SKKN một số DẠNG về bài TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

Sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ DẠNG VỀ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Xuất phát từ thực tiễn dạy học phổ thông học phải đi đôi với hành. trong
chương trình hình học lớp 12 bài tốn viết phương trình mặt phẳng và phương trình
đường thẳng là dạng tốn hay và khơng q khó, tuy nhiên để làm bài tốn dạng này
đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ giữa
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu. Mức độ tư duy lời giải toán vừa phải nhẹ nhàng,
lơgic.
Là dạng tốn chiếm tỉ lệ nhiều trong phần hình học giải tích trong khơng gian
trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi đại học, cao đẳng.
Là giáo viên đang công tác tại trường THCS & THPT Bàu Hàm, đa số là học
sinh ở mức độ trung bình – yếu, mức độ tư duy vừa phải, các em dễ nhầm lẫn khi giải
bài toán dạng này, đặc biệt là trong việc tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ
chỉ phương của đường thẳng. Do đó để giúp các em khơng bị khó khăn khi gặp dạng
tốn này, thiết nghĩ nên tóm tắt lại phương pháp phân loại lại bài tập từ dễ đến khó để
học sinh dễ tiếp cận một cách đơn giản dễ nhớ và vận dụng làm bài tốt hơn.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Cơ sở lý luận
Trong thực tế giảng dạy nếu chỉ cung cấp kiến thức mới mà làm các bài tập mà
không chú ý tới các dạng của bài tốn thì học sinh sẽ gặp khó khăn khi gặp những
dạng toán được phát triển từ dạng toán ban đầu thì học sinh sẽ găp khó khăn. Đặc biệt
là những học sinh thuộc dạng trung binh – yếu, tư duy của các em bị hạn chế.
Do đó, để học sinh nắm bài, nhớ bài tốt tôi thiết nghĩ phải nên tổng hợp lại các
dạng toán cho học sinh sau khi đã giúp học sinh giải các tập để học sinh có thể vận

dụng tốt khi thi gặp phải những dạng toán tương tự.
Để thực hiện đề tài này, sau khi học sinh đã làm bài tập sách giáo khoa, tôi
giao nhiệm vụ cho các tổ một số dạng để học sinh trong tổ thảo luận và tóm tắt dạng
tốn và làm những ví dụ tơi u cầu, sau đó tổng hợp các tổ lại và tiến hành nhận xét
và chỉnh sữa lại cho hoàn chỉnh.
Thời gian để thực thiện đề tài là những tiết bài tập và học tăng tiết và những
buổi ôn thi tốt nghiệp.
2. Một số kiến thức cần lưu ý:
r

r

1) Véctơ n ≠ 0 nằm trên đường thẳng vng góc với mp( α ) được gọi là véctơ pháp
tuyến của mp ( α ).
r r

2) Nếu 2 véctơ u, v là 2 véctơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
r
r r
mp( α ) thì véctơ n = u, v  là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ).
3) Phương trình Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 gọi là phương
trình tổng
r

quát của mặt phẳng ( α ). Khi đó mp( α ) có một véctơ pháp tuyến là n = ( A; B; C ) .
r

4) Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì
mp( α ) có phương trình là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
5) Nếu ( α ) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với abc ≠ 0 thì phương trình mặt
phẳng (ABC) là

x y z
+ + = 1 (1). Phương trình (1) được gọi là phương trình mặt
a b c

phẳng theo đoạn chắn.

r
r r
6) Véctơ a ≠ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì a là vectơ chỉ
phương của đường thẳng d.
r
7) Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)∈ d và có vectơ chỉ phương của d là a = (a; b ; c ) thì:
 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

;( t là tham số)

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; (a.b.c ≠ 0 )
a
b
c

8) Cho hai điểm A(xA;yA; zA) và B(xB;yB; zB). Ta có:
uuur

a) AB = ( xB − xA ; yB − y A ; z A − zB ) .
x A + xB y A + y B z A + z B 
;
;
÷
2
2 
 2


b) Tọa độ trung điểm I của AB là I 

r
Quy ước: Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng kí hiệu là n

r
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng kí hiệu là a

3. Nêu phương pháp chung để giải bài toán
Cần lưu ý cho học sinh: Để viết được phương trình đường thẳng d thì phương
pháp chung là phải xác định được một véctơ chỉ phương của đường thẳng và tọa độ
một điểm mà đường thẳng đi qua, sau đó dựa vào cơng thức của định nghĩa (trang
83 SGK hình học 12 – sách chuẩn) để viết phương trình đương thẳng đó.
4. Một số dạng tốn thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trìnhr tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
khi biết véctơ chỉ phương a = ( a; b; c) và đi qua điểm M0(x0;y0;z0).
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Hướng dẫn:

Năm học: 2011 - 2012

 x = x0 + at

* Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt
 z = z + ct
0


* Phương trình chính tắc của d là :

;( t là tham số)

x − x0 y − y0 z − z0

=
=
; (a.b.c ≠ 0 )
a
b
c

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz .Viết phương trình tham số và phương trình
chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 1; 3) có véc tơ chỉ phương u =(3; -1; -2)
b/ d đi qua góc tọa độ và có véc tơ chỉ phương u =(3; 1; -2)
Lời giải
 x = 2 + 3t

a/ Ta có phương trình tham số của d là :  y = 1 − t ( t là tham số )
 z = 3 − 2t


phương trình chính tắc của d là :

x − 2 y −1 z − 3
=
=
3
−1
−2

 x = 3t

b/ phương trình tham số của d là  y = t

( t là tham số)
 z = −2t


phương trình chính tắc của d là

x y
z
= =
3 1 −2

Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
cho trước.
Hướng dẫn
- Véc tơ chỉ phương của d là AB
- Chọn điểm A hoặc B là điểm mà d đi qua .
( Đưa về dạng 1)
Ví dụ: Viết phương trình tham số của d trong các trường hợp sau :
a/ d đi qua A(-2; 1; 5) và B(-1; 2; 0 )
b/ d đi qua M(-1, 2, 3) và gốc tọa độ.
Lời giải
a/ Do d đi qua A và B nên véc tơ chỉ phương của d là AB =(1; 1; -5)
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

 x = −2 + t

Lấy A(-2; 1; 5) ∈ d . phương trình tham số của d là  y = 1 + t
 z = 5 − 5t


( t là tham số )

b/ Do đi qua M và gốc tọa độ O nên véc tơ chỉ phương của d là OM =(-1; 2; 3)
 x = −t

phương trình tham số của d là:  y = 2t
 z = 3t


( t là tham số)

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước và vng góc
với mặt phẳng ( α ).
Hướng dẫn

r

B1: Tìm vectơ pháp tuyến n của mp( α )

r
r
B2 : Do d vng góc với ( α ) nên n của ( α ) là a của d.
r

B3: đường thẳng d đi qua điểm M0 và nhận a làm vectơ chỉ phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua M(2; -1; -3) và vng góc với ( α ): x + 2y – 3z + 1 = 0
b/ d đi qua N(0; 2; -3) và vuông góc (Oxy)
Lời giải

uu
r

r

a/ do d vng góc với ( α ) nên ta chọn ad = nα = (1; 2; -3) là vectơ chỉ phương
của d
uu
r

đường thẳng d đi qua M(2;-1; -3) và nhận véctơ ad = (1; 2; -3) làm vectơ chỉ phương
x = 2 + t

có phương trình tham số là  y = −1 + 2t (t là tham số)
 z = −3 − 3t

b/ Do d ⊥ (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là k =(0; 0; 1)
x = 0

phương trình tham số là  y = 2
 z = −3 + t


(t là tham số)

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với đường
thẳng ∆ .(M∉ ∆ )
Hướng dẫn

uu
r
uu
r
B1 : Ta có ad chính là a∆

Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
uu
r
B2: đường thẳng d đi qua M và nhận ad là vectơ chỉ phương.
Ví dụ:: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
x = 2 + t

a/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với ∆ :  y = 3 + 2t ( t là tham số)
 z = 1 − 3t


b/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với ∆ :

x − 2 y +1 z
=
=
3
2
4

c/ d đi qua điểm M(2; 2; -1) và song song với trục ox.
Lời giải

r
a/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = (1; 2; -3)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = −1 − 3t


r
b/ Do d // ∆ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = (3; 2; 4)

 x = 2 + 3t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 2 + 2t ( t là tham số)
 z = −1 + 4t

c/ Do d // Ox ⇒ vec tơ chỉ phương của d là i = (1; 0; 0)
x = 2 + t

⇒ phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 3

(t là tham số)
z = 4


Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước và song
song với hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước.
Hướng dẫn

uur

uur

B1: Tìm vectơ nP và n Q .

