một nghiên cứu didactic về dạy học hệ bất phương trình bặc nhất hai ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhung

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ DẠY HỌC HỆ
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẶC NHẤT HAI ẨN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Nhung

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ DẠY HỌC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn tốn

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HỒI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Lê Thị Hoài
Châu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tiếp đến, tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy, truyền thụ những
kiến thức quý báu về didactic toán trong suốt hai năm của chương trình đào tạo thạc
sỹ chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học mơn tốn của PGS.TS. Lê Thị
Hồi Châu, PGS. TS. Lê văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương
Cơng Khanh. Ngồi ra, tơi cũng cảm ơn những chỉ dẫn, giải thích của PGS. TS.
Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã giúp chúng tôi hiểu rõ hơn về chun ngành này.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin cảm ơn Phịng sau đại học, khoa tốn trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi học tập và
nghiên cứu.
Sau nữa, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Ngô Gia
Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi tham gia khóa học.
Đồng thời, tơi cũng cảm ơn các đồng nghiệp của tôi ở các trường: THPT Ngô Gia
Tự, THPT Nguyễn Thái Học, THPT Phan Bội Châu đã giúp đỡ tơi hồn thành luận
văn này.
Ngồi ra, tôi cũng rất cảm ơn các anh chị, các bạn trong cùng ngành didactic,
đặc biệt là các bạn và các em cùng học lớp didactic tốn khóa 21 đã giúp đỡ, chia sẻ
cùng tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tơi xin gửi lịng tri ân đến những người trong gia đình tơi, những
người đã tạo mọi điều kiện cả về vật chất lẫn tinh thần để tơi hồn thành khóa học này.

Nguyễn Thị Nhung


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
PHẦN MỞ ĐẦU .........................................................................................................1
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.........................................................1
II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu .........................................3
III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ...............................................6
Chương 1:
MỘT NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN .......................................................................................................................7
1.1 Vài kiểu nhiệm vụ :............................................................................................7
1.1.1. Kiểu nhiệm vụ “lập kế hoạch sản xuất” .....................................................8
1.1.2.Kiểu nhiệm vụ “xác định khẩu phần thức ăn”.............................................8
1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư” .........................................................9
1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ” .....................................................10
1.2. Bài tốn tối ưu hóa tổng qt ..........................................................................11
1.3. Phương pháp giải bài tốn QHTT...................................................................14
1.3.1. Phương pháp hình học ..............................................................................14
1.3.2.Phương pháp đơn hình: .............................................................................17
1.3.2.1. Đường lối chung..............................................................................17
1.3.2.2. Các kiểu nhiệm vụ ...........................................................................18
Kết luận chương 1 ........................................................................................24
Chương 2:
NGHIÊN CỨU VỀ QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN................................................................................................25


2.1. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình
tốn lớp 10 hiện hành.............................................................................................26
2.2. Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK tốn lớp 10

hiện hành ................................................................................................................28
2.2.1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành ........28
2.2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK toán lớp 10 hiện hành ..31
Tổng kết chương 2 ..............................................................................................38
Chương 3:
NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VỀ HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN ................................................................40
Kết luận .....................................................................................................................57
Chương 4:
MỘT NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ....................................................................58
4.1. Thực nghiệm đối với GV ................................................................................58
4.1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi thực nghiệm và mục đích xây dựng ......................58
4.1.2. Phân tích các câu trả lời thu được ............................................................61
4.2. Thực nghiệm đối với HS ................................................................................64
4.2.1. Câu hỏi thực nghiệm và mục đích xây dựng ............................................65
4.2.2. Phân tích thực nghiệm ..............................................................................66
a) Phân tích tiên nghiệm ...............................................................................66
b) Phân tích hậu nghiệm ...............................................................................75
Kết luận chương 4 ........................................................................................81
KẾT LUẬN ...............................................................................................................82


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK

:

sách giáo khoa

SGV

:

sách giáo viên

CT

:

chương trình

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

TCTH

:

tổ chức tốn học

KTHH

:

kỹ thuật hình học

KTĐS

:

kỹ thuật đại số

PATU

:

phương án tối ưu

QHTT

:

quy hoạch tuyến tính

PA

:

phương án

KNV

:

kiểu nhiệm vụ

QHTT

:

Quy hoạch tuyến tính


1

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
• Ghi nhận đầu tiên và nhóm câu hỏi thứ nhất
Trong những năm gần đây, một quan điểm được thừa nhận rộng rãi trong
việc thực hiện mục tiêu của giáo dục là phải chuẩn bị cho học sinh (HS) khả năng
áp dụng kiến thức một cách linh hoạt vào các bối cảnh và các vấn đề mới, hình
thành thói quen tự học và học tập suốt đời. Để góp phần hồn thành mục tiêu giáo
dục theo quan điểm ấy, chương trình (CT) và sách giáo khoa (SGK) tiến hành nhiều
lần cải cách, sửa đổi cho phù hợp với thời đại. Một trong những vấn đề được thay
đổi đó là: “Các nội dung được sắp xếp lại để tăng cường ứng dụng hoặc hỗ trợ giữa
các môn. Đối với các mơn văn hóa, ngun tắc đảm bảo tính thực tiễn được thực
hiện thơng qua việc tăng cường tích hợp, liên hệ nội dung môn học với thực tiễn
cuộc sống, địa phương, đất nước hoặc đưa ra những nội dung ứng dụng thông tin
mới về kinh tế- xã hội vào mơn học” [14, tr.6]
Nói riêng cho mơn tốn, một trong những phương hướng đổi mới CT và
SGK toán là “Tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, những điều gần gũi

