phép đối xứng trục trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Duy Linh

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG DẠY
HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Duy Linh

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG DẠY
HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :
 TS. Đoàn Hữu Hải, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và
góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn.
 PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh ,
PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Vũ Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã tận tình
giảng dạy, giải đáp thắc mắc cho chúng tôi trong những ngày đầu làm quen với Didactic
toán.
Tôi xin chân thành cám ơn :
 Các anh chị và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 22 đã chia
sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập.
 Ba mẹ và các anh chị trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về mọi
mặt.

Huỳnh Duy Linh

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................ 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
1. Ghi nhận ban đầu và lý do chọn đề tài ......................................................................... 4
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu .............................................. 4
3. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 5
4. Cấu trúc của luận văn .................................................................................................... 5

CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC . 6

1.1. Phân tích chương trình................................................................................................ 6
1.1.1. Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2006 – 2010
........................................................................................................................................... 7
1.1.2. Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2011 đến
nay ..................................................................................................................................... 9
1.2. Phân tích sách giáo khoa ........................................................................................... 11
1.2.1. Phân tích SGK giai đoạn 2011 đến nay ................................................................ 11
1.2.2. Phép đối xứng trục trong hình học 11 giai đoạn 2006 – 2010 .............................. 31

CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 43
2.1. Thực nghiệm 1 ............................................................................................................ 43
2.1.1. Mục đích khảo sát ................................................................................................. 43
2.1.2. Đối tượng khảo sát và hình thức khảo sát ............................................................. 43
2.1.3. Các câu hỏi trên phiếu khảo sát ............................................................................. 44
2.1.4. Phân tích các câu hỏi khảo sát ............................................................................... 46
2.1.5. Kết quả khảo sát .................................................................................................... 47
2.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................................ 49
2.2.1. Mục đích thực nghiệm........................................................................................... 49
2.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................... 49
2.2.3. Các câu hỏi thực nghiệm ....................................................................................... 50
2.2.4. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ................................... 51
2.2.5. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ............................. 56

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 71

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Tên đầy đủ

Chữ
viết tắt
ĐXT

Đối xứng trục

KNV

Kiểu nhiệm vụ

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

THCS

Trung học cơ sở

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

3


MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và lý do chọn đề tài
Nội dung phép biến hình được giảng dạy ở hầu hết các nước trên thế giới: Pháp, Nga,
Nhật Bản,…trong đó có Việt Nam. Nếu phép biến hình là nghiên cứu hình học trong sự vận
động thì nội dung giảng dạy phép biến hình cũng vận động, thay đổi như chính nó qua từng
thời kỳ đổi mới, cải cách giáo dục ở Việt Nam. Gần đây là sự chuyển dời nội dung dạy học
phép biến hình ở cuối chương trình hình học 10 (chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000)
sang đầu chương trình hình học 11 (chương trình hiện hành) với nhiều sự thay đổi về nội
dung. Mà sự biến đổi gần đây nhất chính là việc loại bỏ phép đối xứng ( gồm phép ĐXT và
phép đối xứng tâm) trong chương trình hình học 11 ban cơ bản với mục đích giảm tải
chương trình. Như vậy kiến thức về “phép đối xứng” của HS chỉ dừng lại ở lớp 8 ( không
được trình bày dưới dạng một phép biến hình). Tuy nhiên, ở một số nội dung liên quan vẫn
phải sử dụng đến kiến thức của phép đối xứng mà đơn cử như là phép dời hình, phép đồng
dạng. Ở đây chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp của phép ĐXT.
Từ những thực tế đó đã đặt ra vấn đề: Khi bỏ phép ĐXT thì điều đó ảnh hưởng như thế
nào đến kiến thức của HS về phép ĐXT nói riêng và các khái niệm khái quát hơn: phép dời

hình, phép biến hình nói chung?
Để làm rõ vấn đề trên chúng tôi sẽ tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:
Q’1: Khi bỏ phép ĐXT trong hình học 11 CB, những KNV liên quan đến phép ĐXT có
tồn tại không? Nếu có HS sẽ giải quyết như thế nào?
Q’2: Khi bỏ phép ĐXT, có thể có những ảnh hưởng gì đến việc dạy học phép biến hình,
phép dời hình?
Đó cũng là lý do dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu đề tài : Phép đối xứng trục trong dạy
học toán ở trường phổ thông.

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích của luận văn là đi tìm các câu trả lời cho những câu hỏi trên.
Để đạt được mục đích trên chúng tôi sẽ tìm câu trả lời các câu hỏi đã nêu bằng ánh sáng
của lý thuyết nhân chủng học và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: Mối quan hệ thể chế với phép ĐXT đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể
chế dạy học toán ở trường phổ thông?
4


Q2: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ
cá nhân HS và GV với phép ĐXT?
Q3: Những ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đối với ĐXT đến việc dạy học các khái
niệm phép dời hình và phép đồng dạng?

3. Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho cả 3 câu hỏi trên chúng tôi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế với
phép ĐXT thông qua việc phân tích chương trình, phân tích SGK hình học 8, 10, 11. Khi
phân tích chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra vai trò và mục tiêu của phép ĐXT trong chương trình
toán phổ thông ở Việt Nam. Bên cạnh đó chúng tôi cũng tìm mối quan hệ của phép ĐXT
với một phép biến hình khác để làm rõ sự tác động của việc loại bỏ phép ĐXT ra khỏi
chương trình. Từ những phân tích đó giúp chúng tôi hình thành giả thuyết nghiên cứu.

Cuối cùng chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm ở HS để hợp thức hóa những giả thuyết
nghiên cứu trên.
Giới hạn phạm vi nghiên cứu: vì mục đích của luận văn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu 2
cấp học: THCS và THPT.

4. Cấu trúc của luận văn
Từ việc lựa chọn phương pháp nghiên cứu đã nêu trên nên cấu trúc của luận văn như
sau:
Luận văn gồm 3 phần
Phần I: Phần mở đầu
Phần II: 2 chương
Phần III : Phần kết luận
Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu,
câu hỏi ban đầu, lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
Phần II sẽ có 2 chương:
Chương I: Mối quan hệ thể chế đối với phép đối xứng trục.
Chương II: Nghiên cứu thực nghiệm
Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở các chương.

5


CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP ĐỐI
XỨNG TRỤC
 Mục tiêu của chương
Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :
Mối quan hệ thể chế với phép ĐXT đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế
dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái
niệm này?
 Để đạt được mục tiêu trên chúng tôi sẽ tiến hành phân tích chương trình và SGK toán

hiện hành các lớp 8, 10, 11 mà trọng tâm là ở hai khối lớp : lớp 8 bậc THCS và lớp 11 bậc
THPT. Vì mục tiêu của luận văn nên chúng tôi chỉ phân tích chương trình lớp 11 ban cơ
bản.
Sau đây là nội dung phân tích của chúng tôi :

1.1. Phân tích chương trình
Việc dạy - học phép ĐXT nói riêng và phép biến hình nói chung có thể được chia ra
nhiều cấp độ khác nhau tùy theo mục đích giảng dạy. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng
4 cấp độ hiểu phép biến hình theo cách phân loại của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu trong
Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học phổ thông, 2008 làm tham chiếu:
“Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ về hình dáng giữa 2 hình hoặc giữa 2
phần của 1 hình ( đặc trưng hàm hoàn toàn vắng mặt).
Cấp độ 2 : Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không
gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập
hợp điểm.
Cấp độ 3 : Phép biến hình được xem như một công cụ giải toán hình học.
Cấp độ 4 : Phép biến hình được xem là phần tử của một nhóm và được dùng để phân loại
các lý thuyết hình học. ”
Để tránh bị nhầm lẫn chúng tôi sử dụng thuật ngữ “ĐXT” khi phép ĐXT không mang
đặc trưng hàm và “phép ĐXT” khi phép ĐXT mang đặc trưng hàm.

6


1.1.1. Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2006 –
2010

Như chúng ta đã biết, phép ĐXT là một bộ phận của phép dời hình, phép biến
hình. Do đó việc nghiên cứu phép ĐXT được chúng tôi đặt trong các mối liên hệ này.
Sau đây là sơ đồ mô tả tiến trình xây dựng phép biến hình nói chung và phép ĐXT

nói riêng :

Sơ đồ 1.1
Khái niệm ĐXT ( chưa phải là phép ĐXT) được đưa vào giảng dạy ở chương I phần
hình học có tên “Tứ giác” trong chương trình hình học 8 . Cụ thể là bài 6 : “đối xứng trục”,
các bài trước đó HS đã được học các kiến thức về : tứ giác, hình thang, hình thang cân,….
Tuy nhiên “SGK không xây dựng ĐXT như một phép biến hình mà chỉ xét hai hình đối
xứng với nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng. Khái niệm hai hình đối xứng
với nhau qua một đường thẳng được xây dựng trên cơ sở hai điểm đối xứng nhau qua một
đường thẳng.” [SGV toán 8 tập 1, tr.117]. Do đó SGK sử dụng thuật ngữ “ ĐXT” thay vì
“ phép ĐXT”. Mục tiêu của bài này là :
“ Hiểu định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng. Nhận biết hai đoạn
thẳng đối xứng nhau qua một đường thẳng. Nhận biết được hình thang cân là hình có trục
đối xứng.
7