r
B2: Vec tơ chỉ phương của d là a = [ n P, n Q]

r

B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0 và nhận a làm vectơ chỉ
phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(3; 1; 5) và song song với hai mặt
phẳng : (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và
Giáo viên: Trần Văn Công

(Q): x – 3y + z -2 = 0.
Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Lời giải

Năm học: 2011 - 2012

Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1)

r
Do d //(P) và d//(Q) vec tơ chỉ phương của d là a = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)
 x = 3 − 3t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1 − 4t
 z = 5 − 9t


( t là tham số)

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước, song
song với hai mặt phẳng (P) và vuông góc với d’ cho trước.(d’ khơng vng
góc với (P))
Hướng dẫn

uu
r uu
r
B1: Tìm vectơ nP và ad' .

uu
r
uur
B2: Vec tơ chỉ phương của d là ad = [ n P, ad ' ]

uu
r

B3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M 0 và nhận ud làm vectơ chỉ
phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a/ d đi qua điểm M(2; 0; -1), song song (P): 3x – 2y + z + 1 = 0 và vng góc với
d’:

x −1 y +1 z + 3
=
=
.
2
3
4

 x = 1 + 3t

b/ d đi qua điểm M(-1; 1; 3) song song với(Oxz) và vng góc với d’:  y = 2 − t
 z = 4 + 2t


Lời giải

r
a/ Ta có : n P = (3; -2; 1) và a d ' = (2; 3; 4 )

uur

r
Do d//(P) và d ⊥ d’ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = [ n P, ad ' ] = (-11; -10; 13)
 x = 2 − 11t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −10t
 z = −1 + 13t

r
b/ Ta có : j = (0; 1; 0) và a d ' = (3; -1; 2 )

( t là tham số)

r
r
Do d//(Oxz) và d ⊥ d’ ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a = [ j , a d ' ] = (2; 0; -3)
 x = −1 + 2t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = 1
 z = 3 − 3t

Giáo viên: Trần Văn Công

( t là tham số)

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 cho trước, vng
góc với hai đường thẳng d1 và d2 khơng cùng phương.
Hướng dẫn

ur

uu
r

B1: Tìm vectơ chỉ phương của d1 và d2 là a1 và a2 .
r

ur uu
r

B2: vec tơ chỉ phương của d là a =  a1 , a2 

r

B3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M0 và nhận a làm vectơ chỉ
phương.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2; -3; 4) và vng góc với d 1:
 x = 2 − 3t

y = 3 + t
 z = −1 + 2t


( t là tham số ) và d2:

x +1 y z + 3
= =
2
5
3

Lời giải

r
r
Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là a 1 = (-3; 1; 2) và a 2 = (2; 5; 3 )
r r r
Do d ⊥ d1 và d ⊥ d2 ⇒ vec tơ chỉ phương của d là a =[ a 1, a 2]= (-7; 13; -17)
 x = 2 − 7t

⇒ phương trình tham số của d là:  y = −3 + 13t
 z = 4 − 17t


( t là tham số)

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cho trước , vng góc
với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.
Phân tích bài tốn :

- do d ∩ d 2 = N ⇒ N ∈ d và N ∈ d 2 ⇒ N ∈ d2 và N ∈ d
- Khi đó MN là vec tơ chỉ phương của d ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ tọa độ điểm N
Hướng dẫn giải :
B1: Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2 theo tham số t

B2: Lập véc tơ MN =? , xác định vec tơ chỉ phương của d1
B3: do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ toạ độ điểm N
B4: d là đường thẳng đi qua M và N đã biết ( dạng 2)

Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 3) vng góc với d1:

x −1 y z + 2
= =
và cắt d2 :
1
2
1

 x = −3

 y = 2 − t ( t là tham số)
z = 1 + t


Lời giải:
Ta có: vec tơ chỉ phương của d1 là : u 1 = (1; 2; 1)
Do d cắt d2 ⇒ N(-3; 2 - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-1; 1 – t ; -2 + t ) là chỉ phương của d
do d ⊥ d1 ⇒ MN . u 1 = 0 ⇒ t = -1 ⇒ MN = (-1; 2; -3)

 x = −2 − t

⇒ phương trình tham số của d là :  y = 1 + 2t
 z = 3 − 3t


( t là tham số)

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường
thẳng song song d1 và d2 và nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Hướng dẫn
B1: Chỉ phương của d là chỉ phương của d1 và d2 (Do song song)
B2: Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2
⇒ toạ độ trung điểm I của MN ∈ d.

B3: Viết phương trình thẳng d theo dạng 2
Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
 x = 2 + 3t

x − 4 y +1
z
=
=
d1:  y = −3 + t ( t là tham số ) và d2:
3
1
−2
 z = 4 − 2t


Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d 1 và d2
đồng thời cách đều hai đường thẳng đó.
Lời giải
Do d1//d2 và d cách đều d1, d2 ⇒ chỉ phương của d là u = (3; 1; -2)
Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I của MN là I(3; -2; 2) ∈ d
 x = 3 + 3t

⇒ phương trình tham số của d là  y = −2 + t
 z = 2 − 2t


Giáo viên: Trần Văn Công

( t là tham số )

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm

Năm học: 2011 - 2012

Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mp(P) và đồng thời
cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 cho trước.
Hướng dẫn
B1: Giả sử d cắt d1 và d2 lần lượt tại M và N ⇒ dạng toạ độ của M và N ⇒ MN ?
B2 : d vng góc (P) ⇒ pháp tuyến n P của (P) cùng phương MN ⇒ toạ độ của M,
N
( Đưa bài toán về dạng 9)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz .Viết phương trình tham số của đường thẳng d . biết d

vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + 2 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng
x = 3 + t

d1:  y = 2 + 3t ;
 z = 1 − 2t


x = 2 − t '

d2:  y = 3 + t '
 z = 4 + 2t '


( t và t’ là tham số )

Lời giải:
Giả sử d cắt d1 tại M ⇒ toạ độ của M (3 + t; 2 + 3t; 1 - 2t)
d cắt d2 tại N ⇒ toạ độ của N (2- t’; 3 + t’; 4 + 2t’)
⇒ MN =( -t’ – t – 1; t’ – 3t +1; 2t’ +2t +3)

Pháp tuyến của (P) là n P= (1; 2; 1)
Do d vng góc với (P) ⇒ MN và n P cùng phương.
⇒

− t '−t − 1 t '−3t + 1 2t '+2t + 3
− 1 và t’= − 13
⇒ t=
=
=
1

2
1
4
12

⇒ M(

11 5 3
; ; ) ∈ d1 ,
4 4 2

1 2 1
MN =( ; ; ) ⇒ chỉ phương của d là u =(1; 2; 1)
3 3 3

⇒ phương trình tham số của d là

11

x = 4 +t

5

: y = 4 +2t

3

z = +t

2



; ( t là tham số )

Dạng 11: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vng góc của điểm A lên mặt
phẳng (P).
Hướng dẫn
B1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P)
B2: khi đó M = d ∩ ( P )
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang


Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
Ví dụ: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu vng góc của A(0, 1, -2) lên mặt
phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0
Lời giải
x = t

Đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P) có phương trình là  y = 1 − 2t
 z = −2 + 2t

Do M là hình chiếu vng góc của A lên (P) nên tọa độ điểm M = d ∩ ( P )
Xét phương trình : t – 2(1 – 2t) + 2(-2 + 2t) – 1 = 0

<=> t =

7

9

7 5 4
Vậy  ; − ; − ÷
9 9 9
Bài tập tự luyện :
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4)
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua M và N.
Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(-1; 2; 3) và mặt phẳng ( α
) : x – 2y + 2z +5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc với ( α
)
Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng ( α )
: 2x – 3y + 6z +35 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vng góc với ( α
)
Bài 6: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng (
α ): 2x – 2y + z - 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vng góc với (
α)

Bài 7: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4).
Viết phương trình của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vng
góc với mặt phẳng (OAB)
Bài 8: Lập phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
Giáo viên: Trần Văn Cơng

Trang 10

Trường THCS&THPT Bàu Hàm
x−3 y −3 z −3
=
=
d1:
1
3
1

Năm học: 2011 - 2012

x = 2 − t

và d2:  y = 2t
z = 8 + t


Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy và cắt cả hai
x = 3 + t

đường thẳng d1:  y = 2 + 5t
 z = −1 + 4t


(t ∈ R);

x = 2 − t '

d2:  y = 4 + 2t '

z = 6 + t'


(t’ ∈ R )

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x y −1 z + 2
=
d1: =
2
−1
1

 x = −1 + 2t

d2:  y = 1 + t
z = 3


(t ∈ R)

Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 và cắt
cả hai đương thẳng d1 và d2.
Bài 11: Trong khơng gian hệ toạ độ Oxyz. lập phương trình đương thẳng d song song
với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + 8 = 0 và cắt hai
đường thẳng d1:

x + 4 y − 4 z +1
x−4 y z−2
=

=
= =
, d2:
2
−3
3
−2
3
4

Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 3; 3 )vng góc với
 x = −3
x +1 y + 4 z + 2

=
=
đường thẳng d1:
và cắt đường thẳng d2:  y = 8 − t
3
1
1
z = 9 − t


(t ∈ R)

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường
thẳng d1:

x−2 y +2 z −3

=
=
,
2
−1
1

d2:

x −1 y −1 z +1
=
=
−1
2
1

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A vng góc với d1 và cắt d2.
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng
 x = −3 + 2t

d:  y = 1 − t
 z = −1 + 4t


, viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A , cắt và vng góc

với đường thẳng d.
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang 11

Trường THCS&THPT Bàu Hàm
Năm học: 2011 - 2012
Bài 15: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách đều d 1, d2 và thuộc mặt
phẳng chứa hai đường thẳng d1:

x+2 y −5 z −9
=
=
;
3
−1
4

d2:

x y+3 z+7
=
=
3
−1
4

III. Kết quả thực hiện
Đề tài thực hiện trong Năm học 2010 – 2011 cho hai lớp 12A1và 12A4, tôi
nhấn thấy đã thu được kết quả rất khả quan, các em nắm bài tốt hơn và điểm cao hơn
so với hai lớp 12 năm học 2009 – 2010 và đặc biệt trong kỳ thi tốt nghiệp năm học
2010 – 2011 đã làm rất tốt phần hình học giải tích trong khơng gian.
Kết quả bài kiểm tra 45 phút của chương : phương pháp tọa độ trong không

gian của hai lớp 12 năm học 2010 – 2011 như sau:
Mơn

Tốn

Lớp

Giỏi

Khá

Yếu, kém

Lớp

Sĩ số

SL

%

SL

%

SL

%

12A1

40

10

25

25

62.5

0

0

12A4

44

5

11.9

22

52.4

5

11.9

Qua đề tài này, đây chỉ là những bước khởi đầu có tính định hướng, gợi mở,
còn việc thực hiện như thế nào còn thùy thuộc vào giáo viên và đối tượng học sinh .
trong q trình xây dựng đề tài do cịn hạn chế về tài liệu nên khơng thể trách khỏi
những sai sót. Rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của q thầy cơ đồng
nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn.

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Hình 12 – chương trình chuẩn – Trần Văn Hạo. NXB giáo dục.
- Sách giáo khoa Hình 12 – Nâng cao – Đồn Quỳnh. NXB giáo dục
- Sách bài tập Hình 12 – NXB giáo dục
- Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn Toán 12 – Lê Hồng Đức. NXB đại học
quốc gia Hà Nơi.
- Phân dạng và phương pháp giải Tốn Hình 12 – Trần Bá Hà. NXB đại học quốc gia
Hà Nôi.
Giáo viên: Trần Văn Công

Trang 12