với cuộc sống của HS” . Để thực hiện phương hướng này, SGK tốn bậc phổ thơng
đã đưa vào nhiều ví dụ và bài tập gắn với thực tế mà trong số đó, có khá nhiều bài
xuất hiện ở phần “Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn”. Điều này
có nghĩa là phần tri thức về bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là
một trong những tri thức tạo ra sự gắn kết giữa tốn học và thực tế. Nói cách khác,
ghi nhận trên đã dẫn chúng tơi đến với nhóm câu hỏi nghiên cứu thứ nhất được phát biểu
như sau : Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có những ứng dụng gì? CT và SGK
tốn 10 tính đến các ứng dụng của nó như thế nào? Vấn đề mơ hình hóa được CT,
SGK quan tâm đến mức độ nào?
• Ghi nhận tiếp theo và nhóm câu hỏi thứ hai :
Ngồi ra, theo quan sát của chúng tơi, CT và SGK toán lớp 10 chỉ sử dụng
đồ thị khi giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, cịn các
phương pháp đại số thì khơng được nói đến. Điều này khác hẳn với việc giải những


2

dạng phương trình, hệ phương trình đã và sẽ được nghiên cứu trong CT tốn trung
học phổ thơng. Thế nhưng sự lựa chọn này đã khơng được giải thích. Sự thay đổi kỹ
thuật giải như thế ảnh hưởng thế nào đến HS? Chúng tôi đã tiến hành một thực
nghiệm nhỏ trên 87 HS lớp 10 ngay sau khi học xong phần bất phương trình, hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn bằng việc yêu cầu họ giải hai bài toán sau:
2
0
 x + 2x − 3 =
3
 x − 5x + 3 < 0

“1) Tìm tất cả các giá trị x thỏa mãn hệ: 

 x − y + 1 =0
”
2) Tìm tất cả các cặp số (x,y) thỏa mãn hệ: 
2x − 3y + 5 ≤ 0

Bảng dưới đây trình bày thống kê mà chúng tơi có được khi phân tích
phương pháp giải mà HS đã sử dụng. Trong bảng, chúng tơi xếp vào cột KTHH (kỹ
thuật hình học) những lời giải có sử dụng đồ thị. Cột KTĐS (kỹ thuật đại số) gồm
những lời giải chỉ chịu sự can thiệp của các phép biến đổi đại số.
KTĐS

KTHH

Không làm

Câu 1

100%

0%

0%

Câu 2

14,8%

67%

8,2%

Đối với bài toán thứ nhất, phương pháp giải của các em giống nhau: tìm
nghiệm của phương trình rồi thay vào bất phương trình để thử tính đúng sai, từ đó
kết luận về nghiệm của hệ.
Ở bài tốn thứ 2, chỉ 14,8% HS sử dụng KTĐS: rút x theo y (hoặc y theo x) từ
phương trình rồi thay vào bất phương trình để tìm điều kiện của y (hoặc x), từ đó đưa ra
kết luận. KTHH có thể áp dụng cho bài toán 2 là: vẽ các đường thẳng tương ứng rồi gạch
bỏ phần mặt phẳng không thỏa mãn điều kiện bài toán. 67% HS sử dụng KTHH nhưng
trong đó có 60% cho lời giải sai do khơng gạch bỏ phần mặt phẳng khơng thỏa mãn
phương trình.
Điều đáng nói là đối với bài tốn này KTĐS có thể mang lại một lời giải khá
dễ dàng, ngắn gọn. Chúng tôi đã phỏng vấn một số HS dùng KTHH để tìm hiểu lý


3

do vì sao KTĐS khơng xuất hiện trong lời giải bài tốn 2. Các em cho rằng vì chỉ
được học cách dùng đồ thị để giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó và khơng
biết đến phương pháp nào khác.
Kết quả thực nghiệm này làm chúng tôi băn khoăn: Điều gì đã tác động đến
HS trong việc lựa chọn cách giải này? Ở cả hai hệ đưa ra, chúng tôi đều tạo điều
kiện cho HS sử dụng các biến đổi đại số để giải, tại sao KTHH vẫn là lựa chọn đầu
tiên của đa số HS khi giải câu hỏi 2?
Ghi nhận trên dẫn chúng tơi đến nhóm câu hỏi thứ hai: Để giải hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn, CT và SGK đã lựa chọn những kỹ thuật nào để giải?
Có đúng là KTĐS hồn tồn khơng được xem xét đến như ghi nhận ban đầu của
chúng tôi khi lướt qua SGK đại số 10 hay không ? Sự lựa chọn của CT, SGK đã ảnh
hưởng ra sao đến thực tế dạy và học ? Liệu giáo viên (GV) có quan tâm đến việc đa
dạng hóa các kỹ thuật giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? GV có làm rõ lý do
tại sao phải dùng cơng cụ hình học khơng? HS có thực sự làm chủ KTHH trong việc

giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hay khơng?
II. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm câu trả lời cho hai nhóm câu hỏi
nêu trên. Để làm điều đó, chúng tơi vận dụng lý thuyết didactic toán, cụ thể là
thuyết nhân học với các khái niệm quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán
học, tổ chức didactic và khái niệm hợp đồng didactic. Chúng tơi sẽ giải thích ngắn
gọn dưới đây lý do của sự lựa chọn này.
Nhóm câu hỏi thứ hai liên quan đến việc tìm hiểu ảnh hưởng của sự lựa chọn
thực hiện bởi CT, SGK đại số 10 lên hoạt động dạy của GV và ứng xử của HS khi
làm việc với các bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Điều này
gắn với thuật ngữ “quan hệ cá nhân của X đối với O” mà Chevallard đã đề nghị :
“Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O là tập hợp những tác động
qua lại mà X có thể có đối với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về
nó,…Quan hệ cá nhân với đối với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết về O”
[20, tr.315]. Đối tượng O mà chúng tơi quan tâm là hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn, còn cá nhân X là người ở vị trí GV hay HS.