Biết vẽ điểm đối xứng với một điểm cho trước, đoạn thẳng đối xứng với một đoạn thẳng
cho trước qua một đường thẳng. Biết chứng minh hai điểm đối xứng với nhau qua một
đường thẳng.
Biết nhận ra một số hình có trục đối xứng trong thực tế. Bước đầu biết áp dụng tính chất
ĐXT vào vẽ hình, gấp hình.” [SGV toán 8 tập 1, tr.118]
Qua những điều trên cho thấy rằng ĐXT trong hình học 8 đóng vai trò là tính chất
của một số hình đặc biệt ( ví dụ : hình thang cân, hình thoi,…là những hình có trục đối
xứng) và là kiến thức chuẩn bị cho việc học phép biến hình ở bậc THPT, ĐXT chưa được
xem xét là một phép biến hình. ĐXT ở THCS là một phần của hình học tổng hợp, là công cụ
để giải quyết một số bài toán hình học tổng hợp.
Đến lớp 10, HS gặp lại ĐXT trong chương 2 : “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”.
Khi đó ĐXT không được nhắc lại trong lý thuyết mà xuất hiện dưới dạng bài tập :

tìm tọa độ điểm đối xứng với một điểm cho trước qua đường thẳng, tìm tọa độ điểm sao
cho độ dài đường gấp khúc bé nhất,… Như vậy, cho đến thời điểm hiện tại thì phép ĐXT
vẫn chưa xuất hiện đặc trưng hàm, chỉ khác lớp 8 ở chỗ các KNV liên quan ĐXT được giải
quyết bằng “phương pháp tọa độ”, có vẻ như việc đưa ĐXT vào hình học 10 đóng vai trò
như một “bước đệm” để giới thiệu phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng trong
chương trình hình học 10.
ĐXT chính thức được xây dựng thành một phép biến hình và trở thành phép ĐXT
trong chương I : “ Phép biến hình”, hình học 11. Cụ thể là bài 3 : “ Phép đối xứng trục”.
SGK giới thiệu phép biến hình (tổng quát), sau đó là giới thiệu các phép biến hình
cụ thể mà phép ĐXT là một phép biến hình cụ thể, được giới thiệu sau bài phép
tịnh tiến. Như vậy, đến thời điểm này thì phép ĐXT được xây dựng là một phép biến
hình, là một bộ phận của phép dời hình. Nói cách khác phép ĐXT được xây dựng ở đây là
một ánh xạ. Mặt khác vì phép ĐXT là một phép dời hình nên SGK xây dựng phép dời hình
(tổng quát) bằng cách giới thiệu 4 phép dời hình thường gặp (cách xây dựng biểu thị ở Sơ
đồ 1.1) sau đó tống quát hóa thành phép dời hình (tổng quát). Mục tiêu của bài này là :
“Nắm được định nghĩa phép ĐXT và hiểu phép ĐXT hoàn toàn được xác định khi biết
trục đối xứng.
8


Biết được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua các trục tọa độ. Vận dụng chúng để
xác định tọa độ ảnh của 1 điểm, phương trình đường thẳng là ảnh của 1 đường thẳng cho
trước qua phép đối xứng qua các trục tọa độ.
Biết cách tìm trục đối xứng của 1 hình và nhận biết được hình có trục đối xứng.”[
SGV HH 11, tr.31].
Đến đây đã có sự thay đổi thuật ngữ so với các lớp trước. Đó là SGK đã sử dụng “
phép ĐXT” thay vì “ ĐXT”, do đó SGK đã sử dụng thuật ngữ “biến…thành…”,
“ảnh”,…mà trước đây HS chưa được sử dụng. Bên cạnh đó, phép ĐXT trong chương trình
11 gắn liền với biểu thức tọa độ ( đối xứng qua các trục tọa độ), vận dụng chúng vào việc giải
toán – một trong những mục tiêu quan trọng của việc giảng dạy phép ĐXT. Đây cũng là

điểm khác biệt rất lớn so với “ĐXT” trong hình học 8 và lớp 10.
Mặt khác, “Phép ĐXT là một phép dời hình cơ bản. Người ta có thể chứng minh được
mọi phép dời hình đều có thể xem là hợp thành của một số hữu hạn các phép ĐXT.”[ SGV
HH 11 CB, tr.31]. Qua đó chúng ta thấy được mối liên hệ mật thiết của phép ĐXT và các
phép dời hình khác.
1.1.2. Phép đối xứng trục trong chương trình toán bậc phổ phông giai đoạn 2011
đến nay
Đây là giai đoạn phép ĐXT đã loại khỏi chương trình hình học lớp 11 nhằm mục đích giảm
tải nhưng không thay đổi SGK.

9


Sơ đồ mô tả tiến trình xây dựng phép biến hình nói chung và phép ĐXT nói riêng :

Sơ đồ 1.2
So sánh hai giai đoạn ( dựa vào quan sát sơ đồ 1.1 và 1.2) chúng tôi rút ra một số điều
sau:
• ĐXT ở lớp 8 và lớp 10 thì chương trình vẫn giữ nguyên cấu trúc so với giai đoạn
trước. Sự khác nhau nằm ở hình học lớp 11, cụ thể là trong chương trình hình học 11 phép
ĐXT (và phép đối xứng tâm) đã bị loại bỏ khỏi chương trình hình học 11, các nội dung
khác trong phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng,… vẫn giữ nguyên không thay
đổi.
• ĐXT ở lớp 8 và lớp 10 trong giai đoạn trước có 2 vai trò chính: thứ nhất là đóng vai
trò kiến thức chuẩn bị cho phép biến hình, thứ hai là đóng vai trò xây dựng phép ĐXT. Khi
bỏ phép ĐXT thì vai trò thứ 2 hiển nhiên cũng biến mất theo.
• Phép dời hình trong giai đoạn trước được tổng quát hóa từ 4 phép biến hình cơ bản:
phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay thì hiện nay chỉ được tổng quát từ
2 phép: tịnh tiến và quay, tương tự cho phép đồng dạng Trong khi đó yêu cầu của
BGD&ĐT khi giảm tải chương trình là : “ …Đảm bảo tính logic của mạch kiến thức và

tính thống nhất giữa các bộ môn, không thay đổi chương trình, SGK…”[ trích Hướng dẫn
thực hiện chương trình toán THPT]. Như vậy việc không thay đổi chương trình, SGK làm
10


cho phép ĐXT vẫn còn tồn tại trong 2 nội dung này vì cả 2 phép này một phần được xây
dựng nhờ phép ĐXT và phép ĐXT cũng là một bộ phận của chúng. Chúng tôi đặt ra câu
hỏi: Khi loại bỏ phép ĐXT ra khỏi thể chế dạy học đã tác động đến HS như thế nào khi tiếp
thu khái niệm phép dời hình, phép đồng dạng? Và mức độ tác động đó đến đâu? Những mục
tiêu của chương trình đặt ra cho phép dời hình, phép đồng dạng có đạt được không khi loại
bỏ phép ĐXT?
Để trả lời câu hỏi trên chúng tôi sẽ phân tích SGK hình học 8, 10 và 11 trong 2 giai
đoạn: trước và sau khi bỏ phép ĐXT. Sau đây là phần phân tích:

1.2. Phân tích sách giáo khoa
1.2.1. Phân tích SGK giai đoạn 2011 đến nay
1.2.1.1. Phép đối xứng trục trong sách giáo khoa hình học 8
 Về định nghĩa, tính chất
Bài Đối xứng trục bắt đầu với một vấn đề đặt ra cho HS. Vấn đề này khá quen thuộc vì
HS đã gặp ở cấp tiểu học

H

Vì sao có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt hình chữ H ? (h. 49)

Hình
Sau đó SGK xây dựng một hoạt động vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng từ đó đi
đến quy ước cách gọi tên trước khi nêu định nghĩa ĐXT :
Cho hình 50. Ta gọi A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng d. A là điểm đối xứng
của A’ qua đường thẳng d, hai điểm A, A’ đối xứng với nhau qua đường thẳng d.

Định nghĩa
A

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d
nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

B

d
H

Từ định nghĩa ta có thể thấy đặc trưng hàm hoàn toàn
vắng mặt, điều đó phù hợp với mục tiêu “kiến thức chuẩn

11

A'

Hình 50


bị” của các tác giả SGK. Với cách định nghĩa này, phép đối xứng gắn liền với mối liên hệ
giữa 2 hình hoặc 2 phần của 1 hình. Cũng chính vì lý do đó, điểm bất biến (điểm nằm trên
trục đối xứng) được nêu thành quy ước. SGV toán 8 lý giải điều này là “ để HS dễ tiếp thu”.
Quy ước: Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường thẳng
d cũng là điểm B.
Để giới thiệu hai hình đối xứng nhau qua một đường thẳng SGK cho HS một hoạt động
kiểm tra bằng thước kẻ nếu A đối xứng A’, B đối xứng B’ thì C thuộc đoạn AB đối xứng C’
thuộc A’B’. Ta có thể thấy tính chất biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
không được chứng minh mà dùng thước để kiểm nghiệm. Từ đó đi đến định nghĩa.

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối
xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.
Ở đây, các từ “phép biến hình”, “biến … thành …”, “ảnh” không được sử dụng vì HS
chưa được học khái niệm ánh xạ.
Tính chất bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ (mà chúng tôi gọi ngắn gọn là tính
bảo toàn khoảng cách) qua phép đối xứng cũng được SGK trình bày thông qua một nhận
xét: “Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng
bằng nhau”. SGK còn sử dụng 3 hình vẽ (hình 52, 53, 54 SGK toán 8 tr.85) để minh họa
cho nhận xét trên. Tuy nhiên nhận xét này đã không thể hiện được hết tính bảo toàn khoảng
cách mà chỉ nêu ra một số trường hợp cụ thể, không mang tính khái quát.
B

d

C
A

A'

A

d

B'

B

A'

C

C'

C'
B'
Hình 52

Hình 53

Những trình bày trên cho phép chúng tôi nhận xét: ĐXT được giảng dạy trong lớp 8 chỉ
mang tính giới thiệu, làm quen bước đầu. Tuy nhiên, các tính chất được giới thiệu đều được
thừa nhận mà không chứng minh. Lý giải cho điều này tác giả Lê Thị Hoài Châu nhận định:
12


“việc chứng minh tính chất đối xứng ở lớp 8 sử dụng phương pháp hình học tổng hợp cần
phải xét nhiều trường hợp do đó không phù hợp cho việc tiếp thu của HS”.
Cũng không nằm ngoài quan điểm đó, phần hình có trục đối xứng được trình bày
tương tự, mà tam giác cân là một ví dụ của hình có trục đối xứng. Trong đó trục đối xứng
của hình thang cân được phát biểu thành một định lý mà không chứng minh. SGK định
nghĩa như sau:
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc
hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H.
Trong trường hợp này ta nói rằng hình H có trục đối xứng.
Chúng tôi nhận thấy ĐXT đã được trình bày chủ yếu dựa trên hình ảnh minh họa,
việc trình bày phép ĐXT gắn chặt với trục đối xứng, hình tam giác cân và hình thang cân.
Cũng chính vì được trình bày thông qua hình ảnh minh họa nên chúng tôi dự đoán rằng HS
chịu ảnh hưởng rất lớn bởi những hình vẽ.
 Về các tổ chức toán học

Phân tích hệ thống ví dụ, bài tập trong Hình học 8, chúng tôi nhận thấy có các KNV sau:
KNV T1: Vẽ hình đối xứng với hình H đã cho qua trục đối xứng
Kĩ thuật 𝝉𝟏: Chọn các điểm đặc biệt A, B, C, ... trên hình H (thường là các đỉnh, đầu

mút của hình).

- Vẽ các điểm A’, B’, C’,… là các điểm đối xứng với A, B, C,… qua trục đối xứng.
- H’ là hình đối xứng của H qua trục đối xứng, với H’ là hình tạo bởi các điểm A’, B’,
C’,… sao cho H’ có hình dạng giống H.
Công nghệ 𝜽𝟏: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng, định nghĩa hai hình

đối xứng qua một đường thẳng, tính chất bảo toàn hình ban đầu.

13


Bài 35 [Hình học 8, tr87]
Vẽ hình đối xứng với hình đã cho qua trục d.
d

Hình 58
Nhận xét:
Đặc trưng của KNV T1: các hình được cho là các hình quen thuộc:hình vuông, đường
thẳng,…đặc biệt SGK thường cho những hình nằm trong lưới kẻ ô vuông, và các trục đối
xứng là trục nằm ngang hoặc thẳng đứng. HS chỉ cần lấy đối xứng các điểm đặc biệt sau đó
nối lại bằng những đoạn thẳng.
KNV T2: Tìm trục đối xứng của hình cho trước
Hình được cho là các chữ cái A, B, C,…các hình quen thuộc trong cuộc sống hàng
ngày: các biển báo giao thông, hình trái tim,… các hình này rất quen thuộc và HS dễ dàng
dự đoán được trục đối xứng, thông thường các trục này là trục nằm ngang hoặc thẳng đứng.

Kỹ thuật 𝝉𝟐: Quan sát hình vẽ, dự đoán trục đối xứng bằng cách tưởng tượng hoặc gấp

giấy theo trục đối xứng khi đó 2 phần của 1 hình sẽ trùng khích lên nhau.

Công nghệ 𝜽𝟐: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng, định nghĩa hai hình

đối xứng qua một đường thẳng.

14


Bài tập 68 [SBT toán 8, tr.87]: Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô
vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục

đối
xứng?

Nhận xét:
Đặc trưng của KNV T2: Các hình đã cho là những hình quen thuộc, dễ quan sát và nhận
thấy trục đối xứng và SGK cũng không đưa ra bất cứ kỹ thuật giải nào, theo chúng tôi nhận
thấy kỹ thuật giải ở đây chủ yếu là quan sát, sau đó có thể kiểm tra, đo đạt bằng thước kẻ.
KNV T3: Chứng minh sự bằng nhau của 2 hình
KNV T3 bao gồm: chứng minh hai góc bằng nhau, chứng minh bất đẳng thức hình học,
chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, tính số đo của góc,…nhờ
các tính chất của đối xứng trục.
Kĩ thuật 𝝉𝟑 : Tìm các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau,…nhờ tính bảo toàn

của ĐXT. Sau đó suy ra điều cần chứng minh.

Công nghệ- lý thuyết 𝜽𝟑: Định nghĩa đối xứng trục, tính chất bảo toàn khoảng cách của

ĐXT, các trường hợp bằng nhau của 2 tam giác.

15


Bài tập 61 [SBT toán 8, tr. 87]: Cho tam giác nhọn ABC có 𝐴̂= 60o, trực tâm

H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) Chứng minh △BHC = △BMC
�
b) Tính 𝐵𝑀𝐶

Lời giải mong đợi

a) M đối xứng với H qua BC
⟹ BC là đường trung trực của HM

⟹ BH = BM

Chứng minh tương tự, CH = CM

△BHC = △BMC (c.c.c)

b) Gọi D là giao điểm của BH và AC, E là
giao điểm của CH và AB.
Xét tứ giác ADHE :
� = 360𝑜 − 𝐷
� − 𝐸� − 𝐴̂
𝐷𝐼𝐸

