hàm số lượng giác trong dạy học toán và vật lý ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Duy Quang

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG DẠY HỌC
TOÁN VÀ VẬT LÝ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số:

60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu khoa học. Tất cả
những trích dẫn trong luận văn này đều là chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn tất cả các Thầy Cô bộ môn đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung
cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban Giám hiệu và các Thầy Cô, đồng nghiệp trong Trường THPT Chuyên
Trần Đại Nghĩa đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn
thành tốt khóa học của mình.
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Chuyên Trần
Đại Nghĩa, Trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến
hành thực nghiệm.
Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những
người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN
PHỔ THÔNG ............................................................................................................ 6
1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10..................................................... 6
1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác ............................... 6
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều ....................................................... 8
1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều .................................................................................. 11
1.2. Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11 ......................................................... 15
1.2.1. Định nghĩa các hàm số lượng giác........................................................... 15
1.2.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà.................. 19
1.2.3. Các TCTH liên quan đến hàm số lượng giác trong mối liên hệ với
chuyển động tròn đều và dao động điều hoà ..................................................... 21
Chương 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA VẬT
LÝ PHỔ THÔNG .................................................................................................... 31
2.1. Chuyển động tròn đều trong SGK Vật lý 10 .................................................. 31
2.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều .............................. 31
2.1.2. Mối liên hệ với đường tròn lượng giác .................................................... 32
2.1.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến chuyển động tròn đều trong mối
liên hệ với đường tròn lượng giác...................................................................... 33
2.2. Dao động điều hoà trong SGK Vật lý 12 ....................................................... 38
2.2.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của dao động điều hoà ................................... 38

2.2.2. Mối liên hệ với hàm số lượng giác .......................................................... 42
2.2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dao động điều hoà trong mối liên
hệ với hàm số lượng giác ................................................................................... 45
Chương 3. THỰC NGHIỆM .................................................................................. 54
3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 54
3.2. Hình thức thực nghiệm ................................................................................... 54
3.3. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................. 55
3.3.1. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 1) .................................. 55
3.3.2. Phân tích các câu hỏi ............................................................................... 57
3.4. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 60
3.5. Kết luận thực nghiệm của giáo viên ............................................................... 66
3.6. Mục đích thực nghiệm .................................................................................... 67
3.7. Hình thức thực nghiệm ................................................................................... 67
3.8. Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm ............................................. 67
3.8.1. Hệ thống câu hỏi thực nghiệm (xem phụ lục số 2) .................................. 67
3.8.2. Phân tích a priori bộ câu hỏi thực nghiệm học sinh ................................ 69
3.9. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 76
3.10. Kết luận thực nghiệm của học sinh .............................................................. 84
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 89
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
bt

: Bài tập

EM10

: Sách bài tập đại số 10 nâng cao

EM11

: Sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

EP10

: Sách bài tập vật lí 10 nâng cao

EP12

: Sách bài tập vật lí 12 nâng cao

GM10

: Sách giáo viên đại số 10 nâng cao

GM11

: Sách giáo viên đại số và giải tích 11 nâng cao

GP10

: Sách giáo viên vật lí 10 nâng cao

GP12

: Sách giáo viên vật lí 12 nâng cao

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

M10

: Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao

M11

: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao

P10

: Sách giáo khoa vật lí 10 nâng cao

P12

: Sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao

TCTH

: Tổ chức toán học

THCS

: Trung học cơ sở

THPT

: Trung học phổ thông

tr

: Trang

SBT

: Sách bài tập

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu nhiệm
vụ ở M10 ................................................................................................... 14
Bảng 1.2. Thống kê số lượng bài toán liên quan đến hàm số lượng giác trong
mối liên hệ với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà .................. 27
Bảng 1.3. Thống kê số lượng bài toán thực tế liên quan đến Vật lý trong đó mô
hình Toán học biểu diễn hàm điều hòa đã được cho trước trong