4

Nhưng một cá nhân ln phải ở trong ít nhất một thể chế. Điều đó cho thấy,
việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó có
sự tồn tại của X. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký
hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp tất cả các tác động qua lại mà I có đối với O. Điều này
chỉ ra rằng muốn nghiên cứu R(X,O) ta phải đặt nó trong R(I,O). Thể chế I mà
chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học theo CT đại số 10 hiện hành.
Trong khuôn khổ của Thuyết nhân học do Chevallard đặt nền móng, việc
phân tích các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đối tượng tri thức O sẽ cho
phép làm rõ mối quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O. Ngồi ra nghiên
cứu các TCTH cũng là một cơng cụ để phân tích thực tế dạy học mà chúng tơi sẽ

tiến hành sau này.
Nhóm câu hỏi thứ nhất liên quan đến kỹ thuật giải và ứng dụng của hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi nghiên cứu thực hành giảng dạy của GV, chúng
tơi muốn tìm hiểu xem GV có quan tâm hay khơng đến phương diện này (và câu hỏi
đó liên quan đến vấn đề mơ hình hóa tốn học). Những KNV nào có thể được xem
xét khi GV muốn HS biết được ứng dụng của O ? Khái niệm “tổ chức didactic” sẽ
là công cụ giúp chúng tơi phân tích hoạt động của GV trong lớp học. Ngoài ra, khái
niệm hợp đồng didactic cho phép chúng tơi giải thích được cách ứng xử của GV và
HS, tìm ra nguyên nhân và ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành, từ đó giải
thích được một số sự kiện quan sát được trên lớp học. Hơn nữa, khái niệm hợp đồng
didactic cho phép chúng tôi lý giải một số sai lầm của HS mà ta có thể dự đốn trước.
Bên cạnh đó, vì quan tâm đến vấn đề áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tế nên chúng tơi cũng phải sử dụng đến khái
niệm mơ hình hóa tốn học.
Mơ hình hóa tốn học (mà trong luận văn chúng tơi sẽ gọi tắt là mơ hình hóa)
là q trình giải quyết một vấn đề ngồi tốn học bằng cơng cụ tốn học. Liên quan
đến khái niệm này, bạn đọc có thể tìm thấy nhiều tài liệu viết bằng tiếng nước ngồi
hay tiếng Việt. Về phần mình, chúng tơi đã tham khảo :
• Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn tốn ở trường phổ thơng,
Nhà Xuất bản đại học quốc gia TP HCM.


5

• Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả
ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TP HCM.
• Lê Thị Hồi Châu (2011), Dạy học thống kê ở trường phổ thông và vấn đề
nâng cao năng lực hiểu biết tốn cho học sinh, Tạp chí KHOA HỌC, Đại học sư
phạm TP HCM, số 25 năm 2011.
Có những sơ đồ khác nhau đã được đưa ra để mơ tả q trình mơ hình hóa.

Tuy nhiên, về bản chất thì chúng giống nhau. Do khn khổ có hạn của luận văn,
chúng tôi chỉ nhắc lại ở đây 4 bước cơ bản của q trình mơ hình hóa trình bày theo
sơ đồ dưới đây do Kaiser và Blum đề nghị. Khi phân tích sự tồn tại của đối tượng
“mơ hình hóa” trong thể chế được xem xét, chúng tơi sẽ tham khảo mơ hình này.
Mơ hình thực tế

(b)

(a)
Tình huống thực tế

Mơ hình tốn học
(c)

(d)

Kết quả tốn học

Trong khn khổ lý thuyết tham chiếu đã chọn, câu hỏi ban đầu được trình
bày cụ thể bằng 4 câu hỏi cụ thể sau:
CH1: Hệ bất phương trình hai ẩn có thể có những ứng dụng nào ? kỹ thuật giải nào
được nhắc đến thông qua những ứng dụng này?
CH2: Trong CT và SGK toán lớp 10, đối tượng O (hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn) tồn tại ra sao? Những kỹ thuật giải nào đã được lựa chọn để giải hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn? Có sự giải thích nào được đưa ra cho sự lựa chọn đó? Vấn đề
mơ hình hóa có được thể chế đặt ra ?
CH3: Trong thực tế dạy học, GV đã đưa vào những KNV nào ? Họ có chú ý đến
những kiểu nhiệm vụ ngồi tốn học hay khơng ? Đâu là sự khác biệt cũng như
tương đồng giữa tri thức cần dạy và tri thức được dạy? GV hiểu như thế nào về sự
lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

CH4: Cách trình bày của SGK về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có ảnh hưởng
như thế nào đối với quan hệ cá nhân của GV và HS với đối tượng này?


6

III. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
CH1 không phải là một câu hỏi didactic, nhưng trả lời được nó lại là điều kiện
đầu tiên khơng thể thiếu để có thể đề cập đến việc nghiên cứu quan hệ thể chế với đối
tượng O. Vì thế, chương thứ nhất của luận văn được dành cho việc nghiên cứu
CH1.Phạm vi ứng dụng của mỗi tri thức toán học nói chung là vơ cùng rộng lớn mà
kiến thức của một cá nhân thường khơng thể phủ kín. Điều đó lại càng đúng đối với hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn – đối tượng O mà chúng tôi xem xét. Vì thế, chúng tơi
sẽ giới hạn nghiên cứu vai trị cơng cụ của O trong việc giải các bài toán QHTT.
Kết quả đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu câu
hỏi CH2. Câu trả lời cho CH2 liên quan đến việc nghiên cứu quan hệ thể chế. Để
làm rõ quan hệ thể chế R(I,O), chúng tơi tìm hiểu CT, tài liệu hướng dẫn GV, SGK,
kèm theo đó là SGV và sách bài tập. Nghiên cứu các tài liệu này nhằm chỉ rõ cách
trình bày khơng chỉ đối tượng O mà cả những tri thức liên quan đến nó (như phương
trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn) và
những TCTH gắn với chúng.
Câu hỏi CH3 liên quan đến thực hành dạy học của GV. Tham chiếu những
kết quả đạt được trong hai chương đầu, chúng tôi dự đốn những gì có thể tồn tại
trong lớp học, phân tích các điều kiện, ràng buộc ảnh hưởng đến hoạt động dạy của
GV. Đặc biệt, chúng tôi quan tâm đến việc làm rõ :
-

GV giải thích ra sao về sự lựa chọn KTHH để giải hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn ? Họ có tính đến sự đa dạng hóa kỹ thuật giải hay khơng ?

