nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học tính diện tích hình phẳng ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Vũ

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA
GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Vũ

NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA
GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC TÍNH
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ở LỚP 12

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung,
người đã truyền dạy những những kiến thức quý báu và đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS.
Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, giúp tôi tiếp thu
tốt nhất kiến thức chuyên ngành Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
© Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại học, ban chủ nhiệm và giảng
viên khoa Toán - tin học trường ĐH Sư Phạm TP.HCM đã tạo mọi thuận lợi
cho tôi trong suốt khóa học.
© Ban giám hiệu và giáo viên các trường THPT Thủ Thiêm (Q.2), THPT Lê
Quý Đôn (Q.3), Trung Học Thực Hành ĐHSP, THPT Hùng Vương, THPT
Trần Khai Nguyên (Q.5), THPT Mạc Đĩnh Chi (Q.6), THPT Lê Thánh Tôn,
THPT Ngô Quyền (Q.7), THPT Nguyễn Văn Linh (Q.8), THPT Nguyễn Du
(Q.10), THPT Nguyễn Hiền, THPT Trần Quang Khải, THPT Trương Vĩnh
Ký (Q.11), THPT Nguyễn Công Trứ (Q. Giò Vấp) và THPT Nguyễn Hữu
Huân (Q.Thủ Đức) đã tạo điều kiện cho tôi thực dự giờ, quan sát nhiều tiết
học và tiến hành các thực nghiệm cần thiết cho luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình và các bạn cùng khóa,
những người luôn yêu mến, ủng hộ, chia sẻ và động viên tôi suốt quá trình học tập.
Nguyễn Hoàng Vũ


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT
Dthp

GV
GV-C
GV-NC
HS
LL&PPDH
NXB
OTChIII
Pthđgđ
Pttđgđ
Pttt
SBT
SBT-C
SBT-NC
SGK
SGK-C
SGK-NC
SGV
SGV-C
SGV-NC
THPT
VD

: Bài tập
: Diện tích hình phẳng
: Giáo viên
: Giáo viên dạy chương trình chuẩn
: Giáo viên dạy chương trình nâng cao
: Học sinh
: Lý luận và phương pháp dạy học
: Nhà xuất bản

: Ôn tập chương III
: Phương trình hoành độ giao điểm
: Phương trình tung độ giao điểm
: Phương trình tiếp tuyến
: Sách bài tập
: Sách Bài tập Giải tích 12
: Sách Bài tập Giải tích 12 - Nâng cao
: Sách giáo khoa
: Sách Giải tích 12
: Sách Giải tích 12 - Nâng cao
: Sách giáo viên
: Sách Giáo viên Giải tích 12
: Sách Giáo viên Giải tích 12 - Nâng cao
: Trung học phổ thông
: Ví dụ


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ......................................................... 1
2. Khung lý thuyết tham chiếu ..................................................................................... 3
3. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 4
4. Cấu trúc luận văn ...................................................................................................... 4
CHƯƠNG I. QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ................ 5
1. Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng ............................ 5
1.1. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học ......................... 5
1.2. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam .......... 6

1.3. Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng ........ 6
2. Phân tích chương trình ............................................................................................. 7
3. Phân tích sách giáo khoa .......................................................................................... 8
3.1. Cấu trúc chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách
giáo khoa hiện hành .................................................................................................. 8
3.2. Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành ........................ 8
3.2.1. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 ..................................... 8
3.2.2. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 - Nâng cao ................... 9
3.2.3. Nhận xét .................................................................................................... 10
3.3. Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành .............................. 10
3.3.1. Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12 ........................................... 10
3.3.2. Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao .................. 12
3.3.3. Nhận xét .................................................................................................... 13
3.3.4. Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm ........................................... 14
4. Các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng ........................................ 15
4.1. Các tổ chức toán học trong SGK-C và SBT-C ................................................ 15
4.1.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số .................................................................... 15
4.1.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 : Tính tỉ số diện tích của hai
hình phẳng........................................................................................................... 17
4.1.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 : Tính diện tích đa giác ....... 18
4.1.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : So sánh diện tích của hai
hình phẳng........................................................................................................... 18
4.1.5. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : Tính diện tích hình thang
cong bằng giới hạn.............................................................................................. 19
4.1.6. Nhận xét .................................................................................................... 20


4.2. Các tổ chức toán học trong SGK-NC và SBT-NC .......................................... 22
4.2.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số ..................................................................... 22
4.2.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số....................................................................... 23
4.2.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi hai đường cong ............................................................................... 25
4.2.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : Tìm giá trị của tham số để
diện tích hình phẳng bằng S > 0 cho trước ....................................................... 26
4.2.5. Nhận xét .................................................................................................... 27
5. Kết luận chương I ................................................................................................... 29
CHƯƠNG II. NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ............................................................................... 32
1. Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình chuẩn .............................. 32
1.1. Phân tích các tổ chức didactic ......................................................................... 33
1.2. Nhận xét ........................................................................................................... 50
2. Thực tế giảng dạy diện tích hình phẳng ở chương trình nâng cao ......................... 50
2.1. Phân tích các tổ chức didactic ......................................................................... 51
2.2. Nhận xét ........................................................................................................... 69
3. Kết luận chương II .................................................................................................. 70
CHƯƠNG III. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 73
1. Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................................. 73
2. Đối tượng thực nghiệm........................................................................................... 73
3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................ 74
3.1. Phân tích tiên nghiệm ...................................................................................... 74
3.2. Phân tích hậu nghiệm....................................................................................... 79
4. Kết luận chương III ................................................................................................ 86
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 88
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 91
PHỤ LỤC

1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Khi thực hiện tiểu luận hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng năm
2011, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm như sau: Chúng tôi yêu cầu 50 HS lớp
12A14 và 12A18 trường THPT Trần Khai Nguyên, Q.5 (chương trình chuẩn) giải bài
toán “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong ( H ) : y =

2
và
x

( P ) : y = x 2 + 2 x − 1 .”
Kết quả: 50/50 HS tham gia thực nghiệm sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt
đối ra ngoài tích phân” để giải bài toán trên và đưa ra lời giải tương tự lời giải sau:
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (P):

2
= x2 + 2x − 1
( x ≠ 0)
x
⇔ x3 + 2x2 − x − 2 =
0
 x = −2
⇔
 x = ±1
Khi đó:
1

2 2
∫−2 x − x − 2 x + 1 dx
−1
1
2 2
2
= ∫ − x − 2 x + 1 dx + ∫ − x 2 − 2 x + 1 dx
x
x
−2
−1
−1
1
2
2
= ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx + ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx
x
x
−2
−1

S=


x3 2 
=  2 ln x − − x + x 
3



−1

−2

1

x3 2 
+  2 ln x − − x + x 
3

 −1

= 3 − 2 ln 2 1
Nhận xét: Lời giải trên là một lời giải sai.
1

Có 17 đáp số khác nhau, trong đó đáp số 3 − 2 ln 2 có tần suất cao nhất (13/50).


2

Nguyên nhân: HS đã áp dụng sai phạm vi hợp thức của định lí “Nếu f ( x ) liên tục
b

và không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì

∫
a

1

∫

−2

f ( x ) dx =

b

∫ f ( x )dx .”

Dễ thấy, tích phân

a

2
2
− x 2 − 2 x + 1 dx không tồn tại vì hàm số y = không liên tục trên đoạn [–2;1].
x
x
Mặt khác, có thể giải bài toán trên bằng chiến lược “dùng đồ thị”. Cụ thể, nếu vẽ

hai đồ thị (H) và (P) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:

Dựa vào đồ thị, ta thấy hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị (H) và (P) chỉ nằm trong
đoạn [–2;–1]. Và do đó, lời giải mong đợi của bài toán trên như sau:
−1

−1 5
2

x3
S = ∫ ( − x 2 − 2 x + 1)dx =(2 ln x − − x 2 + x ) = − 2 ln 2 .
x
3
−2 3
−2

Bình luận: Việc HS học chương trình chuẩn không xét tính liên tục của các hàm số
trên đoạn [–2;1] cũng như không xác định hình phẳng trước khi tính diện tích đã dẫn
đến sai lầm trong bài toán trên.
Điều này khiến chúng tôi thắc mắc: Liệu HS học chương trình nâng cao có gặp sai
lầm tương tự?
Để giải đáp thắc mắc này, chúng tôi tiến hành một thực nghiệm tương tự với 50 HS
lớp 12A2 và 12A4 trường THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11 (chương trình nâng cao).
Thực nghiệm diễn ra vào đầu tháng 2/2010.


3

Kết quả: 35/50 HS sử dụng chiến lược “dùng đồ thị” và giải đúng bài toán trên.
11/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân” nhưng lập
luận hàm số không liên tục trên đoạn [–1; 1] nên chỉ tính tích phân trên đoạn [–2; –1]
và đưa ra đáp số đúng. 3/50 HS sử dụng chiến lược “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài
tích phân” nhưng không xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] nên đưa ra đáp
số sai. 1 HS không giải được bài toán trên.
Bình luận: Việc HS học chương trình nâng cao sử dụng đồ thị để xác định hình
phẳng hay xét tính liên tục của hàm số trên đoạn [–2; 1] đã giúp các em giải đúng bài
toán trên. Tới đây, chúng tôi tự hỏi: Tại sao có sự khác biệt trong cách giải bài toán
trên giữa HS học chương trình chuẩn và HS học chương trình nâng cao? Do chênh lệch
trình độ HS? Hay là do lựa chọn của thể chế và của GV?

Là những người nghiên cứu didactic toán để phục vụ cho việc dạy học toán ở
trường THPT, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hoạt động dạy học của GV trong thực
tế. Do đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài Nghiên cứu thực hành của giáo viên
trong dạy học diện tích hình phẳng ở lớp 12.
Với đề tài đã chọn, chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát như sau:
© Diện tích hình phẳng được xác định như thế nào trong chương trình và SGK?
© Trong thực tế giảng dạy, GV làm thế nào để HS tính diện tích hình phẳng như
chương trình và SGK mong đợi?
2. Khung lý thuyết tham chiếu
Mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi là trả lời hai câu hỏi nêu trên. Để trả lời câu hỏi
thứ nhất, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng
tôi sử dụng các công cụ của lý thuyết nhân chủng học như: quan hệ thể chế và quan hệ
cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, tổ chức didactic và chuyển
hóa sư phạm, trong đó:
- Thể chế I: thể chế dạy học toán lớp 12 của Việt Nam.
- Đối tượng tri thức O: diện tích hình phẳng.


4

Với ngôn ngữ didactic, chúng tôi phát biểu lại hai câu hỏi xuất phát như sau:
i. Trong thể chế I, đối tượng O được triển khai ra sao? Có những tổ chức toán học
nào gắn với O?
ii. GV đã thiết lập những tổ chức didactic nào để tiến hành giảng dạy các tổ chức
toán học gắn với O? Có sự khác biệt nào giữa tổ chức toán học cần dạy và tổ
chức toán học được dạy trong lớp học?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu, chúng tôi tiến hành các phương pháp sau:
- Trước hết chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK. Chúng tôi sẽ phân
tích cả hai bộ sách Giải tích 12 và Giải tích 12 Nâng cao nhằm làm rõ mối quan hệ thể

chế với đối tượng diện tích hình phẳng. Các nghiên cứu này sẽ giúp chúng tôi tìm ra
các yếu tố để trả lời các câu hỏi đặt ra ở trên, đồng thời đưa ra các câu hỏi nghiên cứu
hay giả thuyết nghiên cứu.
- Sau khi phân tích chương trình và SGK, chúng tôi tiến hành quan sát lớp học.
Chúng tôi quan sát các tiết học diện tích hình phẳng ở hai lớp học (một lớp học chương
trình chuẩn và một lớp học chương trình nâng cao).
- Phần thực nghiệm sẽ giúp chúng tôi tìm ra các yếu tố để trả lời các câu hỏi nghiên
cứu cũng như kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu. Thực nghiệm sẽ được
tiến hành dưới hình thức phát phiếu điều tra. Đối tượng thực nghiệm là giáo viên dạy
toán lớp 12.
4. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chương 1. Quan hệ của thể chế với diện tích hình phẳng
Chương 2. Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học diện tích hình phẳng
Chương 3. Thực nghiệm
Kết luận
Phụ lục.


5

CHƯƠNG I. QUAN HỆ CỦA THỂ CHẾ VỚI DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Mục tiêu của chương này là nghiên cứu quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích
hình phẳng nhằm trả lời các câu hỏi:
© Diện tích hình phẳng được trình bày ra sao trong các SGK hiện hành?
© Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến diện tích hình phẳng? Những kiểu
nhiệm vụ nào chiếm ưu thế? Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, có những kĩ thuật nào
để giải quyết? Kĩ thuật nào được ưu tiên?
Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và các SGK hiện
hành. Tài liệu phân tích của chúng tôi gồm có: Chương trình giáo dục phổ thông môn

Toán (2006); Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán
(2008); các sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên Giải tích 12 và Giải tích 12
Nâng cao (mà chúng tôi lần lượt kí hiệu SGK-C, SBT-C, SGV-C, SGK-NC, SBT-NC,
SGV-NC để thuận tiện cho việc trình bày).
Ngoài ra, chúng tôi còn tham khảo luận văn Khái niệm diện tích trong dạy - học toán ở
trung học cơ sở (2008) của tác giả Trần Đức Thuận, luận văn Nghiên cứu didactic về
những khái niệm khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân (2002) và luận
án tiến sĩ La notion d’intégrale dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une
étude comparative entre la France et le Vietnam (2006) của tác giả Trần Lương Công
Khanh để kế thừa các kết quả nghiên cứu trước đó về diện tích hình phẳng.
1. Tổng hợp các kết quả nghiên cứu đã có về diện tích hình phẳng
1.1. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong lịch sử toán học
Theo Trần Đức Thuận (2008), khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính
diện tích, so sánh diện tích và bài toán cầu phương, trong đó, bài toán tính diện tích
được hình thành vì nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế từ thời cổ đại.


6

Theo Trần Lương Công Khanh (2002), trong lịch sử toán học, có rất nhiều nhà toán
học tìm cách tính diện tích của các hình phẳng cụ thể bằng nhiều phương pháp khác
nhau, trong đó phải kể đến phương pháp “vét cạn” của Archimède, phương pháp “phần
tử không thể phân chia được” của Cavalieri… Cuối cùng, Newton và Leibniz đã độc
lập đưa ra lời giải tổng quát của bài toán diện tích bằng ngôn ngữ tích phân.
Như vậy, có thể xem bài toán diện tích hình phẳng là bài toán xuất phát của khái
niệm tích phân. Ngược lại, từ khi ra đời, tích phân trở thành công cụ hiệu quả nhất để
tính diện tích của một hình phẳng bất kì.
1.2. Mối liên hệ giữa diện tích và tích phân trong dạy học toán ở Việt Nam
Theo Trần Lương Công Khanh (2006): “Mối liên hệ giữa diện tích, nguyên hàm và
tích phân ở Việt Nam là một chiều theo sơ đồ:

Nguyên hàm → Tích phân → Diện tích.
Điều này có nghĩa là nguyên hàm phục vụ cho tính tích phân và tích phân phục vụ
cho tính diện tích. Chiều ngược lại của các mũi tên không tồn tại trong phần bài tập
mặc dù phần bài học có trình bày tích phân phụ thuộc cận trên 2 và mối liên hệ giữa
diện tích biến thiên với nguyên hàm.
Ở Pháp, mối liên hệ giữa nguyên hàm và tích phân là hai chiều. Nguyên hàm giúp
tính tích phân và tích phân (phụ thuộc cận trên) cho phép tính nguyên hàm. Ngoài ra,
biểu diễn hình học của tích phân cho phép tính tích phân nhờ diện tích. Mối liên hệ này
không được thiết lập ở Việt Nam.” 3
1.3. Một số quy tắc của hợp đồng thể chế liên quan đến diện tích hình phẳng
Theo Trần Lương Công Khanh (2006): Ở thể chế Việt Nam, HS phải tôn trong
những quy tắc của hợp đồng didactic liên quan đến diện tích hình phẳng sau đây:
Quy tắc RI 1 : Vẽ các đường biểu diễn hình phẳng

2
3

Khái niệm tích phân phụ thuộc cận trên không được trình bày trong các SGK hiện hành.
Mục 1.2 và 1.3: bản dịch từ tiếng Pháp sang tiếng Việt do Trần Lương Công Khanh thực hiện.


7

Dựa vào biểu thức giải tích của các đường đã cho, HS vẽ trong cùng một hệ trục
tọa độ hình biểu diễn các đường giới hạn hình phẳng cần tính diện tích. Nếu y = f1 ( x )
và y = f2 ( x ) là phương trình hai đường giới hạn hình phẳng đang xét trên đoạn [a;b],
việc kiểm chứng bất đẳng thức ∀x ∈ [a; b], f1 ( x ) ≤ f2 ( x ) bằng hình vẽ là được phép.

Quy tắc RI 2 : Xác định các cận tích phân
Trong trường hợp giá trị của các cận tích phân không cho trước, HS phải tính

chúng bằng phương pháp đại số bằng cách xem chúng là hoành độ giao điểm của các
đường đang xét.
Quy tắc RI 3 : Xác định hình phẳng cần tính diện tích
- Hình phẳng cần tính diện tích là miền giới nội lớn nhất (không nhất thiết liên
thông) có biên khép kín và được hợp thành chỉ từ các đường giới hạn hình phẳng.
- Không có phần nào của các đường giới hạn hình phẳng lại nằm ở miền trong của
hình phẳng.
2. Phân tích chương trình
Nghiên cứu chương trình lớp 12, chúng tôi nhận thấy đối tượng diện tích hình
phẳng xuất hiện ở chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng. Nội dung chương
này gồm có 3 chủ đề: Nguyên hàm; Tích phân và Ứng dụng hình học của tích phân.
Đối với chủ đề tích phân, mức độ cần đạt bao gồm:
+ Về kiến thức:
- Biết khái niệm diện tích hình thang cong.
- Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Newton-Leibniz.
- Biết các tính chất của tích phân.
+ Về kĩ năng:
- Tính được tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa
hoặc phương pháp tích phân từng phần.


8

- Sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân.
Đối với chủ đề Ứng dụng hình học của tích phân, mức độ cần đạt bao gồm:
+ Về kiến thức: Biết các công thức tính diện tích, thể tích nhờ tích phân.
+ Về kĩ năng: Tính được diện tích một số hình phẳng, thể tích một số vật thể tròn
xoay nhờ tích phân.
3. Phân tích sách giáo khoa
3.1. Cấu trúc chương III. Nguyên hàm - Tích phân và Ứng dụng trong các sách

giáo khoa hiện hành
Sách Giải tích 12

Sách Giải tích 12 - Nâng cao

§1. Nguyên hàm

§1. Nguyên hàm

§2. Tích phân

§2. Một số phương pháp tìm nguyên hàm

§3. Ứng dụng của tích phân trong

§3. Tích phân

hình học

Bài đọc thêm: Tính gần đúng tích phân và khái

Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng

niệm tổng tích phân

giới hạn

§4. Một số phương pháp tính tích phân

Ôn tập chương III

§5. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình
phẳng
§6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Ôn tập chương III

3.2. Diện tích hình thang cong trong các sách giáo khoa hiện hành
Ở cả hai SGK, diện tích hình thang cong xuất hiện trong bài “Tích phân”.
3.2.1. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12
SGK-C định nghĩa hình thang cong như sau: “Cho hàm số y = f ( x) liên tục, không
đổi dấu trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành
và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (H. 47a).” ([3], 102)


9

Sau khi định nghĩa hình thang cong, SGK-C xét bài toán tính diện tích hình phẳng
D giới hạn bởi một đường cong kín bất kì. SGK-C giải thích: “Bằng cách kẻ các đường
thẳng song song với các trục tọa độ, ta chia D thành những hình thang cong nhỏ (H.
47b). Bài toán trên được đưa về tính diện tích của hình thang cong 4.” ([3], 102)
Tiếp theo, SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi
đường cong y = x 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1 , từ
đó suy ra công thức tính diện tích hình thang cong bất kì bằng công
cụ nguyên hàm: S=
(b) F (b) − F (a ) , trong đó F ( x ) là một nguyên
hàm của f ( x ).
Tới đây, SGK-C định nghĩa tích phân bằng công thức Newton-Leibniz.
Trong phần nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân, SGK-C đưa ra công thức
tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f ( x ) (với f ( x ) liên tục và
không âm trên đoạn [a;b]), trục Ox và hai đường thẳng=

x a=
, x b (H. 47a) bằng tích
b

phân: S = ∫ f ( x )dx (*).
a

3.2.2. Diện tích hình thang cong trong sách Giải tích 12 - Nâng cao
4

Nguyễn Thế Thạch (2008): “Một hình phẳng bất kì đều có thể chia thành một số hữu hạn hình thang cong. Do
đó, diện tích của hình phẳng này bằng tổng diện tích các hình thang cong.
Người ta chứng minh được rằng mọi hình phẳng bị chặn nằm trong mặt phẳng tọa độ Oxy có biên (chu vi) được
giới hạn bởi các đường cong thuộc các dạng sau:
© y = f ( x) , f ( x) liên tục trên đoạn [a; b]
© x = g ( y ) , g ( y ) liên tục trên đoạn [c; d]

 x = ϕ (t )
2
2
© 
, trong đó ϕ , ψ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [α; β] và [ϕ’] + [ψ ’] ≠ 0, t ∈ [α; β]
y
ψ
(
t
)
=

đều có diện tích (khả phương).” ([7], 48)

10

SGK-NC cũng mở đầu bài “Tích phân” bằng cách đưa ra định nghĩa hình thang
cong: “Cho hàm số y = f ( x) liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn
[a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành
và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong (phần
tô đậm trong hình 3.1)”. ([5], 146)
Tiếp theo, SGK-NC đặt ra bài toán 1: chứng minh diện tích S
của hình thang cong được tính theo công thức=
S F (b) − F (a ) , trong đó F là một
nguyên hàm bất kì của f trên đoạn [a;b].
Sau khi chứng minh bài toán 1, SGK-NC định nghĩa khái niệm tích phân bằng công
thức Newton-Leibniz. Sau đó, SGK-NC phát biểu lại bài toán 1 thành định lí 1. Định lí
này tương ứng với nhận xét b) Ý nghĩa hình học của tích phân trong SGK-C.
3.2.3. Nhận xét
Như vậy, cả hai SGK đều sử dụng bài toán tính diện tích hình thang cong để trình
bày khái niệm tích phân. Và ngược lại, cả hai SGK đều cung cấp công thức (*) cho
phép sử dụng tích phân để tính diện tích hình thang cong bất kì.
Theo chúng tôi, cả hai SGK đều trình bày phần này khá hợp lí, mối liên hệ giữa
diện tích và tích phân được triển khai đúng theo trình tự trong lịch sử toán học.
3.3. Diện tích hình phẳng trong các sách giáo khoa hiện hành
Diện tích hình phẳng được trình bày ở bài §3. “Ứng dụng của tích phân trong hình
học” trong SGK-C. Bài này trình bày hai ứng dụng hình học chủ yếu của tích phân:
tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể tròn xoay. Còn trong SGK-NC, diện
tích hình phẳng xuất hiện ở bài §5. “Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”.
3.3.1. Diện tích hình phẳng trong sách Giải tích 12
Trong bài “§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học”, diện tích hình phẳng được
SGK-C trình bày ở phần I - Tính diện tích hình phẳng. Phần này, SGK-C không định

nghĩa hình phẳng nói chung mà chỉ xét hai loại hình phẳng (tương ứng với hai đề mục):


11

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Theo SGV-C, “cách phân loại này chỉ dễ nhớ chứ chưa đầy đủ” ([4], 138). Hơn nữa, có
thể coi hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành là trường hợp đặc biệt
của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Đối với mỗi loại hình phẳng, SGK-C cũng không định nghĩa mà chỉ gọi tên để tiện
xây dựng công thức tính diện tích. SGK-C xây dựng công thức tính diện tích hai loại
hình phẳng kể trên theo trình tự:
b

- Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong: S = ∫ f ( x )dx .
a

- Suy ra công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng=
x a=
,x b
trong trường hợp f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈[a; b]: S=

b

∫ (− f ( x ))dx
a

- Tổng quát thành công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong

b

và trục hoành: S = ∫ f ( x ) dx.
a

- Sử dụng công thức tính diện tích hình thang cong để suy ra công
thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số

f1 ( x ),

f2 ( x ) liên tục và hai đường thẳng x = a,

f1 ( x ) ≥ f2 ( x ) ≥ 0 ∀x ∈[a;=
b] : S

x = b khi

b

∫ ( f ( x ) − f ( x ) ) dx
1

2

(3).

a

- Tổng quát thành công thức tính diện tích phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

=
S

b

∫
a

f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (4)


12

Tiếp đó, SGK-C đưa ra chú ý: “Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt
đối của hàm số dưới dấu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) =
0
trên đoạn [a;b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d ). Khi đó, f1 ( x) − f 2 ( x)
không đổi dấu trên các đoạn [a;c], [c;d], [d;b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn
c

[a;c], ta có

∫
a

c

f1 ( x ) − f2 ( x ) dx =∫ [f1 ( x ) − f2 ( x )]dx ” ([3], 115-116)
a

Chú ý này được xem như yếu tố công nghệ để giải thích cho một kĩ thuật xử lí tích
phân chứa giá trị tuyệt đối trong công thức (4) (mà chúng tôi tạm gọi là kĩ thuật “đưa
dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”). SGV-C nhận định: “Kết quả này giúp cho
việc tính diện tích hình phẳng theo công thức (4) SGK-C có thể bỏ qua việc xét dấu
của f1 ( x) − f 2 ( x) ≠ 0 trên đoạn [a;b], có thể bỏ qua cả việc vẽ hình của hình phẳng này.”
([7], 140)
3.3.2. Diện tích hình phẳng trong các sách Giải tích 12 - Nâng cao
SGK-NC cũng không đưa ra định nghĩa hình phẳng nói chung. Mặc dù không phân
loại hình phẳng, SGK-NC giới thiệu công thức tính diện tích của hai loại hình phẳng:
- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a;b], trục
hoành và hai đường thẳng=
x a=
, x b.
- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm
số y f=
=
( x ) , y g ( x ) liên tục trên
đoạn [a;b] và hai đường thẳng=
x a=
, x b 5.
Về công thức tính diện tích, trước hết SGK-NC nhắc lại định lí 1 §3 và áp dụng
công thức (*) để tính diện tích hình elip (hình phẳng giới hạn bởi elip

x2 y2
+
=
1,
a2 b2

a > b > 0). Từ đó, SGK-NC tổng quát thành công thức tính diện tích hình phẳng giới

5

Chúng tôi nhận thấy SGK-NC dùng khái niệm “đồ thị hàm số” để gọi tên hình phẳng, trong khi SGK-C lại
dùng khái niệm “đường cong”. Thật ra, “đường cong” mà SGK-C nói đến cũng chính là “đồ thị hàm số”. SGKNC thì phân biệt rất rõ ràng giữa “đồ thị hàm số” và “đường cong”. Do đó, để thuận tiện cho việc trình bày, từ
đây về sau chúng tôi gọi tên hình phẳng theo SGK-NC.


13

hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng
b

=
x a=
, x b : S = ∫ f ( x ) dx (1)
a

Tiếp theo, SGK-NC cung cấp thẳng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn

=
bởi đồ thị của hai hàm
số y f=
( x ) , y g ( x ) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường
thẳng
=
x a=
,x =
b: S

b

∫

f ( x ) − g( x ) dx (2).

a

Tới đây, SGK-NC đưa ra chú ý: “Tương tự (bằng cách coi x là hàm của biến y),
diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong
=
x g=
( y ), x h( y ) ( g, h là
hai hàm liên tục trên đoạn [c;d]) và hai đường thẳng

y = c,

y=d

là:

d

=
S

∫ g ( y) − h( y)dy (3)” ([5], 167).
c

Chú ý này được xem như yếu tố công nghệ để giải thích cho một kĩ thuật khác để
tính diện tích hình phẳng (mà chúng tôi tạm gọi là kĩ thuật “tính theo biến y”). Kĩ thuật

này rất thích hợp để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
3.3.3. Nhận xét
Cả hai SGK đều không đưa ra định nghĩa hình phẳng cũng như quy tắc xác định
hình phẳng nói chung mà chỉ tập trung xây dựng công thức tính diện tích của hai loại
hình phẳng: hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành; hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị của hai hàm số. Với lượng lí thuyết ít ỏi như vậy, chúng tôi tự hỏi: Liệu có
phải cả hai SGK đều thiên về thực hành sử dụng tích phân để giải quyết các bài toán
diện tích hình phẳng hay không?
Chú ý trang 115-116 SGK-C được xem như một yếu tố công nghệ giải thích cho kĩ
thuật “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân”. SGK-NC không có nội dung này.
Trong khi đó, SGV-NC viết: “Để khử dấu giá trị tuyệt đối, ta giải phương trình

f ( x) − g ( x) =
0 trên [a;b]. Giả sử phương trình có các nghiệm x1 , x2 ,…, xn với


14

a= x0 ≤ x1 < x2 < … < xn ≤ xn +=
b. Khi đó f ( x) − g ( x) không đổi dấu trên mỗi đoạn
1
[ xn ; xn +1 ]. Trên mỗi đoạn, ta có

xi +1

∫

f ( x) − g ( x)dx =

xi

Vậy
=
S (H )

n

xi +1

i =0

xi

xi +1

∫ [f ( x) − g ( x)]dx .
xi

∑ ∫ [f ( x) − g ( x)]dx . ” ([6], 206)

Ngược lại, chú ý trang 167 SGK-NC được xem như một yếu tố công nghệ giải thích
cho kĩ thuật “tính theo biến y”. SGK-C không có nội dung này nhưng SGV-C có viết:
“Do vai trò của các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn phương trình các đường
giới hạn hình phẳng bởi các hàm số của biến y và công thức tích phân để tính diện tích
tương ứng cũng theo biến y” ([4], 140). Nguyễn Thế Thạch (2008) cũng chú ý: “Khi
tính diện tích hình phẳng, ta có thể đổi vai trò của x cho y, trong một số trường hợp sẽ
giảm bớt số tích phân phải tính (tránh được chia miền diện tích)” ([7], 50).
Việc các yếu tố công nghệ chỉ được giới thiệu trong các SGV khiến chúng tôi tự
hỏi: Liệu GV có giảng dạy nó cho HS?
3.3.4. Diện tích hình phẳng trong các bài đọc thêm

Ngay sau bài “§3. Ứng dụng của tích phân trong hình học”, SGK-C có bài đọc thêm
“Tính diện tích bằng giới hạn”. Ngay từ tựa đề, ta có thể thấy một trong những mục
đích của bài đọc thêm này là cung cấp cho học sinh một kĩ thuật khác nữa để tính diện
tích hình thang cong:
n

“Xét lim ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) khi m ax( xi − xi −1 ) → 0
1≤i ≤ n

i =1

(2)

Người ta chứng minh được rằng nếu f ( x) liên tục trên đoạn [a ;b] thì giới hạn (2)
tồn tại không phụ thuộc cách chia đoạn [a ;b] và cách lấy điểm ξi ∈ [xi − xi −1 ],
i = 1, 2,..., n. Ta coi giới hạn ấy là diện tích của hình thang cong đã cho.
n

Vậy S lim ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) khi m ax( xi − xi −1 ) → 0 (3)” ([3], 123-124)
=
i =1

1≤i ≤ n


15

Ngay sau đó, SGK-C trình bày các ví dụ 1 và ví dụ 2 nhằm minh họa cho cách sử
dụng kĩ thuật “dùng giới hạn” này.
SGK-NC giới thiệu bài đọc thêm “Tính gần đúng tích phân và khái niệm tổng tích

phân” để cung cấp kiến thức chứ không đưa ra một kiểu nhiệm vụ cụ thể nào.
4. Các tổ chức toán học gắn liền với diện tích hình phẳng
Trong phần này, chúng tôi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào các SGK và
SBT. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ ra sự hiện diện của các tổ chức toán
học gắn liền với diện tích hình phẳng.
4.1. Các tổ chức toán học trong SGK-C và SBT-C
4.1.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị của hai hàm số 6
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và
hai đường thẳng x =
−1, x =
2. 7
Giải. Ta có x 3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0] và x 3 ≥ 0 trên đoạn [0;2].
Áp dụng công thức (3), ta có:
2
0
2
x 4 0 x 4 2 17
3
3
3
S=
x
x
x
x
x
x
d
(

)d
d
=
−
+
=
−
+
=
∫−1
∫−1
∫0
4 −1 4 0 4

(VD1 SGK-C/115)

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong =
y x3 − x và

y= x − x 2 .
Giải. Ta có f1 ( x ) − f2 ( x ) = ( x 3 − x ) − ( x − x 2 ) = x 3 + x 2 − 2 x
Phương trình f1 ( x) − f 2 ( x) =
0 có ba nghiệm x1 =
−2, x2 =
0, x3 =
1.
SGK-C gọi là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Chúng tôi đặt tên T1 như vậy để phân biệt với T7: Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trong SGK-NC.
7
Chúng tôi gộp kiểu nhiệm vụ T0: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ), trục hoành và

6

hai đường thẳng=
x a=
, x b vào T1 vì hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành là một trường
hợp đặc biệt của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Hơn nữa, ngoài ví dụ này, SGK-C không còn nhiệm vụ
nào thuộc T0 nữa.


16

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

S=

1

∫x

3

+ x − 2 x dx=
2

−2

0

∫x

−2

 x 4 x3

= + − x 2 
3
 4


0

−2

3

1

+ x − 2 x d x + ∫ x 3 + x 2 − 2 x dx
2

0

 x 4 x3

+  + − x2 
3
 4


1

0

8 5 37
= +
= (VD3 SGK-C/116)
3 12 12

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường =
y x 2 − 2 x và y = x.
Giải.Tìm hoành độ các giao điểm của hai đường, ta có

x 2 − 2 x = x ⇒ x = 0 và x = 3, (H.68).
Vậy diện tích S của hình phẳng bằng

3
x3  3 9
(VD1, SBT-C/156)
S = ∫ ( x − x + 2 x)dx =  x −  =
3 0 2
2
0
3

2

Kĩ thuật τ 1 :
- Giải phương trình hoành độ giao điểm f1 ( x ) − f2 ( x ) =
0 để tìm a, b (nếu cần).
- Áp dụng công thức (4):

=
S

b

∫

f1 ( x ) − f2 ( x ) dx

a

- Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S.
Có 3 kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ con “Tính tích phân chứa giá trị tuyệt đối S”:
© α -“xét dấu”
+ Giải phương trình f1 ( x ) − f2 ( x ) =
0 trên đoạn [a; b] để tìm các nghiệm xi
( i = 1...n ), xi ≠ a, xi ≠ b .
+ Lập bảng xét dấu trên đoạn [a;b] 8.
+ Tính S
=

n

∑ sgn( f (
i=0

8

x

xi + xi +1 i+1
)) ∫ ( f1 ( x ) − f2 ( x ) ) dx trong đó:
2
xi

Bảng xét dấu chia đoạn [a;b] thành những đoạn [a; x1 ],[x1 ; x2 ],...,[xn ; b] sao cho f1 ( x) − f 2 ( x) chỉ mang dấu +
hoặc – trên mỗi khoảng đó. Qui ước:=
a x=
xn +1 .
0,b


17

sgn( f (

xi + xi +1
 1
)) = 
2
−1

nếu f1 ( x ) − f2 ( x ) > 0 ∀x ∈ ( xi ; xi +1 )
nếu f1 ( x ) − f2 ( x ) < 0 ∀x ∈ ( xi ; xi +1 )

© β -“đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngồi tích phân”
+ Giải phương trình f1 ( x ) − f2 ( x ) =
0 trên đoạn [a; b] để tìm các nghiệm xi
( i = 1...n ).
+ Tính S

=

n −1 xi+1

∑ ∫ ( f ( x ) − f ( x )) dx
i=0

1

2

xi

© γ -“dùng đồ thị”
+ Vẽ đồ thị các hàm=
số y f=
( x ), y f2 ( x ) , các đường thẳng=
x a=
, x b và xác
1
định hình phẳng cần tính diện tích.