Hình 74

= 360𝑜 − 90𝑜 − 90𝑜 − 60𝑜
= 120𝑜

� (đố𝑖 đỉ𝑛ℎ),
� = 𝐵𝐼𝐶
Ta lại có 𝐷𝐼𝐸
� = 𝐵𝑀𝐶
� (△BHC = △BMC)
𝐵𝐼𝐶

� = 𝐷𝐼𝐸
� = 120𝑜
Nên 𝐵𝑀𝐶
Nhận xét:

Các bài tập thuộc KNV này là KNV đặc trưng trong hình học 7, giờ đây một lần nữa
xuất hiện trong chương trình hình học 8 nhưng HS có thêm một công cụ, một cách chứng
minh khác. Tuy nhiên vì mục đích xây dựng của SGK nên ĐXT ở đây vẫn chỉ là công cụ
giải quyết các KNV của hình học tổng hợp mà chưa được nhìn nhận dưới góc độ của một
phép biến hình, một phép dời hình. Quan niệm hình là một tập hợp điểm vẫn chưa thấy
được rõ ràng.
KNV T4: Chứng minh hai hình đối xứng nhau qua đường thẳng d
KNV này ở lớp 8 chỉ dừng lại ở cấp độ: chứng minh hai điểm đối xứng nhau qua một
đường thẳng d.
16

Kỹ thuật 𝝉𝟒: Chứng minh d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm cần chứng

minh.

Công nghệ - lý thuyết 𝜽𝟒: Định nghĩa hai điểm đối xứng qua một đường thẳng.

Bài tập 64 [SBT toán 8, tr. 87]: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH.

Trên cạnhAB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh
rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH
Lời giải mong đợi
Vì △ABC cân tại A, AH là đường cao nên AH là

tia phân giác của góc A.

Do △AIK cân tại A, AH là tia phân giác của góc

A nên AH là đường trung trực của IK.
Vậy I đối xứng với K qua AH.

Hình 77

Bảng 1.1: Số lượng bài tập của các KNV trong SGK và SBT toán 8
KNV

SGK

SBT

T1

2

1

3

T2

4

1

5

T3

2

8

10

3

3

T4

Tổng

21
Từ những nghiên cứu trên chúng tôi rút ra những kết luận sau:
Nhận xét 1 : Từ cách trình bày của SGK và lời giải thích của SGV chúng tôi thấy rằng
ĐXT trong hình học 8 đóng vai trò là tính chất của một số hình đặc biệt ( các hình thang
cân, hình thoi,…là những hình có trục đối xứng) và là kiến thức chuẩn bị cho việc học phép
biến hình ở bậc THPT. Vì lý do đó nó không được trang bị đầy đủ các tính chất của một
17


phép dời hình, phép biến hình mà điển hình là tính bảo toàn. Bên cạnh đó ĐXT ở bậc THCS
là một phần của hình học tổng hợp, là công cụ để giải quyết một số bài toán hình học tổng
hợp.
Nhận xét 2 : Thông qua bảng liệt kê các KNV chúng tôi nhận thấy KNV T2 và T3 được đặc
biệt chú ý, mà chiếm ưu thế là KNV T3 – giải các bài toán hình học tổng hợp nhờ công cụ
ĐXT. Bên cạnh đó, KNV T2 – tìm trục đối xứng của một hình cũng xuất hiện nhiều, điều
đó phù hợp với mục tiêu của SGK : “Biết nhận ra một số hình có trục đối xứng trong thực
tế. Bước đầu biết áp dụng tính chất đối xứng vào vẽ hình, gấp hình”[ SGV toán 8 HK I,
tr.117]. Vì ĐXT chưa được xây dựng thành phép đồng dạng, phép biến hình, do đó kiến
thức được HS sử dụng chỉ nằm trong 2 phần : định nghĩa ĐXT và tính chất của ĐXT.
1.2.1.2. Phép đối xứng truc trong sách giáo khoa hình học 10
Như đã nói ở trên, SGK hình học 10 ( cả ban cơ bản và nâng cao) đều không đề cập
đến ĐXT trong lý thuyết nhưng chúng xuất hiện trong bài tập, chúng tôi cũng không tìm
thấy những chú thích trong sách GV liên quan đến phần này. Sau đây chúng tôi nêu ra một
số tổ chức toán học liên quan đến phép ĐXT trong hình học 10 cơ bản :
KNV T'1: Tìm điểm đối xứng với một điểm A cho trước qua đường thẳng d
Kỹ thuật 𝝉′𝟏:

• Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua điểm A đã cho và vuông góc trục đối

xứng (d).
• Tìm tọa độ giao điểm H của d và d’. Khi đó A’ là điểm đối xứng của A qua d khi và
chỉ khi H là trung điểm AA’.
• Áp dụng công thức tính trung điểm suy ra A’(2𝑥𝐻 − 𝑥𝐴 , 2𝑦𝐻 − 𝑦𝐴 ).

Công nghệ 𝜽′𝟏: Định nghĩa ĐXT, phương trình tổng quát của đường thẳng trong

mp Oxy, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, công thức tính tọa độ trung điểm.

18


Bài tập 4 [SGK HH 10CB, tr 93]:
Cho đường thẳng ∆: x – y + 2 = 0

và hai điểm O(0 ; 0), A( 2 ; 0). Tìm
điểm đối xứng của O qua ∆.

Lời giải mong đợi

Đường thẳng d đi qua O và vuông
góc với (∆) có phương trình : x + y =
0.
d cắt (∆) tại H(-1 ; 1).
Ta có: O’ là điểm đối xứng của O
qua (∆) ⟺ H là trung điểm của

Hình 3.14

đoạn OO’⟺O’(-2 ; 2).

Nhận xét:

KNV T’1 thực chất chính là một biến thể của KNV T1. Tuy nhiên, khác với chương
trình THCS, ở lớp 10 HS phải tự ngầm hiểu là tìm điểm đối xứng chính là tìm tọa độ điểm
đối xứng. Chúng tôi tự hỏi rằng việc ngầm hiểu này liệu có gây khó khăn nào cho HS hay
không? Thông qua kỹ thuật giải của SGK chúng tôi không thấy tồn tại kỹ thuật tìm điểm đối
xứng bằng cách biểu diễn đường thẳng d và điểm A rồi vẽ A’ đối xứng A qua d. Có thể nói
ĐXT trong KNV này ở lớp 10 không còn phụ thuộc vào hình vẽ như ở lớp 8, HS hoàn toàn
có thể giải quyết dựa vào định nghĩa của ĐXT từ đó vận dụng kiến thức của hình học tọa độ
trong mặt phẳng để tìm ra đáp án bài toán.
KNV T’3: Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho đường gấp khúc AMB ngắn nhất
với A, B là 2 điểm cho trước.
Kỹ thuật 𝝉′𝟑:

• Xác định A, B nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng d:
Tính d(A), d(B) (thay tọa độ A, B vào vế trái của phương trình đường thẳng d).
• Nếu d(A) và d(B) trái dấu thì A, B nằm khác phía đối với đường thẳng d
Suy ra AMB ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng AB và d ( A, M, B thẳng
hàng).
• Nếu d(A) và d(B) cùng dấu thì A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d.
19


Khi đó AMB ngắn nhất khi A’, M, B thẳng hàng với A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Công nghệ 𝜽′𝟑: Định nghĩa ĐXT, tính chất ĐXT, phương trình của đường thẳng

trong mp Oxy, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, công thức tính tọa độ trung điểm.
Ví dụ 2 [SBT hình học 10 CB, tr 129]
Cho đường thẳng (∆): x – y + 2 = 0 và 2 điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0).

a) Chứng tỏ rằng hai điểm A và O nằm về cùng phía đối với đường thẳng (∆)
b) Tìm điểm O’ đối xứng với O qua (∆)

c) Tìm điểm M nằm trên (∆)sao cho độ dài của đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất
Lời giải mong đợi
a) Ta có ∆(𝐴)=2 – 0 +2 = 4 > 0
∆(O) = 0 – 0 + 2 = 2 > 0

Vậy A và O nằm về cùng 1 phía đối với đường thẳng (∆)
b) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với ∆ tại H. Phương trình tham

x=t
số của d là : �y = −t

Vì H ∈ d nên tọa độ H có dạng (xH , −xH )

Mặt khác: H ∈ (∆) ⟹ xH − (−xH ) + 2 = 0 ⟹ xH = −1

Vậy H có tọa độ là (-1 ; 1).

Vì H là trung điểm của OO’ nên xO′ = 2xH = −2
Vậy O’(-2 ; 2)

yO′ = 2yH = 2

c) Ta có OM + MA = O’M + MA
Độ dài đoạn gấp khúc OMA ngắn nhất khi và chỉ khi O’, M, A thẳng hàng khi và
chỉ khi O’A cắt (∆) tại M.
Phương trình O’A là: x + 2y – 2 = 0
Tọa độ M(x; y) là nghiệm của hệ phương trình:

2
𝑥−𝑦+2=0
3
�
⟺�
𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0
4
𝑦=
3
𝑥=−

20


2

4

Vậy điểm M(− ; ) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
3

3

Nhận xét:
KNV này cũng đã xuất hiện ở lớp 8, nay xuất hiện lại ở hình học 10. Tuy nhiên sự thay
đổi lớn nhất là ngoài việc chỉ ra vị trí điểm M thì trong hình học lớp 10 ta phải tìm tọa độ
điểm M, mặc dù đề bài không đề cập đến nhưng cũng giống như KNV T5, HS phải ngầm
hiểu đề bài yêu cầu tìm tọa độ mà không phải đơn thuần chỉ ra vị trí điểm M. Sự khác biệt
tiếp theo là HS có thể không cần đến hình vẽ để tìm điểm M vì với kỹ thuật τ′3 đã nêu HS

hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán mà không cần vẽ hình.
Bảng 1.2: số lượng bài tập trong hình học 10
KNV

SGK

SBT

T’1

1

1

T’3

1

1

Nhận xét 3: ĐXT trong lớp 10 tuy rằng vẫn thuộc cấp độ 1 nhưng có những điểm đáng chú
ý so với chương trình lớp 8:
-

Xuất hiện những kỹ thuật mới để giải quyết những KNV liên quan đến ĐXT –

phương pháp tọa độ.
-

HS không cần phụ thuộc vào hình vẽ để giải quyết những KNV này.

1.2.1.3. Phép đối xứng trục trong hình học 11

Vì mục đích của luận văn nên chúng tôi chỉ tập trung phân tích 2 bài trong chương I –
Phép biến hình: Bài 6 – Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau và Bài 8 – Phép
đồng dạng.
 Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
 Về định nghĩa, tính chất
Cách hình thành khái niệm phép dời hình của SGK được chúng tôi biểu diễn bằng sơ đồ
1.3:
21


PHÉP TỊNH
TIẾN
• Bảo toàn khoảng
cách giữa hai
điểm bất kỳ

PHÉP QUAY
• Bảo toàn khoảng
cách giữa hai
điểm bất kỳ

PHÉP DỜI
HÌNH

Sơ đồ 1.3
Từ đó SGK định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kì.
Sau đó SGK rút ra 2 nhận xét:

1. Các phép đồng nhất, tịnh tiến, ĐXT, đối xứng tâm, phép quay đề là phép dời hình.
2. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một
phép dời hình.
Như vậy, trong nhận xét 1 thì có xuất hiện thêm 2 phép dời hình cụ thể là phép ĐXT và
phép đối xứng tâm, tuy nhiên 2 phép biến hình này chưa được học trước đó mà HS chỉ biết
về khái niệm ĐXT, đối xứng tâm ở hình học 8. Điều này có thể gây nhầm lẫn trong nhận
thức của HS khi đồng nhất 2 khái niệm ĐXT và phép ĐXT. Khi đó, HS có thể đặt ra câu
hỏi: “Phép ĐXT là gì? Có phải là ĐXT đã học ở lớp 8 hay không?”.
Nhận xét 2 là một cách nói khác của: “ Tích các phép dời hình cũng là một phép dời
hình”. Vì đây là nhận xét nên không được chứng minh, SGK không sử dụng thuật ngữ “tích
các phép dời hình” là do HS chưa được học ánh xạ.
Sau đó SGK đưa ra một số ví dụ và hình ảnh minh họa trong đó phần lớn có sự xuất hiện
của phép ĐXT.
Điều đặc biệt trong các ví dụ này là SGK không đưa ra 1 phép dời hình nào ngoài các
phép tịnh tiến, phép ĐXT, phép đối xứng tâm, phép quay. Thêm vào đó tất cả các ví dụ đều
được cho dưới dạng tích của 2 phép dời hình. Điều này có thể làm cho HS có ấn tượng rằng
phép dời hình là phép sử dụng liên tiếp 2 phép biến hình khác.
22


Tiếp theo SGK đưa ra các tính chất của phép dời hình:
1) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các
điểm.
2) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó.
3) Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
4) Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Cuối cùng SGK định nghĩa khái niệm hai hình bằng nhau:
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép biến hình biến hình này thành hình kia.
Kết luận: SGK nhận xét phép ĐXT là một phép dời hình và hiển nhiên nó có đầy đủ tính

chất của 1 phép dời hình, tuy nhiên thế nào là phép ĐXT thì SGK không có lời giải thích,
cũng như không cung cấp thêm điều gì về khái niệm này. Bên cạnh đó các ví dụ có sử dụng
phép ĐXT mà SGK đã nêu đều là hình vẽ, mà thông qua đó thì phép ĐXT không có gì khác
ĐXT trong hình học 8. Từ đó HS không thể phân biệt được sự khác nhau giữa 2 khái niệm
này và đồng nhất chúng thành một. Vậy khi đó GV sẽ làm như thế nào để giúp HS tránh
được sai lầm trên? GV có dành thời gian để nói về phép ĐXT hay là bám theo chương trình,
lướt qua khái niệm này?
 Về các tổ chức toán học
KNV T5: Xác định ảnh của một hình H qua một phép dời hình
Đặc trưng của KNV này là SGK không xây dựng các phép dời hình mới mà sử dụng tính
chất 2 đã nêu trên để xây dựng nên KNV này, nói cách khác SGK luôn yêu cầu HS tìm ảnh
của 1 hình qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp 2 phép dời hình cơ bản đã học.
Ví dụ: thực hiện liên tiếp phép quay và phép ĐXT, phép tịnh tiến và phép quay,…như vậy
KNV tìm ảnh của một hình qua phép ĐXT là một KNV con của T5.
Kỹ thuật 𝝉𝟓: Gọi F là phép dời hình cần tìm. Tìm H’ là ảnh của H qua phép dời hình

thứ nhất, sau đó tìm H” là ảnh của H’ qua phép dời hình thứ 2. H” vừa tìm được là ảnh cần
tìm của H thỏa yêu cầu bài toán.
Công nghệ 𝜽𝟓: định nghĩa và tính chất, biểu thức tọa độ của các phép dời hình cơ bản,

tích hai phép dời hình là một phép dời hình, công thức tính vecto, điều kiện 2 vecto bằng
nhau.
23