-

Vấn đề mơ hình hóa được họ tính đến thế nào khi xem xét hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn về phương diện cơng cụ? Kết quả phân tích thực hành
dạy học của GV được trình bày ở chương 3
Sau những gì quan sát được từ thực tế dạy học của GV, thông qua nghiên

cứu thực nghiệm, chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu thêm quan hệ của GV và hơn nữa là
của HS đối với đối tượng O nhằm kiểm chứng những giả thuyết rút ra từ chương 2.
Nghiên cứu thực nghiệm được trình bày ở chương 4. Kết thúc chương này cũng đồng
nghĩa với việc chúng tơi đã tìm ra yếu tố trả lời cho câu hỏi còn lại là CH4.


7

Chương 1:
MỘT NGHIÊN CỨU TỐN HỌC
VỀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Mở đầu
Như đã nói, để tìm hiểu ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn,
chúng tơi giới hạn phạm vi tốn học để nghiên cứu là Quy hoạch tuyến tính
(QHTT). Sự lựa chọn này có hai lý do. Thứ nhất, đây là một ngành tốn học ứng
dụng, nên trong đó ta có thể gặp những vấn đề ngồi tốn học được giải quyết bằng
cơng cụ toán học. Điều này liên quan trực tiếp đến đề tài nghiên cứu của luận văn.
Thứ hai, trong QHTT ta gặp nhiều bài tốn có sự can thiệp của phương trình, bất
phương trình bậc nhất hai ẩn. Những giáo trình đại học được chúng tơi sử dụng cho
việc nghiên cứu này bao gồm:
- Tối ưu hóa tuyến tính, Nguyễn Thành Cả, 2007, Nxb Thống kê.
- Lý thuyết – Bài tập – Bài giải quy hoạch tuyến tính tối ưu hóa, Lê Khánh
Luận, 2009, Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

- Quy hoạch tuyến tính và ứng dụng trong kinh tế, Lê Văn Phi, 2004, Nxb
Giáo dục.
- Tối ưu hóa- Giáo trình cho ngành tin học và cơng nghệ thông tin, Nguyễn
Hải Thanh, 2006, Nxb Bách khoa- Hà Nội.
- Quy hoạch tuyến tính, Đặng Hấn, 1995, Nxb Đại học quốc gia TP. Hồ Chí
Minh.
Khi nghiên cứu các tài liệu này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ :
- một số kiểu nhiệm vụ tiêu biểu (ngồi tốn học) mà lời giải đòi hỏi sự can thiệp
của các hệ phương trình, bất phương trình bậc nhất
- những kỹ thuật giải có thể dùng cho hệ bất phương trình bậc nhất
1.1 Vài kiểu nhiệm vụ :
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số các bài tốn thực tế tìm thấy
trong cuốn sách “Tối ưu hóa tuyến tính” của tác giả Nguyễn Thành Cả.


8

1.1.1. Kiểu nhiệm vụ “lập kế hoạch sản xuất”
Để người đọc dễ tiếp cận, chúng tôi không nêu các kiểu nhiệm vụ ở dạng
tổng quát mà chỉ đưa ra mỗi ví dụ cho một trường hợp. Điều này cũng thuận lợi hơn
cho chúng tơi khi tham chiếu để phân tích CT, SGK dành cho bậc phổ thông, nơi
mà các bài tốn khái qt phức tạp khơng có mặt.
Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất giấy hiện có số lượng Bột gỗ và Chất hồ keo
tương ứng là 5.580m3 và 9 tấn. Các yếu tố sản xuất khác có số lượng lớn. Xí nghiệp
có thể sản xuất ra 3 loại giấy A, B, C. Biết mức tiêu hao các loại nguyên liệu để sản
xuất ra 1 tấn giấy thành phẩm cho trong bảng sau (Bảng định mức kinh tế- kỹ thuật):
Nguyên liệu

Sản phẩm
A

B

C

Bột gỗ (m3)

1,5

1,8

1,6

Chất hồ keo (kg)

2

3

2,4

Ngoài ra, giả sử rằng sản phẩm sản xuất ra đều có thể tiêu thụ được hết với lợi
nhuận khi sản xuất 1 tấn giấy A, B, C tương ứng là 2,7: 3,6: 3 (triệu đồng). Yêu
cầu lập kế hoạch sản xuất tối ưu.
Vấn đề này dẫn đến bài tốn : tìm x j , j = 1, 2, 3 sao cho :
f = 2,7x 1 + 3,6x 2 + 3x 3 → max
với hệ ràng buộc :
1, 5x + 1, 8x + 1, 6x ≤ 5.580
1
2

3

2x1 + 3x 2 + 2, 4x 3 ≤ 9000

1, 3
 x j ≥ 0, j =

1.1.2.Kiểu nhiệm vụ “xác định khẩu phần thức ăn”
Ví dụ: Giả sử để sinh sống trong một ngày đêm, mỗi người cần ít nhất 70g
Protit, 30g Lipit và 420g Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và
B như sau:


9

Chất dinh dưỡng

Thức ăn
A

B

Protit (g)