0 trên đoạn [a; b] để tìm hồnh độ xi
+ Giải phương trình f1 ( x ) − f2 ( x ) =
( i = 1...n ) của các giao điểm của hai đồ thị.
x

i +1
x +x
+ Tính S ∑ sgn( f ( i i +1 )) ∫ ( f1 ( x ) − f2 ( x ) ) dx trong đó:

=
2
i=0
xi

n −1

sgn( f (

xi + xi +1
 1
)) = 
2
−1

nếu

f1 ( x ) nằm trên f2 ( x ) trên ( xi ; xi +1 )

nếu f1 ( x ) nằm dưới f2 ( x ) trên ( xi ; xi +1 )

Từ đây, ta chấp nhận có 3 “kĩ thuật” giải quyết T 1 là τ 1α , τ 1β và τ 1γ mà ta gọi tên
lần lượt là “xét dấu”, “đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngồi tích phân” và “dùng đồ thị”.
Yếu tố cơng nghệ θ1 : Cơng thức (4) và Chú ý SGK-C trang 115-116, các định lí về
phép biến đổi tương đương, các kiến thức về xét dấu và đồ thị.
4.1.2. Tổ chức tốn học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 : Tính tỉ số diện tích của hai hình
phẳng

x2
Ví dụ. Parabol y =

chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính 2 2 thành hai
2
phần. Tính tỉ số diện tích của chúng. (Bài tập 2 SGK-C/121)


18

Hướng dẫn.


9π − 2
S
x2 
2
Tính =
8π − S1. Vậy 2 =
. (SGV-C/141)
S1 2 ∫  8 − x − dx và S=
2
S1 3π + 2
2
0
2

Kĩ thuật τ 2 :
- Sử dụng kĩ thuật τ 1 hoặc các công thức tính diện tích của hình học tổng hợp để
tính diện tích của S1 , S 2
- Lập tỉ số

S1

S
hay 2 .
S2
S1

Yếu tố công nghệ θ 2 : Công thức (4) SGK-C trang 115-116, các định lí về phép biến
đổi tương đương và các công thức tính diện tích của hình học tổng hợp.
4.1.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: Tính diện tích đa giác
Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x + y =
1, x + y =
−1,

x− y =
1, x − y =
−1. (Bài tập 3.19c SBT-C/158)
1

Đáp số. 3.19. c) 2 ; HD =
: S 4 ∫ (1 − x)dx.

(SBT-C/169)

0

Kĩ thuật τ 3 :
- Sử dụng các tính chất của hình học tổng hợp để chia đa giác thành các tam giác
hoặc các hình thang (xem như trường hợp đặc biệt của hình thang cong).
- Sử dụng kĩ thuật τ 1 để tính diện tích của các hình đó.
Yếu tố công nghệ θ3 : Công thức (4) SGK-C trang 115-116, các định lí về phép biến
đổi tương đương, các tính chất và các công thức tính diện tích của hình học tổng hợp.

4.1.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : So sánh diện tích của hai hình
phẳng
Ví dụ. Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau, cặp nào có diện
tích bằng nhau?


19

a) { y =
x + sin x, y =
x với 0 ≤ x ≤ π } và { y =
x + sin x, y =
x với π ≤ x ≤ 2π }
b) { y sin
và { y cos
=
=
x, y 0 với 0 ≤ x ≤ π }=
=
x, y 0 với 0 ≤ x ≤ π }
c) { y =
2x − x2 , y =
x } và { y =−
2x x2 , y =
2− x}
d) =
{ y log x=
, y 0,=
x 10 } và {=
y 10 x =

, x 0,=
y 10 }
e)=
{y

=
x , y x 2 } và { y =
1 − x2 , y =
1 − x } (Bài tập 3.24 SBT-C/159)

Lời giải - Hướng dẫn - Đáp số
3.24. a), b), c), d) : Đúng ; e) : Sai.

(SBT-C/170)

Kĩ thuật τ 4 :
- Sử dụng kĩ thuật τ 1 để tính diện tích của mỗi hình phẳng.
- So sánh diện tích.
Yếu tố công nghệ θ 4 : Công thức (4) SGK-C trang 115-116, các định lí về phép biến
đổi tương đương.
4.1.5. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : Tính diện tích hình thang cong
bằng giới hạn
Ví dụ. Một hình phẳng giới hạn bởi=
y e − x=
, y 0,=
x 0 và
x = 1 . Ta chia đoạn [0;1] thành n phần bằng nhau tạo thành một

hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình 72)
a) Tính diện tích S n của hình bậc thang (tổng diện tích của n

hình chữ nhật con)
b) Tìm lim S n và so sánh với cách tính diện tích bằng công thức tích phân. (Bài tập
n →∞

3.23 SBT-C/159)

Hướng dẫn. Theo hình 72, ta có

1
1 − e −1 )
2
1
n
−1
(
−
− 
− 1− e
1  − 1n
1
n
n
n
a) =
=
Sn
e n
e + e + ... + e =

1

1
−
n
 n
n
1− e
en −1