chương I của M11 ..................................................................................... 29
Bảng 2.1. Thống kê sự xuất hiện của các khái niệm bán kính, chu kì, tần số, tốc
độ góc, tốc độ dài có trong các đáp án..................................................... 33
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P10
và EP10 ..................................................................................................... 38
Bảng 2.3. Thống kê sự xuất hiện của các đặc trưng li độ, vận tốc, gia tốc, pha,
lực tác dụng, chiều dao động ................................................................... 45
Bảng 2.4. Thống kê số lượng bài toán tự luận ứng với các kiểu nhiệm vụ ở P12
và EP12 ..................................................................................................... 51
Bảng 3.1. So sánh các đặc trưng của đề 1 và đề 2 ................................................... 59
Bảng 3.2. Chiến lược và lời giải có thể quan sát được trong câu 3 của thực
nghiệm học sinh ....................................................................................... 73
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 76
Bảng 3.4. Thống kê chiến lược của học sinh sinh trong câu hỏi 1 phần thực
nghiệm học sinh ....................................................................................... 76
Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 77
Bảng 3.6. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 2 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 77
Bảng 3.7. Thống kê chiến lược của học sinh trong câu hỏi 3 phần thực nghiệm
học sinh .................................................................................................... 78


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Guồng nước đang quay ............................................................................ 68


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứngdụng
trong ngành vật lý. Ở Việt Nam, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong
chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự cụ thể: lượng giác “trong tam
giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng
dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11. Tuy nhiên, cách tiếp
cận của sách giáo khoa Việt Nam trong các giai đoạn giảng dạy trên còn thiên nhiều
về toán học, chưa có các bài toán thực tế để học sinh thấy được ứng dụng của lượng giác.
Trong khi đó, hàm số lượng giác lại có mối liên hệ chặt chẽ với chuyển động
tròn đều và dao động điều hòa trong Vật lý như sau : Sự chuyển động của con lắc lò
xo quanh vị trí cân bằng là một dao động điều hòa của một điểm trên một đoạn
thẳng. Từ đó có thể xem điểm đó là hình chiếu của một điểm tương ứng chuyển
động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó. Từ đây khi ta biểu diễn độ lệch của
vật ra khỏi vị trí cân bằng theo thời gian thì ta sẽ có được đường biểu diễn hình sin.
Nhận xét trên có thể được mô tả bằng việc xét hệ thống hai hệ trục toạ độ như
hình sau:
y
P

+

Q

y = Asin(wt + m)
N

M
H
wt

m
O

B

I

t

t

Ở đây hai hệ trục toạ độ là vuông góc, tia It nằm trên đường thẳng OB. M là
điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc w và chiều chuyển động là chiều ngược
chiều kim đồng hồ. Quỹ đạo của nó là đường tròn tâm O, bán kính A với điểm B là
điểm gốc trên đường tròn ấy.


2



Tại một thời điểm t bất kì, góc giữa OM và OB là wt + m , trong đó m là giá
trị vào lúc t = 0 của wt + m . Khi đó nếu gọi H là hình chiếu của điểm M lên đường
thẳng OP thì
=
OH A sin( wt + m) . Đồng thời nếu trong hệ toạ độ Ity, trục It là trục
biểu diễn thời gian và trục Iy là trục biểu diễn giá trị OH thì khi đó đồ thị chúng ta
nhận được trong hệ Ity là một đường hình sin.
Việc làm này cũng phù hợp với phát biểu về mối liên hệ giữa dao động điều
hòa và chuyển động tròn đều được nêu trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 trang 59

như sau:
“Điểm P dao động điều hoà trên trục Ox với biên độ A và tần số góc ω có thể
coi như hình chiếu lên Ox của một điểm M chuyển động tròn đều tốc độ góc ω trên
quỹ đạo tròn bán kính A, Ox trùng với một đường kính của quỹ đạo.”
Như vậy chúng ta có thể thấy là với khái niệm hàm số lượng giác thì tồn tại
một mối liên hệ nhất định giữa Toán và Lý. Chính điều này làm cho chúng tôi đặt ra
các câu hỏi ban đầu sau đây:
Mối quan hệ liên môn giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác thể
hiện trong SGK THPT như thế nào? Rất rõ ràng hay mờ nhạt?
Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo
viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác?
Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu
sâu sắc cách tiếp cận tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK)
mà còn trong việc giảng dạy.
Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi
chọn chủ đề nghiên cứu của mình tập trung vào việc tìm kiếm những mối liên quan
giữa Toán và Lý trong chủ đề hàm số lượng giác ở bậc trung học phổ thông.
Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do:
- Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ
sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam.
- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường
phổ thông tại Việt Nam,


3

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên
quan đến lượng giác “trong hàm số”.
- Các hiện tượng vật lý liên quan đến hàm số lượng giác xuất hiện rất nhiều
trong sách giáo khoa Vật lý lớp 12 Việt Nam.

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm kiếm những mối quan hệ liên
môn Toán - Lý trong lượng giác xuất hiện ở chương trình trung học phổ thông và
nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đó lên mối quan hệ cá nhân của
giáo viên và học sinh.
Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình
trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm mối quan hệ
thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học để thực hiện nghiên cứu của mình.
Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu
thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:
Câu 1: Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác và hàm số lượng
giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ
nào giữa hai khái niệm này với khái niệm chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông?
Câu 2: Sự xuất hiện và đặc trưng của chuyển động tròn đều và dao động điều
hòa trong chương trình Vật lý bậc trung học phổ thông như thế nào? Có sự liên hệ
nào giữa hai khái niệm này với khái niệm đường tròn lượng giác và hàm số lượng
giác trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông?
Câu 3: Sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân của
giáo viên và học sinh khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác
như thế nào?
3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu
Chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:
Ξ Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình trung học phổ thông, chúng
tôi sẽ làm rõ cách thức tiếp cận tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và
giai đoạn hàm số qua các cấp học.


4

Ξ Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các sách giáo khoa, sách bài tập, sách
giáo viên Toán và Vật lý, chúng tôi sẽ chỉ ra các kiểu nhiệm vụ liên quan giữa hai
phân môn này. Từ đó chỉ ra được đặc trưng của mối quan hệ liên môn Toán - Lý
trong lượng giác ở trung học phổ thông.
Ξ Thứ ba: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan
hệ cá nhân của giáo viên và học khi dạy và học đường tròn lượng giác và hàm số
lượng giác thông qua hai thực nghiệm được tiến hành trên cả hai đối tượng giáo
viên và học sinh.
4. Cấu trúc của luận văn
Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng
tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận.
Ψ Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát,
phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ
chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
Ψ Trong chương 1, chúng tôi phân tích SGK Toán 10 phần đường tròn lượng
giác để so sánh liên hệ với chuyển động tròn đều trong sách giáo khoa Vật lý 10 và
SGK Toán 11 phần hàm số lượng giác để so sánh liên hệ với dao động điều hoà
trong sách giáo khoa Vật lý 12.
Ψ Trong chương 2, chúng tôi phân tích SGK Vật lý 10 và SGK Vật lý 12
trong mối quan hệ như trên.
Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng
tôi đề xuất các câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến mối quan hệ cá
nhân của giáo viên và học sinh đối với kiến thức lượng giác trong chương trình
trung học phổ thông.
Ψ Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng
tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi
mới.
Ψ Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương
trên, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn.

5

Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :
Mở đầu
Chương 1
Chương 2
Chương 3
Kết luận


6

Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG SÁCH GIÁO KHOA
TOÁN PHỔ THÔNG
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm đường tròn lượng
giác và hàm số lượng giác. Cụ thể hơn, qua việc phân tích SGK Toán, Vật lí ở bậc
trung học phổ thông, chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái
niệm đường tròn lượng giác, hàm số lượng giác, cũng như đặc trưng của chúng.
Song song đó chúng tôi cũng tìm kiếm sự nối khớp giữa các khái niệm và đặc trưng
toán học này với chuyển động tròn đều và dao động điều hoà.
Ở đây để có một sự phân tích chuyên sâu, chúng tôi chỉ tập trung phân tích SGK lớp
10, 11 ban nâng cao thay vì phân tích SGK của cả 2 ban (cơ bản và nâng cao).

1.1. Đường tròn lượng giác trong SGK Toán 10
Trong M10, chương 6 – Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm:
Bài 1: Góc và cung lượng giác
Bài 2: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
Bài 3: Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Bài 4: Một số công thức lượng giác
Mục tiêu của chương về kĩ năng liên quan đến đường tròn lượng giác là:
“Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số
thực α , từ đó xác định sin α ,cos α , tan α ,cot α (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng
số) và mối liên quan giữa chúng.”
[11, tr.241]
1.1.1. Sự xuất hiện và đặc trưng của đường tròn lượng giác
Khái niệm đường tròn lượng giác hoàn chỉnh được xây dựng dựa vào ba bước
chính là chọn chiều quay, đường tròn định hướng và đường tròn lượng giác được
trải dài trong phần 2 của bài 1 cho đến phần 1 của bài 2. Như vậy chúng ta có thể
thấy M10 đưa ra việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác rất sớm vì tất cả
các phần liên quan phía sau như giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang đều cần
khái niệm này.


7

Việc chọn chiều quay được M10 lồng ghép vào phần khảo sát việc quay của tia
Om quanh O:
“Để khảo sát việc quay tia Om quanh điểm O, ta cần chọn một chiều quay gọi
là chiều dương. Thông thường, ta chọn đó là chiều ngược chiều quay của kim đồng
hồ (và chiều quay của kim đồng hồ gọi là chiều âm)”
[10, tr.186]
Như vậy M10 đã gần như mặc định chiều dương là chiều ngược chiều kim
đồng hồ để phù hợp với tất cả các khái niệm dẫn xuất phía sau.
Tiếp theo M10 xây dựng khái niệm đường tròn định hướng như sau:
“Vẽ một đường tròn tâm O bán kính R. Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì
việc cho tia Om quay quanh O cũng có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn
đó. Chiều quay của tia Om cho ta chiều di động của điểm M trên đường tròn: chiều
dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của

kim đồng hồ như ở hình 6.6. Đường tròn với chiều di động đã được chọn như thế
gọi là đường tròn định hướng.

v

v

+

V

V
m
M

O

U

u

O

u

U
M

_
m

b)

a)

Hình 6.6

”
[10, tr.188]


8

Cuối cùng, M10 đưa ra định nghĩa đường tròn lượng giác như sau:
“Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định
hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc.
Nhắc lại rằng người ta luôn quy ước trên đường tròn lượng giác, chiều ngược
chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều
âm.”
[10, tr.192]
Do đó một trong những đặc trưng quan trọng nhất của đường tròn lượng giác
được nhắc đi nhắc lại nhiều lần xuyên suốt trong cả quá trình xây dựng khái niệm
này là tính định hướng.
1.1.2. Mối liên hệ với chuyển động tròn đều
Sự liên quan giữa hai khái niệm đường tròn lượng giác và chuyển động tròn
đều được tác giả SGK thể hiện ngầm ẩn lần đầu trong việc giới thiệu đơn vị đo góc
và cung tròn, độ dài của cung tròn khi đề cập đến chuyển động của chất điểm:
“Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo
cung lượng giác (“độ dài của quỹ đạo chuyển động của điểm vạch nên cung đó”).”
[11, tr.244]
Sau khi giới thiệu các đơn vị đo góc và cung tròn như độ và rađian, M10 giới

thiệu:
“Khái niệm góc và cung lượng giác gắn chặt với việc quay quanh một điểm
trong mặt phẳng.”
[10, tr.186]
Từ đó cho thấy phần nào sự liên quan giữa khái niệm góc và cung lượng giác
với chuyển động quay. Điều này được thể hiện rõ hơn trong cách miêu tả khái niệm
góc lượng giác trong M10:
“Cho hai tia Ou,Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo
chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc
lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov.”
[10, tr.187]
Thêm vào đó, GM10 có lưu ý:


9

“Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp
THPT. Chúng ta đã dùng “chuyển động quay luôn theo một chiều” để mô tả, giới
thiệu khái niệm này một cách trực giác. Nó gắn với thực tiễn chuyển động quay mà
học sinh thường quan sát.”
[11, tr.244]
Ở đây GM10 có nhấn mạnh chuyển động quay đang xét là luôn theo một chiều
và gắn với thực tiễn mà học sinh thường thấy.
Như vậy bước thứ nhất trong việc xây dựng đường tròn lượng giác gắn với đặc
trưng định hướng của chuyển động quay trong Vật lý. Việc chuyển từ bước thứ nhất
sang bước thứ hai trong việc xây dựng khái niệm đường tròn lượng giác cũng tương
ứng với việc thu hẹp chuyển động quay thành chuyển động tròn. Điều này cũng chỉ
được SGK ngầm ẩn thể hiện:
“…Nếu tia Om cắt đường tròn tại M thì việc cho tia Om quay quanh O cũng
có nghĩa là cho điểm M chạy trên đường tròn đó…”

[10, tr.188]
Cuối cùng để có thể thấy rõ hơn mối liên hệ này, chúng tôi xét hoạt động H1:
“Để thấy rõ hơn tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác,
hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung
At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như ở hình 6.10:
Điểm M1 trên trục At có toạ độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác
thoả mãn số đo cung lượng giác AM bằng α , tức M xác định bởi α . Hỏi:
a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng
giác?
b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A’ trên đường tròn lượng
giác (A’ là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tuỳ ý trong
số các điểm đó cách nhau bao nhiêu?


10

”
[10, tr.193]
“Hoạt động này giúp thêm học sinh hình dung cụ thể điểm trên đường tròn
lượng giác xác định bởi số thực α cho trước...”
[11, tr.193]
Như vậy mục tiêu của SGK ở đây không phải là đưa ra một mô hình để học
sinh thấy được mối liên hệ giữa đường tròn lượng giác và chuyển động tròn đều.
Tuy nhiên nếu ta chỉ xét chiều quay dương và xem trục số At là trục thời gian thì
trong khoảng thời gian α , điểm M của chúng ta có thể được xem như chất điểm di
động trên một cung tròn có độ dài là α (rad). Như vậy trong những khoảng thời
gian bằng nhau tuỳ ý thì điểm M của chúng ta đi được những cung tròn có độ dài
bằng nhau.
Ngoài ra, một trong những đặc trưng chung của đường tròn lượng giác và
chuyển động tròn đều là tính tuần hoàn cũng được nêu ra ở đây:

“Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác
định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn


11

lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực có dạng α + k 2π ”
[10, tr.193]
Như vậy chúng ta có thể thấy được rõ ràng hơn tính chất tuần hoàn của chất
điểm chuyển động trên đường tròn lượng giác sau mỗi chu kỳ 2π . Ở đây nếu gọi
∆s là độ dài cung tròn mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian ∆t thì ∆s =∆t

theo cách chọn của chúng ta , với bán kính của đường tròn lượng giác r = 1 , ta sẽ có
chu kỳ T = 2π (do chu kỳ T trong chuyển động tròn đều được tính bằng công thức

T=

2π r
∆s
, trong đó v =
).
∆t
v
Tóm lại chúng ta có thể thấy trong hoạt động H1 này nếu chỉ xét chiều quay

dương và xem trục số At là trục thời gian thì việc quấn dây quanh đường tròn lượng
giác có thể được xem như chuyển động tròn đều của chất điểm M. Tuy nhiên, tất cả
những mối liên hệ nêu trên đều không được SGK đề cập đến, điều này cộng với
những sự liên hệ phía trên chỉ mang tính chất ngầm ẩn làm cho mối quan hệ liên
môn Toán - Lý ở đây khá mờ nhạt, học sinh sẽ khó có thể nào phát hiện ra được.

1.1.3. Các TCTH liên quan đến đường tròn lượng giác trong mối liên hệ
với chuyển động tròn đều
Để tập trung làm rõ hơn mối quan hệ liên môn Toán – Lý xuất hiện trong các
kiểu nhiệm vụ nên chúng tôi chỉ tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan
đến các bài toán thực tế.
Kiểu nhiệm vụ T1: Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
Ví dụ bt 2 trang 190, M10:
“Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện theo thứ tự dài 1,75m và
1,26m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét?
Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.
Giải:
Trong 15 phút, mũi kim phút vạch cung tròn có số đo
độ dài

π
2

π
2

rad nên cung đó có

.1,75 ≈ 2,75 (m) và mũi kim giờ vạch cung tròn có số đo

π
24

rad nên cung

12

đó có độ dài

π
24

.1, 26 ≈ 0,16 (m).”

Kĩ thuật τ 1
Áp dụng công thức l = α .R
Công nghệ θ1
Độ dài đường tròn.
Nhận xét
- Kiểu nhiệm vụ T1 không được nêu tường minh trong M10, EM10 mà nó được
trình bày gián tiếp thông qua các bài toán thực tế như tính độ dài một hải lí, tìm độ
dài dây cu-roa, tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị, tính độ dài cung tròn
mà mũi kim phút của đồng hồ vạch nên.
- Với số lượng hoạt động, ví dụ và bài tập nhiều nhất trong các kiểu nhiệm vụ
liên quan đến thực tế thì kiểu nhiệm T1 được SGK đánh giá là quan trọng do GM10
đã đưa ra mục tiêu về kiến thức: “Hiểu rõ… độ dài của cung tròn (hình học)” và
mục tiêu về kỹ năng: “…Biết tính độ dài cung tròn (hình học).”. Tuy nhiên sự liên
hệ với Vật lý ở đây chưa sâu sắc do các bài toán tuy nhiều nhưng chỉ xuất phát từ
một mô hình toán học đơn thuần.
Kiểu nhiệm vụ T2: Tìm số đo góc lượng giác
Ví dụ bt 5 trang 190, M10:
“Coi kim giờ của đồng hồ là tia Ou, kim phút là tia Ov. Hãy tìm số đo của các
góc lượng giác (Ou,Ov) khi đồng hồ chỉ 3 giờ, chỉ 4 giờ, chỉ 9 giờ, chỉ 10 giờ.”
Kĩ thuật τ 2
+ Xác định góc a 0 (hay α rad) giữa Ou và Ov

+ sđ(Ou,Ov)
= a 0 + k 3600 (hay α + k 2π )
Công nghệ θ 2
Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
Kiểu nhiệm vụ T3: Chứng minh vị trí của hai tia Ou và Ov
Ví dụ bt 12 trang 192, M10:
“Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí tia Ox chỉ số 12 (tức


13

lúc 0 giờ). Sau khoảng thời gian t giờ (t lấy giá trị thực không âm tuỳ ý), kim giờ
đến vị trí tia Ou, kim phút đến vị trí tia Ov.
…
b) Chứng minh rằng hai tia Ou và Ov trùng nhau khi và chỉ khi t =

12k
với
11

k = 0,1, 2,3,...
c) Chứng minh rằng trong vòng 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12) , hai tia Ou và Ov ở vị trí
hai tia đối nhau khi và chỉ =
khi t

6
(2k + 1) với k = 0,1,...,10 .
11

Giải:

b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou,Ov)
= 2 m π (m ∈ ) . Vậy

−

12k
11t
11
đó t
, k ∈  , nhưng vì t ≥ 0 nên
+ 2l =
2m , tức là =
t 2(l − m) . Do =
11
6
6

k ∈  . (Chú ý. Cách giải này cũng thể hiện tinh thần “lời giải số học” bài toán
đuổi bắt trên đường tròn).
c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou,Ov) =
(2 m − 1)π (m ∈ ) . Vậy

−

11t
11
6
t = 2(l − m) + 1 . Do đó t=
(2 k + 1), k ∈  , vì
+ 2l = 2m − 1 , tức là

6
11
6

0 ≤ t ≤ 12 nên k = 0,1, 2,...,10 .”

Kĩ thuật τ 3
+ Tìm sđ(Ou,Ov) theo vị trí của hai tia Ou và Ov.
+ So sánh với sđ(Ou,Ov) tìm theo hệ thức Sa-lơ.
Công nghệ θ3
+ Khái niệm góc lượng giác và số đo của chúng.
+ Hệ thức Sa-lơ.
Nhận xét
- Ở đây có sự gán ghép với hình ảnh thực tế nhưng các ký hiệu Ou, Ov làm
cho học sinh cảm thấy quen thuộc với kiến thức về góc lượng giác đã được học.
- Bước đầu tiên trong kỹ thuật τ 3 là thực hiện kiểu nhiệm vụ T2. Do đó sự


14

xuất hiện của T2 còn đóng vai trò như một thành phần trong kỹ thuật τ 3 .
Kiểu nhiệm vụ T4: Tính tần số
Ví dụ bt 6.6 trang 196, EM10:
“Bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp xe) 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40
km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Giải:
Trong một giây, bánh xe quay được

4000000
≈ 6, 4 (vòng).”

60.60.55.π

Kĩ thuật τ 4
+ Sử dụng quy tắc tam suất để tìm T
+ Tính tần số f =

1
T

Công nghệ θ 4
Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn.
Nhận xét
- Kĩ thuật τ 4 đã được hình thành thông qua hoạt động H1 trang 193, M10.
Trong đó, trục At được xem như trục thời gian và đường tròn lượng giác được mở
rộng thành một đường tròn với bán kính tuỳ ý.
Bảng 1.1. Thống kê số lượng bài toán liên quan thực tế ứng với các kiểu
nhiệm vụ ở M10
Kiểu nhiệm vụ
T1
Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung
T2
Tìm số đo góc lượng giác

Kĩ thuật

Bài toán
M10 EM10

Tổng số

τ1

2

τ2

2

2 (20%)

τ3

2

2 (20%)

3

5 (50%)

T3
Chứng minh vị trí của hai tia Ou va Ov


15

T4

τ4

Tính tần số
Tổng cộng

6

1

1 (10%)

4

10

Kết luận
- Tất cả các nhiệm vụ nêu trên đều cho thấy sự liên hệ ngầm ẩn giữa đường
tròn lượng giác với chuyển động quay và chuyển động tròn đều. Tuy nhiên, SGK
chỉ đưa ra đề bài có ngữ cảnh của chuyển động tròn đều để học sinh tính toán. Mục
tiêu trọng tâm vẫn là việc áp dụng các công thức toán để tính toán còn mối quan hệ
liên môn không được khai thác.
- Ngoài ra, một điểm đáng lưu ý ở đây là việc SGK cho ra các dạng bài tập
thực tế nhưng lại lồng ghép các ký hiệu toán học vào như tia Ou, tia Ov, góc lượng
giác (Ou,Ov). Chính điều này đã làm xuất hiện ngay mô hình toán học trong đề bài
toán, khi đó nhiệm vụ của học sinh sẽ chủ yếu là nhiệm vụ toán học (sử dụng công
thức, tính chất của góc, cung lượng giác) để giải quyết bài toán mà không cần quan
tâm đến vấn đề thực tế (chuyển động quay và chuyển động tròn đều).
1.2. Hàm số lượng giác trong SGK Toán 11
1.2.1. Định nghĩa các hàm số lượng giác
Do sự quan tâm của chúng tôi trong luận văn này là hàm số sin và cos với đồ
thị có dạng hình sin nên trong bốn hàm số lượng giác y = sin x , y = cos x ,

y = tan x , y = co t x , chúng tôi chỉ tập trung phân tích hai hàm là hàm sin và hàm
cos.
Mở đầu việc xây dựng khái niệm hàm số lượng giác y = sin x và y = cos x ,
M11 đưa ra hoạt động H1 như sau:
“Trên hình 1.1, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng
cosx. Tính sin

π

 π
,cos  −  ,cos 2π .
2
 4


16

”
[8, tr.4]
Ngoài việc giúp học sinh nhớ lại cách xác định sin x và cos x thì một ý nghĩa
khác của hoạt động này được thể chế đưa vào như sau:
“SGK lớp 10 đã xây dựng khái niệm các giá trị lượng giác sin α ,cos α ... của
góc (cung) lượng giác α . Chuyển sang hàm số lượng giác, do học sinh quen dùng
chữ x để chỉ biến số của hàm số nên trong SGK lớp 11, các hàm số lượng giác được
viết dưới dạng y = sin x , y = cos x … trong đó x là số thực và là số đo rađian (chứ
không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác.”
[9, tr.18]
Do đó, chúng tôi đánh giá đây là một bước chuyển hết sức có giá trị, vì nó đạt
được hai mục tiêu quan trọng là giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ, đồng thời chuẩn
bị một bước đệm giúp học sinh có thể tiếp thu kiến thức mới. Tuy nhiên phải nói

thêm rằng:
“Cũng vì thế, trên các hình trong bài 1 này, sách không đề tên hệ trục toạ độ
gắn với đường tròn lượng giác (mà dùng các điểm O(0;0), A(1;0), B (0;1),... trong
đó O là tâm, A là điểm gốc của đường tròn lượng giác).”
[9, tr.18]
Theo chúng tôi đánh giá đây là một hạn chế trong bước chuyển này, lý do xuất