0,1

0,2

Lipit (g)

0,1

0,1

0,7

0,6

Gluxit (g)

Ngoài ra, biết giá của mỗi gam thức ăn A và B tương ứng là 40đ và 60đ. Hãy xác
định khối lượng thức ăn tối ưu cần mua.
Để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên người ta có thể đưa về giải bài tốn sau:
Tìm x 1 , x 2 sao cho : f = 40x 1 + 60x 2 → min
Với hệ ràng buộc :
0,1x1 + 0, 2x 2 ≥ 70

0,1x1 + 0,1x 2 ≥ 30

0, 7x1 + 0, 6x 2 ≥ 420
 x ≥ 0, x ≥ 0
2
 1

1.1.3. Kiểu nhiệm vụ “phân bổ vốn đầu tư”
Ví dụ: Một nhà đầu tư có 2 tỉ đồng muốn đầu tư vào 4 lĩnh vực: chứng
khốn, cơng trái, gửi tiết kiệm và bất động sản. Biết lãi suất hàng năm của lĩnh vực
đầu tư như sau:
Lĩnh vực đầu tư

Lãi suất hàng năm

Chứng khốn

20%

Cơng trái

12%

Gửi tiết kiệm

10%

Bất động sản

15%

Ngoài ra, để giảm thiểu mức rủi ro, nhà đầu tư cho rằng không nên đầu tư
vào chứng khốn vượt q 40% tổng vốn đầu tư, cịn đầu tư vào cơng trái và gửi tiết
kiệm phải ít nhất là 25% tổng vốn đầu tư và tiền gởi tiết kiệm phải ít nhất là 100
triệu đồng.


10

Hãy xác định kế hoạch phân bổ vốn đầu tư sao cho tổng thu nhập hàng năm
là lớn nhất.
Vấn đề này dẫn đến bài tốn :
Tìm x j , j = 1, 4 sao cho : f = 0,2x 1 + 0,12x 2 + 0,1x 3 + 0,15x 4 → max

Với hệ ràng buộc :
1.1.4. Kiểu nhiệm vụ “lập tiến độ sản xuất ”
Ví dụ: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm có khối lượng hợp đồng đặt
hàng trong 3 tháng liên tiếp và chi phí sản xuất của mỗi đơn vị sản phẩm trong từng
tháng cho trong bảng sau:
Dữ liệu

Tháng
1

2

3

“Khối lượng hợp đồng đặt hàng (đv)

95

90

120

Chi phí sản xuất trong thời gian thường (1.000 đ/đv)

30

32

34

Chi phí sản xuất trong thời gian phụ trội (1.000 đ/đv)

34

36

38

(Chi phí sản xuất khác nhau trong từng tháng là do dự đoán các thay đổi trong chi
phí nguyên liệu và tiền lương của tháng đó)
Năng lực sản xuất của nhà máy là 100 đv/tháng với thời gian thường (làm trong
giờ) và 15 đv/tháng với thời gian phụ trội (làm ngoài giờ). Chi phí lưu kho cho 1 đv
sản phẩm khơng bán được là 2.000 đ/tháng. Nhà máy khơng có đơn vị hàng nào vào
đầu tháng 1 và mong muốn có ít nhất 5 đơn vị hàng vào cuối tháng 3. Ngoài ra, giả
sử sản phẩm sản xuất ra đều được cung cấp ngay cho người đặt hàng cho đến lúc đủ
khối lượng hợp đồng.
Vấn đề này dẫn đến bài tốn :
Tìm x j , yj , z j , j = 1, 3 sao cho :
f = 30x 1 + 32x 2 + 34x 3 +34y1 + 36y2 + 38y3 + 2z 1 + 2z 2 + 2z 3 → min
Với hệ ràng buộc :


11


95
 x1 + y1 − z1 =

90
 x 2 + y 2 + z1 − z 2 =

x + y + z − z =
120
3
2
3
 3
z3 ≥ 5

1, 3
0 ≤ x j ≤ 100, j =

1, 3
0 ≤ y j ≤ 15, j =

1, 3
z j ≥ 0, j =

1.2. Bài tốn tối ưu hóa tổng qt
Những kiểu nhiệm vụ nêu trên người ta đều có thể chuyển thành bài tốn tìm
cực trị của một hàm số (gọi là hàm mục tiêu) với có hay khơng có hệ ràng buộc đối
với các biến số. Trong trường hợp có hệ ràng buộc thì bài tốn tối ưu hóa được gọi
là bài toán quy hoạch toán học. Tùy theo dạng toán học của hàm mục tiêu và các
ràng buộc là tuyến tính hay phi tuyến tính mà ta có QHTT hay quy hoạch phi tuyến
tính (gọi tắt là quy hoạch phi tuyến). Trong nhiều trường hợp, bài tốn quy hoạch
phi tuyến tính có thể chuyển về tuyến tính.
 Bài tốn QHTT dạng tổng qt :
Một bài tốn QHTT là một mơ hình tốn tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại
(max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức
tuyến tính. Dạng tổng quát của một bài tốn QHTT quy ước viết như sau:
Tìm x j , j = 1, 2, …, n sao cho:

=
f

n

∑c x
j=1

j

j

→ min (max)

(1)

với hệ ràng buộc:
≤ 
 
a ij=
xj  =
bi , i 1, 2,..., m
∑
j=1
≥ 
 
≤




x j ≥
1, 2,..., n
 0, j =
 tuy y 


n

(1) được gọi là hàm mục tiêu

( 2)

(3)


12

(2) được gọi là các ràng buộc chung.
(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến)
A = (a ij ) m×n : Ma trận hệ số ràng buộc.
B = (b 1 , b 2 ,…, b m ): Ma trận hệ số tự do.
X = (x 1 , x 2 ,…, x n )T : Ma trận ẩn.
C = (c 1 , c 2 , …, c n )T : Ma trận chi phí.
Các ẩn ứng với các véc tơ đơn vị trong ma trận ràng buộc A được gọi là các ẩn
cơ sở. Ẩn cơ sở ứng với các vectơ cột thứ i được gọi là ẩn cơ sở thứ i. Các ẩn còn
lại gọi là các ẩn không cơ sở (ẩn tự do).
Véc tơ x = (x 1 , x 2 , …, x n )T được gọi là phương án (PA) hay lời giải chấp
nhận được của bài tốn QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài tốn.
Một PA mà các ẩn khơng cơ sở đều bằng 0 được gọi là PA cơ bản.
Một PA cơ bản có đủ m thành phần dương gọi là PA cơ bản khơng suy biến.

Ít hơn m thành phần dương gọi là suy biến.
Phương án x* = (x* 1 , x 2 *,…, x n *)T được gọi là phương án tối ưu (PATU)của
bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất.
Giải bài tốn QHTT tức là tìm PATU của nó (nếu có).
Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung
tập hợp các PATU.
 Dạng chính tắc
Bài tốn QHTT dạng chính tắc là bài tốn QHTT có tất cả các ràng buộc
chung đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.
 Dạng chuẩn
Bài tốn QHTT dạng chuẩn là bài tốn QHTT dạng chính tắc thỏa mãn hai
điều kiện:
+ Các hằng số ở vế phải của các ràng buộc chung đều không âm
+ Mỗi ràng buộc chung có biến cơ bản tương ứng.
Mọi bài tốn QHTT dạng tổng qt đều có thể chuyển về dạng chính tắc
nhờ vào cách sử dụng các ẩn phụ. Ẩn phụ được thêm vào theo nguyên tắc sau:


13

n

 Nếu điều kiện ràng buộc có dạng ∑ a ij x j ≥ bi thì ta cộng thêm vào vế trái một
j=1

ẩn phụ không âm x n+i ≥ 0 với hệ số -1 để biến thành phương trình
n

∑a x
j=1

ij

j

− x n +i =
bi

 Nếu điều kiện ràng buộc có dạng

n

∑a x
j=1

ij

j

≤ bi thì ta cộng thêm vào vế trái một

ẩn phụ không âm x n+i ≥ 0 với hệ số 1 để biến thành phương trình
n

∑a x
j=1

ij

j

+ x n +i =
bi .

Việc thêm các ẩn phụ này chỉ nhằm chuyển các bất phương trình về phương
trình chứ khơng ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu (hệ số c j tương ứng với ẩn phụ x j
trong hàm mục tiêu thì bằng 0).
Ngồi ra, nếu ẩn xj trong bài tốn QHTT dạng tổng quát có điều kiện xj ≤ 0 thì ta
thay xj = - yj với yj ≥ 0, cịn với xj tùy ý thì ta thay x j = xj/ - xj// với xj/ ≥ 0, xj // ≥ 0.
Tuy nhiên, tất cả các bài toán QHTT dạng chính tắc (nếu chưa có dạng
chuẩn) lại có thể chuyển về dạng chuẩn bằng cách dùng các ẩn giả. Cách làm này
gồm các bước sau:
-

Bước 1: Nếu trong bài toán dạng chính tắc có 1 số hạng tự do b i nào đó âm,
ta đổi dấu hai vế để được b i > 0.

-

Bước 2: Ta thêm vào mỗi phương trình trong hệ ràng buộc một ẩn giả khơng
âm x n+i ≥ 0 với hệ số 1. Khi đó, trong hàm mục tiêu f(x) → min, các ẩn giả
có hệ số M (một số lớn hơn bất kỳ số nào cần so sánh), còn trong hàm mục
tiêu f(x) → max, các ẩn giả có hệ số - M
Vậy với việc dùng thêm ẩn phụ (để chuyển từ bài toán tổng qt sang bài tốn

chính tắc) và ẩn giả (để chuyển bài tốn chính tắc sang bài tốn chuẩn), ta có thể
chuyển mọi bài toán QHTT về dạng chuẩn tắc. Điều này cho thấy rằng việc giải mọi
bài toán QHTT đều quy về giải bài toán dạng chuẩn tắc tương ứng.

14

1.3. Phương pháp giải bài toán QHTT
Để giải một bài tốn QHTT, chúng ta có khá nhiều phương pháp giải, chẳng
hạn như: phương pháp hình học, phương pháp đơn hình, phương pháp điểm trong,
phương pháp ellipsoid, …Tuy nhiên, do mục đích nghiên cứu ở đây là tìm cơ sở
tham chiếu cho việc phân tích CT, SGK sau này, chúng tơi chỉ chọn phân tích
phương pháp hình học và phương pháp đơn hình vì tính dể hiểu, phổ biến và gần
gũi với phổ thơng của chúng.
1.3.1. Phương pháp hình học
Phương pháp hình học khơng có ý nghĩa nhiều đối với các bài tốn có nhiều
ràng buộc và ẩn số. Tuy nhiên, việc sử dụng phương pháp hình học cũng là một
cách để chứng minh các tính chất của bài tốn QHTT. Lưu ý rằng phương pháp
hình học chỉ dùng cho bài tốn QHTT có số biến là 2 hoặc 3, hay những bài tốn
QHTT có thể đưa về dạng 2, 3 biến. Do sự tương đồng trong lời giải bài toán 2
biến và 3 biến, chúng tơi sẽ chỉ trình bày cách giải cho trường hợp thứ nhất.
Theo ngôn ngữ của Thuyết nhân học, bài toán được phát biểu thành kiểu
nhiệm vụ sau : Tìm x = (x 1 , x 2 )T sao cho: f = c 1 x 1 + c 2 x 2 →min (max) với hệ
ràng buộc a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i , i = 1, 2, …, m. (1)
Lưu ý rằng nếu (1) có dạng a ≤ b thì ta biến đổi thành – a ≥ - b, còn nếu (1)
có dạng a = b thì ta biến đổi thành a ≥ b và –a ≥ -b. Các ràng buộc của biến có thể
xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung. Do đó, hệ ràng buộc của
bài tốn QHTT 2 biến ln có thể giả thiết có dạng (1).
 Kỹ thuật giải:gồm hai bước cơ bản
Bước 1: Xác định miền phương án
+ Vẽ các đường thẳng có phương trình: a i1 x 1 + a i2 x 2 = b i (i = 1, 2, …, m)
trên hệ trục tọa độ vng góc x 1 Ox 2 . Mỗi đường thẳng trong số các đường
thẳng này chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng. Một nửa mặt
phẳng (kể cả bờ) bao gồm các điểm (x 1 , x 2 ) thỏa mãn bất phương trình
a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i và nửa mặt phẳng kia (kể cả bờ) bao gồm các điểm

