điểm bất động chung của f, g, F và g. Đồng thời Fu = Gv.
Chứng minh.
Vì gv ∈ Gv, fu ∈ Fu và f 2u ∈ fFu ⊆ Ffu nên ta có các kết quả sau:
d ( gv, Fu ) ≤ H ( Fu , Gv ) , d ( fu , Gv ) ≤ H ( Fu , Gv ) , d ( gv, Ffu ) ≤ H ( Ffu , gv ) và

(

)

d f 2u , Gv ≤ H ( Ffu , Gv ) . Do ψ là hàm không giảm nên ta được:
p
 p 2

p 2

2
H ( Ffu , Gv ) ≤ ψ  ad f u , gv + (1 − a ) d ( gv, Ffu ) d
f u , Gv 
2


2
2
≤ ψ  ad f u , gv + (1 − a ) Hp ( Ffu , Gv ) 
H p ( Fu , Gv ) ≤ ψ  ad p ( fu , gv ) + (1 − a ) H p ( Fu , Gv )  .

(

p

(

)

(

)

)

Và H p ( Fu, Ggv ) ≤ ψ  ad p ( fu, g 2v ) + (1 − a ) H p ( Fu, Ggv )  . Nếu Fu ≠ Gv và với mỗi
t > 0,ψ ( t ) ≤ t , H p ( Fu , Gv ) ≤ ψ  ad p ( fu , gv ) + (1 − a ) H p ( Fu , Gv )  . Khi đó ta có
H ( Fu, Gv ) ≤ d ( fu, gv ) và fu ≠ gv . Nếu fu = gv thì Fu = Gv .

Chứng minh một cách tương tự nếu f 2u = gv thì Gv = Ffu và nếu fu = g 2v thì

Fu = Ggv .

2.10 Hệ quả 2.15
Cho các ánh xạ f , g : X → X , F , G : X → ℘fb là các ánh xạ đa trị.
ψ :  + →  + là hàm không tăng sao cho với mỗi t > 0 , ψ ( t ) < t . Các cặp { f , F}

và { f , G} tương thích yếu ngẫu nhiên thỏa điều kiện:


19

p
p
 p

2
2
δ ( Fx, Gy ) ≤ ψ  ad ( fx, fy ) + (1 − a ) d ( fy, Fx ) d ( fx, Gy )  với mọi x, y ∈ X ,


p

0 < a ≤ 1 và p ≥ 1 . Khi đó f, g và G có điểm bất động chung duy nhất.

Chứng minh.
Chọn f = g và F = G , áp dụng định lý 2.14 ta được điều cần chứng minh.
2.11 Định lý 2.16
Cho f : X → X là ánh xạ, F , G : X → ℘fb là ánh xạ đa trị và.
Φ :  0 ; ∞  →  0 ; ∞  là hàm không giảm thỏa các điều kiện sau:

(Φ ) : Φ (t ) = 0 ⇔ t = 0
1

( Φ ) : Φ (δ ( Fx, Gy ) ) ≤ α ( d ( fx, gy ) ) Φ ( d ( fx, gy ) )
+ β ( d ( fx , gy ) ) Φ ( d ( fx , Gy ) ) + Φ ( d ( gy, Gy ) ) 


+ γ ( d ( fx , gy ) ) Φ ( d ( fx , Fx ) ) + Φ ( d ( gy, Fx ) ) 


2

(2.18.1)

Với mọi x, y ∈ X và α , β , γ :  0, ∞  →  0, 1 là các hàm thỏa điều kiện:
α ( t ) + β ( t ) + γ ( t ) < 1 (2.18.2). Nếu các cặp

{ f , F}

và {g, G} là tương thích yếu

ngẫu nhiên thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động trong
X.
Chứng minh.
Vì các cặp { f , F} và {g, G} là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên
tồn tại u, v ∈ X sao cho fu ∈ Fu, gv ∈ Gv, fFu ⊆ Ffu và gGv ⊆ Ggv .
Chứng minh fu = gv . Do điều kiện (2.18.1) ta có kết quả:

(

)

(
) (
)
+ β ( d ( fu, gv ) ) Φ ( d ( fu, Gv ) ) + Φ ( d ( gv, Gv ) ) 



Φ δ ( Fu, Gv ) ≤ α d ( fu, gv ) Φ d ( fu, gv )


20

(
) (
) (
)
α ( d ( fu, gv ) ) Φ ( d ( fu, gv ) ) + β ( d ( fu, gv ) ) Φ ( d ( fu, Gv ) )

+ γ d ( fu, gv ) Φ d ( fu, Fu ) + Φ d ( gv, Fu ) 


=

(

) (

)

+ γ d ( fu, gv ) Φ d ( gv, Fu ) .

Nếu d ( fu, gv ) > 0 , từ điều kiện của

Φ

là hàm không giảm và Φ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 kết

hợp với các điều kiện (2.18.1), (2.18.2) cho ta kết quả:
Φ ( d ( fu , gv ) ) ≤ Φ (δ ( Fu , Gv ) )
≤ α ( d ( fu , gv ) ) Φ ( d ( fu , gv ) ) + β ( d ( fu , gv ) ) Φ ( d ( fu , Gv ) )
+ γ ( d ( fu , gv ) ) Φ ( d ( gv, Fu ) )
≤ α ( d ( fu , gv ) ) + β ( d ( fu , gv ) ) + γ ( d ( fu , gv ) )  Φ ( d ( fu , gv ) )
< Φ ( d ( fu , gv ) ) .

Vì vậy ta có d ( fu, gv ) = 0 hay fu = gv .
Tiếp theo ta chứng minh f 2u = fu . Giả sử f 2u ≠ fu ,
và Φ ( t ) = 0 ⇔ t = 0 . Khi đó sử dụng hai điều kiện của

Φ

Φ

là hàm không giảm

ta có: