iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Ngô Văn Bé Em

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG
PHÂN BẬC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Ngô Văn Bé Em
IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG
PHÂN BẬC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số

: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Trần Tuấn Nam

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


i

Mục lục
Lời cảm ơn ................................................................................................................ ii
Lời nói đầu ............................................................................................................... iii
Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn ........................................1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị ..................................................................................2
1.1

Iđêan nguyên tố liên kết.................................................................................2

1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết ....................................................................................4
1.3

Độ dài của môđun ..........................................................................................5

1.4

Độ cao của một iđêan ....................................................................................6

1.5

Chiều của một vành, môđun ..........................................................................7

1.6

Độ sâu của môđun .........................................................................................8

1.7

Chiều nội xạ và chiều xạ ảnh ..........................................................................9

1.8

Giới hạn thuận ..............................................................................................10

1.9 Hàm tử xoắn...................................................................................................11
1.10

Môđun đối đồng điều địa phương...............................................................12

1.11

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng................................................13

1.12 Vành phân bậc, môđun phân bậc .................................................................14
1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan ....................................................16
Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc ..........................................................................................................17
2.1

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc ..................................17

2.2

Tính ổn định tiệm cận của tập Ass R H Ri

0
+

( M , N ) n ..........................19

Kết luận ....................................................................................................................48
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................49


ii

Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa
Toán – Tin học của trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các thầy cô trong
các khoa khác và các thầy cô trong phòng sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS. TS. Trần Tuấn Nam,
người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, thực hiện
luận văn này.
Cuối cùng xin gửi lời tri ân gia đình, bạn bè và đặc biệt các bạn lớp Đại số và
Lý thuyết số khóa 21 trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.

Tp. HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2012
Tác giả

Ngô Văn Bé Em


iii

Lời nói đầu
Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nhà toán học J. Herzog đưa ra
đầu tiên và được tổng quát hóa bởi M. H. Bijan-Zadeh. Sau đó, môđun đối đồng
điều địa phương suy rộng được nghiên cứu và phát triển ngày càng mạnh bởi N.
Suzuki, N. Zamani, J. Asadollahi, K. Khashyarmanesh, Sh. Salarian, N. T. Cường,
T. T. Nam,…Ngày nay, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được xem là
một đối tượng nghiên cứu khá mạnh mẽ của đại số hiện đại nói riêng và toán học
nói chung.
Cho R là một vành Noether giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của R và C ( R )
là phạm trù các R-môđun. Hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i với sự
hỗ

trợ

của

iđêan

I,

H Ii ( •, • ) : C ( R ) 
→C ( R)

i
n
H Ii ( M , N ) := lim
 Ext R ( M / I M , N ) với mọi
n∈

được

M , N ∈ C ( R)

xác

định

Với mỗi

bởi

i∈ ,

H Ii ( M , N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của N, M

tương ứng iđêan I. Đến ngày nay, nhiều kết quả quan trọng về tính triệt tiêu và sự
hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra cả trong
trường hợp phân bậc và không phân bậc, song bên cạnh đó các nhà toán học vẫn và
đang nghiên cứu tìm ra những kết quả mới về môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của môđun đối
đồng điều địa phương suy rộng phân bậc như tính hữu hạn sinh, tính triệt tiêu của
các thành phần phân bậc cùng một số tính chất về tính Artin của môđun đối đồng
điều địa phương suy rộng phân bậc. Và quan trọng nhất là tính ổn định tiệm cận của
tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) , cũng từ đó chúng tôi chỉ ra tính hữu hạn của tập

(

)

AssR H Ri + ( M , N ) .


iv

Luận văn được chia làm 2 chương;
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định nghĩa và một số
tính chất cũng như mệnh đề mà chúng tôi sử dụng trong chương 2.
Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc
Đầu tiên, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng phân bậc.
Sau đó, chúng tôi trình bày tính hữu hạn sinh của môđun đối đồng điều địa
phương phân bậc trong mệnh đề 2.2.2 như sau:
Mệnh đề 2.2.2 Cho R là vành phân bậc Noerther thuần nhất, N là một R-môđun
R+ -xoắn phân bậc hữu hạn sinh và cho i ∈  0 . Khi đó, với mọi R-môđun M phân

bậc hữu hạn sinh, thì H Ri + ( M , N )n là R0 -môđun hữu hạn sinh và chỉ có hữu hạn

H Ri + ( M , N )n có thể khác 0.
Và cũng từ mệnh đề trên, tổng quát hơn khi N là một R-môđun phân bậc hữu
hạn sinh bất kì ta có H Ri + ( M , N )n là R0 -môđun hữu hạn sinh với mọi i ∈  0 và

H Ri + ( M , N )n bị triệt tiêu khi n đủ lớn như định lí 2.2.3.
Nhờ áp dụng định lí chuyển vành cơ sở, chúng tôi chứng minh được tính ổn
định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng trong định lí 2.2.6, định lí 2.2.9. Hơn thế
nữa, từ tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc chúng tôi
xây dựng nên bổ đề 2.2.10 như sau:

v

Bổ đề 2.2.10 Cho S ⊆  0 , R0 m0 là vô hạn và M, N là các R-môđun phân bậc

Ti là Artin với mọi
hữu hạn sinh. Giả sử rằng R-môđun R0 m0 ⊗ R0 H Ri + ( M , N ) =
i ∈ S . Khi đó, tồn tại n0 ∈ S {∞} và một phần tử N Γ R+ ( N ) -chính qui x ∈ R1
x
→ H Ri + ( M , N )n+1 là toàn cấu với mọi i ∈ S và
sao cho ánh xạ nhân H Ri + ( M , N )n 

với mọi n < n0 .
Dựa vào bổ đề trên, chúng tôi chứng minh được một vài trường hợp ổn định
tiệm cận của tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) như sau:
Định lí 2.2.14 Cho R là vành phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương là

( R0 , m0 ) .

Đặt t = t R+ ( M , N ) khi đó với mọi i ≤ t thì AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) là ổn

định tiệm cận khi n → −∞ .
Định lí 2.2.15 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh, vành cơ sở R0 là
địa phương với iđêan tối đại là m0 . Giả sử R = R0 [ R1 ] và H Ri + ( M , N Γ R+ ( N ) ) là
Artin với mọi i < r . Khi đó AssR0 ( H Rr + ( M , N )n ) là ổn định tiệm cận khi n 
→ −∞ .
Hệ quả 2.2.16 Cho R = R0 [ R1 ] , vành cơ sở R0 là địa phương với iđêan tối đại là

(

m0 và H Ri + ( M , N ) là Artin với mọi i < r , khi đó AssR0 H Rr + ( M , N )n

)

là ổn định

tiệm cận khi n 
→ −∞ .
Hệ quả 2.2.17 Cho R = R0 [ R1 ] và vành cơ sở R0 là địa phương với iđêan tối đại là

(

m0 . Nếu H Ri + ( N ) là Artin với mọi i < r , thì AssR0 H Rr + ( M , N )n

cận khi n 
→ −∞ .

)

là ổn định tiệm


vi

Hệ quả 2.2.20 Cho R = R [ R1 ] với vành cơ sở địa phương ( R0 , m0 ) và giả sử rằng

H Rj+ ( M , N ) m0 H Rj+ ( M , N ) là Artin với mọi j ≤ i . Khi đó AssR ( H Ri ( M , N )n ) ổn
+

0

định tiệm cận khi n 
→ −∞ .
Trong phần còn lại của luận văn, chúng tôi trình bày sự ổn định tiệm cận của
tập AssR0 ( H Ri + ( M , N )n ) khi vành cơ sở R0 là địa phương có dim R0 ≤ 1 và
pd ( M ) < ∞ như trong định lí 2.2.24 sau:

Định lí 2.2.24 Giả sử rằng R = R0 [ R1 ] , ( R0 , m0 ) là địa phương với dim R0 ≤ 1 và

(

pd ( M ) < ∞ . Khi đó với mọi i ∈  0 thì tập AssR0 H Ri + ( M , N )n

cận với n 
→ −∞ .

)

là ổn định tiệm


1

Bảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn


Tập hợp các số nguyên dương

0

Tập hợp các số nguyên không âm

Spec ( R )

Tập các iđêan nguyên tố của vành R

AssR ( M )

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của R-môđun M

Att ( M )

Tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M

Supp ( M )

Giá của môđun M

dim M

Chiều Krull của môđun M

pd ( M )

Chiều xạ ảnh của môđun M

H Ii ( M )

Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M tương ứng với

iđêan I

H Ii ( M , N )

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i của môđun M, N
tương ứng với iđêan I

H Ii ( M , N )n Thành phần phân bậc thứ n của môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng thứ i của môđun M, N tương ứng với iđêan I
C ( R)

Phạm trù các R-môđun

*C ( R )

Phạm trù các R-môđun phân bậc


2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà tôi sử
dụng để chứng minh các mệnh đề, bổ đề, định lí và hệ quả được bày trong chương
2. Tôi không đưa ra cách chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, định lí mà
chúng được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu [2],[3],[7],[11],[14],[21]. Và do đó, đọc
giả có thể tham khảo cách chứng minh trong các tài liệu này.

Iđêan nguyên tố liên kết

1.1

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, M là R–môđun, iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) : p = Ann ( x ) .
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là AssR ( M ) .

{

}

Giá của môđun M, kí hiệu Supp ( M ) =
p ∈ Spec ( R ) M p ≠ 0 .
Đặt V ( I ) =
{p ∈ Spec ( R ) | I ⊂ p}
Khi đó:
i)

Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) .

ii)

Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp ( R / I ) = V ( I ) .

Tính chất 1.1.2 Cho R là một vành, M là R – môđun. Iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M thì các điều sau là tương đương :
i) Tồn tại x ∈ M ( x ≠ 0 ) : p = Ann ( x ) .


3

ii) M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p.
Tính chất 1.1.3 Cho R là một vành, M là R – môđun. Giả sử p là phần tử tối đại
của { Ann ( x ) x ∈ M , x ≠ 0} thì p ∈ AssR ( M ) .
Hệ quả 1.1.4 AssR ( M ) = ∅ ⇔ M = 0 .
−1
Hệ quả 1.1.5 Giả sử S là tập con nhân của R.=
Đặt R ' S=
R, M ' S −1 M . Khi đó,

ta có AssR ( M ') = f ( AssR ' ( M ') ) = AssR ( M )  {p | p  S = ∅} .
Trong đó f : Spec ( R ') 
→ Spec ( R ) là một đồng cấu.
Đặc biệt: AssRp ( M p ) =
{qRp | q ∈ AssR ( M ) ,q ⊆ p} .
Tính chất 1.1.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và M ≠ 0 .
Khi đó tồn tại dãy các môđun con
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M

sao cho M i M i −1 ≅ R pi với mọi pi ∈ Spec ( R ) ,1 ≤ i ≤ n .
Tính chất 1.1.7 Cho 0 → M → N → L → 0 là dãy khớp các R-môđun, khi đó ta
có các kết quả sau:
i) Ass ( M ) ⊆ Ass ( N ) ⊆ Ass ( M )  Ass ( L ) .
ii) Supp ( N ) = Supp ( M )  Supp ( L ) .
Tính chất 1.1.8 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta
có:
i) Ass ( M ) là tập hữu hạn.
ii) Ass ( M ) ⊂ Supp ( M ) .
iii) Phần tử tối tiểu của Ass ( M ) và Supp ( M ) giống nhau.

4

Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một
iđêan của R. Khi đó Supp ( M ) ⊂ V ( I ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho
IkM = 0.

Tính chất 1.1.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R. Khi đó
ta có

Supp ( M IM
=
) V ( I )  V ( Ann ( M=
) ) V ( I + Ann ( M ) ) .

1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết
Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một R-môđun. S được gọi là thứ cấp khi S ≠ 0 và với
mọi r ∈ R , hoặc rS = S , hoặc tồn tại n ∈  sao cho r n S = 0 . Nếu p= 0 :R S là
một iđêan nguyên tố của R, chúng ta nói S là R-môđun p-thứ cấp.
Tính chất 1.2.2
i) Ảnh đồng cấu khác không của một R-môđun p-thứ cấp là một R-môđun pthứ cấp.
ii) Nếu S1 , S 2 ,..., S n là các môđun con p-thứ cấp của một R-môđun M thì

n

∑S
i =1

i

cũng là môđun con p-thứ cấp của M.
Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R-môđun. Một sự biểu diễn thứ cấp của M là một
sự biểu diễn M thành tổng hữu hạn các môđun con thứ cấp của M. Một sự biểu diễn
thứ cấp
M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n )

của M được gọi là tối tiểu khi
i) p1 ,..., pn là n iđêan nguyên tố khác nhau của R; và
n

ii)

Với mọi j = 1, 2,..., n , ta có S j ⊄ ∑ Si .
i =1
i≠ j

Chúng ta nói M là R-môđun biểu diễn khi nó có nó có một sự biểu diễn thứ
cấp.


5

Do đó, một R-môđun biểu diễn luôn có một sự biểu diễn thứ cấp tối thiểu.
Mệnh đề 1.2.4 Cho M là một R-môđun biểu diễn và cho
M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n )

và

M = S1' + S 2' + ... + S n' ' với Si' là pi' -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n ')
là hai sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Khi đó n = n ' và

{p1 ,..., pn } = {p1' ,..., p'n }
Định nghĩa 1.2.5 Cho M là một R-môđun biểu diễn và cho
M = S1 + S 2 + ... + S n với Si là p i -thứ cấp (1 ≤ i ≤ n )

là một sự biểu diễn thứ cấp tối tiểu của M. Khi đó tập n phần tử

{p1 ,..., pn }
không phụ thuộc vào cách chọn sự biểu diễn tối tiểu của M, được gọi là tập các
iđêan nguyên tố gắn kết của M và được kí hiệu Att ( M ) hoặc Att R ( M ) . Các phần
tử của Att ( M ) được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của M.
Mệnh đề 1.2.6 Cho 0 
→ M 
→ N 
→ L 
→ 0 là một dãy khớp các Rmôdun biểu diễn và các R-đồng cấu. Khi đó
Att ( N ) ⊆ Att ( M ) ⊆ Att ( N )  Att ( L )

Mệnh đề 1.2.7 Cho A là một R-môđun Artin, cho r ∈ R . Khi đó:
i)
ii)

1.3

rA = A nếu và chỉ nếu r ∈ R \  p∈Att ( A) p ; và
0 :R A =  p∈Att ( A) p.

Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.3.1 Cho một dãy

( M i ) 0≤i ≤ n

các môđun con của môđun M thỏa

M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n −1 ⊃ M n = 0 . Khi đó dãy ( M i )0≤i ≤ n được gọi là chuỗi hợp

thành của M nếu nó là dãy tối đại, tức là không thể thêm một iđêan con nào nữa.
Điều này tương đương với môđun thương M i M i +1 là môđun đơn.


6

Độ dài các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi, được kí hiệu là
l ( M ) và được gọi là độ dài của môđun M.

Tính chất 1.3.2 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta
có các điều sau là tương đương:
i) l ( M ) < ∞ .
ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là iđêan tối đại của R.
iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R.
Hệ quả 1.3.3 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, N là Rmôđun bất kì. Nếu l ( N ) < ∞ thì l ( HomR ( M , N ) ) < ∞ . Do đó nếu N là R-môđun
Artin thì HomR ( M , N ) cũng là R-môđun Artin.
Tính chất 1.3.4 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành có độ dài là n. Khi đó mọi
dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành.
Tính chất 1.3.5

( M i ) 0≤i ≤ n

là chuỗi hợp thành của M khi và chỉ khi ( M i )0≤i ≤ n vừa

là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm.
Tính chất 1.3.6 Cho dãy khớp ngắn 0 → M → N → P → 0 các R-môđun, khi đó ta
có

l (M ) − l ( N ) + l ( P) =
0.

1.4

Độ cao của một iđêan

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R. Độ
cao của một iđêan nguyên tố p là độ dài lớn nhất của dãy gồm n+1 iđêan nguyên tố
p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn −1 ⊂ pn =
p , kí hiệu htp.

Nhận xét:
i) Nếu htp = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R.


7

ii) Nếu I là một iđêan của R. Độ cao I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố

ht ( I ) inf {ht ( p) | I ⊂ p, p ⊂ Spec ( R )} .
chứa I. Tức là=

1.5

Chiều của một vành, môđun

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành, chiều của R, kí hiệu là dimR, là chiều dài lớn nhất
của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn −1 ⊂ pn =
p của R.
Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu

dim R = ∞ .
Nhận xét:
i) Từ định nghĩa ta=
có dim R sup {ht p | p ∈ Spec ( R )} . Số chiều này được gọi
là số chiều Krull của R.

=
ii) ht p dim ( Rp ) , p ∈ Spec ( R ) .
iii) Với mọi iđêan I của R, ta có: dim ( R I ) + htI ≤ dim R .
Tính chất 1.5.2 Giả sử M ≠ 0 là một R-môđun, khi đó số chiều của môđun M
được định nghĩa là chiều của vành thương R Ann ( M ) .
Tức là dim M = dim ( R Ann ( M ) ) .
Khi M = 0 ta qui ước dim M = −1 .
Tính chất 1.5.3 Cho R là vành Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh thì
các điều kiện sau là tương đương:
i) M là một R-môđun có độ dài hữu hạn.
ii) Vành R Ann ( M ) là vành Artin.
iii) dim M = 0 .
Tính chất 1.5.4 Cho R là vành Noether, khi đó các điều kiện sau là tương đương:
i) R là vành Artin.
ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là iđêan tối đại của R.

8

iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R.

1.6

Độ sâu của môđun

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là một R-môđun. Một phần tử r ∈ R được gọi là M-chính
qui nếu rx ≠ 0, ∀x ∈ M , x ≠ 0 .
Định nghĩa 1.6.2 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu
hạn sinh. Dãy các phần tử a1 , a2 ,..., an ∈ R được gọi là dãy M-chính qui nếu:
i) a1 là phần tử M-chính qui, a2 là phần tử M a1 M -chính qui,…, an là phần tử
M ( a1 , a2 ,.., an −1 ) M -chính qui.

ii) M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0.
Độ dài của M-dãy chính là số phần tử của dãy. M-dãy không có phần tử nào gọi
là M-dãy có độ dài 0.
Nhận xét:
i) a ∈ R là phần tử M-chính qui nếu a không là ước của 0 trong M.
ii) a1 , a2 ,..., an ∈ R

được gọi là M-dãy chính qui khi và chỉ khi

M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0 và ai ∉ p, ∀p ∈ AssR ( M ( a1 , a2 ,.., an ) M ) với mọi

i = 1, 2,..., n.

Định nghĩa 1.6.3 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu
hạn sinh. Lấy I là một iđêan của M sao cho M ≠ IM , khi đó a1 , a2 ,..., an là M-dãy

chính qui tối đại trong I nếu không tồn tại phần tử an +1 ∈ I sao cho a1 , a2 ,..., an , an +1
là M-dãy chính qui có độ dài n+1.
Định nghĩa 1.6.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ 0 là một R-môđun hữu
hạn sinh. Lấy I là một iđêan của M sao cho M ≠ IM , khi đó mọi dãy chính qui của
M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính qui tối đại trong I và các dãy chính
qui tối đại của M trong I có cùng độ dài. Độ dài này được gọi là độ sâu của M trong
I, kí hiệu là depth ( I , M ) .


9

Nhận xét:
Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại là m. Khi đó mọi M-dãy chính qui
a1 , a2 ,..., an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M ( a1 , a2 ,.., an ) M ≠ 0 . Theo

bổ đề Nakayama ta có M ≠ mM , do đó dãy các phần tử của R là M-dãy chính qui
khi và chỉ khi nó là M-dãy chính quy trong m.
Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là
depth ( M ) .

Tính chất 1.6.5 Giả sử I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó

=
depth ( I , R ) inf {i | H Ii ( M ) ≠ 0} .

1.7 Chiều nội xạ và chiều xạ ảnh
Định nghĩa 1.7.1 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải xạ ảnh P• với
Pn = 0 khi n > d nhưng Pd ≠ 0 với mọi phép giải xạ ảnh của M. Khi đó ta nói M có

chiều xạ ảnh là d, kí hiệu pd ( M ) = d .

Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết pd ( M ) = ∞ .
Định nghĩa 1.7.2 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải nội xạ J • với
J n = 0 khi n > d nhưng J d ≠ 0 với mọi phép giải nội xạ của M. Khi đó ta nói M

có chiều nội xạ là d, kí hiệu id ( M ) = d .
Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết id ( M ) = ∞ .
Nhận xét:
Rõ ràng nếu M là môđun xạ ảnh thì pd ( M ) = 0 , nếu M là môđun nội xạ thì
id ( M ) = 0 .


10

1.8

Giới hạn thuận

Định nghĩa 1.8.1 Một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng I được gọi là sắp thứ tự
thuận nếu với mỗi cặp phần tử i, j của I thì tồn tại phần tử k của I sao cho i ≤ k và
j≤k.

Như vậy, tập  các số tự nhiên với thứ tự thông thường là một sắp thứ tự
thuận.
Định nghĩa 1.8.2 Cho ( M i )i∈I là một họ các R-môđun đánh chỉ số trên tập sắp thứ
tự thuận I. Với mỗi cặp phần tử i, j của I mà i ≤ j , cho R-đồng cấu

µij : M i 
→ M j và giả sử rằng các tiên đề sau được thỏa mãn:
i) µii Id M i
=

ii) µik µ jk  µik
=

∀i ∈ I .

∀i ≤ j ≤ k .

các môđun M i và các đồng cấu µij được gọi là
Khi đó, họ Ω =( M i , µij )
i , j∈I
một hệ thống thuận.
Định nghĩa 1.8.3 Cho Ω =( M i , µij )
là một hệ thống thuận, gọi D là R-môđun
i , j∈I
con của R-môđun ⊕i∈I M i được sinh bởi các phần tử dạng mi − µij ( mi ) với i ≤ j .
Đặt M = ⊕i∈I M i D , kí hiệu µ : ⊕i∈I M i 
→ M là phép chiếu tự nhiên và

µi : M i 
→ M là hạn chế của µ lên M i .
Khi đó, ta gọi M và họ các đồng cấu ( µi )i∈I , hoặc đơn giản hơn chỉ gọi M, là
giới hạn thuận của hệ thống thuận ( M i , µij ) . Kí hiệu M = lim
 M i .
i , j∈I
i∈I

là hai hệ thống thuận
Định nghĩa 1.8.4 Cho Ω =( M i , µij ) và Λ =( N i ,ν ij )
i , j∈I
i , j∈I

các R-môđun trên cùng một tập sắp thứ tự thuận I. Gọi M, N lần lượt là các giới hạn
thuận tương ứng.
Một đồng cấu ψ : Ω 
→ Λ được định nghĩa là một họ các R-môđun

ψ i : M i 
→ N i thỏa mãn ψ j  µij = ν ij ψ i với mọi i ≤ j .


11

Tính chất 1.8.5 Một dãy các hệ thống thuận và các đồng cấu Ω 
→ Λ 
→Π
được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng của các R-môđun và các R-đồng cấu là
khớp. Khi đó, dãy các giới hạn thuận của chúng cũng là dãy khớp.

1.9 Hàm tử xoắn
Định nghĩa 1.9.1 Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun, I là một iđêan
của R, tập Γ I ( M ) =
 ( 0 :M I n ) , là tập hợp tất cả các phần tử của M bị linh hóa bởi
n∈N

một lũy thừa nào đó của I.
Rõ ràng, Γ I ( M ) là một môđun con của M.
Với mỗi R-đồng cấu môđun f : M 
→ N , ta có f ( Γ I ( M ) ) ⊆ Γ I ( N ) . Như
vậy, f sẽ cảm sinh một đồng cấu thu hẹp của nó trên Γ I ( M ) , định bởi:

Γ I ( f ) : Γ I ( M ) 

→Γ I ( N )
m



f ( m)

Nếu g : M 
→ L là các R-đồng cấu môđun , khi đó ta có:
→ N và h : N 
ΓI ( h  g ) =
ΓI ( h)  ΓI ( g )
ΓI ( h + g ) = ΓI ( h) + ΓI ( g )
Γ I ( rh ) = r Γ I ( h )

∀r ∈ R

Γ I ( Id M ) =
Id Γ I ( M )
Từ các nhận xét trên, ta thấy Γ I trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính, Rtuyến tính và cộng tính từ phạm trù các R-môđun vào chính nó. Γ I còn được gọi là
hàm tử I-xoắn.
Nếu Γ I ( M ) =
0 thì ta nói M là I-không xoắn, nếu Γ I ( M ) =
M thì ta nói M
là I-xoắn.
Từ đó, với mọi R-môđun M, thì môđun Γ I ( M ) là I-xoắn và M Γ I ( M ) là Ikhông xoắn.
Mệnh đề 1.9.2 Hàm tử I-xoắn Γ I là hàm tử khớp trái.


12

Mệnh đề 1.9.3 Một R-môdun M là hữu hạn sinh là I-xoắn khi và chỉ khi tồn tại

n ∈  sao cho I n M = 0 .
Mệnh đề 1.9.4 Cho M là một R-môđun. Khi đó:
i) Nếu Γ I ( M ) ≠ 0 , thì I ⊆ ZDR ( M ) với

ZDR ( M ) =

{ x ∈ R ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0}.

ii) Cho R là vành Noether và M là hữu hạn sinh. Nếu I ⊆ ZDR ( M ) thì
ΓI ( M ) ≠ 0 .

Mệnh đề 1.9.5 Cho M là một R-môđun Noether. Khi đó:

AssR ( M )  V ( I ) .
i) AssR ( Γ I ( M ) ) =

AssR ( M ) \ V ( I ) .
ii) Nếu R là vành Noether, thì AssR ( M Γ I ( M ) ) =
Bổ đề 1.9.6 (Bổ đề Melkersson) Cho M là một R-môđun I-xoắn và ( 0 :M I ) là
Artin. Khi đó M là Artin.

1.10 Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.10.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ I , kí
hiệu là H Ii , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i của iđêan I.
Với mỗi R-môđun M, ta gọi H Ii ( M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ
i của M ứng với iđêan I.
Tính chất 1.10.2

i)

Ta có Γ I ( • ) ≅ H I0 ( • ) .

ii) Hàm tử H Ii ( • ) là hàm tử hiệp biến và cộng tính, R-tuyến tính từ phạm trù
các R-môđun vào chính nó.
iii) Nếu 0 
→ M 
→ N 
→ L 
→ 0 là một dãy khớp ngắn của các Rmôđun và các R-đồng cấu, khi đó ta có một dãy khớp dài sau

0 
→Γ I ( M ) 
→Γ I ( N ) 
→Γ I ( L ) 
→
H I1 ( M ) 
→ H I1 ( N ) 
→ ...


13

Mệnh đề 1.10.3 Cho i ∈  , M là một R-môđun. Khi đó môđun đối đồng điều địa
phương H Ii ( M ) là I-xoắn.

1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng
Định nghĩa 1.11.1 Cho R là một vành Noether giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 , I là một
iđêan của vành R, M và N là các R-môđun.

Khi đó, với mỗi số tự nhiên i, ta có

H Ii ( M , N ) := lim
Ext Ri ( M / I n M , N )

n∈N

gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i suy rộng của M và N tương ứng với I.
Ta có H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) với N là một R-môđun.
Nhận xét:
Hàm tử H Ii ( M , • ) là hàm tử hiệp biến, R-tuyến tính từ phạm trù các R-môđun
vào chính nó. Hàm tử H Ii ( •, N ) là hàm tử phản biến, R-tuyến tính từ phạm trù các
R-môđun vào chính nó.
Mệnh đề 1.11.2 Cho I là iđêan của R, M và N là các R-môđun. Khi đó, ta có các
mệnh đề sau:
i) Nếu 0 
→ X 
→ Y 
→ Z 
→ 0 là một dãy khớp ngắn của các Rmôđun và các R-đồng cấu, khi đó ta có một dãy khớp dài sau
→ H I0 ( M , X ) 
→ H I0 ( M , Y ) 
→ H I0 ( M , Z ) 
→ H I1 ( M , X ) 
→ ...
0 
và
0 
→ H I0 ( Z , N ) 
→ H I0 (Y , N ) 

→ H I0 ( X , N ) 
→ H I1 ( Z , N ) 
→ ...

ii) Với mỗi cặp R-môđun M và N, ta luôn có dãy khớp dài (được gọi là dãy
Mayer-Vietoris của M, N tương ứng với I và J)

0 
→ H I0+ J ( M , N ) 
→ H I0 ( M , N ) ⊕ H J0 ( M , N ) 
→ H I0 J ( M , N ) 
→
H I1+ J ( M , N ) 
→ H I1 ( M , N ) ⊕ H 1J ( M , N ) 
→ ...


14

Mệnh đề 1.11.3 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, với mọi R-môđun N ta
có đẳng cấu

H I0 ( M , N ) ≅ H I0 ( HomR ( M , N ) ) .
Mệnh đề 1.11.4 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và J N là một phép giải nội
xạ rút gọn của R-môđun N. Khi đó

( (

))

(

(

))

H Ii ( M , N ) ≅ H i Γ I HomR ( M , J N ) ≅ H i HomR M , Γ I ( J N ) .
Từ các đồng cấu trên ta thấy mọi H Ii ( M , N ) đều là các môđun I-xoắn.

1.12 Vành phân bậc, môđun phân bậc
Định nghĩa 1.12.1 Một vành phân bậc (  -phân bậc) là một vành R với một họ

( Rn )n∈

các nhóm con của nhóm cộng của R, sao cho R = ⊕ n∈ Rn và Rn Rm ⊆ Rn + m

với mọi m, n ∈  .
Định nghĩa 1.12.2 R được gọi là vành phân bậc không âm nếu Rn = 0 , với mọi

n < 0 . Khi đó, ta có R = ⊕ n∈ 0 Rn .
Do đó, R0 là một vành con của R, và mỗi Rn là một R0 -môđun.
Định nghĩa 1.12.3 Cho R là một vành phân bậc không âm. Khi đó vành R được gọi
là phân bậc thuần nhất nếu R = R0 [ R1 ] .
Hơn thế nữa, R0 được gọi là vành cơ sở của R.
Định nghĩa 1.12.3 Cho R là một vành phân bậc không âm, một R-môđun phân bậc
là một R-môđun cùng với một họ

( M n )n∈

các nhóm con của M sao cho

M = ⊕ n∈ M n và Rm M n ⊆ M m+ n với mọi m, n ∈  .

Do đó, mỗi M n là một R0 -môđun, và được gọi là thành phần phân bậc thứ n
của M.
Một phần tử x ∈ M được gọi là thuần nhất nếu ∃n ∈  : x ∈ M n (x có bậc là n,
kí hiệu deg ( x ) = n ). Mọi y ∈ M đều được viết duy nhất dưới dạng tổng hữu hạn


15

∑y , y
n∈

n

n

∈ M n , nhưng với một số hữu hạn yn ≠ 0 . Những thành phần khác không

yn được gọi là các thành phần thuần nhất của y.

Mệnh đề 1.12.4 Cho R là một vành phân bậc và cho M là một R-môđun phân bậc.
Khi đó:
i) Với mọi môđun con N của M, thì N 1à một R-môđun phân bậc với
N = ⊕ n∈ N n , ở đây N n = N  M n với mọi n ∈  .

ii) Với mọi môđun con N của M, thì M N là một R-môđun phân bậc với
M N = ⊕ n∈ ( M N )n , ở đây ( M N =
)n

(N + Mn )

N với mọi n ∈  .

iii) Một iđêan phân bậc của R là iđêan I ⊆ R , được phân bậc như là một môđun
con của R.
Định nghĩa 1.12.5 Cho R là một vành phân bậc, M là một R-môđun phân bậc và

r ∈  . Với mọi n ∈  đặt M ( r )n = M n+ r . Khi đó, M ( r ) = ⊕ n∈ M ( r )n là một Rmôđun phân bậc. R-môđun M ( r ) được gọi là sự xê dịch thứ r của M.
Nếu N ⊆ M là một môđun con phân bậc của M, thì N ( r ) là một môđun con
của M ( r ) và ( M N )( r ) = M ( r ) N ( r ) .
Mệnh đề 1.12.6 Cho R là một vành phân bậc không âm. Khi đó, các mệnh đề sau
là tương đương:
i)

R là Noether.

ii)

R0 là Noether và iđêan R+ của R là hữu hạn sinh.

iii)

R0 là Noether và R là một R0 -đại số hữu hạn sinh.

Mệnh đề 1.12.7 Nếu R là một vành phân bậc không âm và M là R-môđun phân bậc
hữu hạn sinh thì M n = 0 với mọi n  0 .

16

Mệnh đề 1.12.8 Cho X = ⊕ n∈ X n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi
đó, với mọi n ∈  , X n là một R0 -môđun hữu hạn sinh. Hơn thế nữa nếu R+t X = 0
với t ∈  , thì X=
X=
0 với n đủ lớn.
−n
n
Mệnh đề 1.12.9 Nếu R là một vành phân bậc thuần nhất và M là hữu hạn sinh, khi
đó các mệnh đề sau là tương đương:
i) Tồn tại r ∈  0 sao cho ( R+ ) M = 0 .
r

ii) M n = 0 với mọi n  0 .
iii) M là một R+ -xoắn.
Định nghĩa 1.12.10 Cho R và R ' là các vành phân bậc . Cho f : R 
→ R ' là một
đồng cấu vành. Chúng ta nói f là đồng cấu thuần nhất (phân bậc) nếu f ( Rn ) ⊆ Rn'
với mọi n ∈  .
Định nghĩa 1.12.11 Một R-môđun phân bậc X được gọi là một môđun minimax,
nếu tồn tại một môđun con phân bậc hữu hạn sinh X ' của X , sao cho X X ' là một
môđun Artin.
Định nghĩa 1.12.12 Cho f : A 
→ B là một đồng cấu vành. Nếu A-môđun B cảm
sinh từ f là dẹt, trung thành thì f được gọi là đồng cấu dẹt, trung thành.
Mệnh đề 1.12.13 Cho X là một R -môđun minimax phân bậc, ( R0 , m0 ) là địa
phương. Nếu X là R+ -xoắn, khi đó R-môđun TorjR0 ( R0 m0 , X ) và H mj 0 ( X ) là
Artin với mọi j ∈  0 .

1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan
Một R-môđun M được gọi là I-cofinite nếu

Supp ( M ) ⊂ V ( I )

và

Ext Ri ( R I , M ) là hữu hạn sinh với i ≥ 0 .

Dễ thấy nếu R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun hữu hạn
sinh sao cho Supp ( M ) ⊆ V ( I ) thì khi đó M là I-cofinite.


17

Chương 2

Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối
đồng điều địa phương suy rộng phân bậc
Trong chương này, trước hết tôi sẽ trình bày một số khái niệm liên quan về
môđun đối đồng điều địa phương phân bậc . Sau đó, tôi sẽ đưa ra một số tính chất

(

)

về sự ổn định tiệm cận của tập AssR0 H Ri + ( M , N )n trong một vài trường hợp đặc
biệt.

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

Định nghĩa 2.1.1 Cho R = ⊕ Ri là một vành giao hoán Noether phân bậc 1 ≠ 0 , M
i ≥0

và N là hai R-môđun  -phân bậc hữu hạn sinh .Cho R+ = ⊕ Ri là iđêan phân bậc
i >0

thực sự của R. Khi đó với mọi i ∈  thì môđun
H Ri + ( M , N ) := lim
Ext Ri ( M / R+n M , N )

n∈ 0

là một R-môđun phân bậc. H Ri + ( M , N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng phân bậc của M, N tương ứng với I.
Ta có H Ri + ( M , N ) = ⊕ H Ri + ( M , N )n
n∈

Tính chất 2.1.2 Cho R = ⊕ Ri là một vành giao hoán Noether phân bậc, M và N là
i ≥0

các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh và I là một iđêan phân bậc của R. Khi đó:
i) Luôn có một đẳng cấu thuần nhất tự nhiên H I0 ( M , N ) ≅ Γ I ( HomR ( M , N ) ) .