15

(x 1 , x 2 ) thỏa mãn bất phương trình a i1 x 1 + a i2 x 2 ≤ b i . Để xác định nửa mặt
phẳng nào thỏa mãn bất phương trình a i1 x 1 + a i2 x 2 ≥ b i ta thường thay tọa
độ của một điểm đặc biệt nào đó như O(0;0) (hoặc (0;1), (1;0), … ) vào
bất phương trình. Nếu biểu thức đó đúng thì nửa mặt phẳng chứa điểm đã
chọn là nửa mặt phẳng phải tìm, cịn nếu biểu thức đó sai thì phải lấy nửa
mặt phẳng cịn lại.
Điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là điểm thuộc miền giao của tất cả
các nửa mặt phẳng ứng với từng bất phương trình. Tập hợp những điểm này tạo nên
một đa giác lồi (có thể giới nội hoặc khơng) hoặc là tập rỗng.
 Nếu miền phương án là rỗng thì hệ ràng buộc trong bài tốn là khơng
tương thích. Bài tốn khi ấy khơng có PA.
 Nếu miền phương án khác rỗng ta chuyển sang bước 2
Bước 2: Xác định PATU.
Để xác định PATU, ta có 2 cách:
 Cách 1: Dùng đường thẳng mục tiêu có mức là f: c 1 x 1 + c 2 x 2 = f
+ Lấy điểm C = (c 1 ; c 2 )T

+ Vẽ véc tơ OC


+ Vẽ đường thẳng (D) qua gốc tọa độ O(0;0) và vng góc với OC (vẽ

đường thẳng mục tiêu có mức là f = f 0 (f 0 bất kỳ) (vẽ (D): c1 x1 + c2 x2 = f 0 )
• Để tìm PATU với trường hợp f →max:



- Tịnh tiến (D) theo cùng hướng với véc tơ OC .
- Khi (D) ở mức cao nhất sao cho (D) vẫn còn cắt miền PA X. Khi đó
(D) tiếp xúc X và đặt X về cùng một phía . PATU là tiếp điểm tương
ứng.
• Để tìm PATU với trường hợp f →min:


- Tịnh tiến (D) theo hướng ngược hướng với véc tơ OC .
- Khi (D) ở mức thấp nhất sao cho (D) vẫn còn cắt miền PA X. Khi đó (D)
tiếp xúc X và đặt X về cùng một phía . PATU là tiếp điểm tương ứng.


16

Nếu tịnh tiến (D) mà khơng tìm được điểm tiếp xúc thì bài tốn đó
khơng có PATU (f→-∞ đối với bài toán cực tiểu và f→ +∞ đối với bài
toán cực đại)
 Cách 2: Xét tại các điểm cực biên (cách này chỉ áp dụng đối với bài
tốn QHTT có PATU và có miền PA X là tập lồi đa diện có đỉnh)
+ Tìm các điểm cực biên
+ Tính giá trị của hàm mục tiêu f tại các điểm cực biên.
+ So sánh các giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm cực biên vừa tìm
được để chọn giá trị cực tiểu hoặc giá trị cực đại của hàm mục tiêu.
Ví dụ: Giải bài tốn : f = 8x 1 + 6x 2 →max
4x1 + 2x 2 ≤ 60 (a )

2x1 + 4x 2 ≤ 48 (b)
x , x ≥ 0
 1 2

Bước 1: Xác định miền PA
+ Vẽ đường thẳng (d 1 ): 4x 1 + 2x 2 = 60, đường thẳng (d 1 ) đi qua (0;30); (15;0).
+ Vẽ đường thẳng (d 2 ): 2x 1 + 4x 2 = 48, đường thẳng (d 2 ) đi qua (0;12); (24;0).
+ Thay tọa độ O(0;0) vào các (a) và (b), ta được 0 + 0 ≤ 60 (đúng), 0 + 0 ≤ 48 (đúng)
+ Vì x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 nên ta xác định miền PA là phần mặt phẳng giới hạn bởi tứ giác
OABC.
Bước 2: Xác định PATU.
Cách 1: Vẽ đường mục tiêu (D): 8x1 + 6x2 = 24. Đường thẳng (D) đi qua (0;4) và (3;0).

+ Lấy C(8;6), vẽ OC .


OC
. Chúng ta nhận thấy giá trị của hàm
+ Tịnh tiến (D) theo cùng hướng với véc tơ

mục tiêu f tăng lên và f có giá trị lớn nhất khi (D) đi qua B(12;6) (B là giao điểm
của hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )).


17

Vậy PATU là (x 1 = 12, x 2 = 6), giá trị lớn nhất f max = 132.
Cách 2: Tính giá trị của hàm mục tiêu f tại các đỉnh O(0;0), A(0;12), B(12;6),
C(15;0) ta có f(0;0) = 0, f(0;12) = 72, f(12;6) = 132, f(15;0) = 120.
Vậy PATU là (x 1 = 12, x 2 = 6), giá trị lớn nhất f max = 132.
Khi tập PA là một đa giác lồi (đối với bài toán 2 biến) hoặc đa diện lồi (đối với
bài toán 3 biến), người ta hay sử dụng cách tìm PATU thơng qua việc tính giá trị hàm
mục tiêu tại các điểm cực biên. Cách làm này dựa trên các tính chất của bài tốn QHTT
và q trình giải bài tốn QHTT theo cách này là: Xuất phát từ một đỉnh nào đó và tìm

cách cải tiến hàm mục tiêu bằng cách đi tới điểm cực biên kề tốt hơn. Cứ tiếp tục như
vậy cho đến khi tìm được PATU. Quá trình này bao gồm hữu hạn bước do số điểm cực
biên là hữu hạn. Tư tưởng của cách giải này cũng chính là tư tưởng của phương pháp
đơn hình mà chúng tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu sau đây
1.3.2.Phương pháp đơn hình:
1.3.2.1. Đường lối chung
Phương pháp đơn hình dựa trên hai nhận xét sau:
-

Nếu bài tốn QHTT có PATU thì có ít nhất một đỉnh của X là PATU.

-

Đa diện lồi X có một số hữu hạn đỉnh.
Điều đó có nghĩa là phải tồn tại một thuật toán hữu hạn. Thuật toán này gồm

hai giai đoạn:
Giai đoạn 1: Trước hết phải tìm một PA cực biên (một đỉnh)
Giai đoạn 2: Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với PA đó.
-

Nếu điều kiện tối ưu được thỏa mãn thì PA đó là PATU. Nếu khơng ta
chuyển sang PA cực biên mới sao cho cải tiến giá trị hàm mục tiêu


18

-

Kiểm tra điều kiện tối ưu đối với PA mới

Quá trình này tiếp tục lặp lại cho đến khi tìm được PATU hoặc đủ cơ sở để kết
luận bài toán khơng có PATU.
1.3.2.2. Các kiểu nhiệm vụ
Kiểu nhiệm vụ: T c : “Giải bài toán QHTT dạng chuẩn”
 Kỹ thuật:
a) Lập bảng đơn hình
 Tính
=
∆j

m

∑C
i =1

a − c j : được gọi là hệ số ước lượng của biến x j , j = 1, n

Bi ij

 Kiểm tra điều kiện tối ưu
f (x )
 Đối với bài toán=

n

∑c x
j=1

j

j

→ min

 (1) Nếu ∆ k ≤ 0, ∀ k ⇒ PATU.
 (2) Nếu có ∆ k > 0 mà a ik ≤ 0, ∀ i ⇒ khơng có PATU.
 (3) Nếu mọi ∆ k > 0 đều có a ik > 0, ∃ i ⇒ lập PA mới.
Cách lập PA mới:
=
∆S max {∆ k | ∆ k > 0}

=
b r / a rs min {bi / a is | a is > 0}

a rs gọi là phần tử trục
+ (1/) Trên cột ẩn cơ bản : đưa x s vào thay x r
+ (2/) Trên cột hệ số c j : đưa c s vào thay c r
+ (3/) Chia dòng chứa a rs cho a rs ;
+ (4/) Thay cột chứa a rs bằng véc tơ đơn vị mà tại a rs bằng 1.
+ (5/) Tính a / ij =

a ija rs − a rja is
a rs

+ Tính mới ∆/ k , b/ k cũng theo quy tắc trên.
Khi đã có ∆/ 1 , ∆/ 2 , …, ∆/ n : ta trở lại các bước (1), (2), (3).
 Chú ý: Nguyên tắc chọn phần tử trục:

19

 bi

| ∀a iv > 0  . Giả sử λ v được xác định
 a iv


=
λ V min 
+ Tính tỷ số đơn hình:

b
a rv

tương ứng với dịng r (tức là λ v = r ). Khi đó chọn dòng r làm dòng xoay và
cột v làm cột xoay, ta được phần tử trục là a rv . Nếu có nhiều phần tử trục có
thể chọn. Ta chọn phần tử trục theo 1 trong 2 quy tắc sau:
 Quy tắc hệ số lớn nhất: max{|∆ v |/∀ cột v vi phạm}
 Quy tắc cải thiện nhiều nhất: max{|∆ v |λ v /∀ cột v vi phạm}
f (x )
 Đối với bài toán=

n

∑c x
j=1

j

j

→ m ax

Tương tự bài toán min, thuật tốn có ba trường hợp:
+ (1) Nếu ∆ k ≥ 0, ∀ k ⇒ PATU.
+(2) Nếu có ∆ k < 0 mà a ik ≤ 0, ∀ i ⇒ khơng có PATU.
+ (3)Nếu mọi ∆ k > 0 đều có a ik > 0, ∃ i ⇒ lập PA mới.
• Cách lập PA mới:
∆=
min {∆ k | ∆ k > 0}
S

=
b r / a rs min {bi / a is | a is > 0}

a rs gọi là phần tử trục
Các tính tốn cịn lại giống như ở bài tốn min.
b) Dựa vào bảng đơn hình kết luận PATU.
Ví dụ 1: Giải bài toán QHTT sau đây:
f(x) = 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 4x 6 →min
2x 1
3x 1 + x 2
x1

+ x3 + x4
+ 2x 4

+ 2x 6 = 5
+ x 6 = 11

+ 2x 4 + x 5 + x 6 = 5
x j ≥ 0 , j = 1, 6

Bài giải:
Bài tốn đã có dạng chuẩn, ta lập bảng đơn hình như sau: