tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA

TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA

TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC

Chuyên ngành : Đại số và Lí thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn
PGS.TS. Trần Tuấn Nam

Thành phố Hồ Chí Minh 2012

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 4
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU.......................................................................... 8
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 9
1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN ................................................. 9
1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN ............... 11
1.3 GIỚI HẠN THUẬN ............................................................................................. 13
1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ...................................................... 15
1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG................................. 17
1.7 DÃY PHỔ ............................................................................................................. 23

CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC .................................................. 28
2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ........... 28
2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ...................................................... 29

KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 46


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Trần Tuấn Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì đã lựa chọn một đề tài mà
qua đó tác giả củng cố được các kiến thức về đại số giao hoán, đại số đồng điều và
làm quen được với những kiến thức cơ bản của lí thuyết đối đồng điều địa phương.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong khoa Toán - Tin
học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa học Tự nhiên TP.
Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm

việc hiệu quả trong quá trình học tập tại trường.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.
Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này, tác giả muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trong suốt thời gian qua.
Và tôi cũng tỏ lòng biết ơn tới những tác giả các tài liệu mà tôi đã tham khảo
trong quá trình thực hiện đề tài này.


MỞ ĐẦU
Năm 1974, J. Herzog đã giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương suy
rộng lần đầu tiên trong tài liệu [7]. Đây là khái niệm mở rộng của khái niệm đối
đồng điều địa phương cổ điển của Grothendieck. Một cách tự nhiên, các tính chất
của đối đồng điều địa phương cổ điển được tổng quát hóa thành các tính chất của
đối đồng điều địa phương suy rộng. Chúng ta sẽ xét đến một trong những tính chất
quan trọng được tổng quát lên, đó là tính Artin của các môđun đối đồng điều địa
phương.
Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương đã được nghiên cứu bởi
các nhà toán học S.H.Tahamtan, H.Zakeri, Reza Sazeedeh, ... và thu được nhiều kết
quả quan trọng. Sau đó, nhiều nhà toán học đã mở rộng các kết quả này cho các
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Việc nghiên cứu tính Artin của các
môđun đối đồng điều địa phương cổ điển và suy rộng đến nay vẫn là vấn đề mở.
Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi bắt đầu bằng việc tìm
hiểu những kết quả cơ bản về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương
suy rộng phân bậc trong các bài báo:
[1.] “On graded generalized local cohomology” của Nazer Zamani (2006,
Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel).

[2.]“Artinianess of graded generalized local cohomology modules”

của

Tahamman S. (2011, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117).

[3.]“Some finiteness properties of generalized graded local cohomology
modules” của Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012, International
Journal of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547).


Từ các bài báo này, chúng tôi chọn trình bày lại chi tiết một số kết quả về
tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc trong một số
trường hợp đặc biệt nào đó. Và do vậy luận văn mang tên: "Tính Artin của các
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc". Luận văn bao gồm phần mở
đầu, hai chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề.
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giới thiệu các khái niệm cơ bản về môđun
đối đồng điều địa phương và trình bày những kiến thức về vành và môđun cần thiết
cho các chứng minh ở chương 2.
Chương 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
SUY RỘNG PHÂN BẬC
Giới thiệu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc H Ii ( M , N ) với R là
vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M , N là các R -môđun phân bậc.
Sau đó, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để một số môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng phân bậc là Artin.
Phần kết luận: Đưa ra nhận xét và những vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu.
Trong khuôn khổ một luận văn cao học, chúng tôi cố gắng trình bày lại các
kết quả đã có trong một hệ thống, với các chứng minh chi tiết nhất có thể và nêu ra
được các tính chất cơ bản mà các tác giả đã sử dụng. Một số kết quả trong phần
kiến thức chuẩn bị chúng tôi không nêu chứng minh vì đã được trình bày rõ trong
các tài liệu tham khảo. Chúng tôi trình bày một số bổ đề liên quan trực tiếp đến các

kết quả chương 2 hay một số bài tập mà các tác giả đưa ra trong tài liệu tham khảo.


Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng
hoặc sẽ được giải thích khi sử dụng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Để trích
dẫn một số kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [[3],
Theorem 2.3] nghĩa là xem Định lí 2.3 trong tài liệu [3].
Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012.


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ý nghĩa



Tập hợp các số tự nhiên

Ab

Phạm trù các nhóm abel

C ( R)

Phạm trù các R -môđun

*

C ( R)

( R, m )
HomR ( M , N )
Z R (M )

Spec( R)

AssR ( M )
Supp ( M )

Phạm trù các R -môđun phân bậc
R là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất

Tập tất cả các R -đồng cấu từ M đến N
Tập tất cả các ước của 0 của R -môđun M
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M
Giá của môđun M
Chiều Krull của R -môđun M

dim R ( M )

Chiều xạ ảnh của R -môđun M

Pd R ( M )

Chiều nội xạ của R -môđun M

Id R ( M )

Các hàm tử mở rộng

Ext Ri ( M , − )
Ext Ri ( −, N )
Tori

R

Tori

R

( A, − )
( −, B )

Các hàm tử xoắn


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử R là
vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 . Chương này trình bày một số kết quả đã được đề
cập trong đại số đại cương, đại số giao hoán và đại số đồng điều có liên quan đến
chương 2 của luận văn.
1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN
Mệnh đề 1.1.1:
n

i. Cho P1 , P2 ,..., Pn là các iđêan nguyên tố và I là iđêan của R thỏa mãn I ⊂  Pi .

i =1

Khi đó tồn tại i ∈ {1, 2,...., n} sao cho I ⊂ Pi .
ii. Cho I1 , I 2 ,..., I n là các iđêan và P một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn

n

I

i

⊂P

i =1

. Khi đó tồn tại i ∈ {1, 2,...., n} sao cho I i ⊂ P .
Bổ đề 1.1.2: (Bổ đề Nakayama)
M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và I là con của căn

Jacobson của R . Khi đó, nếu IM = M thì M = 0 .
Mệnh đề 1.1.3 Cho R là một vành, I là iđêan của R và M là một R -môđun. Ta
có ( R /I ) ⊗ R M ≅ M / IM .
Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành địa phương, M và N là các R -môđun hữu hạn
sinh. Khi đó, nếu M ⊗ R N =
0 thì M = 0 hoặc N = 0 .
Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn các R -môđun
0 → M → N → P → 0 . Khi đó ta có N Artin khi và chỉ khi M và P Artin.

Từ điều này ta suy ra nếu dãy các R -môđun
M → N → P khớp tại N và M , P là các môđun Artin thì N cũng là môđun Artin.

Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin khi và chỉ khi R Noether và dim R = 0 .
Mệnh đề 1.1.7
Cho R là vành, I là một iđêan của R và M là một R -môđun. Khi đó, với mọi số
tự nhiên n tồn tại đẳng cấu: HomR ( R / I n , M ) ≅ ( 0 :M I n ) .
Định nghĩa 1.1.8
Cho R là một vành, M là một R -môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M \ {0} sao cho P = Ann ( x ) .
Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M được kí hiệu là
AssR ( M ) .

Giá của R -môđun M , kí hiệu Supp ( M ) =
{P ∈ Spec ( R ) : M P ≠ 0}.
M P là địa phương hóa của môđun M theo tập con nhân R \ P .

Đặt V ( I ) =
{P ∈ Spec ( R ) : I ⊂ P} .
Mệnh đề 1.1.9 Nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì Supp ( M ) = V ( Ann ( M ) ) .
Mệnh đề 1.1.10
Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp( R / I ) = V ( I )
Mệnh đề 1.1.11 Cho R là vành Noether, M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là
một iđêan của R . Khi đó Supp ( M ) ⊂ V ( I ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao
cho I k M = 0 .
Mệnh đề 1.1.12
Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó
Supp ( M ⊗ R =
N ) Supp ( M ) ∩ Supp ( N )

Từ mệnh đề trên và Mệnh đề 1.1.3 ta suy ra kết quả sau:

Hệ quả 1.1.13
Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R , khi đó
Supp ( M / IM ) =
V ( I ) ∩ V ( Ann ( M ) ) =
V ( I + Ann ( M ) ) .


Mệnh đề 1.1.14
Cho R là vành Noether, M là R -môđun khác 0.
i. Phần tử tối đại của { Ann ( x ) : x ∈ M } là iđêan nguyên tố liên kết của M , hay
AssR ( M ) ≠ ∅ .

ii. Tập hợp tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố
liên kết của M .
Mệnh đề 1.1.15
Cho M , N , P là các R -môđun và dãy khớp 0 → M → N → P → 0 thì ta có các kết
quả sau:
i. AssR ( N ) ⊂ AssR ( M ) ∪ AssR ( P )
=
ii. Supp
( N ) Supp ( M ) ∪ Supp ( P )

Mệnh đề 1.1.16
Cho R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
i. AssR ( M ) có hữu hạn phần tử
ii. AssR ( M ) ⊂ Supp ( M )
iii. Phần tử tối tiểu của AssR ( M ) và Supp ( M ) như nhau.
Mệnh đề 1.1.17
Cho M , N là các R -môđun và Pd R ( M ) = n . Ta có: Ext Ri ( M , N ) = 0 với mọi i > n .

1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN
a. Độ dài:
Một dãy các R -môđun con của môđun M là dãy ( M i )0≤i ≤ n các môđun con phân biệt
của M thỏa mãn M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = 0 .
Ta nói n là độ dài của dãy này.
Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M , tức là không thể
thêm vào một môđun con nào nữa hay các môđun thương


M i / M i +1 là đơn.

Độ dài của chuỗi hợp thành của một R -môđun M là đại lượng không đổi và được
kí hiệu là lR ( M ) và gọi là độ dài của R -môđun M .
Nhận xét:
Độ dài của R -môđun M tồn tại khi và chỉ khi R -môđun M Artin và Noether.
Mệnh đề 1.2.1
Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là
tương đương:
i. lR ( M ) < ∞
ii. Mọi phần tử thuộc AssR ( M ) đều là iđêan tối đại của R .
iii. Mọi phần tử thuộc Supp ( M ) đều là iđêan tối đại của R .
Hệ quả 1.2.2
Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì. Nếu
lR ( N ) < ∞ thì lR ( HomR ( M , N ) ) < ∞ .

Do đó nếu N là R -môđun Artin thì HomR ( M , N ) cũng là R -môđun Artin.
b. Dãy chính quy:
Định nghĩa 1.2.3
Cho M là một R -môđun, một phần tử r ∈ R được gọi là M -chính quy nếu
rx ≠ 0, ∀x ∈ M \ {0} .

Định nghĩa 1.2.4
Một dãy các phần tử
a1 , a2 ,..., an của R là một M -dãy chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

i. a1 là M -chính quy, a2 là
M / a1M -chính quy,…, an là M / < a1 , a2 ,..., an −1 > M -chính quy;

ii. M ≠< a1 , a2 ,..., an > M .
Chú ý: Khi ta hoán vị các phần tử của M –dãy chính quy thì không chắc dãy mới là
M -dãy chính quy.


Mệnh đề 1.2.5
Cho R là vành Noether địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh và
a1 , a2 ,..., an là một M -dãy chính quy thì ta có:

dim ( M / ( a1 , a2 ,..., an ) M < a1 , a2 ,..., an > M =
) dim M − n.

1.3 GIỚI HẠN THUẬN
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ xét khái niệm giới hạn thuận trong phạm
trù các R -môđun.
a. Định nghĩa giới hạn thuận:
Định nghĩa 1.3.1 (Tập sắp thứ tự thuận)
Một tập hợp Λ sắp thứ tự bộ phận được gọi là tập sắp thứ tự thuận nếu với mọi
i, j ∈ Λ tồn tại k ∈ Λ sao cho i ≤ k và j ≤ k .

Định nghĩa 1.3.2 (Hệ thống thuận)
Cho ( M i )i∈Λ là một họ các R -môđun được đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận

Λ . Với mỗi cặp phần tử i, j ∈ Λ mà i ≤ j cho R -đồng cấu µ ij : M i → M j thỏa mãn

các điều kiện sau:
µii Id M , ∀i ∈ Λ
i.=
i

ii. µki = µkj °µ ij , ∀i ≤ j ≤ k
Khi đó, họ Ω =( M i ; µ ij )i ; j∈Λ các R -môđun M i và R -đồng cấu µ ij được gọi là một
hệ thống thuận.
Định nghĩa 1.3.3 Giới hạn thuận của hệ thống thuận Ω =( M i ; µ ij )i ; j∈Λ là môđun
lim
 M i và họ các đồng cấu µi : M i → lim
 M i thỏa mãn những điều kiện sau:
i∈Λ

i. µ j µ ij = µi với mọi i ≤ j ,

i∈Λ


ii. Với N là một R -môđun bất kì, các đồng cấu fi : M i → N thỏa mãn f j µ ij = fi với
mọi i ≤ j . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu θ : lim
 M i → N sao cho biểu đồ sau giao
i∈Λ

hoán.

Mệnh đề 1.3.4 Giới hạn thuận của một hệ thống thuận Ω =( M i ; µ ij )
luôn tồn tại.

i ; j∈Λ
Ta có thể chỉ ra giới hạn thuận đó là tập M = ⊕ M i / D , với D là R -môđun con của
i∈Λ

⊕ M i được sinh bởi các phần tử µ j µ ij (mi ) − µi (mi ) với mi ∈ M i , i ≤ j , µi : M i → M

i∈Λ

là đơn cấu.
b. Đồng cấu giữa hai hệ thống thuận
Cho hai hệ thống thuận các R -môđun Ω =( M i ; µ ij )i ; j∈Λ và Φ =( N i ; vij )i ; j∈Λ cùng
đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận Λ .
Gọi M , N là các giới hạn thuận tương ứng và µi : M i → M , vi : N i → N là các đồng
cấu tự nhiên. Một đồng cấu Ψ : Ω → Φ được định nghĩa là một họ các R -môđun
ψ i : M i → N i thỏa mãn ψ j °µ ij = ν ij °ψ i , ∀i ≤ j.

Khi đó, đồng cấu Ψ : Ω → Φ sẽ cảm sinh R -đồng cấu
ψ lim
=
 : M → N thỏa mãn
i∈Λ

ψµ
=
ν iψ i , ∀i ∈ Λ .
i

c. Tính chất:
Một dãy các hệ thống thuận Ω → Φ → Π được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng
của các R -môđun và R -đồng cấu là khớp.

Ta có các mệnh đề sau:


Mệnh đề 1.3.5 Cho một dãy khớp các hệ thống thuận Ω → Φ → Π . Khi đó, dãy
cảm sinh sau cũng là khớp: lim
 Ω → lim
 Φ → lim
 Π .
i∈Λ

i∈Λ

i∈Λ

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành, N là một R -môđun và {( M i ; µ ij )i ; j∈Λ } là một hệ
thống thuận các R -môđun. Khi đó ta có: lim(
 M i ⊗ R N ) ≅ (lim
 M i ) ⊗ R N
i∈Λ

i∈Λ

1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M ,
N là các R -môđun và I là một iđêan của R . Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và

một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng trong chương sau.
Các chứng minh cho các tính chất này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [6].
a. Định nghĩa hàm tử I -xoắn:
Với mỗi R -môđun M , Γ I ( M ) :=

 ( 0 :M I n ) là một R -môđun con của M .
n∈

Với mỗi đồng cấu R -môđun f : M → N , ta có f ( Γ I ( M ) ) ⊂ Γ I ( N ) nên ta có thể
định nghĩa Γ I ( f ) : Γ I ( M ) → Γ I ( N ) là đồng cấu thu hẹp của f lên Γ I ( M ) .
Hơn nữa với g : M → N và h : N → L là các đồng cấu R -môđun và r là phần tử
thuộc R ta có các tính chất:
Γ I ( hg ) =
ΓI ( h) ΓI ( g )
ΓI ( f + g ) = ΓI ( f ) + ΓI ( g )
Γ I ( rf ) =
rΓ I ( f )
Γ I ( Id M ) =
Id Γ I ( M )

Do đó
Γ I ( − ) là hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R -môđun vào chính nó.
Γ I ( − ) còn được gọi là hàm tử I -xoắn.

Nhận xét:
Hàm tử Γ I ( − ) là hàm tử khớp trái.


n
Ta có đẳng cấu: Γ I ( M ) ≅ lim
 HomR ( R /I , M ) .
n∈

Định nghĩa 1.4.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ I của Γ I ( − ) được kí
hiệu là H Ii ( − ) và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I .

0 và M là I -xoắn nếu Γ I ( M ) =
M.
Ta nói M là I -không xoắn nếu Γ I ( M ) =

Ta kiểm tra được

(

i
n
H Ii ( M ) ≅ lim
 Ext R R / I , M
i∈

) và H ( M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa
i
I

phương thứ i của môđun M theo iđêan I .
Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một R -môđun. Khi đó ta có:
i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M thì M là I -không
xoắn.
ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I -không xoắn khi và chỉ khi I chứa
phần tử không là ước của không đối với M .
Chứng minh:

(

Γ I ( M ) ≠ 0 ⇒ ∃m ∈ M \ {0} , ∃n ∈  : m ∈ 0 :M I n

)

Đặt n0 = min {n ∈  : m ∈ (0 :M I n )} .
Khi đó,
=
I n m I=
( I n −1m ) 0 .
0

0

Do cách đặt n0 nên I n −1m ≠ 0 ⇒ ∃b ∈ I n −1 : bm ≠ 0 .
0

0

Khi đó với mọi a thuộc I ta có abm = 0 . Suy ra
I ⊂ ZR ( M ) .

Ngược lại, M hữu hạn sinh nên AssR ( M ) hữu hạn (theo Mệnh đề 1.1.6). Giả sử
AssR ( M ) = { p1 , p2 ,..., pr } .
I ⊂ ZR ( M ) =
 p suy ra ∃i ∈ {1, 2,..., r} : I ⊂ pi . (theo Mệnh đề 1.1.1)
p∈AssR ( M )

Mà pi ∈ AssR ( M )
⇒ ∃v ∈ M \ {0} : pi = Ann ( v )


⇒ Iv ⊂ pi v ⇒ v ∈ Γ I ( M )

⇒ ΓI ( M ) ≠ 0 . 

Mệnh đề 1.4.3 Nếu M là R -môđun nội xạ thì Γ I ( M ) là nội xạ.
Hệ quả 1.4.4 Cho M là R -môđun nội xạ thì dãy khớp
0 → Γ I ( M ) → M → M / Γ I ( M ) → 0 chẻ.

Hệ quả 1.4.5
Cho M là R -môđun I -xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M mà tất cả các
thành phần đều là R -môđun I -xoắn.
Mệnh đề 1.4.6 (Định lí Melkersson)
Nếu M là một R -môđun I xoắn và ( 0 :M I ) Artin thì M cũng Artin.

1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG
Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 , I là một iđêan của vành R ,
M

và

là

N

các

R -môđun.

Khi

đó,

với

mỗi

số

tự

nhiên

i,

i
n
H Ii ( M , N ) ≅ lim
 Ext R ( M / I M , N ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy
n∈N

rộng thứ i của môđun N ứng với M theo iđêan I .
Trường hợp riêng, với M là R ta có H Ii ( R, N ) ≅ H Ii ( N ) .
Khi M là một R -môđun hữu hạn sinh thì ta có thể tiếp cận môđun
H Ii ( M , N ) theo một số cách khác (xem ở [16]). Ở đây chúng tôi chọn trình bày cách

tiếp cận mà các hàm tử dùng để mô tả môđun này là các hàm tử quen thuộc: hàm tử
đối đồng điều địa phương cổ điển H Ii (−) , hàm tử Hom và hàm tử đối đồng điều
H i ( −) .

Mệnh đề 1.5.1

(

)

H I0 ( M , N ) ≅ H I0 ( Hom ( M , N ) ) ≅ Hom M , H I0 ( N ) .

Mệnh đề 1.5.2
Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì,
J • là phép giải nội xạ của N . Khi đó, với mọi số tự nhiên i , ta có:

( (

(

H Ii ( M , N ) ≅ H i H I0 Hom M , J •

))) ≅ H

i

( Hom ( M , H

0
I

( J ))) .
•

Mệnh đề 1.5.3
Cho dãy khớp ngắn các R -môđun 0 → X → Y → Z → 0 và M , N là các R -môđun

hữu hạn sinh thì ta có các dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng sau:
0 → H I0 ( M , X ) → H I0 ( M , Y ) → H I0 ( M , Z ) → H I1 ( M , X ) → ...
và 0 → H I0 ( Z , N ) → H I0 (Y , N ) → H I0 ( X , N ) → H I1 ( Z , N ) → ...

Hàm tử I -xoắn cho một môđun có thể được mở rộng cho một cặp môđun như sau:
Γ I ( M , N ) :=
li
m Hom R ( M / I n M , N ) .
n∈N

Theo [[6], 1.1.2] ta có mệnh đề:
Mệnh đề 1.5.4
Nếu I , J là các iđêan của R thì Γ I ( Γ J ( M ) ) =Γ I + J ( M ) với mọi R -môđun M .
Mệnh đề sau là một kết quả tổng quát hơn:
Mệnh đề 1.5.5
Cho I , J là các iđêan của R . Khi đó ta có
ΓI +J ( M , N ) =
ΓI ( M , Γ J ( N )) =
Γ J ( M , Γ I ( N ) ) với mọi R -môđun M .

Mệnh đề 1.5.6
Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì. Khi
đó
H Ii + J ( M , N ) ≅ H Ii ( M , N ) , ∀i ∈  .

Mệnh đề 1.5.7


Cho M , N là các R -môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó ta có:

(

)

(

)

Supp H Ii ( M , N ) ⊂ V ( I ) và Supp H Ii ( M , N ) ⊂ Supp ( M ) ∩ Supp ( N ) .

Mệnh đề 1.5.8
Cho M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì.
i. H Ii ( M , N ) là I -xoắn với mọi giá trị của i .
ii. Nếu N là I -xoắn thì H Ii ( M , N ) ≅ Ext Ri ( M , N ) .
Hệ quả 1.5.9 Cho N là R -môđun I -xoắn. Khi đó ta có:
i. Nếu M là R -môđun xạ ảnh thì H Ii ( M , N ) = 0, ∀i > 0.
ii. Nếu Pd ( M ) = n thì H Ii ( M , N ) = 0, ∀i > n .
iii. Nếu Id ( N ) = n thì H Ii ( M , N ) = 0, ∀i > n .
Mệnh đề 1.5.10
Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh, m là iđêan tối đại của R . Khi đó
H mi ( M , N ) là môđun Artin với mọi i ≥ 0 .

Từ Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10 ta có hệ quả:
Hệ quả 1.5.11
Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì,
I + J là iđêan tối đại của R . Khi đó H Ii ( M , N ) Artin với mọi i ∈  .

Mệnh đề 1.5.12
Cho R /I Artin và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó H Ii ( M ) Artin với mọi

i∈ .

1.6 VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC
a. Vành phân bậc:
Định nghĩa 1.6.1 Một vành R được gọi là phân bậc (cụ thể là  -phân bậc) nếu
tồn tại một họ các nhóm con (đối với phép toán cộng) {Rn }n∈ của R thỏa mãn các
điều kiện sau:
i. R = ⊕ n∈ Rn


ii. Rn .Rm ⊆ Rn + m với mọi m , n thuộc 
Từ định nghĩa trên ta suy ra được:
Phần tử đơn vị 1∈ R0
R0 là vành con của R

Với mọi số nguyên n , Rn là R0 -môđun con của R
Nếu vành phân bậc R = ⊕ n∈ Rn có Rn = 0 với mọi n < 0 thì ta gọi R là vành  phân bậc (hay là vành phân bậc dương).
Cho R là vành phân bậc dương, ta có R+ := ⊕ n≥1 Rn là một iđêan của R .
Ta nhắc lại một mệnh đề quan trọng sau:
Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành phân bậc dương, ta có các điều sau tương đương:
i. R là vành Noether.
ii. R0 Noether và R là một R0 -đại số hữu hạn sinh.
Ta xét đến một loại vành phân bậc đặc biệt sau:
Định nghĩa 1.6.3 Vành phân bậc dương R được gọi là thuần nhất nếu R được xem
như là một R0 -đại số với biến thuộc R1 ( R = R0 [ R1 ] ).
Lúc này ta gọi R0 là vành cơ sở của R .
Mệnh đề sau cho ta mô tả R trong một trường hợp cụ thể:
Mệnh đề 1.6.4
Cho R là một vành phân bậc dương. Khi đó các điều sau tương đương:
i. R thuần nhất và Noether

ii. R0 Noether và R+ được sinh bởi hữu hạn phần tử của R1
iii. R0 Noether và R là R0 -đại số được sinh bởi hữu hạn phần tử của R1
Phần tử x ∈ R được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu tồn tại n ∈  sao cho
x ∈ Rn . Trường hợp x ≠ 0 thì n là duy nhất và ta gọi số n đó là bậc của x , kí hiệu

deg ( x) = n .

Iđêan I của vành phân bậc R được gọi là iđêan phân bậc nếu nó được sinh bởi các
phần tử thuần nhất.


Định nghĩa 1.6.5
Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện
sau:
i. m là iđêan phân bậc thực sự của R .
ii. Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn m ⊆ a thì m = a
Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của R .
Trong trường hợp R là vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc
tối đại của R qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương. Khi đó iđêan phân bậc tối đại của
R có dạng m 0 + R+ , với m 0 là iđêan tối đại của R0 . Đặc biệt, iđêan phân bậc tối

đại của R cũng là iđêan tối đại của R .
b. Môđun phân bậc:
Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R -môđun. M được gọi là
R -môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {M n }n∈ các nhóm con của M (đối với phép

toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
i. M = ⊕ n∈ M n
ii. Rn .M m ⊆ M n + m với mọi m , n thuộc 

Mỗi nhóm con M n là R0 -môđun con của M và ta gọi nó là \textit{thành phần phân
bậc thứ n } của M .
Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần
tử trong vành.
Cho M = ⊕ n∈ M n , N = ⊕ n∈ N n là các R -môđun phân bậc, một đồng cấu thuần nhất
giữa các R -môđun phân bậc là một R -đồng cấu f : M → N thỏa mãn f ( M n ) ⊆ N n
với mọi n ∈  .
Tập hợp tất cả các R -môđun phân bậc và R -đồng cấu thuần nhất lập thành một
phạm trù, ta kí hiệu phạm trù này là * C ( R ) .
Cho t ∈  , ta xét hàm tử t -chuyển như sau: (.)( t ) :* C ( R ) →* C ( R ) .


Với mỗi M= ⊕ M n ta có M ( t )n = M n +t và với mỗi R -đồng cấu thuần nhất
n∈

f : M → N ta có f ( t ) |M ( t ) = f |M n+t với mọi n ∈  .
n

Một đồng cấu f : M → N được gọi là thuần nhất cấp i nếu f ( M n ) ⊆ N n +i với mọi
n∈.

Chú ý rằng đồng cấu thuần nhất cấp i trên có thể được xem là thuần nhất nếu xem
f như là đồng cấu từ M ( −i ) đến N .

Ta kí hiệu Homi ( M , N ) là tập tất cả các đồng cấu thuần nhất cấp i từ M đến N .
Khi đó ta có
*

HomR ( M , N ) := ⊕ Homi ( M , N ) là một R -môđun con của HomR ( M , N ) .
i∈

Với R = ⊕ Ri là vành Noether phân bậc, M= ⊕ M n , N= ⊕ N n là các R -môđun phân
i∈

n∈

n∈

bậc. Ta có mệnh đề:
Mệnh đề 1.6.8 (xem [[4], 1.5.19])
Nếu M là hữu hạn sinh thì * HomR ( M , N ) = HomR ( M , N ) .
Mệnh đề 1.6.9
Cho R là vành phân bậc thuần nhất và M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Khi đó các điều sau tương đương:
i. Tồn tại t ∈  : ( R+ )t M = 0
ii. M n = 0 với mọi n đủ lớn (nghĩa là tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0
thì M n = 0 )
iii. M là R+ -xoắn
Mệnh đề 1.6.10
Nếu M là R -môđun Noether thì M n là R0 -môđun Noether.
Mệnh đề 1.6.11
Cho R là một vành phân bậc dương và M là một R -môđun phân bậc. Khi đó
lR ( M ) = lR0 ( M ) .

Mệnh đề 1.6.12


Cho R là vành phân bậc dương với vành cơ sở địa phương ( R0 , m 0 ) và M là một
Γ R+ ( M )
R -môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó ta có: dimR ( M / m 0 M ) ≤ 0 ⇔ M =

Mệnh đề 1.6.13
Nếu dimR ( M / m 0 M ) > 0 thì tồn tại phần tử thuần nhất x ∈ R+ thỏa mãn:
dimR (( M / xM )=
/ m 0 ( M / xM )) dimR ( M / m 0 M ) − 1.

c. Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax:
Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là
R -môđun phân bậc. Ta nói M là I -cofinite nếu

Supp ( M ) ⊂ V ( I ) và Ext Ri ( R /I , M ) phân bậc hữu hạn sinh với mọi i ∈  .

Định nghĩa 1.6.15 Một R -môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R môđun con phân bậc hữu hạn sinh M ' sao cho M / M ′ Artin.
Ta có thể chứng minh được kết quả sau:
Định lí 1.6.16 Cho 0 → L → M → N → 0 là dãy khớp các R -môđun phân bậc và R
-đồng cấu thuần nhất. Khi đó M minimax khi và chỉ khi L và N minimax.

1.7 DÃY PHỔ
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm dãy phổ và dãy phổ Grothendieck
cần dùng trong chương 2.
a. Khái niệm dãy phổ
Định nghĩa 1.7.1 Một môđun song phân bậc là một họ các môđun được đánh hai
chỉ
số M
=

{M

p ,q

| ( p, q ) ∈  × } .

Phần tử x thuộc M p ,q được kí hiệu lại là x p ,q .
Môđun thương của môđun song phân bậc M là M / M ′ = {M p ,q /M ' p ,q }
=
M′

{M' p ,q } ⊂ M .

Cho M = {M p ,q } , N = { N p ,q } là các môđun song phân bậc và

( a, b ) ∈  ×  . Ta nói đồng cấu f : M → N có song cấp là


( a, b ) nếu f ( M p ,q ) ⊂ N p + a ,q +b với mọi cặp số ( p, q ) ∈  ×  .
Đặt f p ,q := f |M . Khi đó f là họ đồng cấu { f p ,q | ( p, q ) ∈  × } .
p ,q

Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D , E và các đồng cấu song
cấp
α , β , γ sao cho tam giác sau là khớp tại mỗi đỉnh:

Kí hiệu cặp khớp này là ( D, E , α , β , γ ) .
Xét cặp khớp D , E và các đồng cấu α , β , γ có song cấp lần lượt là

(1, −1) , ( 0, 0 ) , ( −1, 0 ) . Ta sẽ xây dựng một cặp khớp khác từ cặp khớp này.
Xây dựng d 1 : E → E xác định bởi d 1 := βγ .Khi đó ta có d 1d 1 = 0 nên tồn tại môđun
đồng điều H ( E , d 1 ) := Kerd 1 / Imd 1 , kí hiệu là E 2 . Nó lại là một môđun song phân
bậc.
Cho ( p, q ) ∈  ×  bất kì,

nên d 1 có song cấp là ( −1, 0 ) .
E 2 là một môđun thương của môđun song phân bậc nên ta có E p2,q = Kerd 1p ,q /Imd 1p +1,q

.
Ta xây dựng môđun song phân bậc D 2 := Imα . Vì α có song cấp (1, −1) nên ta có
=
D p2,q α p −1,q +1 (=
D p −1,q +1 ) Imα p −1,q +1 ⊂ D p ,q . Tiếp theo ta xây dựng bộ ba đồng cấu song

cấp α 2 , β 2 , γ 2 như sau: α 2 := α |D .
2

Ánh xạ đồng nhất i : Imα → D có song cấp ( 0, 0 ) nên đồng cấu α 2= α °i có song
cấp giống α là (1, −1) .
Đồng cấu β 2 : D 2 → E 2 biến y  cls ( βα −1 ( y ) ) nên tồn tại y p ,q ∈ D p2,q sao cho


x p −1,q +1 ∈ D p −1,q +1 . Vì vậy y p ,q = α p −1,q +1 ( x p −1,q +1 ) , tức là β 2 có song cấp ( −1,1) .

Đồng cấu γ 2 : E 2 → D 2 , γ p2 ,q cls ( z p ,q )  γ p ,q z p ,q ∈ D p −1,q . Ta kiểm tra được
γ 2 được định nghĩa tốt và có song cấp như γ là (−1, 0) .

Định lí 1.7.2 Với cách xây dựng như trên thì ta có

là một cặp khớp với α 2 , β 2 , γ 2 lần lượt có song cấp là (1, −1) , ( −1,1) , ( −1, 0 ) .
Cặp khớp ( D 2 , E 2 , α 2 , β 2 , γ 2 ) được gọi là cặp khớp dẫn xuất của ( D, E , α , β , γ ) .
Ta lặp lại quá trình này và thu được một dãy các cặp khớp

Trong đó cặp khớp thứ r + 1 là dẫn xuất của cặp khớp thứ r .

Định lí 1.7.3 Cho ( D, E , α , β , γ ) là một cặp khớp với α , β , γ có song cấp lần lượt là

(1, −1) , ( 0, 0 ) , ( −1, 0 ) . Cặp dẫn xuất thứ

r

( D , E ,α
r

r

r

, β r ,γ r

)

có các đặc điểm sau:
i. α r , β r , γ r lần lượt có song cấp là (1, −1) , (1 − r , r − 1) , ( −1, 0 )
ii. d r := β r γ r có song cấp là ( −r , r − 1) và được cảm sinh bởi βα − r +1γ .
Định nghĩa 1.7.4 Một dãy phổ là một dãy {E r , d r }r ≥1 (có thể viết gọn là {E r } ) các
môđun song phân bậc và các đồng cấu d r thỏa mãn d r d r = 0 sao cho

(

)

E r +1 = H E r , d r như là các môđun song phân bậc.

Kí hiệu E1 := E thì ta có mỗi cặp khớp cảm sinh một dãy phổ.

Cho {E r , d r } là một dãy phổ thì E 2 là một môđun con của môđun thương của E1 .
Do đó ta có thể giả sử E 2 = Z 2 / B 2 với B 2 ⊆ Z 2 ⊆ E1 .